(完整版)机械波多解问题例析

关于机械波多解问题的例析

山东临沂双月园学校（276017）刘忠涛机械波多解问题历来是各级各类考试中经常考察的热点，也是高中物理教学中的一个重点和难点。学生在求解机械波问题时，往往由于对波动的实质理解不深刻、对题目中隐含条件挖掘不透彻、对已知条件使用不全面等，常常会出现解答不完整而造成漏解。本文限于横波沿一条直线传播的情形，就常见的机械波多解问题通过剖析其成因进行归类例析，力求帮助学生掌握解决此类问题的根本。

一、波传播的“双向性”带来的多解问题

机械波在同种介质中沿一条直线传播的情形下，波的传播方向有两种可能，这就是波传播的“双向性”。当题目没有明确波的传播方向时，我们必须要考虑波传播的“双向性”，才能得出完整的答案。

例1如图1所示，一列简谐横波以速率v传播，t1时刻的波形为实线，t2时刻的波

形为虚线。已知△t= t

2- t

1

=0.06s，且△t小于一个周期T。则下列关于该列波传播的周期

与速率的判断，可能正确的是( )。

A．T=0.24s，v=50m／s

B．T=0.08s，v=150m／s

C．T=0.24s，v=150m／s

D．T=0.08s，v=50m／s

解析：本题没有明确波的传播方向，因此需要考虑波传播的“双向性”。

由图1可知，该波的波长为λ=12m。

（1）若波沿+x方向传播，由图1可看出，波在△t内传播的最小距离为△S=λ／4。又

则波速大小v=△s／△t=λ／T =50m ／s.

（2）若波沿－x 方向传播，同理可得另一组解T=0.08s ，v=150m ／s.

故本题正确选项为A 、B 。

二、波传播的周期性带来的多解问题

机械波在介质中传播的过程中，由于介质质点做周期性的振动，因而波的图像也具有周期性。这种周期性表现在两个方面：时间上的周期性和空间上的周期性。

（一）波传播的时间上的周期性产生多解

设某简谐波周期为T ，传播过程中在时刻t 各振动质点形成一波形，经过时间△t＝nT （n=0，1，2，3，……）各振动质点又回到t 时刻的位置。因而t ＋△t＝t ＋nT 时刻的波形与t 时刻的波形完全重合，这就是波传播的时间上的周期性。这样当题目中没有给定波传播的时间△t 与周期T 的关系时往往会有多解。

例2 一列简谐横波沿x 轴正方向传播，某

时刻波形如图2实线所示，经过时间△t＝2.5s 时波

形如图2虚线所示。求这列波传播的周期T 和速率v.

解析: 本题由于△t=t 2-t 1=2.5s 与周期T 的关系

未确定，所以必须考虑到波传播的时间上的周期性。

由波形图可知,从某时刻经过时间△t=T／4(此时T 最大)的波形图为图2中虚线所示。又由波传播的时间上的周期性可知,经过时间△t=nT+T ／4(n=0，1，2，3……)的波形图也为图2中虚线所示。根据以上讨论有 s n s n n t T 1

4104/15.24/1+=+=+∆= (n=0，1，2，3，……) 由图2可知，波长λ=8m，所以波的速率

s m n s m n T v /)14(5

4/)14/(108+=+==λ

(n=0，1，2，3，……)

若本题未明确波沿＋x 轴方向传播，则还需讨论波沿－x 轴方向传播的情形。具体解法与上同理。

(二) 波传播的空间上的周期性产生多解

根据简谐波的传播规律可知，沿波的传播方向与某质点距离恰为一个波长λ或整数倍波长n λ处的质点，在任意时刻它们的振动情况完全相同，即振动步调一致。因此将某时刻的波形沿传播方向平移一个波长λ或整数倍波长n λ的距离后，波形不变。这就是波传播的空间上的周期性。于是当题目中波长λ不确定时，波动空间上的周期性也会导致多解。

例3一列沿x 轴正方向传波的简谐横波，在x 1=0.5m 和x 2

=1.5m 处的两质点的振动图线如图3所示，问这列波的波长λ等于多少？

解析：本题是根据质点的振动情况，求波

动情况。两质点平衡位置的坐标虽然不变，但由于波

长λ是不确定的，这样波动空间上的周期性导致了波

长的多解。

由图3可知，质点的振动周期T ＝4s ，当x 1处质点处于振幅处时，x 2处质点恰好在平衡位

置，且向上振动。结合波的传播方向，可画出二质点间的基本波形，如图4所示（波长最大情况）。由波传播的空间上的周期性可得

Δx =x 2－x 1= n λ+λ/4

所以有 m n m n n x n x 1

4414)5.05.1(41444/1+=+-⨯=+∆=+∆=λ (n=0，1，2，3，……)

三.其它已知条件不明产生的多解问题

在波动习题中，除以上谈到的不明确因素会产生多解之外，还有一些情况，由于某些物理量条件不明确而会产生多解。例如质点振动方向不明：质点处在某一位置时有向上和向下

振动两种可能；又如已知质点处于最大位移处，则有正向最大位移和负向最大位移两种可能；再如有些波动习题只给出完整波形的一部分，或给出了几个特殊的点，而其余部分处于隐含状态，这样，一道习题就有多个图形与之对应，从而由于波形图的隐含也会形成多解。

例4 一列简谐横波沿水平直线向右传播，该直线上两质点M 和N 相距l=15m ，其中M 在N 右侧。当t 1=0s 时，质点M 处于正向最大位移处，质点N 恰到达平衡位置。t 2=0.04s 时，

M 恰好到达平衡位置，而N 恰好处于负的最大位移处。已知周期T>0.6s ，波长λ>15m ，求该列波传播速度的大小。

解析：本题中未指明t 1

=0s 时刻质点N 的起振方向，所以有以下两种可能情况： （1）若t 1=0s 时质点N 的起振方向如图5所示，则经△t= t 2- t 1=3T 1/4，质点N 恰好在

负的最大位移处，质点M 恰好在到达平衡位置。

由图5可知λ1/4＝l ，所以

s m s m t t l T v /1125/04

.041512)(4121211

1=⨯⨯=-==λ （2）若t 1=0s 时质点N 的起振方向如图6所示，则经△t= t 2- t 1=T 2/4，质点N 恰好在

负的最大位移处，质点M 恰好在到达平衡位置。由图6可知3λ2/4＝l ，所以

s m s m t t l T v /125/04

.012154)(1241222

2=⨯⨯=-==λ 以上通过例题对各种原因引起的机械波多解问题分别

进行了讨论分析。在处理简谐横波的具体习题中，还可能遇到

同一题目中，既要考虑波传播的“双向性”，又要考虑波传播的时间和空间上的周期性的情况。如例1中，若条件“且△t 小于一个周期T”未给出 ，则除要考虑波传播的“双向性”外，还要考虑波传播的时间上的周期性 。又如例4中，若条件“P 在Q 右侧”未给出，这就必须兼顾波传播的空间上的周期性和 “双向性”。类似问题虽较为复杂，但其分析求解的基本思路和基本方法是一样的，本文不再一一举例加以说明。