第二章 导热基本原理

• 直角坐标系、非稳态、有内热源的变导热 系数导热微分方程式 t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
后续导热问题的讨论中，将贯穿从导热微分方程 出发的处理方法
圆柱坐标系 （r, φ, z）
t 1 t 1 t t t a 2 2 2 2 r r r r z c
2 2
（2）x=0，t=t1 y=0，t=t3 y=a，t=t4
dt x b, 0 dx x b
λ铜> λ铁 ρ铜 > ρ 铁 c铜< c铁
• 分析过程同上，温度场相同
（3）x=0，t=t1
q dt x b, dx x b
λ铜> λ铁 ρ铜 > ρ铁 c铜< c铁
– 非金属的导热系数 0.025~3W m 依靠晶格的振动传递热量，一般比金属低。许 多保温材料都是非金属材料。 保温材料：国家标准规定，温度低于350度时 导热系数小于0.12W/(m· K) 的材料。
石棉、矿渣棉、硅藻土、岩棉板、岩棉玻璃布缝 毡、膨胀珍珠岩。
有些材料，如木材、石墨，各个方向的结构不同 导致各向导热系数存在显著差别，对于这些材料 应该指明导热系数值所指方向。
（ 4）
• 2
●
R
边界条件
tw
●
dt r 0, 0 第二类边界条件 dr r R, qw h(tw tf )
第三类边界条件 壁面温度tw 周围流体温度tf 表面传热系数h
作业总结
• 1写出导热微分方程和边界条件，如果边界条 件和微分方程不包含任何物性常数如λ 、ρ、 c 等，则温度场相同，否则温度场不同。 • 2温度场关于中心对称，且在轴线上达到最高 温度。
• 傅里叶定律最普适的表达形式：
– 垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的温度 梯度，方向与温度梯度相反。
q -grad t
W m
2
导热系数
导热系数在数值上等于在单位温度梯度作用下物 体内热流密度矢量的模，一般通过实验测试获得。 导热系数越大，物体的导热能力越强。

q grad t
λ金属> λ非金属； λ固相> λ液相> λ气相
热流线是表示热流方向的线，恒与等温线垂直。
空心砖的温度场
手掌的温度场
不同的等温面（等温线）之间有温差，有热量传递。
传热学计算 软件分析激 光成型过程 温度场的结 果
• 温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限，gradt，对于直角三维坐标系
t t t grad t i j k x y z
第二章 导热基本原理
傅里叶定律
• 温度场：物体中存在着时间和空间上的温度分 布称为温度场。温度场是时间和空间的函数， 即：
t f ( x, y , z , )
t 0 t f ( x, y , z ) • 非稳态温度场 t f ( x, y, z , )
• 稳态温度场
• 等温面：在三维空间中，同一时刻，温度 场中所有温度相同的点连接起来所构成的 面。 • 等温线：在二维空间中，同一时刻，温度 场中所有温度相同的点连接起来所构成的 线。 • 等温面与等温线的特点：在连续的温度场 中，等温面或等温线不会中断，它们或者 是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者 就终止与物体的边界上。
2 2
稳态、无内热源
2 1 rt 1 t 1 2t 2 0 sin 2 2 2 2 r r r sin r sin
无内热源的稳态一维导热： 2 直角坐标系 d t 0 2 dx 圆柱坐标系 d t 1 dt 0 2 dr r dr 2 d t 2 dt 球坐标系 0 2 dr r dr
2 2 2

稳态、无内热源
2t 1 t 1 2t 2t 2 2 2 0 2 r r r r z
球坐标系（r,φ ,θ ）
1 rt t 1 t 1 t a 2 sin 2 2 2 2 r sin r sin c r r
(m )
– 对于液态金属的导热系数一般低于固态金属的 值（铁例外） 20℃时，λ水=0.6 W/(m· K)
导热微分方程式
• 导热微分方程式是求解所有导热问题的基石。 • 理论基础：傅里叶定律+能量守恒定律 • 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介 质;(2) 热导率λ、比热容c和密度ρ均为已知; (3) 物体内具有内热源，单位体积内热源的生 成热
影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等。
• 固体的导热系数
– 金属的导热系数 12~418 W (m ) (1)纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格 的振动，主要依靠前者；金属导热与导电机理 一致；良导电体为良导热体。 λ银> λ铜> λ金> λ铝
随着温度升高，金属晶格振动的加强干扰了自 由电子运动，导致导热系数降低。
2
初始条件及边界条件
• 求解导热问题，实质是求解导热微分方程。 • 通过导热微分方程只能获得方程式的通解 • 工程实际中，需要获得既满足导热微分方 程式，又满足根据具体问题规定的一些附 加条件下的特解。在数学上，附加条件称 为定解条件。 • 对于非稳态问题定解条件包括：给出初始 时刻温度分布即初始条件，以及给出物体 边界上的温度或换热情况即边界条件。
10K:Cu 12000 W (m ) 15K : Cu 7000 W (m )
(2)合金的导热：金属中掺入任何杂质将破坏晶 格的完整性，干扰自由电子的运动，导致导热 系数降低。依靠自由电子的迁移和晶格的振动， 主要依靠后者，因此温度升高，晶格振动加强， 导热增强。
常温下， λ纯铜=398 W/(m· K)， λ黄铜=109 W/(m· K) 黄铜成分：70%Cu, 30%Zn 金属（包括纯金属和合金）的加工过程也会造成晶 格的缺陷，从而导致导热系数降低。
• 导热问题的完整描述
– 初始条件+边界条件+导热微分方程 – 对于稳态导热，定解条件只需要边界条件
• 边界条件分类
– 第一类边界条件，规定边界上的温度值。 稳态导热： tw=常数 非稳态导热：tw = f1(τ)
– 第二类边界条件，规定边界上热流密度值 稳态导热： qw=常数 t 非稳态导热： qw f 2 ( )
注：温度梯度是矢量，以朝着温度增加的方向为正方向。
►热流密度矢量：等温面上某
点，以通过该点处最大热流密 度的方向为方向、数值上正好 等于沿该方向的热流密度。q
q qx i q y j q z k
• 当研究一维导热问题时，傅里叶定律可以表 示如下形式：
dt Φ A W dx Φ dt q W / m2 A dx
或 导热微分方程
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
常物性、无内热源的稳态二维导热问题，其导热微分 方程为。
t t 2 0 2 x y
2 2
y
a 铜
t t （ 1 ） x =0 ， t =t 1 λ铜> λ铁 0 2 2 x y x=b，t=t2 ρ铜> ρ铁
n w
– 第三类边界条件，规定边界上物体与周围流体 间的表面传热系数h及周围流体的温度tf
t h(t w tf ) n w
对于非稳态导热，h跟tf都可以是时间τ的函数
作业
• 1，2
注：为减轻不必要的负担，不需要抄题目。
•1 2 2 2 t t t t 解： ( 2 2 2) c x y z c
• 气体的导热系数 0.006~0.6 W (m )
– 气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时 发生的能量传递。一般来说，气体的导热系数 随温度升高而增大。 0℃时，λ空气=0.0244 W/(m· K) 20℃时，λ空气=0.0259 W/(m· K)
• 液体的导热系数 0.07~0.7 W
• 微元体热平衡式 导入总热流量+内热源生成热= 内能的增量+ 导出的总热流量
根据傅里叶定律得各方 向导入微元体的热量：
t x dydz; x t y dxdz; y t z dxdy; z
根据傅里叶定律得各方向导出微元体的热量：
x dx y dy z dz
2 2
x
b
y=0，t=t3 c铜< c铁 y=a，t=t4
y
Biblioteka Baidua 铁
从微分方程和边界条件，可以判 断最终获得的描述温度场的方程 中不包含物性参数λ 、ρ、 c，但是 包含边界条件中所涉及的参数， 而对于铜块和铁块，它们的边界 x 条件是相同的，所以对于第一种 b 情况温度场是相同的。
t t 2 0 2 x y
dxdydz
• 将各部代入微元体的热平衡式化解，可得导 热微分方程一般形式 2 2 2 t t t t ( 2 2 2) c x y z c
a=λ/ρc，热扩散率（导温系数），反映了导热过程中 材料的导热能力（λ）与沿途物质储热能力（ρc ） 之间的关系。a值大，说明物体的某一部分一旦获 得热量，该热量能在整个物体中很快扩散 对于稳态、非稳态、无内热源问题都可以对上述一般形 式相应的简化。如，稳态、无内热源条件下，可以简化 成 2t 2t 2t 2t=0 其数学表达简化形式▽ 0 x 2 y 2 z 2 ▽2拉普拉斯算子
t t dx dydz; x x t t dy dxdz; y y t t dz dxdy; z z
t c dxdydz

微元体内能的增量： 内热源生成热：
从微分方程和边界条件，可以 判断最终获得的描述温度场的 方程中包含物性参数λ，λ铜≠ λ铁 所以温度场不相同
从微分方程和边界条件，可以 h(t2 -tf ) dt 判断最终获得的描述温度场的 x b, dx x b 方程中包含物性参数λ，λ铜≠ λ铁 所以温度场不相同 t2未知， λ铜≠ λ铁，h相同 λ铜> λ铁 ρ铜 > ρ 铁 c铜< c铁