图论部分小结 北京科技大学解析

重要概念：
平面嵌入、平面图、对偶图、G的色数(G)=k、面色数、边 色数 重要定理：
•K5, K3,3都不是平面图 •设G G，若G为平面图，则G 也是平面图
•设G G，若G 为非平面图，则G也是非平面图
•定理17.4 平面图各面次数之和等于边数的两倍. •定理17.7 设G为n（n3）阶极大平面图，则G的每个面的次数均为3.
平面图的着色定理
定理17.21 (G)=4. 若G为奇圈或奇阶轮图，则 (G)=3 ，若G为偶阶轮图，则
定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
重要题型
1.求G的一个平面嵌入；重新画出它的平面嵌入 2.判断/证明给定平面图G不是极大平面图。
3.前面重要定理的综合应用
如：设G为8阶极大平面图，求G的面数r。
2．无向哈密顿图的必要条件
定理 15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且V1，均有
p(GV1) |V1| 推论 设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1V且V1均有
p(GV1) |V1|+1
3．无向哈密顿图的一个充分条件
定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj) n1 则G中存在哈密顿通路. ()
4.非平面图的判断
5. 平面图着色定理的简单应用
如：某校计算机系三年级学生在本学期共选6门选修课Ci, i=1, 2, …, 6. ……
i 1 i 1 n d ( v ) d i (v i ) m i 1 i 1 n n n
推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数。
重要题型
1.握手定理及其推论的应用 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余顶点度数 均小于3，问G的阶数n为几？ 2.可图化的与可简单图化的非负整数列 定理14.3 设非负整数列d=(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当 且仅当
欧拉公式及其推广
百度文库
定理17.8 设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则nm+r=2（此公式 称为欧拉公式）
定理17.9 （欧拉公式的推广）设G是具有k（k2）个连通分支的平面 图，则nm+r=k+1 (非)平面图的判定（库拉图斯基定理 ） 定理17.14 设G为简单平面图，则(G)5. 定理17.15 G是平面图 G中不含与K5或K3,3同胚的子图. 定理17.16 G是平面图 G中无可收缩为K5或K3,3的子图
例 在通信中，八进制数字出现的频率如下：
0：25% 2：15% 1：20% 3：10%
5.简单证明题
4：10%
6：5%
5：10%
7：5%
求传输它们的最佳前缀码，并求传输10n（n2）个按上述比例出现的八 进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的（长为3）的码字传输需要 多少个二进制数字？
知识点
CH17 平面图与图的着色
d
i 1
n
i
0 mod 2
定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则△(G)≤n-1. 3.画低阶的满足既定条件的所有非同构的无(有)向简单图。
数组2, 2, 2, 2, 3, 3能简单图化吗？若能，画出尽可能多的非 同构的图来.
4. 有向图邻接矩阵的应用
形如：给定某有向图D，求A, A2, A3, A4，并回答诸问题： （1）D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？ （2）D中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？ （3）写出D的可达矩阵。
推论 设G为n（n3）阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶 点vi,vj，均有
d(vi)+d(vj) n （）
则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.
重要题型
1.欧拉图的判断（简单图形） 如课本习题1 2.哈密顿图的应用 如：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7人中的4 人有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就座， 使得每个人都与两边的人交谈？
5.求图的度
知识点
CH15 欧拉图与哈密顿图
重要概念：
一笔划问题：欧拉回路、欧拉图
周游世界问题：哈密顿图、哈密顿回路
重要定理：无向(半)欧拉图的判别定理
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点. 定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶 点. 定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干个边 不重的圈之并
知识点
重要概念：
CH16 树
基本回路系统与基本割集系统、r叉完全正则有序树、根树、 避圈法 、Huffman 算法 重要定理：无向图的性质定理
定理16.1 设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等 价的： （1）G是树 （2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径. （3）G中无回路且m=n1. （4）G是连通的且m=n1.
（5）G是连通的且G中任何边均为桥.
（ 6 ） G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一 条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.
重要题型
1.解无向树与画非同构的无向树
例 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树叶，试 求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树.
2.求基本回路系统与基本割集系统 3.用避圈法求带权图的最小生成树 4.用Huffman算法求最优树/产生最佳前缀码
图论部分小结
CH14 图的基本概念 CH15 欧拉图与哈密顿图
CH16 树
CH17 平面图与图的着色
CH14 图的基本概念
知识点 重要概念：简单图、完全图、正则图、子图、补 图、通路、初级回路、圈、二部图、桥、割点 重要概念：同构图、邻接矩阵(有向图)
重要定理：握手定理及其推论
无向图： d (vi ) 2m 有向图： d ( v i ) 2m 且