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切线长定理和三角形地内切圆练习题

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24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆

24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆

图24－2－15
解析总结反 思
(2)角相等：∠1＝∠___2___＝∠___3___＝∠___4___，∠5＝ ∠____6____＝∠____7____＝∠____8____；
(3)线段相等：PA＝___P_B____，AC＝___B_C____；
(4)弧相等：A︵D＝___B︵_D____，A︵E＝___B_︵_E___．
谢 谢 观 看！
（续表）
如下图，因为 PA，PB 是⊙O 的两条切线，所以 PA＝
思
符号 语言
___P_B____，∠APO＝_∠__B_P_O___＝12_∠__A_P__B__
表示
切线长不是切线的长度，而是圆外一点与切点所连线 点拨
段的长度
解析总结反 思
知识点二 三角形的内切圆与内心
与三角形__各__边__都___相__切___的圆叫做三角形的
全品学练考
数学 九年级 上册 人教版
第 二
圆
十 四
24.2.2 直线和圆的位置关系
章
-
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
目标突破 总结反思
解目 目标一 能用切线长定理解决问题
析标
突 例1 [教材例2针对训练]已知：如图24－2－12所示，PA， 破 PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，Q为A︵B 上一点，过点
24(cm)．
解目 析标
(2)∵PA，PB，EF均是⊙O的切线，
突 ∴PA⊥OA，PB⊥OB，EF⊥OQ，∠AEO＝∠QEO，
破
∠QFO＝∠BFO，
∴∠AOE＝∠QOE，∠BOF＝∠QOF.
又∵∠AOB＝180°－∠P＝110°，
∴∠EOF＝12∠AOB＝55°.

切线长典型例题

切线长典型例题

基础型
【典型例题】
类型一、切线长定理
1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．
2．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线.
举一反三：
【变式】已知：如图，⊙O 为的外接圆，为⊙O 的直径，作射线，使得平分，过点作于点.求证：为⊙O 的切线.
类型二、三角形的内切圆
ABC ∆BC BF BA CBF ∠A AD BF ⊥D DA
F
C
3．已知：如图，△ABC 的三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求
△ABC 的面积S ．
【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的半径r.
类型三、与相切有关的计算与证明
4．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .
（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.
G F E
D
C B
A。

初中：切线长定理及三角形的内切圆—巩固练习

初中：切线长定理及三角形的内切圆—巩固练习

职J统�):E埋反二期7惨剧内职J阻l 一巩固砾之！飞垄倒J【巩固练习】一、选择题1.下列说法中，不正确的是（A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部c.垂直于半径的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等2. b.ABC 的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则b.ABC 的面积为（）A. _!_ ( a + b + c ) r 3.(2015•黔西南外）如图，于（〉A. 150。

B. 130。

B. 2 (a+b+c)C . .!_ (a+b+c) rD. (a+b+c) r点P在①O 外，PA、P B分别与80相切于A、B两点，ζP=50。

，则LAOB 等pc.155。

D. 135。

4.如图所示，①0的外切梯形ABCD 中，如果ADI/BC ，那么ζD O C 的度数为（A. 70。

B. 90°C .60。

D. 45°且p第4题图第5题图5.如图，PA、PB分别是80的切线，A、B为切点，AC是80的直径，已知丘BAC=3夕，ζP 的度数为（〉A. 35。

B.45。

c.65。

D. 70。

6.己知如图所示，等边b.ABC 的边长为2/jcm，下列以A 为圆心的各圆中，半径是3cm的圆是（A BcD二、填空题7.如图，。

I是L"".ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若ζDEF=52°，则正A的度为一一一一一·A cB B第7题图第8题图第9题图8.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=l6,CD=lO，则四边形ABCD的周长为一一一一一·9.如图，己知θ0是L"".ABC的内切圆，ζBAC=50°，则ζBOC为一度．10.如图，PA、PB分别切。

于点A、B，点E是θ0上一点，且正AEB=60。

，则正P＝一－＇－重．p A第10题图第11题图11.如图，PA与①0相切，切点为A,PO交。

3.7 切线长定理(练习)(解析版)

3.7 切线长定理(练习)(解析版)

第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。

九年级数学：切线长定理及三角形的内切圆导学与练习

九年级数学：切线长定理及三角形的内切圆导学与练习

九年级数学：切线长定理及三角形的内切圆导学与练习知|识|目|标1．经历折叠纸片的操作过程，归纳得出切线长定理并掌握切线长定理．2．经历教材中“试一试”的实践操作，理解三角形的内切圆及相关知识．目标一能探索并掌握切线长定理例1 教材补充例题如图27－2－12，已知⊙O的切线PA，PB，A，B为切点，把⊙O沿着直线OP对折，你能发现什么？请证明你所发现的结论．结论：PA＝________，∠OPA＝________.图27－2－12证明：如图27－2－13，连结OA，OB.∵PA，PB与⊙O相切，A，B是切点，∴OA⊥________，OB⊥________，即∠OAP＝________＝90°.∵__________________________，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(H.L.)，∴PA＝________，∠OPA＝________．图27－2－13试用文字语言叙述你所发现的结论．例2 高频考题如图27－2－14，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的度数；(2)当OA＝3时，求AP的长．图27－2－14【归纳总结】切线长定理中的基本图形：如图27－2－15，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，此图形中含有：图27－2－15(1)两个等腰三角形 (△PAB，△OAB)；(2)一条特殊的角平分线( OP平分∠APB和∠AOB);(3)三个垂直关系 (OA⊥PA, OB⊥PB，OP⊥AB)．目标二理解三角形的内切圆例3 教材补充例题如图27－2－16，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的( )图27－2－16A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点例4 教材补充例题△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.【归纳总结】三角形“四心”的区别：外心三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点内心三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点重心三角形三条中线的交点垂心三角形三条高的交点提示：(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形某顶点的连线平分这个顶点处的内角；三角形的内心都在三角形内部．(2)三角形的内切圆有且只有一个，而圆有无数个外切三角形．(3)常用S△ABC＝12(a＋b＋c)r(其中a，b，c为△ABC的三边长)求三角形的内切圆的半径r.(4)若△ABC为直角三角形(不妨设∠C＝90°)，则△ABC内切圆的半径r＝a＋b－c2或r＝aba＋b＋c(其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边)．知识点一切线长及切线长定理(1)圆的切线上某一点与________之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(2)过圆外一点所画的圆的两条切线，________相等．这一点和圆心的连线平分____________________．知识点二三角形的内切圆(1)与三角形________________叫做这个三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的________，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．(2)三角形的内心就是三角形______________，三角形的内心到____________的距离相等．如图27－2－17是切线长定理的一个基本图形(PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 为切点)，由切线长定理可以推出很多的结论，如：(1)垂直：OA ⊥________，OB ⊥________，AB ⊥________；(2)角相等：∠1＝∠________＝∠________＝∠________，∠5＝∠________＝∠________＝∠________；(3)线段相等：PA ＝________，AC ＝________；(4)弧相等：AD ︵＝________，AE ︵＝________．图27－2－17教师详解详析【目标突破】例1 解：PB ∠OPB PA PB ∠OBP OA ＝OB ，OP ＝OP PB ∠OPB 用文字语言叙述结论：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．例2 [解析] (1)方法一：根据切线的性质可知：∠OAP ＝∠OBP ＝90°.根据三角形的内角和为180°可求出∠AOB 的度数，再根据四边形的内角和为360°可求出∠APB 的度数；方法二：证明△ABP 为等边三角形，从而可求出∠APB 的度数．(2)方法一：作辅助线，连结OP.在Rt △OAP 中，利用三角函数可求出AP 的长；方法二：作辅助线，过点O 作OD ⊥AB 于点D.在Rt △OAD 中，求出AD 的长，从而求出AB 的长，即为AP 的长．解：(1)方法一：∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°.方法二：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，OA ⊥PA.∵∠OAB ＝30°，∴∠BAP ＝90°－30°＝60°，∴△ABP 是等边三角形，∴∠APB ＝60°.(2)方法一：如图①，连结OP.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30°.又∵在Rt△OAP中，OA＝3，∴AP＝OAtan30°＝3 3.方法二：如图②，过点O作OD⊥AB于点D. ∵在△OAB中，OA＝OB，∴AD＝12 AB.∵在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，∴AD＝OA·cos30°＝3 3 2，∴AB＝2AD＝3 3，∴AP＝AB＝3 3.例3[答案] D例4解：如图，设△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切于点D，E，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.所以S＝S△AOB ＋S△AOC＋S△BOC＝12AB·OD＋12AC·OF＋12BC·OE＝12lr.【总结反思】[小结] 知识点一(1)切点(2)它们的切线长这两条切线的夹角知识点二(1)各边都相切的圆内心(2)三条角平分线的交点三角形三边[反思] (1)PA PB PO (2)2 3 4 6 7 8(3)PB BC (4)BD ︵ BE ︵。

第3课时切线长定理与三角形的内切圆(原卷版)

第3课时切线长定理与三角形的内切圆(原卷版)

九年级上册数学《第二十四章 圆》 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24. 第3课时 切线长定理 & 三角形的内切圆◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】①切线是直线，不能度量．②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. ∵ P A 、PB 分别切☉O 于 A 、B ， ∴ P A = PB ， ∠OP A = ∠OPB .切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. ◆4、三角形外心、内心的区别：名称 确定方法 图形 性质POAB外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1、外心到三顶点的距离相等；2、外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1、内心到三边的距离相等；2、内心在三角形内部．【例题1】（2022秋•潮州期末）如图，P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A 、PB 于点C 、D ，若P A ＝8，则△PCD 的周长为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．20【变式11】（2023•怀化三模）如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别是P 、C 、D ．若AB ＝10，AC ＝6，则BD 的长是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【变式12】如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ＝10，AB ＝8，BC ＝9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ） A ．9B ．7C ．11D ．8【变式13】（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，且AB ＝8，CD ＝15，则四边形ABCD 的周长为 ．【变式14】（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【变式15】如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交P A 、PB 于点E 、F ，已知P A ＝12cm ，∠P ＝40°OCBAO CBA①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．【变式16】如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．【例题2】（2022秋•东城区期中）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（）A．99°B．102°C．104°D．152°【变式21】（2023•东安县模拟）如图，在△ABC中，∠A＝70°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．130°B．140°C．105°D．125°【变式22】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【变式23】如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，̂上一点，则∠EPF的度数为（）F，P是DFA．50°B．55°C．60°D．65°【变式24】（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．25°【变式25】（2023•陇县一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．80°【例题3】（2023•青海一模）如图，⊙O 与△ABC 的边AB 、AC 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，如果AB＝4，AC ＝5，AD ＝1，那么BC 的长为 ．【变式31】（2022秋•同心县期末）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点D ，E ，F 为切点，AD ＝4，AC ＝10，BC ＝14，则BD 长为 ．【变式32】如图，①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，①O 与①ABC 的三边相切于点D 、E 、F ，则AD 长为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14【变式33】如图，①O 分别切①ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F 、若AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，求AD 、BE 、CF 的长．【变式34】已知△ABC 的内切圆半径r =√3，D 、E 、F 为切点，∠ABC ＝60°，BC ＝8，S △ABC =10√3，求AB 、AC 的长．【变式35】（2022秋•津南区期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．（1）若∠ABC ＝50°，∠ACB ＝75°，求∠BOC 的度数； （2）若AB ＝13，BC ＝11，AC ＝10，求AF 的长．【例题4】（2023•天心区校级三模）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若△ABC 的周长为18，面积为9，则⊙O 的半径是（ ） A ．1B ．√2D ．2【变式41】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（ ）A ．3B ．5C ．32D ．52【变式42】（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，若AB ＝4，则⊙O 的半径是（ ） A ．√32B ．1C ．2√33D ．2【变式43】（2022秋•齐河县期末）如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦BC 为8cm ，∠ACB 的平分线交⊙O于点D ，△ADB 的内切圆半径是（ ） A ．12B ．5（√2−1）C ．5（√2+1）D ．5√22【变式44】如图，这条花边中有4个圆和4个正三角形，且这条花边的总长度AB 为4，则花边上正三角形的内切圆半径为（ ） A ．√33B ．23√3C ．1D ．√3【变式45】如图，圆O 是△ABC 的内切圆，其中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，求其内切圆的半径．【例题5】（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，则花圃的面积为 ．【变式51】（2022秋•河西区校级期末）如图，⊙I 是直角△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若AF ＝10，BE ＝3，则△ABC 的面积为 ．【变式52】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（ ）A ．4πB ．43πC ．23πD ．163π【变式53】如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ．若∠ABD ＝∠ACD ＝30°，AD ＝1，则△ABC的内切圆面积 （结果保留π）．【变式54】如图，①O 内切于正方形ABCD ，O 为圆心，作①MON ＝90°，其两边分别交BC ，CD 于点N ，M ，若CM +CN ＝4，则①O 的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4ππ【例题6】（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（）A．2B．3C．4D．无法判断【变式61】（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为．【变式62】（2022秋•防城港期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．【变式63】（2022秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC=52，CA＝2，则⊙O的半径是．【变式64】（2022秋•黔西南州期中）如图，已知O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC．若△ABC内切圆的半径为2，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．【变式65】（2022秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．【变式66】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接OD，OE，OF．（1）若BC＝6，AC＝8，则r＝；（2）若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．【例题7】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是．【变式71】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3√2，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝x2平行，AB长为4，若点P是直线l上的动点，则△P AB的内切圆面积的最大值为．【变式72】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是．【变式73】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．【例题8】如图，点E是①ABC的内心，AE的延长线和①ABC的外接圆①O相交于点D，过D作直线DG①BC．（1）若①ACB＝80°，则①ADB＝；①AEB＝．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是①O的切线．【变式81】（2022秋•泗阳县期末）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P 是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．（1）求证：BD＝PD；（2）已知⊙O的半径是3√2，CD＝8，求BC的长．【变式82】（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．（1）求证：l是⊙O的切线；（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．【变式83】（2022秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．【变式84】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG ∥BC．（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝；∠AEB＝．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是⊙O的切线．【变式85】如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．。

部编数学九年级上册专题24.7切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题24.7切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】【人教版】【题型1 利用切线长定理求周长】 (1)【题型2 三角形内切圆中求角度】 (5)【题型3 三角形内切圆中求面积】 (9)【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 (13)【题型5 三角形内切圆中求半径】 (17)【题型6 三角形内切圆中求最值】 (20)【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】 (25)【题型1 利用切线长定理求周长】【例1】（2022秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，已知AD ＝10cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形（△AMN ），则剪下的△AMN 的周长为　20cm ．【分析】利用切线长定理得出DM ＝MF ，FN ＝EN ，AD ＝AE ，进而得出答案．A B C I【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．【变式1-1】（2022秋•莒南县期末）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA＝PB，又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，∴PA+PB＝m，PA•PB＝m﹣1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，∴PA＝PB=m2，即m2•m2=m﹣1，即m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，∴PA＝PB＝1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴AD＝ED，BC＝EC，∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2．【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）A．14B．20C．24D．30【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴四边形OECF为正方形，∵⊙O的半径为2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，∴在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，解得x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30．故选：D．【变式1-3】（2022秋•崇川区月考）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧AB上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知PA的长为5cm，∠DOE＝65°，点M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．（1）求∠P的度数；（2）求△PDE的周长；（3）求四边形DEMN的周长．【分析】（1）只要证明∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形内角和定理即可解决问题；（2）利用切线长定理即可解决问题；（3）因为DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．可得DN+EM＝10，再利用切线长定理即可解决问题；【解答】解：（1）连接OA、OB、OC．∴PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA⊥OA，OB⊥PB，∠DOA＝∠DOC，∠EOB＝∠EOC，∵∠DOE＝65°，∴∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．（2）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB＝5，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝10．（3）∵DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．∴DN+EM＝10，∴PN，PM，MN是⊙O的切线，∴AN＝NF，MF＝MB，DA＝DC，EC＝EB，∴四边形EMND的周长＝EM+MN+DN+DE＝EM+BM+NA+DA+EB+DN＝2（DN+EM）＝20．【题型2 三角形内切圆中求角度】【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝　130°　．【分析】利用直角三角形性质求出∠ABC＝50°，再利用切线性质求出∠BDO＝∠BEO＝90°，再利用四边形内角和为360°，即可求得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∴AB、BC是⊙O的切线，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC＝130°，故答案为：130°．【变式2-1】（2022秋•昌平区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝　110　°，∠DEF＝　70　°．【分析】连接OD和OF，根据内切圆的性质可得OB，OC平分∠ABC，∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求出角BOC的度数；根据切线的性质可得∠DOF的度数，进而根据圆周角定理可得∠DEF的度数．【解答】解：如图，连接OD和OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×140°＝180°−12＝110°，∵OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∴∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∠DOF＝70°．∴∠DEF=12故答案为：110，70．【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，（1）若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数．（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并证明你的结论．（∠ABC+∠ACB），求出∠ABC+∠ACB 【分析】（1）根据圆I是△ABC的内切圆求出∠IBC+∠ICB=12的度数，求出∠IBC+∠ICB即可；连接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠FDE；（2）由（1）得出∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB），∠FDE＝180°﹣2∠A，根据三角形的内角和定理求出∠BIC ＝90°+12∠A ，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB =12（∠ABC +∠ACB ），∵∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ＝140°，∴∠IBC +∠ICB ＝70°，∴∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝110°，如图，连接IF 、IE ，∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IFA ＝∠IEA ＝90°，∵∠A ＝40°，∴∠FIE ＝360°﹣∠IFA ﹣∠IEA ﹣∠A ＝140°，∴∠EDF =12∠EIF ＝70°，答：∠BIC ＝110°，∠FDE ＝70°；（2）解：α＝180°﹣β，证明：由圆周角定理得：∠FIE ＝2∠FDE ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，即∠A ＝180°﹣2∠FDE ，∴∠A ＝180°﹣∠EIF ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，∴∠A ＝180°﹣2∠FDE ＝180°﹣2β，∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝180°−12（∠ABC +∠ACB ）＝180°−1（180°﹣∠A）2∠A，＝90°+12（180°﹣2β），∴∠BIC＝α＝90°+12即α＝180°﹣β．【变式2-3】（2022秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（ ）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y﹣x＝18°，在△ANM中，∠NAM+∠ANM＝180°﹣108°，∴x+2y＝72°，y−x=18°2y+x=72°，解得x=12°y=30°，∴∠BAC＝4x＝48°．故选：B．【题型3 三角形内切圆中求面积】【例3】（2022秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E 为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【分析】设AF＝x，由切线长定理可得EF＝AF＝x，则FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．【解答】解：设AF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF＝x，∴FD＝1﹣x，∵CB⊥AB，∴CB为⊙O的切线，∴CB＝CE，∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，解得x=14，∴DF＝1﹣x=34，∴S△CDF =12×1×34=38．【变式3-1】（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝ABE的面积为（ ）A ．B ．2CD ．1【分析】延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，根据AB 是⊙O 的直径，可得∠AFB ＝∠C ＝90°，证明△FEA 是等腰直角三角形，可得AF ＝EF ＝2，根据垂径定理可得EF ＝BE ＝2，进而可得△ABE 的面积．【解答】解：如图，延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝∠C ＝90°，∴∠CAB +∠CBA ＝90°，∵E 是△ABC 的内心，∴∠EAB =12∠CAB ，∠EBA =12∠CBA ，∴∠EAB +∠EBA =12（∠CAB +∠CBA ）＝45°，∴∠FEA ＝45°，∴△FEA 是等腰直角三角形，∴AE ==，∵AE ＝∴AF ＝EF ＝2，∵OE ⊥EB ，∴EF ＝BE ＝2，∴△ABE 的面积为：12BE •AF =12×2×2＝2．故选：B ．【变式3-2】（2022春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm ．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（ ）A ．150πB ．C ．D ．200【分析】画出图形，连接AD ，OB ，则AD 过O ，求出∠OBD ＝30°，求出OB ，根据勾股定理求出BD ，同法求出CD ，求出BC 的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的面积．【解答】解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，⊙O 切AB 于F ，切AC 于E ，切BC 于D ，连接AD ，OB ，则AD 过O （因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上），∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴∠OBC =12∠ABC ＝30°，∵⊙O 切BC 于D ，∴∠ODB ＝90°，∵OD ＝1，∴OB ＝2，由勾股定理得：BD ==∴BC ＝∴S △ABC =12BC •AD =12××3＝∴这条花边的面积＝100S △ABC ＝故选：C ．【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）cm2A．12B．24C．8D．6【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC；设EF＝EC＝xcm．则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．【解答】解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，设EF＝EC＝xcm，则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42＝（4+x）2，∴x＝1cm，∴CE＝1cm，∴DE＝4﹣1＝3cm，＝AD•DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．∴S△ADE故选：D．【题型4 三角形内切圆中求线段长度】【例4】（2022秋•乌兰察布期末）如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB ＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．【分析】由切线长定理，可知：AF ＝AD ，CF ＝CE ，BE ＝BD ，用未知数设AD 的长，然后表示出BD 、CF 的长，即可表示出BE 、CE 的长，根据BE +CE ＝7，可求出AD 的长进而求出BE 、CF 的长．【解答】解：假设AD ＝x ，∵⊙O 分别切△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ；∴根据切线长定理得出AD ＝AF ，BD ＝BE ，EC ＝FC ，∴AF ＝x ，∵AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，∴BE ＝BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣x ，FC ＝EC ＝AC ﹣AF ＝6﹣x ，∴BC ＝BE +EC ＝5﹣x +6﹣x ＝7，解得：x ＝2，∴AD ＝2，BE ＝BD ＝5﹣2＝3，CF ＝AC ﹣AF ＝6﹣2＝4．【变式4-1】（2022秋•崇川区月考）如图，已知△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，∠A ＝60°，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，则DF 的长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，进而得出△ADF 是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，∴BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，∵BE +EC ＝BD +FC ＝6，∴AD ＝AF =12（AB +AC +BC ﹣BC ﹣BD ﹣CF ）=12（16﹣6﹣6）＝2，∵∠A ＝60°，∴△ADF 是等边三角形，∴DF ＝2．故选：A ．【变式4-2】（2022秋•龙凤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，⊙O 是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长度是 ．【分析】如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理求出AB＝5，根据△ABC的内切圆，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，推出四边形CFOE是正方形，得到CE＝CF＝OF＝OE，根据3﹣r+4﹣r＝5求出r、AQ、OQ的长求出AD、DQ的长【解答】解：如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理得：AB=5，∵⊙O是三角形ABC的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，AE＝AQ，BF＝BQ，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，∴四边形CFOE是正方形，∴CE＝CF＝OF＝OE，∴3﹣r+4﹣r＝5，r＝1，AQ＝AE＝3﹣1＝2，OQ＝1，∵D是AB的中点，，∴AD=52，∴DQ＝AD﹣AQ=12∴OD2＝OQ2+DQ2，∴OD=【变式4-3】（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是　4　cm．【分析】根据矩形的性质得到AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，由∠B＝90°，推出四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，过O1作O1M⊥FO2于M，则O1M＝PQ＝8，QM＝BN＝4，同法可得DG＝4，根据EF＝AC﹣AE﹣CF计算即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，∴AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，∵∠B＝90°，∴四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，∴BP＝BN＝4，同法可得DG＝4，∴AN＝AE＝CG＝CF＝8，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝20﹣16＝4故答案为：4．【题型5 三角形内切圆中求半径】【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形ABCD中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD内切圆的半径是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据矩形性质和勾股定理可得AC＝15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，然后根据切线长定理即可解决问题．【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝9，AB＝12，根据勾股定理，得AC==15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，如图，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，∴DF＝DG＝r，∴AG＝AE＝AD﹣DG＝9﹣r，CF＝CE＝CD﹣DF＝AB﹣DF＝12﹣r，∵AE+CE＝AC，∴9﹣r+12﹣r＝15，解得r＝3．∴△ACD内切圆的半径是3．故选：C．【变式5-1】（2022秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC 的内切圆，则⊙O的半径为（ ）A ．1BC ．2D ．【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，∴AC ==4，如图，分别连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，∵⊙O 是△ABC 内切圆，D 、E 、F 为切点，∴OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB 于D 、E 、F ，OD ＝OE ＝OF ，∴S △ABC ＝S △BOC +S △AOC +S △AOB =12BC •DO +12AC •OE +12AB •FO =12（BC +AC +AB ）•OD ，∵∠C ＝90°，∴12×AC •BC =12（BC +AC +AB ）•OD ，∴OD =3×4345=1．故选：A ．【变式5-2】（2022秋•虎丘区校级期中）若四边形ABCD 有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积为S ，各边长分别为a ，b ，c ，d ，则该圆的直径为（ ）A ．a b c d SB ．S a cC ．c−d S(a b)D ．2S a b c d【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD ．由S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD ，由S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，即可推出r =2S a b c d ．【解答】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD ．∵S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD又∵S △OAB =12AB •r ，S △OBC =12BC •r ，S △OCD =12CD •r ，S △AOD =12AD •r ，∴S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，∴r =2S a b c d ．故选：D ．【变式5-3】（2022秋•南丹县期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与AB ，AC ，BC 相切于点D ，E ，F ．若∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则⊙O 的半径等于 2　．【分析】连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，根据勾股定理可得AB ＝10，证明四边形OECF 是正方形，可得CF ＝CE ＝OF ＝r ，然后根据切线长定理可得AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ==10，∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，F ，E ，∴AC ⊥OE ，AB ⊥OD ，BC ⊥OE ，且OF ＝OD ＝OE ＝r ，∴四边形OECF 是正方形，∴CF ＝CE ＝OF ＝r ，∴AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，∵AD +BD ＝AB ＝10，∴6﹣r +8﹣r ＝10，∴r ＝2．∴⊙O 的半径等于2．故答案为：2．【题型6 三角形内切圆中求最值】【例6】（2022春•长兴县月考）如图，矩形ABCD ，AD ＝6，AB ＝8，点P 为BC 边上的中点，点Q 是△ACD 的内切圆圆O 上的一个动点，点M 是CQ 的中点，则PM +1　．【分析】由矩形性质和勾股定理可得AC ＝10，设△ADC 内切圆半径为r ，由面积法可得r ＝2，连接BQ ，易证PM 为△BCQ 的中位线，得出PM =12BQ ，当BQ 经过圆心O 时，BQ 最长，则此时PM 最大，作OE ⊥AD 与点E ，OF ⊥AB 与点F ，则BF ＝AB ﹣AF ＝8﹣2＝6，OF ＝AE ＝AD ﹣DE ＝6﹣2＝4，由勾股定理可得BO =BQ ＝BO +OQ ＝2，从而可得PM 的结果．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D ＝90°，CD ＝AB ＝8，∴AC ==10，设△ADC 的内切圆半径为r ，则有12r(AC +AD +DC)=12×6×8，即12r(10+6+8)=24，解得：r ＝2．连接BQ ，∵P为BC中点，M为CQ中点，∴PM为△BQC的中位线，BQ，∴PM=12当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最大，作OE⊥AD与点E，OF⊥AB与点F，则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，∴BO=∴BQ＝BO+OQ＝+2，BQ=1．∴PM=12+1．【变式6-1】（2022秋•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　4πcm2．　．r 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：12•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为12ABC的面积，可得r，求得圆的面积．【解答】解：如图1所示，S △ABC =12•r •（AB +BC +AC ）=12r ×42＝21r ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，如图2，设CD ＝x ，由勾股定理得：在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2﹣BD 2＝400﹣（7+x ）2，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2﹣x 2＝225﹣x 2，∴400﹣（7+x ）2＝225﹣x 2，解得：x ＝9，∴AD ＝12，∴S △ABC =12BC ×AD =12×7×12＝42，∴21r ＝42，∴r ＝2，该圆的最大面积为：S ＝πr 2＝π•22＝4π（cm 2），故答案为：4πcm 2．【变式6-2】（2022•温州自主招生）设等边△ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足PI ＝1，则△ABC 与△APC 的面积之比的最大值为　6　．【分析】P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上，当P 是⊙O 和BE 的交点时，△ACP 的面积最小，即△ABC 与△APC 的面积之比最大．此时PE ＝2﹣1＝1，则△ABC 与△APC 的面积的比值是BE 与PE 的比值，据此即可求解．【解答】解：点P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上．作BE ⊥AC ，则BE 一定过点I ，连接AI ．∵在直角△AIE 中，∠IAE =12∠BAC =12×60°＝30°，IE ＝2，∴AI ＝2IE ＝4，∴BE ＝IE +BI ＝IE +AI ＝2+4＝6．当P是⊙I和BE的交点时，△ACP的面积最小，即△ABC与△APC的面积之比最大．此时PE＝2﹣1＝1，则△ABC与△APC的面积的比值是BEPE =61=6．故答案是：6．【变式6-3】（2022秋•滨湖区期末）已知点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC＝CD；（2）如图2，△ABC内切圆半径为r．①用含r的代数式表示AC+BC；②求r的最大值．【分析】（1）在CD上截取CE＝BC，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到△BCE为等边三角形，根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝60°，则BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，所以∠1＝∠2，于是可根据“AAS”判断△ACB≌△DEB，得到AC＝DE，由此得到CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于F，根据内心的性质得PF＝PQ＝PH＝r，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到∠CPF＝∠CPH＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CF，CH==，然后根据切线长定理得到AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，所以AC+BC＝6，整理得AC+BC＝6+；②由于AC+BC＝CD得到CD＝6，所以当CD为直径时，r最大；当CD为直径，根据垂径定理的推论得CD⊥AB，AM＝BM=12AB＝3，AC＝BC，可计算出CD=AC＝2CD＝+=6+，可解得r＝6﹣【解答】（1）证明：在CD上截取CE＝BC，如图1，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△BCE为等边三角形，∠ABD＝∠ACD＝60°，∴BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，∴∠1＝∠2，在△ACB和△DEB中∠A=∠D∠1=∠2，BC=BE∴△ACB≌△DEB，∴AC＝DE，∴CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）解：①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC 于F，如图，则PF＝PQ＝PH＝r，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴∠CPF＝∠CPH＝30°，∴CF=，CH==，∴AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，∴AC+BC＝6，∴AC+BC＝6+；②∵AC+BC＝CD，∴CD＝6+，∴当CD为直径时，r最大，如图3，当CD为直径，∴CD⊥AB，垂足为M，AB＝3，AC＝BC，∴AM＝BM=12∵∠ACD＝60°，∴∠CAM＝30°，∴CD∴AC＝2CD＝∴+6，∴r＝6﹣即r的最大值为6﹣【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】【例7】（2022秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r，则R﹣r＝　1.5　．【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算．【解答】解：因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，所以R==2.5；如图，若Rt △ABC 的边AC ＝3，BC ＝4，根据勾股定理，得AB =5，其内切圆⊙O 分别切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ．设OE ＝OF ＝OD ＝r ，∴S △ABC ＝S △AOB +S △BOC +S △AOC ，即12AC •BC =12AB •OD +12BC •OE +12AC •OF ，12×3×4=12×5×r +12×4×r +12×3×r ，6=12r （5+4+3），6＝6r ，∴r ＝1，则R ﹣r ＝2.5﹣1＝1.5．故答案为：1.5．【变式7-1】（2022•鞍山模拟）如图，⊙O 内切于Rt △ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∠C ＝90°．已知∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝　15　°，∠B ＝　60　°．已知AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，则△ABC 的外接圆的半径为　52　cm ，内切圆的半径为　1　cm ．【分析】由三角形内心的性质得到OC 平分∠ACB ，求得∠ACO =12∠ACB ＝45°，根据三角形的内角和得到结论；根据勾股定理得到AB ==5，于是得到结论．【解答】解：∵⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C ＝90°，∴OC 平分∠ACB ，∴∠ACO =12∠ACB ＝45°，∵∠AOC ＝120°，∴∠OAC ＝180°﹣45°﹣120°＝15°，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠OAC ＝30°，∴∠B ＝90°﹣30°＝60°；∵AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，∠C ＝90°，∴AB ==5，∴△ABC 的外接圆的半径为52；设内切圆的半径为r ，∴r =34−52=1，故答案为：15，60，52，1．【变式7-2】（2022•游仙区模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，其周长为20，⊙I 是△ABC 的内切BIC 的外接圆直径为 ．【分析】设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，根据三角形内心定义可得S △ABC =12lr =12×20×=12AB •CD ，可得bc ＝40，根据勾股定理可得BC ＝a ＝7，再根据I 是△ABC 内心，可得IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC ＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB 的长．【解答】解：如图，设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，∵∠BAC ＝60°，∴AD =12b ，CD ，∴BD ＝AB ﹣AD ＝c −12b ，∵△ABC 周长为l ＝20，△ABC 的内切圆半径为r∴S △ABC =12lr =12×20×12AB •CD ，∴=•c ，∴bc ＝40，在Rt △BDC 中，根据勾股定理，得BC 2＝BD 2+CD 2，即a 2＝（c −12b ）2+）2，整理得：a 2＝c 2+b 2﹣bc ，∵a +b +c ＝20，∴a 2＝c 2+b 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（20﹣a ）2﹣3×40，解得a ＝7，∴BC ＝a ＝7，∵I 是△ABC 内心，∴IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OE⊥BC，，∠BOE＝60°，∴BE＝CE=72÷∴OB=72【变式7-3】（2022秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．【分析】连接ID、IE、IF，如图，由AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，根据圆周角定理的推论和勾股定理AB＝5，连接OI，设⊙I的得到AB为△ABC的外接圆的直径，AB＝10，则外心O为AB的中点，BO=12半径为r，根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，易得四边形IDCE为正方形，则DC＝CE＝r，所以AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，即AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，利用AF+BF＝AB得8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，所以BF＝4，则OF＝OB﹣BF＝1，在Rt△IOF中，根据勾股定理得IO【解答】解：连接ID、IE、IF，如图，∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，AB=10，∴外心O为AB的中点，AB＝5，∴BO=12连接OI，如图，设⊙I的半径为r，∵⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，而∠C＝90°，∴四边形IDCE为正方形，∴DC＝CE＝r，∴AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，∴AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，而AF+BF＝AB，∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，∴BF＝6﹣r＝4，∴OF＝OB﹣BF＝5﹣4＝1，在Rt△IOF中，IF＝2，OF＝1，∴IO=即Rt△ABC的内心I与外心O。

切线长定理-三角形的内切圆(巩固篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

切线长定理-三角形的内切圆(巩固篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

专题2.9 切线长定理 三角形的内切圆（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ） A ．12B ．14C ．16D ．182．如图，C 与AOB ∠的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若90AOB ∠=︒，4OP =，则OC 的长为（ ）A ．8B ．2C ．42D ．23．如图，在ABC ∆中，52AB AC BC +=,AD BC ⊥于D ，⊙O 为ABC ∆的内切圆，设⊙O 的半径为R ，AD 的长为h ，则Rh的值为（ ）A ．12B ．27C ．13D ．344．如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 与边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在AD ，DC 上，现将⊙DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．22D ．225．如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：⊙BAD CAD ∠=∠；⊙若60BAC ∠=︒，则120∠=︒BEC ；⊙若点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒；⊙BD DE =．其中一定正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝45°，∠C ＝65°，点D 是BC 的中点，则∠OAD 的大小为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°7．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的O 上，若直径,30AD BC D ⊥∠=︒，则弦BC 的长为（ ）A ．4B ．22C 3D ．38．如图，已知AT 切O 于点T ，点B 在O 上，且60BOT ∠=︒，连结AB 并延长交O 于点C ，O 的半径为2，设AT m =，⊙当m 23BOC ∆是等腰直角三角形； ⊙若2m =，则62AC ⊙当23m =AB 与O 相切．以上列选项正确的有（ ） A ．⊙B ．⊙C ．⊙⊙D ．⊙⊙9．如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若⊙ADC ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．2B ．2C 52D 7210．如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 5AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3二、填空题11．如图，P A ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点．若60APB ∠=︒，则AOP ∠的大小为______．12．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ，BC ，CA 的切点分别为D ，E ，F ，若⊙BDE +⊙CFE =110°，则⊙A 的度数是________︒．13．如图，矩形ABCO 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()4,3，⊙M 是AOC △的内切圆，点N ，点P 分别是⊙M ，x 轴上的动点，则BP PN +的最小值是______．14．如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，若⊙BOC ＝118°，则⊙AOD ＝__．15．如图，在平面直角坐标系中，点()0,6A ，点()8,0B ，I 是OAB 的内心，则（1）AB=______；（2）点I关于x轴对称的点的坐标是______．16．如图，点I是⊙ABC的内心，连接AI并延长交⊙ABC的外接圆于点D，若⊙ACB＝70°，则⊙DBI＝_____°．17．如图，已知O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC m=．过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的O的两切线互相垂直，则ACP∠的最大值等于__．18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AMN周长的最小值为________．三、解答题19．已知ABC 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，⊙为ABC 的内心，且⊙在ABC的边 BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、． （1）若5,4,3a b c ===，求ABC 内切圆半径r ； （2）求证：2b c aAE AF +-==．20．已知关于x 的方程x 2﹣（k ＋1）x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个直角三角形两直角边的长．（1）k 取何值时，方程有两个实数根；（2）若直角三角形的内切圆半径为12，求k 值．21．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，过点D 作O 的切线交BC 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ，且DE BE ⊥，过点A 作O 的切线交EF 于点G ，连接AC ．(1) 求证：AD 平分GAC ∠；(2) 若AD =5，AB =9，求线段DE 的长．22．如图，在Rt △ABC 中，⊙ABC =90°，以AB 的中点O 为圆心，AB 为直径的圆交AC 于D ，E 是BC 的中点，DE 交BA 的延长线于F ．(1) 求证：FD 是圆O 的切线； (2) 若BC =4，FB =8，求AB 的长．23．在O 中，弦CD 与直径AB 相交于点P ，16ABC ∠=︒． (1)如图⊙，若52BAD =︒∠，求APC ∠和CDB ∠的大小；(2)如图⊙，若CD AB ⊥，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点E ，求E ∠的大小．24．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．(1)如图1，⊙E 是ABC 中⊙A 的“好角”，若A α∠=，则E ∠=______；（用含α的代数式表示）(2)如图2，四边形ABCD 内接于O ，点D 是优弧ACB 的中点，直径BF ⊥弦AC ，BF 、CD 的延长线于点G ，延长BC 到点E ．求证：⊙BGC 是ABC 中⊙BAC 的“好角”．(3)如图3，ABC 内接于O ，⊙BGC 是ABC 中⊙A 的“好角”，BG 过圆心O 交O 于点F ，O 的直径为8，45A ∠=︒，求FG ．参考答案1．B 【分析】⊙I 切AB 于E ，切BC 于F ，切AC 于D ，连接IE ，IF ，ID ，得出正方形CDIF 推出CD=CF =1，根据切线长定理得出AD=AE ，BE=BF ，CF=CD ，求出AD+BF=AE+BE=AB =6，即可求出答案．解：如图，⊙I 切AB 于E ，切BC 于F ，切AC 于D ，连接IE ，IF ，ID ，则⊙CDI =⊙C =⊙CFI =90°，ID=IF =1，⊙四边形CDIF是正方形，⊙CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，⊙直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，⊙AB=6=AE+BE=BF+AD，即⊙ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，故选：B．【点拨】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．2．C【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到⊙CPO=90°，⊙COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．解：如图所示，连接CP，⊙OA，OB都是圆C的切线，⊙AOB=90°，P为切点，⊙⊙CPO=90°，⊙COP=45°，⊙⊙PCO=⊙COP=45°，⊙CP=OP=4，⊙2242=+=，OC CP OP故选C．【点拨】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．3．B【分析】O 分别与ABC ∆的三边切于P ，Q ，T ，连接OA OB OC OP OQ OT ,,,,,，利用ABC OAB OAC OBC S S S S ∆∆∆∆=++求出7142R h =，进一步得出结论． 解：如图，令O 分别与ABC ∆的三边切于P ，Q ，T ，连接OA OB OC OP OQ OT ,,,,,⊙,,OP AB OQ AC OT BC ⊥⊥⊥⊙ABC OAB OAC OBC S S S S ∆∆∆∆=++=111222AB OP AC OQ BC OT ⋅+⋅⋅+⋅⋅ =111222AB R AC R BC R ⋅+⋅⋅+⋅⋅ 1()2R AB AC BC =++ 又⊙52AB AC BC +=⊙17()2524ABC S R BC BC R BC ∆=+=⋅ 又⊙,AD BC AD h ⊥=⊙1122ABC S BC AD h BC ∆=⋅⋅=⋅⋅ ⊙7142R BC h BC ⋅=⋅⋅ ⊙7142R h = ⊙122774Rh == 故选：B ．【点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，解答的关键是，充分利用已知条件将问题转化为求几个三角形面积的和．4．C【分析】延长FO 交AB 于点G ，根据折叠对称可以知道OF ⊙CD ，所以OG ⊙AB ，即点G 是切点，OD 交EF 于点H ，点H 是切点．结合图形可知OG =OH =HD =EH ，等于⊙O 的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．解：如图：延长FO 交AB 于点G ，则点G 是切点，OD 交EF 于点H ，则点H 是切点，⊙ABCD 是正方形，点O 在对角线BD 上，⊙DF =DE ，OF ⊙DC ，⊙GF ⊙DC ，⊙OG ⊙AB ，⊙OG =OH =HD =HE =AE ，且都等于圆的半径．在等腰直角三角形DEH 中，DE =2，⊙EH =DH 2AE ．⊙AD =AE +DE 2+2．故选C ．【点拨】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．5．D【分析】根据点E 是ABC 的内心，可得BAD CAD ∠=∠，故⊙正确；连接BE ，CE ，可得⊙ABC +⊙ACB =2（⊙CBE +⊙BCE ），从而得到⊙CBE +⊙BCE =60°，进而得到⊙BEC =120°，故⊙正确； BAD CAD ∠=∠，得出BD CD =，再由点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒成立，故⊙正确；根据点E 是ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得()12BED BAC ABC ∠=∠+∠，再由圆周角定理可得()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠，从而得到⊙DBE =⊙BED ，故⊙正确；即可求解．解：⊙点E 是ABC 的内心，⊙BAD CAD ∠=∠，故⊙正确；如图，连接BE ，CE ，⊙点E 是ABC 的内心，⊙⊙ABC =2⊙CBE ，⊙ACB =2⊙BCE ，⊙⊙ABC +⊙ACB =2（⊙CBE +⊙BCE ），⊙⊙BAC =60°，⊙⊙ABC +⊙ACB =120°，⊙⊙CBE +⊙BCE =60°，⊙⊙BEC =120°，故⊙正确；⊙点E 是ABC 的内心，⊙BAD CAD ∠=∠，⊙BD CD =,⊙点G 为BC 的中点，⊙线段AD 经过圆心O ，⊙90BGD ∠=︒成立，故⊙正确；⊙点E 是ABC 的内心，⊙11,22BAD CAD BAC ABE CBE ABC ∠=∠=∠∠=∠=∠， ⊙⊙BED =⊙BAD +⊙ABE ，⊙()12BED BAC ABC ∠=∠+∠， ⊙⊙CBD =⊙CAD ，⊙⊙DBE =⊙CBE +⊙CBD =⊙CBE +⊙CAD ，⊙()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠， ⊙⊙DBE =⊙BED ，⊙BD DE =，故⊙正确；⊙正确的有4个．故选：D【点拨】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．6．B【分析】连接OB ，根据圆周角定理求出⊙AOB ，得到⊙OAB 的度数，根据三角形内角和定理求出⊙BAC ，根据圆周角定理求出⊙BAD ，结合图形计算，得到答案．解：连接OB ，由圆周角定理得，⊙AOB=2⊙C=130°，⊙OA=OB ，⊙⊙OAB=12×（180°-130°）=25°，⊙⊙ABC=45°，⊙C=65°，⊙⊙BAC=180°-45°-65°=70°，⊙点D 是BC 的中点，⊙⊙BAD=⊙CAD=35°，⊙⊙OAD=⊙BAD -⊙OAB=10°，故选：B ．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．7．D【分析】AD BC ⊥交BC 于点E ，连接OC ，由题意得==30DCO D ∠∠︒，根据三角形内角和定理得120COD ∠=︒，即60COE ∠=︒，可得30OCE ∠=︒，根据直角三角形的性质得112EO OC ==，在Rt CEO 中，根据勾股定理得3CE 解：如图所示，令AD BC ⊥交BC 于点E ，连接OC ，⊙=2OC OD =，=30D ∠︒，⊙==30DCO D ∠∠︒，⊙180=1803030=120COD DCO D ∠=︒-∠-∠︒-︒-︒︒，即180=180120=60COE COD ∠=︒-∠︒-︒︒，⊙180=180609030OCE COE OEC ∠=︒-∠-∠︒-︒-︒=︒,⊙112EO OC ==， 在Rt CEO 中，根据勾股定理得，2222213CE CO OE -=-=⊙直径AD BC ⊥，⊙BE CE =，即223BC CE ==故选：D ．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握这些知识点．8．C【分析】根据题目所给条件，结合圆的性质，证明90∠=︒ABO 即可判断⊙⊙，根据等腰直角三角形的性质并结合圆的性质，应用勾股定理即可判断⊙解：如图，连接TB 、OA ，TB 、OA 相较于点G当23AT m ==2333tan 2AT AOT OT ∠===⊙30AOT ∠=︒⊙OA 垂直平分TB⊙30AOT AOB OAT OAB ∠=∠=︒∠=∠，又⊙AT 与O 相切⊙90ATO ∠=︒⊙60BOT ∠=︒⊙30ATB ∠=︒⊙60OAT OAB ∠=∠=︒⊙90AOB OAB ∠+∠=︒⊙90∠=︒ABO⊙AB 与O 相切则⊙错误；⊙正确；当2AT m ==时，OT AT =⊙AB 与O 相切45AOT OAT ∠=∠=︒∴60BOT ∠=︒∵604515AOB BOT AOT ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴30ATB AT BT ∠=︒=∵，()1180752BAT ATB ∠=︒-∠=︒∴ 754530OAB BAT TAO ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴153045OBC AOB OAB ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴22222222BC OC OB =+=+∴作OE BC ⊥，则122OE CE BE BC ====22222222OA AT OT ++=∵()22222226AE OA OE --∴62AC AE CE =+=∴故⊙正确；故选：C【点拨】本题主要考查圆的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，掌握以上知识，并正确做出辅助线是解题的关键．9．A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ⊥于点E ．易求出75CBD CDB ∠=∠=︒，30BCD ∠=︒．再由切线的性质，即可求出60OCD ∠=︒，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC ∠=︒，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO ∠=︒，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．解：如图，连接OC 、OD ，作OE AB ⊥于点E ．⊙BC CD =，⊙CBD CDB ∠=∠，⊙105ADC ∠=︒，⊙75CBD CDB ∠=∠=︒，⊙18027530BCD ∠=︒-⨯︒=︒．由题意可知OC BC ⊥，即90OCB ∠=︒，⊙903060OCD OCB BCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊙OD =OC ，⊙三角形OCD 为等边三角形．⊙60ODC ∠=︒，3OC OD CD ===．⊙1056045ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊙三角形OED 为等腰直角三角形， ⊙22323DE === ⊙322232AD DE ===故选：A ．【点拨】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．10．B【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊙AB 于E ，OF ⊙CE 于F ，利用垂径定理得到OD ⊙AB ，则AD ＝BD ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断AC 和CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC CD =，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是可得到BC 的长．解：如图，连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊙AB 于E ，OF ⊙CE 于F ，⊙D 为AB 的中点，⊙OD ⊙AB ，⊙AD ＝BD ＝12AB ＝2，在Rt △OBD 中，OD 22541OB BD --=，⊙将BC 沿BC 折叠，⊙AC 和CD 所在的圆为等圆，⊙AC CD =，⊙AC ＝DC ，⊙AE ＝DE ＝1，⊙⊙ODE ＝⊙OFE ＝⊙DEF ＝90°，⊙四边形ODEF 是矩形，⊙DE ＝OD ＝1，⊙四边形ODEF 是正方形，⊙OF ＝EF ＝1，在Rt △OCF 中，CF 22512OC OF ，⊙CE ＝CF ＋EF ＝2＋1＝3，而BE ＝BD ＋DE ＝2＋1＝3，⊙BC 223332+=故选：B ．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理及正方形的判定和性质等．11．60°##60度【分析】先由切线的性质及切线长定理求出90,30PAO APO ∠=︒∠=︒，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 解： P A ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点190,2PAO APO PAB ∴∠=︒∠=∠ 90APO AOP ∴∠+∠=︒60APB ∠=︒30APO ∴∠=︒60AOP ∴∠=︒故答案为：60°．【点拨】本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．12．40【分析】根据切线长定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理推出⊙BDE +⊙BED +⊙B =180°，⊙CFE +⊙CEF +⊙C =180°，得到2(⊙BDE +⊙CFE )+⊙B +⊙C =360°，据此求解即可．解：⊙⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ，BC ，CA 的切点分别为D ，E ，F ，⊙BD =BE ，CE =CF ，⊙⊙BDE =⊙BED ，⊙CFE =⊙CEF ，⊙⊙BDE +⊙BED +⊙B =180°，⊙CFE +⊙CEF +⊙C =180°，即2⊙BDE +⊙B =180°，2⊙CFE +⊙C =180°，⊙2(⊙BDE +⊙CFE )+⊙B +⊙C =360°，⊙⊙BDE +⊙CFE =110°，⊙2×110°+⊙B +⊙C =360°，⊙⊙B +⊙C =140°，⊙⊙A =180°-(⊙B +⊙C )= 40°．故答案为：40．【点拨】本题考查了切线长定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．13．4【分析】作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接MB ′，交⊙M 于点N ，交x 轴于点P ，此时BP +PN 取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算．解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，过点M作MQ⊙x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊙MQ，⊙点B与点B′关于x轴对称，⊙PB+PN=PB′+PN，当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．在Rt△ABC中，AC22OA OC，由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，⊙S△AOC=12（3r+4r+5r）=12×3×4，解得r=1，⊙ME=MN=1，⊙QB′=4-1=3，QM=3+1=4，⊙MB′=5，⊙PB′+PN=5-1=4，即PB+PN最小值为4，故答案为：4．【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，三角形内切圆，理解“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题关键．14．62°【分析】先根据切线长定理得到⊙1＝12⊙ABC，⊙2＝12⊙BCD，⊙3＝12⊙ADC，⊙4＝12⊙BAD，再利用三角形内角和计算出⊙1+⊙2＝62°，则⊙ABC +⊙BCD ＝124°，然后利用四边形内角和得出⊙BAD +⊙ADC ＝236°，再求⊙3+⊙4＝118°即可．解：⊙圆O 是四边形ABCD 的内切圆，⊙OA 平分ABC ，OC 平分⊙BCD ，OD 平分⊙ADC ，OA 平分⊙BAD ，⊙⊙1＝12⊙ABC ，⊙2＝12⊙BCD ，⊙3＝12⊙ADC ，⊙4＝12⊙BAD ，⊙⊙1+⊙2＝180°﹣⊙BOC ＝180°﹣118°＝62°，⊙⊙ABC +⊙BCD ＝2（⊙1+⊙2）＝2×62°＝124°，⊙⊙BAD +⊙ADC ＝360°﹣（⊙ABC +⊙BCD ）＝360°﹣124°＝236°，⊙⊙3+⊙4＝12（⊙BAD +⊙ADC ）＝12×236°＝118°， ⊙⊙AOD ＝180°﹣（⊙3+⊙4）＝180°﹣118°＝62°．故答案为：62°．【点拨】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．15． 10 （2，-2）【分析】（1）利用勾股定理解答即可；（2）根据I 是OAB 的内心，利用OM =ON ，BM =BE ，AE =AN ，得出AE +BE =6-x +8-x =10，求解即可．解：（1）⊙点()0,6A ，点()8,0B ，⊙OA =6，OB =8，在Rt △OAB 中，AB 22226810OA OB ++；（2）连接OI ，BI ，AI ，过I 作IM ⊙OB ，IN ⊙OA ，IE ⊙AB ，⊙I 是OAB 的内心，⊙OM=ON，BM=BE，AE=AN，设OM=ON=x，则BM=BE=8-x，AN=AE=6-x，⊙AE+BE=6-x+8-x=10，解得：x=OM=ON=2，⊙I的坐标为（2，2），⊙点I关于x轴对称的点的坐标是（2，-2）．【点拨】本题考查了勾股定理及三角形的内心，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题．16．55【分析】由三角形的内心的性质可得⊙BAD＝⊙CAD，⊙ABI＝⊙CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得⊙BID＝⊙DBI，由三角形内角和定理可求解．解：⊙点I是⊙ABC的内心，⊙⊙BAD＝⊙CAD，⊙ABI＝⊙CBI，⊙⊙CAD＝⊙CBD，⊙⊙BAD＝⊙CBD，⊙⊙BID＝⊙BAD+⊙ABI，⊙IBD＝⊙CBI+⊙CBD，⊙⊙BID＝⊙DBI，⊙⊙ACB＝70°，⊙⊙ADB＝70°，⊙⊙BID＝⊙DBI＝180702︒︒-＝55°故答案为：55．【点拨】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明⊙BID=⊙DBI是本题的关键．17．45︒【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得2=，以OOP m为圆心，2m长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时⊙ACP 有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊙PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得⊙OPC是等腰直角三角形，即可证得⊙ACP的最大值为45°．解：PM、PN是过P所作的O的两切线且互相垂直，∴∠=︒，MON90∴四边形PMON是正方形，根据勾股定理求得2OP m=，∴点在以O2m长为半径作大圆O上，P以O为圆心，2m长为半径作大圆O，然后过C点作大O的切线，切点即为∠有最大值，如图所示，P点，此时ACPPC是大圆O的切线，∴⊥，OP PC2=，2OC m=，OP m222PC OC OP m∴-，∴=，OP PC∴，∠=︒45ACP∴∠的最大值等于45︒，ACP故答案为45︒．【点拨】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是求得P点的位置．18．4【分析】由正方形的性质，知点C 是点A 关于BD 的对称点，过点C 作CA ′⊙BD ，且使CA ′＝1，连接AA ′交BD 于点N ，取NM ＝1，连接AM 、CM ，则点M 、N 为所求点，进而求解．解：⊙O 的面积为2π222BD =，则＝AC ，由正方形的性质，知点C 是点A 关于BD 的对称点，过点C 作CA ′⊙BD ，且使CA ′＝1，连接AA ′交BD 于点N ，取NM ＝1，连接AM 、CM ，则点M 、N 为所求点，理由：⊙A ′C ⊙MN ，且A ′C ＝MN ，则四边形MCA ′N 为平行四边形，则A ′N ＝CM ＝AM ，故⊙AMN 的周长＝AM +AN +MN ＝AA ′+1为最小，则A ′A 22(22)1=+=3，则⊙AMN 的周长的最小值为3+1＝4，故答案为：4．【点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M 、N 的位置是本题解题的关键．19．（1）1；（2）见分析【分析】（1）先得到⊙ABC 为直角三角形，再根据面积相等求出⊙ABC 内切圆的半径；（2）利用切线的判定与性质以及切线长定理得出AF=AE ，BF=BD ，CD=EC ，进而求出即可．解：（1）⊙5,4,3a b c ===，⊙⊙ABC 是直角三角形， 设⊙ABC 内切圆的半径为r ，由⊙ABC 的面积可得：()12AB BC AC r ⨯++=12AC AB ⨯⨯， 即()13452r ⨯++=1342⨯⨯， 解得：r=1，⊙⊙ABC 的内切圆半径为1；（2）⊙I 为⊙ABC 的内心，且I 在⊙ABC 的边BC ，AC ，AB 上的射影分别为D ，E ，F ，⊙D 、E 、F 分别是⊙I 的三边切点，⊙AF=AE ，BF=BD ，CD=EC ，设AE=AF=x ，则EC=b -x ，BF=c -x ，故BC=a=b -x+c -x ，整理得出：x=2b c a +-， 即AE=AF=2b c a +-． 【点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，利用切线长定理得出是解题关键．20．（1）k ≥32；（2）22+ 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个正实数根，则判别式⊙0，且两根的和与积都是正数，得出关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．（2）根据切线性质得出直角三角形的内切圆半径与直角三角形三边的关系：2a b c r +-=，再结合勾股定理和根与系数的关系可求k 的值． 解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则⊙221(1)4(1)234k k k =+-+=-，方程有两个实数根，∴⊙0，即230k -，∴综上可知32k ， ∴当32k ，方程有两个实数根； （2）如图，设直角三角形两直角边为BC =a ，AC =b ，斜边为AB =c ，其内切圆半径r ，⊙AB 、AC 、BC 是圆的切线，⊙90OEC OFC ∠=∠=︒，又⊙OE OF r ==，90C ∠=︒，⊙四边形OECF 是正方形，⊙==CE CF r ，又⊙AG AF =，BG BE =，⊙AC BC AB CE CF +=++，即2b a c r +=+，⊙12r =， ⊙1c a b =+-，即：又⊙222=c a b +，⊙222(-1)a b a b ++=，化简得：22()10ab a b -++=，又121a b x x k +=+=+，2121(1)4ab x x k ==+，⊙212(1)2(1)104k k +-++=，解得22=k 3222k =（舍去）， k ∴的值为22【点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，根的判别式，根与系数的关系，解决本题的关键是首先利用判别式是非负数确定k 的取值范围，然后利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理以及内切圆的半径公式，把问题转化为解方程求得k 的值．21．(1)见分析1014【分析】（1）根据切线长定理得到GA ＝GD ，则⊙GAD ＝⊙GDA ，根据圆周角定理推出AC ⊙DE ，则⊙CAD ＝⊙GDA ，进而得到⊙GAD ＝⊙CAD ，据此即可得解；（2）连接OD，交AC于点H，根据切线的性质、平行线的性质推出OH是△ABC的中位线，AH＝CH＝12AC，则OH＝12BC，设OH＝x，则DH＝92−x，BC＝2x，解直角三角形得到AH1014(1)证明：⊙GA、GD是⊙O的切线，⊙GA＝GD，⊙⊙GAD＝⊙GDA，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，⊙AC⊙BE，⊙DE⊙BE，⊙AC⊙DE，⊙⊙CAD＝⊙GDA，⊙⊙GAD＝⊙CAD，⊙AD平分⊙GAC；(2)解：连接OD，交AC于点H，⊙DE是⊙O的切线，⊙OD⊙DE，⊙⊙ODE＝90°，由（1）知，AC⊙DE，⊙OD⊙AC，⊙AH＝CH＝12AC，⊙AHD＝⊙CHD＝90°，⊙OA＝OB，⊙OH是△ABC的中位线，⊙OH ＝12BC ， ⊙AB ＝9，⊙OD ＝92， 设OH ＝x ，则DH ＝92−x ，BC ＝2x ， ⊙2222814AC AB BC x --＝＝，⊙222814AH x -（）＝，⊙22814AH x -＝， ⊙222AH AD DH -＝，AD ＝5，⊙222819542x x ⎛⎫ -⎝--⎪⎭＝， ⊙x ＝3118， ⊙AH 28110144x -= ⊙⊙HCE ＝180°−⊙ACB ＝90°＝⊙ODE ＝⊙CHD ，⊙四边形CHDE 是矩形，⊙DE ＝CH ＝AH 1014 【点拨】此题考查了切线长定理、切线的判定与性质，熟记切线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．22．(1)见分析171【分析】（1）连接OD ，BD ，根据直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒根据直角三角形斜边上的中线可得BE ED =，进而根据,OBD ODB EBD EDB ∠=∠∠=∠，等量代换可得90ODE ∠=︒，即可证明FD 是圆O 的切线；（2）利用勾股定理求得EF 的长，进而根据切线长定理求得ED ，即可求得FD ，在Rt ODF 中，勾股定理建立方程求得半径，进而求得AB 的长．解：(1)连接OD ，BD ，AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒．OB OD =． OBD ODB ∴∠=∠． E 是BC 的中点，BE ED ∴=．EBD EDB ∴∠=∠．90ABC ∠=︒，90OBD EBD ∴∠+∠=︒． 90ODB EDB ∴∠+∠=． 即90ODE ∠=︒．OD 是半径，FD ∴是圆O 的切线；(2)如图，连接OD ，90,ABC E ∠=︒为BC 的中点，BC =4，FB =8， 2BE ∴=，BC 是O 的切线， ,EF BC 是O 的切线， 2ED EB ∴==．在Rt FBE △中，2,8BE FB ==，2282217EF ∴+=2172FD EF ED ∴=-=，设O 的半径为r ，则OA OD r ==，在Rt OFD 中，8,,172OF BF OB r OD r DF =-=-==，222OF OD DF ∴=+，即()()22282172r r -=+，解得171r -= 171AB ∴=．【点拨】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理解直角三角形，切线长定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．23．(1)68APC ∠=︒；74CDB ∠=︒(2)58°【分析】（1）由同弧所对圆周角相等求得C ∠，进而求得APC ∠；连接AC ，求得BAC ∠，进而由同弧所对的圆周角相等求得CDB ∠．（2）连接OD ，求得PCB ∠，进而求得其所对圆心角BOD ∠，再由三角心外角和内角的关系求得E ∠．(1)解：⊙=BD BD⊙52C BAD ∠=∠=︒⊙68APC C ABC ∠=∠+∠=︒如图，连接AC ，⊙AB 为O 直径⊙90ACB ∠=︒⊙18074BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒⊙=BC BC⊙74CDB BAC ∠=∠=︒(2)解：如图，连接OD⊙CD AB ⊥⊙90CPB ∠=︒⊙9074PCB PBC ∠=︒-∠=︒⊙在O 中，2BOD BCD ∠=∠⊙148BOD ∠=︒⊙DE 是O 的切线⊙OD DE ⊥即90ODE ∠=︒⊙90=58E BOD ∠=∠-︒︒.【点拨】本题考查圆与三角形的综合问题，熟练掌握三角形和圆的相关性质定理是解题的关键．24．(1)12α(2)见分析(3)FG ＝2 【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角定理，可知⊙A =⊙ACD -⊙ABC ，⊙E =⊙ECD -⊙EBC =12ACD ∠-12ABC ∠，由此可知⊙E =12A ∠=12α； （2）根据圆内接四边形的性质可知⊙DCB ＋⊙BAD ＝180°，可知⊙BAD ＝⊙DCE ，根据圆周角的定理可知⊙ACD ＝⊙DCE ，进而证得⊙ABF ＝⊙CBF ，根据“好角”的定义即可得出结论；（3）连接CF，根据“好角”的定义可知⊙G＝12⊙A，即⊙G＝12⊙BFC，由外角定理可知⊙G＝⊙GCF，可知FG＝CF，利用三角函数求得CF即可求得结果．(1)解：由题意得，⊙ABE=⊙CBE=12ABC∠，⊙ACE=⊙ECD=12ACD∠，⊙⊙ACD=⊙A+⊙ABC，⊙ECD=⊙E+⊙EBC，⊙⊙A=⊙ACD-⊙ABC，⊙E=⊙ECD-⊙EBC=12ACD∠-12ABC∠，⊙⊙E=12A∠=12α；(2)如图，⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙⊙DCB＋⊙BAD＝180°，又⊙⊙DCB＋⊙DCE＝180°，⊙⊙BAD＝⊙DCE，⊙点D是优弧ACB的中点，⊙AD BD=，⊙⊙ACD＝⊙BAD，⊙⊙ACD＝⊙DCE，⊙CG是⊙ABC的外角平分线，⊙直径BF⊙弦AC⊙⊙AF CF=，⊙⊙ABF＝⊙CBF，⊙BG是⊙ABC的平分线，⊙⊙BGC是⊙ABC中⊙BAC的“好角”；(3)如图3，连接CF⊙⊙⊙A＝45°，⊙⊙BFC＝45°．⊙BG过圆心O⊙⊙⊙BCF＝90°．⊙⊙BGC是⊙ABC中⊙A的“好角”，⊙⊙G＝12⊙A⊙⊙ ⊙A＝⊙BFC；⊙⊙G＝12⊙BFC⊙⊙⊙G＝⊙GCF ⊙⊙FG＝CF⊙⊙cos⊙BFC＝CF BF，⊙CF＝cos45°×BF2＝2，⊙FG＝2【点拨】本题考查的是圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

初中数学《三角形的内切圆、外切圆》专题练习试卷及答案

初中数学《三角形的内切圆、外切圆》专题练习试卷及答案

6《三角形的内切圆、外接圆》专题练习试卷1. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ＝10，AB ＝8，BC ＝9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．81题图 2题图 3题图2. 如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别是P 、C 、D ．若AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13. 如图，△ABC 内接于圆，D 是BC 上一点，将∠B 沿AD 翻折，B 点正好落在圆点E 处，若∠C ＝50°，则∠BAE 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°4．已知：如图，∠C ＝90°，内切圆O 分别与BC 、AC 相切于点D 、E ，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由．4题图65．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝70°，点O 是△ABC 的内心，BO 的延长线交AC 于点D ，求∠BDC 的度数．5题图弧长和扇形面积题型：1. 已知正六边形的边长为8，则较短的对角线长为 ．2. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O 其边长为2，则⊙O 的内接正三角形ACE 的边长为 ．2题图 5题图 3．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A ．120° B．180° C．240° D．300°4．底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是( )．A ．7.5π cm 2B ．12π cm 2C ．15πcm 2D ．24π cm 25．如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心， AB 是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB =24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．6．如图，若⊙O的周长为20πcm，⊙A、⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？6题图参考答案1. C. 解析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QF+DQ＝2x＝11．故选：C．1题图2. C. 解析：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．63. C. 解析：连接BE，如图所示：，由折叠的性质可得：AB＝AE，∴AB AE∴∠ABE＝∠AEB＝∠C＝50°，∴∠BAE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故选：C．Array3题图4. 解：四边形ODCE为正方形，理由如下：∵内切圆O分别与BC、AC相切于点D、E，∴OE⊥AC，OD⊥BC．∵∠C＝90°，∴四边形ODCE为矩形．又∵OD＝OE，∴四边形ODCE为正方形．5. 解：∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠ABC＝50°，∵点O为△ABC的内心，∴∠DBC＝∠ABC＝25°，∵∠ACB＝78°，∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣78°﹣25°＝77°．66弧长和扇形面积题型：1. 8. 解析：如图，六边形ABCDEF 是正六边形，连接BF ，作AH ⊥BF 于点H ，1题图根据题意可知：BF 为较短对角线，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝8，∠BAF ＝120°，∵AH ⊥BF ，∴∠BAH=12∠BAF ＝60°， ∴∠ABH ＝30°，∴AH=12AB ＝4， 根据勾股定理，得4，∴BF ＝2BH ＝8． 故答案为：8．2. 2. 解析：连接OB 交AC 于H ．2题图在正六边形ABCDEF 中，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，6∴AB BC =，∴OB ⊥AC ，∴∠ABH ＝∠CBH ＝60°，AH ＝CH ，∴AH，∴AC ＝，故答案为．3. B. 解析：由得，∴．∴n ＝180°． 4. C. 解析：可求圆锥母线长是5cm ．∴圆锥的侧面积为：π×3×5=15π.5. 解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ，过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC =12，∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小圆的半径，∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆=12π•OB 2-12π•OC 2=12π（OB 2-OC 2）=12πAC 2=72π． 故答案为72π．5题图6. 解：∵圆O 的周长为20πcm ，∴圆O 的半径=10cm ，∵圆A 圆B 周长都是4πcm ，∴圆A 圆B 周长半径都是2，∴圆A 在圆O 内沿圆O 滚动半径是10﹣2=8，圆B 在圆O 外沿圆O 滚动半径是10+2=12∴要回到原来的位置，圆B 转动的周数=12÷2=6，圆A 转动的周数=8÷2=4．22rl r ππ=2l r =22180n r r ππ=。

(完整版)切线长定理练习题

(完整版)切线长定理练习题

切线长定理练习题一、选择题1.下列说法中，不正确的是( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．184. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( )C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．6题图7题图8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．三、解答题9. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．10. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．PBAO11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．13．已知：如图，△ABC 三边BC =a ，CA =b ，AB =c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o ，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C =90°．(1)若AC =12cm ，BC =9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC =b ，BC =a ，AB =c ，求⊙O 的半径r ．四、体验中考16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°17.（2011年绵阳）一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( ) A ．50 cm B ．253cm C ．3350cm D ．503cm 18. (2011年甘肃定西)如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．17题图 18题图 19题图19. （2011年湖南怀化）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，参考答案◆随堂检测1. C2. B (提示：②④错误)3. 760（提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520∴∠DIF=1040∵D、F是切点∴DI ⊥AB,IF⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900∴∠A=1800-1040=760）4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 1150(提示：∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=1300∵OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)◆课下作业1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）2. C3. D4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=405. 解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形 ∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900∴cos300=ABAC∴AB=6. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30°又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝7. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= ●体验中考 1. C2. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）3.3（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OBOA AO=）4. ∠P=600。

切线长定理-三角形的内切圆(基础篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

切线长定理-三角形的内切圆(基础篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

专题2.8 切线长定理三角形的内切圆（基础篇）（专项练习）一、单选题1．用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作一个角的平分线D．作一条线段的垂直平分线2．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（）A2B2C21D213．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（）A．4B．3C．2D．14．如图，PA、PB是O的切线，AC是O的直径，62P∠=，则BOC∠的度数为（）A．60B．62C．31D．705．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线P A，PB，切点分别是A，B，若⊙APB＝60°，P A＝5，则弦AB的长是（）A．52B532C．5D．36．如图，P A和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段P A和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若⊙P＝α，则⊙EDF的度数为（）A ．90°﹣αB ．32αC ．2αD ．90°﹣12α7．如图，已知PA 、PB 是O 的两条切线，A 、B 为切点，连接OP 交AB 于C ，交O 于D ，连接OA 、OB ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）A ．1，2B ．2，2C ．2，6D ．1，68．若Rt ABC 的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为（ ）A ．22rr Rπ+ B ．2rR rπ+ C ．42rR rπ+ D ．4rR rπ+9．已知⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，CD 、CE 分别是⊙ABC 中线和高线，则（ ）A ．D 点是⊙ABC 的内心B ．D 点是⊙ABC 的外心 C ．E 点是⊙ABC 的内心D ．E 点是⊙ABC 的外心10．如图，点E 是⊙ABC 的内心，AE 的延长线和⊙ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，CE ，若⊙CBD =32°，则⊙BEC 的大小为（ ）A ．64°B ．120°C ．122°D ．128°二、填空题11．如图，已知点O 是ABC ∆的内心，若120BOC ∠=，则A ∠=__________．12．如图，Rt ⊙ABC 中，⊙C =90°，若AC =4，BC =3，则⊙ABC 的内切圆半径r =_____．13．如图，P 是⊙O 外一点，P A 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交P A 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为20cm ，则P A 长为__________．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，⊙ABC=60°．若动点P 以2cm/s 的速度从B 点出发沿着B→A 的方向运动，点Q 以1cm/s 的速度从A 点出发沿着A→C 的方向运动，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设运动时间为t （s ），当⊙APQ 是直角三角形时，t 的值为_________．15．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．∠DAC ＝78°，那么∠AOD 等于_____度．16．如图，AB AC 、是O 的切线，B C 、为切点，连接BC ．若50A ∠=︒，则ABC ∠=__________．17．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC =8、BD =6，则菱形ABCD 的内切圆半径为 ________．18．如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，I 是BCD △的内心，点O 与点I 关于直线BD 对称，则A ∠的度数是__________．三、解答题19．如图，ABC 中，50,75ABC ACB ∠=︒∠=︒，点O 是ABC 的内心．求BOC ∠的度数．20．如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，O 为BC 上一点，以O 为圆心，OB 长为半径的圆恰好与AC 相切于点D ，交BC 于点E ，连接DO ，并延长交于O 点F ．(1)求证：BAO F ∠=∠；(2)若3AD =，2CD =，求O 的半径及EF 的长．21．如图，线段AB 经过O 的圆心O ，交圆O 于点A ，C ，1BC =，AD 为O 的弦，连接BD ，30BAD ABD ∠=∠=︒，连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点M ．(1)求证：直线BD 是O 的切线； (2)求线段BM 的长．22．如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆O 相交于点D ，过D 作直线DG ∥B C ．(1)若80ACB ∠=︒，则ADB =∠______；AEB ∠= ______． (2)求证：DE CD =；(3)求证：DG 是O 的切线C ．23．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，交CA 的延长线于点D ，连接BD ．(1)求作O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图迹）．(2)在（1）的条件下，求证：QC DQ24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB = 6，BC = 8，⊙ABC = 90°，弧AD = 弧DC．(1)求边CD的长；(2)已知⊙ABE与⊙ABD关于直线AB对称．⊙尺规作图:作⊙ABE；（保留作图痕迹，不写作法）⊙连接DE，求线段DE的长．参考答案1．C【分析】根据三角形内心的定义解答．解：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心，是三角形三个角平分线的交点，⊙用尺规作图作三角形的内切圆，用到了作角的平分线的作法，故选：C．【点拨】此题考查了三角形内心的定义，正确理解定义是解题的关键．2．D【分析】设等腰直角三角形的直角边是12条直角边的和与斜边的差的一半，22-其外接圆半径是斜边的一半，22222-21．解：设等腰直角三角形的直角边是12；⊙22-外接圆半径是22，⊙2222-21．故选：D．【点拨】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．3．D【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：12rC S三角形三角形，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．解：设内切圆的半径为r11262r解得：r=1故选D．【点拨】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：1 2rC S三角形三角形是解决此题的关键．4．B【分析】(1)根据切线长定理推出AP=BP,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出⊙PAB=59°,求出⊙BAC⊙BOC即可.解：PA,PB是⊙O的切线,∴AP=BP,⊙P=62°,∴⊙PAB=o o180-622=59°,AC是⊙O的直径,∴⊙PAC=90°,∴⊙BAC=90°-59°=31°，∴∠BOC=2⊙BAC=62°，故选B.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质,切线长定理,切线的性质,圆周角定理等知识点的应用,题型较好,综合性比较强,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力.5．C【分析】先利用切线长定理得到P A=PB，再利用⊙APB=60°可判断⊙APB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．解：⊙P A，PB为⊙O的切线，⊙P A=PB，⊙⊙APB=60°，⊙⊙APB为等边三角形，⊙AB=P A=5．故选：C．【点拨】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．D 【分析】根据切线性质，证得DAE △⊙FBD ，通过等量代换得出EDF DAE ∠=∠，再根据等腰三角形的性质，由⊙P ＝α，求得DAE ∠即可．解： ⊙P A 和PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，⊙P A =PB ，⊙PAB PBA ∠=∠，即DAE DBF ∠=∠ 在DAE △与FBD 中， ⊙AD BF DAE DBF AE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙DAE △⊙FBD （SAS ）， ⊙DEA FDB ∠=∠， 在DAE △中，180DAE AED EDA ∠+∠+∠=︒,⊙DEA FDB ∠=∠，⊙180DAE FDB EDA ∠+∠+∠=︒， ⊙180EDF FDB EDA ∠+∠+∠=︒， ⊙EDF DAE ∠=∠， ⊙⊙P ＝α，P A =PB ， ⊙PAB PBA ∠=∠⊙在PAB △中，1902BAP α∠=︒-，即1902DAE α∠=︒-，⊙EDF DAE ∠=∠， ⊙1902EDF α∠=︒-故选：D ．【点拨】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求得EDF DAE ∠=∠是解题关键．7．C 【分析】根据切线长定理及半径相等得，⊙APB 为等腰三角形，⊙AOB 为等腰三角形，共两个；根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：⊙AOC ，⊙AOP ，⊙APC ，⊙OBC ，⊙OBP ，⊙CBP ，共6个．解：因为OA 、OB 为圆O 的半径，所以OA ＝OB ，所以⊙AOB 为等腰三角形，根据切线长定理，PA ＝PB ，故⊙APB 为等腰三角形，共两个，根据切线长定理，PA ＝PB ，⊙APC ＝⊙BPC ，PC ＝PC ，所以⊙PAC⊙⊙PBC ，故AB⊙PE ，根据切线的性质定理⊙OAP ＝⊙OBP ＝90°，所以直角三角形有：⊙AOC ，⊙AOP ，⊙APC ，⊙OBC ，⊙OBP ，⊙CBP ，共6个．故选C ．【点拨】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品质．8．B【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．解：如图，由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+，2,m n R += ()2mn m n r r ∴=++，22,mn Rr r ∴=+而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++ ()221=222Rr r Rr r +++ 2=2Rr r +122.22O ABC Sr r S Rr r R r ππ∴==++故选B ．【点拨】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．B【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得D 是⊙ABC 的外心，据此即可求解．解：在△ABC 中，⊙ACB ＝90°，⊙CD 是△ABC 中线，⊙D 点是△ABC 的外心．故选：B ．【点拨】本题考查了三角形的外心，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理可求⊙CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求⊙BAC ，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求⊙EBC+⊙ECB ，再根据三角形内角和定理可求⊙BEC 的度数．解：在⊙O 中，⊙⊙CBD=32°，⊙⊙CAD=32°，⊙点E 是⊙ABC 的内心，⊙⊙BAC=64°，⊙⊙EBC+⊙ECB=(180°-64°)÷2=58°，⊙⊙BEC=180°-58°=122°．故选：C．【点拨】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到⊙EBC+⊙ECB的度数．11．60【分析】先利用120BOC∠=，可求出⊙OBC＋⊙OCB，再利用三角形的内心即为三个内角角平分线的交点，可求出⊙ABC＋⊙ACB，然后就可求出⊙A.解：⊙120BOC∠=⊙⊙OBC＋⊙OCB=180°－⊙BOC=60°∆的内心又⊙点O是ABC⊙BO、CO分别平分⊙ABC和⊙ACB⊙⊙ABC＋⊙ACB=2（⊙OBC＋⊙OCB）=120°⊙⊙A=180°－（⊙ABC＋⊙ACB）=60°故答案为60【点拨】此题考查的是三角形内心的定义和三角形内角和定理.12．1解：如图，设⊙ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，则OE⊙BC，OF⊙AB，OD⊙AC，设半径为r，CD=r，⊙⊙C=90°，AC=4，BC=3，⊙AB=5，⊙BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，⊙4﹣r+3﹣r=5，⊙r=1，⊙⊙ABC的内切圆的半径为1，故答案为1．13．10cm【分析】根据切线长定理，可将△PDE的周长转化为两条切线长的和，已知了△PDE的周长，即可求出切线的长．解：根据切线长定理得：AD＝CD，CE＝BE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD PE DE PD PE DC EC PA PB++=+++=+=2P A＝20，∴P A＝10．故答案为：10.cm【点拨】本题考查的是切线长定理，三角形的周长的计算，掌握切线长定理是解题的关键14．或3-解：因为AB是⊙O的直径，所以⊙ACB=90°，又因为BC=2，⊙ABC=60°；所以AB=2BC=4cm；因为运动时间为t（s），所以AQ=t，BP=2t，所以AP=4-2t，⊙当⊙AQP=90°时，因为⊙A=30°，AP=4-2t，所以PQ=2-t，AQ=3PQ，所以t=3（2-t），所以t=3-；⊙当⊙APQ=90°时，PQ=12AQ，AP=3PQ，所以4-2t=32t，解得t=，综上所述，当t的值为或3-时，⊙APQ是直角三角形．【点拨】1．圆的性质；2．直角三角形的判定与性质．15．64【分析】由已知条件推导出⊙CAO=⊙OAB=⊙BAD，⊙ABD=90°，由此根据⊙DAC=78°，能求出⊙AOD的大小．解：⊙AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，BD=OB，AB∴垂直平分OD,⊙CAO=⊙OABAO AD∴=∴⊙OAB=⊙BAD，⊙⊙CAO=⊙OAB=⊙BAD，⊙ABD=90°，⊙⊙DAC=78°，⊙⊙BAO=13⊙DAC=26°，⊙∠AOD=90°-26°=64°．故答案为：64．【点拨】本题考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意切线性质的灵活运用是解题的关键．16．65°【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论．解：⊙AB AC、是O的切线，⊙AB=AC⊙⊙ABC=⊙ACB=12（180°－⊙A）=65°故答案为：65°．【点拨】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键．17．125##2.4【分析】根据菱形的性质，可得AC⊙BD，11,22AO AC DO BD==，再由勾股定理可得5AD=，然后设菱形ABCD的内切圆半径为r，根据三角形的面积，即可求解．解：在菱形ABCD中，AC⊙BD，11,22AO AC DO BD==，⊙AC=8、BD=6，⊙AO=4，DO=3，⊙225 AD AO DO+，设菱形ABCD 的内切圆半径为r ，⊙12AOD SAD r =⨯ ， ⊙12AODS AO DO =⨯， ⊙1153422r ⨯=⨯⨯ ，解得：125r = ， 即菱形ABCD 的内切圆半径为125． 故答案为：125【点拨】本题主要考查了菱形的性质，内切圆，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 18．72︒【分析】连接OB 、OD 、BI 、DI ，利用轴对称的性质证得四边形OBID 是菱形，得到⊙BOD =⊙BID ，⊙OBD =⊙BDO =⊙IBD =⊙IDB ，根据圆周角定理得到⊙BOD =2⊙A ，由圆内接四边形性质得到180A C ∠+∠=︒，求出⊙BID =180°-12A ∠，由此得到2⊙A =180°-12A ∠，求出⊙A =72︒． 解：连接OB 、OD 、BI 、DI ，⊙点O 与点I 关于直线BD 对称，⊙OB =BI ，OD =DI ，⊙OB =OD ，⊙OB =BI =OD =DI ，⊙四边形OBID 是菱形，⊙⊙BOD =⊙BID ，⊙OBD =⊙BDO =⊙IBD =⊙IDB ，⊙⊙BOD =2⊙A ，⊙BID =180°-（⊙IBD +⊙IDB ），⊙⊙IBD +⊙IDB =()11802C ︒-∠，180A C ∠+∠=︒, ⊙ ⊙IBD +⊙IDB =12A ∠，⊙⊙BID =180°-12A ∠， ⊙2⊙A =180°-12A ∠， 解得⊙A =72︒，故答案为：72︒．【点拨】此题考查了圆内接四边形对角互补的性质，三角形内心定义，菱形的判定及性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，熟记各知识点是解题的关键．19．117.5°【分析】由点O 是ABC ∆的内心，50ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得OBC ∠与OCB ∠的度数，又由三角形内角和定理，即可求得BOC ∠的度数．解：点O 是ABC 的内心，50ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，11502522OBC ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，117537.522OCB ACB ∠=∠=⨯︒=︒， 1801802537.5117.5BOC OBC OCB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点拨】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．20．(1)见分析(2)O 的半径为1.5，65EF =【分析】（1）连接DE ，根据切线长定理可得⊙BAO =⊙DAO ，⊙PDC =90°，从而得到⊙BAO =12⊙BAD ，从而得到⊙BAO =12()1902C COD ︒-∠=∠=⊙F ，即可求证； （2）根据切线长定理可得AB =AD =3，再由勾股定理可得BC =4，设O 的半径为x ，则OD =x ，OC =4-x ，在Rt COD 中，由勾股定理可得O 的半径为1.5，由（1）可得1tan tan 2F BAO =∠=，在Rt DEF △中，由勾股定理，即可求解． (1)证明：如图，连接DE ，⊙90ABC ∠=︒，⊙AB 与O 相切，⊙AD 与O 相切，⊙⊙BAO =⊙DAO ，⊙PDC =90°，⊙⊙BAO =12⊙BAD ，⊙⊙BAD =90°-⊙C ，⊙C =90°-⊙COD ， ⊙⊙BAO =12()1902C COD ︒-∠=∠=⊙F ； (2)解：⊙AB 与O 相切，AD 与O 相切，⊙AB =AD =3，⊙CD =2，⊙AC =5，⊙BC =4，设O 的半径为x ，则OD =x ，OC =4-x ，在Rt COD 中，由勾股定理得：222OD CD OC +=，⊙()222x 24x +=-，解得：x =1.5，⊙O 的半径为1.5，即OB =1.5，⊙DF 为直径，DF =3，⊙⊙DEF =90°，⊙BAO F ∠=∠，⊙ 1.51tan tan 32OB F BAO AB =∠===， ⊙EF =2DE ，在Rt DEF △中，由勾股定理得：222DF DE EF =+，⊙222132EF EF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：65EF =65EF =（舍去）．【点拨】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理，圆周角定理是解题的关键．21．(1)见分析37 【分析】（1）根据圆周角定理可得260BOD BAD ∠=∠=︒，从而得到90ODB ∠=︒ ，即可求证； （2）连接DM ，Rt ⊙BOD 中，根据直角三角形的性质可得 BO =2OD ，从而得到1OD OC ==，3BD =DE O 为的直径，可得2DE =，90DME ∠=︒，从而得到7BE =，再由1122BDE S BD DE BE DM =⋅=⋅△，可得221DM =解．(1)证明：⊙⊙BOD =2⊙BAD ，⊙260BOD BAD ∠=∠=︒，又⊙30ABD ∠=︒，⊙90ODB ∠=︒ ，即OD BD ⊥，又⊙OD 为O 的半径，⊙直线BD 是O 的切线；(2)解：如图，连接DM ，Rt ⊙BOD 中，30DBO ∠=︒，⊙2BO OD OC BC ==+，又1BC =，OD OC =，⊙1OD OC ==，⊙3BD =⊙DE O 为的直径，⊙2DE =，90DME ∠=︒，在Rt ⊙BDE 中，227BE DE BD +⊙1122BDE S BD DE BE DM =⋅=⋅△， ⊙221BD DE DM BE ⋅= 在Rt ⊙BDM 中，2237BM BD DM =- 【点拨】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．22．(1)80°，130°；(2)见分析过程；(3)见分析过程．【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB ＝∠ADB ＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB ＝125°；（2）由三角形的内心的性质可得AE 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，可得∠BAE ＝∠CAE ，∠ABE ＝∠CBE ，由外角的性质可得∠BED ＝∠DBE ，可证DE ＝CD ；（3）由垂径定理可得OD ⊥BC ，由平行线的性质可得OD ⊥DG ，可得结论．(1)解：如图，连接BD ，OD ，∵AB AB =，∴∠ACB ＝∠ADB ＝80°，∴∠ABC +∠BAC ＝100°，∵点E 是△ABC 的内心，∴AE 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，∠ABE ＝∠CBE ，∴∠BAE +∠ABE ＝50°，∴∠AEB ＝130°，故答案为：80°，130°；(2)证明：∵∠BAE ＝∠CAE ，∴BD ＝CD ，∴BD ＝CD ，∵∠BAE ＝∠CAE ＝∠CBD ，∠ABE ＝∠CBE ，∴∠BED ＝∠BAE +∠ABE ＝∠CBD +∠CBE ＝∠DBE ，∴BD ＝DE ，∴DE ＝CD ；(3)证明：∵BD ＝CD ，∴OD ⊥BC ，∵DG ∥BC ，∴OD ⊥DG ，又∵OD 是半径，∴DG 是⊙O 的切线．【点拨】本题考查了三角形的内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．23．(1)见详解；(2)见详解．【分析】（1）作射线OP ，以点P 为圆心，任意长为半径画弧交射线于M ，N ，以点M ，N 为圆心，大于12MN 为半径画弧，两弧交于点E ，作直线PE ，交AC 于点Q ，则直线PQ 即为所求；（2）如图，连接AP ，则BP =PC ，根据中位线的性质证得OP AC ∥，由切线的性质，平行线的性质证PQ AC ⊥，根据直径所对的圆周角是直角，得90D ∠=︒，证得PQ BD ∥问题得证．(1)解：如图所示，直线PQ 即为所求；(2)证明：如图，连接AP ，AB AC =，BP PC ∴=，OA OB =，OP AC ∴∥，OP 是O 的切线，OP PQ ∴⊥，PQ AC ∴⊥，AB 是O 的直径，90D ∴∠=︒ ，BD AC ⊥，BD DC ∴∥，1CQ PC DQ BP∴==， DQ CQ ∴=.【点拨】本题考查了圆的综合题、圆的半径相等、切线的判定和性质、直径所对的圆周角是直角、三角形中位线的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，作辅助线是解决本题的关键．24．(1)52图见分析⊙14【分析】（1）先求出直径AC，再得到⊙ADC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；（2）⊙以B点为圆心，BD为半径，和以A点为圆心，AD为半径画弧，交点为E点，再顺次连接即可；⊙过A点作AH⊙BD，先求出BD的长，再证明⊙BDE是等腰直角三角形，故可求出DE 的长．解：(1)⊙AB = 6，BC = 8，⊙ABC = 90°，⊙AC22+=，AC是⊙O的直径6810⊙⊙ADC=90°⊙弧AD = 弧DC⊙AD=CD⊙⊙ADC是等腰直角三角形⊙AD2+CD2=AC2解得CD=52(2)⊙如图，⊙ABE为所求；⊙过A点作AH⊙BD，⊙弧AD = 弧DC⊙ABC=45°⊙⊙ABD=⊙CBD=12⊙⊙ABH是等腰直角三角形⊙AB2=BH2+AH2，AH=BH⊙AH=BH2⊙AD=CD2⊙在Rt⊙ADH中，DH2242-=AD AH⊙BD=BH+DH=2⊙⊙ABE与⊙ABD关于直线AB对称⊙⊙EBD=2⊙ABD=90°，BE=BD=2⊙⊙BDE是等腰直角三角形⊙DE2214+．BE BD【点拨】此题主要考查圆内的线段长度求解、尺规作图，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰直角三角形的判定与性质及对称性的应用．。

切线长定理和三角形的内切圆(复习)

切线长定理和三角形的内切圆(复习)
1 1 在 Rt△AB C 中, ∠B AC =30°, ∴B C = 2 AC= 2 ×2=1,
∴AB = AC 2 - BC 2 = 2 2 - 12 = 3 , ∴△P AB 的周长为 3 3 .
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6.如图 24-2-37, 已知 AB 为☉O 的直径, P A, P C 是☉O 的切 线, A, C 为切点, ∠B AC =30°. ( 1) 求∠P 的大小; ( 2) 若 AB =2, 求 P A 的长( 结果保留根号) .
图 24-2-28
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2.[2012·扬州]如图 24-2-29, P A, P B 是☉O 的切线, 切点分 别为 A, B, 点 C 在☉O 上, 如果∠AC B =70°, 那么∠P 的度 数是
40
度.
图 24-2-29
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【解析】 连接 O A, O B, 如图所示. ∵P A, P B 是☉O 的切线, ∴O A ⊥P A, O B ⊥B P , ∴∠O AP =∠O B P =90°. 又∵∠AC B =70°, ∴∠AO B =2∠AC B =140°, ∴∠P =360°-( 90°+90°+140°) =40°.
图24-2-26
数学
人教版九年级上册
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解: (1)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A =P B , E A =E Q , F Q =F B .∴△P E F 的周长 =P E +P F +E Q +F Q =P E +E A +P F +F B =P A +P B =24 cm. (2)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A ⊥O A, P B ⊥O B , E F ⊥O Q , ∠AE O =∠Q E O , ∠Q F O =∠B F O . ∴∠AO E =∠Q O E , ∠Q O F =∠B O F , ∠AO B =180°-∠

九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习

九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习

九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习【知识点精讲】（一）知识要点----切线长定理1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。

2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（二）知识要点----三角形内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

练习1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等。

2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ；（2）连结OC ，如果PD=∠ABC=，求OC 的长．603.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为__________，OB的长为__________；（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为__________．（用含n的式子表示）【总结】三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。

2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步练习第06讲切线长定理与弦切角定理(原卷版)

2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步练习第06讲切线长定理与弦切角定理(原卷版)

第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。

2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。

3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。

知识点01 切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA 与PB的长度是切线长。

2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作条，它们的长度。

圆心和这一点的连线两条切线的夹角。

即P A PB，∠APO∠BPO。

推广：有切线长定理的结论可得：①△APO△BPO⇒∠AOP∠B OP⇒AM⌒AM⌒⇒AB OP。

题型考点：①切线长定理的应用。

【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．104．如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）A．12B．6C．8D．4知识点02 三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都的圆叫三角形的。

三角形叫做圆的。

2.内心：三角形的的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角的交点。

所以圆心到三角形三边的距离相等。

2020春浙教版九年级中考数学复习测试：6.19切线长定理与三角形内切圆

2020春浙教版九年级中考数学复习测试：6.19切线长定理与三角形内切圆

第19讲切线长定理与三角形内切圆[学生用书P123]灵感与准备法国数学家笛卡尔早就有把相互独立的代数与几何结合起来的愿望，经过长时期的思考，仍未找到合适的方法.1619年随军服务时他仍在思考，11月9日，在多瑙河畔的诺伊堡，他几天来整日沉迷在思考之中而不得其解，入睡后连做数梦，梦中迷迷糊糊地想到引入直角坐标系的方法．第二天，也即是11月10日清晨，醒后的笛卡尔立即将梦中所得加以整理，终于创造出了解析几何学．笛卡尔获得了成功，但他为此付出了约为两年的时间．被称为数学王子的高斯为证明某一算术定理，也曾苦思冥想达两年之久，后来突然得到一个想法，使他获得成功．高斯回忆说：“终于在两天前我成功了……像闪电一样，谜一下解开了．我自己也说不清楚是什么导线把原先的知识和我最终得到的东西连接起来．”尽管解开这个谜的想法是突然出现的，但高斯本人两年的艰苦努力是这个成功能够到来的前提．灵感是不能靠偶然的机遇、守株待兔式的消极等待得到的．必须执著追求、锲而不舍、百折不挠，才能有成功的一天．所谓“触景生情”、“灵机一动”、“眉头一皱，计上心来”，都是经过长期坚持不懈地创造性劳动而“偶然得之”的．巴斯加说：“机遇只偏爱有准备的头脑．”恰恰道出了此中真谛．类型之一切线长定理例1[浙江竞赛]如图，AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，若AB的长是2a，则P A的长是．【思路生成】连结OC，OP，由于C是半圆的三等分点，那么∠BOC＝120°，进而可由切线长定理求得∠POB＝60°；在Rt△POB中，根据半径OB的长以及∠POB的度数，可求得PB的值，进而可由勾股定理求得AP的长．答图【解析】如答图，连结OC，OP，∵C为半圆弧的三等分点，∴∠BOC＝120°，已知PC，PB都是⊙O的切线，由切线长定理知∠POB＝12∠BOC＝60°，在Rt△POB中，OB＝a，∠POB＝60°，则PB＝3a，在Rt△ABP中，由勾股定理得AP＝AB2＋BP2＝（2a）2＋（3a）2＝7a.切线长定理1．经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长．2．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三角形的内切圆与内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等．切线长定理的基本结论如下图，P是⊙O外一点，P A，PB切⊙O于点A，B，AB交PO于C，则有如下结论：(1)P A＝PB；(2)∠APO＝∠BPO，∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP，∠CAP＝∠CBP；(3)AB⊥OP且AC＝BC.1．[2018·绵阳中考]如图，AB是⊙O的直径，点D 在⊙O上(点D不与A，B重合)．直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若DE∥AB，求sin∠ACO的值．解：(1)证明：如答图，连结OD，∵EB，ED为⊙O的切线，∴EB＝ED，OD⊥DE，AB⊥CB，∴∠ADO＋∠CDE＝90°，∠A＋∠ACB＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠CDE＝∠ACB，∴EC＝ED，∴BE＝CE；(2)如答图，作OH⊥AD于H，设⊙O的半径为r，答图∵DE∥AB，∴∠DOB＝∠DEB＝90°，∴四边形OBED为矩形，∵OB＝OD，∴矩形OBED为正方形，∴DE＝CE＝r，易得△AOD为等腰直角三角形，∴OH＝DH＝22r，在Rt△OCB中，OC＝（2r）2＋r2＝5r，在Rt△OCH中，sin∠OCH＝OHOC＝22r5r＝1010，即sin∠ACO的值为10 10.2．[杭州校级自主招生]如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且P A＝PB，连结AO，BO，AB，并延长BO与切线P A相交于点Q.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)设∠AOQ＝α，若cos α＝45，OQ＝15，求AB的长．解：(1)证明：如答图，连结OP，与AB交于点C；答图在△OAP 与△OBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ，OA ＝OB ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OBP (SSS )，∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 是⊙O 的切线，A 是切点，∴∠OAP ＝90°，∴∠OBP ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线；(2)在Rt △OAQ 中，∵OQ ＝15，∠AOQ ＝α，cos α＝45，∴OA ＝12，AQ ＝9，∴BQ ＝27，∵∠Q ＝∠Q ，∠OAQ ＝∠QBP ＝90°，∴△QAO ∽△QBP ，∴AQ BQ ＝OQ PQ ，即927＝15PQ ，∴PQ ＝45，∴P A ＝36，∴OP ＝362＋122＝1210；∵∠APO ＝∠APO ，∠P AO ＝∠PCA ＝90°，∴△P AC ∽△POA ，∴P A OP ＝AC OA ，∴P A ·OA ＝OP ·AC ，即36×12＝1210·AC ，∴AC ＝18105，∴AB ＝36105. 类型之二 三角形的内切圆例2[2018·南京中考]结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x.根据勾股定理，得(x＋3)2＋(x＋4)2＝(3＋4)2.整理，得x2＋7x＝12.所以S△ABC ＝12AC·BC＝12(x＋3)(x＋4)＝12(x2＋7x＋12)＝12×(12＋12)＝12.小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n.可以一般化吗？(1)若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢？(2)若AC·BC＝2mn，求证∠C＝90°.改变一下条件……(3)若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面积．【思路生成】(1)根据题目中所给的方法由切线长定理知AE ＝AD ＝m ，BF ＝BD ＝n ，CF ＝CE ＝x ，根据勾股定理得(x ＋m )2＋(x ＋n )2＝(m ＋n )2，即x 2＋(m ＋n )x ＝mn ，再利用三角形的面积公式计算；(2)由AC ·BC ＝2mn 得(x ＋m )(x ＋n )＝2mn ，即x 2＋(m ＋n )x ＝mn ，再利用勾股定理逆定理求证；(3)作AG ⊥BC ，由三角函数得AG ＝AC ·sin 60°＝32(x ＋m )，CG ＝AC ·cos 60°＝12(x ＋m )，BG ＝BC －CG ＝(x ＋n )－12(x ＋m )，在Rt △ABG 中，根据勾股定理可得x 2＋(m ＋n )x ＝3mn ，最后利用三角形的面积公式计算可得．解：设△ABC 的内切圆分别与AC ，BC 相切于点E ，F ，CE 的长为x . 根据切线长定理，得AE ＝AD ＝m ，BF ＝BD ＝n ，CF ＝CE ＝x .(1)在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得(x ＋m )2＋(x ＋n )2＝(m ＋n )2.整理，得x 2＋(m ＋n )x ＝mn .∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12(x ＋m )(x ＋n ) ＝12[x 2＋(m ＋n )x ＋mn ]＝12(mn ＋mn )＝mn .(2)由AC ·BC ＝2mn ，得(x ＋m )(x ＋n )＝2mn .整理，得x 2＋(m ＋n )x ＝mn .∴AC 2＋BC 2＝(x ＋m )2＋(x ＋n )2＝2[x 2＋(m ＋n )x ]＋m 2＋n 2＝m 2＋n 2＋2mn＝(m ＋n )2＝AB 2.根据勾股定理的逆定理，得∠C ＝90°.(3)如答图，过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G .答图在Rt △ACG 中，AG ＝AC ·sin 60°＝32(x ＋m )，CG ＝AC ·cos 60°＝12(x ＋m )．所以BG ＝BC －CG ＝(x ＋n )－12(x ＋m )．在Rt △ABG 中，根据勾股定理，得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32（x ＋m ）2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋n ）－12（x ＋m ）2＝(m ＋n )2. 整理，得x 2＋(m ＋n )x ＝3mn .∴S △ABC ＝12BC ·AG ＝12(x ＋n )·32(x ＋m )＝34[x 2＋(m ＋n )x ＋mn ]＝34(3mn ＋mn )＝3mn .3．[宁波自主招生]《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是( D )A ．3步B ．4步C ．5步D ．6步【解析】 如答图，在Rt △ABC 中，AB ＝15步，BC ＝8步，设其内切圆半径为r .由勾股定理可得答图AC ＝AB 2＋BC 2＝152＋82＝17， 又S △ABC ＝12AB ·BC ，S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12AB ·r ＋12BC ·r ＋12AC ·r ＝12(AB ＋BC ＋AC )r .∴12AB ·BC ＝12(AB ＋BC ＋AC )r ，∴r ＝AB ·BCAB ＋BC ＋AC ＝15·815＋8＋17＝3.∴直径为6.4．[温州校级自主招生]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝70°，△ABC 的内切圆⊙O 与边AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，则∠DEF 的度数为__80°__．答图【解析】如答图，连结DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，∴∠A＝20°，∵内切圆O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴∠ODA＝∠OF A＝90°，∴∠DOF＝160°，∴∠DEF的度数为80°.5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆的圆心，则∠AOB＝__135°__．【解析】如答图，连结CO，延长AO交BC于点F，∵CD为AB边上的高，∴∠ADC＝90°.∴∠BAC＋∠ACD＝90°.又∵O为△ACD的内切圆圆心，∴AO，CO分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，答图∴∠OAC ＋∠OCA ＝12(∠BAC ＋∠ACD )＝12×90°＝45°， ∴∠AOC ＝135°；在△AOB 和△AOC 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAO ＝∠CAO ，AO ＝AO ，∴△AOB ≌△AOC (SAS )，∴∠AOB ＝∠AOC ＝135°.类型之三 三角形的内心例3 [宁波自主招生]规定三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的内心．(1)已知I 为△ABC 的内心，连结AI 交△ABC 的外接圆于点D ，如图所示，连结BD 和CD ，求证：BD ＝CD ＝ID .(2)已知△ABC ，AD 平分∠BAC 且与它的外接圆交于点D ，在线段AD 上有一点I 满足BD ＝ID .试问点I 是否是△ABC 的内心？若是，请加以证明；若不是，请说明理由．【思路生成】(1)连结BI ，根据三角形的内切圆的意义和圆周角定理得到BD ＝DC ，根据三角形外角性质求出∠IBD ＝∠BID ，根据等腰三角形的判定求出BD ＝ID 即可；(2)连结BI ，根据等腰三角形的性质求出∠BID ＝∠IBD ，推出∠ABI ＝∠CBI ，得出I 是∠BAC 与∠ABC 的平分线的交点即可．解：(1)证明：如答图，连结BI ，∵I 是△ABC 的内心，答图∴∠BAD ＝∠DAC ，∠ABI ＝∠CBI ，∴BD ︵＝DC ︵，∴BD ＝DC ，∵∠BID ＝∠ABI ＋∠BAD ，∠IBD ＝∠CBI ＋∠DBC ，∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠DBC ，∴∠DBI ＝∠BID ，∴BD ＝DI ，∴BD ＝CD ＝ID .(2)I 是△ABC 的内心．证明：∵BD ＝ID ，∴∠BID ＝∠IBD ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠DBC ，∴∠ABI ＝∠BID －∠BAI ＝∠IBD －∠DBC ＝∠CBI ，∴I 在∠ABC 的平分线上，又I 在∠BAC 的平分线AD 上，∴I 是△ABC 的内心．6．[奉化自主招生]如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上任一点，正方形DEFG 的一边DG 在直线AB 上，另一边DE 过△ABC 内切圆的圆心I ，且点E 在半圆弧上，已知DE ＝9，则△ABC 的面积为__81__．【解析】 设⊙I 切AC 于M ，切BC 于N ，半径为r ，则AD ＝AM ，BD ＝BN ，∵AB 为半圆的直径，∴∠ACB ＝90°，CM ＝CN ＝r ，∴r ＝12(AC ＋BC －AB )，AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴AD ·DB ＝AM ·BN ＝(AC －r )(BC －r )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤AC －12（AC ＋BC －AB ） ⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC －12（AC ＋BC －AB ） ＝14(AC －BC ＋AB )(AB ＋BC －AC )＝14(AB 2－AC 2－BC 2＋2AC ·BC )＝12AC ·BC ，连结AE ，BE ，易知Rt △ADE ∽Rt △EDB ，可得AD ·DB ＝DE 2＝81，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝81.7．[2018·长沙中考]如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3.(1)求CE的长；(2)求证：△ABC为等腰三角形；(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．解：(1)∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE＝2AD＝6；答图(2)证明：∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∵AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形；(3)如答图，连结BP ，BQ ，CQ ，在Rt △ABD 中，AB ＝32＋42＝5，设⊙P 的半径为R ，⊙Q 的半径为r ，在Rt △PBD 中，(R －3)2＋42＝R 2，解得R ＝256，∴PD ＝P A －AD ＝256－3＝76，∵S △ABQ ＋S △BCQ ＋S △ACQ ＝S △ABC ，∴12·r ·5＋12·r ·8＋12·r ·5＝12·3·8，解得r ＝43，即QD ＝43，∴PQ ＝PD ＋QD ＝76＋43＝52.故△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离为52.切线长定理及三角形的内切圆常见的基本图形如下图所示：求三角形内切圆的半径时用不同的方法表示三角形的面积，建立等量关系，设三角形三边为a ，b ，c ，a 边上的高为h ，内切圆的半径为r ，则12(a ＋b ＋c )·r＝12ah .类型之四 与内切圆有关的探究型问题例4 阅读材料：已知，如图1，在面积为S 的△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，内切圆O 的半径为r .连结OA ，OB ，OC ，△ABC 被划分为三个小三角形．∵S ＝S △OBC ＋S △OAC ＋S △OAB ＝12BC ·r ＋12AC ·r ＋1 2AB ·r ＝12(a ＋b ＋c )r .∴r ＝2S a ＋b ＋c .(1)类比推理：若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图2，各边长分别为AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，AD ＝d ，求四边形的内切圆半径r ；(2)理解应用：如图3，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝21，CD ＝11，AD ＝13，⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 和△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r 1和r 2，求r 1r 2的值． 解：(1)如答图①，连结OA ，OB ，OC ，OD .∵S ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COD ＋S △AOD ＝12ar ＋12br ＋12cr ＋12dr ＝12(a ＋b ＋c ＋d )r ，∴r ＝2S a ＋b ＋c ＋d.答图①(2)如答图②，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，答图②则AE ＝12×(AB －DC )＝12×(21－11)＝5.DE ＝AD 2－AE 2＝132－52＝12.BE ＝AB －AE ＝21－5＝16.BD ＝DE 2＋BE 2＝122＋162＝20.∵AB ∥DC ，∴S △ABD S △BCD ＝AB DC ＝2111. 又∵S △ABD S △BCD ＝12×（13＋21＋20）r 112×（11＋13＋20）r 2＝27r 122r 2， ∴27r 122r 2＝2111，即r 1r 2＝149.8．如图，在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝32，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ (点Q 为切点)，则切线长PQ 的最小值为．【解析】 如答图，连结OP ，OQ .答图∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ .根据勾股定理知PQ 2＝OP 2－OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段OP 最短，∵在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝32，∴AB ＝2OA ＝6，∴OP ＝3，∴PQ ＝OP 2－OQ 2＝32－12＝2 2.9．如图，射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM ＝MB ＝2 cm ，QM ＝4 cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1 cm 的速度向右移动，经过t s ，以点P 为圆心， 3 cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，请写出t 可取的一切值__t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8__．【思路生成】求出AB ＝AC ＝BC ＝4 cm ，MN ＝12AC ＝2 cm ，∠BMN ＝∠BNM＝∠C ＝∠A ＝60°，分为三种情况，画出图形，结合图形求出．【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝AM ＋MB ＝4 cm ，∠A ＝∠C ＝∠B ＝60°.答图①∵QN ∥AC ，AM ＝BM .∴N 为BC 的中点，∴MN ＝12AC ＝2 cm ，∠BMN ＝∠BNM ＝∠C ＝∠A ＝60°.分为三种情况：①如答图①，当⊙P切AB于M′时，连结PM′，则PM′＝ 3 cm，∠PM′M＝90°，∵∠PMM′＝∠BMN＝60°，∴MM′＝1 cm，PM＝2MM′＝2 cm，∴QP＝QM－PM＝2 cm，即t＝2.答图②②如答图②，当⊙P与AC切于A点时，连结P A，则∠CAP＝∠APM＝90°，∠PMA＝∠BMN＝60°，AP＝ 3 cm，∴PM＝1 cm，∴QP＝QM－PM＝3 cm，即t＝3；同理，当⊙P与AC切于点C时，易得t＝7.故当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切．答图③③如答图③，当⊙P切BC于N′时，连结PN′，同①易得PN＝2 cm，∴QP＝QM＋MN＋NP＝8 cm，即t＝8.综上可知，t的取值为2或3≤t≤7或8.10．[桂林中考节选]已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S＝p（p－a）（p－b）（p－c）(其中a，b，c是三角形的三边长，p＝a＋b＋c2，S为三角形的面积)，并给出了证明．例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：∵a＝3，b＝4，c＝5，∴p＝a＋b＋c2＝6，∴S＝p（p－a）（p－b）（p－c）＝6×3×2×1＝6.根据上述材料，解答下列问题：如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9，(1)用海伦公式求△ABC的面积；(2)求△ABC的内切圆半径r.解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，∴p＝BC＋AC＋AB2＝5＋6＋92＝10，∴S＝p（p－a）（p－b）（p－c）＝10×5×4×1＝102，故△ABC的面积102；(2)∵S＝12r(AC＋BC＋AB)，∴102＝12r(5＋6＋9)，解得r＝2，故△ABC的内切圆半径r＝ 2.例5[全国数学竞赛]如图，已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA ＝CB＝CD，过A，C，D三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．【思路生成】连结FC，FD，BD，然后证其中两个为相应的角平分线．证明：如答图，连结FC，FD，BD，答图∵∠CDF＝∠CAB＝45°＝12∠CDE，∴DF为∠CDE的平分线．由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD－45°＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B，D的距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，即CF是∠ECD的平分线．∴F是△CDE上两条角平分线的交点，∴点F是△CDE的内心．[学生用书P64]【思维入门】1．[2018·鄂州中考]如图，P A，PB是⊙O的切线，切点为A，B，AC是⊙O的直径，OP与AB相交于点D，连结OB，BC.下列结论：①∠APB＝2∠BAC；②OP∥BC；③若tan C＝3，则OP＝5BC；④AC2＝4OD·OP.其中正确的个数为(A)A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】利用切线长定理证明Rt△APO≌Rt△BPO，再利用同角的余角相等，可证得∠AOP＝∠C，得到OP∥BC，∠APB＝2∠BAC，故①②正确；利用勾股定理和∠AOP＝∠C，可证得OP＝（3OA）2＋OA2＝10OA＝10×12AC＝10×12×10BC＝5BC，故③正确；利用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明△ABC∽△P AO，再通过等量代换可证得AC2＝4OD·OP，故④正确．2．[黄州校级自主招生]若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是(B)A.πrc＋2r B.πr c＋rC.πr2c＋rD.πrc2＋r2【解析】设直角三角形的两条直角边是a，b，∴S＝a＋b＋c2r，又∵r＝a＋b－c2，∴a＋b＝2r＋c，将a＋b＝2r＋c代入S＝a＋b＋c2r，得S＝2r＋2c2r＝r(r＋c)．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是πr c＋r.3．[青白江区自主招生]已知△ABC其内切圆O与边AB交于D，若AD－BD ＝－5，则AC－BC＝(D)A．10 B．5C．－5或5 D．－5【解析】由题意知AD＝AE，CE＝CF，BF＝BD，∴AC－BC＝AE－BF＝AD－BD＝－5.4．[奉化自主招生]已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BC＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，CD ＝h ，设△ACD ，△BCD 与△ABC 的内切圆半径分别为r 1，r 2，r ，则下列结论：①1a ＋1b ＝1h ；②1a 2＋1b 2＝1h 2；③r 21＋r 22＝r 2；④r 1＋r 2＋r ＝h 中，正确的结论有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ∵S △ABC ＝12ab ＝12ch ，∴ab ＝ch ，∴h ＝ab c， ①∵1a ＋1b ＝a ＋b ab ，1h ＝c ab ＝a 2＋b 2ab ， ∴1a ＋1b ≠1h ，①错误；②∵ab ＝ch ，∴a 2b 2＝c 2h 2，∴1a 2b 2＝1c 2h 2，∴c 2a 2b 2＝1h 2，由勾股定理，得1a 2＋1b 2＝b 2＋a 2a 2b 2＝c 2a 2b 2，∴1a 2＋1b 2＝1h 2，②正确；③∵△ACD ，△BCD 与△ABC 的内切圆半径分别为r 1，r 2，r ，∴r ＝12(a ＋b －c )，r 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋b 2c －b ＝b c r ， r 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋ab c －a ＝a c r ，∴r 21＋r 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c r 2＝r 2，③正确； ④r 1＋r 2＋r ＝a ＋b ＋c c r ＝a ＋b ＋c c ·a ＋b －c 2＝ab c ＝h ，④正确．5．[2018·威海中考]在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连结AE ，BE ，则∠AEB 的度数为__135°__．答图 【解析】 如答图，连结CE ，∵∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∵⊙E 内切于△ADC ，∴∠EAC ＋∠ECA ＝45°，∴∠AEC ＝135°，∵△AEC ≌△AEB ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝135°.6．[第18届江苏竞赛]如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D ，E ，F ，若AF ，BE 的长度是方程m 2－13m ＋30＝0的两个根，则△ABC 的面积是__30__．【解析】 解方程m 2－13m ＋30＝0，得m 1＝10，m 2＝3，∴AD ＝AF ＝10，BD ＝BE ＝3，设CE ＝CF ＝x ，则AC ＝10＋x ，BC ＝3＋x ；由勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即132＝(10＋x )2＋(3＋x )2，解得x ＝2(负值舍去)，∴AC ＝12，BC ＝5；∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×5×12＝30.7．[百色中考]如图1，已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ，若EF ︵＝DE ︵.(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)设AE 与DF 相交于点M ，如图2，AF ＝2FC ＝4，求AM 的长．解：(1)△ABC 为等腰三角形，理由如下：∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ， ∴∠OFC ＝∠OEC ＝∠OEB ＝∠ODB ＝90°，∴∠EOF ＋∠C ＝∠DOE ＋∠B ＝180°，∵EF ︵＝DE ︵，∴∠EOF ＝∠DOE ，∴∠C ＝∠B ，∴△ABC 为等腰三角形；(2)由(1)知，AC ＝AB ，又∵AF ＝AD ，∴△ADF ∽△ABC ，易得AM AE ＝AF AC ，∵AE ＝AC 2－CE 2＝42，∴AM ＝42×23＝823.【思维拓展】8．[天津竞赛]如图，在等腰三角形ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB ，AC 相切，切点分别为D ，E ，过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB ，AC于M ，N ，那么BM ·CN BC 2的值等于( B )A.18B.14C.12 D ．1【解析】 如答图，连结OM ，ON ，答图∵MD，MF与⊙O相切，∴∠OMD＝∠OMF，同理得∠ONF＝∠ONE，而∠OMD＋∠OMF＋∠ONF＋∠ONE＋∠B＋∠C＝360°，AB＝AC，∴∠OMF＋∠ONF＋∠B＝180°，而∠OMD＋∠MOB＋∠B＝180°，∴∠ONF＝∠MOB，即有∠ONE＝∠MOB，∴△OMB∽△NOC，∴BMOC＝OBCN，∴BM·CN＝14BC2，∴BM·CNBC2＝14.9．[《学习报》公开赛]如图，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为(A)A.12 B.23C.34D．不能确定【解析】如答图，设AC与OE交于点G，与OF交于点I，⊙O切AB于H，切BC 于M ，切AC 于N ，连结ON ，OH ，OM ，则OM ⊥BC ，OH ⊥AB ，ON ⊥AC ，答图∴四边形AEOH ，四边形OMCF 均为矩形，四边形BMOH 为正方形． 设⊙O 的半径为r ，那么AE ＝CF ＝ON ＝r ，在△AEG 和△OGN 中，∠AEG ＝∠ONG ＝90°，∠AGE ＝∠OGN ，AE ＝ON ＝r ，∴△AEG ≌△ONG ，同理△ONI ≌△CFI ， ∴S △ONG ＝S △AEG ，S △ONI ＝S △CFI ， ∴S 矩形OEDF ＝S △ADC ＝12S 矩形ABCD . ∴S 矩形OEDF ∶S 矩形ABCD ＝12.10．[宁波自主招生]等边三角形ABC 的各边与它的内切圆相切于A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的各边与它的内切圆相切于A 2，B 2，C 2，…，以此类推．若△ABC 的面积为1，则△A 5B 5C 5的面积为( D )A.15B.125C.125D.1210【解析】 ∵等边三角形ABC 的各边与它的内切圆相切于A 1，B 1，C 1，设等边三角形ABC 的内心为O ，∴点O 也是等边三角形A 1B 1C 1的外心， ∴A 1，B 1，C 1分别是△ABC 各边的中点，设等边三角形ABC 的边长为a ，则根据三角形中位线定理，得出△A 1B 1C 1的边长为12a ，同理，等边三角形A 2B 2C 2的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ，…等边三角形A 5B 5C 5的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫125a .又∵△ABC ∽△A 5B 5C 5，S △ABC ＝1， ∴S △ABCS △A 5B 5C 5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫125a 2＝210， ∴S △A 5B 5C 5＝1210.11．[江苏竞赛题]已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，内切圆的半径等于1，则腰长为__103__． 【解析】 如答图，∵AB ＝AC ，BC ＝4，∴CE ＝2，答图易知△AOD∽△ACE，∴ODAO＝CEAC，∴AC＝2AO，设AO＝x，则AC＝2x，∵OD＝OE＝1，∴由勾股定理得(x＋1)2＋22＝4x2，解得x＝53或－1(舍负取正)，∴AC＝10 3.12．[日本数学奥林匹克竞赛]如图，设正方形ABCD的边长为1，以AD为直径的圆其圆心为M，E为AB上的一点，且满足CE与圆M相切，则△BCE的面积为__38__．【解析】设AE＝x，则AE＝EN＝x，NC＝CD＝1，∴CE＝x＋1，BE＝1－x，在Rt △BCE 中，由勾股定理可得12＋(1－x )2＝(1＋x )2， 解得x ＝14，故S △BCE ＝12BC ·CE ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝38.13．[2018·德阳]如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点H 是△ABC 的内心，AH 的延长线和三角形ABC 的外接⊙O 相交于点D ，连结DB .(1)求证：DH ＝DB ；(2)过点D 作BC 的平行线分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F ，已知CE ＝1，⊙O 的直径为5.①求证：EF 为⊙O 的切线； ②求DF 的长．解：(1)证明：如答图，连结HB ，答图∵点H 是△ABC 的内心，∴∠DAC ＝∠DAB ，∠ABH ＝∠CBH ，∴∠DHB＝∠DAB＋∠ABH＝∠DAC＋∠CBH，∵∠DBC＝∠DAC，∠DBH＝∠DBC＋∠CBH，∴∠DHB＝∠DBH，∴DH＝DB；(2)①如答图，连结OD，∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，BC∥EF，∴AC⊥EF，OD⊥EF，∵点D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；②如答图，过点D作DG⊥AB于G，连结CD. 易证△AED≌∠AGD，∴DE＝DG，AE＝AG，∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，∴△CDE≌△BDG，∴GB＝CE＝1，AG＝AE＝4，在Rt△ADB中，DG⊥AB，∴∠ADB＝∠BGD，∵∠DBG＝∠ABD，∴△DBG∽△ABD，∴BDAB＝BGBD，∴DB2＝AB·BG＝5×1＝5，∴DB＝5，DG＝2，∴ED＝2，∵DO∥AE，∴△OFD∽△AFE，∴DFEF＝ODAE，∴DFDF＋2＝524，解得DF ＝103.14．[余姚校级自主招生]菱形ABCD 的内切圆⊙O 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，在EF ︵与GH ︵上分别作⊙O 的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q .求证：MQ ∥NP .证明：如答图，连结MO ，NO ，BD ，AC ，答图设∠ABC ＝2α，∠BNM ＝2β，∠BMN ＝2γ.则由NO 平分∠CNM ，得∠ONC ＝∠ONM ＝12(180°－2β)＝90°－β， 同理，∠OMN ＝∠OMA ＝90°－γ.而∠CON ＝180°－∠OCN －∠ONC ＝β＋α＝90°－γ＝∠AMO ， ∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠OCN ＝∠MAO ， ∴△CON ∽△AMO ，∴AM AO ＝COCN ，即AM ·CN ＝AO 2. 同理，AQ ·CP ＝AO 2，∴AM ·CN ＝AQ ·CP ，∴AM CP ＝AQ CN ， ∵∠BAD ＝∠BCD ，∴△AMQ ∽△CPN ， ∴∠AMQ ＝∠CPN ，又∵∠BAC ＝∠DAC ＝∠BCA ＝∠ACD ， ∴∠ASM ＝∠CTP ，∴∠ASM ＝∠ATN ， ∴MQ ∥NP .【思维升华】15．[“《数学周报》杯”全国竞赛]如图，△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为__163__．【解析】 如答图，设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为h a ，则12ah a ＝S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ， ∴r h a＝aa ＋b ＋c.答图∵△ADE ∽△ABC ， ∴它们对应线段成比例， ∴h a －r h a＝DE BC ，∴DE ＝h a －r h a ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ＋b ＋c a ＝a （b ＋c ）a ＋b ＋c ， 故DE ＝8×（7＋9）8＋7＋9＝163.16．[慈溪自主招生]如图，已知常数a >0， F 1(－a 2＋20，0)，F 2(a 2＋20，0)，过F 2作直线l ，点A ，B 在直线l 上，且满足AF 1－AF 2＝BF 1－BF 2＝2a ，M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆的圆心． (1)设⊙M 与F 1F 2相切于点P 1，⊙N 与F 1F 2切于点P 2，试判断P 1与P 2的位置关系，并加以证明；(2)已知sin ∠BF 2F 1＝89，且MN ＝92，试求a 的值． 解：(1)P 1与P 2重合． 证明：由题意得AC ＝AD ，∵AF 1－AF 2＝2a ，∴CF 1－DF 2＝2a ； 又∵F 1C ＝F 1P 1，F 2D ＝F 2P 1， ∴P 1F 1－P 1F 2＝2a ， 同理P 2F 1－P 2F 2＝2a ， ∴P 1与P 2重合．(2)由(1)知MP 1⊥F 1F 2，NP 2⊥F 1F 2，P 1，P 2重合． ∴M ，P 1，N 共线，且MN ⊥F 1F 2，如答图，连结MN ，NE ，MD ，则∠NED ＝∠MDE ＝90°，过N 作NH ⊥MD ，H 为垂足．答图∵∠MP 1F 2＝∠MDF 2＝90°，∠HMN ＝∠BF 2F 1，∴sin ∠HMN ＝sin ∠BF 2F 1＝89，又∵MN ＝92，∴NH ＝MN sin ∠HMN ＝4，∴ED ＝4；∵DF 2＝F 2P 1＝F 2E ，∴F 2P 1＝2，由(1)可知P 1F 1－P 1F 2＝2a ，∴P 1F 1＝2＋2a ，∴P 1F 1＋P 1F 2＝2＋2＋2a ＝2a 2＋20， 解得a ＝4.17．[河北竞赛]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，其中⊙O 1，⊙O 2，…⊙O n ，为n (n ≥2)个相等的圆，⊙O 1与⊙O 2相外切，⊙O 2与⊙O 3相外切，…，⊙O n －1与⊙O n 相外切，⊙O 1，⊙O 2，…，⊙O n 都与AB 相切，且⊙O 1与AC 相切，⊙O n 与BC 相切，求这些等圆的半径r (用n 表示)．解：如答图，连结AO 1，BO n ，CO 1，CO n ，O 1O n ，则S △AO 1C ＝12AC ·r ＝2r ，S △BO n C ＝12BC ·r ＝32r .∵等圆⊙O 1，⊙O 2，…，⊙O n 依次外切，且均与AB 边相切， ∴O 1，O 2，…，O n 均在直线O 1O n 上，且O 1O n ∥AB ， ∴O 1O n ＝(n －2)2r ＋2r ＝2(n －1)r .过点C 作CH ⊥AB 于点H ，交O 1O n 于点K ，在Rt △ABC 中，由勾股定理有AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝5，则由AB ·CH ＝AC ·BC 有CH ＝125，CK ＝125－r .S △CO 1On ＝12O 1O n ·CK ＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r r ，S 梯形AO 1O n B ＝12[2(n －1)r ＋5]r ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）r ＋52r ， ∵S △ABC ＝S △AO 1C ＋S △BO n C ＋S △CO 1O n ＋S 梯形AO 1O n B∴6＝32r ＋2r ＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r r ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）r ＋52r ， 解得r ＝52n ＋3.。

三角形的内切圆与切线长定理同步培优题典(解析版)

三角形的内切圆与切线长定理同步培优题典(解析版)

专题4.8三角形的内切圆与切线长定理姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•官渡区期末）如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．【解析】∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB=12∠AOB＝70°．故选：C．2．（2019秋•西城区校级期中）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（）A．3cm B．3√3cm C．6cm D．6√6cm【分析】先画图，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的半径．【解析】设圆心为O，∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB=12∠CAB＝60°，∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3√3cm，∴光盘的半径是3√3cm．故选：B．3．（2019秋•江宁区期中）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB+CD的值是（）A ．14B ．12C ．9D ．7【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．【解析】∵AB 、BC 、CD 、DA 都是⊙O 的切线，∴可以假设切点分别为E 、H 、G 、F ，∴AF ＝AE ，BE ＝BH ，CH ＝CG ，DG ＝DF ，∴AD +BC ＝AF +DF +BH +CH ＝AE +BE +DG +CG ＝AB +CD ，∵AD ＝2，BC ＝5，∴AB +CD ＝AD +BC ＝7，故选：D ．4．（2019秋•黄冈期末）如图，P A ，PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交P A ，PB 于C ，D ．若△PCD 的周长等于3，则P A 的值是（ ）A ．32B ．23C ．12D ．34 【分析】直接利用切线长定理得出AC ＝EC ，DE ＝DB ，P A ＝PB ，进而求出P A 的长．【解析】∵P A ，PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交P A ，PB 于C ，D ，∴AC ＝EC ，DE ＝DB ，P A ＝PB∵△PCD的周长等于3，∴P A+PB＝3，∴P A=3 2．故选：A．5．（2019•深圳模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（）A．32°B．48°C．60°D．66°【分析】根据切线长定理可知CA＝CD，求出∠CAD，再证明∠DBA＝∠CAD即可解决问题．【解析】∵CA、CD是⊙O的切线，∴CA＝CD，∵∠ACD＝48°，∴∠CAD＝∠CDA＝66°，∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB＝∠CAB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠CAD＝66°，故选：D．6．（2019秋•阜宁县期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9B．7C．11D．8【分析】设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．【解析】设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QF+DQ＝2x＝11．故选：C．7．（2019•宜兴市二模）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D 两点，则△PCD的周长是（）A．10B．18C．20D．22【分析】根据切线长定理得出P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝P A+PB，代入求出即可．【解析】∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝P A+PB＝10+10＝20．故选：C．8．（2018秋•龙岩期末）如图，P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，若∠P ＝40°，则∠P AE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°【分析】由P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，根据切线长定理即可得：CE＝CA，DE＝DB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得∠P AE=12∠PCD，∠PBE=12∠PDC，继而求得∠P AE+∠PBE的度数．【解析】∵P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，∴CE＝CA，DE＝DB，∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，∴∠CAE=12∠PCD，∠DBE=12∠PDC，即∠P AE=12∠PCD，∠PBE=12∠PDC，∵∠P＝40°，∴∠P AE+∠PBE=12∠PCD+12∠PDC=12（∠PCD+∠PDC）=12（180°﹣∠P）＝70°．故选：D．9．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r=√34a D．R=√3 3a【分析】根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得：R ＝2r ；等边三角形的高是R 与r 的和，根据勾股定理即可得到结论．【解析】如图，∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O ，设OE ＝r ，AO ＝R ，AD ＝h ，∴h ＝R +r ，故A 正确；∵AD ⊥BC ，∴∠DAC =12∠BAC =12×60°＝30°，在Rt △AOE 中，∴R ＝2r ，故B 正确；∵OD ＝OE ＝r ，∵AB ＝AC ＝BC ＝a ，∴AE =12AC =12a ，∴（12a ）2+r 2＝（2r ）2，（12a ）2+（12R ）2＝R 2， ∴r =√3a 6，R =√33a ，故C 错误，D 正确；故选：C ．10．（2019秋•锡山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（0，﹣6），⊙P 的半径为2，⊙P 沿y 轴以2个单位长度/s 的速度向正方向运动，当⊙P 与x 轴相切时⊙P 运动的时间为（ ）A ．2sB ．3sC ．2s 或4sD ．3s 或4s【分析】由题意可求OP＝2，分圆心P在x轴下方和x轴上方两种情况讨论可求解．【解析】∵⊙P与x轴相切∴OP＝2当点P在x轴下方，即点P（0，﹣2）∴t=−2−(−6)2=2s当点P在x轴上方，即点P（0，2）∴t=2−(−6)2=4s故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•睢宁县期中）如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，C在AB上，过C的切线分别交P A、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为20．【分析】根据切线长定理求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，代入求出△PDE的周长为2PB，代入即可．【解析】∵P A、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，∴△PED的周长是：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+PE+BE＝P A+PB＝2PB＝20．答：△PED的周长是20．故答案为：20．12．（2019秋•亭湖区校级期中）若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为2或√7−1．【分析】首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE，分两种情况，问题即可解决．【解析】如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；半径为r，连接OD、OF；则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF；∵∠C＝90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD＝CF＝r；①当AC＝8，BC＝6时，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100，∴AB＝10；由切线长定理得：AF＝AE，BD＝BE；∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4，∴r＝2；②当AB＝8，AC＝6，则BC=√82−62=2√7，∴r=12（2√7+6﹣8）=√7−1；它的内切圆半径为2或√7−1．故答案为：2或√7−113．（2019秋•沛县期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝50°，∠C＝60°，则∠EDF＝55°．【分析】连接OE，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝70°，由切线的性质可知：∠OF A＝90°，∠OEA＝90°，从而得到∠A+∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝110°由圆周角定理可求得∠EDF＝55°．【解析】如图所示，连接OE，OF．∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°．∵AB是圆O的切线，∴∠OF A＝90°．同理∠OEA＝90°．∴∠A+∠EOF＝180°．∴∠EOF＝110°．∴∠EDF＝55°，故答案为：55°．14．（2020•铜山区二模）如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB ＝70°，则∠DBI＝55°．【分析】由三角形的内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理可求解．【解析】∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∴∠BID＝∠DBI，∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝70°，∴∠BID＝∠DBI=180°−70°2=55°故答案为：55．15．（2020•青海）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝1．【分析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理可得AB＝5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE＝CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE＝CF＝r，所以AF＝AD＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C＝90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为：1．16．（2020•泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为（2，3）．【分析】根据点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），建立直角坐标系，根据等腰三角形三线合一，利用网格确定△ABC内心的坐标即可．【解析】如图，点I即为△ABC的内心．所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．17．（2020•达州）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，则△ABC的内切圆半径＝1．【分析】由非负性可求a，b，c的值，由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，由面积法可求△ABC的内切圆半径．【解析】∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（√b−1−2）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5，∴r＝1，故答案为：1．18．（2019秋•建邺区期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，以点A为圆心，半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点，过点M作⊙A的一条切线，切点为N，则MN的最小值是√11．【分析】作AD⊥BC于D，过D作⊙A的一条切线，切点为E，连接AE，由等边三角形的性质和勾股定理得出AD=√AB2−BD2=2√3，由切线的性质得出AE⊥DE，由勾股定理求出DE=√AD2−AE2=√11，当点M与D重合时，N与E重合，此时MN最小=√11．【解析】作AD⊥BC于D，过D作⊙A的一条切线，切点为E，连接AE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC＝AB＝4，BD＝CD=12BC＝2，∴AD=√AB2−BD2=√42−22=2√3，∵DE是⊙A的一条切线，∴AE⊥DE，AE＝1，∴DE=√AD2−AE2=√(2√3)2−12=√11，当点M与D重合时，N与E重合，此时MN最小=√11，故答案为：√11．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•拱墅区校级期末）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？【分析】（1）由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD＝30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解．【解析】（1）如图，过A作AD⊥BC于D则AD＝30，BD＝CD＝40，设最大圆半径为r，则S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12(AB+BC+CA)r，解得：r=40 3；（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，∴BD＝CD＝40，AD=√502−402=30，∴O′在AD直线上，连接O′C，在Rt△O′DC中，由R2＝402+（R﹣30）2，∴R=125 3；若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，∴最小为40cm．20．（2019秋•江油市期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．（1）求⊙O半径的长．（2）求证：BC＝BI．【分析】（1）根据AC是⊙的直径，可得∠ADC＝90°＝∠ABC，再根据已知条件证明AB＝BC，根据勾股定理即可求得半径；（2）连结AI，根据I是△ADC的内心．可得∠DAI＝∠CAI，再证明AB＝BI，进而可以证明BC＝BI．【解析】（1）∵AC是⊙的直径，∴∠ADC＝90°＝∠ABC，又∠ADB＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，̂=BĈ，∴AB∴AB＝BC∵AB＝2，∴AC=2√2∴⊙O的半径为√2；（2）连结AI，∵I是△ADC的内心．∴∠DAI＝∠CAI，∠AIB＝∠DAI+∠ADI，∠BAI＝∠BAC+∠CAI，∵∠BAC＝∠ADI，∴∠BAI＝∠AIB，∴AB＝BI，即BC＝BI．21．（2019秋•番禺区期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．【解析】（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC=√AB2−BC2=√132−122=5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．（2）连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．22．（2019•岳池县模拟）如图，P A、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）P A的长；（2）∠COD的度数．【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于P A+PB的结论，即可求出P A的长；（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO 的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．【解析】（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，P A＝PB，∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝P A+PB＝2P A＝12，即P A的长为6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA=12∠ACD；同理：∠ODE=12∠CDB，∴∠OCE+∠ODE=12（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．23．（2018•硚口区模拟）如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥P A，PQ交OC 的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，P A＝AB，且CQ＝6，求BD的长．【分析】（1）欲证明OQ＝PQ，只要证明∠QOP＝∠QPO即可；（2）设OA＝r．在Rt△PCQ中，利用勾股定理构建方程求出r，再证明四边形OPDB是平行四边形，求出OP即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OP．∵P A、PC分别与⊙O相切于点A，C，∴P A＝PC，OA⊥P A，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OP A≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥P A，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍弃），∴OP=√42+82=4√5，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四边形OBDP是平行四边形，∴BD＝OP＝4√5．24．（2020•雨花区校级模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离．【分析】（1）连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，由圆周角定理可得∠ACF＝90°，可得∠F+∠F AC＝90°，由∠EAC＝∠ABC，可得∠EAC+∠F AC＝90°，即可得结论；（2）①由垂径定理可得OD⊥AB，AD＝BD＝8，由勾股定理可求⊙O的半径；②作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，由角平分线的性质可得HM＝HN＝HD，由三角形的面积公式可求HD的值，即可求△ABC的内心到点O的距离．【解析】（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF∵AF 是直径∴∠ACF ＝90°∴∠F +∠F AC ＝90°，∵∠F ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠EAC∴∠EAC ＝∠F∴∠EAC +∠F AC ＝90°∴∠EAF ＝90°，且AO 是半径∴直线AE 是⊙O 的切线．（2）①如图，连接AO ，∵D 为AB 的中点，OD 过圆心，∴OD ⊥AB ，AD ＝BD =12AB ＝8，∵AO 2＝AD 2+DO 2，∴AO 2＝82+（AO ﹣6）2，∴AO =253，∴⊙O 的半径为253；②如图，作∠CAB 的平分线交CD 于点H ，连接BH ，过点H 作HM ⊥AC ，HN ⊥BC ，∵OD ⊥AB ，AD ＝BD∴AC ＝BC ，且AD ＝BD∴CD 平分∠ACB ，且AH 平分∠CAB∴点H 是△ABC 的内心，且HM ⊥AC ，HN ⊥BC ，HD ⊥AB ∴MH ＝NH ＝DH在Rt △ACD 中，AC =√AD 2+CD 2=√82+62=10=BC ， ∵S △ABC ＝S △ACH +S △ABH +S △BCH ，∴12×16×6=12×10×MH +12×16×DH +12×10×NH ， ∴DH =83，∵OH ＝CO ﹣CH ＝CO ﹣（CD ﹣DH ），∴OH =253−（6−83）═5．。

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第3课时切线长定理和三角形的切圆知识点 1 切线长定理1．如图24－2－34，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )图24－2－34A．∠1＝∠2 B．PA＝PBC．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠12．如图24－2－35所示，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )图24－2－35A．4 B．8 C．4 3 D．8 33．如图24－2－36，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )图24－2－36A．50° B．65° C．100° D．130°4．如图24－2－37，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．图24－2－37知识点 2 三角形的切圆5．2017·如图24－2－38，⊙O是△ABC的切圆，则点O是△ABC的( )图24－2－38A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点6．如图24－2－39，点O是△ABC的切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( )图24－2－39A．130° B．120° C．100° D．90°7．如图24－2－40，△ABC的切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．图24－2－408．如图24－2－41所示，O是△ABC的心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( )图24－2－41A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF9．2016·《九章算术》是数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．10．如图24－2－42，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．图24－2－4211．如图24－2－43，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．图24－2－4312．如图24－2－44，已知在△ABC中，∠A＝90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．图24－2－4413．如图24－2－45所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：(1)PA的长；(2)∠COD的度数．图24－2－4514．如图24－2－46所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE 的面积．图24－2－4615．如图24－2－47所示，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AC 为⊙O的直径，PO交⊙O于点E，交AB于点F.(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．(2)若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．图24－2－47教师详解详析1．D2．B [解析] 根据切线长定理，得PA ＝PB. 又∵∠APB ＝60°，∴△ABP 为等边三角形， ∴AB ＝PA ＝8.故选B .3．A [解析] ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°. ∵∠AOB ＝2∠C ＝130°，∴∠P ＝360°－(90°＋90°＋130°)＝50°.故选A . 4．1 [解析] ∵PA ，PB 是⊙O 的两条切线， ∴∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ，∠PAO ＝90°.∵∠APB ＝60°，∴∠APO ＝30°. ∵PO ＝2，∴AO ＝1. 5．B6．A [解析] ∵点O 是△ABC 的切圆的圆心， ∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A ＝90°＋40°＝130°.7．解：根据切线长定理，得AE ＝AF ，BF ＝BD ，CE ＝CD. 设AF ＝AE ＝x cm ，则CE ＝CD ＝(26－x)cm ，BF ＝BD ＝(18－x)cm . ∵BC ＝28 cm ，∴BD ＋CD ＝28 cm ， 即(18－x)＋(26－x)＝28，解得x ＝8， 则18－x ＝10，26－x ＝18，∴AF 的长为8 cm ，BD 的长为10 cm ，CE 的长为18 cm .8．C [解析] 如图，连接OA ，OB ，则OA ，OB 分别是∠CAB 与∠CBA 的平分线，∴∠EAO ＝∠OAB.∵EF ∥AB ，∴∠EOA ＝∠OAB ， ∴∠EOA ＝∠EAO ，∴AE ＝EO.同理可得：FO ＝BF ，∴EF ＝AE ＋BF.故选C .9．6 [解析] 根据勾股定理，得斜边长为82＋152＝17，则该直角三角形能容纳的圆形(切圆)半径r ＝8＋15－172＝3(步)，即直径为6步．10．133[解析] 连接OE ，OF ，ON ，OG ，如图．设MN ＝x ，DN ＝y ，根据切线长定理可得GM ＝MN ＝x ，ED ＝DN ＝y ，AE ＝AF ＝5－y ，FB ＝BG ＝y －1，CM ＝6－(x ＋y)．在Rt △DMC 中，DM 2＝CM 2＋CD 2，即(x ＋y)2＝[6－(x ＋y)]2＋42，解得x ＋y ＝133，即DM ＝133.11．解：(1)证明：如图，连接OB. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA. ∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ， ∴∠OAB ＋∠PAB ＝∠OBA ＋∠PBA ， 即∠PAO ＝∠PBO. ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°，∴∠PBO ＝90°，即OB ⊥PB. 又∵OB 是⊙O 的半径，∴PB 是⊙O 的切线．(2)如图，连接OP.∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∴OP垂直平分线段AB.又∵BC⊥AB，∴PO∥BC，∴∠AOP＝∠ACB＝60°，∴∠APO＝30°，∴OP＝2OA.∵PA＝3，根据勾股定理，得AO＝1，∴⊙O的半径为1.12．解：(1)如图所示，则⊙P为所求作的圆．(2)∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝30°，∴BP＝2AP.设AP＝x，则BP＝2x.由勾股定理，得AB＝BP2－AP2＝（2x）2－x2＝3x. ∵AB＝3，∴3x＝3，解得x＝ 3.∴AP＝3，∴S⊙P＝3π.13．解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线，∴CA＝CE.同理DE＝DB，PA＝PB，∴△PCD 的周长＝PD ＋CD ＋PC ＝PD ＋BD ＋PC ＋CA ＝PB ＋PA ＝2PA ＝12，∴PA ＝6， 即PA 的长为6.(2)∵∠P ＝60°，∴∠PCE ＋∠PDE ＝120°， ∴∠ACD ＋∠CDB ＝360°－120°＝240°. ∵CA ，CE ，DB ，DE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE ＝∠OCA ＝12∠ACD.∠ODE ＝∠ODB ＝12∠CDB ，∴∠OCE ＋∠ODE ＝12(∠ACD ＋∠CDB)＝120°，∴∠COD ＝180°－120°＝60°. 14．解：设DE ＝x cm ，则CE ＝(4－x)cm . ∵CD ，AE ，AB 均为⊙O 的切线， ∴EF ＝CE ＝(4－x)cm ，AF ＝AB ＝4 cm ， ∴AE ＝AF ＋EF ＝(8－x)cm . 在Rt △ADE 中，AE 2＝AD 2＋DE 2， 即(8－x)2＝42＋x 2，解得x ＝3. ∴S △ADE ＝12AD ·DE ＝12×4×3＝6(cm 2)．15．解：(1)∠APB ＝2∠BAC. 理由：∵PA ，PB 为⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB.在等腰三角形APB 中，由“三线合一”，得PF ⊥AB ， ∴∠PFA ＝∠PFB ＝90°， ∴∠APO ＋∠PAB ＝90°. ∵PA 切⊙O 于点A ，实用文档∴PA⊥OA，∴∠BAC＋∠PAB＝90°，∴∠APO＝∠BAC，∴∠APB＝2∠BAC.(2)存在．当四边形PAOB是正方形时，PA＝AO＝OB＝PB＝4，PO⊥AB且PO＝AB，∴12PO·AB＝PA·PB，即12PO2＝PA2，12PO2＝16，∴PO＝4 2.这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于4 2.。

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