单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计
任务1-一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计
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西安建筑科技大学课程设计(论文)任务书专业班级:学生姓名:指导教师(签名):一、课程设计(论文)题目一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计二、本次课程设计(论文)应达到的目的(1)复习、巩固和加深所学专业基础课和专业课的理论知识,综合运用经典控制理论与现代控制理论的知识,弄清楚其相互关系,使理论知识系统化、实用化。
(2)增强学生的工程意识,联系实际问题设计,使理论与实践相结合。
(3)掌握基于状态空间分析法进行控制系统分析与综合的方法。
(4)训练利用计算机进行控制系统辅助分析与仿真的能力。
(5)掌握参数变化对系统性能影响的规律,培养灵活运用所学理论解决控制系统中各种实际问题的能力。
(6)培养分析问题、解决问题的独立工作能力,学习实验数据的分析与处理方法,学习撰写设计说明书。
三、本次课程设计(论文)任务的主要内容和要求(包括原始数据、技术参数、设计要求等)系统参数:本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统,系统内部各相关参数为:小车质量0.5 Kg ;摆杆质量0.2 Kg ;小车摩擦系数0.1 N/m/sec ;摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ;摆杆惯量0.006 kg*m*m ;采样时间0.005秒。
设计要求:设计状态反馈控制器,使得当在小车上施加1N的脉冲信号时,闭环系统的响应指标为:(1)稳定时间小于5秒(2)稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度设计主要内容:(1)参照相关资料,推导出系统的传递函数和状态空间方程。
(2)定量、定性分析系统的性能。
(3)设计状态反馈控制器,使得当在小车上施加1N的脉冲信号时,闭环系统的响应满足性能指标要求。
(4)对设计的系统进行仿真研究、校验与分析。
(5)设计状态观测器,讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。
成果要求:书写课程设计说明书一份(6000-10000字)。
内容应包括数学模型建立,控制器设计,系统仿真过程、结果分析及结论。
电气系统综合设计实验报告直线一级倒立摆控制系统设计
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电气控制系统设计——直线一级倒立摆控制系统设计学院轮机工程学院班级电气1111姓名李杰学号 36姓名韩学建学号 35成绩指导老师肖龙海2014 年 12 月 25 日小组成员与分工:韩学建主要任务:二阶系统建模与性能分析,二阶控制器的设计,二阶系统的数字仿真与调试,二阶系统的实物仿真与调试;二阶状态观测器的数字仿真与调试,二阶状态观测器的实物仿真与调试;李杰主要任务:四阶系统建模与性能分析,四阶控制器的设计,四阶系统的数字仿真与调试,四阶系统的实物仿真与调试;四阶状态观测器的数字仿真与调试,四阶状态观测器的实物仿真与调试;前言倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统,倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合,其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统,可以作为一个典型的控制对象对其进行研究;倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段,为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台,以用来检验某种控制理论或方法的典型方案,促进了控制系统新理论、新思想的发展;本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真,利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察和分析,研究调节器参数对系统动态性能的影响,非常直观的了解控制器的控制作用;目录第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构 (4)设计的目的 (4)设计的基本任务 (4)设计的要求 (4)设计的步骤 (5)第二章一级倒立摆建模及性能分析微分方程的推导 (5)系统的稳定性和能控能观性分析 (11)二阶的能观性、能控性分析 (13)四阶的能观性、能控性分析 (18)第三章倒立摆系统二阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (22)极点配置 (22)控制器仿真设计与调试 (23)状态观测器仿真设计与调试 (28)第四章倒立摆系统四阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (26)极点配置 (26)控制器仿真设计与调试 (27)状态观测器仿真设计与调试 (28)心得体会 (31)参考文献 (31)第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构与工作原理图倒立摆系统硬件框图图倒立摆系统工作原理框图倒立摆系统通过计算机、I/O卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件组成一个闭环系统;以直线一级倒立摆为例,其工作原理框图如图所示;图中光电码盘1由伺服电机自带,小车的位移可以根据该码盘的反馈通过换算获得,速度信号可以通过对位移的差分得到;各个摆杆的角度由光电码盘2测量并直接反馈到I/O卡,而角速度信号可以通过对角度的差分得到;计算机从I/O卡实时读取数据,确定控制决策电机的输出力矩,并发给I/O卡;I/O卡经过电控箱内部电路产生相应的控制量,驱动电机转动,使小车按控制要求进行运动,以达到控制目的;实验过程中需要了解倒立摆装置基本结构;了解编码盘、行程开关等的基本工作原理;进行行程开关、编码盘和电机基本测试;设计的目的本设计要求我们针对设计要求,利用课堂所学知识及实验室实测来的系统数据采用工程设计法进行一级直线倒立摆控制系统设计;绘制原理图,同时在实验室进行实验检验设计结果,分析数据,编写设计报告;目的是使学生掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;设计的基本任务本课程设计的被控对象采用固高科技生产的GLIP2001一级直线倒立摆;通过设计与调试使学生能够:1熟悉倒立摆系统的组成及其基本结构;2掌握通过解析法建立系统数学模型及进行工作点附近线性化的方法;3掌握系统性能的计算机辅助分析;4掌握系统控制器的设计与仿真;5研究调节器参数对系统动态性能的影响;设计的要求1.熟悉倒立摆系统结构,熟悉倒立摆装置的基本使用方法;2.建立系统的数学模型,并在工作点附近线性化;3.分析系统的稳定性、频域性能、能控性与能观性;4.采用状态空间的极点配置法设计控制器,要求系统调节时间ts<=3s,阻尼比ξ>= and ξ<=1;实验步骤1.倒立摆系统基本结构分析2.对象的建模3..系统性能分析4.控制器设计与调试5.设计报告的撰写第二章一级倒立摆建模及性能分析系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模;实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出, 应用数学手段建立起系统的输入-输出关系;这里面包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容;机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上,通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入-状态关系;对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难;但是忽略掉一些次要的因素后,倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程;下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型;微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图所示;我们不妨做以下假设:M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量 F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角考虑到摆杆初始位置为竖直向下图是系统中小车和摆杆的受力分析图;其中,N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量;注意:在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向;分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程:①由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:②即:③把这个等式代入①式中,就得到系统的第一个运动方程④为了推出系统的第二个运动方程,对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程:⑤⑥力矩平衡方程如下:⑦注意:此方程中力矩的方向,由于θ= π+φ,cosφ= -cosθ,sinφ= -sinθ,故等式前面有负号; 合并这两个方程,约去P 和N ,得到第二个运动方程:⑧设θ=π+φφ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角,假设φ与1单位是弧度相比很小,即φ<<1,则可以进行近似处理:用u 来代表被控对象的输入力F ,线性化后两个运动方程如下:⑨对式3-9进行拉普拉斯变换,得到⑩注意:推导传递函数时假设初始条件为0;由于输出为角度φ,求解方程组的第一个方程,可以得到:⑾⑿如果令则有⒀把上式代入方程组的第二个方程,得到:⒁整理后得到传递函数:⒂其中,该系统状态空间方程为:⒃方程组对解代数方程,得到解如下:⒄整理后得到系统状态空间方程:⒅由9的第一个方程为对于质量均匀分布的摆杆有:于是可以得到:化简得到:⒆⒇以小车加速度为输入的系统状态空间方程:稳定性分析P=polyA;r=rootsP;ii=findrealr>0;n=lengthii;ifn>0disp'不稳定';elsedisp'稳定';end不稳定由此得到系统在未加控制器之前是发散的,不稳定的能控能观性分析A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B= 0 1 0 3';C= 1 0 0 0;0 0 1 0;D= 0 0 ';>> n=4;Uc=ctrbA,B;Vo=obsvA,C;>> ifrankUc==nifrankVo==ndisp'系统状态即能控又能观'else disp'系统状态即能控,但不能观'endelse ifrankVo==ndisp'系统状态能观,但不能控'else disp'系统状态不能控,但也不能观' endend系统状态即能控又能观二阶的能观性、能控性分析>> A=0 1; 0;>> B=0 3';>> C=0 0 ;1 0;>> D=0;二阶能控性分析:>> M=ctrbA,BM =0 33 0>> rankMans =2说明系统是能控的二阶能观性分析:>> N=obsvA,CN =0 11 0>> rankNans =2说明系统是能观的四阶的能观性、能控性>> A=0 1 0 0; 0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;;>> B=0 1 0 3';>> C= 1 0 0 0;0 0 1 0;>> D=0 0';四阶能控性分析:>> M=ctrbA,BM =0 0 00 0 00 00 0>> rankMans =4说明系统是能控的四阶能观性分析:>> N=obsvA,CN =0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 00 0 00 0 0 00 0 0>> rankNans =4说明系统是能观的第三章倒立摆系统二阶控制器的设计设计的要求建立以X’’为输入,Φ与Φ’为状态变量,y为输出的模型分析系统的稳定性,能控能观性设计状态反馈控制器进行极点配置,是系统ξ>= ts<=3s极点配置取ξ=,Ts=;则Wn=,极点为±利用MATLAB进行计算:clear;T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;K=placeA,B,P则:K0=,K1=;控制器的仿真测试与调试图二阶系统结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图:取 &= 极点为:Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图有次图可得加入控制器之后系统可以稳定,可见控制器的设计是合理的硬件调试硬件调试结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,加入Л模块纠正反馈角度符号通过调试K值,当K取的时候,可使仿真结果较稳定;从摆杆的角度可以看出,角度可以稳定下来,施加一干扰后,摆杆可以很快恢复稳定;状态观测器的仿真测试与调试图二阶状态观测器数字仿真图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图:取 &= 极点为:Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;C=1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;OP=5P;G=placeA',C',OPG=实物调试由图可知,施加扰动后摆杆能很快恢复,符合系统要求;第四章倒立摆系统四阶控制器的设计设计要求根据设计要求,确定系统闭环极点,设计状态反馈控制器,并进行仿真、调试验证;极点配置取 &= T= Wn= 极点为:±;-20±利用MATLAB进行计算:T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-20+,S1,S2;K=placeA,B,Pk0=,k1=,k2= ,k3=;则K=控制器的仿真测试与调试图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出仿真结果:位移:角度:实物调试:图硬件调试结构图将K1、K2、K3、K4合并后反馈作用系统,系统为单输入双输出四阶一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果平衡时上为位移,下位角度直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果施加干扰上为位移,下位角度状态观测器仿真设计与调试图四阶状态观测器数字仿真图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 0 1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-10+,S1,S2;OP=3P;G=placeA',C',OP'G =实物调试反馈矩阵G和增益矩阵K分别调用matlab程序即可实物仿真与结果心得体会通过此次课程设计,使我更加扎实的掌握了有关MATLAB方面的知识,在设计过程中虽然遇到了一些问题,但经过一次又一次的思考,一遍又一遍的检查终于找出了原因所在,也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足;实践出真知,通过亲自动手制作,使我们掌握的知识不再是纸上谈兵;课程设计诚然是一门专业课,给我很多专业知识以及专业技能上的提升,同时又是一门讲道课,一门辩思课,给了我许多道,给了我很多思,给了我莫大的空间;同时,设计让我感触很深;使我对抽象的理论有了具体的认识;通过这次课程设计,我掌握了倒立摆装置的识别和测试;熟悉了控制系统的设计原理;了解了现代控制理论的设计方法;以及如何提高倒立摆系统的性能等等,掌握了MATLAB、simulink的使用方法和技术,通过查询资料,对所学知识有了很多新的认识;自己写主要参考文献:1.夏德玲、翁贻方,自动控制理论.北京,北京工业大学出版社,2006年1月2.刘豹、唐万生,现代控制理论.北京,机械工业出版社,2006年6月3.李国勇、谢克明,计算机仿真技术与CAD.北京,电子工业出版社,2009年1月4.Googol Technology直线倒立摆系统GLIP系列安装与使用手册固高科技。
直线一级倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计详细实验报告
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一、直线一级倒立摆建模根据自控原理实验书上相关资料,直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等,之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如下图所示:倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。
虽然倒立摆的形式和结构各异,但所有的倒立摆都具有以下的特性:1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统,实际中可以通过线性化得到系统的近似模型,线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙,各种阻力等,实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性,如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差,利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。
3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间,以及和运动模块之间都有很强的耦合关系,在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算,忽略一些次要的耦合量。
4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个,即在垂直向上的状态和垂直向下的状态,其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点,垂直向下为稳定的平衡点。
由于机构的限制,如运动模块行程限制,电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本,倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小,行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出,容易出现小车的撞边现象。
由此,约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点:(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度;(2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;(3)为保证倒立摆保持倒立的平衡态,要求控制系统响应速度足够快。
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计
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一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计一阶倒立摆系统是控制工程中常见的一个具有非线性特点的系统,它由一个摆杆和一个质点组成,质点在摆杆上下移动,而摆杆会受到重力的作用而产生摆动,需要通过控制来实现倒立的功能。
以下是一阶倒立摆系统的模型分析、状态反馈与观测器设计的详细介绍。
一、系统模型分析:一阶倒立摆系统是一个非线性动力学系统,可以通过线性化的方式来进行模型分析。
在进行线性化之前,首先需要确定系统的状态变量和输入变量。
对于一阶倒立摆系统,可以将摆杆角度和质点位置作为状态变量,将水平推力作为输入变量。
在对系统进行线性化之后,可以得到系统的状态空间表达式:x_dot = A*x + B*uy=C*x+D*u其中,x是状态向量,u是输入向量,y是输出向量。
A、B、C和D是系统的矩阵参数。
二、状态反馈设计:状态反馈是一种常用的控制方法,通过测量系统状态的反馈信号,计算出控制输入信号。
在设计状态反馈控制器之前,首先需要确定系统的可控性。
对于一阶倒立摆系统,可以通过可控性矩阵的秩来判断系统是否是可控的。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态数量,则系统是可控的。
在确定系统可控性之后,可以通过状态反馈控制器来实现控制。
状态反馈控制器的设计可以通过选择适当的反馈增益矩阵K来实现。
具体的设计方法是,根据系统的状态空间表达式,将状态反馈控制器加入到系统模型中。
状态反馈控制器的输入是状态变量,输出是控制输入变量。
然后,通过调节反馈增益矩阵K的值,可以实现对系统的控制。
三、观测器设计:观测器是一种常用的状态估计方法,通过测量系统的输出信号,估计系统的状态。
在设计观测器之前,首先需要确定系统的可观性。
对于一阶倒立摆系统,可以通过可观性矩阵的秩来判断系统是否是可观的。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态数量,则系统是可观的。
在确定系统可观性之后,可以通过观测器来实现状态估计。
观测器的设计可以通过选择适当的观测增益矩阵L来实现。
具体的设计方法是,根据系统的状态空间表达式,将观测器加入到系统模型中。
直线一级倒立摆控制器设计_课程设计说明书[管理资料]
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H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书(论文)课程名称:控制系统设计课程设计设计题目:直线一级倒立摆控制器设计院系:班级:设计者:学号:指导教师:设计时间:哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书*注:此任务书由课程设计指导教师填写。
一、直线一级倒立摆的数学模型实验设备简介一级倒立摆系统的结构示意图如图1-1所示。
图1-1 一阶倒立摆结构示意图系统组成框图如图1-2所示。
图1-2 一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。
光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡,摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。
计算机从运动控制卡中读取实时数据,确定控制决策(小车运动方向、移动速度、加速度等),并由运动控制卡来实现该控制决策,产生相应的控制量,使电机转动,通过皮带,带动小车运动,保持摆杆平衡。
直线一级倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统的输入-输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上,通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入-状态关系。
对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后,倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在忽略了空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 如图1-3所示。
单级倒立摆系统的分析与设计
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单级倒立摆系统的分析与设计小组成员:武锦张东瀛杨姣李邦志胡友辉一.倒立摆系统简介倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。
由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性,因而对其研究具有重大的理论和实践意义。
由于倒立摆系统本身所具有的上述特点,使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。
单级倒立摆系统(Simple Inverted Pendulum System)是一种广泛应用的物理模型,其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处,因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途,倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。
最初研究开始于二十世纪50年代,单级倒立摆可以看作是一个火箭模型,相比之下二阶倒立摆就复杂得多。
1972年,Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。
目前,一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。
二.系统建模1.单级倒立摆系统的物理模型图1:单级倒立摆系统的物理模型单级倒立摆系统是如下的物理模型:在惯性参考系下的光滑水平平面上,放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车(cart ),一根刚性的摆杆(pendulum leg )通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点(flex Joint )与小车相连构成一个倒立摆。
倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。
倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。
在小车静止的状态下,由于受到重力的作用,倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位,这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
一级倒立摆实验报告
![一级倒立摆实验报告](https://img.taocdn.com/s3/m/891ef1e3aeaad1f346933fdf.png)
一级直线倒立摆极点配置控制实验一、实验目的1.运用经典控制理论控制直线一级倒立摆,包括实际系统模型的建立、根轨迹分析和控制器设计、PID 控制分析等内容。
2.熟悉利用极点配置方法来进行倒立摆实验的原理方法。
3.学习MATLAB工具软件在控制工程中的应用。
3.掌握对实际系统进行建模的方法,熟悉利用MATLAB 对系统模型进行仿真,利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察和分析,非常直观的感受控制器的控制作用。
二、实验设备计算机及MATLAB相关软件元创兴倒立摆系统的软件元创兴一级直线倒立摆系统,包括运动卡和倒立摆实物倒立摆相关安装工具三、倒立摆系统介绍倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处,极富趣味性,而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等,都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。
学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法,非常的直观、简便,在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器,同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性,许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象,不断从中发掘出新的控制策略和控制方法,相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。
四、倒立摆工作原理和物理模型以及数学模型(简述)1、工作原理:数据采集卡(也称运动控制卡,安装于计算机机箱的PCI插槽上)采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据,旋转编码器与摆杆同轴,电机与小车通过皮带连接,所以通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移,角位移差分得角速度,位移差分可得速度,然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。
控制量由计算机通过运动控制卡下发给伺服驱动器,由驱动器实现对电机控制,电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环,从而可以实现闭环控制。
一级倒立摆MATLAB仿真能控能观性分析数学模型极点配置
![一级倒立摆MATLAB仿真能控能观性分析数学模型极点配置](https://img.taocdn.com/s3/m/461a4680bdeb19e8b8f67c1cfad6195f312be882.png)
题目一:考虑以下图的倒立摆系统。
图中,倒立摆安装在一个小车上。
这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
倒立摆系统的参数包含:摆杆的质量(摆杆的质量在摆杆中心)、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。
图倒立摆系统设计一个控制系统,使适当给定随意初始条件( 由扰乱惹起 ) 时,最大超调量%≤10%,调理时间 ts≤ 4s,使摆返回至垂直地点,并使小车返回至参照地点(x=0) 。
要求: 1、成立倒立摆系统的数学模型2、剖析系统的性能指标——能控性、能观性、稳固性3、设计状态反应阵,使闭环极点能够达到希望的极点,这里所说的希望的极点确立是把系统设计成拥有两个主导极点,两个非主导极点,这样就能够用二阶系统的剖析方法进行参数确实定4、用MATLAB进行程序设计,获得设计后系统的脉冲响应、阶跃响应,绘出相应状态变量的时间响应图。
解:1成立一级倒立摆系统的数学模型系统的物理模型如图 1 所示,在惯性参照系下,设小车的质量为M ,摆杆的质量为m ,摆杆长度为l ,在某一瞬时时辰摆角( 即摆杆与竖直线的夹角) 为θ,作用在小车上的水平控制力为u。
这样,整个倒立摆系统就遇到重力, 水平控制力和摩擦力的 3 外力的共同作用。
图 1一级倒立摆物理模型成立系统状态空间表达式为简单起见,本文第一假定:(1)摆杆为刚体;(2)忽视摆杆与支点之间的摩擦;( 3)忽视小车与导轨之间的摩擦。
在如图一所示的坐标下,小车的水平地点是y, 摆杆的偏离地点的角度是θ,摆球的水平地点为 y+lsin θ。
这样,作为整个倒立摆系统来说,在说平方方向上,依据牛顿第二定律,获得M d 2 y m d 2( y l sin ) u( 1)dt 2dt 2关于摆球来说,在垂直于摆杆方向,由牛顿第二运动定律,获得m d2l sin ) mgsin2 (y( 2)dt方程 (1) ,(2) 是非线性方程,因为控制的目的是保持倒立摆直立,在施加适合的外力条件下,假定θ很小,靠近于零是合理的。
直线一级倒立摆极点配置
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基于直线一级倒立摆模型的基点配置算法1. 极点配置方法介绍开环系统通过选择反馈增益矩阵(状态反馈阵K )将闭环系统的极点配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能。
极点配置的冲要条件是开环系统完全可控。
闭环系统的稳定性和响应品质同闭环极点密切相关,控制系统的各种特性及其各种品质指标很大程度上由其闭环系统的零点和极点的位置决定。
经典控制理论中通常用调整开环增益及引入串、并联校正装置来配置闭环极点。
在现代控制理论中,广泛采用状态变量反馈来配置极点。
就是通过对状态反馈矩阵的选择,使闭环系统的极点配置在所希望的位置上,从而达到期望的性能指标要求。
对于完全能控和完全能观的系统,设其状态方程为:.X AX Bu =+,Y CX =。
X 为n 维状态向量, u 为控制向量,A 为n*n 维常数矩阵,B 为n*1维常数矩阵。
控制规律选择为线性状态反馈: U=u-KX ;K=[k 1,k 2,k 3…k n ]将U 带入原方程,可得闭环系统状态方程为:.()X A BK X BU =-+,Y CX =,显然,闭环系统特征多项式为:det (SI-A+BK )=0。
因此通过改变K 阵使闭环系统有所需要的极点配置,达到期望的性能指标要求。
图4.1加入状态反馈后系统结构图单输入单输出系统确定满足极点配置要求的状态反馈矩阵K 的算法主要有系统匹配法、Ackermann 配置法、Gura-Bass 算法等几种方法。
假定期望的闭环极点为λi (i=1……n ),则原系统的开环特征方程为:()S α=()011.....det ααα++++=---S S S A SI n n n 闭环系统特征方程为:()()∏=--++++=-=ni n n n S S S i S S 1011......βββλβ(1)系统匹配法是计算反馈阵的一个最直接的方法,它主要通过比较系统特 征方程的系数来求解,即上两式的对应系数相等。
此方法较为简单,但只适合于低阶系统。
单级倒立摆系统
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x1 x y = [1 0 0 0] 2 x3 x4
首先,使用 首先,使用MATLAB,判断系统的能控性矩阵是否为满秩。 ,判断系统的能控性矩阵是否为满秩。 输入以下程序 计算结 果为
根据判别系统能控性的定理,该系统的能控性矩阵满秩, 根据判别系统能控性的定理,该系统的能控性矩阵满秩,所以 该系统是能控的。因为系统是能控的,所以,可以通过状态反馈来 该系统是能控的。因为系统是能控的,所以, 任意配置极点。 任意配置极点。 不失一般性,不妨将极点配置在 不失一般性, s1 = −6 s 2 = −6.5 s3 = −7 在MATLAB中输入命令 中输入命令
3. 状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真 首先,使用 首先,使用MATLAB,判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输 ,判断系统的能观性矩阵是否为满秩。 入以下程序
计算结果为 因为该系统的能观测性矩阵满秩,所以该系统是能观测的。 因为该系统的能观测性矩阵满秩,所以该系统是能观测的。因 为系统是能观测的,所以,可以设计状态观测器。 为系统是能观测的,所以,可以设计状态观测器。而系统又是能控 因此可以通过状态观测器实现状态反馈。 的,因此可以通过状态观测器实现状态反馈。
求解得: 求解得:
&& = − y
& & & x x & 选择状态变量 x1 = y , 2 = x1 = y , 3 = θ ,x4 = x3 = θ
u
& x1 0 x 0 & 2 = x3 0 & & x4 0
状态图为
为系统输入, 为系统输入, y 为系统输出
设计状态观测器矩阵,使的特征值的实部均为负, 设计状态观测器矩阵,使的特征值的实部均为负,且其绝对值 要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现, 要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现,这样才能保 证状态观测器有足够快的收敛速度, 证状态观测器有足够快的收敛速度,才能够保证使用状态观测器所 观测到的状态与原系统的状态充分接近。 观测到的状态与原系统的状态充分接近。不妨取状态观测器的特征 s3 = −22 s4 = −23 值为: 值为: s1 = −20 s2 = −21 输入以下命令 计算结果为
状态观测器的倒立摆
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系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模。 实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统的输入-输出关系。这里面包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容。 机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上,通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入-状态关系。
渐近状态观测器 : 状态观测器的状态方程为: 状态观测器的设计: 状态逼近的速度取决于G的选择和(A-GC)的配置,通过对误差反馈阵G的设计,调节 渐近于x的速度。
带状态观测器的状态反馈系统 闭环系统的基本特性: 闭环极点设计的分离性 传递函数矩阵的不变性 观测器反馈与直接状态反馈的等效性
输出反馈的仿真结果:
倒摆的角度 小车的位置
3、状态反馈设计:
具体设计步骤如下:
系统可控性判别。应用可控性判别矩阵CM=ctrb(A,B) 判别. 闭环系统的极点配置。根据系统的动态性能,确定闭环系统期望极点clp。 确定反馈增益。应用MATLAB的place函数Ks=place(A,B,clp),确定反馈增益Ks 。
1、建立倒立摆的数学模型
动力学数学模型 (非线性微分方程形式)
状态空间表达式(非线性)
状态空间表达式(线性)
状态空间表达式(线性)
2、倒立摆的状态空间分析法设计
采用状态反馈进行极点配置
基于全维观测器,用状态反馈进行极点配置
3、基于MATLAB的倒立摆系统仿真设计 (MATLAB语言程序设计和SIMULINK模型建立)
Simulink结构图:
仿真结果:
状态反馈下状态变量的时间曲线
具体设计步骤如下:
系统的可观性判别。应用可观性判别矩阵OM=obsv(A,C)判别可观性。 闭环极点配置。适当选择观测器的极点,使观测器的动态速度是系统的两倍以上,所观测器的极点op=2*clp。 指定极点的观测器增益G。同样应用place函数:G=place(A’,C’,op),G=G’。
(完整word版)一级倒立摆控制系统设计
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基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统,使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统.二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置,并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度.当摆杆到达期望的位置后,系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定,但要合理符合实际情况,控制方式为双PID控制,并利用MATLAB进行仿真,并用simulink对相应的模块进行仿真。
三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是:由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度,作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法,计算出空置量,并转化为相应的电压信号提供给驱动电路,以驱动直流力矩电机的运动,从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡.四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示:分析工作原理,可以得出一阶倒立摆系统原理方框图:一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图,分析和解决各个环节的传递函数!1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力,以及各种摩擦之后,可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如下图所示,其中:M:小车质量m:为摆杆质量J :为摆杆惯量 F:加在小车上的力 x :小车位置θ:摆杆与垂直向上方向的夹角l :摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律,可知:(1) 摆杆绕其重心的转动方程为(2) 摆杆重心的运动方程为得(3)小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t -=联列上述4个方程,可以得出一阶倒立精确气模型:()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量:32m l J =sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近(︒︒≤≤-1010θ)的细微变化,则可以近似认为:⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m ,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得一阶倒立摆简化模型:....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 拉氏变换即 G 1(s )= ; G 2(s)=一阶倒立摆环节问题解决!2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机,其有关参数如下: 驱动电压:U=0~100V 额定功率:PN=200W 额定转速:n=3000r/min 转动惯量:J=3×10-6kg 。
单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计
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单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计14122156杨郁佳(1)倒立摆的运动方程并将其线性化选取小车白^位移 z ,及其速度 z 、摆的角位置及其角速度 作为状态变量,即g T 则系统的状态空间模型为2 2,2设M=2kg ,m =0.2kg, g=9.81m/s ,则单级倒立摆系统的状态方程为x1x4x1x2 0 x3 x4 (2)状态反馈系统的极点配置。
首先,使用MATLAB,判断系统的能控性矩阵是否为满秩。
A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0];B=[0; 0.5; 0; -0.5];C=[1 0 0 0];0 0 0 mg 0 1 M x M 0 1 0 (M m)g 11u 0MlMl x1x1x2 x3x3 0.5 u 011 x4 0.5D=0;rct=rank(ctrb(A,B)) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)MATLAB程序执行结果如下:»上二。
100:00-]C':0[)01. 0DIL01.B=[0; a. 5; t -0.o]c-ti D 0 Qi ;D=Crct-r Mr; nrt ।;j■ 1 0 Q 0 fl -] C, C T Q 1 0 D 11 0]Mo; o,«; a -0.5:C-[l 0 0 Q]:D-0rct-Yfln)! ctib Ll, E )let> r,z. p, k]-Ts2 sp CA, B- C. D'63. 3班-3.31S?系统能控,系统的极点为1=0 2=0 3=3.3166 4 =-3.3166可以通过状态反馈来任意配置极点,将极点配置在MATLAB程序如下:A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0];B=[0; 0.5; 0; -0.5];P=[-3 -4 -5 -6];K=place(A,B,P)MATLAB程序执行结果如下:»A=[Q 1 0 D; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 Q H C:;B-[0l- O.a 0 -0-5::-4 -a -6];E=place (A. P)E --72. 0000 -691 4000 332. 0000 -104. 4000因此,求出状态反馈矩阵为K=[-72.0 -68.4 -332.0 -104.4]采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型。
单级倒立摆
![单级倒立摆](https://img.taocdn.com/s3/m/a4ae0bb41a37f111f1855bca.png)
单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要:倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统,对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题,倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代,近年来,由于新的控制方法不断出现,人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象,检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力,从加大了对这方面的研究。
本文主要采用状态反馈的控制方法,通过设计降维观测器和全维观测器对状态变量的重构,Matlab仿真进行了研究。
关键词:状态反馈、能控性、能观性、状态观测、极点配置、仿真一、引言倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统,是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代,麻省理工学院(MIT)的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒置摆实验设备。
倒置摆系统稳定效果非常明了,可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量、控制好坏一目了然。
近年来,新的控制方法不断出现,人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象,检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力,从而从中找出最优秀的控制方法。
由于单级倒置摆的控制方法在军工,航天和机器人领域有广泛的用途,另外其控制方法和思路在处理一般工业过程中亦有广泛的应用。
机器人行走类似倒置摆系统,而机器人的关键技术至今仍未很好解决,单级倒置摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服平台的稳定有很大相似性,也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。
因此,单级倒置摆机理的研究具有重要的应用价值,成为控制理论中很重要的研究课题。
二、单级倒置摆系统建模及分析2.1单级倒置摆系统模型单倒置摆系统的原理图,如图1所示。
设摆的长度为L、质量为m,用铰链安装在质量为M的小车上。
小车由一台直流电动机拖动,在水平方向对小车施加控制力u相对参考系产生位移z。
若不给小车施加控制力,则倒置摆会向左或向右倾倒,因此它是一个不稳定系统。
一级倒立摆的课程设计
![一级倒立摆的课程设计](https://img.taocdn.com/s3/m/dd03c9aac850ad02df804186.png)
一级倒立摆的课程设计目录摘要 (3)1.一阶倒立摆的概述 (4)1.1倒立摆的起源与国内外发展现状 (4)1.2倒立摆系统的组成 (5)1.3倒立摆的分类: (5)1.4倒立摆的控制方法: (5)1.5本文研究内容及安排 (6)1.6系统内部各相关参数为: (6)2.一阶倒立摆数学模型的建立 (7)2.1概述 (7)2.2数学模型的建立 (8)2.3一阶倒立摆的状态空间模型: (11)2.4实际参数代入: (12)3.定量、定性分析系统的性能 (13)3.1,对系统的稳定性进行分析 (13)3.2 对系统的稳定性进行分析: (15)4.状态反馈控制器的设计 (16)4.1反馈控制结构 (16)4.2单输入极点配置 (17)4.3利用MATLAB编写程序 (20)5.系统的仿真研究,校验与分析 (22)5.1使用Matlab中的SIMULINK仿真 (22)6.设计状态观测器,讨论带有状态观测器的状态反馈系统的第 1 页性能。
(26)6.1观测器的设计思路: (26)6.2利用MATLAB进行编程 (27)6.3状态观测器的仿真 (29)小结 (32)参考文献: (33)第 2 页摘要倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
倒立摆也是机器人技术,控制理论,计算机控制等多个领域,多种技术的有机结合,其被控系统本身又是一个绝对不稳定,多变量,强耦合的非线性系统。
可以作为一个典型的被控对象对其进行研究。
最初的研究开始于二十世纪50年代,专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来,新的控制方法不断出现,人们试图通过倒立摆的一个典型的控制对象,检验新的控制方法是否有较强的处理多变量,非线性和绝对不稳定系统的能力,从而从中找出好的控制方法。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器,同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
倒立摆的研究不仅具有深刻的理论意义,还有重要的工程背景,在多种控制理论与方法的研究中,特别是在工程实践中,也存在一种可行性的实验问题,使其理论与方法得到有效检验,倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁,目前,对倒立摆的研究也引起了国内外学者的广泛关注,是控制领域的热门课题之一。
一阶倒立摆系统模型分析、状态反馈与观测器设计
![一阶倒立摆系统模型分析、状态反馈与观测器设计](https://img.taocdn.com/s3/m/9712e271561252d381eb6e13.png)
u b +
x
+
y
A G
c
b
+ +
ˆ x
A-GC
ˆ x
K
5.仿真分析
• 基于全维状态观测器下的倒立摆控制系统仿真:
• 仿真结果
• 状态估计值与系统状态比较
• 从仿真结果看,控制性能满足系统要求的性能指 标。
• 全维观测器状态跟踪误差仿真结果:
降维观测器设计
• 在实际工程实践中,系统的输出是能够测量的, 因此可以考虑用输出量直接产生响应的部分状态 变量,其余状态变量则通过构造观测器来实现, 所构造的观测器为降维观测器。本实验的倒立摆 系统采用P变换方法设计降维观测器。
• 知系统是完全能控的,满足特征值可任意配置的 极点配置定理。
• (3)可观测性分析 • 由
1 0 0 C CA 0 rank rank 2 0 CA 3 CA 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 58.6118 0.6747 0 0 0 0 39.5454 59.067
• (2)取期望的特征值为 30,30 ,则特征多项 式为a (s) s 2 10s 37 ,解方程 det(sI A A K ) a (s) 0 • 得 K 30
T T 22 12
0
29.3253
• 进一步计算 • 30 LK
T
0
u x m gl sin c m l u cos J J J
• 根据以上系统方程可以看出倒立摆模型是非线性 的。为了应用线性系统理论,可在倒立摆平衡位 置附近对系统进行线性化,取 - ,令 • sin , cos 1 并忽略高次项,可得如下方程: u x • m gl c mlu J J J
一级倒立摆控制系统状态方程的建模及全维观测器设计
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一级倒立摆控制系统状态方程的建模及全维观测器设计作者:罗力铭来源:《科学与财富》2016年第10期摘要:本文对一级倒立摆系统的状态方程建模及观测器设计进行了研究,对于系统建立了数学模型并进行了分析,调整其极点配置后设计出一种稳定的系统结构,同时利用MATLAB完成仿真。
最后基于先前的结果设计了一种全维观测器并进行了仿真,结果表明,仿真得到稳定的响应。
关键词:倒立摆;数学建模;全维观测器中图分类号:TP273 文献标志码:AAbstract: The system state equations and design of full-dimensional observer for first-order inverted pendulum is probed in this paper while analyzing its mathematics model for this system. Then designed a stable system structure after adjusting the pole assignment of this system and used MATLAB to complete the simulation. Finally, based on previous results designed a full-order observer and simulated to obtain stable response.Keywords: first-order inverted pendulum; mathematics modeling;full-dimensional observer倒立摆是一个经典的多变量、非线性、不稳定的系统,又具有强耦合、自然不稳定等特点。
因此常常出现在控制理论课程教学中和各种控制策略的验证里。
其目标就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置,并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
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单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计
14122156 杨郁佳
(1)倒立摆的运动方程并将其线性化
选取小车的位移z ,及其速度z 、摆的角位置θ及其角速度θ
作为状态变量,即T
x z z θθ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦ 则系统的状态空间模型为 01000100000010()1000mg M M x u M m g Ml Ml x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ []1000y x
= 设M=2kg ,m=0.2kg ,g=9.81m/2
s ,则单级倒立摆系统的状态方程为
(101001010)
01020.500013030
011040.54x x x x u x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
[]12100034x x y x x ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2)状态反馈系统的极点配置。
首先,使用MATLAB ,判断系统的能控性矩阵是否为满秩。
MATLAB 程序如下:
A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0];
B=[0; 0.5; 0; -0.5];
C=[1 0 0 0];
D=0;
rct=rank(ctrb(A,B))
[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)
MATLAB 程序执行结果如下:
系统能控,系统的极点为
1=0
λ
2=0
λ
3=3.3166
λ
4=-3.3166
λ
可以通过状态反馈来任意配置极点,将极点配置在
1=-3
λ*
2=-4
λ*
3=-5
λ*
4=-6
λ*
MATLAB程序如下:
A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0]; B=[0; 0.5; 0; -0.5];
P=[-3 -4 -5 -6];
K=place(A,B,P)
MATLAB程序执行结果如下:
因此,求出状态反馈矩阵为
K=[-72.0 -68.4 -332.0 -104.4]
采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型。
首先,在MATLAB的Command Window中输入各个矩阵的值,并且在模型中的积分器中设置非零初值:2。
运行仿真程序,显示仿真曲线,如下。
处。
仿真结果表明倒立摆的杆子与数值方向的偏角从初值2,经过控制稳定在=0
(3)状态观测器实现状态反馈极点配置。
MATLAB程序如下:
A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0];
B=[0; 0.5; 0; -0.5];
C=[1 0 0 0];
rob=rank(obsv(A,C))
MATLAB程序执行结果如下:
Rob=4说明系统能观,可以设计状态观测器。
取状态观测器的特征值为-3,-4,-5,-6 MATLAB 程序如下:
A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0];
A1=A ’;
C=[1 0 0 0];
C1=C ’;
P=[-3 -4 -5 -6];
H1=place(A1,C1,P);
H=H1’
MATLAB 程序执行结果如下:
状态观测器矩阵[]18 130 540 1790T
H =--
采用MATLAB/Simulink 构造具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型。
首先,在MATLAB的Command Window中输入各个矩阵的值,并且在模型中的积分器中设置非零初值:2。
运行仿真程序,显示仿真曲线,如下。
对比两个仿真图,可以发现加上状态观测器对单级倒立摆的控制效果基本上无影响。