北师版初中数学重难点分析
2024-2025学年北师版初中数学八年级(上)教案第六章数据的分析6.2中位数与众数
第六章数据的分析2中位数与众数教学目标教学反思1.掌握中位数、众数的概念；2.能求出一组数据的中位数和众数；3.在具体情境中体会平均数、中位数和众数三者的差别.教学重难点重点：中位数、众数的概念及求法；难点：平均数、中位数和众数三者的差别.教学过程情景导入在当今信息时代，信息的重要性不言而喻，人们经常要求一些信息“用数据说话”，所以对数据作出恰当的评判是很重要的.下面请看一例：某次数学考试，小英得了78分，全班共32人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，2个62分，1个30分，1个25分.小英计算出全班的平均分为77.4分，所以小英告诉妈妈说，自己这次数学成绩在班上处于“中上水平”.小英对妈妈说的情况属实吗？你对此有何看法？引导学生展开讨论，作出评判：平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，利用平均数把倒数第五的成绩说成处于班级的“中上水平”显然是不属实的.原因是全班的平均分受到了两个极端数据30分和25分的影响，利用平均数反应问题就出现了偏差.引出中位数与众数.新课讲授1.某公司员工的月工资如下：经理说：我公司员工收入很高，月平均工资为2 700元.职员C说：我的工资是1 900元，在公司算中等收入.教学反思职员D说：我们好几个人工资都是1 800元.一位应聘者心里在琢磨：这个公司员工收入到底怎样呢？问题1：你怎样看待该公司员工的收入？学生小组讨论，教师点拨：上述问题中，经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司的收入情况：（1）月平均工资2 700元，指所有员工工资的平均数是2 700元，但只有正、副经理的工资比平均工资高，是他两人的工资把平均工资“拉”高了.（2）职员C的工资是1 900元，恰好居于所有员工工资的“正中间”（恰有4人的工资比他高，有4人的工资比他低），我们称1 900元是这组数据的中位数.（3）9个员工中有3个人的工资为1 800元，出现的次数最多，我们称1 800元是这组数据的众数.问题2：你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适？学生讨论，教师总结用中位数1 900元或众数1 800元表示该公司员工收入的平均水平更合适些，因为平均数2 700元受到了极端值的影响.结合上述问题的探究，引入中位数、众数的概念：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.教师指出：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”.让学生用中位数、众数的概念，解释引例中小英的数学成绩的问题.求中位数的一般步骤：1.将这一组数据从大到小（或从小到大）排序；2.两种情况：a.如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.b.如果数据的个数是偶数，则处于中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.求众数：不用排序，直接数每个数出现的次数.出现次数最多的数据就是众数.练习：对于一组数据：3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，下列说法教学反思正确的是（）A. 这组数据的众数是3B. 这组数据的众数与中位数的数值不相等C. 这组数据的中位数与平均数的数值相等D. 这组数据的平均数与众数的数值相等答案：A2.平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”.计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响.如体操比赛评分中，个别裁判不公正打分将直接影响运动员的成绩，为此一般先去掉一个最高分和一个最低分，然后求其余得分的平均数作为运动员的得分.中位数的优点是计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据信息.一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量.如选举，就是选择名字出现次数最多的那个人，因而可以将当选者的名字当作“众数”，但各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义.课堂练习1.为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如下表所示，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别是 .2.某校八年级（1）班50名学生参加数学质量监测考试，全班学生的成绩统计如下表：请根据表中提供的信息解答下列问题：（1）该班学生考试成绩的平均分是__________,众数是 .（2）该班学生考试成绩的中位数是 .（3）该班张华同学在这次考试中的成绩是83分，能不能说张华同学的成绩处于全班中游偏上水平？试说明理由.3.为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动.初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：决赛成绩（单位：分）(2)请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：①从平均数和众数相结合看（分析哪个年级成绩好些）；②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）.(3)如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？并说明理由.参考答案1.25.5厘米 25.5厘米2.（1）85.08分 88分 （2）86分 （3）不能说张华同学的成绩处于全班中游偏上水平.因为全班同学总成绩的中位数是86分，张华同学的成绩为83分，低于全班成绩的中位数.3.(1)(2)①因为平均数都相同，八年级的众数最高， 所以八年级的成绩好一些.②因为平均数都相同，七年级的中位数最高， 所以七年级的成绩好一些.(3)因为七、八、九各年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93、91、94，所以从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，九年级的实力更强一些.课堂小结(学生总结，老师点评) 中位数、众数的定义教学反思平均数、中位数、众数的特征布置作业习题6.3板书设计第六章数据的分析2中位数与众数。
北师版初中数学重难点分析
北师版初中数学重难点分析一、七个年级的主要内容1.第一学期：（1）有理数等概念的引入和运算法则；（2）图形的认识，包括平面图形和立体图形的性质和运算；（3）代数icsoncbe的初步了解，包括整式的概念和运算；（4）分数的引入和运算。
2.第二学期：（1）比例的引入和比例的性质；（2）百分数的概念和应用；（3）直角三角形的性质和应用；（4）代数icsoncbe的继续学习，包括一元一次方程的解法；（5）实数的认识和应用。
3.第三学期：（1）平行线与三角形的性质；（2）勾股定理的引入和应用；（3）多边形的性质和运算；（4）平方根的概念和性质；（5）实数的运算。
4.第四学期：（1）平面直角坐标系的认识和应用；（2）线性函数的引入和图象的性质；（3）相似三角形的性质和应用；（4）多边形的面积和体积；（5）实数的比较和大小。
5.第五学期：（1）二次根式的引入和运算；（2）二次函数的图象和性质；（3）三角比的概念和应用；（4）率、速和角的应用；（5）指数的引入和运算。
6.第六学期：（1）立方根的引入和运算；（2）一元二次方程的引入和解法；（3）函数的概念和性质；（4）统计图和概率的应用。
7.第七学期：（1）数列的引入和应用；（2）平行线的性质和运算；（3）三角比和三角函数的应用；（4）函数及其图象的变化和应用；（5）统计相关的图表和信息的应用。
1.有理数的运算法则和分数的运算：对于初中生来说，有理数的加减乘除法则和分数的四则运算可能是较难掌握的内容，涉及到了负数的概念和分数的运算规则。
2. 代数icsoncbe的学习：初中生开始接触到代数icsoncbe，包括整式的概念和运算。
这对于他们来说可能是相对较新的内容，需要通过理解和练习进行掌握。
3.几何图形的认识和性质：初中生需要学习平面图形和立体图形的性质和运算，包括角的性质、三角形的性质、多边形的性质等。
这需要通过观察和实践来加深理解。
4.函数的引入和性质：初中生开始学习函数的概念和性质，包括线性函数、二次函数等。
北师大版初中数学教材的问题和解决方案
北师大版初中数学教材的问题和解决方案背景为了深化教育改革，全面推进素质教育，构建一个充满生机的有中国特色社会主义教育体系，为实施科教兴国战略奠定坚实的人才和知识基础。
教育部决定，大力推进基础教育课程改革，调整和改革基础教育的课程体系、结构、内容，构建符合素质教育要求的新的基础教育课程体系。
北师大版数学教材就是在课程改革理论指导下编写的教材。
它注重创设情境和探究发现，注重联系实际应用和创新，注重学生兴趣和实际操作，注重学习方式和教学方式的改革。
教材贯穿了“数学源于生活、服务于生活”、“学有用的数学”的思想，从而使学生潜移默化中感受到数学的价值。
认真研究、领会，悉心钻研新教材，及时转变角色，真正融入到新课程中去，发现与旧的版本及其他出版社的教材相比，有其自己可取的地方，当然教材也存在着缺点和不足，需要不断地修饰和完善。
新教材的特色北京师范大学出版社出版的《义务教育新课程标准实验教科书·初中数学》（以下简称《教材》），和其他初中数学教材比较而言，既删减了许多繁难偏旧的知识，减轻了学生的学习负担，又非常注重学生通过探究获取新知识的过程，有效地培养了学生的创新意识和创新能力，提高了学生学习数学的积极性。
本套教材在编排体系，情景创设，例题设计，习题选配等方面的优点：一、螺旋式编排：本教材体系在难度方面，螺旋式编排，采用由浅入深、逐级递进、螺旋上升的方式逐步渗透重要的数学思想方法。
为学生提供探索、交往的时间与空间教材在提供学习素材的基础之上，依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操作、思考与交流的学习机会，如“做一做”、“想一想”、“议一议”等栏目。
同时，要求学生通过自主探索以及与同伴交流的方式，形成新的知识，包括归纳法则、描述概念、总结学习内容等。
可很好地激发学生的兴趣，挖掘学生的潜能，促使他们在自主探索与合作交流过程中理解，掌握知识，数学技能和思维方法得到锻炼，意志力得到培养，自信心得到不断发展，科学精神逐渐形成.新教材中有些内容呈螺旋状安排，它有利于不同年龄层次的学生的接受能力如统计内容分散安排在各阶段课本中，从感性到理性，从具体到抽象，角平分线、线段垂直平分线的四、例题选择巧妙例题设计精炼，有很强的基础性、典型性、代表性和应用性。
北师初中数学重难点分析
小学与初中数学的学习差别初中三年的学习将在小学基础上，持续学习数学基础知识中式的基本运算，掌握一些基本运算方法、基本运算技巧及简单的几何知识。
从知识构造上看，初中数学是成立在小学已学知识基础之上，是小学知识的开辟和扩展，初中数学内容有着两大概系：代数、几何；四大块：代数式的运算、方程、不等式以及几何初步认识，这些知识点在小学或多或少都有过简单的浸透，所以对步入初中后的学习其实不陌生。
小学：知识：简单的、直观的，纯真研究算术数，侧重数的运算教课方式：侧重学生用许多时间进行新知的探究，练习时机多，对教师依靠性较强。
初中：知识：抽象性、严实性，内容更为丰富、抽象，认识上有了质的飞腾，记忆、理解应用、推理概括的要求更高。
教课方式：教课内容多，时间紧，讲堂没有多少复习时间，要经过学生的课前预习、课后复习等环节加以掌握与稳固。
小升初的准备：知识的连接1、由算术数到有理数、实数。
连接环节是负数的初步认识，即非负有理数→初步认识负数→有理数。
有理数与算术数的差别，有理数是由两部分构成：符号部分和数字部分(即算术数)。
有理数的分类与小学的算术数对比不过多了负整数和负分数。
务必使学生娴熟掌握算术的四则运算，再弄懂符号法例，有理数的运算即可易如反掌过关。
2、由算术运算到代数运算。
连接环节是用字母表示数。
即数的运算→用字母表示数→式的运算。
小学里学生已接触过用字母表示数的形式，如简略方程中的未知数Ｘ，一些定律和公式也用字母表示，初步领会到字母比数更拥有一般性，所以初中教课中应揭露数与式的联系和差别，数能够当作是式的特别状况，数的运算能够当作是式的运算的特别情况，用类比的方法进行教课。
3、认识学习数目关系。
从认识常有数目关系开始，经过认识正比率、反比率作为过渡，进入中学后开始较系统地逐渐学习函数。
用算术方法与方程解应用题是两种思想方法不一样的解题方法。
在小学高年级及初一应用题教课时，应当把体验方程的优胜性作为一个主要教课目的，存心识地指导学生将两种方法进行对照，面对复杂的逆解题，能自觉利用方程简化思想过程。
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小学与初中数学的学习差异
令狐采学
初中三年的学习将在小学基础上，继续学习数学基础知识中式的基本运算，掌握一些基本运算方法、基本运算技巧及简单的几何知识。
从知识结构上看，初中数学是建立在小学已学知识基础之上，是小学知识的开拓和扩展，初中数学内容有着两大体系：代数、几何；四大块：代数式的运算、方程、不等式以及几何初步认识，这些知识点在小学或多或少都有过简单的渗透，因此对步入初中后的学习并不陌生。
小学：
知识：简单的、直观的，单纯研究算术数，着重数的运算教学方式：注重学生用较多时间进行新知的探索，练习机会多，对教师依赖性较强。
初中：
知识：抽象性、严密性，内容更加丰富、抽象，认识上有了质的飞跃，记忆、理解应用、推理归纳的要求更高。
教学方式：教学内容多，时间紧，课堂没有多少复习时间，要通过学生的课前预习、课后复习等环节加以掌握与巩固。
小升初的准备：知识的衔接
1、由算术数到有理数、实数。
衔接环节是负数的初步认识，即非负有理数→初步认识负数→有理数。
有理数与算术数的区别，有理数是由两部分组成：符号部分和数字部分(即算术数)。
有理数的分类与小学的算术数相比只是多了负整数和负分数。
务必使学生熟练掌握算术的四则运算，再弄懂符号法则，有理数的运算即可轻而易举过关。
2、由算术运算到代数运算。
衔接环节是用字母表示数。
即数的运算→用字母表示数→式的运算。
小学里学生已接触过用字母表示数的形式，如简易方程中的未知数Ｘ，一些定律和公式也用字母表示，初步体会到字母比数更具有一般性，所以初中教学中应揭示数与式的联系和区别，数可以看成是式的特殊情况，数的运算可以看成是式的运算的特殊情形，用类比的方法进行教学。
3、认识学习数量关系。
从认识常见数量关系开始，经过认识正比例、反比例作为过渡，进入中学后开始较系统地逐步学习函数。
用算术方法与方程解应用题是两种思维方法不同的解题方法。
在小学高年级及初一应用题教学时，应该把体验方程的优越性作为一个主要教学目标，有意识地指导学生将两种方法进行对比，面对复杂的逆解题，能自觉利用方程简化思维过程。
4、空间图形：小学数学教材中，简单几何图形的知识占了很大篇幅，这些知识基本上都是属于实验几何，让学生量一
量、画一画、拼一拼、折一折，去学到一些几何知识。
中学讲授时既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。
因此，要注重预习，指导自学；学会复习，温故知新；重视数学的思考；积极渗透数学思想（在小学阶段的数学思想方法主要有：图示法、归纳法、对应法、转化法、化归法、分类法、列举法、假设法、方程法等，在初中阶段的数学思想方法是在小学数学思想方法的基础上不断地发展来的，如消元法、代入法、函数法、集合法等。
）
七年级数学教材分析（北师版）
八年级数学教材分析（北师版）
九年级数学教材分析（北师版）
难度比例是6:3:1，“6”是基础题，“3”是中等题，“1”是
难题。
1、选择题：10道，共40分。
2、填空题：6道，共24分。
3、解答题：4道，共24分
4、解答题：4道，共40分。
5、解答题：2道，共22分。
考点分类整理：
一、代数
1、有理数：运算，数的平方根和立方根计算，一般结合三角
函数；有理数的运算。
2、代数式：整式的加减乘除，幂的运算性质，因式分解，分
式（通分、约分）和二次根式的运算
3、方程（组）和不等式（组）：一元一次方程与二元一次方程组的计算，一般考查代入法和加减法解方程，最近热点考法是通过计算商品利润、价格、利息、增长率，利用交点坐标解出表达式。
不等式与不等式组（一元一次不等式，二元一次不等式组），考查解不等式的能力，对解集概念的理解。
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，重点考查直接开方和分
解因式，配方法和列方程法。
二、几何
4、图形与坐标、函数及图像：一次函数及反比例函数，图像、表达式，给定情景考查，一般考查函数增减性，k、b符
号和意义，经过的象限。
二次函数的图像、性质。
5、空间图形与几何初步：立体图形（投影三视图：圆柱、圆锥、球和简单直棱柱）。
直线、线段、射线、角、相交线、平行线的理解。
三角形与多边形（内角和与外角和）的计算。
6、图形与变换：对称、平移与旋转后图形的性质的理解，一般结合三角形，平行四边形，全等三角形性质考查。
点的坐标与平移、旋转、对称结合考查。
7、图形与证明：图形的全等与相似，全等三角形、等腰三角形的判断和性质，四边形（平行四边形及特殊的平行四边形性质，多与全等三角形结合考查）、梯形面积的计算。
解直角三角形（勾股定理），锐角三角函数。
圆的性质，与圆有关的
位置关系，尺规作图。
8、统计与概率：结合具体例子计算发生的概率和机会。
平均数、中位数，众数的计算。
对极差、方差和标准差的计算，用
树状图法或列表法求概率。