二元一次方程组培优竞赛专题讲解
七年级数学下培优训练辅导讲座 第21讲 二元一次方程组的应用拔尖训练能力提升竞赛辅导试题含答案
第21讲二元一次方程组的应用（2）——数字、行程、销售问题培优训练1．某校初一年级到礼堂开会，若每条长凳坐5人，则少8条长凳，若每条长凳坐6人，则有多两条长凳，，若设学生人数为x，长凳数为y，由题意有方程组（）.A.585662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩B.585662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩C.5862x yx y=+⎧⎨=-⎩D.5862x yx y=-⎧⎨=+⎩2.设学校购买35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票为x张，乙种票为y张，则例方程组，方程组的解为 .3.有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个O，则它和这个两位数的和是146，如果这个两位数除以这个一位数，则商是6余数为2，求这个两位数和一位数.4.如图，一个长方形有7个形状完全相同的小长方形拼成，大长方形的周长为34，求小长方形的长和宽.5.汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？6. 快慢两列火车的长分别是150米和200米，相向行驶在平行轨道上．若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少？竞赛训练7.刘玉蕾在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，共付款14元，后来她退了2包酸奶，再买4包鲜奶，收银员找还给她1元，每包酸奶的价格是元．8.（“希望杯”竞赛）男女运动员各一位，在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快．如果他们从同一起跑点沿相反的方向同时出发，那么每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发．男运动员经过15分钟追上女运动员，并且比女运动员多跑了16圈，此时，女运动员跑了圈.9.有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级（扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨l级），且A的速度（即单位时间所走的级数）是B的速度的3倍，那么自动扶梯露在外面的级数是 .10.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．11.（1）列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系.（2）是否某队的胜场总积分是否等于它的负场总积分？（3）某队的负场总积分是否会等于它胜场积分的整数倍？如果存在，求此时胜、负场的情况.（4）某队的胜场总积分是否会等于它负场积分的整数倍？如果存在，求此时胜、负场的情况.12.某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？第21讲二元一次方程组的应用（2）——数字、行程、销售问题 答案1. B2.3586250x y x y +=⎧⎨+=⎩，2015x y =⎧⎨=⎩.[提示（1）（甲种票+乙种票）数量=35；（2）（甲种票+乙种票）金额=250元.]3. 设这个两位数为x ，一位数为y ，依题意得1014662x y x y +=⎧⎨=+⎩，得569x y =⎧⎨=⎩，这个两位数为56，一位数为9.4.设小长方形的长为x ，宽为y ，依题意得254734x y x y =⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，所以小长方形的长、宽分别为5,2.5. 解：设去时上坡路是x 千米，下坡路是y 千米，平路是z 千米．依题意得：1421428353027435283010x y z xy z x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＋＋＝＋＋＝＋＋＝解得427030x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝答：这段路的去时上坡路是42千米，下坡路是70千米，平路是30千米． 6.解：设坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间为x 秒．1502006x=，解得x ＝8， 经检验x ＝8是原分式方程的解．7. 2.5.[提示：设每包酸奶x 元，鲜奶元，则()4414421x y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 2.51x y =⎧⎨=⎩]8. 10.[提示：设女运动员跑了x 圈，则男运动员跑了（x ＋16）圈，则：x ＋x ＋16＝15×60÷25，解得：x ＝10．故答案为：10．][提示：设女运动员速度1v ，则男运动员速度2v 跑道长s ，依题意得121225156016sv v v v s s ⎧=⎪+⎪⎨⎛⎫⎪-⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩于是236161560102v s -⨯⨯==.] 9.解：设扶梯的速度为x 级/分，旅客B 的速度为y 级/分，扶梯外面的级数为n ，则606033030n y xn yx -⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＝＝两式相除得：260330n n --＝解得：n ＝48，经检验得n ＝48是方程的根．故答案为：48．10.解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为5000k，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有5000300050003000kx ky k ky kx k⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝＋＝两式相加，得()(25000300)0k x y k x y k ＋＋＋＝则237501150003000x y ＋＝＝＋ 11.（1）如果一个队胜m 场，则负（14-m ）场，胜一场2分，负一场1分，故胜场积分2m ，负场积分（14-m ）总积分：2m +（14-m ）=m +14. (2)设一个队胜x 场，则负（14-x ）场，依题意的2x =14-x ，解得143x =，不为整数，∴某队胜场总积分不等于负场总积分.(3)设胜x 场，负场总积分是胜场总积分的k 倍（k 为整数）则2kx =14-x ，（2k +1）x =14，则1421x k =+， ∵k 为整数，2k +1=1,2,7,14，此时取k =0，3，∴x =14或14-x =0；或x =2,14-x =12. 即胜场14场，负0场或胜2场，负12场 .(4)设胜x 场，胜场总积分为负场总积分的k 倍（k 为整数）.则()214x k x =-，214x kx k +=，则14281422k x k k==-++，∵x 为整数，∴2+k =1,2,4,7,14,28，此时x =0，7,10,12,13，k =0,2,5,12,26. 故存在这样的情况，即胜0场，负14场；胜7场，负7场；胜10场，负4场；胜12长，负2场；胜13场，负1场.12.解：如图，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x 、y 、z 套．则由题意得22321168.82( 5.621.2442) 1.x y z x y z ⎧⎨⎩＋＋＝＋＋＝即23258?2264531103x y z x y z ⎧⎨⎩＋＋＝①＋＋＝②，由②−①×11得31465y z （＋）＝ 即15y z ＋＝，所以，共卖出C 水果15千克，C 水果的销售额为15×10＝150（元）答：C 水果的销售额为150元．。
2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-10-二元一次方程组解的讨论
2020-2021学年人教版数学初一讲练（培优和竞赛二合一）（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。
②解得a=10, c"`14。
③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
二元一次方程培优讲义(精品)
二元一次方程培优讲义(精品)
本讲义主要介绍如何高效解决二元一次方程的方法及策略，适用于需要掌握解二元一次方程的中学生和初级大学生。
以下是本讲义的主要内容：
一、二元一次方程基础知识回顾
回顾二元一次方程的定义、形式和求解过程，使学生能够对二元一次方程有更深入的理解。
二、消元法
介绍消元法的基本思想和具体实现方法，并逐步引导学生掌握消元法的思维模式和求解技巧。
三、代入法
介绍代入法的基本思想和求解过程，并通过实例演示如何运用代入法解决二元一次方程。
四、比较法
介绍比较法的基本思想和求解过程，让学生掌握比较法的优点和适用条件，并通过实例演示如何运用比较法解决二元一次方程。
五、图像法
介绍图像法的基本思想和具体操作，让学生了解图像法的优点和局限，并掌握基本的图像法思维模式。
六、应用实例
通过实际应用实例，让学生感受到各种方法的适用场景和实际效果。
通过本讲义的学习，学生不仅能够掌握解二元一次方程的多种方法和技巧，而且能够根据题目特点灵活选择和运用合适的方法，提高解题效率和准确性。
二元一次方程组培优竞赛专题讲解
专题：二元一次方程组例1、二元一次方程组的解１、若m 使方程组22x y x y m -=⎧⎨+=⎩的解的和为６,则m 的值为多少？２、已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩,小明解题时把c 抄错了,得到解1213x y =⎧⎨=-⎩,则222a b c ++值为多少？例2、二元一次方程组的两种通用解法(1)用代入法解方程组1235x y x y -=⎧⎨-=⎩ (2）用加减法解方程组231351x y x y +=⎧⎨+=⎩ﻩ例3、解二元一次方程组及高元一次方程组(综合)(1)解方程组231763172357x y x y +=⎧⎨+=⎩ (2)解方程组1211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩（３）解方程组1156117121134x y y z y z z x z x x y ⎧+=⎪++⎪⎪+=⎨++⎪⎪+=⎪++⎩ （４）解方程组13281237xy x y xy x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ (5)若15432a a a a a +++25431a a a a a +++=35421a a a a a +++=45321a a a a a +++=k a a a a a =+++=54321,且054321≠++++a a a a a ，求k 的值。
(6）已知正数,,,,,a b c d e f 满足解方程组49161419116bcdef a acdef b abdef cabcef dabcdf e abcde f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩，求()()a c e b d f ++-++的值。
7、解方程组12233419971998199819991219981999 (1)...1999x x x x x x x x x x x x x x +=+=+==+=+=⎧⎨++++=⎩例４、含绝对值的方程组１、解方程组||||72||3||1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ２、解方程组||1||2||3x y x y +=⎧⎨+=⎩例5、含字母系数方程组的解及杂题对于x 、ｙ的方程组中,a 1、ｂ1、c 1、a 2、ｂ2、ｃ２均为已知数,且ａ1与b 1、a ２与b ２都至少有一个不等于零,则ﻫ ①时,原方程组有惟一解; ②时,原方程组有无穷多组解;ﻫ ③时，原方程组无解.1、当,k b 为何值时,方程组(31)2y kx by k x =+⎧⎨=-+⎩有唯一解,无解,有无穷多解？２、已知关于,x y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解,你能求出这个解吗?3、若4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠则代数式222222522310x y z x y z+---的值为多少?４、已知m 是整数，方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩有整数解，求m 的值。
七年级数学竞赛 第13讲 二元一次方程组
阅读材料，善于思考的小军在解方程组
2x +5y 2x +11y
=3 =5
①
时，采用了一种“整体代换”的解法。
②
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即 2(2x+5y)+y=5。③
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴ y=−1，
把
y=−1
代人①得，x=4。∴方程组的解为
x=4 y = −1
。
|
x |
− x
y +
|= x y |=
+ x
y +
− 2
2
；
（3）
xy
3x + 2y
xy
= =
1 8 1
。
2x + 3y 7
（《数学周报》杯全国竞赛题） （“五羊杯”竟赛题）
13．整体方法 整体思考方法是将问题看成一个整体，从大处着眼由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，
从整体上把握问题的特征和解题方向。
刻意练习
1．已知方程组
2a − 3b = 13 3a + 5b = 30.9
的解为
a b
= =
8.3 1.2
，则方程组
2(x + 2) − 3( y −1) = 13 3(x + 2) + 5( y −1) = 30.9
的解是
。
（山东省枣庄市中考题）
2．已知关于
x，y
的方程组
2x − ay = 6
例 8．能否找到 7 个整数，使得这 7 个整数沿圆周排成一圈后，任 3 个相邻数的和都等于 29?如果能，请举 一例；如果不能，请简述理由。 解题思路：假设存在 7 个整数 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7 排成一圈后满足题意，
二元一次方程组竞赛讲义
二元一次方程组竞赛讲义一、相关知识点1、二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。
2、二元一次方程的标准式： ()00,0ax by c a b ++=≠≠3、一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和y 的值，叫做这个方程的一个解。
4、二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。
5、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二、典型例题1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ）Ａ．123x y =⎧⎨+=⎩，．Ｂ．10x y x y +=⎧⎨-=⎩，．Ｃ．10x y xy +=⎧⎨=⎩，．Ｄ．21y x x y =⎧⎨-=⎩，．2．有这样一道题目：判断31x y =⎧⎨=⎩，是否是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解？ 小明的解答过程是：将3x =，1y =代入方程250x y +-=，等式成立．所以31x y =⎧⎨=⎩，是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解． 小颖的解答过程是：将3x =，1y =分别代入方程250x y +-=和2350x y +-=中，得250x y +-=，2350x y +-≠．所以31x y =⎧⎨=⎩，不是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解． 你认为上面的解答过程哪个对？为什么？3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k 的取值应是（ B ）A 、k=-4B 、k=4C 、k=-3D 、k=3 分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x 、y ，再代入y=kx-9求出k 值。
解⎩⎨⎧=+=-②y x ①y x ΛΛ13273 得：⎩⎨⎧-==12y x将⎩⎨⎧-==12y x 代入y=kx-9，k=44．解方程组()()63101321002m n m n -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 方法一：（代入消元法） 解：由（2），得 ()10332m n -=把（3）代入（1），得 43m =把43m =代入（3），得 3n = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法二：（加减消元法）解：（2）×2： 6m+4n-20=0 (3) (3)-(1): 7n=21 n=3把3n =代入（3），得43m = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2327103m n n +-+=由（2）得：()32104m n += 把（4）代入（3），得 3n =把3n =代入（4），得43m = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2321072103m n n +--+=由（2）代入（3），得3n =把3n =代入（2），得43m = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩5．已知方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组()()()()⎩⎨⎧=-++=--+9.301523131322y x y x 的解是（ C ）A ．⎩⎨⎧==2.13.8y xB ．⎩⎨⎧==2.23.10y xC ．⎩⎨⎧==2.23.6y xD ．⎩⎨⎧==2.03.10y x6．4513453x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解：设11,a b x y ==，则原方程组可化为()()451314532a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：21a b =⎧⎨=⎩∴121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 7．解方程组()():3:213532x y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解：（参数法）∵32x y = ∴设3,2x k y k ==。
二元一次方程组竞赛题集答案解析
【例1】方程组的解*，y满足方程5*-y=3，求k的值.【思考与分析】此题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.〔１〕由方程组消去k，得*与y的关系式，再与5*-y=3联立组成方程组求出*，y的值，最后将*，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.〔２〕把k当做数，解方程组，再根据5*-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值. 〔３〕将方程组中的两个方程相加，得5*-y=2k+11，又知5*-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5*-y=2k+11.又由5*-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
〔∵两个方程等效〕 ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
〔∵两个方程是矛盾的〕 ③ 当2121b b a a ≠〔即a 1b 2－a 2b 1≠0〕时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 〔这个解可用加减消元法求得〕 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，假设要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进展。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解〔把待定系数当己知数〕，再解含待定系数的不等式或加以讨论。
〔见例2、3〕例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解【例2】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由①，得 y=4－m*，③把③代入②，得 2*+5〔4－m*〕=8，解得〔2－5m 〕*=-12，当2－5m ＝0，即m ＝时，方程无解，则原方程组无解. 当2－5m ≠0，即m ≠时，方程解为将代入③，得 故当m ≠时， 原方程组的解为例3. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 例4. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解*和y 都是整数？ 二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
七年级数学培优(十三)——二元一次方程组解法
十三 二元一次方程组能力提升知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解.（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时,方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行.3． 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数）,再解含待定系数的不等式或加以讨论。
(见例2、3）例题① 例1. 选择一组a ，c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2。
无解， 3.有唯一的解例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数?例3. m 取何整数值时,方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法.这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元"转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想. 2、灵活消元（1）整体代入法 （2)先消常数法1. 解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪14232312。
解方程组433132152x y x y +=<>-=<>⎧⎨⎩ （3）设参代入法 (4)换元法3. 解方程组x y x y -=<>=<>⎧⎨⎩321432::4. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩⎪23634(5)简化系数法5. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<>⎧⎨⎩课堂练习1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x 2． a 取哪些正整数值,方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？3． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x k ky x 的解都是整数, k 应取哪些整数值?4． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三,鸡雏三,值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母,鸡雏都买，可各买多少？5． 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和是242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和是341，正确的结果是多少？。
著名机构初中数学培优讲义二元一次方程组的概念及解法.第01讲(A级).学生版
内容 基本要求略高要求较高要求二元一次方程（组） 了解二元一次方程（组）的有关概念能根据实际问题列出二元一次方程组二元一次方程组的解 知道代入消元法和加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决实际问题模块一 二元一次方程（组）的基本概念☞二元一次方程1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”.2.二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 【例1】 下列各式是二元一次方程的是（ ）A.30x y z -+=B.30xy y x -+=C.12023x y -=D.210y x+-= 【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选C ．【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）A.31x xy -=B.2430x x +=C.23y +=D.3x y =例题精讲中考要求二元一次方程组的概念及解法【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故选D ．【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值. 【解析】由定义知：321m -=，11n -=，所以：1m =，2n =. 【答案】见解析【巩固】已知方程11(2)2m n m x ym ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值. 【解析】根据题意可得：20m -≠，11n -=，11m -=，所以2n =，0m =. 【答案】见解析【例3】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程3kx y -=的解，那么k 的值是（ ）A.2B.2-C.1D.1-【解析】二元一次方程的解 【答案】A【巩固】已知21x y =⎧⎨=⎩是方程25x a +=的解，则a =【解析】略 【答案】A【例4】 方程310x y +=的正整数解有几组？（ ）A.1组B.3组C.4组D.无数组【解析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定x 一个正整数的值，计算y 的值即可．【答案】方程可变形为103y x =-当1x =时，则1037y =-=； 当2x =时，则1064y =-=； 当3x =时，则1091y =-=．故方程310x y +=的正整数解有17x y =⎧⎨=⎩，24x y =⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=⎩，共3组．故选B ．【巩固】⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解【解析】略【答案】⑴119x y =⎧⎨=⎩，214x y =⎧⎨=⎩，39x y =⎧⎨=⎩，44x y =⎧⎨=⎩；⑵05x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，⑶531x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，234x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，135x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩【例5】 若方程24341358m n m n x y --+--=是二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为 . 【解析】由二元一次方程的概念可列二元一次方程组2413411m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，22()()339m n m mn n -++=⨯=.【答案】见解析【巩固】若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么的a 、b 值分别是（ ）A 、1a =，0b =B 、0a =，1b =-C 、2a =，1b =D 、2a =，3b =- 【解析】本题考查二元一次方程的定义，由二元一次方程的定义可得到关于a ,b 的方程组。
浙教版七年级下册 第2章 二元一次方程 第1讲 二元一次方程组 培优讲义(含解析)
第2章 二元一次方程 第1讲 二元一次方程组命题点一：二元一次方程的定义 【思路点拨】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程. 例1若(m －1)x ＋10y |2m －1|＝250是关于x 的二元一次方程，则m 的值是(B )A ．0或1B ．0C ．1D ．任何数例2若3x 3m ＋5n ＋9＋4y 4m －2n －7＝2是关于x ，y 的二元一次方程，则m n等于(D )A ．73B ．37C ．－73D ．－37命题点二：解二元一次方程组 例3解下列方程组：(1)⎩⎨⎧4x －3y ＝17，y ＝7－5x . (2)⎩⎨⎧5x －2y ＝4，2x －3y ＝－5. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.【思路点拨】对于(3)，运用整体叠加法解；对于(4)，可以整体设元后解决．(3)⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，2 016x －2 015y ＝2 017.(4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y 4＋2x －3y3＝7，2x ＋3y 3＋2x －3y 2＝8.解：(3) ⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，①2 016x －2 015y ＝2 017.②①－②，得x －3y ＝－1.③ ①＋②，得4 033x －4 033y ＝4 033，即x －y ＝1.④ ④－③，得2y ＝2，解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝2，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.(4)设2x ＋3y ＝a ，2x －3y ＝b ，则⎩⎨⎧a 4＋b3＝7，a 3＋b2＝8，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝－24.即⎩⎨⎧2x ＋3y ＝60，2x －3y ＝－24.则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝9，y ＝14.(5)⎩⎨⎧3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12.解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，z ＝1.例4解下列方程组：(1)⎩⎨⎧2a －b ＝32，a －3b ＝1. (2)⎩⎨⎧3(x －1)＝y ＋5，x ＋22＝y －13＋1. (3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，314x ＋217y ＝2.解：(1)⎩⎨⎧a ＝19，b ＝6. (2)⎩⎨⎧x ＝6，y ＝10.(3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，①314x ＋217y ＝2.②①＋②，得531(x ＋y )＝4，即x ＋y ＝4531. ③①－③×217，得97y ＝2－4×217531，解得y ＝2531. 将y ＝2531代入③，得x ＝2531，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2531，y ＝2531.(4)⎩⎨⎧3(x ＋y )－5(x －y )＝16，2(x ＋y )＋(x －y )＝15.(5)⎩⎨⎧3x －2y ＋z ＝6，2x ＋3y －z ＝11，x ＋2y ＋z ＝8.解：⎩⎨⎧x ＝4.y ＝3.解：⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝1.命题点三：方程组的解 例5(1)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝6，则方程组⎩⎨⎧5a 1(x －1)＋3b 1(y ＋1)＝4c 1，5a 2(x －1)＋3b 2(y ＋1)＝4c 2的解为 ⎩⎨⎧x ＝5，y ＝7． (2)甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧mx ＋y ＝5，①2x －ny ＝13. ②甲解题看错了①中的m ，解得⎩⎨⎧x ＝72，y ＝－2，乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－7，则原方程组的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3．例6(1)如果关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2，a 2x －b 2y ＝4的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，那么方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2＋a 1，a 2x －b 2y ＝4＋a 2的解为(C ) A ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3 B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3 C ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 D ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－26，ax －by ＝－4和方程组⎩⎨⎧3x －5y ＝36，bx ＋ay ＝－8的解相同，则b －2a 的值是 －3 ．命题点四：整数解问题【思路点拨】求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解. 例7阅读下列材料，然后解答后面的问题．我们知道方程2x ＋3y ＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x ＋3y ＝12，得y ＝12－2x 3＝4－23x .(x ，y 为正整数)∴⎩⎨⎧x ＞0，12－2x ＞0，则有0＜x ＜6.又∵y ＝4－23x 为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4－23x ＝2.∴2x ＋3y ＝12的正整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(1)请你写出方程2x ＋y ＝5的一组正整数解： ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1(只要写出其中的一组即可) ．(2)若6x －2为自然数，则满足条件的x 值有(C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？解：设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n 支． 根据题意，得3m ＋5n ＝35，其中m ，n 均为正整数．变形，得n ＝35－3m 5＝7－35m ，得⎩⎨⎧m ＞0，7－35m ＞0.∴0＜m ＜353. 由于n ＝7－35m 为正整数，则35m 为正整数，可知m 为5的倍数．∴当m ＝5时，n ＝4；当m ＝10时，n ＝1.答：有两种购买方案：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．例8(北京“迎春杯”竞赛题)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －ay ＝6，4x ＋y ＝7的解是整数，a 是正整数，那么a 的值为 2 ．命题点五：解含参的二元一次方程组 【思路点拨】本题是一个含字母系数的方程组．解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零． 例9已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0， ①6x －my ＋3＝0 ②有无数个解，则m 的值为 9 ．例10已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋2y ＝1，①2x ＋3y ＝b .②(1)当a ，b 为何值时，方程组有唯一解？ (2)当a ，b 为何值时，方程组无解？ (3)当a ，b 为何值时，方程组有无穷解？ 解：(1)当a ≠43时，方程组有唯一解．(2)当a ＝43，b ≠32时，方程组无解．(3)当a ＝43，b ＝32时，方程组有无穷解．课后练习1．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为(A )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝432．(2019·南通)已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧3a ＋2b ＝4，2a ＋3b ＝6，则a ＋b 的值为 (A )A ．2B ．4C ．－2D ．－43．已知方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋y ＝1的解满足x －y ＝3，则k 的值为(B )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．已知方程组⎩⎨⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1和⎩⎨⎧3x ＋y ＝9，3ax ＋4by ＝18有相同的解，求a ，b 的值(B ) A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝－11，b ＝7 C ．a ＝3，b ＝2 D ．a ＝7，b ＝－11 5．(2018·德州)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎨⎧a 2＋b 2，(a ≥b )ab .(a <b )例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝ 60 ．6．(2018·滨州)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎨⎧3(a ＋b )－m (a －b )＝5，2(a ＋b )＋n (a －b )＝6的解是 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12 ．7．(2019·越城区期末)3x ＋2y ＝20的正整数解有 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝1 .8．(2019·天台期末)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋3y ＝3k －1有以下结论：①当k ＝0时，方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1；②方程组的解可表示为⎩⎨⎧x ＝3k －2，y ＝1－k ；③不论k 取什么实数，x ＋3y 的值始终不变．其中正确的有 ①②③ ．(填序号) 9．根据要求，解答下列问题．(1)解下列方程组．(直接写出方程组的解即可)①⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3的解为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1 ； ②⎩⎨⎧3x ＋2y ＝10，2x ＋3y ＝10的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 ； ③⎩⎨⎧2x －y ＝4，－x ＋2y ＝4的解为 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4． (2)以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 x ＝y ． (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解． 解：⎩⎨⎧3x ＋2y ＝25，2x ＋3y ＝25，解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝5.10．如果⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的方程(ax ＋by －12)2＋||ay －bx ＋1＝0的解，求a ，b 的值．解：把⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2代入方程，得(a ＋2b －12)2＋||2a －b ＋1＝0.又根据非负数性质，得方程组⎩⎨⎧a ＋2b －12＝0，2a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5.11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形，得4x ＋10y ＋y ＝5，即 2(2x ＋5y )＋y ＝5.③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5. ∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4. ∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19. ②(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36. ②求x 2＋4y 2的值． 解：(1)把方程②变形，得3(3x －2y )＋2y ＝19.③ 把①代入③，得15＋2y ＝19，即y ＝2. 把y ＝2代入①，得x ＝3， 则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(2)由①，得3(x 2＋4y 2)＝47＋2xy ， 即x 2＋4y 2＝47＋2xy3.③把③代入②，得2×47＋2xy3＝36－xy .解得xy ＝2， 则x 2＋4y 2＝17.12．关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋ay ＋1＝0，bx －2y ＋1＝0有无数组解，则a ，b 的值为(B )A ．a ＝0，b ＝0B ．a ＝－2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝－1D ．a ＝2，b ＝1 13．若对任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程(a －b )x －(a ＋b )y ＝a ＋b 有一组公共解，则公共解为 ⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.14．(全国初中数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解：由⎩⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ， 得⎩⎨⎧x ＝3z ，y ＝2z .代入，得原式＝－13.。
初中数学七年级《二元一次方程组的讨论》培优竞赛辅导导学讲义
七年级培优讲义十（二元一次方程组的讨论）姓名——1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）二、例题 例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？例3. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。
问桃，李，榄橄各买几粒？三、练习111． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x 2． a 取什么值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数？3． a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨⎧=--=+ay x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？ 4． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？。
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是由两个方程组成的方程集合，其中每个方程都是二元一次方程。
二元一次方程的一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，而x和y是未知数。
二、二元一次方程组的求解方法1.消元法：通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为只包含一个未知数的方程。
然后可以通过代入的方法求解另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
2. Cramer法则：利用行列式的性质求解二元一次方程组。
具体步骤如下：a)计算系数行列式:D=，abdb)x的系数行列式:Dx=，cbfc)y的系数行列式:Dy=，acdd)计算方程组的解:x=Dx/D，y=Dy/D3.代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到只包含一个未知数的方程。
然后可以通过消元法或其他方法求解。
三、解的情况讨论1.唯一解：当二元一次方程组存在一个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有唯一解。
2.无解：当二元一次方程组不存在有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组无解。
3.无穷多解：当二元一次方程组存在无穷多个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有无穷多解。
这种情况下，方程组的两个方程是两个平行直线。
四、实例演示考虑以下二元一次方程组：2x+3y=74x-y=2通过消元法可得：2x+3y=78x-2y=4将第二个方程化为y的表达式：y=4x-2将y的表达式代入第一个方程：2x+3(4x-2)=7化简得到：2x+12x-6=7合并同类项：14x-6=7解方程得到：14x=13，x=13/14将x的值代入y的表达式：y=4(13/14)-2，化简得到：y=3/7所以，方程组的解为(x,y)=(13/14,3/7)。
总结：二元一次方程组的解的讨论涉及到三种情况：唯一解、无解和无穷多解。
最新【竞赛讲座】七年级上学期数学竞赛专家讲座：第10讲-二元一次方程组资料
第十讲：二元一次方程组一、相关知识点1、 二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。
2、二元一次方程的标准式： ()00,0ax by c a b ++=≠≠3、 一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和y 的值，叫做这个方程的一个解。
4、 二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。
5、 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二、典型例题1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ）Ａ．123x y =⎧⎨+=⎩，． Ｂ．10x y x y +=⎧⎨-=⎩，． Ｃ．10x y xy +=⎧⎨=⎩，．Ｄ．21y x x y =⎧⎨-=⎩，． 2．有这样一道题目：判断31x y =⎧⎨=⎩，是否是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解？ 小明的解答过程是：将3x =，1y =代入方程250x y +-=，等式成立．所以31x y =⎧⎨=⎩，是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解． 小颖的解答过程是：将3x =，1y =分别代入方程250x y +-=和2350x y +-=中，得250x y +-=，2350x y +-≠．所以31x y =⎧⎨=⎩，不是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解．你认为上面的解答过程哪个对？为什么？3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k 的取值应是（ B ） A 、k=-4 B 、k=4 C 、k=-3 D 、k=3 分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x 、y ，再代入y=kx-9求出k 值。
解⎩⎨⎧=+=-②y x ①y x 13273 得：⎩⎨⎧-==12y x将⎩⎨⎧-==12y x 代入y=kx-9，k=44．解方程组()()63101321002m n m n -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 方法一：（代入消元法） 解：由（2），得 ()10332mn -=把（3）代入（1），得 43m = 把43m =代入（3），得 3n = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法二：（加减消元法）解：（2）×2： 6m+4n-20=0 (3) (3)-(1): 7n=21 n=3把3n =代入（3），得43m = ∴433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2327103m n n +-+=由（2）得：()32104m n += 把（4）代入（3），得 3n = 把3n =代入（4），得43m = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2321072103m n n +--+=由（2）代入（3），得3n =把3n =代入（2），得43m = ∴ 433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩5．已知方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组()()()()⎩⎨⎧=-++=--+9.301523131322y x y x 的解是（ C ）A ．⎩⎨⎧==2.13.8y x B ．⎩⎨⎧==2.23.10y x C ．⎩⎨⎧==2.23.6y x D ．⎩⎨⎧==2.03.10y x6．4513453x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解：设11,a b x y ==，则原方程组可化为()()451314532a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：21a b =⎧⎨=⎩∴121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 7．解方程组()():3:213532x y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解：（参数法）∵32x y = ∴设3,2x k y k ==。
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论二元一次方程组是初中数学中的一个重要内容，也是数学竞赛中经常出现的题型。
解二元一次方程组的方法主要有代入法、消元法和等式法。
下面是对这三种方法进行详细讨论的精品标准教程。
一、代入法代入法是解二元一次方程组最常见的方法之一、它的基本思想是通过一个方程的解来代入另一个方程，从而得到另一个未知数的解。
例题1：解方程组2x+y=6x-y=2解析：由于第二个方程的形式比较简单，所以可以先解x，然后带入第一个方程来解y。
解方程x-y=2得到x=2+y将x=2+y代入第一个方程2x+y=6得到2(2+y)+y=6化简得4+2y+y=6化简得3y=2解得y=2/3带入第一个方程2x+y=6得到2x+2/3=6化简得2x=6-2/3化简得2x=16/3解得x=8/3所以，解得x=8/3，y=2/3二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过消去一个未知数，得到只含有一个未知数的一次方程，从而求出这个未知数的值，然后代入原方程组来求出另一个未知数的值。
例题2：解方程组2x+y=6x-y=2解析：首先观察发现，两个方程都有x-y，所以可以消去y。
将第二个方程两边同时乘以2得到2x-2y=4将这个方程与第一个方程相加，得到(2x+y)+(2x-2y)=6+4化简得4x=10解得x=10/4=5/2将x=5/2带入第一个方程2(5/2)+y=6化简得5+y=6解得y=1所以，解得x=5/2，y=1三、等式法等式法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是将其中一个方程的左右两边都化成同样的形式，然后将两个方程相减或相加，从而消去一个未知数。
例题3：解方程组3x-2y=72x+3y=1解析：为了消去x或y，我们可以将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，从而使得两个方程的x系数一样。
将第一个方程乘以3得到9x-6y=21将第二个方程乘以2得到4x+6y=2将两个方程相加，得到(9x-6y)+(4x+6y)=21+2化简得13x=23解得x=23/13将x=23/13带入第一个方程3(23/13)-2y=7化简得69/13-2y=7解得y=(69/13-7)/(-2)化简得y=5/13所以，解得x=23/13，y=5/13通过以上的讨论，我们可以看出代入法、消元法和等式法都是解二元一次方程组的有效方法。
初中数学竞赛辅导 第十讲 二元一次方程的整数解(含答案)
第十讲 二元一次方程的整数解一、内容提要1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax +by =c 中，若a ,b 的最大公约数能整除c ,则方程有整数解。
即如果（a ,b ）|c 则方程ax +by =c 有整数解显然a ,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x +5y =1, 5x -2y =7, 9x +3y =6都有整数解。
反过来也成立，方程9x +3y =10和 4x -2y =1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a ,b ）中的a ,b 实为它们的绝对值。
2、二元一次方程整数解的求法：若方程ax +by =c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x +11y =1的整数解解：x =5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y =1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x =k -2(1-5k )=11k -2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 51211（k 是整数） 方法二：公式法：设ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=aky y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3、 求二元一次方程的正整数解：① 求出整数解的通解，再解x ,y 的不等式组，确定k 值② 用观察法直接写出。
二、例题例1求方程5x －9y =18整数解的通解解：x =53235310155918y y y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y =3－5k , 代入得x =9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x =o 时，y =－2，∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
《二元一次方程组》培优教材附答案
《二元一次方程组》培优教材附答案二元一次方程组培优教材附答案引言本教材旨在为学生提供研究和理解二元一次方程组的优质教材，并附有详细的答案，以帮助学生巩固所学知识。
二元一次方程组是初中数学中的重要内容，掌握它对于学生进一步研究代数和解决实际问题具有重要意义。
通过本教材的研究，学生将能够独立解决和应用二元一次方程组。
教材内容第一章：二元一次方程组基础知识- 引入二元一次方程组的概念和基本形式- 讲解方程组的解的概念和方法- 通过实例演示如何解决常见的二元一次方程组第二章：图像法解二元一次方程组- 介绍图像法解二元一次方程组的原理和步骤- 指导学生通过绘图解决方程组- 提供多个练题，帮助学生掌握图像法的应用第三章：代入法解二元一次方程组- 引导学生了解代入法解二元一次方程组的步骤和原理- 提供大量例题和题，让学生通过代入法解决方程组第四章：消元法解二元一次方程组- 讲解消元法解二元一次方程组的概念和步骤- 提供简单到复杂的例题和题，帮助学生掌握消元法的使用技巧第五章：应用题- 提供实际生活中的问题，并要求学生应用所学知识解决问题- 给出详细的解答和解题思路，帮助学生理解问题的解决过程答案部分本教材附带详细的答案部分，对每章节的题进行了详细解答。
学生可以通过对照答案，检查和纠正自己的解题方法和答案。
答案部分还包含了解答过程中的关键步骤和解题思路，帮助学生理解解题过程。
结语《二元一次方程组》培优教材附答案是一本全面而系统的教材，旨在帮助学生提高对二元一次方程组的理解和应用能力。
通过研究本教材，学生将能够熟练解决和应用二元一次方程组，为进一步研究数学奠定扎实的基础。
希望本教材能对广大中学生的研究起到积极的促进作用。
---以上是《二元一次方程组》培优教材附答案的简要内容介绍。
这本教材将通过系统的讲解和丰富的习题，帮助学生有效掌握和应用二元一次方程组的解法。
希望学生们通过学习本教材能够提高解题能力，培养数学思维，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
(完整版)二元一次方程组培优竞赛专题讲解
4、解方程组 时，一学生把 看错后得到 ，而正确的解是 ，
则 值为（）
A．不能确定B． C． 不能确定D．
5、若关于 的方程组 无解，则 的值为（）
A． B． C． D．
6、 是给定的整数，某同学分别计算 时代数式 的值，依次得到下列四个结果，已知其中3个是正确的，那么错误的是（）
A． B． C． D．
7、若 都不为0，由方程组 可得 是（）
A． B． C． D．
8、若 ，则 。
9、已知二元一次方程组 ，则 ， 。
10、已知方程组 的解为 ，则 。
11、已知关于 的方程组 的解是整数， 是正整数，那么 ________。
12、已知方程组 的解为 ，则方程组 的解是。
13、已知关于x，y的方程组
(3)解方程组 (4)解方程组
(5)若
，且 ，求 的值。
(6)已知正数 满足解方程组 ，求 的值。
7、解方程组
例4、含绝对值的方程组
1、解方程组 2、解方程组
例5、含字母系数方程组的解及杂题
对于x、y的方程组 中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1
与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，则
专题:二元一次方程组
例1、二元一次方程组的解
1、若 使方程组 的解的和为6，则 的值为多少？
2、已知方程组 的解应为 ，小明解题时把 抄错了，得到解 法
(1)用代入法解方程组 (2)用加减法解方程组
例3、解二元一次方程组及高元一次方程组（综合）
(1)解方程组 (2)解方程组
5、已知 中每一个数值只能取 中的一个，且满足 求 的值。
【拓展训练】
1、若一个两位正整数的十位上的数字与个位数上数字的和为6，那么符合条件的两位数的个数是（）个
(完整版)二元一次方程(组)补习、培优、竞赛经典归类讲解、练习及答案
二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。
2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。
（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成⎩⎨⎧==y x 的形式。
5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。
（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。
主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。
代入——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。
变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。
加减——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：① 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。
② 找：找出能够表示题意两个相等关系。
③ 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。
④ 解：解这个方程组，求出两个未知数的值。
⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
6、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
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专题:二元一次方程组
例1、二元一次方程组的解
x y 2
1、若m 使方程组
的解的和为6,则m 的值为多少?
x 2y m
例2、二元一次方程组的两种通用解法
23x 17y 63 (1)解万程组
17x 23y
57
(2)解方程组
x 1 1 1 6y 3
1
0 2y 1
2x 2
1 1 5
x y y z 6
xy 1 1 1 7
(3)解方程组— —-
3x
(4)解方程组
2y 8 y z z x 12
xy
1
1 1 3
2x 3y 7
z x x y 4
92 93 94 95 91 93 94 95
a ? 9 4 95 a 2 a 3
95
(5)
若
93
94
例3、解二元一次方程组及高元一次方程组(综合)
1 2
91 92
93 94
a 5
2、已知方程组
ax by ex 20y
16
16的解应为
224
8
10，
小明解题时把 e 抄错了，得到解
12
13，则 9
2
b 2 e 2
值为多少? (1)用代入法解方程组
x 1 y 2x 3y 5
(2)用加减法解方程组
2x 3y 1 3x 5y 1
k ，且 91
92
93
94
95
0，求 k 的值。
bcdef 4 a acdef 9 b abdef
16
(6)已知正数a,b,c, d, e, f 满足解方程组
C
abcef ，求(a c e) (b d
1 d 4 abcdf
1
e 9 abcde 1
f 16
f)的值
x ? X 2 x 3
X 3 X 4 ... X 1997
X
x ? ... X 1998 X 1999 1999 7、解方程组 X i X l998 X 1999
例4、含绝对值的方程组 1、解方程组2XX/3；y ；
1 2、解方程组
|x y| 1 |x| 2|y| 3
例5、含字母系数方程组的解及杂题 对于x 、y 的方程组 a 1、b 1、C 1、a 2、b 2、c 2 均为已知数，且 a 1
与b 1、a 2与b 2都至少有一个不等于零，则 ①二 ——时，原方程组有惟一解； ②;一；一；时，原方程组有无穷多组解;
③? 时，原方程组无解. <12 口 2 S
y kx b 1、当k,b 为何值时，方程组y
有唯一解，无解，有无穷多解？
y (3k 1)x 2
2、已知关于x,y 的二元一次方程(a 1)x (a 2)y 5 2a 0, a 每取一个值时就有一
个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个解吗？
4x 3y 6
4
、已知m
是整数，方程组6x my 26有整数解，求口的值
5、已知X 1,X 2，…X n 中每一个数值只能取
2,0,1中的一个，且满足X 2 ... X n 17,
X ： x ； ... x ； 37,求 X |3 x ； ... X 的值。
【拓展训练】
1、若一个两位正整数的十位上的数字与个位数上数字的和为
6,那么符合条件的两位
数的个数是( )个
A . 7
B. 6 C . 5 D . 4
2、若关于x, y 的方程组 x y
x y
5k 的解也是二元一次方程
9
2x 3y 6的解，则k 值为
3、若|a b 1|与(a b 1)2互为相反数，则a 与b 的大小关系是(
)
A . a b
B. a b
C. a b
D . a b
4、解方程组 ax 2y 7时，一学生把a 看错后得到
，而正确的解是
cx dy 4
y 1 y 1
则a,c,d 值为( )
6、 a,b 是给定的整数，某同学分别计算 x 1,1,2,4时代数式ax b 的值，依次得到下
3、若 4x 3y 6z 0, x 2y 7z 0(xyz 0)则代数式
5x 2 2y 2 z 2
2x 2 3y 2 10z 2
的值为多少? 4 - 3
G
3 一
4
B.
3 一
4
A .不能确定
B . a
3,c 1,d 1 C. a
3,c,d 不能确定 D . a 3,c 2,d
5、若关于x, y 的方程组
ax 3y 9
无解，则a 的值为(
2x y 1
A . 6
B. 6
C . 9
D. 30
列四个结果，已知其中3个是正确的，那么错误的是（）
A. a b 1
B. a b 5
C. 2a b 7
D. 4a b 14
7、若x, y,z都不为0，由方程组x 2y 3z 0可得*：乙是（）
2x 3y 4z 0
A.1:2:1
B.1:( 2):1
C. (1)
：2:1 D. 1:2:( 1)
卄1 2 3 3 2 1 …1 1 1
8、若一5,—7则一。
x y z x y z x y z
9、已知二元一次方程组2x y 7
，则x y ，x y 。
x 2y 8
ax by 4 x 2
10、已知方程组的解为，则2a 3b ____________ 。
ax by 2 y 1
11、已知关于x,y的方程组2x ay 6
的解是整数，a是正整数，那么a _____________ 4x y 7
12、已知方程组2a 3b 13
的解为
a 8.3
,则方程组
2(x 2)3(y 1)13
的解
3a 5b 30.9 b 1.2 3(x 2) 5(y 1) 30.9 13、已知关于x，y的方程组
分别求出当a为何值时，方程组
(1) 有唯一一组解；
(2) 无解；
(3) 有无穷多组解．。