11矩阵与线性代数综合练习[1]

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线性代数试题库(矩阵)

1．对任意n 阶方阵,A B 总有〔〕A.AB BA =B.AB BA =C.()T T T AB A B =D. 222()AB A B = 答案：BAB BA A B ==2．在如下矩阵中，可逆的是〔〕A.000010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.110220001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.110011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.100111101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭答案：D3．设A 是3阶方阵，且2,A =-，如此1A -=〔〕 A.-2B.12-C.12答案：B4．设矩阵111121231A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，如此λ=〔〕答案:B提示：显然第三行是第一行和第二行的和5．设101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足方程2AX E A X +=+，求矩阵X .答案：201030102X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：22()AX E A X A E X A E +=+⇒-=-101001020010101100A A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然A E -可逆，所以：112()()()()A E A E X X A E A E ----==--1()()()A E A E A E A E -=--+=+201030102X ⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭6．求如下矩阵的秩01112022200111111011A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭答案：37．设矩阵1410,1102P D ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矩阵A 由矩阵方程1P AP D -=确定，试求5A . 答案：511/3127/3127/331/3-⎛⎫ ⎪-⎝⎭11551P AP D A PDP A PD P ---=⇒=⇒=15141/31/310,114/31/3032P P D -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以：55114101/31/3511/3127/3.110324/31/3127/331/3A PD P ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．设矩阵A 可逆，证明*11()A A A --= 证明：因为**AA A A A E ==，矩阵A 可逆，所以0A ≠ ⇒**A A A A E A A== 又因为11A A-=，所以：*11()A A A --= 9假如A 是( )，如此A 必为方阵.A. 分块矩阵B. 可逆矩阵C. 转置矩阵D. 线性方程组的系数矩阵答案：B10.设n 阶方阵A ，且0A ≠，如此*1()A -= ( ). A. A A B. *A AC. 1A A -D. *A A答案：A11假如( )，如此A B A. A B = B. 秩()A =秩()BC. A 与B 有一样的特征多项式D. n 阶矩阵A 与B 有一样的特征值，且n 个特征值各不一样答案：B12.设123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，如此T AA =______.答案：123246369⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭13.设m n ⨯矩阵A ，且秩()A r =，D 为A 的一个1r +阶子式，如此D =_____. 答案：0141P AP B -=，且0B ≠，如此A B ______. 答案：115.20311101X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求矩阵X 。

线性代数习题及解答完整版

线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

线性代数矩阵练习题参考答案

《线性代数》第二章练习题参考答案8、设矩阵A满足A2+A-4E=O，则(A-E)-1=(A+2E) 一、填空题1、设A=⎛ 12 ⎫⎛3-2⎫⎛⎝-13⎪⎪⎭，B= ⎝21⎪⎪⎭，则 3A+2B =⎛ 92⎫⎝111⎪⎭； AB =⎛ 70⎫⎝35⎪⎭；BT= 3⎝-2⎛19-3⎫2、设矩阵A=⎛ -15⎫⎪，8⎪⎝13⎭B=⎛ 31⎫则⎛-614⎫-1 -8⎝-20⎪，⎭3A-B= ⎝59⎪，⎭AB= 11⎪⎪。

⎝88⎪⎭3、设A为三阶矩阵，且A=2，则2A*-A-1=2724、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__25____，|2A|=____40_ ⎛⎛3、设A= 120⎫340⎪⎪，B=⎛ 23-1⎫T86⎫ 1810⎪⎝-121⎪⎭⎝-240⎪⎪⎭，则AB=⎪⎝310⎪⎭⎛11⎫4、设A=1 225⎪⎪，且r(A)=2，则t= 4 ⎝11t⎪⎭⎛ 1233⎫5、若A=3-12⎪06-24⎪⎪则r(A)=_2____ ⎝0000⎪⎭6、设矩阵A=⎛ 1-1 ⎫⎛⎝23⎪⎪⎭，B=A2-3A+2E，则B-1= 01⎫ 2⎪⎝-1-1⎪⎭7、设A是方阵，已知A2-2A-2E=O，则(A+E)-1=3E-A2⎫1⎪⎭ 2⎛102⎫9、设A是4⨯3矩阵且r(A)=2，B= 020⎪⎪，则r(AB)=⎝-103⎪⎭⎛10、设A= 100⎫ 220⎪⎪，则(A*)-1=1⎛100⎫A=1 220⎪⎪⎝345⎪⎭A10 ⎝345⎪⎭⎛⎛ 100⎫11、设A= 300⎫ 140⎪⎪，则(A-2E)-1=-11⎪⎝003⎪⎭220⎪⎪（用分块矩阵求逆矩阵) ⎝001⎪⎭⎛⎛ 520⎫1-20⎫0-2500⎪12、设A= 2100⎪⎪001-2⎪，则A-1=0012⎪⎪ 33⎪⎝0011⎪⎪⎭⎪⎝00-11⎪33⎪⎭13、已知A为四阶方阵，且A=12，则3281⎛⎫⎛2n⎫14、设A= 2⎫3⎪⎛22,A2= 32⎪⎪⎛2-1n⎪⎪，An= 3⎪,A-1= 3-1⎝4⎪⎭⎝42⎪⎭⎝4n⎪⎭⎝⎛ 100⎫⎪⎛00⎛15、若A= 230则A*= 18⎫ -1260⎪=1⎪，A-1 1800⎫⎪，-1260⎪⎝456⎪⎭⎝-2-53⎪⎭18⎝-2-53⎪⎪⎭二、单项选择题⎫⎪⎪4-1⎪⎭1、若A2=A，则下列一定正确的是 ( D ) (A) A=O (B) A=I (C) A=O或A=I (D)以上可能均不成立2、设A,B为n阶矩阵，下列命题正确的是（ C ）（A）(A+B)=A+2AB+B；（B）(A+B)(A-B)=A-B； 21（A）a；（B）；（C）an-1；（D）an。

线性代数-矩阵及其运算习题

设
D−1 = X 11
X 21
n阶矩阵(i, j = 1,2),
X 12 ,其中 X ij 均为 X 22
D
⋅
D−1
=
A C
0 ⋅ X 11 B X 21
X 12 X 22
=
A X 11
A X 12
C X 11 + B X 21 C X 12 + B X 22
= E 0 (E是n阶单位阵) 0 E
典型例题
一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明三、矩阵的分块运算
一、矩阵的运算
例１计算
n − 1 − 1
n −1
n n−1
n n
− 1 2 n
−1 n
−1
−1
−1
n
−
1
n
n
n n n×n
解
n − 1 − 1 − 1 2
n −1
n n−1
−
n 1
n n
n
+ B,证明A可逆 ,并求其逆 .
三、(6分) 设n阶实方阵A ≠ O,且 A∗ = AT ,证明A 可逆. 四、(8分)解下列矩阵方程．
解
X = A−1 B X = BA−1 X = A−1C B−1
三、矩阵的分块运算
例５设A, B都是n阶可逆矩阵,证明D = A 0 C B
必为可逆矩阵 , 并求D的逆矩阵 .
证因为det D = det A ⋅ det B ≠ 0( A, B均可逆,
det A ≠ 0,det B ≠ 0),所以D为可逆矩阵.
其中k是正整数. Ak Al = Ak + l , ( Ak )l = Akl ,

线性代数综合练习

《线性代数》总复习题一、判断题1. 仅当021====n k k k 时等式02211=++n n k k k ααα才成立，则向量组n ααα,,21线性无关. ( )2. 若r ααα ,,21线性相关，则r ααα ,,21,n r αα,1+也线性相关.( ) 3. 一个向量组如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关. ( ) 4. 如果矩阵A 存在一个不为零的r 阶子式则矩阵的秩为r . ( )5. r ααα ,,21为向量组T 的一部分向量，如果r ααα,,21线性无关，则r ααα,,21为向量组T 的最大无关组. ( )6. 由n 维向量r ααα,,21生成的子空间或者是n 维的或者是r 维的.( ) 7. 任意齐次线性方程组或者无解，或者有唯一解，或者有无穷多解.( ) 8. 初等矩阵可理解为单位矩阵经过一次初等变换而得到. ( ) 9. 矩阵经过初等变换后得到的新矩阵实际上与原矩阵相等. ( ) 10. 矩阵经过初等变换其行列式的值不变. ( ) 11. 矩阵经过初等变换其秩不变. ( ) 12．线性方程组0=⨯x A n m 的解空间维数仅与m ,n 有关. ( ) 13.线性方程组b x A n m =⨯的解全体构成一个)(A R n -维子空间. ( ) 14．方阵A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值为实数. ( ) 15．方阵A 的对应于特征值λ的特征向量x 必定是齐次线性方程组0)(=-x E A λ的解. ( )16．矩阵的秩就是其列（或行）向量组中线性无关向量的个数. ( )17.如果向量空间V 的任一向量均可由r ααα,,21线性表示，则称r ααα,,21为V 的一个基. ( )18. 若在矩阵A 中有一个r 阶子式不为0，则A 中至少有一个r -1阶子式不为0. ( ) 19. 上三角方阵的值就是主对角线上元素的乘积. ( )20. 若r ααα ,,21线性相关，则1α 可由r αα,2线性表示. ( ) 二、选择题1. 设B A ,为n 阶矩阵，且0≠A ,而0=AB ，则 A ）0=B B ）0=A 或0=B C) 0=BA D ）()222B A B A +=+2.设B A ,为n 阶矩阵且A 可逆，则有A ）11---=-A A B ）()k k kB A AB =C ）111)(---=B A ABD ）1*-=n AA3.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=210A B A A ，其中21,A A 都是方阵，且0≠A ，则有 A ）1A 可逆但2A 不一定可逆 B ）2A 可逆但1A 不一定可逆C ）1A 与2A 的可逆性不定D ）1A 与2A 均可逆4.设A 为n 阶方阵，则0=A 的充分必要条件是A ）两行（列）元素对应成比例B ）必有一行为其余行的线性组合C ）A 中有一行元素全为0D ）任一行为其余行的线性组合 5.A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是A 的（A ）列向量组线性无关（B ）列向量组线性相关（C ）行向量组线性无关（D ）行向量组线性相关6.设线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，则正确的是（A ）若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解（B ）若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解（C ）若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解（D ）若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0有非零解7.线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，且r(A )=r, 则此方程组（A ）r=m 时，有解（B ）r=n 时，有唯一解（C ）m=n 时，有唯一解（D ）r<n 时，有无穷多解8.方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=--=++=-+08870430252032321321321321x x x x x x x x x x x x 的解的情形是(A) 无解， (B) 基础解系中有一个向量，(C) 仅有零解 (D) 基础解系中有两个向量9.设,,333222111333222111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b y c b y c b y B c b x c b x c b x A 且A B ==-27,,则A B + 等于 (A) 5 (B) 5- (C) 10- (D) 20- 10.设向量组αααα1234,,, 线性无关，则线性无关的向量组是()14433221 , , , αααααααα-+++A ()14433221 , , , αααααααα--++B()14433221 , , , αααααααα-+-+C ()14433221 , , , αααααααα----D三、填空题1. 设A 为44⨯矩阵, B 为55⨯矩阵，且2=A ，2-=B ，则B A -= ，A B -= 2.设()E B A +=21，则当且仅当2B = 时，A A =2 3.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100110202211A ，则=A4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，()()=-+-E A E A 93215. []n n b b b a a a 2121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6. 行列式a b b d a c c d++++=________________.7. 设E (,)i j 表示由n 阶单位矩阵第i 行与第j 行互换得到的初等矩阵，则E (,)i j -=1__________.8. 设A 为正交矩阵，且*A A T -=, 其中*A 是A 的伴随矩阵, 则A 的行列式等于________.9. 设 A, B 都是n 阶方阵且A 可逆, 则)(11---AB AB AA T ＝10. 行列式 i j k→→→123213= 11. 设,100010011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121112301B 则A -=112. 设V 是由向量TT )3,0,2(,)0,1,1(21==αα 生成的子空间，则向量T )3,1,5(1=β ，T TT)3,1,3(,)3,3,5(,)3,2,0(432-==-=βββ中属于V .13．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011012111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001b ,则线性方程组b Ax =的解为14. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----020212022的特征值为 15．行列式 D =4443343332312423211412110000a a a a a a a a a a a a 的元素11a 的代数余子式为16.设向量Tb a ),0,,1(=α与向量T )1,1,1,1(-=β和T )1,1,1,1(--=γ都正交，则a,b 分别为17.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000010042103101A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1020013600020021B ，则AB ＝，（利用分块矩阵乘法求解）18.设向量T )4,3,2,1(=α，T )1,1,1,1(--=β ，则βα,,的夹角为19．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=+-5321132053321321321x x x x x x x x x 的通解为20．设Tx )2,3,(1=αT )3,1,2(2-=α T )1,2,3(3=α,则当=x 时321,,ααα线性相关.21. 已知α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11k 是A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112的逆矩阵A 1-的特征向量，则k ＝ .四、计算题1. 计算行列式1111 11111111 1111--+---+---=x x x x D2. 计算 ()2333333433333333332333331≥=n nD n3. 设A 是3阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，21=A ，求行列式()*123A A --的值.4. 讨论向量组,T)3,2,1(1-=α,T )5,2,0(2-=α ,T )2,0,1(3-=α的线性相关性.5. 设3维向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1111λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1112λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=λα1113 , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ 问当λ取何值时, β 可由321,,ααα线性表示且表达式唯一.6. 求四维向量组T )5,3,1,2(1-=α T )3,1,3,4(2-=α T )4,3,2,3(3-=αT )17,15,1,4(4-=α T )0,7,6,7(5--=α的秩及最大无关组.7. 试确定参数λ，使矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=152********λλA 的秩最小.8. 验证四维向量T)1,1,1,1(1=αT )1,1,1,1(2--=α T )1,1,1,1(3--=αT)1,1,1,1(4--=α是4R 的一个基，并求向量T )1,1,2,1(=→β在这个基下的坐标.9．验证集合{}R x x x x x x V ∈-==211211,|)3,2,(是否为向量空间.10．问λ取何值时, 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++=+++04707)2()33(0)33(28321321321x x x x x x x x x λλλλ 有非零解，并将其通解用基础解系表示出来.11．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+λ4321432143212312022x x x x x x x x x x x x 无解？何时有解？在有解的情况下求其通解。

线性代数例题[1]

行列式例1：若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式1231,m αααβ=，1223n ααβα=，四阶行列式32112αααββ+等于多少？例2：设A 是n 阶方阵，且0=A ，则A 中( ) (A ) 必有一列元素全为零； (B ) 必有两列元素成比例；(C ) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D ) 任一列向量是其余列向量的线性组合.例3：设A 33)(⨯=ij a ，ij A 为ij a 的代数余子式，且ij A ij a =，并且011≠a ，求A . 例4：设四阶方阵A 44)(⨯=ij a ，A E x f -=λ)(，其中E 是n 阶单位矩阵，求：（1）4λ的系数；（2）3λ的系数；（3）常数项.例5：设A 为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，E AAT=，0<A ，计算E A +.例6：设A ，B 为n 阶正交矩阵，若0=+B A ，证明B A +是降秩矩阵.矩阵例1：设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01101001A ，证明当3≥n 时，恒有E A A A n n -+=-22. 例2：设)41,31,21,1(),4,3,2,1(==βα，βαTA =，计算n A . 例3：设三阶方阵A ，B 满足关系BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=710004100031A ，求B 例4：设A 是三阶方阵，21=A ，求*12)3(AA --例5：证明：若实对称矩阵A 满足条件O A =2，则O A =例6：设'ξξ-=E A ，其中E 是n 阶单位矩阵，ξ是n 维非零列向量，证明：（1）A A =2的充要条件是1'=ξξ；（2）当1'=ξξ时，A 是不可逆矩阵.例7：已知n 阶方阵A 满足3)(2A E A A =-，求1)(--A E例8：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=803010100100001*A ，且E BAABA 311+=--，求B .例9：设10021)(x x x x f ++++= ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01000001A ，求))((),(A f f A f . 例10：设B A ,是n 阶方阵，且满足B A AB +=，证明：BA AB =例11：设A 是n 阶方阵，是否存在E B ≠，使得A AB =，若存在B ，指出求B 的办法，若不存在，说明理由.例12：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a aa a a a B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010100001010001P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010010000012P 其中A 可逆，则=-1B （）(A )211P P A -；(B )211P A P -；(C )121-A P P ；(D )112P A P -.例13：设A 是3阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足C AQ =的可逆矩阵为（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101001010 （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101010 （C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110001010（D ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110例14：设B A ,是n 阶方阵，已知B 可逆，且满足022=++B AB A ，证明A 和BA +都是可逆矩阵，并求它们的逆.例15：设C A ,分别是m 阶和n 阶非奇异方阵，B 是n m ⨯矩阵，证明：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B AM 0为可逆矩阵；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----111110CBCAA M 例16：求n 阶行列式10001000011000中所有元素的代数余子式的和.例17：设A 是n 阶方阵，且存在正整数m ，使0=mA ，又B 是n 阶可逆矩阵，证明矩阵方程XB AX =只有零解.例18：（1）设B A ,是n 阶方阵，且0=AB ，证明：n B R A R ≤+)()(（2）设A 是n 阶方阵，且E A A 22=-，证明：n A E R A E R =++-)()2(例19：已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=96342321t Q ，P 为三阶非零矩阵，且0=PQ ，则（） (A )6=t 时，P 的秩必为1；(B )6=t 时，P 的秩必为2；(C )6≠t 时，P 的秩必为1；(D )6≠t 时，P 的秩必为2.例20：设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，其中m n <，若E AB =，证明B 的列向量线性无关.例21：求)2(≥n n 阶方阵A 的秩，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a bbb a bb b a A例22：求设D C B A ,,,是和n 阶方阵， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D CB AG ，且CB AD CA AC ==,，又行列式0≠A ，求证：n G R n 2)(<≤.例23：设A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，并且n A R =)(，证明： )()(B R AB R =例24：设n 维列向量组s ααα， ,,21线性无关，向量组t βββ， ,,21可用s ααα， ,,21线性表示，表示矩阵为C ，证明：（1）)(),,(21C R R t =βββ，（2）当s t =时，有s βββ， ,,21线性无关C ⇔是可逆矩阵. 例25：设βα,为三维列向量,矩阵 TTA ββαα+=, 其中T T βα,分别是βα,的转置.证明: )1( 秩2)(≤A r(2) 若βα,线性相关,则秩2)(<A r （2008年数学一）例26：设B A ,均为2阶方阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵,若3,2==B A ,则分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O BA O的伴随矩阵为 (A )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B O**23 . (B )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B O **32. (C )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O **23. (D )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O **32. (答案: B) （2009年数学一、二、三）向量例1：设向量组321,,ααα线性无关，证明向量组211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=也线性无关.例2：设向量组m ααα， ,,21线性无关，讨论向量组211ααβ+=，322ααβ+=，1ααβ+=m m ，的线性相关性.例3：设向量组m ααα， ,,21线性无关，向量组βααα，，m ,,21线性相关，则向量β可由向量组m ααα， ,,21线性表示.例4：设向量)',,,(21n a a a =α，A 为n 阶矩阵，如01≠-αm A ，0=αmA ，则αααα12,,,,-m AA A 线性无关.例5：设A 为n 阶矩阵，证明)()(1+=n n A R A R例6：设向量组)3(,,121≥-m m ααα，线性相关，向量组m ααα，， 32,线性无关，问（1）1α能否由132,-m ααα，，线性表示？（2）m α能否由121,-m ααα，，线性表示？例7：设向量组l ααα， ,,21线性无关，向量1β可由它线性表示，向量2β不能由它线性表示，证明1+l 个向量2121,,,ββααα+k l ，线性无关.例8：设向量组},,{21m A ααα， =与向量组},,{21l B βββ， =的秩相同，且向量组A 可由向量组B 线性表示，证明A 与B 等价.例9：设A 为n 阶矩阵，s ααα， ,,21是一组n 维向量，满足11αα=A ，s i A i i i ,,3,2,1 =+=-ααα，并且01≠α，证明向量组s ααα， ,,21线性无关.例10：设321,,ααα是线性无关的5维向量组，321,,βββ也是5维向量组，满足3,2,1,,0),(==j i j i βα。

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。

例如.2 -1 0 1 1 _1110 22 5 4 -2 9<3 3 3 -1 8丿是一个4 5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素，位于第i行第j列的数称为（i,j）位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等（记作A = B）,是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类型相同），并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

下面列出几类常用的n阶矩阵，它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵：对角线外的的兀素都为0的n阶矩阵.单位矩阵：对角线上的的兀素都为1的对角矩阵，记作E（或I）.数量矩阵：对角线上的的兀素都等于一个常数c的对角矩阵，它就是cE上三角矩阵:对角线下的的兀素都为0的n阶矩阵.下二角矩阵:对角线上的的兀素都为0的n阶矩阵.对称矩阵：满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵：满足A T=-A矩阵•也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j ,i）位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.）正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

_ 2（1）A是正交矩阵A T=A-1（2）A是正交矩阵 A =1阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足：①如果它有零行，则都出现在下面。

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。

线性代数练习题-矩阵

线性代数练习题——矩阵一、填空题1、设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1032A ，则1−A = 2、设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3−=B ，则=−12AB 3、设A 为3阶方阵，且5=A ，则=−13A4、设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。

6、已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。

7、设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。

二、单项选择题1．关于矩阵下列说法正确的是（）（A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆（C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆（D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆2．设B A ,均为n 阶方阵，则必有（）（A ）||||||||A B B A ⋅=⋅（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)(3．设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+221211111λ的秩为2，则=λ（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（）矩阵（A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m ×（D ）m m ×与n n × 5．设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（）也为n 阶对称矩阵（A ）1)(−AB （B ）11−−B A （C ）AB （D ）B A −6．初等矩阵（）（A ）相乘仍为初等矩阵（B ）都可逆（C ）相加仍为初等矩阵（D ）以上都不对7．已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛10113121A ，则=A （）（A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0113 （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1301 （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3110 （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1031 8．设A ，B 为n 阶矩阵，且0=AB ，则必有（）（A ）0=A 或0=B （B ）0=+B A（C ）0=A 或0=B（D ）A +0=B 9．若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A −=−+则必有（）（A ）BA AB = （B ）E A = （C ）E B = （D ）A ,B 为对称矩阵10．已知B 为可逆阵，则11[()]T B −−=（）（A ）B（B ）T B （C ）1−B （D ）TB )(1− 三、计算题 1、⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=520012121A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=413212B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=401223C 求C AB T −； 2、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=412711310A 求1−A ；3、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101020101A ，E 为三阶单位矩阵，满足B A E AB +=+2，求矩阵B ；4、设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵； 5、设A 为3阶方阵，31=A ，求行列式1*)2(3−−A A 的值，其中*A 为A 的伴随矩阵； 6、已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩是3，求a 的值。

线性代数综合练习100题

综合练习100题一、填空题1．设A 是n 阶矩阵，满足,||0'=<AA E A ，则||+=A E 0. 2．若4阶行列式D 的某一行的所有元素及其余子式都相等，则D =0.3．在一个n 阶行列式中，如果等于零的元素多于2n n -个，那么这个行列式D =0. 4．设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，若m n >，则||=AB 0. 5．若n 阶方阵,A B 满足,||0=-≠AB B A E ，则=B 0. 6．若n 阶方阵,A B 满足+=A A B E ，则+=A B A E . 7．若n 阶方阵,,A B C 满足=A B C E ，则'''=B A C E .8．若、A B 都是n 阶方阵，||1,||3==-A B ，则*1|3|-=A B 13n --. 9．若n 阶方阵A 满足*||0.=≠0A A ，则秩()=A 1n -. 10．设,A B 是两个n 阶方阵，||1,||2+=-=A B A B ，则=A B BA2 .11．设矩阵111022003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A 11166611033102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 12．A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，||,||a b ==A B ，则C =0A B(1)m nab -.13．设矩阵A 满足24+-=0A A E ，其中E 为单位矩阵，则1()--=A E 1(2)2+A E .14．设A 为3阶方阵，其特征值为3,1,2-，则2||+=A E 100. 15．已知110001011001001101000111101a -⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪=- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则4,4,()5,4.a R a =-⎧=⎨≠-⎩当时当时A16．已知n 阶方阵A 的各行元素之和都等于0，且()1n =-R A ，则=0A X 的通解为(1,1,,1),k k ' 为任意常数.17．矩阵m n ⨯A 满足,m n <||0'≠AA ，则=0A X 的基础解系一定由n m -个线性无关的解向量构成.18．若矩阵A 满足3=A A ，则A 的特征值只能是0或1或1-. 19．如果(1,1,1)'=-ξ是方阵2125312a b-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量，则a =3-；b =0. 20．已知A 与B 相似，且3021⎛⎫=⎪⎝⎭B ，则2||λ-=A A 3(1)(31)λλ--. 21．已知33⨯A 的特征值为1,2,3，则1*||-+=AA 376.22．已知2是A 的一个特征值，则2|6|+-=A A E 0.23．设,αβ是n 维列向量，0'=βα，则'αβ的特征值为0()n 重. 24．若n 阶方阵A 的行向量组线性相关，则0一定是A 的一个特征值. 25．直线1022270x y x x y z +-=⎧⎨+-=⎩的单位方向向量为±.26．已知2768444424798188D =，41424344,,,A A A A 为D 中第4行元素的代数余子式，则41424344+++=A A A A 0.27．设A 是3阶方阵，X 是3维列向量，使得2,,X A X A X 线性无关，且3232=-A X AX A X ，记2(,,)=P X A X A X ，则1-=P AP 000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 28．若两个非零几何向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 是夹角θ=2π.29．直线260:210x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩的参数方程为8,5113,55.x t y t z t ⎧=-⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩30．圆22212462402210x y z x y z x y z ⎧++-+-+=⎨+++=⎩的半径R =3.二、选择题1．设n 元齐次线性方程组=0A X 的系数矩阵A 的秩为r ，则=0A X 有非零解的充要条件是（C ）.（A ）r n =；（B ）A 的行向量组线性无关；（C ）A 的列向量组线性相关；（D ）A 的列向量组线性无关.2．设A 是m n ⨯矩阵，=0A X 是非齐次线性方程组=AX β所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C ）.（A ）若=0A X 只有零解，则=AX β有唯一解；（B ）若=0A X 有非零解，则=AX β有无穷多解；（C ）若=AX β有无穷多解，则=0A X 有非零解；（D ）=AX β的任两解之和还是=AX β的解.3．设非齐次线性方程组=AX β的系数行列式为零，则（C ）. （A ）方程组有无穷多解；（B ）方程组无解；（C ）若方程组有解，则有无穷多解；（D ）方程组有唯一解.4．设A 是m n ⨯矩阵，对于线性方程组=AX β，下列结论正确的是（A ）. （A ）若A 的秩等于m ，则方程组有解；（B ）若A 的秩小于n ，则方程组有无穷多解；（C ）若A 的秩等于n ，则方程组有唯一解；（D ）若m n >，则方程组无解.5．设5阶方阵A 的秩是3，则其伴随矩阵*A 的秩为（C ）. （A ）3；（B ）4；（C ）0；（D ）2.6．设A 是n 阶方阵，*2,n >A 是A 的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B ）. （A ）*||=A A A ；（B ）若||0≠A ，则*||0≠A ；（C ）**1||=A A A ；（D ）秩()=A 秩*()A .7．设,A B 是n 阶方阵，A 非零，且=A B 0，则必有（D ）.（A ）=0B ；（B ）=0B A ；（C ）222()+=+A B A B ；（D ）||0=B .8．设有两个平面方程 11111:0a x b y c z d π+++=，22222:0a x b y c y d π+++=，如果秩1112222a b c a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭，则一定有（D ）（A ）1π与2π平行；（B ）1π与2π垂直；（C ）1π与2π重合；（D ）1π与2π相交.9．设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随阵*A 的特征根之一是（D ）. （A ）1n λ-；（B ）||λA ；（C ）λ；（D ）1||λ-A . 10．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（B ）. （A ）充分必要条件；（B ）充分而非必要条件；（C ）必要而非充分条件；（D ）既非充分条件也非必要条件. 11．已知n 阶方阵A 与某对角阵相似，则（C ）.（A ）A 有n 个不同的特征值；（B ）A 一定是n 阶实对称阵；（C ）A 有n 个线性无关的特征向量；（D ）A 的属于不同特征值的特征向量正交. 12．下列说法正确的是（D ）.（A ）若有全不为0的数12,,,m k k k 使11m m k k ++=0 αα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（B ）若有一组不全为0的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++≠0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（C ）若存在一组数12,,,m k k k 使1122m m k k k +++=0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性相关；（D ）任意4个3维几何向量一定线性相关.13．设,A B 是n 阶方阵，满足：对任意12(,,,)n x x x '= X 都有''X A X =X B X ，下列结论中正确的是（D ）.（A ）若秩()=A 秩()B ，则=A B ；（B ）若'=A A ，则'=B B ；（C ）若'=B B ，则=A B ；（D ）若,''==A A B B ，则=A B . 14．设,A B 均为n 阶正定矩阵，则必有（B ）.（A ）A B 正定；（B ）2+A B 正定；（C ）-A B 正定；（D ）k A 正定. 15．设A 是n 阶方阵，2=A E ，则（C ）.（A ）A 为正定矩阵；（B ）A 为正交矩阵；（C ）*2()=A E ；（D ）2tr()n =A . 16．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（D ）. （A ）若,A B 都可逆，则'A B 也可逆；（B ）若,A B 都是实对称正定矩阵，则1-+A B 也是实对称正定矩阵；（C ）若,A B 都是正交矩阵，则A B 也是正交矩阵；（D ）若,A B 都是实对称矩阵，则A B 是实对称矩阵. 17．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（B ）. （A ）若A 经列的初等变换化成B ，则秩()=A 秩()B ；（B ）若A 经行的初等变换化成B ，则11--=A B ；（C ）若A 经行的初等变换化成B ，则=0A X 与=0B X 同解；（D ）若A 经列的初等变换化成B ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价. 18．设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B12010100100010001101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P ，则必有（C ）. （A ）12=A P P B ；（B ）21=AP P B ；（C ）12=P P A B ；（D ）21=P P A B . 19．若A 与B 相似，则（B ）.（A ）λλ-=-E A E B ；（B ）||||λλ+=+E A E B ；（C ）**=A B ；（D ）11--=A B . 20．若2=A E ，则（D ）.（A ）+A E 可逆；（B ）-A E 可逆；（C ）+=0A E 或-=A E 0；（D ）≠A E 时，+A E 不可逆. 21．设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，400000000000000⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，则A 与B （A ）. （A ）合同且相似；（B ）合同但不相似；（C ）不合同但相似；（D ）不合同且不相似.22．实二次型f '=X AX 为正定二次型的充要条件是（C ）. （A ）f 的负惯性指数是0；（B ）存在正交阵P 使'=A P P ；（C ）存在可逆阵T 使'=A T T ；（D ）存在矩阵B 使'=A B B . 23．设B 是m n ⨯实矩阵，'=A B B ，则下列结论中错误的是（D ）. （A ）线性方程组=0B X 只有零解⇔A 正定；（B ）()()R R =A B ；（C ）A 的特征值大于等于0；（D ）()R m =⇔B A 正定. 24．设A 是n 阶方阵，||0a =≠A ，则*1||-A A等于（C ）.（A ）a ；（B ）1a；（C ）2n a -；（D ）n a .25．设,A B 是n 阶方阵，则必有（D ）.（A ）11||||||--+=+A B A B ；（B ）111||---+=+A B B A ; （C ）222()=A B A B ；（D ）||||'=A B BA .26．已知12,ηη是非齐次线性方程组=AX β的两个不同的解，12,ξξ是对应的齐次线性方程组=0A X 的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组=AX β的通解为（B ）. （A ）1211222k k -++ηηξξ；（B ）1211212()2k k ++++ηηξξξ；（C ）112121()k k +-+ξηηη；（D ）1121212()()k k +-++ξηηηη. 27．设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（C ）.（A ）6π；（B ）4π；（C ）3π；（D ）2π.28．若1231,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式1231||,m =αααβ 1223||n =ααβα，则4阶行列式12312||+αααββ等于（D ）.（A ）m n +；（B ）()m n -+；（C ）m n -；（D ）n m -. 29．设n 阶矩阵A 非奇异(2)n >，则（C ）.（A ）**1()||n -=A A A ；（B ）**1()||n +=A A A ；（C ）**2()||n -=A A A ；（D ）**2()||n +=A A A . 30．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩是3，则直线333121212x a y bz ca ab bc c ---==---与直线111232323x a y bz ca ab bc c ---==---（A ）.（A ）相交于一点；（B ）重合；（C ）平行但不重合；（D ）异面.三、计算题1．设1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求5A 及10||A .解：由311111111||(4)11111111λλλλλλλ+---+--==+-+---+E A故A 的特征值为12340,4λλλλ====-.对0λ=，由1()λ-=0E A x ，可解得三个线性无关的特征向量，1(1,1,0,0)'=ξ，2(1,0,1,0)'=ξ，3(1,0,0,1)'=-ξ.对4λ=-，由(4)--=0E A x ，可解得特征向量4(1,1,1,1)'=--ξ，令 12341111010010(),0101000114D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭T T T T T ，由=A TTD得 11*13111131111113||41111---⎛⎫ ⎪-⎪=== ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭A TD T T T T 故 1111013111001011311()0101011134001141111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭551511110131110010113110101011134001141111--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪==⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A T D T 88111111112211111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 又10161016642,|||2|2||0====AA AA A .2．设0100102ac b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，（1）,,a b c 满足什么条件时，A 的秩是3; （2）,,a b c 取何值时，A 是对称矩阵; （3）取一组,,a b c ，使A 为正交阵.解：（1）01002002000010010010120120100102a c a bc a bcac b b b ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A 当2a bc ≠时，A 的秩是3.（2）0100102a b c⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，要想A 成为对称矩阵，应满足'=A A ，即1,0a b c ===. （3）要想A 为正交阵，应满足'=A A E ，即0010100100001011010022a b a c cb ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2221,10,211,2a b ac b c ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得1,222a b c ==-=. 3．设有三维列向量123211101,1,1,111λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一；（2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一；（3）β不能由123,,ααα线性表示. 解法1：设111111111λλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭A , 21110111111λλλλλ+⎛⎫⎪=+⎪ ⎪+⎝⎭B 由22211100(2)(1)1110(1)111111λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+⎛⎫⎪⎪=+−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭行B22222003(12)1110(1)0(1)11100(3)(12)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫----+⎪⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭行行（1）当0λ≠且3λ≠-时，()()3R R ==A B ，此时β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一.（2）当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一. （3）当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示. 解法2：2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A① 当0λ≠且3λ≠-时，||0≠A ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一, ② 当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一， ③ 当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示.4．设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===，对应的特征向量依次为，1231111,2,3149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ，又12322=-+βξξξ，求nA β(n 为正整数).解：由于 123123222(,,)21⎛⎫⎪=-+=-⎪ ⎪⎝⎭βξξξξξξ 又由于 1111n n λ==A ξξξ，22222n n nλ==A ξξξ，33333n n n λ==A ξξξ.所以 12312322(,,)2(,,)211n n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A βξξξξξξ 111232221232(,2,3)2123211231nnn n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ 12132223223223n nn n n n +++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭. 5．设122212221-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）求A 的特征值；（2）求1-+E A 的特征值.解：（1）2122||212(1)(5)0221λλλλλλ+---=-+=-+=-+E A得A 的特征值为1231,5λλλ===-.（2）由A 是对称阵，A 的特征值是1,1,5-，存在可逆阵T 使1115-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪-⎝⎭T A T 于是 111115--⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭T A T , 112()245--⎛⎫ ⎪ ⎪+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T E A T ，故1-+E A 的特征值为42,2,5.6．已知(1,,1)k '=α是211121112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆阵1-A 的特征向量，试求常数k 的值. 解：设α为A 的特征值为λ的特征向量，则λ=A αα. 即 2111112111211k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.·129·即 322k k kλλ+=⎧⎨+=⎩解得 220k k +-=，即1k =或2-. 7．设11 111, 1112a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，已知线性方程组=AX β有无穷多解，试求：（1）a 的值；（2）正交阵P ，使'P A P 为对角阵. 解：（1）211111111101101120112a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B111011000(1)(2)2a a a aaa ⎛⎫⎪→-- ⎪⎪-+--⎝⎭要使=AX β有无穷多解，必须()()3R R =<A B ，因此2a =-. （2）此时112121211-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 112||121(3)(3)0211λλλλλλλ---=-+-=-+=--E A ，得A 的特征值1230,3,3λλλ===-.对于10λ=，由1112121211ξ--⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量1111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1333⎛ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭η；对于23λ=，由2212151212ξ-⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪-⎝⎭0，得特征向量2101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭ξ，单位化得·130·2202⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭η；对于34λ=-，由3412111214ξ--⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量3121⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3636η⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;令326033326⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭P ，此时P 为正交阵，并且'P A P 为对角阵033⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭. 8．已知线性方程组（I ）11112213314421122223324400a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的一个基础解系为112112221213231424, b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，试求线性方程组.（II ）11112213314421122223324400b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎨+++=⎩的通解.解：设11121314111213142122232421222324a a a a b b b b a a a a b b b b ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B 由12,ξξ为（I ）的一个基础解系得0'=A B .由12,ξξ线性无关，所以()2R =B ，又0'=B A ，所以1111213142(,,,),a a a a '==ηη21222324(,,,)a a a a '是B 的基础解系，通解为112212,,k k k k +ηη为任意常数.9．已知方程组·131·1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有三个线性无关的解向量，求,a b 的值及方程组的通解.解：1111111111(|)43511011531310131a b a a b a a--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行A β 1024211530042452ab a a -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭行由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故()(|),()1 3.R R A n R =-+=A A β其中4n =. 于是()(|)2R R ==A A β.从而2,3a b ==-. 该方程组与方程组13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩ 同解. 令3142,x k x k ==得该方程组的通解 112212314224253x k k x k k x k x k -++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数. 10．设3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，问当k 为何值时，存在可逆阵P ，使得1-P AP 为对角阵，并求出一个P 及相应的对角阵A . 解：A 的特征方程为：·132· 322122||101423123k kkλλλλλλλλ-----=+-=+---+--+E A2122(1)01(1)(1)0123k λλλλλ-=-+-=-+=-+. 解得特征根为1231,1λλλ===-.当1λ=时，()2,R -=E A A 有1个线性无关的特征向量.当1λ=-时，211422211100022422000000E A -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪--=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k kk k k 因存在可逆阵P ，使1-P AP 为对角阵，所以(1)1R --=E A ，从而0k =. 因此 322010423-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，对应于11λ=的特征向量为1ξ，由222020424--⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭1=0ξ得1(1,0,1)'=ξ 对应于231λλ==-的特征向量为23,ξξ，由422000422--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭0ξ，得 23(1,2,0),(0,1,1)''=-=ξξ 令110021101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P 且P 为可逆阵，相应的对角阵111⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . 11．设101020101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，方阵B 满足2+=+AB E A B ，求B . 解：由2+=+AB E A B 得 2()()()-=-=-+A E B A E A E A E 由于001010100⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E ，所以-A E 可逆，·133·得 201030102⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭B A E ， 12．已知将3阶可逆阵A 的第2行的2倍加到第3行得矩阵B ，求1-AB .解：令100010021⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=C A B ，由于,A C 均可逆，故B 可逆，所以 11100010021--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A BC. 13．设有线性方程组123123123000ax bx bx bx ax bx bx bx ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （,a b 不全为0）（1）,a b 为何值时方程组有非零解；（2）写出相应的基础解系及通解；（3）求解空间的维数.解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式0ab b ba b bba= 即 2()(2)0a b a b -+= 故0a b =≠，或20a b =-≠时，方程组有非零解. （2）当0a b =≠时，方程组为1230x x x ++=，即123x x x =--.其基础解系为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，通解为12121110,,10k k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.当20a b =-≠时，方程组为123123123202020x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，解得基础解系为111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，通解为11,1k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.·134· （3）当0a b =≠时，解空间维数为2；当20a b =-≠时，解空间维数为1.14．设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++经正交变换=X P Y 化成22232f y y =+，其中123123(,,),(,,),x x x y y y ''==X Y P 是3阶正交矩阵，求,a b 及满足上述条件的一个P .解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为11111a ab b⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 000010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 故二次型可以写成f '=X AX 和f '=Y BY ，且1-'==B P AP P AP . 由,A B相似知|||λλ-=-E A E B ，即32223(2)()a b a b λλλ-+--+- 3232λλλ=-+，比较系数得：0,0a b ==. 由100010002-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P A P B ，知A 的特征值是0,1,2. 解方程组(0)-=0E A x ，得1101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得11120||2ξξ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ -⎝⎭P 解方程组()-=0E A x ，得22201,0⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξξ，解方程组(2)-=0E A x ，得3101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ξ，单位化得33320||2⎛ ⎪== ⎪ ⎝⎭P ξξ故123022()010022⎛⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P P P P .·135·15．求直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨+--=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩的公垂线方程.解：1L 与2L 的标准式及参数形式分别为：11:011x y z L -==与1,,;x y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩22:210x y z L +==-与2,,2.x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1L 的方向向量为12(0,1,1),L =s 的方向向量为2(2,1,0)=-s .设1L 与2L 公垂线垂足为(1,,),(2,,2t t λλ--A B ，则应有(21,,2)A B t t λλ=-----，且1220s λ⋅=---= A B t ，2520s λ⋅=+-=AB t .解得4,32.3t λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1{1,2,2}3A B =- ，故公垂线方程为44133122y z z ++-==-.16．求直线210:10x y z L x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩在平面:20x y z π+-=上投影的方程.解：A 点坐标为44(1,,)33--.设通过直线L 垂直于平面π的平面0π的方程为21(1)0x y z x y z λ-+-++-+=.0π的法向量为1(2,1,1)λλλ=+-+-n . 平面π的法向量为(1,2,1)=-n . 由0ππ⊥，知10⋅=n n ，得 22(1)(1)λλλ++-+--=解得14λ=.从而得0π方程为310.x y z -+-=所以所求直线0L 方程为310,20.x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩ππL 0L·136· 17．设矩阵A 与B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，（1）求,a b 的值；（2）求一个可逆阵P ，使1-=P AP B .解：（1）因为A 与B 相似，所以有||||λλ-=-E A E B ，32111||242(5)(53)6633a a a aλλλλλλλ---=--=-++++--E A232||(2)()(4)(44)4bb b b λλλλλλ-=--=-+++-E B 比较两式系数可得：5344664a b a b +=+⎧⎨-=-⎩解得56a b =⎧⎨=⎩.（2）因A 与226⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 相似，所以A 的特征值为2,2,6. 1112222333-⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭E A . 解(2)-=0E A X 得A 的对应于特征值2的特征向量12111,001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，5116222331-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E A . 解()E A X -=60得A 的对应于特征值6的特征向量 3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ.令123111()102013P -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ξξξ，则有1-=P AP B . 18．已知3阶实对称阵A 的特征值为03,2,2,10⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭及01⎛⎪ ⎪⎝⎭分别是A 的对应于特征值3,2的·137·特征向量，（1）求A 的属于特征值2-的一个特征向量；（2）求正交变换=X P Y 将二次型f '=X AX 化为标准形.解：（1）设2-对应的特征向量为X ，则有12(,)0,(,)0==X X ξξ，可取310⎛⎫⎪= ⎪ ⎝ξ.（2）把特征向量规范正交化后得：12310221,0,00122⎛⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭P P P . 令10221001022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭P ，则在正交变换=X P Y 下f 化为 222123322f y y y =+-.19．已知二次型22212312232355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，求c 及此二次型对应矩阵的特征值，指出123(,,)1f x x x =代表三维几何空间中何种几何曲面. 解：二次型f 所对应的矩阵为51315333c -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 因f 的秩为2，即A 的秩为2，故有||0=A ，所以3c =.513||153(4)(9)0333λλλλλλλ---=-=--=--E A ，得特征值为0,4,9. 与特征值相对应的单位特征向量分别为123(,0),'''=-==-P P P ，取正交变换阵·138·⎛⎫- ⎪ ⎪ =-⎪ ⎪⎝⎭P ，则在正交线性变换=X P Y 下，方程123(,,)1f x x x =化为椭圆柱面2223491y y +=.20．设有数列01201321120,1,,,,,n n n a a a a a a a a a a a --===+=+=+ ，求1000a . 解法1：由1121110n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得9991000109991110a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.记 1110⎛⎫=⎪⎝⎭A 得A22，并且12,2211⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别是A的对应于特征值1122+-的特征向量.记12(,)2211⎛ == ⎪ ⎪⎝⎭T ξξ，于是112112-⎛-⎪=⎪+-⎪⎝⎭T则1102102-⎛⎫+⎪= - ⎝⎭A T T99999910202-⎛⎫⎪= ⎝⎭A T T10001000999999555))])522210210555))]522210210-+⎪= ⎪-+⎪⎝⎭所以100010001000)522a =-.·139·解法2：设 1111n D +++=++αβαβαβαβαβαβαβαβ将n D 按第一行展开可得1nn n D D αβ--= （1）由, αβ的对称性可得1n n n D D βα--= （2）若αβ≠，（1）、（2）联立解之11n n n D αβαβ++-=- （3）若αβ=，由（1）1(1)n nn n D D n ααα-=+=+ （4）考察令 11111111111nD --=-补充定义100,1D D -== ，则 12,1,2,n n n D D D n --=+= 于是1n n a D -= 解：11αβαβ+=⎧⎨=-⎩, 得001122αβ+-==，由（3）知·140· 000000001000999000000111a D αβαβαβαβαβαβαβαβ+++==++1000100000αβαβ-=-10001000522⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 四、证明题1．证明69169169(1)316916nn D n ==+，（n 为正整数）. 证：1 1n =时，16(11)3D ==+⋅ 2 假设当n k≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，由226936927(21)316D ==-==+⋅知命题成立.若13k +≥，将1k D +按第一行展开得11169169696(1)39316916kk k k k D D D k k -+-==-=+-⋅⋅1(2)3k k +=+⋅由数学归纳法，对一切自然数n 结论都成立.2．设A 为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m 使m =0A ，则=20A . 证：因m=0A ，所以||||0mm==A A ，又A 为2阶方阵，故()1R ≤A .·141·所以A 经初等变换可以化为100000000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，于是存在可逆阵,P Q ，使1000100000(100)00000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P Q P Q ，取10,(100)0⎛⎫ ⎪ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭U P V Q ，则'=A U V .令k '=V U ，则2.k k '''===A UV UV UV A 由m m k -==10A A 知0k =，或者=0A ，故2k ==0A A . 3．设A 是幂等阵2()=A A ，试证（1）A 的特征值只能是1或0，（2）()()n R R n +-=A A E ，（3）A 可相似对角化；（4）()tr()R =A A .证：（1）设λ是A 的任一特征值，则存在≠0X 使λ=A X X . 于是22λ=A X X .由2=A A 知，2λλ=X X . 由≠0X 得2λλ=，故1λ=或0.（2）由2=A A 知，()-=0A A E ，于是()()R R n +-≤A A E （1）由()n n +-=A E A E 知()()()()()n n n R R R R R =≤+-=+-E A E A A A E （2）综合（1），（2）可得()().n R R n +-=A A E（3）记12(),()n R r R r =-=A A E .当10r =或20r =时，=0A 或n =A E ，命题显然成立. 以下设120,0r r ≠≠，由12r r n +=知10r n <<，20r n <<. 取112,,,n r - ξξξ为=0A X 的基础解系212,,,n r - ηηη是()n -=0A E X 的基础解系，则112,,,n r - ξξξ是A 的属于特征值0的线性无关的特征向量，212,,,n r - ηηη是A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由12()()n r n r n -+-=知A 有n·142· 个线性无关的特征向量1211,,,,,n r n r -- ξξηη. 从而A 可相似对角化.（4）由（1）、（3）可知存在可逆阵T 使10r-⎛⎫=⎪⎝⎭E TA T 于是1()tr()tr()R r -===A T A T A .4．设,A B 是n 阶正定矩阵，证明：A B 的特征值全大于0. 证：因,A B 正定，则存在可逆阵12,P P ，使11221122''''===A P P B P P AB P P P P12221121212()()()-'''''==P A B P P P P P P P P P因12,P P 可逆，则12'P P 可逆，从而1212()()''P P P P 正定，它的特征值全大于0，因A B 与1212()()''''P P P P 相似，从而A B 的特征值全大于0. 5．设A 为n 阶方阵，试证：（1）若1k +=0A α且k ≠0A α，则1,,,,k k - A A A αααα线性无关；（2）1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解；（3）1()()n n R R +=A A . 证：（1）反证法若1,,,,k k + A A A αααα线性相关，则存在不全为零的数01,,,k l l l ，使01kk l l l +++=0 αααA A ，设i l 是第一个不等于零的系数，即0110,0i i l l l l -====≠ ，则 11i i ki i k l l l +++++=0 A A A ααα，两边乘以矩阵k i -A ，得121kk k ii i k l l l +-++++=0 A AAααα，由于1k +=0Aα，故对任意1m k ≥+都有m=0A α，从而由上式得k i l α=0A ，但k≠0A α，故0i l =与假设矛盾. （2）证明：假设α是1n +=0A X 的解，但不是n=0A X 的解，即有 1n +=0A α 但n≠0A α.由（1）知1,,,,nn - A AA αααα线性无关，与1n +个n 维向量1,,,,n n - A A A αααα线性相关矛盾，故α是n =0A X 的解. （3）由（2）知1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解，且易知n =0A X 的解一定是1n +=0AX 的解，所以方程1n +=0AX 与n=0A X 同解，所以1()()n n+=R A R A .6．已知向量组12,,,(2)m m ≥ ααα线性无关，试证：向量组1112,mk =+=βααβ 22111,,,m m m m m m m k k ---+=+= ααβααβα线性无关.·143·证：假设有一组数121,,,,m m l l l l - 使得112211m m m m l l l l --++++=0 ββββ.则有11222111()()()m m m m m m m m l k l k l k l ---+++++++=0 ααααααα，即有112211112211()m m m m m m l l l l k l k l k l ----++++++++=0 αααα由于12,,,m ααα线性无关，所以1211122110m m m m l l l l k l k l k l ---====++++= ，所以1210m m l l l l -===== .故12,,,m βββ线性无关.7．设12,,,m ααα线性无关，m 为奇数，试证：1122231,,,m -=+=+= βααβααβ 11,m m m m -+=+ααβαα线性无关.证：假设存在一组数12,,,m k k k 使112211m m m m k k k k --++++=0 ββββ，则有112223111()()()()m m m m m k k k k --++++++++=0 αααααααα，即111221()()()m m m m k k k k k k -++++++=0 ααα又由于12,,,m ααα线性无关，所以11210m m m k k k k k k -+=+==+= ，因为m 是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式11011101(1)2001001m D +==+-=≠，112100m m m k k k k kk -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （1）故（1）只有零解，所以120m k k k ==== ，故12,,,m βββ线性无关.8．设n 阶矩阵A 的n 个列向量为12,,,n ααα，n 阶矩阵B 的n 个列向量为·144· 122311,,,,,()n n n R n -++++= ααααααααA ，问齐次线性方程组=0B X 是否有非零解，证明你的结论.证：当n 为奇数时，齐次线性方程组=0B X ，没有非零解. 当n 为偶数时，=0B X 有非零解.由于()R n =A ，所以n 阶矩阵A 的n 个列向量12,,,n ααα线性无关，由上题知，当n 为奇数时，122311,,,,n n n -++++ αααααααα也线性无关，所以()R n =B ，因此齐次线性方程组=0B X 没有非零解，但当n 为偶数时，因122311()()()()n nn -+-++++-+=0 αααααααα，122311,,,,n n n -++++ αααααααα线性相关，所以()R n <B .因此，齐次线性方程组=0B X 有非零解.9．设12,,,n ξξξ是n 阶方阵A 的分别属于不同特征值的特征向量，12n =+++ αξξξ. 试证：1,,,n - A A ααα线性无关.证：设A 的n 个互不相同的特征值为12,,,n λλλ ，对应的特征向量依次为12,,,nξξξ，则1111(),,n n nnλλ=++=++=++ A A A A αξξξξξξ 11111n n n n n λλ---=++ Aαξξ.设有一组数011,,,n k k k - ，使得1011n n k k k --+++=0 αααA A即1101111111()()()n n n n n n n k k k λλλλ---+++++++++=0 ξξξξξξ.可得1101111101212201(λλ)(λλ)(λn n n n n k k k k k k k k ξξ----+++++++++++11)n n nn k λ--+=0ξ.由于12,,,n ξξξ线性无关，所以1011111012121011000n n n n n n n n k k k k k k k k k λλλλλλ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 即 1011212211111n n n n n nk k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0λλλλλλ 又由于1111221111()01n n i j j i nn n n--≤<≤-=-≠∏λλλλλλλλ.·145·所以0110n k k k -==== ，即21,,,,n - A A A αααα线性无关.10．已知,A B 是两个n 阶实对称矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是,A B 的特征多项式相等.证：（1）若A 与B 相似，记1-=T AT B ，则11||||||||||||λλλλ---=-=-=-E B E TAT T E A T E A .（2）若,A B 的特征多项式相等，则,A B 有相同的特征值12,,,n λλλ . 因,A B 都是实对称矩阵，存在正交阵,P Q 使112211,n n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P Q B Q 于是11--=PA P QB Q .即111()()---=PQA PQB故A 与B 相似.11．设A 是n 阶实矩阵，证明当0k >时，k '+E A A 正定.证：()()()k k k ''''''+=+=+E A A E A A E A A ，即k '+E A A是实对称阵. 对任意n 维非零实列向量X ，有()()()()k k k '''''''+=+=+X E A A X X E X X A AX X X AX AX由于0k >，所以()0k '>X X ，又()0'≥AX AX ，所以()0k ''+>X E A A X .即k '+E A A 正定.12．设A 是m n ⨯实矩阵，证明：()()()R R R ''==A A AA A ，并举例说明A 是复矩阵时，结论未必成立. 证：考察方程组'=0A A X ，（1）=0A X （2）显然（2）的解均为（1）的解，因而()()n R n R '-≤-A A A ，即有()()R R '≤A A A （3）·146· 另一方面，对任意1nn x x ⎛⎫⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭RX 如果'=0A A X ，则()0''=X A AX ，即()()0'=AX AX （4）设12(,,,)n a a a '= A X ，由（4）知210ni i a ==∑，因为A 为实矩阵，X 为实向量，故i a 均为实数，所以120n a a a ==== ，即=0A X ，由于（2）的解也是（1）的解，故有()()n R n R '-≤-A A A ，即()()R R '≤A A A （5）综合（3），（5）式知()()R R '=A A A由()()R R '=A A 知()(())()()R R R R '''''===AA A A A A故有()()()R R R ''==A A AA A .令1i ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则(1,)i '=A ，于是(0)'=A A ，即A 是复矩阵，结论不成立.13．若任意n 维列向量都是n 阶方阵A 的特征向量，试证：A 一定是标量矩阵.证：先证A 的任两个特征值都相等，否则设1212,()λλλλ≠是A 的两个特征值，≠0X ，≠0Y ，使12,λλ==AX X AY Y . 因12λλ≠，所以,X Y 线性无关，+≠0X Y . 依题意存在k ，使()()k +=+A X Y X Y ，于是1212()(),k k k λλλλ-+-===0X Y ，矛盾，故A 的所有特征值都相等，记为λ.令j e 为n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,,j n = ，于是1()E e e e = j n由已知,1,2,,j j j n λ== A e e得11()(),,A e e e e e e A E E A E λλλ=== j n j n即A 是数量矩阵.14．设A 是n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B 使2=A B . 证：A 是正定阵，则存在正交矩阵P ，使得·147·121n λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P A P D ，其中0,(1,2,,)ii n λ>=令(1,2,,)i i n δ== ，则21111222222n n n n λδδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 而 11221n n δδδδδδ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PD PP P 1122n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 12n δδδ⎛⎫⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P P ，易验证B 为正定阵，故2=A B . 15．设α是n 维非零实列向量，证明：2'-'E αααα为正交矩阵.证：因为22()'''-=-''E E αααααααα，故 2222()()()()'''''--=--''''E E E E αααααααααααααααα 224444()()()()()''''''=-+=-+''''E E αααααααααααααααααααα 44''=-+=''E E αααααααα.因而2'-'E αααα为正交矩阵.16．设方程组=0A X 的解都是=0B X 的解，且()()R R =A B ，试证：=0A X 与=0B X 同解.证：设()()R R r ==A B ，则=0A X 的基础解系含有n r -个线性无关的向量，不妨设为·148· 12,,,n r - ξξξ. 有,(,,)A ==-01 i i n r ξ.又=0A X 的解必为=0B X 的解，从而,(,,)i i n r ξ==-01 B 从而12,,,n r - ξξξ也是=0B X 的基础解系.于是=0B X 的通解为11.n r n r k k --+ ξξ则=0A X 与=0B X 同解.17．设A 是n 阶方阵，12(,,,)n b b b '= β是n 维列向量，0⎛⎫=⎪'⎝⎭AB ββ，若()()R R =A B，则=AX β有解.证：由于()()()R R R ≤= A B A β，又由于()()R R ≤ A A β，所以()()R R = A A β即=AX β有解.18．设12(,,,)(1,2,,,)i i i in a a a i r r n '==< α是r 个线性无关的n 维实向量，12(,,,)n b b b '= β 是线性方程组1111221211222211220n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的实非零解向量，试证：12,,,,r αααβ线性无关.证：假设12,,,,r αααβ线性相关，由已知12,,,r ααα线性无关，必有1122r r k k k =+++ βααα，（1）又由β为方程组的解，从而(,)0,(1,,)i i r == βα于是11(,)(,)0r r k k =++= βββαα，从而=0β，矛盾.所以12,,,,r αααβ线性无关.19．设,A B 是两个n 阶正定矩阵，若A 的特征向量都是B 的特征向量，则A B 正定. 证：因为,A B 是两个n 阶正定矩阵，因此,A B 也必为实对称矩阵，设12,,,n P P P 为A 的n 个标准正交的特征向量，记12()n = P P P P ，则112211,,n n k k k λλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P P B P 并且,0,(1,,)i i k i n λ>= ，所以。

《线性代数》综合练习题,附答案

《线性代数》综合练习题一、选择题1. 设A ，B 都是n 阶方阵，且AB=0，则必有（）.A.0=A 或0=BB.0=+B AC. 0||=A 或0||=BD. 0||||=+B A2. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且ABC=E,其中E 为n 阶单位方阵，则必有（）.A. ACB=EB. BC A =EC. CBA=ED. BAC=E3. 设A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 等价，则( ).A. R(A)=R(B)B. )det()det(B A =C. )det()det(B E A E -=-λλD. 存在可逆矩阵P,使B AP P =-14. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A （）. A.A A )det(1 B. 1)det(1-A A C.*)det(1A A D. A A *)det(1 5. 设方阵A 满足A 2-A -2E=0, 则必有（）.A.E A -=B. E A 2=C. A 可逆D. A 不可逆6. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=⋅|*|||A A （）.A. 1B. n A ||C. 1||-n AD. 1||+n A7. 设A,B 为n 阶方阵,则必有（）.A. AB=BAB. │A+B│=│A│+│B│C. │A -B│=│A│-│B│D. │AB│=│A││B│8.设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（）.A. B A +一定可逆B. AB 一定可逆C . 11--B A 一定可逆 D. TT B A 一定可逆.9.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011可交换的是（）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2011 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2032 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121110.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 为非奇异矩阵的充要条件是（）. A. 0=-bc ad B. 0=-cd abC. 0≠-bc adD. 0≠-cd ab11.设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则必有（）.A. ||||A kA =B. ||||A k kA =C. ||||1A k kA n -=D. ||||A k kA n =12.下列说法正确的是（）.A. 设A 为n 阶方阵,且A 2=A ，则A=E 或A=0.B. 设A,B,C 为n 阶方阵, AB=AC 且A≠0，则B=C.C. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且AB=E ，CA=E ，则B=C.D. 设A 为n 阶方阵,且A 2=0，则A=0.13.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5321的逆矩阵是（）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1325 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5231 14.设A 为3阶方阵,|A|=3,则|3A -1|= ( ).A. 1B. -1C. 9D. -915. 设C B A ,,都是n 阶可逆矩阵，则=-1)(ABC ( ). A. 111---C B A B. 111---A C BC. 111---B A CD. 111---A B C16. 设A 是一个3阶的反对称矩阵，则|A|= ( ).A. -1B. 0C. 1D. 无法确定17.设α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a ,β],,[321b b b =,)3,2,1(0,0=≠≠i b a i i ,则方阵A=αβ的秩为( ).A. 0B. 1C. 2D. 318.如果向量组线性相关，那么( ).A. 这个向量组中至少有一个零向量.B. 这个向量组中至少有两个向量成比例.C. 这个向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.D. 这个向量组中所有向量都可以由其余向量线性表示.19.下列说法正确的是( ).A. 等价的向量组含有相同的向量个数.B. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有一个零向量.C. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有两个向量成比例.D. n 维单位向量组是线性无关的.20.设向量组α1],0,0,1[=α2],1,0,0[=则β=( )时,它是α1, α2的线性组合.A. ]2,1,0[B. ]0,2,1[C. ]2,0,1[D. ]0,1,2[21.向量组α1，α2，… ，αm 的秩不为0的充要条件是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个非零向量.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中至多有一个非零向量.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中全部是非零向量.D. 向量组α1，α2，… ，αm 线性无关.22.设向量组α1，α2，… ，αm 的秩为)2(-≤m r r ,则下列说法错误的是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个含r 个向量的部分组线性无关.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中含r 个向量的部分组都线性无关.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中含1+r 个向量的部分组都线性相关.D. 向量组α1，α2，… ，αm 中含2+r 个向量的部分组都线性相关.23.设α1，α2，α3为3阶方阵A 的列向量组,则α1，α2，α3线性无关的充要条件是( ).A. │A│0≠B. A 的秩3)(<A RC. 方阵A 不可逆D. 方阵A 是奇异的24. 下列说法错误的是( ).A.1+n 个n 维向量必相关.B. 等价的向量组有相同的秩.C. 任一n 维向量一定可由n 维单位向量组线性表示.D. 零向量不可以由n 维单位向量组线性表示.25. 若R （A ）=2，则5元齐次线性方程组A x =0的基础解系中有( )个向量。

工程数学(线性代数)综合练习题

一、判断题：1.四阶行列式 D== abcd. ( )2.n阶行列式D==( )3.设A为n阶矩阵,k为不等于零的常数,则( )4.设A,B均为n阶矩阵,则( )5.若n阶矩阵A,B满足AB=0,则有A=0或者B=0. ( )6.对n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使AB=E(E为n阶单位矩阵),则A可逆且有( )7.设A,B均为n阶矩阵且A,则A,B均可逆. ( )8.若n阶矩阵A,B均为可逆矩阵,则A+B仍为可逆矩阵. ( )9.设A,B均为n阶可逆矩阵,则. ( )10.若n阶矩阵A为对称矩阵,则A为可逆矩阵. ( )11.若n阶矩阵A为正交矩阵,则A为可逆矩阵. ( )12.若n阶可逆矩阵A=,则( )13.若存在使式子成立,则向量组线性无关.( )14.若向量组线性相关,则可用线性表示. ( )15.设为基本单位向量组,则线性无关. ( )16.若是向量组的一个极大无关组,则均可用线性表示. ( )17.等价向量组所含向量个数相同. ( )18.若是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价.( )19.若矩阵A有一个r(r<m<n)阶子式不等于零,一个r+1阶子式等于零,则Rank(A)=r.( )20.任意矩阵A的秩等于它的等价标准形中1的个数. ( )21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系. ( )22.任何一个齐次线性方程组都有解. ( )23.若线性方程组AX=B(A为矩阵,X=)满足Rank则此方程组有解. ( ) 24若线性方程组AX=0(A为n阶矩阵,X同上)满足,则此方程组无解. ( )25.若线性方程组AX=B(A,X同24题,B=满足此方程组有无穷多解.( )26.若都是AX=B(A,X,B同23题)的解,则仍是此方程组的解. ( )二、填空题：1. 四阶行列式_____________________.2. 五阶矩阵其中则_______,________,_____________.3. 设A,B均为n阶矩阵,且则=_______________.4. 设矩阵,则的余子式为_________________,的代数余子式为________________,A的顺序主子式为__________________________.5. 设三阶矩阵则kA-E =________________(k为不等于零的常数,E为三阶单位矩阵),若则=________________.此时A在等价关系下的标准形为____________________.6. 已知当为任意常数时,向量组线性________关(相关还是无关)._______(能还是不能)用线性表示.7.设则向量用向量线性表示的表达式为_______________________.向量组_____________(是或不是)线性相关.8. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.9. 设A为五阶矩阵,且则其中为A的伴随矩阵.10.设矩阵其中则= ，= ，= 。

线性代数综合测试题

合同变换法
通过合同变换将二次型化为标准形。具体步骤包括构造一个可逆矩阵 $C$，使得 $C^TAC$ 为对角矩阵，从而得到标准形。
正定二次型判断方法
顺序主子式法
若二次型的顺序主子式均大于零，则该二次型为正定二次型。
特征值法
若二次型的特征值均大于零，则该二次型为正定二次型。
惯性指数法
若二次型的正惯性指数等于其变量的个数，则该二次型为正定二次型。
线性代数综合测试
目录
CONTENTS
• 矩阵及其运算 • 行列式及其性质 • 线性方程组求解与应用 • 向量空间与线性变换 • 特征值与特征向量 • 二次型及其标准形
01
矩阵及其运算
矩阵基本概念与性质
矩阵的定义
01
由$m times n$个数排成的$m$行$n$列的数表称为$m times
n$矩阵。
确定主元、进行行变换、回代求解。
矩阵方程求解方法
1 2
矩阵方程形式
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数列向量， b为常数列向量。
求解方法
通过对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，从而得到方程组的解。
3
特殊情况处理
当系数矩阵A为奇异矩阵（即行列式为零）时，方程组可能无解或有无穷多解，需根据具体情况进行分析。
THANKS
感谢您的观看
在行列式的展开过程中，需要计算余子式和代数余子式，它们与元素的位置和符号有关。
克拉默法则及应用
克拉默法则
对于n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于零，则方程组有唯一解，且解可以通过系数矩阵和常数项矩阵的行列式计算得出。
克拉默法则的应用
利用克拉默法则可以求解一些特殊类型的线性方程组，如系数矩阵为范德蒙德矩阵的方程组等。

《线性代数与解析几何》矩阵部分练习题及答案

《线性代数》练习题矩阵部分一、填空题1．设A 是3阶方阵，A ＝-3,则2A ＝______，3A ＝______2 设A ＝1203⎛⎫⎪⎝⎭，B ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，则当b,d 为任意常数，且c=______ a=______时，恒有AB=BA.3.设矩阵A ＝111022003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，T A 为矩阵A 的转置矩阵，则TAA ＝______， 4.若A ＝011001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，f(x)=33x +x,则f(A) ＝______. 5.设A ＝120303010-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则)()(E +A E -A ＝______。

6．设A ＝101210325⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭，则)(1E --A ＝______。

7．设A ＝5200210000120011⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭，则1-A ＝______。

8．n 阶可逆矩阵A,B,若A ＝3，则1-K B A B ＝______。

9．对于n 阶方阵A ，若T AA ＝2E ，则A ＝______。

10．已知 n 阶矩阵A 可逆，则（）成立。

A ，)(12-A ＝12-A ； B,)(12--A =112--A ; C,)(12--A ＝112-A ; D,)(12-A =2A .11.对于n 阶可逆矩阵A,B,则下列等式中（）不成立。

A )(1-AB ＝1-A 1-B B, )(1-AB = 11-A .11-BC, )(1-AB ＝1-A .1-BD , )(1-AB ＝1AB12.若A 为n 阶方阵，且3A ＝0，则矩阵()1-E -A ＝______。

13．设A 为3阶方阵，且3A =，则212⎛⎫A ⎪⎝⎭＝______。

14．设A ＝[]1,2,3，[]1,1,1B =，则()KT A B ＝______。

15．设A 为3阶方阵，且2A =，则132-*A -A ＝______。

线性代数[1]

《线性代数(文)》综合复习资料一、填空题1．排列315426的逆序数为。

2. 行列式111222333D == 。

3．若A = 101λ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则矩阵A 的k 次幂kA = 。

4．若向量组321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα+++,是线性的。

5．431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

6．设==D D 则,010111101 。

7．设=≠-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1),0 A bc ad d c b a A 则（其中。

8．已知齐次线性方程组12312312322020340x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则λ= 。

9．已知()2104,,,α=，()1024,,,β=-，32αβ-= 。

10．设向量2132122112123,ααβααβααβαα+=+=+=，，线性无关，则一定是线性关的。

11．在六阶行列式263265135441det(),ij D a a a a a a a =中应带号。

12．若11022xc c c ,x = 则x = 。

13．矩阵1132A -⎛⎫= ⎪⎝⎭的标准形是I =。

14．设n 阶矩阵A ，满足方程2230A A E ++=，则1A -= 。

15．123312132124x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

16.排列542163的逆序数为。

17．123456789D == 。

18. 设100101010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则2=A。

19．若向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===线性相关，则t ＝。

二、单项选择题1.下列排列中是奇排列的是( ).A) 4321; B) 1234 ; C) 2314; D) 4123.2. 矩阵1234124511012⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的秩等于( ).A ）0；B ）1；C ）2；D ）3。

（精选）线性代数矩阵习题

（精选）线性代数矩阵习题习题课一.单项选择题1. 设A 为n 阶可逆矩阵,λ为A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵的特征根之一为( )A.n A ||1-λB. ||1A -λC. ||A λD. n A ||λ2.设λ为非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵12)31(-A 有一特征值为( )A.34B.43C.21D.413.n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( )A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件 4.设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ) A. B E A E -=-λλB. A 与B 有相同的特征值与特征向量C. A 与B 都相似于一对角矩阵D. 对任意常数t ,有A tE -与B tE -相似二.填空题1.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为51,41,31,21,则行列式=--||1E B 2.设n 阶方阵A 伴随矩阵为*A ,且,0||≠A 若A 有特征值λ,则E A +2*)(的特征值为3.矩阵=1111111111111111A 的非零特征值为 4.n 阶矩阵A 的元素全是1,则A 的n 个特征值为三、计算题1.设=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件. 2.设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3;矩阵A 的属于特征值1,2,的特征向量分别为,)1,2,1(,)1,1,1(21T T --=--=αα（1）求A 的属于特征值3的特征向量; （2）求矩阵A .3.设T)1,1,1(-=ξ为---=2135112b a A 的一特征向量. (1)求b a ,及特征值ξ; (2) A 可否对角化?4.设三阶矩阵 A 满足),3,2,1(==i i A i i αα其中,)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(321TT T --=-==ααα 试求矩阵A .5.设矩阵,3241223----=k k A 问k 为何值时,存在可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵？并求出P 和相应的对角矩阵.答案一.单项选择题 1、解: B.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则ξλξ**A A A =,即ξλξ*||A A =, 从而ξλξ|)|(1*A A -=.注:一般地,我们有:若λ为A 的一个特征根,则 (1)T A 的特征根为λ;(2)k A 的特征根为kλ; (3)aA 的特征根为λa ;(4)若A 可逆,则1-A 的特征根为λ1; (5)若0≠λ,则*A 的特征根为||1A -λ; (6)kE A +的特征根为k +λ.2、解: B.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则,,2222ξλξξλξa aA A ==(a 为实数), 所以, 12)31(-A 的一个特征值为12)231(-?=43. 3、解: B. 4、解: D. 二.填空题 1、解: 24.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量), A 可逆, 则ξλξ1 1--=A ,ξλξ)1()(11-=---E A ,即 E A--1的特征值为1-λ-1, 从而=--||1E A (2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.另一方面, A 与B 相似,所以,存在可逆矩阵P 使得 B AP P =-1 , 即P A P B111---=,P E A P EP P P A P E B )(111111-=-=-------,所以E B--1与E A --1相似,相似矩阵有相同的行列式,因此, =--||1E B 24.2、解:.1||22+λA若A 的特征值为λ,则*A 的特征值为λ||A ,2*)(A 的特征值为22||λA ,所以, E A +2*)(的特征值为.1||22+λA3、解: 4.计算特征行列式λλλλλλλλλ01010010001)4(1111111111111111||-=----------------=-A E 0)4(3=-=λλ .所以,非零特征值为4.4、解:n,0,其中0为n-1重根.(计算方法如上)。