初中补习班数学讲义直线与方程

§1 直线与方程（教案）一、基础知识点1.平面直角坐标系中的基本公式（1）数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离 |AB |＝21x x -.（2）平面上两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为 d (A ，B )＝|AB |＝()()221221y y x x -+-.（3）线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x2.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾斜角. 当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.（2）斜率：一条直线的倾斜角α的正切叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即 k ＝αtan (α≠2π). 当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k=0；当直线的倾斜角为锐角时，k>0；当直线的倾斜角为钝角时，k<0；倾斜角为2π的直线没有斜率. 倾斜角不同，直线的斜率也不同. 因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.3. 直线的方程：若直线l 与方程()0,=y x f 满足：①直线l 上每个点的坐标都是方程()0,=y x f 的解； ②以方程()0,=y x f 的解为坐标的点都在直线l 上.则称方程()0,=y x f 为直线l 的方程，直线l 称为方程()0,=y x f 的直线. 4. 直线方程的几种形式（1）截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的横坐标a 叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.注：截距不是距离(填“是”或“不是”). （2）直线方程的几种形式：注：两点式是 点方向式 的特例，斜截式是___点斜式_____的特例. （3）特殊直线的方程①过点()00,y x P 的直线垂直于x 轴，方程为0x x =； ②过点()00,y x P 的直线垂直于y 轴，方程为0y y =.二、基础自测1. 过点M (－1，m )，N (m ＋1，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A.1B.12C.2D.13解：由4－m m ＋2＝1，得m ＝1.故选A.2. 直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.30° B.60° C.120° D.135°解：直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tanα＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.3. 已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝0 答案：A4. 设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a ，b 满足( ) A.a ＋b ＝1 B.a －b ＝1C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0解：由题意得sinα＝－cosα，显然cosα≠0，则tanα＝－1，∴－ab ＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.故选D.5. 已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 答案：D6. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0Y C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0Y 解析：选B.设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]． 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.7. 已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．0解：直线方程可化为x a ＋y1a ＝1，因为a >0， 所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号．8. (2015·贵州贵阳模拟)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3<1－2k<3，解得k <－1或k >12. 答案：(－∞，－1)∪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21三、典例解析【例1】已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.解：∵直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，∴k AB ＝m 2－11－2＝1－m 2.又∵m ∈R ，∴k AB ∈(－∞，1]，其倾斜角的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0Y .【例2】根据所给条件求直线的方程： （1）直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； 解：由题意知，直线的斜率存在， 设倾斜角为α，则sinα＝1010(α∈[0，π))， 从而cosα＝±31010，则k ＝tanα＝±13. 故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y ＋4＝0. （2）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；解：若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya＝1，∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0. 若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0.（3）过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是( ) A.2x ＋y －12＝0 B.2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C.x －2y －1＝0 D.x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解：当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y2a＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0，故选B.【例3】△ABC 的三个顶点为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：①BC 所在直线的方程；②BC 边上中线AD 所在直线的方程；③BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．解：①因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，由两点式得BC 所在直线的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.②设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 过A (－3，0)，D (0，2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.③BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得DE 所在直线的方程为2x －y ＋2＝0.【例4】已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程. 解：设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1. ∵k ＝16，∴－b a ＝16，得a ＝－6b. 又S △ABC ＝12|a |·|b |＝3，∴|ab |＝6. 联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ，||ab ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1.∴所求直线方程为：x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.【例5】若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，求1a ＋1b的值. 解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.【例6】(2015·湖南长沙模拟)过点(1，3)作直线l ，若经过点(a ，0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得1a ＋3b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3. 又a ∈N *，b ∈N *，故有两个解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4.【例7】已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154，当a ＝12时，面积最小． 答案：12【例8】已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：解法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y－12＝0.解法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A (3－2k，0)，B (0,2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )(3－2k )＝12[12＋(－9k )＋4(－k )]≥12[12＋2(－9k )·4(－k )]＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.【例9】已知直线l 过点P (0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B (如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a ，8－2a )． ∵点P (0，1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a ，2a －6)．又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A (－a ，2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴点B 的坐标是(4，0)．因此，过P (0，1)，B (4，0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1， 即x ＋4y －4＝0.【例10】直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为坐标原点， （1）当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程； （2）若|P A |·|PB |最小，求l 的方程．[解]（1）依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫1－4k ，0；令x ＝0，可得B (0，4－k )． |OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝⎛⎭⎫k ＋4k ＝5＋⎝⎛⎭⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9. ∴当且仅当－k ＝4－k且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.（2）|P A |·|PB |＝⎝⎛⎭⎫4k 2＋16·1＋k 2＝－4k (1＋k 2)＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－k ＋（－k ）≥8(k <0)．∴当且仅当1－k＝－k 且k <0，即k ＝－1时，|P A |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.四、巩固练习（一）基础练习1. 下列命题中，正确的是( )A.直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是αB.直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D.直线的倾斜角α∈⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,22,0Y 时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 解：因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，斜率大于0；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率小于0，C 不对.故选D.2. 已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝－3x ＋2 C.y ＝－3x －2 D.y ＝3x －2 解：∵k ＝tan120°＝－3，且直线在y 轴上的截距为－2， ∴由斜截式得y ＝－3x －2.故选C.3. 已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A.1 B.－1 C.－2或－1 D.－2或1解：显然a ≠0，由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或1.故选D.4. 已知直线l 过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45，则直线l 的方程为( ) A.3x －4y －8＝0 B.3x ＋4y －8＝0 C.3x ＋4y ＋8＝0 D.3x －4y ＋8＝0解：∵cosα＝45，α∈[0，π)，∴sinα＝35，k ＝tanα＝34.∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x －4y ＋8＝0.故选D.5. (2013·北京海淀模拟)已知点A (－1，0)，B (cosα，sinα)，且||AB ＝3，则直线AB 的方程为( ) A.y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B.y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33 C.y ＝x ＋1或y ＝－x －1 D.y ＝2x ＋2或y ＝－2x －2 解：∵||AB ＝（cosα＋1）2＋sin 2α＝2＋2cosα＝3，∴cosα＝12，sinα＝±32. 当点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32时，直线AB 的方程为y ＝33x ＋33；当点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32时，直线AB 的方程为y ＝－33x －33.故选B.6. 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2[解析] 直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.7. 直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是____________.解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l 的斜率为33.故填33.8. 已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上有一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．解析：依题意得AB 的方程为x 3＋y 4＝1.当x ＞0，y ＞0时，1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝xy3，即xy ≤3(当且仅当x ＝32，y ＝2时取等号)，故xy 的最大值为3. 答案：3（二）能力拓展9. [2015·银川模拟]经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )A. x ＋2y －6＝0B. 2x ＋y －6＝0C. x －2y ＋7＝0D. x －2y －7＝0解析：设直线的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则有1a ＋4b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋b a ＋4a b≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝3，b ＝6时取“＝”．所以直线方程为2x ＋y －6＝0. 答案：B10. (2015·江苏苏州调研)经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．解析：如图所示，为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k P A ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k ＞0时，α为锐角．又k P A ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k ＜0时，3π4≤α＜π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1，1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π。