数学学科前沿讲座
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1
合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生 变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在 解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑 学思考问题的出发点。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。
由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。 19 世纪末，在拓扑学的孕育阶段，就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓 扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。拓扑学也是数学的一 个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它 们的距离和大小。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重
1.2 拓扑学
拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语 Τ 的音译。Topology 原意为地貌，于 19 世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。 发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。拓扑学是数学中一个重要的、基础 的分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质 (所谓连续变形，形象地说就 是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；wk.baidu.com在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定 目标、制定方案、建立模型、制定解法。虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学，但是在运筹学的 发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。
随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。运筹学本身也在不 断发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了。比如：数学规划（又包含线性规划；非线性规划； 整数规划；组合规划等）、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、博弈论、搜索论、 模拟等等。运筹学有广阔的应用领域，它已渗透到诸如服务、库存、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资 源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性等各个方面。
1.5.1 矩阵几何及应用
目前矩阵几何的发展主要有三个方面：一是将矩阵几何的研究推广到有零因子的环上；二是将矩阵几何基本 定理中的条件化简或寻找其它等价条件，并找出特殊情况下的简单证明；三是将矩阵几何的研究范围扩大到 保其它的几何不变量以及无限维算子代数中。
1.5.2 环上矩阵论及应用
四元数与四元数矩阵论在物理学，力学，计算机科学，工程技术中具有较好的应用，受到国内外工程技术界 的重视。矩阵方程在很多实际问题 (例如控制论，稳定性理论) 中有重要的作用，也是长期的研究热点。
主要研究方向：
1.1 非线性偏微分方程
非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用 来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。利用非线性偏微分方程 描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。本方向主要研究非线性偏微 分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。
2
1.4 运筹学
在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马。田忌赛马的故事 说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。可见，筹划安排是十 分重要的。
现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普 遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。前者提供模型，后者提供理论和方法。
在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是： 如果一个凸多面体的顶点数是 v、棱数是 e、面数是 f ，那么它们总有这样的关系：
f +v−e=2
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四 色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
1.5.5 代数学在计算机科学与信息科学的应用
随着信息化进程与因特网的深入与飞速发展，信息安全问题日益重要，保护网上信息安全是一个极为重要的 新课题。主要采用加密技术与数字鉴定，实际上是数学技术，主要用到代数学，组合数学与数论。图像压缩 处理是信息处理中的一个困难和极为重要的问题。
1.3 概率论与数理统计
研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果 的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到 100℃ 时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基 本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪 种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命 长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事 件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽 然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈 现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于 1/2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且 诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限 定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过 程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。 随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道 (即过程的 一次实现) 有关的问题，是现代概率论的主要课题。
1 应用数学
应用数学属于数学一级学科下的二级学科。应用数学是应用目的明确的数学理论和方法的总称，它是数学理 论知识与应用科学、工程技术等领域联系的重要纽带。应用数学主要研究具有实际背景或应用前景的数学理 论或方法，以数学各个分支的应用基础理论为研究主体，同时也研究自然科学、工程技术、信息、经济、管 理等科学中的数学问题，包括建立相应的数学模型、利用数学方法解决实际问题等。
数学学科前沿讲座
January 18, 2020
通过 16 个学时的学习，我对数学有大概的了解，也有一些自己的体会。下面就简要谈谈。 近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着 越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的 领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。因有数学，才有今天科技的繁荣，在我们 身边到处都有数学问题。今天科技领域也以数学为基础。如计算机的发展，一切理论都是数学家提出的，某 个物理学家要研究某个项目，都要以丰厚的数学功底为前提。在人们的生活中，时刻与数学打交道，可谓世 界因数学而精彩。既然数学有如此大的魅力，下面将粗略的介绍一下。 数学曾出现三次危机：无理数的发现——第一次数学危机；无穷小是零吗——第二次数学危机；悖论的 产生—第三次数学危机。数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完 全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。在悖论中逐渐成熟，进而到现在出现多个分支， 分为：基础数学、数论、代数学、几何学、拓扑学、函数论、常微分方程、偏微分方程、概率论、应用数学、 运筹学……
几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世 纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座 桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只 走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的 走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。欧拉经过分析，得出结论——不 可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是 拓扑学的“先声”。
运筹学的思想在古代就已经产生了。敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最 优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。但是作为一门数学学科，用纯数学 的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多了。也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一 门分支。运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。当然，随着 客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。运筹学 可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达 到最好的效果。
1.5.3 群论及应用
群论是代数学的基础，也是物理学的基本工具。典型群是群的一种很重要的类型。研究数域或整数环上一般 线性群的有限子群，用群的某些算术条件刻画群的结构并对其进行分类。
3
1.5.4 Clifford 代数, Hopf 代数及应用
目前，Clifford 代数，Hopf 代数己成为物理学中的热门工具。二维 Clifford 代数就是四元数。
拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨 1679 年提出的名词。十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调 研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。在拓扑学里不讨论两个图形全 等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它 们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。在一个球面上任选一些点用不相 交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数 目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓 扑变换，就存在拓扑等价。应该指出，环面不具有这个性质。把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成 一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同 的曲面。
运筹学是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是系统工程学和现 代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具。运筹学已被应用到各种管理工程中，在现代 化建设中发挥着重要作用。
1.5 代数学
代数学是数学的一个重要的基础分支。传统的代数学有群论，环论，模论，域论，线性代数与多重线性代数 (含矩阵论)，有限维代数，同调代数，范畴等。目前，代数学的发展有几个特征：其一是与其它数学分支交 叉，例如与几何，数论交叉产生了代数几何，算术几何，代数数论等目前数学主流方向，矩阵论与组合学交 叉产生了组合矩阵论。其二是代数学与计算科学，计算机科学的交叉，产生了计算代数，数学机械化，代数 密码学，代数自动机等新的方向。随着计算科学的发展，矩阵论仍处在发展的阶段，显示出其生命力。其三 是一些老的重要代数学分支从代数学中独立出来形成新的数学分支，如李群与李代数，代数 K 理论。
合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生 变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在 解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑 学思考问题的出发点。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。
由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。 19 世纪末，在拓扑学的孕育阶段，就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓 扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。拓扑学也是数学的一 个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它 们的距离和大小。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重
1.2 拓扑学
拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语 Τ 的音译。Topology 原意为地貌，于 19 世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。 发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。拓扑学是数学中一个重要的、基础 的分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质 (所谓连续变形，形象地说就 是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；wk.baidu.com在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定 目标、制定方案、建立模型、制定解法。虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学，但是在运筹学的 发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。
随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。运筹学本身也在不 断发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了。比如：数学规划（又包含线性规划；非线性规划； 整数规划；组合规划等）、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、博弈论、搜索论、 模拟等等。运筹学有广阔的应用领域，它已渗透到诸如服务、库存、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资 源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性等各个方面。
1.5.1 矩阵几何及应用
目前矩阵几何的发展主要有三个方面：一是将矩阵几何的研究推广到有零因子的环上；二是将矩阵几何基本 定理中的条件化简或寻找其它等价条件，并找出特殊情况下的简单证明；三是将矩阵几何的研究范围扩大到 保其它的几何不变量以及无限维算子代数中。
1.5.2 环上矩阵论及应用
四元数与四元数矩阵论在物理学，力学，计算机科学，工程技术中具有较好的应用，受到国内外工程技术界 的重视。矩阵方程在很多实际问题 (例如控制论，稳定性理论) 中有重要的作用，也是长期的研究热点。
主要研究方向：
1.1 非线性偏微分方程
非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用 来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。利用非线性偏微分方程 描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。本方向主要研究非线性偏微 分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。
2
1.4 运筹学
在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马。田忌赛马的故事 说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。可见，筹划安排是十 分重要的。
现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普 遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。前者提供模型，后者提供理论和方法。
在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是： 如果一个凸多面体的顶点数是 v、棱数是 e、面数是 f ，那么它们总有这样的关系：
f +v−e=2
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四 色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
1.5.5 代数学在计算机科学与信息科学的应用
随着信息化进程与因特网的深入与飞速发展，信息安全问题日益重要，保护网上信息安全是一个极为重要的 新课题。主要采用加密技术与数字鉴定，实际上是数学技术，主要用到代数学，组合数学与数论。图像压缩 处理是信息处理中的一个困难和极为重要的问题。
1.3 概率论与数理统计
研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果 的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到 100℃ 时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基 本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪 种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命 长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事 件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽 然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈 现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于 1/2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且 诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限 定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过 程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。 随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道 (即过程的 一次实现) 有关的问题，是现代概率论的主要课题。
1 应用数学
应用数学属于数学一级学科下的二级学科。应用数学是应用目的明确的数学理论和方法的总称，它是数学理 论知识与应用科学、工程技术等领域联系的重要纽带。应用数学主要研究具有实际背景或应用前景的数学理 论或方法，以数学各个分支的应用基础理论为研究主体，同时也研究自然科学、工程技术、信息、经济、管 理等科学中的数学问题，包括建立相应的数学模型、利用数学方法解决实际问题等。
数学学科前沿讲座
January 18, 2020
通过 16 个学时的学习，我对数学有大概的了解，也有一些自己的体会。下面就简要谈谈。 近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着 越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的 领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。因有数学，才有今天科技的繁荣，在我们 身边到处都有数学问题。今天科技领域也以数学为基础。如计算机的发展，一切理论都是数学家提出的，某 个物理学家要研究某个项目，都要以丰厚的数学功底为前提。在人们的生活中，时刻与数学打交道，可谓世 界因数学而精彩。既然数学有如此大的魅力，下面将粗略的介绍一下。 数学曾出现三次危机：无理数的发现——第一次数学危机；无穷小是零吗——第二次数学危机；悖论的 产生—第三次数学危机。数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完 全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。在悖论中逐渐成熟，进而到现在出现多个分支， 分为：基础数学、数论、代数学、几何学、拓扑学、函数论、常微分方程、偏微分方程、概率论、应用数学、 运筹学……
几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世 纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座 桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只 走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的 走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。欧拉经过分析，得出结论——不 可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是 拓扑学的“先声”。
运筹学的思想在古代就已经产生了。敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最 优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。但是作为一门数学学科，用纯数学 的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多了。也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一 门分支。运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。当然，随着 客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。运筹学 可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达 到最好的效果。
1.5.3 群论及应用
群论是代数学的基础，也是物理学的基本工具。典型群是群的一种很重要的类型。研究数域或整数环上一般 线性群的有限子群，用群的某些算术条件刻画群的结构并对其进行分类。
3
1.5.4 Clifford 代数, Hopf 代数及应用
目前，Clifford 代数，Hopf 代数己成为物理学中的热门工具。二维 Clifford 代数就是四元数。
拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨 1679 年提出的名词。十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调 研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。在拓扑学里不讨论两个图形全 等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它 们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。在一个球面上任选一些点用不相 交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数 目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓 扑变换，就存在拓扑等价。应该指出，环面不具有这个性质。把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成 一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同 的曲面。
运筹学是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是系统工程学和现 代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具。运筹学已被应用到各种管理工程中，在现代 化建设中发挥着重要作用。
1.5 代数学
代数学是数学的一个重要的基础分支。传统的代数学有群论，环论，模论，域论，线性代数与多重线性代数 (含矩阵论)，有限维代数，同调代数，范畴等。目前，代数学的发展有几个特征：其一是与其它数学分支交 叉，例如与几何，数论交叉产生了代数几何，算术几何，代数数论等目前数学主流方向，矩阵论与组合学交 叉产生了组合矩阵论。其二是代数学与计算科学，计算机科学的交叉，产生了计算代数，数学机械化，代数 密码学，代数自动机等新的方向。随着计算科学的发展，矩阵论仍处在发展的阶段，显示出其生命力。其三 是一些老的重要代数学分支从代数学中独立出来形成新的数学分支，如李群与李代数，代数 K 理论。