初中补习班数学讲义直线与方程

§1 直线与方程（教案）

一、基础知识点

1.平面直角坐标系中的基本公式

（1）数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离 |AB |＝21x x -.

（2）平面上两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为 d (A ，B )＝|AB |＝

()()221221y y x x -+-.

（3）线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的

坐标为(x ，y )，则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=222121y y y x x x

2.直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾斜角. 当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.

因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

（2）斜率：一条直线的倾斜角α的正切叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即 k ＝αtan (α≠

2

π). 当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k=0；当直线的倾斜角为锐角时，k>0；当直线的倾斜角为钝角时，k<0；倾斜角为2

π

的直线没有斜率. 倾斜角不同，直线的斜率也不同. 因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.

3. 直线的方程：

若直线l 与方程()0,=y x f 满足：

①直线l 上每个点的坐标都是方程()0,=y x f 的解； ②以方程()0,=y x f 的解为坐标的点都在直线l 上.

则称方程()0,=y x f 为直线l 的方程，直线l 称为方程()0,=y x f 的直线. 4. 直线方程的几种形式

（1）截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的横坐标a 叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.

注：截距不是距离(填“是”或“不是”). （2）直线方程的几种形式：

注：两点式是 点方向式 的特例，斜截式是___点斜式_____的特例. （3）特殊直线的方程

①过点()00,y x P 的直线垂直于x 轴，方程为0x x =； ②过点()00,y x P 的直线垂直于y 轴，方程为0y y =.

二、基础自测

1. 过点M (－1，m )，N (m ＋1，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )

A.1

B.12

C.2

D.1

3

解：由4－m m ＋2＝1，得m ＝1.故选A.

2. 直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.30° B.60° C.120° D.135°

解：直线方程可变形为y ＝3x ＋3

3，tanα＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.

3. 已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－3

4，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝0 答案：A

4. 设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a ，b 满足( ) A.a ＋b ＝1 B.a －b ＝1

C.a ＋b ＝0

D.a －b ＝0

解：由题意得sinα＝－cosα，显然cosα≠0，则tanα＝－1，∴－a

b ＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.故选D.

5. 已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 答案：D

6. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,

0Y C.⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡4,0π D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0Y 解析：选B.设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]． 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π

4≤θ＜π.

7. 已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．0

解：直线方程可化为x a ＋y

1

a ＝1，因为a >0， 所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1

a ，即a ＝1时取等号．

8. (2015·贵州贵阳模拟)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．

解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3<1－2

k

<3，

解得k <－1或k >12. 答案：(－∞，－1)∪⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞,2

1

三、典例解析

【例1】已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.

解：∵直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2

)两点，∴k AB ＝m 2－11－2＝1－m 2.又∵m ∈R ，∴k AB ∈(－∞，1]，

其倾斜角的取值范围为⎪⎭

⎫

⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0Y .

【例2】根据所给条件求直线的方程： （1）直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为

1010

； 解：由题意知，直线的斜率存在， 设倾斜角为α，则sinα＝10

10

(α∈[0，π))， 从而cosα＝±31010，则k ＝tanα＝±1

3

. 故所求直线的方程为y ＝±1

3

(x ＋4)，即x ±3y ＋4＝0. （2）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；

解：若截距不为0，设直线的方程为x a ＋y

a

＝1，