§复数的几何意义及三角形式

指出下列复数的模及辐角：
(1)5(cos i sin );
(2) 5 cos(80) i sin(80)
指出下列复数的模和辐角： (1) cos 210o i sin 210o; (2)5(cos 3 i sin 3).
解：(1)Q cos 210o i sin 210o 模co为s(1，15辐0o角) 为i sin1(501o5. 0o)取模值和范辐围角怎的样？
复数及其应用
§17.3.2复数的三角形式
学习目标
1、理解复数的几何意义及三角形式； 2、熟练掌握复数的模和辐角的求法； 3、熟练进行复数的三角形式与代数形 式互化。
复数的三角形式
一、复数的表达(a,b R)
(1) 代数形式 z a bi (2) 点 Z (a, b)
uuur (3) 向量 OZ
5
5
3
3
辐角． 特别规定：复数0的辐角是任意值．
y 当∈(-π，π]时称为辐角的
z=a+bi
主值， 记作arg z.
Z(a,b)
a
b 注：1)、非零复数的辐角有无限多
个值，它们相差2kπ（k∈Z)
2)、若z=0，则r=0, 辐角任意。
o
x
tan b ➢以后所称辐角一般指
a 它的主值.
求下列复数的模及辐角主值：
y
b
Z (a,b)
0
ax
向量OZ
z=a+bi
点Z
a 复数的实部 b 复数的虚部 复数的模 | z |
uuur 即为向量OZ的模
复平面内表示的复数z=a+bi (a , b∈R)的点Z(a,b)到
坐标原点O的距离叫做模．记作| z |，即：z a2 b2
以x轴正半轴为始边，OZ为终边的角 叫做复数的
• Z =a+bi r
（r,θ) z1= z2 ≠0
r1 arg
r2 z1
arg
z2
O
θ
x
每一个不等于零的复数有唯一的模和辐角主值，
并且可由模与辐角主值唯一确定。
作业布置
复数的三角形式
1.把下列复数的代数形式化为三角形式
1)8 8i ２) 4 4i ３) 2i ４)9
2.把下列各式化为代数形式.
23
3
2、思考交流：
下列各式是复数的三角形式吗？为什么？
(1)5(sin 2 i cos2);
(2) 3(cos3 i sin 3); (3) 5(cos3 i sin 3).
将下列复数的代数形式化成三角形式：
(1) z1 5; (2)z2 1 i. 解：(1)Q 5的模为5，辐角为0，
1)4(cos 3 i sin 3 ) ２) cos(- 19 ) i sin(- 19 )
4
4
6
6
3.判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，
把它们表示成三角形式.
1)-(cos +i sin ) ２) cos120o-i sin120o
6
6
3) cos i sin（- ） 4)-3（sin 7 i cos 7 ）
指出下列复数的共轭复数：
Z1=2+3i;
Z2=-5-4i;
Z3 2(cos 20 i sin 20).
本节课
学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？ 何处还需要注意？
总结
复数的三角形式 z=r(cosθ +isinθ)
复数z=a+bi （a,b为实数）
点Z（a,b)
y
复数的三角形式
有序数对
向量OZ
1、Z1=1+i; Z3=-1-i;
Z2=1-i; Z4=-1+i
2、Z1=3; Z3=2i;
Z2=-3; Z4=-2i

先判断对应点 的位置，再确 定辐角主值！
设复数z＝a＋bi≠0， 它的模| z |＝r， 辐角为 ，
由三角函数定义知： sin b , cos a ,
因此：
r
b r sin , a r cos ,
5 5(cos 0 i sin 0).
(2)Q z2
2
,
z2的辐角为
， 4
1 i 2(cos i sin ).
4
4
➢复数0的三角形式怎样？ 非0实数呢？纯虚数呢？
将下列复数的代数形式化成三角形式：
(3) z4 2i;
(4)
z5
1 2
3 i. 2
将下列复数的三角形式化成代数形式：
(1) z1 2(cos 解：(1)z1
r
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
ao
所以：z＝a＋bi
r cos ir sin r(cos i sin )
一般地，我们
把z r(cos i sin )
称复数的三角形式.
x 其中r= z 0, .
确定复数的三角形式，需要先明确什么？
复数的三角形式条件：
Z= r（cosθ + i sinθ ）
(4)
z5
3[cos(
)
3
isin(
3
)].
➢共轭复数模和辐角有什么关系？
y
a＋bi Z r(cos i sin )
|z|
O -
|z|
Z r[cos( ) i sin( )]
x
a－bi
➢共轭复数模和辐角有什么关系？ ✓共轭复数的模相等，辐角互为相反数.
✓共轭复数的积等于模的平方. Z Z Z 2
(2)Q 5(cos3 i sin 3)
5[cos(3) i sin(3)]
模为5，辐角为 3.
(3) 3(cos i sin ).
4
4
1、指出下列复数的模及辐角：
(1) cos3 i sin 3;
(2) 2(cos120 i sin120);
(3) 1 (cos11 i sin 11 ).
“模非负，角相同，余正弦，加号连”
①r≥0； ②加号连接； ③cos在前，sin在后； ④θ前后一致，可任意值（一般取辐角主值）
指出下列复数的模和辐角：
(1) cos i sin ; (2) 2(cos 75o i sin 75o).
6
6
解：(1)复数的模为1，辐角为
.
6
(2)复数的模为 2，辐角为75o.
i sin );
6 2(cos
6 i sin
6
(2) z2
) 6
6(cos 60o
i sin
60o ).
2( 3 1 i) 3 2i. 22
(2)z2 6(cos 60o i sin 60o) 6(1 3 i) 3 3 3i. 22
将下列复数的三角形式化成代数形式：
(3) z4 3(cos 0 isin0);