第2章 控制系统的状态空间描述.ppt2
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控制系统的状态空间描述
(2-11)
式中y为系统输出量，u为系统输入量，其系统传递函数为
n 1s n 2 s n 2 1s 0 y( s) G s n D s u ( s ) s an 1s n 1 an 2 s n 2 a1s a0
将
y
( n)
an1 y
bnu
( n)
( n1)
an2 y
( n 2)
a1 y a0 y
bn1u
(n)
( n1)
b1 u b0u
hn 1u hnu
代入
xn y
得：
(n)
h0u
h1u
( n 1)
y
( n)
令
m b k y y y
x1 y
x2 y
动态方程如下
x1 x2
k b 1 x2 y y y u (t ) m m m
k b 1 x1 x2 u(t ) m m m
y x1
x1 x 2
x Ax Bu
A称为系统矩阵； B称为输入矩阵 6.输出方程：
y Cx Du
例如：
解：
令：i(t)和Uc(t)为状态变量，则有
例2-1 设机械位移系统如图2-1 所示。力F及阻尼器汽缸速度v 为两种外作用，给定输出量为 质量块的位移x及其速度 x 、加 速度 。图中m、k、f分别为 x 质量、弹簧刚度、阻尼系数。 试求该双输入-三输出系统的动
n 2
an 1 y
n 3
n 2u
02状态空间描述
• 而i(t)和u0(t)就是能够描述系统的全部运动 的数目最小的一组变量。不同时刻的i(t)和 u0(t)的值不同，所对应的状态就不同
1 状态
• 状态就是一组变量的集合，在已知未来输 入情况下，能够描述系统的全部运动的数 目最少的一组变量的集合即为状态
• 对平面而言，需要两个独立状态；对空间 而言，n 维空间需要n 个独立状态
• 一般情况下，状态方程既是非线性的， 又是时变的，可以表示为
x(t) f x(t),u(t),t
输出方程
• 描述系统输出变量与系统状态变量和输入 变量之间函数关系的代数方程称为输出方 程，当输出由传感器得到时，又称为观测 方程
• 输出方程的一般形式为
y(t) g x(t),u(t),t
动态方程
执行器
被控过程
x 被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
观测y 反馈控制
被控过程
u1
y1
u2
x1, x2 , xn
y2
up
yq
系统模型
• 在经典控制理论中，怎样描述一个系统的 关系，也即系统的数学模型是什么？
• 所谓的状态空间又是如何描述的？
• 举例说明系统的经典描述与状态描述的区 别
线性定常系统
x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
状态矩阵 A 输出矩阵 C
绘制系统结构图
控制矩阵 B 前馈矩阵 D
系统结构图
讨论
• 1、状态变量的独立性 • 2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此
状态方程、输出方程、动态方程也都不是 唯一的。但是，用独立变量所描述的系统 的维数应该是唯一的，与状态变量的选取 方法无关 • 3、动态方程对于系统的描述是充分的和完 整的，即系统中的任何一个变量均可用状 态方程和输出方程来描述
1 状态
• 状态就是一组变量的集合，在已知未来输 入情况下，能够描述系统的全部运动的数 目最少的一组变量的集合即为状态
• 对平面而言，需要两个独立状态；对空间 而言，n 维空间需要n 个独立状态
• 一般情况下，状态方程既是非线性的， 又是时变的，可以表示为
x(t) f x(t),u(t),t
输出方程
• 描述系统输出变量与系统状态变量和输入 变量之间函数关系的代数方程称为输出方 程，当输出由传感器得到时，又称为观测 方程
• 输出方程的一般形式为
y(t) g x(t),u(t),t
动态方程
执行器
被控过程
x 被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
观测y 反馈控制
被控过程
u1
y1
u2
x1, x2 , xn
y2
up
yq
系统模型
• 在经典控制理论中，怎样描述一个系统的 关系，也即系统的数学模型是什么？
• 所谓的状态空间又是如何描述的？
• 举例说明系统的经典描述与状态描述的区 别
线性定常系统
x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
状态矩阵 A 输出矩阵 C
绘制系统结构图
控制矩阵 B 前馈矩阵 D
系统结构图
讨论
• 1、状态变量的独立性 • 2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此
状态方程、输出方程、动态方程也都不是 唯一的。但是，用独立变量所描述的系统 的维数应该是唯一的，与状态变量的选取 方法无关 • 3、动态方程对于系统的描述是充分的和完 整的，即系统中的任何一个变量均可用状 态方程和输出方程来描述
控制系统的状态空间表达式PPT课件
一般情况下，n 阶微分方程为： y (n ) a n 1 y (n 1 ) a 1 y a 0 y b 0 u
选择状态变量如下：
x1 y x1 x 2 y x 2 x 3 y
┆ x n 1xny(n 1) x ny(n)a0x1a1x2 an 1xnb0u
状态空间表达式的建立
u
r
y1
y
y2
y
m
A：系统矩阵 B：输入（控制）矩阵 C：输出矩阵 D：直接传递矩阵
基本概念
a11 a1n
A
an1 ann nn
c11 c1n
C
cm1 cmnmn
b11 b1r
B
bn1 anr nr
d11 d1r
D
dm1 dmrmr
基本概念
x3
状态空间表达式求传递函数矩阵
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu
y Cx du
在初始松弛时（即：初始条件为零） ，求Laplace变换，并且化简 状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数
G x(u s)sIA 1bd ad s s e I I tjA A b
输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）
y a 2 y a 1 y a 0 y b 3 u b 2 u b 1 u b 0 u
选择状态变量： x1y0u x2 y0u1ux11u x3 y0u1u2ux2 2u
其中，待定系数为： 0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21 2 b0 a00 a11 a22
写成矩阵形式
x1 y
x2 x3
x2 y x3 y
x 3 a 0 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 b 0 u
选择状态变量如下：
x1 y x1 x 2 y x 2 x 3 y
┆ x n 1xny(n 1) x ny(n)a0x1a1x2 an 1xnb0u
状态空间表达式的建立
u
r
y1
y
y2
y
m
A：系统矩阵 B：输入（控制）矩阵 C：输出矩阵 D：直接传递矩阵
基本概念
a11 a1n
A
an1 ann nn
c11 c1n
C
cm1 cmnmn
b11 b1r
B
bn1 anr nr
d11 d1r
D
dm1 dmrmr
基本概念
x3
状态空间表达式求传递函数矩阵
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu
y Cx du
在初始松弛时（即：初始条件为零） ，求Laplace变换，并且化简 状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数
G x(u s)sIA 1bd ad s s e I I tjA A b
输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）
y a 2 y a 1 y a 0 y b 3 u b 2 u b 1 u b 0 u
选择状态变量： x1y0u x2 y0u1ux11u x3 y0u1u2ux2 2u
其中，待定系数为： 0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21 2 b0 a00 a11 a22
写成矩阵形式
x1 y
x2 x3
x2 y x3 y
x 3 a 0 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 b 0 u
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
12 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
《状态空间描述法》课件
案例二：飞行器姿态控制系统设计
总结词
飞行器的姿态控制是保证飞行安全的关键环 节。通过状态空间描述法，可以建立飞行器 姿态控制系统的数学模型，为控制系统设计 提供依据。
详细描述
飞行器的姿态控制涉及多个动态变量，如角 速度、角位移、俯仰角、偏航角等。状态空 间描述法能够全面地描述这些变量之间的关 系，建立起飞行器姿态控制的数学模型。基 于这个模型，可以设计各种控制器，如PID 控制器、模糊控制器等，以实现对飞行器姿 态的精确控制。
PART 05
状态空间描述法的应用实 例
REPORTING
案例一：倒立摆控制系统设计
要点一
总结词
要点二
详细描述
倒立摆是一个不稳定的系统，其控制目标是使摆杆保持稳 定，避免倒塌。状态空间描述法在倒立摆控制系统中被广 泛应用，通过建立状态方程和输出方程，对系统进行精确 的数学描述，为控制系统设计提供基础。
状态空间图
• 状态空间图：以图形方式表示系统状态变量、输 入和输出的关系，有助于直观理解系统的动态行 为。
PART 03
状态空间描述法的实现
REPORTING
建立状态方程和输出方程
状态方程
描述系统内部状态变量的动态关系，通 常表示为x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)。
VS
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系， 通常表示为y(t)=Cx(t)+Du(t)。
如何克服局限性
降维处理
并行计算和分布式计算
对于高维系统，可以通过降维处理来 降低系统的维度，从而简化状态空间 描述法的计算。
采用并行计算和分布式计算技术可以 降低大规模系统的计算复杂性，提高 计算效率。
机电工程基础第二章 状态空间描述
第二章 控制系统的状态空间描述
2.1 基本概念 2.2 状态空间表达式的建立 2.3 状态空间表达式转换为传递函数 2.4 状态方程的线性变换 2.5 组合系统 2.6 离散时间系统
第二章 控制系统的状态空间描述
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处
➢ 系统模型为单输入单输出系统； ➢ 忽略初始条件的影响； ➢ 不包含系统的所有信息； ➢ 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。
例2.1.1 ：如下图所示电路，u(t)为输入量，uC (t)为输出量
建立方程：
L
di(t dt
)
Ri(t
)
uC
(t
)
u(t
)
i C duC (t) dt
初始条件：
i(t) t t0
i(t0 )
uC (t) tt0 uC (t0 )
i(t) 和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该系
di(t)
dt duC (t)
1RL
dt C
1 L 0
i(t) uC (t)
1
L 0
u
(t
)
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
uC (t) 0 1uiC(t()t)
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空 间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。
第二章 控制系统的状态空间描述
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
2.1 基本概念 2.2 状态空间表达式的建立 2.3 状态空间表达式转换为传递函数 2.4 状态方程的线性变换 2.5 组合系统 2.6 离散时间系统
第二章 控制系统的状态空间描述
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处
➢ 系统模型为单输入单输出系统； ➢ 忽略初始条件的影响； ➢ 不包含系统的所有信息； ➢ 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。
例2.1.1 ：如下图所示电路，u(t)为输入量，uC (t)为输出量
建立方程：
L
di(t dt
)
Ri(t
)
uC
(t
)
u(t
)
i C duC (t) dt
初始条件：
i(t) t t0
i(t0 )
uC (t) tt0 uC (t0 )
i(t) 和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该系
di(t)
dt duC (t)
1RL
dt C
1 L 0
i(t) uC (t)
1
L 0
u
(t
)
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
uC (t) 0 1uiC(t()t)
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空 间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。
第二章 控制系统的状态空间描述
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
控制系统的状态空间描述
a12 " a1n ⎤ ⎥ a22 " a2n ⎥ % % # ⎥ ⎥ an 2 " ann ⎦
⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ 2⎥ ⎢ b= ⎢#⎥ ⎢ ⎥ ⎣bn ⎦
输入矩阵
系统矩阵
状态空间表达式
对具有r个输入，m个输出的复杂系统，设其状态变量为x1, x2, … , xn, 则状态方程的一般形式为：
状态空间表达式
输出方程的一般形式为： y = c1x1 + c2 x2 用向量表示的状态空间表达式为：
+ " + cn xn
= Ax + bu x y = CT x
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ x = ⎢ 2⎥ ⎢#⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦
n维状态向
⎡a11 ⎢a 21 ⎢ A= ⎢# ⎢ ⎣an1
状态变量
r1 e(t) r2 y(t)
y(t)=ke(t) k=r2/(r1+r2)
¾ 表达式是代数方程； ¾ 系统的行为可以由输出与输入的瞬时关系确定，与系统的 过去历史无关，不需要引入状态变量； ¾ 网络中只包含瞬时元件，没有任何储能元件；
状态变量
i(t) c y(t)
dy/dt=i(t)/C
R + i C uc
L
状态方程
令 x1 = uc , x 2 = i
⎧ 1 x1 = x2 ⎪ ⎪ C ⎨ 1 R 1 ⎪x 2 = − x1 − x2 + u ⎪ L L L ⎩
⎡ ⎢ 0 ⎡ x1 ⎤ x = ⎢ ⎥, A = ⎢ 1 ⎣ x2 ⎦ ⎢− ⎣ L 1 ⎤ ⎡0 ⎤ C ⎥, b = ⎢ ⎥ 1 C⎥ ⎢ ⎥ − ⎥ ⎣L⎦ L⎦
例
1 = x2 x 2 = x3 x 3 = −6 x1 − 3x2 − 2 x3 + u x y = x1 + x2
现代控制理论 第二章 线性系统的状态空间描述PPT课件
为系统两状态变量，则原方程可化成:
xx121RL L01C xx12L10u
y 0
1 x1
C
x2
19
由上可见,状态变量的选取有许多方法。因此同一个系 统有许多不同的状态空间表达式来描述。状态变量的 不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。
, 设: x1i x2C 1id;tx1i , x2idt
x2
状 态 轨迹
A
( x1 (t0 ), x2 (t0 ))
0
x1
( x1 (t1 ), x2 (t1 ))
B
t
x(t)
x1(t)
x
2
(
t
)
8
6.状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、 输入变量间的数学表达式称为状态方程。
x (t)f[x(t)u ,(t)t,], x (tk 1 )f[x (tk)u ,(tk)tk ,]
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
30
0
0
b
0
0
C 10 0
31
u 0
x n 1 x n 1 x n 1 x 2 1
s
s
s
x1 y
a n1
a
n
2
a1
a0
状态变量结构图
32
例1:
设 y 5y8y6y 3u
求（A，B，C，D）
解：选 x1 y x2 y
x3 y
微分方程、传递函数、结构图求 {A，B，C，D}
1. 由系统微分方程建立状态空间表达式
1）系统输入量中不含导数项
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a n 2 y ( n 2 ) a 1 y a 0 y 0 u
xx121RL L01C xx12L10u
y 0
1 x1
C
x2
19
由上可见,状态变量的选取有许多方法。因此同一个系 统有许多不同的状态空间表达式来描述。状态变量的 不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。
, 设: x1i x2C 1id;tx1i , x2idt
x2
状 态 轨迹
A
( x1 (t0 ), x2 (t0 ))
0
x1
( x1 (t1 ), x2 (t1 ))
B
t
x(t)
x1(t)
x
2
(
t
)
8
6.状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、 输入变量间的数学表达式称为状态方程。
x (t)f[x(t)u ,(t)t,], x (tk 1 )f[x (tk)u ,(tk)tk ,]
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
30
0
0
b
0
0
C 10 0
31
u 0
x n 1 x n 1 x n 1 x 2 1
s
s
s
x1 y
a n1
a
n
2
a1
a0
状态变量结构图
32
例1:
设 y 5y8y6y 3u
求（A，B，C，D）
解：选 x1 y x2 y
x3 y
微分方程、传递函数、结构图求 {A，B，C，D}
1. 由系统微分方程建立状态空间表达式
1）系统输入量中不含导数项
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a n 2 y ( n 2 ) a 1 y a 0 y 0 u
第2章控制系统的状态空间描述.ppt2
（2－10）
4．线性定常系统的状态空间描述
t) 矩阵 A( ，
， B (t ) 和 C (t的各个元素如果与时间无关，则称 ) D(t )
这种系统是线性定常系统
x = A(t ) x B(t )u y C (t ) x D(t )u
将式217写成向量矩阵形式的方程即癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险218解之得向量矩阵形式的状态方程219癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险输出方程为220癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险列写状态空间表达式将式219和式220合起来即为状态空间表达式若令221癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险例22系统如图dtdtdtdt取状态变量
两个数学方程组成，一个是反映系统内部状态变量
和输入变量间因果关系的状态方程;另一个是表征系 统内部状态变量及输入变量与输出变量转换关系的 输出方程。
状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程 组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。
（2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方 程组的数学表示法。 （3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感 到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。 （4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应， 不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统 内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统。 （5）状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控 制，所以可应用求解大量的非线性系统、时变系统、随机 过程和采样系统。 （6）利用现代空间法进行系统综合时，是非常有利的。
现代控制理论-第二章+状态空间描述2讲-561
为 (sI-A) 的 伴随矩阵
为 (sI-A) 的 行列式
系统状态空间表达式的特征方程: sI A 0
系统状态空间表达式的特征根或特征值: sI A 0 的根
Page: 3
ys CsI A 1 B D us Gsus
其展开式为
mr
传递函数矩阵
y1s
y2
s
g11s
g
21 s
一系统动态行为的描述。
Page: 29
2.6 系统状态方程的线性变换
状态向量
x x1, x2 , , xn T
非奇异变 换矩阵
x Ax bu y cx
xPx
x Ax b u
y
cx
新状态
向量
A P1AP b P1b c cP
x P1APx P1Bu
若含有D阵的话， 易知有：
0
0 b
0
1
C 0 , 1 n1
注意：A阵仍为友矩阵；
若状态方程中的A，b具有这种形式，则称为能控
标准型。
Page: 21
2）当
G(s)
bn
N(s) D(s)
即bn 0时
有A，b不变，只是
y Cx b u n
系统{A，b，C，D}称为G（s）的能控标准形 实现。
Page: 22
u
n1
Ts 1
s2 2 s 2
1 b1 a1b2
而b2 0, b1 T , b0 1
a11 2T
0 1 a0 2
Page: 24
y 2 y 2 y Tu u
GS
ys us
s2
Ts 1
2 s
2
x Ax bu y Cx
控制系统的状态空间描述ppt课件
R 1R 2 (R 1R 2)L
iL
R 2 (R 1R 2)L
右电路图可知:u R 2 R 2 i C R 2 C d d C u t R 1 R 2 R 2 u C R R 1 1 R R 2 2 i L R 1 R 2 R 2 e ( t)
所以输 出方程 为：
u R 2 R 1 R 2 R 2
1、微分方程中不包含输入函数的导数项〔无零点）
微分方程形式: y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y bu
1〕选择状态变量. 若给定初始条件 y ( 0 )y ( ,0 ) ,,y ( n 1 ) ( 0 ) 及 t 0 的 u ( t 输 )
则系统行为被完全确定。
mr维前 馈 矩,又 阵称直 为接 转 移 矩 阵 表 征 输 入 对 输 出传的递直关接系 通 常D＝0
动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立， 就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：
x Ax Bu y Cx Du
其中：A、B、C、D矩阵含义同上。
[阐明]：
(1)为描述系统方便，经常用 (A,B,C,D) 代表一个动力学系统。
第一节 动态系统的状态变量 和状态变量模型
动力学系统：能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。
[术语]：
形状：指系统的运动状态〔可以是物理的或非物理的）。状 态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。
状态变量：完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。
y
1 0
0 1
0
1
0
0
k2 M1 k2 M2
B1 B2 M1 B2 M2
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2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定 功能的整体。
■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同 一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦 称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数 方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入 有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t) 时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于 t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为 有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
（2－10）
4．线性定常系统的状态空间描述
矩阵 A(t ) ， ， B(t ) 和 C (t的各个元素如果与时间无关，则称 ) D(t )
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 x = f ( x,u, t ) 和 y g ( x,u, t ) 的所有组成元都是 变量 x1 , x2 ,, xn 和 u1 , u2 ,, ur 的线性函数，则称相应 的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下 形式：
x = A(t ) x B (t )u （2－8） y C (t ) x D(t )u 式中，各个系数矩阵分别为
(3)状态向量
设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变 量看做向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为
x1 (t ) x (t ) x n (t )
(4)状态空间 以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个 n 维欧氏空 间，称为状态空间。
（2-2）
及
RL y ucn RL R0
(2-3)
在已知输入u的情况下，解方程式（2-2）、式（2-3）,不仅 可求出输出响应y，而且能得知系统内部电容上电压随时间变 化的动态过程信息。因此,式（2-2）、式(2-3)是图2-1所示电网 络系统的一种完全描述。
3.状态的基本概念
(1) 状态 状态是完全地描述动态系统运动状况的信息， 系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统 运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集 合为状态。 (2)状态变量 定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息 组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号 x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量 的数目最小）。
2. 动态系统的两类数学描述
(1)外部描述
外部描述通常称为输入、输出描述，这种描 述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应， 显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程 即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部
结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映
了输出变量与输入变量间的动态因果关系。
考察图2－1所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻 抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。
1 1 du c1 u c1 u dt R1C1 R1C1 du c 2 1 1 uc2 u c1 R2 C 2 R2 C 2 dt 1 1 du cn dt R C u cn R C u c ( n 1) n n n n
a11 (t ) A(t ) an1 (t ) c11 (t ) C (t ) cm1 (t ) a1n (t ) b11 (t ) , B (t ) （2－9）n1 (t ) b ann (t ) c1n (t ) d11 (t ) , D(t ) d m1 (t ) cmn (t ) b1r (t ) bnr (t ) d1r (t ) d mr (t )
建立动态系统的状态空间模型是状态空间分 析和综合的基本问题和前提,本章2.3节在介绍状 态空间分析法基本概念的基础上，讨论动态系统 状态空间表达式建立问题; 2.4节介绍动态系统数 学模型的等效变换,包括状态向量的线性变换与状 态空间表达式标准型、系统的高阶微分方程描述 化为状态空间描述、系统的传递函数描述化为状 态空间描述、由系统状态空间表达式求传递函数 阵; 2.2~2.5节以连续系统为研究对象, 2.6节讨论离 散系统的状态空间模型; 2.7节介绍应用MATLAB 进行系统模型变换。
du c (t ) 1 i (t ) dt C di (t ) 1 R 1 u c (t ) i (t ) u (t ) dt L L L
上式即为图1所示电路的状态方程,并将其写成向量-矩阵 形式，即
du c (t ) dt 0 di (t ) 1 dt L 1 u c (t ) 0 C 1 u (t ) R i (t ) L L
3．线性时变系统的状态空间描述
一个动态系统的状态向量、输入向量和输出向量自然是时间 的函数，而矩阵 A(、 、 t ) 和 C (t ) 的各个元素如果 t ) B( D(t ) 与时间有关，则称这种系统是线性时变系统。
x = A(t ) x B (t )u y C (t ) x D(t )u
【例2】确定图2－2所示电路的状态变量。
图2－2 RLC电路 要惟一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电 压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上 的初始电压uC (t0) ，或者说uC (t)和i(t)这两个变量可用来完 全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故 uC (t)和i(t)是该电路的状态变量。
【例3】建立图2－2所示RLC电路的状态方程。
取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量， 根据电路原理有
duc (t ) C i (t ) dt di (t ) L Ri (t ) uc (t ) u (t ) dt
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项 移至方程右边，整理得一阶微分方程组为
2.2.2 系统的状态空间表达式的一般形式 状态空间表达式——描述系统u(t)、X(t)、Y(t)之间关 系的状态方程和输出方程总合。构成了对系统动态行为 的完整描述。 一、状态方程：描述系统状态与输入之间关系
的、一阶微分方程（组）：x(t ) Ax(t ) Bu(t )
二 、输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关 系的数学表达式： y(t ) Cx(t ) Du (t )
1 0 x1 x1 0 C u 1 R x2 1 x 2 L L L x1 y 1 0 x 2
(2-6)
第二章 控制系统的状态空间描述
2.1 引 言 2.2 状态空间模型
2.3 状态空间表达式的建立
2数阵
2.6 离散时间系统的状态空间表达式 2.7 利用MATLAB进行系统数学模型的转换 小 结
2.1 引 言
20世纪60年代,人们将状态空间的概念引入控制理 论，产生了以状态空间描述为基础,最优控制为核心 的现代控制理论。系统动态特性的状态空间描述由
两个数学方程组成，一个是反映系统内部状态变量
和输入变量间因果关系的状态方程;另一个是表征系 统内部状态变量及输入变量与输出变量转换关系的 输出方程。
状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程 组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。
（2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方 程组的数学表示法。 （3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感 到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。 （4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应， 不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统 内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统。 （5）状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控 制，所以可应用求解大量的非线性系统、时变系统、随机 过程和采样系统。 （6）利用现代空间法进行系统综合时，是非常有利的。
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态 方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代 数方程，即
x1 f 1 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) x f ( x , x ,, x , u , u ,, u , t ) 2 2 1 2 n 1 2 r x n f n ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t )
(5)状态轨迹 状态向量的端点在状态空间中的位置代表了 某一特定时刻系统的状态。系统的状态是时间t的 函数。在不同时刻，系统状态不同，则随着t的变 化,状态向量的端点不断移动，其移动的路径就称 为系统的状态轨迹。 (6)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入 变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一 阶差分方程组（离散系统）,称为状态方程。
图2－1 n级RC网络
系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为式 (2-1)所示的高阶线性常系数微分方程,即
y ( n ) a1 y ( n 1) a n 1 y (1) a n y bu
（2-1）
(2)内部描述
状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基于系统
内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程组成: 一个是反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn 和输入变量 u1,u2,…,ur间因果关系的数学表达式，称为状态方程，其数学 表达式的形式对于连续时间系统为一阶微分方程组，对于离 散时间系统为一阶差分方程组; x 另一个是表征系统内部状态变量x1,x2,…,xn及输入变量 u1,u2,…,ur与输出变量y1,y2,…,ym 转换关系的数学表达式，称 为输出方程,其数学表达式的形式为代数方程。 重新考察图2-1的电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微 分方程组