不等式-专题复习

专题复习 不等式（一）
知识点和考试水平
知识点
1.不等式的性质 2.算术平均数与几何平均数 3.不等式的证明 4.不等式的解法 5.含有绝对值的不等式
考试水平
A BC D √
√ √
√ √
会考考试要求
1、能够比较差容易确定符号的两个代数式的大小。
2、理解不等式的性质定百度文库及其推论，能够直接套用 性质定理及其推论去判断两个代数式的大小关系。
2
－a）＋（a 2 b
－b）
＝a＋b
＝（b2－a2）（
11 ab
）
1
又∵ a＝＞0，ab b（＞b0－，a∴）2（1b＋＞a）0，b＋a＞0，而（b－a）2≥0
1
ab
∴ ab （b－a）2（b＋a）≥0
即
b2
a2
≥a＋b
ab
证明二：综合法
∵ a＞0，b＞0
∴ b 2 ＋a≥2 a
b 2 a ＝2b ① a
重点内容
分式和高次不等式的解法——标根法
a、分解因式，保证x的系数为正； b、令分子，分母等于0，求出x； c、在数轴上按从小到大标出每一个根，重 复的根要重复标；
d、画曲线（从右上角开始）； e、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
重点内容
含绝对值的不等式的解法：
1、两边平方法：例如|x－1|＜3 2、公式法： 若 a x a ，则 |x|＜a （ 其中 a＞0） |x|＞a（a＞0）那么_x_ _a _或 __x__ _a___ 特别注意a≤0的情况要特殊处理
23 5
15
由标根法知原不等式的解是
{x|2x3 或 5x1}5
课后练习
1、解不等式： （2x＋1 ） （ x2＋2x－8 ）＞0
2、a∈R，b∈R，用求差比较法和综合法 证明：a2＋b2≥2a＋2b－2。
3、a∈R+，b∈R+，2a＋3b=2,求 ab的最大 值及取得最大值时a，b的值
a2
＋b≥2
b
a2 b
＝2a
②
b
①＋②得
b2 a
a2 ＋ a ＋ b ＋b ≥2a＋2b
∴
b 2 ＋ a 2 ≥a＋b
a
b
例题
1
3、已知x＞1，求x＋ 小值时x的值。
x
1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
的最小值以及取得最
1
1
∴x＋ x 1 ＝（x－1）＋ ( x 1 ) ＋1
≥2
(x 1) 1 (x 1)
这告诉我们一条重要经验：使用平均值不等式求最值
时c，o 一s 定 (要)认真1研时究，等m号x能n否y有成最立大。值 ab
例题
x 5、解不等式 x2 8x 15 ≥2
解：不等式等价于
x2
17x30
≥0
即
x2 8x15
x2 17x 30
x2 8x 15 ≤0
即 (x15)(x2)
(x3)(x5) ≤0
②不等式的性质； ③几个重要不等式：
a2≥0 （当且仅当 a0 时取等号）；
a2＋b2≥2ab
（当且仅当 ab 时取等号，a，b∈ R ）；
ab
2≥ （条件
ab a,bR当且仅当
ab 时取等号。
重点内容
证明不等式的方法：
1、求差比较法： “最基本的方法” (重点掌握） 2、综合法：“主要方法”（执因索果）
2
解 m 1 x(m 2 x2)n , y 1(n 2 y2)
2
2
(D) ab ab
mx ny1(ab) 2
上述解法正确吗？为什么？
等正号解:成设立m 的 充a c 要条o ,n 件 是s a s m＝i ,x xn 且b nc ＝yo ,y ， 但s b 由s于ian ≠b ， 则故m 等 号n 不 x 能y a 成(立b c ，c 因o o 此 s s ，s is （n ai＋) n b）a /c 2b 不o 是) 最s大(值，
3、分析法：“常用方法”（特别注意格 式，执果索因）
4、求商比较法：（一般了解）
重点内容
一元二次不等式的解法
1、分解因式符号法则法（参考教材，比较麻烦）
2、标根法：步骤： a、移项，使不等式右边为0；分解因式，保证 x的系数为正；b、令各因式等于0，求出x； c、在数轴上按从小到大顺序标出每一个根， 重复的根要重复标；d、画曲线（从右上角开 始）；e、写解集。 （数轴上方大于0，下方 小于0，数轴上的点使不等式等于0）
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
重点内容
不等式性质的应用
不等式性质的主要应用——求最值
理论依据
1、两个正数，和为定值，积有最大值；
2、两个正数，积为定值，和有最小值。
例题
1、对于实数a,b,c，判断下列命题的真假
①c－b＞c－a，那么b＞a
（× ）
②a＞b＞0，则 1 1 ab
＋1＝3
1 当且仅当x－1＝ x 1 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
例题
4、若实数 m,n,x,y 满足 m 2 n 2 a ,x 2 y 2 b (a b )，
则 mxny的最大值是（ B ）
( A) a b 2
(B)
ab
a2 b2 (C )
a＞b， c0，那么ac＜bc ④、a＞b＞0， cd0那么，ac＞bd ⑤、a＞b＞0 那么 n a n b（条件nN,n2） ⑥、|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据。
重点内容
证明不等式的主要依据有：
① a －b＞0 a＞b， a－b＜0 a＜b
3、掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数 不小于他们的几何平均数的定理，且会简单的应用。
4、掌握求差比较法、综合法、分析法证明简单的 不等式。 5、掌握二次不等式，简单的绝对值不等式和简单 的分式不等式的解法。
6、理解不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
重点内容
不等式的主要性质有： ①、对称性：ab ba传递性：a _ __b_,b _ __c_ _ ac ②、 ab,cR，a+c＞b+c ③、a＞b， c 0 ， 那么ac＞bc；
（×）
③a＞b，则ac＞bc ④ac2＞bc2，则a＞b
（ ×） （ √）
⑤a＞b， 1 1 ab
则a＞0，b＜0 （ √ ）
⑥a＜b＜0，则|a|＞|b|
（ √）
例题
2、设a＞0，b＞0，用求差比较法和综合法证明：
b2 a2 ab
≥a＋b
证明：∵
b2 a b
2
a2 b a
2
－（a＋b）＝（b a2 b2 a