第2讲 整式的运算与因式分解

4.(2014滨州)写出一个运算结果是a6的算式 解析:本题是开放性问题,答案不唯一. 可以是:a2· a4,a· a5,(a2)3,a7÷a等.
(a3)2
.(答案不唯一)
5.(2013滨州)分解因式:5x2-20=
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5(x+2)(x-2)
.
解析:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取 公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 5x2-20=5(x2-4)=5(x+2)(x-2).
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代数式及其代数式的值
【例1】(2017泰州)已知2m-3n=-4,则代数式m(n-4)-n(m-6)的值为 8 .
思路点拨:本题是条件求值题,如何把所求的代数式变形向条件式靠拢是问题的关键.
其中用到了整体思想.
解析:∵2m-3n=-4, ∴m(n-4)-n(m-6)=mn-4m-mn+6n
相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数 不变 . ;如果
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同 括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相反 . 4.整式的加减 有括号就先 去括号 ,再 合并同类项 .
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5.幂的运算(常考点) (1)同底数幂的乘法:am· an= mn (2)幂的乘方:(am)n= a (3)积的乘方:(ab)n= 6.整式的乘法 (1)单项式乘以单项式:把它们的 系数 , 同底数幂 分别相乘,对于只在一个单 项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. (2)单项式乘以多项式:m(a+b+c)= ma+mb+mc . anbn (4)同底数幂的除法:am÷an= am+n (m,n为整数).
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与整式有关的规律探寻
【例7】(2016百色)观察下列各式的规律: (a-b)(a+b)=a2-b2 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4 …… 可得到(a-b)(a2 016+a2 015b+…+ab2 015+b2 016)=
(m,n为整数).
(n为整数). am-n (a≠0,m,n为整数).
(3)多项式乘以多项式:(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb
(4)乘法公式:(常考点) 平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 .
2 2 完全平方公式:(a±b)2= a ±2ab+b
.
.
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.
∵(x+1)(x-3)=x2-3x+x-3=x2-2x-3, ∴x2+ax+b=x2-2x-3,∴a=-2,b=-3.
故选B.
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3.(2012 滨州)求 1+2+22+23+…+22 012 的值,可令 S=1+2+22+23+…+22 012,则 2S=2+22+ 23+24+…+22 013,因此 2S-S=22 013-1.仿照以上推理,计算出 1+5+52+53+…+52 012 的值为 ( C ) (A)5
为(
A
)
(B)3a+4b (D)6a+4b
(A)3a+2b (C)6a+2b
思路点拨:本题思路有二,一是可以利用面积的差获得阴影面积,然后因式分解即得; 二是可借助直观图示,将其中一块小矩形拼接在较大矩形上. 解析:根据剪拼的过程中面积不变,可得拼成的矩形面积是(3a)2-(2b)2,将其进行因式 分解,即得(3a+2b)(3a-2b),所以这块矩形的较长的边长是3a+2b.故选A.
或 字母 也
的项叫做常
与
多项式
统称整式.
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整式的运算
6年4考
1.同类项 所含 字母 相同,并且相同字母的 指数 也相同的项叫做同类项,几个 常数 项也是 同类项. 2.合并同类项
(1)概念:把多项式中的
(2)法则:把同类项的 3.去括号法则
同类项 系数
合并成一项,叫做合并同类项.
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7.(2017滨州节选)计算:(a-b)(a2+ab+b2). 解:(a-b)(a2+ab+b2) =a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=a3-b3.
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整式的运算及有关概念、求代数式的值、乘法公式的应用、整式的恒等
变形的技能技巧等是整式部分的重要考点.试题多为选择、填空等客观题,因式分解为
为止(结果必须
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(1)因式分解最后的结果一定是几个整式的积,不可为分式与整式的积; (2)提公因式时,要分层进行,先考虑系数有无最大公约数,再考虑字母因数,要取相同
字母的最低次幂,最后考虑多项式,取相同多项式的最低次幂;(3)提取公因式时,若某
项被全部提出,留下的不是0,而是1;(4)因式分解要彻底,分解到不能分解为止.
(2)常用的求代数式的值的方法:直接代入求值法,化简代入求值法和整体代入求值法.
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整式及有关概念 1.单项式
(1)概念:只含有数字与 字母 乘积的代数式叫单项式,单独的一个 数
是单项式. (2)系数:单项式中的 2.多项式 (1)概念:几个单项式的 (2)项:多项式中的每个 数项. (3)次数:多项式里次数最 高 3.整式 单项式 项的次数,叫做这个多项式的次数. 和 叫做多项式. 单项式 叫做多项式的项,其中不含 字母 数字因数 (3)次数:单项式中所有的字母的 叫做单项式的系数. 指数 的和叫做这个单项式的次数.
解:(x+1)2+x(x-2)-(x+1)(x-1) =x2+2x+1+x2-2x-(x2-1) =x2+2x+1+x2-2x-x2+1 =x2+2.
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因式分解
【例5】(2017长春)如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形, 若拿掉边长为2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,则这块矩形较长的边长
4 m n， m 2, 解析:∵单项式-5x4y2m+n 与 2 017xm-ny2 是同类项,∴ 解得 ∴m-7n=16, 2 m n 2, n 2,
∴m-7n 的算术平方根为 16 =4.
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整式的运算 【例3】 (2017台州)下列计算正确的是( D )
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1.(2014滨州)一个代数式的值不能等于零,那么它是( B (A)a2 (B)a0
)
(C) a
(D)|a|
解析:当 a=0 时,a =0, a =0,|a|=0,故 A,C,D 中 a 可以等于 0,不符合题意;非 0 的 0 次幂等于 1,即 a0=1(a≠0).故 B 符合题意.故选 B.
=-4m+6n
=-2(2m-3n) =-2×(-4)=8.
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常见概念类 【例2】 (2017荆州)若单项式-5x4y2m+n与2 017xm-ny2是同类项,则m-7n的算术平方根 是 4 . 思路点拨:根据同类项的概念,可以获得关于m,n的二元一次方程组,进而确定m,n的值, 然后再利用算术平方根的定义求出m-7n的算术平方根.
2
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2.(2016滨州)把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x-3),则a,b的值分别是( (A)a=2,b=3 (C)a=-2,b=3 (B)a=-2,b=-3 (D)a=2,b=-3
B )
解析:运用多项式乘以多项式的法则求出(x+1)(x-3)的值,对比系数可以得到a,b的值
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【例6】 (2017山西)分解因式:(y+2x)2-(x+2y)2. 思路点拨:利用平方差公式将原式写成两个整式乘积的形式,再合并同类项,最后发现
公因式而提取公因式.
解:(y+2x)2-(x+2y)2 =[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)-(x+2y)] =(y+2x+x+2y)(y+2x-x-2y) =(3x+3y)(x-y) =3(x+y)(x-y).
a2
017-b2 017
.
思路点拨:根据已知等式,通过计算,发现并归纳总结得到一般性规律,写出所求式子
结果即可. 解析:(a-b)(a+b)=a2-b2;(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4;
……
可得到(a-b)(a2
016+a2 015b+…+ab2 015+b2 016)=a2 017-b2 017.
是方向相反的变形.
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(2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b),
a2±2ab+b2=(a±b)2. (3)十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 3.步骤 一提:有公因式要先 二套:再考虑应用 是整式). 提公因式 公式法 ; ;
三检查:因式分解的结果要彻底,每个因式要分解到 不能再分解
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6.(2013滨州)观察下列各式的计算过程:
5×5=0×1×100+25,
15×15=1×2×100+25, 25×25=2×3×100+25, 35×35=3×4×100+25, … 请猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为 100n(n-1)+25 .
解析:根据数字变化规律得出个位数字是5的相同两数的乘积等于十位数字乘以十位 数字加1再乘以100再加25,即 5×5=0×1×100+25,15×15=1×2×100+25,25×25=2× 3×100+25,35×35=3×4×100+25,… ∴第n个算式(n为正整数)应表示为100n(n-1)+25.
∵(a+b)2=a2+2ab+b2,∴选项C错误; ∵(a-b)2=a2-2ab+b2,∴选项D正确.故选D.
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【例4】 (2017海南)计算:(x+1)2+x(x-2)-(x+1)(x-1). 思路点拨:是单项式乘以多项式、两个乘法公式的综合题,需要注意的是最后一个多
项式要整体加括号.
(A)(a+2)(a-2)=a2-2
(B)(a+1)(a-2)=a2+a-2 (C)(a+b)2=a2+b2
(D)(a-b)2=a2-2ab+b2
思路点拨:本题以选择题的形式考查了多项式的乘法(含两个乘法公式),只要根据乘法 法则和公式逐一作出判断即可.
解析:∵(a+2)(a-2)=a2-4,∴选项A错误;∵(a+1)(a-2)=a2-a-2,∴选项B错误;
2 012
-1
(B)5
2 013
-1
52013 1 (C) 4
52012 1 (D) 4
2 3 2 012
解析:设 S=1+5+5 +5 +…+5 故选 C.
,则 5S=5+5 +5 +5 +…+5
2
3
4
2 013
,因此,5S-S=5
2 013
52013 1 -1,S= . 4
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必考的考点,题目难度中等,一般是提公因式法与公式法的结合题,因式分解的思想还 常常渗透到其他题目的解答中.整式的考题卷面占分约为3～7分.
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7.整式的除法 (1)单项式除以单项式:把 系数 与 同底数幂 分别相除作为商的因式,对于只在
被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. (2)多项式除以单项式:把这个多项式的 每一项 除以这个单项式,再把所得的商 相加 .
因式分解 1.概念 把一个多项式化成几个整式的 与 整式乘法 2.方法 (1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c) 积 的形式,叫做这个多项式的因式分解,因式分解 6年3考
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第 2讲
整式的运算与因式分解
代数式 1.代数式
6年1考
用基本运算符号把 数
2.列代数式
或表示数的 字母
连接而成的式子叫代数式.
把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代 数式. 3.代数式的值 (1)用 数值 代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值.