切线长定理和三角形地内切圆练习题

第3课时切线长定理和三角形的切圆

知识点 1 切线长定理

1．如图24－2－34，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )

图24－2－34

A．∠1＝∠2 B．PA＝PB

C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1

2．如图24－2－35所示，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )

图24－2－35

A．4 B．8 C．4 3 D．8 3

3．如图24－2－36，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )

图24－2－36

A．50° B．65° C．100° D．130°

4．如图24－2－37，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．

图24－2－37

知识点 2 三角形的切圆

5．2017·如图24－2－38，⊙O是△ABC的切圆，则点O是△ABC的( )

图24－2－38

A．三条边的垂直平分线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

6．如图24－2－39，点O是△ABC的切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( )

图24－2－39

A．130° B．120° C．100° D．90°

7．如图24－2－40，△ABC的切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．

图24－2－40

8．如图24－2－41所示，O是△ABC的心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( )

图24－2－41

A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF

C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF

9．2016·《九章算术》是数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．

10．如图24－2－42，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．

图24－2－42

11．如图24－2－43，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.

(1)求证：PB是⊙O的切线；

(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．

图24－2－43

12．如图24－2－44，已知在△ABC中，∠A＝90°.

(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；

(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．

图24－2－44

13．如图24－2－45所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.

求：(1)PA的长；

(2)∠COD的度数．

图24－2－45

14．如图24－2－46所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE 的面积．

图24－2－46

15．如图24－2－47所示，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，AC 为⊙O的直径，PO交⊙O于点E，交AB于点F.

(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由．

(2)若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．

图24－2－47

教师详解详析

1．D

2．B [解析] 根据切线长定理，得PA ＝PB. 又∵∠APB ＝60°，∴△ABP 为等边三角形， ∴AB ＝PA ＝8.故选B .

3．A [解析] ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°. ∵∠AOB ＝2∠C ＝130°，∴∠P ＝360°－(90°＋90°＋130°)＝50°.故选A . 4．1 [解析] ∵PA ，PB 是⊙O 的两条切线， ∴∠APO ＝∠BPO ＝1

2∠APB ，∠PAO ＝90°.

∵∠APB ＝60°，∴∠APO ＝30°. ∵PO ＝2，∴AO ＝1. 5．B

6．A [解析] ∵点O 是△ABC 的切圆的圆心， ∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝1

2

∠ACB ，

∴∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋1

2∠A ＝90°＋40°

＝130°.

7．解：根据切线长定理，得AE ＝AF ，BF ＝BD ，CE ＝CD. 设AF ＝AE ＝x cm ，则CE ＝CD ＝(26－x)cm ，BF ＝BD ＝(18－x)cm . ∵BC ＝28 cm ，∴BD ＋CD ＝28 cm ， 即(18－x)＋(26－x)＝28，解得x ＝8， 则18－x ＝10，26－x ＝18，

∴AF 的长为8 cm ，BD 的长为10 cm ，CE 的长为18 cm .

8．C [解析] 如图，连接OA ，OB ，则OA ，OB 分别是∠CAB 与∠CBA 的平分线，∴∠EAO ＝∠OAB.