第二章 共轴球面系统(二)
工程光学复习
Fo'
Fe
§7.4 望远镜系统
一、视觉放大率
? ? ? f o? f e?? ? D D? 二、望远镜系统的分辨率和工作放大率
a 140?? ?? ?
fo? D
? ? ? min =60″
0.85a 120??
??
?
fo?
D
? 工作放大率：? =D
三、望远镜的光束限制和视场计算
h1 h2
108
18 lz'
二. 具有不同方向主截面的平面系统
复合棱镜：各光轴截面内均适用。 各主截面分别判断
光学系统中，要同时考虑透镜和棱镜的成像特性。
§4.4 折射棱镜与光楔
? 光路对称于折射棱镜时，偏向角 ?极小。?m：
sin ? ? ? m ? n sin ?
2
2
? 棱镜的色散：同一介质对不同波长的单色光具有不同折射率。
② |?|>1 时，|y'| > |y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 ③ ? >0, 当物点沿轴向移动时，其像点沿光轴同向移动； ④ ? ≠? , 空间物体成像时要变形。 ⑤ ? 表示折射球面将光束变宽或变细的能力，只与共轭点的
位置有关，与光线的孔径角无关。
?
?
y? ?
nl?
y n ?l
? ? n?? 2
单 色 像 差
细光 束像 散
远轴物点细光束成像， 像分散为两个像
不同位置的像 截面形状不一 样
细光 束场 曲
轴外物点的像，位置随 视场而变，且偏离高斯 像面
平面物成弯曲 像面
轴 向
晰 度 选择光阑位置，双分离透
镜
视场
厚透镜，像散过校正
第二章_共轴球面系统的物像关系
uk
u1 , h1 解法二
u ' n' un
' un
l1
解法三
h n' n r
' un 1 un
' ' un , ln
' un 1 un ' ln 1 ln d n
ri ' u'
同样可得：
l' r
l 'u ' u ' i ' r
' 显然 h lu l 'u,代入上式，并在第一式两边同乘以n， 第二式两侧同乘以n '
nh nu ni r
n' h n' u ' n' i ' r
将以上二式相减，并考虑到
n sin I n' sin I '
d—由前一面顶点算起到下一面顶点。
2．角度： 一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始轴： U、U'—由光轴起转到光线； I、I'—由光线起转到法线； ψ—由光轴起转到法线，
应用时，先确定参数的正负号，代入公式计算。 算出的结果亦应按照数值的正负来确定光线的相对位置。 推导公式时，也要使用符号规则。
注意 为了使导出的公式具有普遍性，推导公式时，几何 图形上各量一律标注其绝对值，永远为正
反射情形 看成是折射的一种特殊情形： n’= －n 把反射看成是n’= －n 时的折射。 往后推导公式时，只讲折射的公式；对于反射情形， 只需将n’用－n代入即可，无需另行推导。
Q
P
I
I’
-U A O φ C Uˊ Aˊ
l ' f (n, n' , r , l )
工程光学第2章复习资料解读
南京信息工程大学电科系
6
符号规则
（一）光路方向
从左向右为正向光路，反之为反向光路。
正向光路 反向光路
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（二）线段
1. 沿轴线段：从起点（原点）到终点的方向与光 线传播方向相同，为正；反之为负。 即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。
原点
+
-
原点
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南京信息工程大学电科系
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§2-1 符号规则（§2-2）
若干概念与术语
n E h n’ C
O
r
※ O：顶点。
※ C：球面曲率中心。
※ OC：球面曲率半径, r。
※ OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n’ 的分界面。
※ h：光线投射高度。
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南京信息工程大学电科系
3
n A O
E h r
n’ C
B I -U O -L h r L’ E I’ φ U’
y
A
C
A’
-y’ B’
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南京信息工程大学电科系
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练习：试用符号规则标出下列光组 及光线的位置
（1）r = -30mm, L = -100mm, U = -10°
（2）r = 30mm, L = -100mm, U = -10°
第二章 共轴球面系统的物像关系
2019/3/3
南京信息工程大学电科系
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光轴 如果光学系统的所有界面均为球面，则称为球面系 统。各球面球心位于一条直线上的球面系统，称为共轴 球面系统。连接各球心的直线称为光轴。光轴与球面的 交点称为顶点。 光线经过光学系统是逐面进行折射的，光线光路计 算也应逐面进行。先对单个折射球面进行讨论，再过渡 到整个系统。透镜是构成光学系统最基本的成像元件， 它由两个球面或一个球面和一个平面所构成。光线在通 过透镜时会在这些面上发生折射。平面可以看做曲率半 径r→∞的特例，反射则是折射在n’=-n时的特例。所 以研究单个折射球面的光路计算具有普遍意义。
7-4共轴球面系统 (2)
二、拉赫不变量－共轴球面光学系统
由折射球面的拉赫不变量有 n1y1u1＝n1’y1’u1’ n2y2u2＝n2’y2’u2’
……
nmymum＝nm’ym’um’
由转面公式可得
nyu ＝n1y1u1 ＝n2y2u2＝……＝nmymum＝n’y’u’
1、垂轴放大率－放大率
b
y' y b 1b 2 b m
§7.4 共轴球面光学系统
一、转面公式 二、拉赫不变量 三、放大率公式 1、垂轴放大率 2、轴向放大率 3、角放大率 四、一般光路计算列表
例题与作业
一、转面公式－共轴球面光学系统
• 成像时涉及的参量
(1) 光学系统参量 (a) 各球面的曲率半径： r1，r2，……，rm； (b) 各球面两侧的折射率： n1，n1’，n2，n2’，……，nm，nm’； (c) 相邻两球面顶点的间距： d1，d2，……，dm-1。 (2) 物像参量 (a) 物像高度： y1，y1’，y2，y2’，……，ym，ym’； (b) 物像距： l1，l1’，l2，l2’，……，lm，lm’。 (3) 光线参量 孔径角： u1，u1’，u2，u2’，……，um，um’。
(3) ＝v’// /v//。
3、角放大率－放大率
u' u 1 2 m
三种放大率的关系
n' n n
b
2
n' b
b
四、一般光路计算列表－共轴球面光学系统 球面1(i=1) 球面2 (i=2) 球面i 球面k (i=m)
ni ni’ ri di Li L1【L】 L2 － ri Li－ri × sinUi sinU1【 sinU】 sinU2 ÷ ri sinIi × ni ÷ ni ’ sinIi’ × ri ÷ sinUi’ + ri Li’ L1’ L2’ － di d1 d2 Li＋1 L2 L3
第2章 共轴球面系统的物像关系
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
球面和共轴球面系统培训课件
三角形AEC中应用正弦定律有： sin I sin(U )
rL
r
由此推出入射角I公式：sin I L r sinU r
再由折射定律可以求得折射角I '的公式：sin I ' n sin I n'
由图可知：＝U I U ' I ', 所以有：U ' U I I '
在三角形A ' EC使用正弦定律得： sin I ' sinU '
L ' r
r
则像方截距为： L ' r r sin I ' sinU '
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
当物在无限远时， L = −∞，设一条光 线平行于光轴入射，入射高度为，则 有：
物体位于无限远 处
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
❖ 由上面提供旳公式，我们能够由已知旳L和U求出L’和 U’。
❖ 1）求高斯像面旳位置； ❖ 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位
置；
❖ 3）当入射高度为h=10mm，问光线旳像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 阐明什么问题？
2.3 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一种基本成像元件 （反射镜例外，能够单面成像），基本成像元件 是至少两个球面或非球面所构成旳透镜。大部分 透镜都由球面构成，加工以便，成本降低。
❖ 课后习题： 2.2、2.3、2.4、2.5、2.6、2.7、2.8、
2.9 。
2、
n ' u '- nu n ' n h
r
该公式表达近轴光折射前后旳孔径角u和u’之间旳关系。
第二章球面和共轴球面系统分析
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
应光第二章 球面系统 答案
第二章球面和共轴球面系统2。
1某一透镜结构参数如下：r/mm d/mm n100300 1.5∞当l=-∞时，求l',在第二个面（平面）上刻十字线，试问通过球面的共轭像在何处？当入射高度h=10mm时，实际光线和光轴的交点应在何处？在高斯面上的交点高度是多少？这个值说明了什么问题?l’=299。
解:l’=0，在第二面上十字线其共轭像在无限远。
H=10mm，实际光线与广州交点133203mm，这说明了该光线经球面折射后不交于锦州光像点，所以一个物点得到的像是一个弥散斑。
2.2一个玻璃球的直径为400mm，玻璃折射率n=1.5,球中有两个小气泡，一个正在球心,另一个在1/2半径处，沿两气泡的连线方向在球的两边观察两个气泡,它们应在什么位置？如果在水中（n=1.33）观察。
则它们应在什么位置?解：设一个气泡在中心处，另一个在第二面和中心之间.（1）从右侧观察时，如图a:a b（2）从左侧观察时如图b：(3）在水中时: 中心气泡所成像： ，n ’=1。
33 n=1。
5，r=200mm ，l=200mm 得到：l'=200mm 仍在圆心处1/2半径处气泡所成像：，n ’=1。
33 ，n=1.5，r=200mm ，l=100mm 时 ， l ’=94mml=—300mm 时 ， l'=—320mm2.3一个玻璃球直径为60mm ，玻璃折射率n=1.5,一束平行光射在玻璃球上,其会聚点应在什么位置？解：首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式：由 1n '=1。
5 1r =30mm 1n =1 1l =∞得到:1l '=90mm对于第二面，d=60mm ，2l =1l '—d=30mm由 22'222'22'r n n l n l n -=- 2n =1。
5 2n ’=1 2r =-30mm 1n =1 2l =30mm 得到：2l ’=15mm会聚点位于第二面后15mm 处.2。
应用光学【第二章】复习
第二章共轴球面系统的物像关系本章内容：共轴球面系统求像。
由物的位置和大小求像的位置和大小。
φ U ˊ - UO C A A ˊ n n ˊ P- LrL’II’Q1. 符号规则反射情形看成是折射的一种特殊情形：n’= －n把反射看成是n’= －n 时的折射。
往后推导公式时，只讲折射的公式；对于反射情形，只需将n’用－n代入即可，无需另行推导。
（1） 物像位置关系式rn n l n l n -=-'''2. 近轴光学的基本公式（2） 物像大小关系式这就是物像大小的关系式。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
对由若干个透镜组成的共轴球面系统，逐面应用公式就可以求得任意共轴系统所成的近轴像的位置和大小。
l n nl y y '''==β3. 共轴理想光学系统的基点——主平面和焦点近轴光学基本公式的缺点：物面位置改变时，需重新计算，若要求知道整个空间的物像对应关系，势必要计算许多不同的物平面。
已知两对共轭面的位置和放大率，或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上的两对共轭点的位置，则其任意物点的像点就可以根据这些已知的共轭面和共轭点来求得。
光学系统的成像性质可用这些基面和基点求得最常用的是一对共轭面和轴上的两对共轭点。
（1） 放大率β=1的一对共轭面——主平面rn n l n l n -=-'''l n nl y y '''==β不同位置的共轭面对应着不同的放大率。
放大率β=1的一对共轭面称为主平面。
物平面称为物方主平面，像平面称为像方主平面。
两主平面和光轴的交点分别称为物方主点和像方主点，用H 、H’表示，H 和H’显然也是一对共轭点。
主平面性质：任意一条入射光线与物方主平面的交点高度和出射光线与像方主平面的交点高度相同（2）无限远轴上物点和它所对应的像点F’——像方焦点rn n l n l n -=-''' 当轴上物点位于无限远时，它的像点位于F’处。
第二章 球面和球面系统
符号规则是人为规定 的，一经定下，就要 严格遵守，只有这样 才能导出正确结果
不同版本的书符号规则可能不同，使用公 式时必须要注意。
二.光线经折射球面的光路计算公式
1、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一 同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线， 分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和 像方倾斜角U’ ） 2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
与单个折射球面一样有如下关系：
对于拉赫不变量：
J n1u1 y1 n2u2 y2 nkuk yk nk ' uk ' yk '
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
lr u r n i' i n' i
u' u i i'
l ' r( 1 i' ) u'
（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
若β＜０，成倒像 ，l 和 l '异号。对实物成实像， 对虚物成虚像。
工程光学 章节2 球面系统
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
理想光学系统
3、入射光为平行光
在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物方光轴上无限远 处，这时可认为由物体发出的光束是平行于光轴的平行光束，
即L=-∞，U=0，入射角应按下式计算：
sin I h r
三 、近轴光线的光路计算
结论：
2）垂直于光轴的平面物所成的共轭平面像的几何 形状与物相似；
3）如果已知两对共轭面的位置和放大率，或者已知 一对共轭面的位置和放大率以及光轴上的两对共 轭点的位置，则其它的一切物点的像点都可以根据 这些已知的共轭面和共轭点确定。
2.1 光路计算与近轴光学系统
光路计算的依据：
以理想像成像性质为基础； 沿着任意一条光线的踪迹可以找到其共轭光线。
转面公式：
u2 u`1 l2 l`1d1
作业：
p47： 1
• 问题：u 0的光线是不是近轴光线
常用近轴光学基本公式：
n
U
Aห้องสมุดไป่ตู้
L
IE
n
h
I＇
U＇
O
C
r
L＇
如图中，h满足： l`u` lu h
由近轴光线公式可得： n`u`nu n`n h
r
或者，
n` n n`n l` l r
（2－11） （公式二）
2）当β＞0, l′和l同号，表示物和像处于球面的同侧， 物像虚实相反，即：实物成虚像，虚物成实像。
3）当β<0, l′和l异号，表示物和像处于球面的两侧， 物像虚实相同，即：实物成实像，虚物成虚像。
一、基本概念
n
I E
n
h
I＇
U
U＇
第二章 球面与共轴球面系统
n′ − n h c： n ′u ′ − nu = ： r
d:
n′ n n′ − n − = l′ l r
(u′、u关系 、 关系 关系) （常用的物象位置关系） 常用的物象位置关系）
§ 2－2 单个折射球面的成像放大率、拉赫不变量 － 单个折射球面的成像放大率、
B y -u A O C E n h u′ n′
§ 2－3 共轴球面系统 －
探讨方法— 探讨方法 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 、 用于各个折射面，分别求出各面的 、 u′、l 、 l′、 、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 、 、 、 。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 转面公式 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 1. 共轴球面系统的结构参量： 共轴球面系统的结构参量： 各球面半径： 各球面半径：r1 、 r2 …… rk-1 、 rk 相邻球面顶点间隔： 相邻球面顶点间隔：d1 、 d2 …… dk-1 各球面间介质折射率： 各球面间介质折射率：n1 、 n2 …… nk-1 、 nk 、nk+1
2. 转面公式
原则： 原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间 n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′ ， u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′ ， y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′ ， l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1 h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′ 各面近轴光线成像公式： ′ 各面近轴光线成像公式： nk nk n′ − nk − = k ′ lk lk rk
共轴球面系统主平面和焦点位置的计算
共轴球面系统是一种通过两个球面透镜组合在一起形成的光学系统。
在共轴球面系统中，两个球面透镜的曲率半径和相对位置都对系统的成像性能产生重要影响。
本文将重点讨论共轴球面系统中主平面和焦点位置的计算方法。
一、共轴球面系统主平面的计算在共轴球面系统中，由于两个球面透镜的共轴排列，主平面的计算相对较为复杂。
在实际计算中，可以采用以下步骤进行推导和计算：1. 根据两个球面透镜的曲率半径R1和R2，以及两个球面透镜的相对位置d，首先计算出两个球面透镜之间的等效焦距Feq。
等效焦距Feq的计算公式为：Feq = (R1 * R2) / ((n - 1) * d)其中，n为介质的折射率。
2. 接下来，根据等效焦距Feq和两个球面透镜的位置，计算出主平面的位置H。
主平面的位置H的计算公式为：H = d * (Feq - (R1 + R2)) / Feq3. 根据主平面的位置H和两个球面透镜的位置，计算出主平面的曲率半径R。
主平面的曲率半径R的计算公式为：R = Feq * (1 + (H / d))通过以上步骤的计算，可以得到共轴球面系统中主平面的位置和曲率半径，为系统的设计和分析提供了重要的参数。
二、共轴球面系统焦点位置的计算在共轴球面系统中，焦点位置的计算也是系统设计和分析中的重要一环。
在实际计算中，可以采用以下步骤进行推导和计算：1. 根据两个球面透镜的曲率半径R1和R2，以及两个球面透镜的相对位置d，计算出系统的等效焦距。
系统的等效焦距F的计算公式为：F = (R1 * R2) / ((n - 1) * d)2. 根据等效焦距F和两个球面透镜的位置，计算出系统的合焦位置。
系统的合焦位置的计算公式为：S = F * (1 - (d / Feq))通过以上步骤的计算，可以得到共轴球面系统的焦点位置，为系统的成像性能和光学设计提供了重要的参数。
结论共轴球面系统的主平面和焦点位置的计算是系统设计和分析中的关键步骤。
工程光学第二章知识点
第二章共轴球面光学系统第一节符号规则●常见的光学系统有多个光学零件组成，每个光学零件往往由多个球面组成●这些球面的球心在一条直线上即为“共轴球面系统”●这条直线称为“光轴”●折射球面的结构参数：曲率半径r、物方折射率n、像方折射率n'●入射光线的参数：物方截距L、物方孔径角U●像方量在相应的物方量字母旁加“ ’ ”区分●光线的传播方向为自左向右●规定符号规则如下：●1）沿轴线段（如L、L’和r）●以顶点为原点，与光线方向相同为正，相反为负●2）垂轴线段（如h、y和y’）●以光轴为基准，光轴以上为正，以下为负●3）光线与光轴的夹角（如U、U’）●光轴转向光线；角量均以锐角计、顺时针为正、逆时针为负●4）光线与法线的夹角（如I、I’、I”）●光线转向法线●5）光轴与法线的夹角（如φ）●光轴转向法线●6）折射面间隔d●前一面顶点到后一面顶点，与光线方向相同为正，相反为负；在折射系统中，d恒为正●物方截距、像方截距、物方孔径角、像方孔径角等物理量是可以有正负的，但作为几何量AO、OA’、∠EAO、∠EA’O等应为正值；在负值物理量前加负号，以保证相应几何量为正●根据物像的位置判断物像的虚实●负（正）物距对应实（虚）物●正（负）像距对应实（虚）像第二节物体经过单个折射球面的成像1，单球面成像的光路计算已知折射球面的结构参数曲率半径r ，物方折射率n ，像方折射率n ’已知入射光线AE 的参数物方截距L ，物方孔径角U （轴上物点）求出射光线参数像方截距L ’，像方孔径角U ’（轴上像点）光路计算2在ΔAEC 中用正弦定律，有 sin sin()I U r L r -=-导出求入射角I 的公式sin sin L r I U r -=（2-1）由折射定律可以求得折射角I ’sin sin n I I n '=='（2-2）由角度关系，可以求得像方孔径角U ’U U I I ''=+-（2-3） 在ΔA ’EC 中应用正弦定律，得像方截距L ’ sin sin I L r r U ''=+' （2-4）式（2-1）至（2-4）就是子午面内实际光线的光路计算公式，利用这组公式可以由已知的L 和U 求L ’和U ’ sin sin L r I U r -= sin sin n I I n '=='U U I I ''=+-sin sin I L r r U ''=+'当物点A 位于轴上无限远处时，相应的L=∞，U=0，则式（2-1）须改变为sin hI r =（2-5）●若L 是定值，L ’是U 的函数，即从同一点发出的光线，孔径角不同，将在像方交在不同的点上 ● 同心光束经过单球面后不再是同心光束●这种误差被称为“球差” ●球差是各种像差中最常见的一种●如果把孔径角U 限制在很小的范围内，光线距光轴很近，称为“近轴光”，U 、U ’、I 和I ’都很小，式（2-1）~（2-4）中的正弦值用弧度来表示 ● 用小写字母u 、u ’、i 、i ’、l 和l ’表示近轴量● l r i u r n ii n u u i i i l r r u -='='''=+-''=+'（2-6）~（2-9） ● 当入射光线平行于光轴时，也以h 作为入射光线的参数，有●h i r =（2-10） ●近轴光线l ’与u 无关，即当物点位置确定后，其像点位置与孔径角u 无关，物点发出的同心光束经折射后在近轴区仍为同心光束 ●在近轴区成的是完善像，这个完善像通常称为“高斯像” ● 近轴区最常用的物像位置公式●n n n n l l r ''--='（2-14） ●已知物点位置l 求像点位置l ’时（或反过来）十分方便 ●1、轴上物点：轴上同一物点发出的近轴光线，经过球面折射以后聚交一点，即轴上物点近轴成像时是符合理想成像条件的。
工程光学第二章
近轴区的特点
l u lu h
和 （1）-（4）式说明：
对于一个确定位置的物体，无论 u 为何值，l’ 均为定值，即近轴光路
能获得唯一像。即： l’ 与 u 无关，与 l 有关。 证明做为作业
近轴区内以细光束成像都是完善的，该像称为高斯像，通过高斯像点且垂
直于光轴的平面称为高斯像面，A 与 A’ 点称为共轭点。
练习：推倒垂轴放大率公式，寻找 p17推倒中的错误
近轴区成像的放大率和传递不变量 轴向放大率
dl nl 2 n 2 2 dl nl n
两放大率关系
α 恒为正，物点沿轴向移动时，其像点沿同方向
移动。
近轴区成像的放大率和传递不变量 角放大率
u l n n' l n 1 u l n' nl n'
物方焦距
例题
已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它 发出一同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线，分别求它们经折射球面后的 光路。（即求像方截距L’ 和像方倾斜角U’ E n n’ ）
A O -240mm C
U U I I
l r i u r n l r i i u n r
第四式 轴上点 无限远
h r n l r i i u n r i
u u i i
i l r (1 ) u
u u i i
l r (1 i ) u
第二章：共轴球面光学系统
2.1 基本概念与符号规则 2.2 单个折射球面成像
2.3 单个反射球面成像 2.4 共轴球面光学系统成像
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共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
n1 n1
n'k
球面反射镜
n' n
n' n n'n l' l r
11 2 l' l r
第二章 共轴球面系统
大纲要求
[内容] 球面和共轴球面系统 符号规则 球面反射镜
[目的要求] 掌握单球面折射时近轴区光路计算公式和放大率计算公式 掌握笛卡儿符号规则 [时间] 4学时 [教学方法]课程讲授
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率——横向放大率 Transverse magnification
ß﹥0，表示成正像，物像位于折射面的同侧，物 像性质相异
︱ß︱﹤1, 为缩小的像；︱ß︱﹥ 1, 为放大的像
近轴区的放大率----轴向放大率 axial magnification
定义：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系。 当物体沿光轴有一微小位移时，其像也将发生变化
公式： dl'
l2 1
1（倒立）
折射球面2第二次成像，以顶点O2为基准点，利用物像公式：
n2 n2 n2 n2
l'2 l2
r2
其中，l2 20cm ，n'2 1.00 ，n2 1.50 ，r2 10cm
解得
l'2 8cm （最终像，实像）
2
n2l'2 n'2 l2
0.6（正立）
最终像高：
y' 12 y 0.6mm
共轴球面系统的过渡公式（2）
物像高度
y2 y'1 , y3 y'2 , yk y'k1
截距
l2 l'1d1,l3 l'2 d2,lk l'k1dk1
共轴球面系统的过渡公式（3-1）
n'u'nu n'n h
h?
r
u2 u'1 ,u3 u'2 ,uk u'k1
×
l2 l'1d1,l3 l'2 d2,lk l'k1dk 1
l’2
l2
-l
l’1
解： 折射球面1第一次成像，以顶点O1为基准点，利用物像公式：
n1 n1 n1 n1
l'1 l1
r1
其中，s1 20cm ，n'1 1.50 ，n1 1.0，r1 5.0cm
解得
s'1 30cm
（中间像，实像）
l’2
利用横向放大- 率l 公式
1
n1s'1 n'1 sl1’1
得 :l' 15cm
nl' 3
n'l 4
n' 2 3
n4
1
例题2. 置于空气中的一粗圆玻璃棒，折射率为1.50，将其左、 右两端分别磨成半径为5.0cm、 10cm的半球面，构成一个双 凸厚透镜，其厚度为10cm。今有一高为1mm的垂轴小物正立 于透镜左半球面顶点左方20cm处。试求最终像的位置并判断 最终像的性质。
n' 2
n
物体为立方体，由于两放大率不同，像不再 是立方体，因此折射球面不可能获得与物体 相似的立体像
轴向放大率总是正值，物体沿光轴移动，其 像也同方向移动
轴上有限距离的轴向放大率
n' n
1
2
A1 A2 -l2
-l1 n
A’2 A’1
l’2 l’1
n’
近轴区的放大率----角放大率
Angular magnification
定义：一对共轭光线与光轴的夹角的比 值。
公式： u'
u
近轴区的放大率----角放大率
u'
u
lu l'u' h
u' l
u l'
近轴区的放大率----角放大率
n n' l n n'l n 1 n' n l' n' nl' n'
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
n
( n' 2 )( n 1 ) n n'
dl
近轴区的放大率----轴向放大率
n' n n'n 进行微分 l' l r
n'dl' l'2
ndl l2
0
dl' dl
nl'2 n'l 2
横向放大率和轴向放大率的关系
dl' dl
nl'2 n'l 2
n
n'
n n'
nl'2 n'l 2
( nl' )2 n'l
2
n' 2
n
横向放大率和轴向放大率的关系
共轴球面系统
共轴球面系统的结构参量
各个折射面的曲率半径：
r1、r2、………rk
各球面顶点的间距：
d1、d2、………dk-1
各球面之间的介质折射率：
n1、n2、………nk+1
共轴球面系统的过渡公式（1）
折射率
n2 n'1 , n3 n'2 ,nk n'k1
孔径角
u2 u'1 ,u3 u'2 ,uk u'k1
h2 h1 d1u'1 , h3 h2 d2u'2 , hk hk1uk1 dk1uk1
共轴球面系统的拉赫不变量
nuy n'u' y' J n1u1y1 n2u2 y2 ,nkuk yk nk'uk' yk' J
共轴球面系统的放大率
12 k 12 k 1 2 k
nl' l' r n' l l r
y' l'r y lr
y' nl'
y n' l
近轴区的放大率
---- 横向放大率
y' nl'
y n'l
ß取决于介质的折射率和物体的距离，与物体的大 小无关
对于一对确定的共轭面， ß为一常数 ß﹤0，表示成倒像，物像分居折射面的两侧，物
像性质相同