平新乔课后习题详解(第16讲--一般均衡与福利经济学的两个基本定理)

平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。

解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。

同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。

在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS =从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。

此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③ 联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。

进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。

图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。

证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。

系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为i k e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。

3．有一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下(){}11212,min ,u x x x x = ()130,0e =()212,2v p y p p =()20,20e =注意：第2个消费者的效用函数在这里是间接效用函数。

（1）发现瓦尔拉斯一般均衡。

（2）如果禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =，重新计算一般均衡。

解：（1）由消费者1的效用函数的形式可以得到相应的马歇尔需求函数为：11112121230p mx x p p p p ===++ 对消费者2，根据罗伊恒等式(),ii v p x p m v m∂∂=-∂∂，可以得到他的马歇尔需求函数为：22101,22i i ip m x i p p ===均衡时，每种商品市场都会出清，这就意味着：1212230202002p p p p p +-=+ 解得1212p p =，从而有：111210x x ==；2120x =；2210x =。

（2）若禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =。

此时消费者1的马歇尔需求函数为：1111212125p mx x p p p p ===++ 消费者2的马歇尔需求函数为：222i i ip mx p p ==，1,2i =。

由均衡时，每种商品市场出清，即：12122520p p p p p +-=+，解得1214p p =，进而可得11121x x ==；214x =，221x =。

4．假定在一个经济中只有三种商品（1x ，2x ，3x ），对于2x 与3x 的超额需求函数为221313/2/1ED p p p p =-+- 321314/2/2ED p p p p =-- （1）请证明这些函数关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。

（2）运用瓦尔拉斯法则表示，如果230ED ED ==，1ED 也一定为零。

能否同样用瓦尔拉斯法则去计算1ED ？（3）请解有关均衡相对价格21/p p 与31/p p 的方程组，32/p p 的均衡值是多少？解：（1）对任意的0t >，有：()()()()33222211113322331111321321422422tp p tp pED tp ED p tp tp p p tp p tp pED tp ED p tp tp p p =-+-=-+-==--=--=所以2ED 和3ED 关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。

（2）根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：1230ED ED ED ++= ①如果230ED ED ==由①可知10ED =，把2ED 和3ED 的表达式代入①式中，可以解得：332221111113214223p p p p pED p p p p p =-+-++=-+ （3）当市场达到均衡时，必有230ED ED ==，即：32113211321422p p p p p p p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得：213135p p p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩于是33122153p p p p p p ==。

5．考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。

消费者的效用函数与禀赋如下()()11121212,123 8,30u x x x x x x e =++= ()()22121212,89 10,10u x x x x x x e =++=求：（1）对两种物品的超额需求函数。

（2）为该经济决定均衡价格比率。

解：（1）由题设所给的效用函数可以得出每个消费者的马歇尔需求函数为：()()112111221212511,21 ,922p p x p p x p p p p =+⨯=⨯+ ()()222111221212119,9 ,122p p x p p x p p p p =+⨯=⨯+ 所以两种商品的超额需求函数为：12222111111121112222225181021918301522111910309140153022p p p ED x x p p p p pp ED x x p p p =+--=+++-=-=+--=⨯++⨯+-=-（2）当经济达到均衡时，每个市场的超额需求为零，即：2112301515300p pp p -=-= 解得：122p p =。

6．判断下列命题，并给出理由：（1）如果知道了契约线，则我们就知道了任何交易的结果。

（2）如果已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。

答：（1）错误。

理由如下：契约线是埃奇沃斯方框图中所有帕累托有效的分配点的集合，但是对于一个具体的交易而言，其最终结果还依赖于每个消费者的初始禀赋，如图16-2所示，其中A 和B 是初始禀赋点，可见不同的初始禀赋导致不同的均衡结果。

图16-2 不同的初始禀赋导致不同的均衡（2）错误。

理由如下：帕累托有效是指在不损害其他任何人的利益的条件下，不能使经济系统中某些人的境况变得更好。

但是如果允许损害某些人的利益，那么对帕累托有效的配置而言，就有可能使某些人的境况变得更好。

比如在一个包括两个消费者和一种商品的经济中，其中一个人拥有全部的商品，而另一个人一无所有，这是一个帕累托有效的配置；但是现在让情况反过来，使得原来一无所有的人拥有全部商品，那么这个人的境况就得到了改善。

7．请证明：在两物品、两个消费者的纯粹交易经济里，帕累托有效的一个必要条件是112211112222u x u x u x u x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 这里，上标表示人，下标表示物。

证明：根据定义，帕累托有效的资源配置可以通过以下最大化问题得到：()()12121122111122221212max,, 1,2x x x x i i i u x x u x x ux s x i t e =.+=.=，，，，构造这个问题的拉格朗日函数：()()()()()112211122212121212121211112222,,,,,L x x x x u x x u u x x x x e x x e λμμ⎡⎤=---+--+-⎣⎦效用最大化的一阶条件为：1111111111222222112222220000L u x x L u x x L u x x L u x x μμλμλμ∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂从而可得到：11221111122222u x u x u x u x μμ∂∂∂∂==∂∂∂∂8．在—个岛上，有200磅粮食要在两个孤立无援的水手之间分配。

第一个水手的效用函数为1u 1F 是由第一个水手消费的数量。

对于第二个水手，其粮食消费的效用函数为2u =（1）如果粮食在两个人之间平均分配，他们各自的效用是多少？ （2）如果他们的效用相等，粮食应如何分配？（3）要使两个人的效用之和最大，应如何分配粮食？（4）假设第二个水手的能够求生的效用水平是5，如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，应如何分配粮食？（5）假定两个水手都赞成的社会福利函数为1/21/212W u u =。

那么，在两个水手之间应怎样分配粮食才能使社会福利最大化？解：（1）如果粮食在两个人之间平均分配，即12100F F ==。

他们各自的效用分别是：110u ==20.55u == （2=时，解得120.25F F =。

又因为12200F F +=，从而解得140F =，2160F =。

故他们的效用相等，则第一个水手消费40磅粮食，第二个水手消费160磅粮食。

（3）两个人的效用和最大化问题为：121212..200.50F F F F F s F t +=，从约束条件中解出2F ，并把它代入目标函数式中，就有：()0.50.5110200max 0.5200F F F ≤≤+-从一阶条件解得：1160F =，240F =。

要使两人效用之和最大，第一个水手和第二个水手分别消费粮食160磅、40磅。