第六讲不重复的路——一笔画问题

A
D C
-
B
跑蚂 蚁 赛
一只红蚂蚁和一只黄蚂蚁比赛 看谁能爬过所有的棱线，最终 到达终点D.已知它们的爬速相 同，哪只蚂蚁能获胜？
-
分析：
图中只有两 个奇点，可 以一笔画。 即可以不重 复的走遍每 一条棱线。
红蚂蚁获胜！
但是只有 从奇点出 发才能一 笔画，所 以红蚂蚁 选对了出 发点哦！
-
欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何 图形（如下图）能否一笔画出的问题了.
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欧拉
• 把河的两岸、两个小岛看成四个点 • 把七座桥看成是七条线 • 转化成数学模型后如图所示
（2）凡只有两个奇点的图形，一定可以一笔画成。 画时要以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
（3）奇点为1个或超过两个的图形就不能一笔画成。
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判断下列图形能否一笔画成，再试着画一画。
偶点
偶点
不连通
偶点
偶点
偶点偶点
奇点
偶点
偶点 偶点
奇点
偶点
偶点
偶点
奇点
奇点 偶点 偶点 奇点 偶点 奇点
-
故事发生在18世纪的 哥尼斯堡城.流经那里 的一条河中有两个小 岛，还有七座桥把这 两个小岛与河岸联系 起来，
能一笔画成。从一个奇点出发，到 另一个奇点结束。
-
下图能一笔画出来吗？如果能该怎么画？
图中12个交点都是偶点。
能一笔画成。从任一个偶点出发， 还到这个偶点结束。
起点 终点
起点 终点
-
一个连通的图形，我们要根据图形中奇点的个数 来判断能否一笔画成：
（1）凡没有奇点，只有偶点的图形，一定可以一笔 画成。画时可从任意偶点起笔，最后仍回到这点。
那里风景优美，游人众多.在这美丽的地方，人们议论 着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次 走遍七座桥，最后又回到出发点呢？
能不能既不重 复又不遗漏地 一次相继走遍
这七座桥？
-
能不能既不重 复又不遗漏地 一次相继走遍
这七座桥？
①
⑥
②
⑤
⑦
③ ④
-
直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才 证明了这个问题的不可能性。
保持笔尖不离开纸， 描出图中每一条线， 且每条线只能描一
次。
-
“乡村少年宫” 兴趣数学班第六讲
从图形上某一点出发，连续不断又不重复 ，一笔画 成某种图形，这种图形就叫一笔画。
下面的图形能一笔画成吗？
为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不 能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点? 研究一笔 画问题，先要了解图形的特点。
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任何图形都是由点、线组成.图形中的点可以分 为偶点和奇点两大类。
从一个点出发的线的数量 是偶数的叫偶点。
从一个点出发的线的数量 是奇数的叫奇点。
A A是偶点。 B B是奇点。
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下面哪些是奇点，哪些是偶点？
1.奇点 4. 奇点
2.偶点
偶3.偶点
偶
偶
5.偶点 奇
奇
-
活动： 以同桌为单位，讨论下列图形的单数点、双数点的
个数，试试能不能一笔画成，完成表格。
-
图形
单数点个数 双数点个数
0
4
是否是 一笔画
√
0
3
√
2
1
√
2
2
√
2
4
√
4
0
×
Leabharlann Baidu起点、终点
A、B、C、D
A、B、C
以A、D为起 点、终点
以B、D为起 点或终点
以F、C为起 点、终点
4
5
×
下图能一笔画出来吗？如果能该怎么画？
图中共有4个交点，其中2个偶点， 2个奇点。