1.3 空间几何体的表面积与体积 教学设计 教案
1.3_空间几何体的表面积与体积(修改)优质课
P
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台)的 体积公式．
A
S
B
D
C
h
A
D
V VP ABCD VP ABCD
1 ( S S S S )h 3
S
C
B
台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如 何计算切割前的锥体的高？ 如何计算台体的体积？
'2
r
O
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式 之间有什么关系？
S ( r r 2 r ' l rl )
'2
l
r
O
r ' O’
l
l
r
O
O
S 2 r 2 2 rl 2 r (r l )
r
O
S r 2 rl r (r l )
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm， 盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm， 盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油 漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样 的花盆需要多少油漆（取 3.14,结果精确到 1毫升，可用计算器）？ 20cm
1. 本节课学习了柱体、椎体、台体的表面积求解 方法及公式，运用运动变化的观点看待三者之间 的联系更便于我们对空间几何体的了解和掌握。
圆柱 S 2 r (r l ) r r
柱体、锥体、 台体的表面积
圆台 (r 2 r 2 r l rl )
r 0
圆锥 展开图
解:设切割前的锥体的高为x, 则:
x 2 S x S ( ) xh S h S S S 1 1 x h V S (h x ) S x S S 3 3
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积一、教学目标：1. 让学生掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的空间想象力。
二、教学内容：1. 立方体、立方体的表面积和体积计算。
2. 圆柱体、圆柱体的表面积和体积计算。
3. 球体、球体的表面积和体积计算。
4. 锥体、锥体的表面积和体积计算。
5. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：重点：掌握常见空间几何体的表面积和体积计算公式。
难点：空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
3. 通过实例分析，让学生学会将空间几何知识应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾平面几何知识，引出空间几何体的概念。
2. 讲解立方体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
3. 讲解圆柱体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
4. 讲解球体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
5. 讲解锥体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
6. 分析空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用，让学生尝试解决实际问题。
7. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
9. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学评价：1. 通过课堂问答、练习题和课后作业，评估学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握情况。
2. 观察学生在解决实际问题时是否能灵活运用所学知识，评价其运用能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度、合作精神和创新能力进行评价。
七、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
2. 练习题：用于巩固学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握。
《圆柱、圆锥、圆台的表面积》教学设计
1.3.1 空间几何体的表面积和体积第2课时 圆柱、圆锥和圆台的表面积三维目标1.了解圆体、圆锥、圆台的表面积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力. 重点难点教学重点：了解圆体、圆锥、圆台的表面积计算公式及其应用. 教学难点：表面积计算公式的应用. 课时安排 1课时教学过程一、复习回顾①初中学过的平面图形的面积公式棱柱、棱锥、棱台的表面积 面积:平面图形所占平面的大小 体积:几何体所占空间的大小 表面积：几何体表面面积的大小二、导入新课思考：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，圆体、圆锥、圆台的侧面展开图是怎样的？你能否计算？我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l ，那么圆柱的底面面积为πr 2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S圆柱表=2πr(r+l)−−−←==rrr21S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)−−−→−==rrr21,0S圆锥表=πr(r+l).从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.练习：1、看图回答下列问题：2.一个圆柱形锅炉的底面半径为1m ,侧面展开图为正方形，则它的表面积为h=____SS==圆柱侧圆柱表____SS圆锥侧圆锥表==____SS==圆台侧圆台表2m2题 3题3.以直角边长为1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转，所得旋转体的表面积为____________. 典型例题例2、.如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm15cm孔直径为1.5 cm ，盆壁长15cm.为了美化花盆外观，需要涂油漆.已知每平方米用100ml 油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？（π取3.14，结果精确到1ml ） 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：2225.11522015215215⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS 21000()cm ≈20.1()m =涂１００个花盆需油漆：0.1100100⨯⨯=答：涂１００个这样的花盆约需要1000毫升油漆．例3、已知圆台的上、下底面半径分别是r 、R ， 且侧面积等于两底面积之和，求圆台的母线长。
高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》教案
⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。
该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。
3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。
难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。
《空间几何体的表面积和体积》教学设计
《空间几何体的表面积和体积》教学设计教材的地位和作用几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。
通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法和探索几何图形及其性质。
三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力空间想象能力在本章，学生将从对空间几何体的整体入手，认知空间图形；了解简单几何体的表面积和体积的计算方法。
学情分析学生是在义务教育阶段学习的基础上展开的，具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
同时思维的严密性还有待加强。
学习目标1、认识柱体、锥体、台体及其简单组合体的结构特征，认真了解它们的几何特征。
2、推导柱体、锥体、台体表面积和体积公式，会利用这些公式解决一些简单的实际问题。
3、认识球的结构特征，了解它的有关概念。
4、知道球的表面积和体积公式，并能解决一些简单的实际问题。
5、通过对柱体、锥体、台体及球的侧（表）面积公式和体积公式之间的关系，体验数学发现和创造的过程。
教学过程一、课题引入在初中我们学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，问：你知道①正方体和长方体的表面积与它们的展开图的面积的关系吗？②其他几何体的展开图与其表面积的关系吗？③棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的展开图是什么？④如何计算棱柱、棱锥、棱台的表面积？二、自学检测1、几何体的表面积，它表示___________________________；求多面体的表面积时，可以把多面体展成平面图形，利用__________________________的方法来求。
2、棱长为1的正四面体S－ABC的表面积为_______。
3、圆柱的侧面展开图是_________，若圆柱的底面半径为r，母线长为l,则圆柱的底面积为___，侧面积为_________，全面积为______。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积数学教案教案章节一：引言与立方体教学目标：1. 让学生了解空间几何体的概念。
2. 引导学生通过观察立方体来理解表面积和体积的定义。
教学内容：1. 介绍空间几何体的基本概念，如立方体、球体、圆柱体等。
2. 通过观察立方体的实物或模型，让学生理解表面积和体积的定义。
教学步骤：1. 引入空间几何体的概念，展示立方体的实物或模型。
2. 引导学生观察立方体的特征，如六个面、八个顶点等。
3. 解释表面积和体积的定义，让学生理解它们是描述空间几何体大小的重要指标。
作业布置：1. 让学生绘制一个立方体，并标注出它的表面积和体积。
教案章节二：立方体的表面积和体积计算教学目标：1. 让学生掌握立方体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍立方体的表面积和体积的计算公式。
2. 通过实例讲解如何运用公式计算立方体的表面积和体积。
1. 回顾立方体的特征，引导学生理解表面积和体积的计算方法。
2. 介绍立方体的表面积和体积的计算公式，如表面积=6a²，体积=a³。
3. 通过实例讲解如何运用公式计算立方体的表面积和体积，如给定边长a，计算表面积和体积。
作业布置：1. 让学生运用公式计算不同边长的立方体的表面积和体积，并进行比较。
教案章节三：球体的表面积和体积计算教学目标：1. 让学生掌握球体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍球体的表面积和体积的计算公式。
2. 通过实例讲解如何运用公式计算球体的表面积和体积。
教学步骤：1. 引导学生回顾立方体的表面积和体积计算方法，引出球体的概念。
2. 介绍球体的表面积和体积的计算公式，如表面积=4πr²，体积=4/3πr³。
3. 通过实例讲解如何运用公式计算球体的表面积和体积，如给定半径r，计算表面积和体积。
作业布置：1. 让学生运用公式计算不同半径的球体的表面积和体积，并进行比较。
高中数学_空间几何体的表面积与体积教学设计学情分析教材分析课后反思
《空间几何体的表面积和体积》教学设计教学过程教学环节教学活动设计意图课前补偿（1）已知圆的半径为r，则周长C= 面积S=（2）半径为r,弧长为a的扇形面积S=师生活动：学生课前完成，老师对（2）进行点拨。
复习前面学过的与本节知识有关的内容，为学好本节知识做好铺垫。
表面积公式推导及应用（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积：棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的，也就是。
例1.求各面都是边长为a的等边三角形的正四面体S-ABC的表面积。
师生活动：多面体和圆柱、圆锥的表面积公式的推导有学生自己完成，师生共同完成圆台的表面积公式的推导。
1、自主推导活动体现学生的自主性和调动学生的学习积极性。
2、圆台的推导过程让学生体会重要的数学方法“割补法。
”3、观察1的设计有助于学生对公式的记忆。
体积公式推导及应用师生活动：老师引导学生通过祖暅原理推导柱体和椎体的体积公式。
台体的体积公式的推导作为课后拓展学习内容。
通过几何画板展示椎体的体积与相应的柱体的体积之间的关系。
师生共同分析例2和变式中的几何体的结构特征，强调挖去和重叠的部分的表面积和体积的计算问题。
利用公式计算过程有学生自己完成。
1、台体的体积公式的过程复杂所以作为课后拓展学习内容。
拓展学生的知识视野。
2、例2和变式加强学生对体积和表面积公式的记忆。
3、通过几何画板展示椎体的体积公式的推导，提高学生的兴趣和注意力。
自我检测1.圆锥的底面直径为4，高为3，则其体积为：2.圆台的上、下底面半径3r'=,4r=，高h=6，则其体积为：3.直角三角形ABC的两直角边AB=3， AC=4 ，求AB为轴旋转所得几何体的表面积。
师生活动：学生自己完成。
老师对3题简单点拨。
通过3个小题对本节课的公式的加强记忆。
课堂小结以表格的形式复习几何体的表面积和体积公式。
师生活动：学习自己完成公式表格的填写，老师与学生一起分析公式之间的联系。
让学生们感受到公式不仅仅是枯燥的公式，同时还有蕴含在其中的概念和道理，让同学感受数学并不是枯燥单调的记公式。
几何体的表面积与体积计算教案
几何体的表面积与体积计算教案一、引言几何体的表面积与体积是数学中常见的计算问题，掌握其计算方法对于几何学的学习至关重要。
通过本教案的学习，学生将能够准确计算不同几何体的表面积与体积，并且理解其中的计算原理与方法。
二、教学目标1. 理解几何体表面积与体积的概念；2. 能够运用适当的公式计算不同几何体的表面积与体积；3. 培养学生的观察力、分析能力和解决实际问题的能力；4. 培养学生的团队合作意识和交流能力。
三、教学内容与教学步骤1. 立方体的表面积与体积计算- 引导学生观察立方体的特点，并引导他们思考立方体表面积与体积之间的关系。
- 告诉学生立方体的表面积公式为：表面积 = 6 ×边长的平方，体积公式为：体积 = 边长的立方。
- 给学生提供几个立方体的边长数据，让他们根据公式计算并填写表面积和体积。
2. 圆柱体的表面积与体积计算- 引导学生观察圆柱体的特点，并引导他们思考圆柱体表面积与体积之间的关系。
- 告诉学生圆柱体的表面积公式为：表面积= 2π × 半径 ×（半径 + 高度），体积公式为：体积= π × 半径的平方 ×高度。
- 给学生提供几个圆柱体的半径和高度数据，让他们根据公式计算并填写表面积和体积。
3. 锥体的表面积与体积计算- 引导学生观察锥体的特点，并引导他们思考锥体表面积与体积之间的关系。
- 告诉学生锥体的表面积公式为：表面积= π × 半径 ×（半径 + 斜高），体积公式为：体积= 1/3 × π × 半径的平方 ×高度。
- 给学生提供几个锥体的半径、斜高和高度数据，让他们根据公式计算并填写表面积和体积。
4. 教学总结与拓展- 让学生总结本节课所学的不同几何体的表面积与体积公式，并核对计算结果的准确性。
- 给学生拓展更多几何体计算的例子，让他们尝试自主解决问题并运用所学的知识。
四、教学评价与反馈在教学过程中，可以通过以下方式对学生进行评价与反馈：1. 课堂练习：设计一些实用题目让学生运用所学的知识进行计算，并即时给予反馈。
空间几何体的表面积和体积(教案)
41 中高三 数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积一．命题走向由于本讲公式多反映在考题上，预测 008 年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（ 2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题；．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中 S 表示面积， c ′、 c 分别表示上、 下底面周长， h 表斜高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式表中 l 、h 分别表示母线、 高，r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径， r 1 、r 2 分别表示圆台 上、下底面半径， R 表示半径。
四．典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1．一个长方体全面积是 20cm 2，所有棱长的和是 24cm ，求长方体的对角线长解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm 、ycm 、zcm 、 lcm4(x y z) 24 (2)由( 2)2 得： x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36 (3) 由( 3)－( 1)得 x 2+y 2+z 2=16 即 l 2=16 所以 l=4(cm) 。
依题意得： 2(xy yz zx) 20 (1)点评： 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主， 而直棱柱中又以正方体、 长方体的表 面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、 体积之间的关系。
例 2．如图，三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，若 E 、 F 分别为 AB 、AC 的中点，平面 EB 1C 1将三棱柱分 成体积为 V 1、V 2的两部分，那么 V 1∶ V 2= 。
解：设三棱柱的高为 h ，上下底的面积为 ∵E 、F 分别为 AB 、AC 的中点，1∴ S △ AEF = S,41 1 1 7 V 1= h （S+ S+ S ）= Sh344 12V 2=Sh-V 1= 5 Sh ，12∴V 1∶V 2=7∶5。
高中数学《空间几何体的表面积与体积-体积》教案7 苏教版必修2
课题：空间几何体的体积
一、教学目标：
⒈知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法，理解祖暅原理，会应用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。
⒉能力目标：通过学习祖暅原理，理解祖暅原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。
⒊德育目标：学生通过学习祖暅原理，了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：
重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。
难点是对祖暅原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用。
三、教学方法与教学手段：
教学方法：本节课的课型为“新授课”。
虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式，但用的是实验验证的方法，并没有从根本上理解圆柱、圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。
高中数学第一章第三节空间几何体的表面积和体积(1)教学设计新人教A版必修2
知识与技能
教学重点
柱体、锥体、台体的表面积的计算
教学难点 教学方法 教学准备 教学步骤
台体表面积与体积公式的推导 自主学习、小组讨论法、师生互动法。 导学、课件。 教什么 复习复 习长方 体、正 怎样教 新课引入，通过对长方体、正方体的表 面积及展开图引入求几何体的展开图和表面 积（出示《课件 1》 ） (1)正方体是由多个图形围成的多面体， 它的 表面积就是各个面的面积和，也就是展开图 的面积. （2） 长方体是由多个图形围成的多面体， 它 的表面积就是各个面的面积和，也就是展开 图的面积. 如何组织教学 同学们， 我们已 经学习了长方体、 正 方体的表面积及展 开图， 今天我们进一 步学习柱体、锥体、 台体的展开图和表 面积，请看多媒体， 先复习一下长方体、 正方体的展开图和
'2 2 '
锥、 圆柱的表面积的
公式的 关系
当 r=
时得到圆柱的表面积 S
圆 柱 表
关系。 回答的很好， 请看多
=2 r (r l ) 当 时得到圆锥的表面积 S
圆 锥 表
媒体（出示《课件 3》 ） 比较圆柱、 圆锥、 圆 台的表面积公式 体积公式， 你能发现 三者之间的关系 吗？圆柱、 圆锥是否 可以看作 “特殊” 的 圆台？
1.3 空间几何体的表面积与体积（第 1 课时）
设计者：田许龙 教学内容 空间几何体的表面积 1.了解求多面体表面积的方法. 2.理解柱、锥、台、球的表面积计算公式，并能灵活运用 公式解决有关实际问题. 3.培养学生空间想象能力和思维能力. 通过长方体、正方体的表面积，掌握棱柱、棱锥、圆柱、 圆锥、棱台、圆台的表面积，培养学生学会观察、分析、 教学目标 过程与方法 推理、论证的思维方法，培养学生空间想象能力，领悟数 形结合的数学思想。 通过对生活中事物联系课本知识，培养学生主动探 情感、态度与价 索、 勇于发现的求知精神； 养成细心观察、 认真分析、 值观 善于总结的良好思维习惯.
高中数学必修2第一章第三节《空间几何体的表面积与体积》全套教案
空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。
《空间几何体的表面积与体积》教学设计
《空间几何体的表面积与体积》教学设计授课人：陈泽宇学号：1307010310【教学目标】一、知识技能：1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法2.能运用公式求解柱体、锥体和台体表面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系3.培养学生空间想象能力和思维能力二、教学方法：1.通过展开空间几何体来让同学感知几何体的形状2.通过比较来联系柱体、锥体和台体之间表面积的关系三、解决问题：空间想象能力联系立体几何表面积公式的证明四、态度情感：通过学习加强学生的空间想象能力，并且加强同学们对空间图形的感知力和思考能力【教学对象】高二学生【教学重点】柱体、锥体、台体的表面积【教学难点】柱体、椎体、台体表面积公式的推导【教学策略】将讲课与现实以及课题练习相结合【教学资源与工具】纸制立体图形，PPT投影仪【教学过程设计】1、教学流程2.教学过程教学流程教学内容设计意图情景带入约2分钟1．回顾棱柱、棱台等空间几何体的概念，并引出直棱柱和正棱柱的概念2．由平面几何的面积引出空间几何体的表面积3．由易拉罐表面镀锌的量引出空间几何体的表面积在日常生活中的等等作用回顾之前的知识，进行巩固并使新知识不是特别陌生。
生活中的事例可以让新知识的引入不再生硬抽象，让表面积这一概念更加具象化知识探究约3分钟1.将提前准备好的空间几何体的实物给同学们展示，并将其展开来2.根据上图来引导同学对该直棱柱的表面积进行分析和讲解直观地面对实体比简单而抽象的概念更加深入学生的心。
引导学生求面积而不是直接告诉同学们公式，这样可以让学生知道“为什么”而不仅仅知道“是什么”解难拓展约4分钟1．对正棱锥和正棱台的概念进行讲解2．让同学们根据之前对正棱柱的分析来自己进行分解并求面积让同学们自己进行分析可以让其自行感受一个概念产生的过程，并且让【板书设计】。
《空间几何体的表面积和体积》片段教学设计与反思.doc
《空间儿何体的表面积和体积》片段教学设计与反思东莞市石龙中学堇欣课题《空间儿何体的表面积和体积》（高中数学人教A版必修二）环节一：明确木节课的学习F1标1.熟练掌握己知空间儿何体的三视图如何求其表面积和体积.2.先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题.3.通过研究性学习，培养学生的整体性思维.环节二：由学生画多面体（正四棱柱）、圆柱、圆锥、圆台师：引导把上节课所学到的斜二测法用到画棱柱、圆柱、圆锥、圆台中生：学生对立体图形的画法把握还是不够清晰，画出来的立体图很容易把虚线部分遗忘掉。
师：强调看的见的部分用实线表示，看不见的部分用虚线表示。
圆柱园锥圆台中的圆在立体图中应该是一个椭圆。
纠正学生在实际中可能会犯到的错误。
这个环节可以培养学生空间想象能力和实际操作能力。
环节三：由学生画多面体（正四棱柱）、圆柱、圆锥、圆台的所有面的展开图生：有的学生空间想象力好，画的很快；有的同学动手能力稍微弱一点。
培养学生对空间儿何的兴趣，也可以通过实际操作使学生获得学习的成就感。
环节四：由学生求多面体（止四棱柱）、I员I柱、I员I锥、圆台的所有面的展开图得面积和师：引导学生固定各个儿何图形的长宽高、底面半径与母线长，然后分别求出各个面的面积，最后得到多面体、柱体、椎体、台体的表面积。
最后整理成表格。
1.多面体的面积和体积公式2.旋转体的面积和体积公式环节五：设置问题如何求出四棱台的表面积和体积［分析解答,板书］3、锥体的体积：1图2画出四棱台直观图来分析怎样求表面积.由三视图所示,知道该四棱台的高为2 cm,上底而为一个边长为12 cm 的正方形，下底而为一个边长为20 cm 的正方形.我们 知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上，下底面面积的总和.所以关键是 求出四棱台四个侧面的面积，因为它的四个侧面的面积相等，所以只要求出其中一个 侧面面积,问题就解决了.下面我们先求出四棱台ABCD 面上的斜高，过点A 作AE1 CD,AO 垂直底面于点O,连接OE,已知AO=2 cm,则AE 为四棱台ABCD 面上的斜高: AE=20-1222+22=25 cm所以四棱台的表面积和体积分别为：S 四棱台=s 四棱台侧+S 上底+S 下底=4x12+202x25+12x12+20x20=(1285+544)(cm2)［学生活动］请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么(让学生思考)［总结归纳］求组合儿何体的表面积的时候容易出错.环节六：课堂针对性练习 环节七：引导学生把以上表格的体积填满师：空间儿何体的体积就是空间儿何体所占空间的大小，学习了空间儿何体的表面 积之后就要研究它的体积了。
几何体的表面积与体积教案
几何体的表面积与体积教案一、引言在几何学中，几何体是常见的一个概念，它是由一组面、边和顶点组成的三维物体。
学生在初中数学中学习几何体时，通常需要了解如何计算几何体的表面积和体积。
本教案将介绍如何教学生计算几何体的表面积和体积，并提供相应的活动和实例。
二、教学目标1. 理解几何体的表面积和体积的概念；2. 掌握计算常见几何体（如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等）的表面积和体积的方法；3. 能够应用所学知识解决与几何体表面积和体积相关的问题。
三、教学步骤1. 引入概念引导学生回顾二维几何图形的面积和三维几何体的体积的概念，并让他们思考如何计算几何体的表面积和体积。
2. 计算表面积针对不同的几何体，依次介绍如何计算其表面积，并使用示意图和具体的计算公式进行讲解。
例如：- 长方体：表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)- 正方体：表面积 = 6×边长的平方- 圆柱体：表面积= 2π×半径×(半径+高)- 圆锥体：表面积= π×半径×(半径+斜高)3. 计算体积类似地，针对不同的几何体，逐步介绍如何计算其体积，并给出计算公式和相应的示例。
例如：- 长方体：体积 = 长×宽×高- 正方体：体积 = 边长的立方- 圆柱体：体积= π×半径的平方×高- 圆锥体：体积= 1/3×π×半径的平方×高4. 练习活动提供一些练习题，让学生通过实际计算，巩固所学知识。
例如： - 一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，请计算其表面积和体积。
- 一个正方体的边长为6cm，请计算其表面积和体积。
- 一个圆柱体的底面半径为2cm，高为8cm，请计算其表面积和体积。
5. 拓展应用引导学生思考如何应用几何体的表面积和体积相关的知识解决实际问题。
例如：- 如果一个长方体的体积为1000cm³，长和宽的比是3：2，求其高的长度。
柱、锥、台的表面积与体积教案
第一章空间立体几何初步1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1柱、锥、台的表面积与体积一、学习目标1．知识与技能(1)理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义．(2)了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式．能够运用柱、锥、台的表面积与体积公式求简单几何体的表面积与体积．(重点)(3)了解球的表面积与体积公式.(4)会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点)2．过程与方法(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状．(2)让学生通过对照比较，发现柱体、锥体、台体三者间体积的关系．(3)通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系．3．情感、态度与价值观使学生通过表面积与体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想，从而增强学习的积极性．二、重点、难点重点：棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算．难点：棱台的表面积公式的推导．重难点突破：先从学生熟悉的正方体和长方体的展开图为切入点，分析几何体的展开图与其表面积的关系，然后通过“探究”和“思考”引导学生归纳棱柱、棱锥和棱台的表面积公式，并让学生熟悉并掌握球的表面积公式．三、教学方法类比、练习、自学四、专家建议通过对柱、锥、台的表面积与体积的学习探究，明确柱体、锥体、台体三者间体积的关系，明确表面积与体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想。
五、教学过程●新知探究知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积【问题导思】1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？【提示】相等．2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？【提示】是．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．知识点2 圆柱、圆锥、圆台的表面积【问题导思】圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？【提示】不相等．2．如何计算上述几何体的表面积？【提示】几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径为r′，r，母线长为l)底面积S底＝πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2) 侧面积S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′l＋rl)表面积S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l)S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)【问题导思】1．正方体、长方体、圆柱的体积公式如何表示？【提示】V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．2．上述体积公式对所有柱体都适用吗？【提示】都适用．1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明：祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据．2．柱、锥、台、球的体积其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥13Sh圆锥13πr2h台体棱台13h(S＋SS′＋S′)圆台13πh(r 2＋rr′＋r′2)●典例分析类型1 求棱柱、棱锥、棱台的表面积例1.已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积．【分析】根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解．【解析】 如图所示，设正四棱锥的高为PO ，斜高为PE ，底面边心距为OE ，它们组成一个直角三角形POE.∵OE ＝42＝2，∠OPE ＝30°，∴PE ＝OE sin 30°＝212＝4.∴S 正四棱锥侧＝12ch ′＝12×(4×4)×4＝32，S 表面积＝42＋32＝48.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.方法总结：1．要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量．2．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成． 变式训练：(2013·XX 高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．180B ．200C ．220D ．240【解析】 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱．等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240，故选D.【答案】 D类型2 求圆柱、圆锥、圆台的表面积图1－1－64例2．如图1－1－64所示，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．【分析】分析几何体的形状――→选择表面积公式求表面积【解析】以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋（16－4）2＝13 (cm)．∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2)．方法总结：1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．变式训练：在题设条件不变的情况下，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．【解】 以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示： 其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD ＝4 cm ，故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm 2)．类型三求柱体的体积例3．(2014·XX 高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3【分析】三视图――→还原几何体――→是否分割计算体积 【解析】该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．【答案】 B方法总结：1．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．变式训练：一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A ．16＋42B ．12＋4 2C ．8D ．4【解析】 由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为12×2×2×2＝4，选D.【答案】 D类型4 求锥体的体积例4.如图三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC ，三棱锥B －A 1B 1C ，三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．【分析】AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→计算VA 1－ABC ―→计算VC －A 1B 1C 1―→计算VB －A 1B 1C【解析】 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S.∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh.又V 台＝13h(S ＋4S ＋2S)＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.方法总结：三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．变式训练：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A.23B.76C.45D.56【解析】 如图，去掉的一个棱锥的体积是13×⎝⎛⎭⎫12×12×12×12＝148，剩余几何体的体积是1－8×148＝56.【答案】 D类型5 求台体的体积例5.已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积是780 cm 2.求正四棱台的体积． 【分析】可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积． 【解析】如图所示，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－（OE －O 1E 1）2＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20) ＝2 800 (cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3.方法总结：求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．变式训练：本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积．”【解】如图，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，则O1B1＝ 2 cm，OB＝2 2 cm，过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，BB1＝2 cm，MB＝(22－2)＝ 2 (cm)．根据勾股定理MB1＝BB21－MB2＝22－（2）2＝2(cm)．S上＝22＝4 (cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝283 2 (cm3)．六、课堂总结一、柱、锥、台的表面积1．如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的表面积S表＝2(ab＋bc＋ac)；如果正方体的棱长为a，那么它的表面积为S表＝6a2.2．求棱锥的表面积，可以先求侧面积，再求底面积．求侧面积，要清楚各侧面三角形的形状，并找出求其面积的条件．求底面积，要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件．3．求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间关系的桥梁．二、柱、锥、台的体积1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，圆台的轴截面是梯形．2．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台的体积计算问题．七、板书设计柱、锥、台的表面积与体积学习目标(1)理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义．(2)了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式．能够运用柱、锥、台的表面积与体积公式求简单几何体的表面积与体积．(重点)(3)了解球的表面积与体积公式.知识点解析1.棱柱、棱锥、棱台的表面积2.圆柱、圆锥、圆台的表面积3. 柱体、锥体、台体的体积注意事项：1．典例分析例1例2例3例4学生练习小结：作业当堂检测反馈八、当堂检测1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是() A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【解析】 由已知得底面边长为1，侧棱长为6－2＝2.∴S 侧＝1×2×4＝8. 【答案】 D2．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则长方体的体积与表面积分别为() A ．6，22B ．3，22C ．6，11D ．3，11【解析】 V ＝1×2×3＝6，S ＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22. 【答案】 A3．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于() A ．72 B ．42π C ．67π D ．72π【解析】 S 圆台表＝S 圆台侧＋S 上底＋S 下底＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 【答案】 C4．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的表面积为() A.3＋34a 2 B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2【解析】 底面边长为a ，则斜高为a2，故S 侧＝3×12a ×12a ＝34a 2.而S 底＝34a 2，故S 表＝3＋34a 2.【答案】 A5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是()A.16B.13C.12D ．1 【解析】 三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16. 【答案】 A6．根据图中标出的尺寸，求各几何体的体积．【解】 (1)该几何体是圆锥，高h ＝10，底面半径r ＝3，所以底面积S ＝πr 2＝9π，则V ＝13Sh ＝13×9π×10＝30π.(2)该几何体是正四棱台，两底面中心连线就是高h ＝6，上底面面积S 上＝64，下底面面积S 下＝144，则V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ＝13×(64＋144＋64×144)×6＝608. 九、课后延伸1.如图所示，已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝2 cm ，下底BC ＝10 cm ，底角∠ABC ＝60°，现绕腰AB 旋转一周，求所得的旋转体的体积．【分析】分析旋转体的特征→分割→对每部分几何体求体积→求组合体的体积【解析】过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，Rt △BCF 绕AB 旋转一周形成以CF 为底面半径，BC 为母线长的圆锥；直角梯形CFED 绕AB 旋转一周形成圆台；直角三角形ADE 绕AB 旋转一周形成圆锥，那么梯形ABCD 绕AB 旋转一周所得的几何体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点、以DE 为底面半径的圆锥的组合体．∵AD ＝2，BC ＝10，∠ABC ＝60°， ∴在Rt △BCF 中，BF ＝5，FC ＝5 3. ∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠ABC ＝60°， ∴在Rt △ADE 中，DE ＝3，AE ＝1. 又在等腰梯形ABCD 中可求AB ＝8， ∴AF ＝AB －BF ＝8－5＝3，EF ＝AE ＋AF ＝4，∴旋转后所得几何体的体积为V ＝13π·BF ·FC 2＋13π·EF ·(DE 2＋FC 2＋DE·FC)－13π·AE ·DE 2 ＝13π·5·(53)2＋13π·4·[(3)2＋(53)2＋3·53]－13π·1·(3)2＝248π(cm 3) 故所得的旋转体的体积为248π cm 3.方法总结：求组合体的体积时，常根据相应情况把它分解成柱、锥、台体等后分别求体积，然后求代数和． 变式训练：y ＝|x|和y ＝3围成的封闭平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积与绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积之比是()A ．4∶1B ．1∶4C ．(1＋2)∶(4＋22)D ．以上都不对【解析】 如图．封闭平面图形为△AOB ，绕y 轴旋转一周所得几何体的体积V 1＝13π×32×3＝9π，△AOB 绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为V 2＝π×32×6－2×13π×32×3＝36π，∴V 1∶V 2＝9π∶36π＝1∶4.【答案】 B2.如果一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积是()A ．(80＋162)cm 2B ．96 cm 2C ．(96＋162)cm 2D ．112 cm 2【分析】通过三视图的知识及几何体表面积公式求解．【解析】 由题意知该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体．正方体五个面的面积和为80 cm 2；正四棱锥的侧面积为16 2 cm 2.【答案】 A方法总结：解决与三视图有关的几何体的问题，首先要想象或画出直观图，然后再去求解． 变式训练：某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A ．32B ．16＋16 2人教A 版数学教案必修2 第一章1.3 第一课时 第11页共11页C ．48D ．16＋32 2 【解析】 由三视图还原几何体的直观图如图所示．S 表＝⎝⎛⎭⎫12×4×22×4＋4×4＝16＋16 2. 【答案】 B。
空间几何体的表面积与体积教案
空间⼏何体的表⾯积与体积教案空间⼏何体的表⾯积与体积⼀、柱体、锥体、台体的表⾯积A .多⾯体的表⾯积1.多⾯体的表⾯积求法：求平⾯展开图的⾯积注：把多⾯体的各个⾯平铺在平⾯上，所得图形称之为多⾯体的平⾯积展开图.2.直棱柱的侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：S cl =（其中c 为底⾯周长，l 为侧棱长）；（2）表⾯积：侧⾯积＋两底⾯积. （3）推论：①正棱柱的侧⾯积：S cl =（其中c 为底⾯周长，l 为侧棱长）.②长⽅体的表⾯积：2()S ab bc ca =++.（其中,,a b c 分别为长⽅体的长宽⾼）③正⽅体的表⾯积：26S a =（a 为正⽅体的棱长）. 3.斜棱柱侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积：①求法：作出直截⾯（如图）；注：这种处理⽅法蕴含着割补思想.②公式：S cl =（其中c 为直截⾯周长，l 为侧棱长）；（2）表⾯积：侧⾯积＋两底⾯积. 4.正棱锥的侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：12S ch '=（其中c 为底⾯周长，h '为斜⾼）；（2）表⾯积：侧⾯积＋底⾯积.5.正棱台的侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：1()2S c c h ''=+（其中c 、c '为底⾯周长，h '为斜⾼）；（2）表⾯积：侧⾯积＋两底⾯积.6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧⾯积公式间的内在联系：B .旋转体的表⾯积2r πlr①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：2S rl π=（r 为两底半径，l 为母线长）；（2）表⾯积：2()S r r l π=+.2.圆锥的侧⾯积与表⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：S rl π=；（2）表⾯积：()S r r l π=+（r 为两底半径，l 为母线长）.事实上：圆锥侧⾯展开图为扇形，扇形弧长为2r π，半径为圆锥母线l ，故⾯积为122r l rl ππ??=.3.圆台的侧⾯积与表⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：()S r R l π=+；事实上：圆台侧⾯展开图为扇环，扇环的弧长分别为2r π、2R π，半径分别为x 、x l +，故圆台侧⾯积为112()2()22S R x l r x R r x Rl ππππ=??+-??=-+，∵()x l R r x rl r R r=?-=-，∴()S r R l π=+.（2）表⾯积：22()r R r R l πππ+++.（r 、R 分别为上、下底⾯半径，l 为母线长） 4.圆柱、圆锥、圆台的侧⾯积公式间的内在联系：⼆、柱体、锥体、台体的体积A .棱柱、棱锥、棱台的体积1.棱柱体积公式：V Sh =（h 为⾼，S 为底⾯⾯积）；2.棱锥体积公式：13V Sh =（h 为⾼，S 为底⾯⾯积）；3.棱台体积公式：121()3V S S h =棱台（h 为⾼，1S 、2S 分别为两底⾯⾯积）.事实上，设⼩棱锥⾼为x ，则⼤棱锥⾼为x h +.于是212211111()()3333V S x h S x S h S S x =+-=+-.∵V S h x S h S S h =+=+=.4.棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：2r πllrh2Sx1S2R π2rπ xRrxlB .圆柱、圆锥、圆台的体积1.圆柱的体积：2V r h π=（h 为⾼，r 为底⾯半径）.2.圆锥的体积：213V R h π=（h 为⾼，R 为底⾯半径）.3.圆台的体积：221()3事实上，设⼩圆锥⾼为x ，则⼤圆锥⾼为x h +（如图）.于是2221111()()()3333V R x h r h R r R r x R h ππππ=+-=+-+.∵()x r x r R r x rh x h R h R r =?=?-=+-，∴222111()()333V R r rh R h r rR R h πππ=++=++. 4.圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：三、球的体积与表⾯积1.球的体积 343V R π=.2.球的表⾯积 24S R π=.四、题型⽰例A.直⽤公式求⾯积、求体积例1 （1）⼀个正三棱柱的底⾯边长为4，侧棱长为10，求其侧⾯积、表⾯积和体积；侧⾯积：120；表⾯积：120+；体积（2）⼀个圆台，上、下底⾯半径分别为10、20，母线与底⾯的夹⾓为60°，求圆台的侧⾯积、表⾯积和体积；侧⾯积：600π；表⾯积：1100π. （3）已知球的表⾯积是64π，求它的体积. 结果：2563π.（4）在长⽅体1111ABCD A B C D -中，⽤截⾯截下⼀个棱锥11C A DD -，求棱锥11C A DD -的体积与剩余部分的体积之⽐.结果1:5.练习：Rrx lh1.已知正四棱锥底⾯正⽅形的边长为4cm ，⾼与斜⾼的夹⾓为30，求正四棱锥的侧⾯积和表⾯积. 结果：232cm ，2结果：.3.正⽅体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则沿⾯对⾓线AC 、1AB 、1CB 截得的三棱锥1B ACB -的体积为 CA .12B .13C .16D .1 4.已知正四棱台两底⾯均为正⽅形，边长分别为4cm 、8cm ，求它的侧⾯积和体积.结果：侧⾯积：33. 5.正四棱锥S ABCD -各侧⾯均为正三⾓形，侧棱长为5，求它的侧⾯积、表⾯积和体积.结果：侧⾯积：25(1. 6.，则以该正⽅体各个⾯的中⼼为顶点的凸多⾯体的体积为 .B.根据三视图求⾯积、体积例3 ⼀空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为A.2π+ B.4π+ C.2π+D练习：1.⼀个底⾯为正三⾓形，侧棱于底⾯垂直的棱柱的三视图如图所⽰，则这个棱柱的体积为 .结果：2.下图是⼀个空间⼏何体的正视图、侧视图、俯视图，如果直⾓三⾓形的直⾓边长均为1，那么这个⼏何体的体积为 A .1 B .1 2C .13D .16答案：C.俯视图22正（主）视图2 侧（左）视图222正视图侧视图俯视图4正视图侧视图俯视图3.如图是某⼏何体的三视图，其中正视图是腰长为3的等腰三⾓形，俯视图是半径为1的半圆，该⼏何体的体积是 A .2π B .22π C .π D .434.已知⼀个组合体的三视图如图所⽰，请根据具体的数据，计算该组合体的体积.提⽰：该组合体结构为：上部是⼀个圆锥，中部是⼀个圆柱，下部也是⼀个圆柱. 结果：1763π.5.下图是⼀个⼏何体的三视图，根据图中数据，可得该⼏何体的表⾯积是 DA .9πB .10πC .11πD .12πC.⼏何体表⾯上最短距离问题例三棱锥P ABC -的侧棱长均为1，且侧棱间的夹⾓都是40?，动点M 在PB 上移动，动点N 在PC 上移动，求AM MN NA ++的最⼩值. 结果：3.D.与球有关的组合问题例1（1）若棱长为3的正⽅体的顶点都在同⼀球⾯上，则该球的表⾯积为 . 结果:27π.（2）若⼀个球内切于棱长为3的正⽅体，则该球的体积为 . 结果:92π.例2 有⼀个倒圆锥形容器，它的轴截⾯是⼀个正三⾓形，在容器内放⼀个半径为的铁球，并注⼊⽔，使球浸没在⽔中并使⽔⾯正好与球相切，然后将球取出，求这时容器中⽔的深度.结果：315r .变式训练：1.长⽅体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，则其外接球的体积为 .2.求棱长为1的正四⾯体的外接球、内切球的表⾯积.注：棱长为的正四⾯体中常⽤数据：（1）⾼：6a ，中⼼到顶点距离：6a ，中⼼到⾯距离：6a ，中⼼到顶点距离：中⼼到⾯的距离=3：1. （2）全⾯积：23a ，体积：32a .（3）对棱距离：2a . （4）棱⾯⾓：3aiccosa 或6aicsin ，⾯⾯⾓：1aiccos 3或22aicsin .正视图侧视图俯视图俯视图10110142E.⼏个重要结论的补充及应⽤结论1 锥体平⾏截⾯性质锥体平⾏截⾯与锥体底⾯相似，且与底⾯积⽐等于两锥侧⾯积⾯积⽐，等于两锥全⾯积⾯积⽐，等于两锥对应线段（对应⾼、对应斜⾼、对应对⾓线、对应底边长）⽐的平⽅.结论2 若圆锥母线长为l ，底⾯半径为r ，侧⾯展开图扇形圆⼼⾓为θ，则2rlπθ=. 结论 3 若圆台母线长为l ，上、下底⾯半径分别为r 、R ，侧⾯展开图扇环圆⼼⾓为θ，则2R rlθπ-=?. 证明：设⼩圆锥母线长为x ，则有22r x r x πθπθ=?=.∵x r x r rlx x l R l R r R r=?=?=+--，∴22()2r r R r R rx rl lππθπ--===?. 应⽤1.⼀个圆锥的侧⾯积是底⾯积的2倍，则圆锥侧⾯展开图扇形的圆⼼⾓度数为 B A .120? B .180? C .240? D .300?2.⼀个圆锥的⾼是10cm ，侧⾯展开图是半圆，求圆锥的侧⾯积.解：设圆锥底⾯半径为r ，圆锥母线长为l ，则扇形弧长为222lr ππ=，∴2l r =.在Rt SOA △中，22210l r =+，有此得r，l .∴圆锥侧⾯积为2003S rl π的半径为1．扇形的圆⼼⾓等于120°，则此扇形的半径为 CA .13BC .3D .64.圆台的上、下底⾯半径分别为10cm 和20cm ，它的侧⾯展开图的扇环的圆⼼⾓是180，那么圆台的表⾯积是多少？结果：21100cm π.5.圆锥母线长为1，侧⾯展开图的圆⼼⾓为240?，则圆锥体积为 C AB .881π CD .1081π 6.若圆锥的侧⾯展开图是圆⼼⾓为120?、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表⾯积与侧⾯积的⽐是 A .3:2 B .2:1 C .4:3 D .5:3结果：C.F.空间⼏何体体积求法例析 A .公式法例1 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底⾯中的射影恰好是A ，其三视图如图，则四棱锥P ABCD -的体积为 .解：根据三视图可已将四棱锥P ABCD -的底⾯是边长为a 的正⽅形，⾼为a ，利⽤锥体体积公式231133P ABCD V a a a -=?=.点评：1.计算⼏何体体积需要区别锥体、柱体、台体、球体.它们的体积各⾃有不同的特征，注意准确运⽤体积公式.BDAP2.如果是只求体积，根据“长对正，宽相等，⾼平齐”分别求出⼏何体的底⾯积和⾼，直接计算体积即可，若⼏何体⽐较复杂或涉及⾯积等计算时，则需复原⼏何体（本⼏何体复原后的图形如图）.例2 ⼀个⼏何体的俯视图是⼀个圆，正视图和侧视图是全等的矩形，它们⽔平放置时（⼀边在⽔平位置上），它们的斜⼆测直观图是边长为6和4的平⾏四边形，则该⼏何体的体积为 .例3 ⽤⼀块长3m ，宽2m 的矩形⽊板，在墙⾯互相垂直的墙⾓处，围出⼀个直三棱柱形⾕仓，在下⾯的四种设计中，容积最⼤的是 A解：略.B .分割法例4 已知⼀个多⾯体的表⾯积为36，它的内切球的半径为2，求该多⾯体的体积.解：设多⾯体有n 个⾯，每个⾯的⾯积分别为12,,,n S S S ，则1236n S S S +++=.∵多⾯体内切球的球⼼到多⾯体个个⾯的距离都等于球的半径R ，运⽤分割法，以内切球球⼼为顶点，多⾯体的每个⾯为底⾯，将多⾯体分割成n 个棱锥，于是多⾯体的体积等于这个棱锥的体积和，即1111211111()3622433333n V S R S R S R R S S S =+++=+++=??=.例5 如图3，在多⾯体ABCDEF 中，已知⾯ABCD 是边长为3的正⽅形，//EF AB ，32EF =，EF 与AC ⾯的距离为2，则该多⾯体的体积为 .解：取AB 、CD 边的中点M 、N ，将多⾯体分割成斜三棱柱和四棱锥，利⽤三棱柱体积公式及四棱锥体积公式，不难求得多⾯体积：13131532222322V ??=+??=. 点评：本题中的⼏何体是不规则的，设法将⼏何体分割（或补）成规则的常见的⼏何体，是解题的关键，由于//EF AB ，并没有说明ADE 的确切位置，因此可以将其位置特殊化，从⽽得到直三棱柱ADB MNF -和四棱锥F MNCB -，这是本题解法⼀个巧妙之处.C .补形法例6 已知三棱柱的⼀个侧⾯⾯积为S ，相对的棱距离该侧⾯的距离是h ，求证：该三棱柱的体积是12V Sh =.证明：设三棱柱111ABC A BC -的侧⾯11ABB A 的⾯积为S ，侧棱1CC 到该侧⾯的距离为h . 以三棱柱的侧⾯11ABB A 为底⾯，将三棱柱补形得到四棱柱，如图.则四棱柱的⾼恰等于h .四棱柱的体积为V Sh =，它的⼀半，即为三棱柱的体积12V Sh =.∴三棱柱的体积为12V Sh =.点评：本体的结论可以作为结论⽤.例7 已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PAB △、PAC △、PBC △的⾯积分别为21.5cm ，2 2 2 23 3 3 3 30?45?30?ABCD1D1C1B1ABCDFEMNABCDAFE22cm ，62cm ，则过P 、A 、B 、C 四点的外接球的体积为 2cm .解：PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则以它们为基础，补形成为⼀个长⽅体，长⽅体的对⾓线是外接球的直径.设三条棱长分别为,,x y z ，则3xy =，4xz =，12yz =，解得12xyz =，1x =，3y =，4z =.从⽽2222(2)134r =++，2426r =，26r =. ∴334426132633V r r πππ??. 点评：对于三条棱两两互相垂直或者3个侧⾯两两互相垂直的三棱柱以及正四⾯体或对棱分别相等的三棱锥，都可以补形成为长⽅体或者正⽅体，它们有共同的外接球，外接球的直径正好是长⽅体或正⽅体的体对⾓线，这样就很容易将球体和三棱锥联系起来.D .特殊化法例8 如图，直三棱柱111ABC A B C -体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱1AA 、1DD 上，1AP D Q =，则四棱锥B APQD -的体积为 .解：将条件1AP DQ =特殊化，使得P 和1A 重合，Q 和D 重合，四棱锥B APQD -就变成三棱锥1B ADA -，它和直三棱柱等底等⾼，∴四棱锥B APQD -的体积等于1133ABD S h V ?=△.E .等体积转化（变换⾓度）例9 如图，在长⽅体1111ABCD A B C D -中，如果分别过BC 、11A D 的2个平⾏平⾯将长⽅体分成体积相等的3部分，那么11C NND = . 解：将长⽅体站⽴放置，从⽽更容易观察到相关的⼏何体分别是直三棱柱、直四棱柱、直三棱柱.∵长⽅体被分成体积相等的三部分，即111111D HD AGA D NCH A MBG NC C MB B V V V ---==.由于它们的等⾼且等体积，∴底⾯积也相等，就是说111AGA A MBG MB B S S S ==△△△，即1112AG AA GB AA ?=?，∴2AG GB =，∴112C N ND =.例10 如图，已知E 、F 分别是棱长为a 的正⽅体1111ABCD A B C D -的棱1AA 、1CC 的中点，求三棱锥11C B EF -的体积.解：1111311312C B EF E B FCB C F V V S AB a --==?=△. 点评：在三棱锥求体积问题中，变换⾓度就是换顶点、换底⾯，它是计算三棱锥体积问题长见的转化策略之⼀，它的基本依据是变换前后等体积.转换的标准是相应的底⾯和⾼是否容易求解.显然本题直接按照题中所给的⾓度或者转换成三棱锥都不便于求底⾯和⾼.练习：1.正六棱锥P ABCDEF -中，G 为PB 的中点，则三棱锥D GAC -与三棱锥P GAC -体积之⽐为 CA .1:1B .1:2C .2:1D .3:22.如图，在多⾯体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正⽅形，且ADE △、BCF △均为正三⾓形，//EF AB ，2EF =，则该多⾯体的体积为 AA .2B .3C .43D .32EF 1BD1D 1C A1A BCHM1B D 1D1C A1A BCNP1BD1DA1AB3.某⼏何体的三视图如下，根据图中标出的尺⼨（单位：cm ），则这个⼏何体的体积是BA .34000cm 3 B .38000cm 3C .32000cmD .34000cm 4.⼀个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表⾯积为 AA.48+B.48+C.36+ D.36+5.若正⽅体外接球的体积是323π，则正⽅体的棱长为 A. BCD选D7.如图，已知多⾯体ABC DEFG -，AB ，AC ，AD 两两垂直，平⾯//ABC 平⾯DEFG ，平⾯//BEF 平⾯ADGC ，2AB AD DG ===，1AC EF ==，则该多⾯体的体积为A .2B .4C .6D .89.⼀个长⽅体的某3则这个长⽅体的体积是 .10.设等边三⾓形ABC △的边长为a ，P 是ABC △内的任意⼀点，且P 到三边AB ，BC ，CA 的距离分别为1d ，2d ，3d ，则有123d d d ++⾯体ABCD 的棱长为a ，P 是正四⾯体ABCD 内的任意⼀点，且P 到四个⾯的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，则有1234d d d d +++为定值是 .. 11.某球的外切圆台上下底⾯半径分别为r ，R ，则该球的体积是 .12.在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表⾯积为 .解：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补成长⽅体，设该长⽅体的长、宽、⾼分别为,,a b c ，且其外接球的半径为R ，则2222222226,5,5a b b c c a ?+=?+=??+=?，得22243a b c ++=，即2222(2)43R a b c =++=.∴三棱锥外接球的表⾯积为2443S R ππ==.俯视图侧视图66侧视图俯视图正视图13.各顶点都在⼀个球⾯上的正四棱柱的⾼为4，体积为16，则球的体积是 . 结果：86π.11.体积为8的⼀个正⽅体，其全⾯积与球O 的表⾯积相等，则球O 的体积等于 . 结果：86ππ.14.如图是⼀个⼏何体的三视图，若它的体积是33，则a =_____.结果：3.15.三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，⼜2PA =，3PB =，4PC =，则三棱锥P ABC -的体积为_____. 结果：4.14.半径为R 的球的外切圆柱的表⾯积为，体积为 . 结果：26R π；32R π.16.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同⼀球⾯上，若12AB AC AA ===，120BAC ?∠=，则此球的表⾯积等于 .结果：20π.17.三个球的半径123,,R R R ，满⾜12323R R R +=，则它们的表⾯积123,,S S S ，满⾜的关系是 .结果：12323S S S +=.18.如图，已知底⾯半径为r 的圆柱被⼀个平⾯所截，剩下部分母线长的最⼤值为a ，最⼩值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .解：补形（如图），结果：2()2r a b π+.19.某⾼速公路收费站⼊⼝处的安全标识墩如图4所⽰.墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长⽅体ABCD EFGH -.图5、图6分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积.结果：（1）与正视图⼀样；（2）364000cm .P2 侧视图正视图俯视图1rbara b -b。
1[1].3空间几何体的表面积和体积(第一课时)
![1[1].3空间几何体的表面积和体积(第一课时)](https://img.taocdn.com/s3/m/a589683a3968011ca30091c5.png)
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
Rt B 1 D 1 D 中 : B1 D 2 R ， B1 D 2a
2
C1
C1
( 2 R ) a ( 2 a ) , 得： R
2 2
3 2
a
S 4 R 3 a
2
2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 2 a 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
①
Vi
1
Si R
3 球的体积: V R 3 由①② 得:
4
②
S 4πR
2
典型例题
• 球不柱体，椎体台体的结合
例1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi 1 3
Vi
S i hi
由第一步得： V V 1 V 2 V 3 ... V n
V 1 3 S 1 h1 1 3 S 2 h2 1 3 S 3 h 3 ... 1 3 S n hn
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h'
h'
S 正棱台侧
1 ＝ （ c c ' )h' 2
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
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教学准备
1. 教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
2. 教学重点/难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算
难点：台体体积公式的推导
3. 教学用具
投影仪等.
4. 标签
数学，立体几何
教学过程
1、创设情境
（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2、探究新知
（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图
（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？
（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维
（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:
（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。
如图：
（4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。
(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高)
4、例题分析讲解
（课本）例1、例2、例3
5、巩固深化、反馈矫正
教师投影练习
1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的
底面直径为。
（答案：
）
2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。
（答案：2352cm3）
6、课堂小结
本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。
用
联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。
7、作业
习题1.3 A组1.3
课堂小结
课堂小结
本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。
用
联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。
课后习题
习题1.3 A组1.3
板书
略。