组合最优化简介
组合最优化问题及其求解优化算法
组合最优化问题最基本的特点就是变量是离散的, 由此导致其数学模型中的目标函数和约束函数在其可行域内是也是离散的。
在现实世界中，许多的实际问题本质上是离散事件的而不是连续事件，都可归结为组合最优化问题。
这类问题在理论上多数都属于NP难问题，NP类问题仍属于可计算问题，即存在算法来求解。
求解这类组合最优化问题方法分为精确算法和近似算法两类。
常用的精确算法有动态规划、分支定界和枚举等。
精确算法只能解决一些小规模问题，当求解小规模组合优化问题时可以用这类精确算法在较短的时间内得到最优解。
当求解大规模组合优化问题时，理论上可以得到问题的最优解，但由于计算量太大，所以使用精确算法并不可行。
利用精确算法求解NP-hard组合优化问题时，即使能得到最优解，但所需要的计算时间过长，在实际问题中难以直接应用。
近似算法是指在合理的计算时间内找到一个近似的最优解。
近似算法虽然求解速度较快，但并不能保证得到问题的全局最优解。
近似算法分为基于数学规划（最优化）的近似算法、启发式算法和基于智能优化的近似算法。
1) 基于数学规划（最优化）的近似算法是根据对问题建立的数学规划模型，运用如拉格朗日松弛、列生成等算法以获得问题的近似解，是以数学模型为基础，采用列生成、拉格朗日松弛和状态空间松弛等求解问题。
拉格朗日松弛（LR）算法求解问题的主要思想是分解和协调。
首先对于NP难的优化问题，其数学模型须具有可分离性。
通过使用拉格朗日乘子向量将模型中复杂的耦合约束引入目标函数，使耦合约束解除，形成松弛问题，从而分解为一些相互独立的易于求解的子问题，设计有效的算法求得所有子问题的最优解。
利用乘子的迭代更新来实现子问题解的协调。
列生成(Column generation, CG)算法是一种已经被认可的成功用于求解大规模线性规划、整数规划及混合整数规划问题的算法。
与智能优化算法相比，基于数学规划的近似算法的优点是通过建立问题的数学模型，松弛模型中难解的耦合约束或整数约束，得到的松弛问题的最优解可以为原问题提供一个下界。
组合优化问题与现代优化算法
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旅行商问题的解
从 n! 条周游路线中找出一条具有最小成本的旅行路线， 如果用枚举的方法寻找，就是把每一个旅程的成本都计算 一次，再比较大小，显然需要计算n!次；当n不断的变大， 问题的求解会呈现出一种组合爆炸的状态。
所以，寻求有效的算法是解决组合问题的关键。
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vi (vi1, vi 2 ,
, viD )
记第i个粒子迄今为止搜索到的最优位置为
pi ( pi1, pi 2 , , piD )
记整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为
pg ( pg 1 , p g 2 , , pgD )
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仿生优化算法——粒子群算法
基本思路： • 初始化一群随机粒子（随机解） • 每次迭代中，粒子通过跟踪两个极值更新自己： ——粒子本身找到的历史最好解（个体极值点pbest） ——整个种群目前找到的最好解（全局极值点gbest） • 需要计算粒子的适应值（目标函数值），以判断粒子位 置距最优点的距离。 • 每次迭代中，根据适应值更新pbest和gbest。 • 迭代终止条件：设置最大迭代次数或全局最优位置满足 预定最小适应阈值。
c1,c2—学习因子，经验值取c1=c2=2，调节学习最大步长 rand（）—随机数，取值范围（0，1），以增加搜索随机性
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仿生优化算法——粒子群算法
基 本 粒 子 群 优 化 算 法 流 程 图
开始 初始化粒子群 计算每个粒子的适应度 根据适应度更新pbest、gbest，更新粒子位置速度
为qk（qk>gi,i=0,1,……, L），车辆不允许超载。要求指派运
组合优化算法
组合优化算法组合优化问题已经成为当今研究领域的热门话题，这是由于随着现代科技的发展，许多组合优化问题日益普遍，需要有效的算法来解决这些问题。
组合优化是指应用算法来求解组合最优化问题，使得组合中每个元素都能尽可能最大限度地实现最优化。
组合优化算法是指组合优化问题的解决方案，它通过探索搜索途径，克服问题的复杂性，并最终寻求最优解。
组合优化算法可以分为两类：搜索算法和极限优化算法。
搜索算法是一种迭代搜索算法，运行的过程中以搜索的方式来搜索更合适的解决方案。
搜索算法的过程可以用树状图来表示，中心是起点，外围是有可能的解决方案，而搜索算法根据定义的条件来搜索解析，最终得出最优解。
极限优化算法也叫边界优化，是一种用数学方法来解决包含约束条件的优化问题的算法。
极限优化算法的实现过程是遍历搜索边界上的极值点，通过极值点来近似优化问题的最优解，而不是穷尽地去搜索整个空间的解决方案。
组合优化算法的发展尤其引人瞩目，今天，它们应该是投资者、科学家和工程师们的热门话题，不仅能够解决现有的组合优化问题，而且也能够解决更大规模和更复杂的问题。
组合优化算法在处理复杂的投资决策、技术设计、系统工程等各个方面都有广泛的应用，为当今科技的发展提供了重要的支持。
针对组合优化算法，有许多有影响力的研究成果，比如遗传算法、蚁群算法、混合算法、模糊多目标优化算法等。
遗传算法是一种基于进化规则的算法，它模拟自然界中的进化过程，将最优解直接映射到算法搜索空间中，从而有效地解决组合优化问题。
蚁群算法是一种仿生模型，它模拟蚂蚁行为来解决组合优化问题，采用信息素的概念，集群策略实现全局最优解的搜索；混合算法则是将遗传算法、蚁群算法和其他优化算法结合在一起，实现更好的求解效果；模糊多目标优化算法则采用模糊逻辑理论，结合多目标模型，实现多目标优化。
总之，组合优化算法已经发展成为一个热门的研究领域，它们的研究成果和应用发展为当今的科技发展提供了重要的支持和帮助。
单次投资组合的最优化
单次投资组合的最优化在投资领域中，投资组合最优化是一个重要的话题，不仅可以使投资者实现最大化的收益，还可以降低投资风险。
在本篇文章中，我将探讨单次投资组合的最优化方法。
一、投资组合理论基础投资组合理论是现代投资学的基石之一，它认为投资者不应该只购买单只股票或债券，而是应该将较少的资金分散到多种投资工具中，以减少风险，提高回报率。
这种分散投资的方式被称为投资组合。
因此投资组合是指将资金分散到不同的投资品种中，以期实现收益最大化和风险最小化的投资模式。
二、单次投资组合构成的要素在进行单次投资时，我们需要考虑以下要素：1.资产类型：包括股票、债券、货币市场工具等各种投资品种。
2.资产配置：投资者需要确定在投资组合中每种资产所占比例，以及在整个投资组合中所占总资产的比例。
3.持有期限：投资者需要根据自己的投资目标和时间，选择适合自己的投资期限。
4.风险收益性：投资者需要考虑每种资产的风险收益特征，以及整个投资组合的风险和收益。
三、单次投资组合最优化方法1.马科维茨模型马科维茨模型是投资组合理论中最常用的模型之一，它是由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出的。
该模型的核心思想是通过资产组合的分散化来实现最优化的投资组合。
具体而言，该模型可以帮助投资者确定在给定的风险水平下，如何构建最优的投资组合。
2.半方差模型半方差模型是在马科维茨模型的基础上发展而来的另一种投资组合优化方法。
该模型认为，虽然标准差可以衡量股票收益率的波动，但并不能很好地反映股票下跌的风险。
因此，半方差模型采用了半标准差衡量下跌风险，并在此基础上进行投资组合的构建。
3.均值-半方差模型相较于马科维茨模型和半方差模型，均值-半方差模型更适合风险厌恶的投资者。
该模型的核心思想是将资产配置问题转化为一个最优化问题，并使用特殊的线性规划技术解决。
通过确定预期收益和半方差，该模型可以为投资者提供最优的投资组合。
4.主成分分析主成分分析是一种数据降维技术，它可以对大量的投资品种进行降维，从而减少数据冗余和噪声，帮助投资者寻找最优的投资组合。
基本概念匹配最大匹配完美匹配 - 组合最优化.
令
，
。我们不妨先假设
是一个顶点覆盖。那显
然与
中的每个顶点相关联。既然 是一个匹配，所以 中不存在两端点都在
中的边。因为，给定一个被匹配的顶点
，设
为匹配边，那么由
的构建可知 一定也在 。
剩下的问题就是来证明
中，从而 中每条边至少与
中的一个端点相交。综上，
是顶点覆盖。假设不是，那么必存在一条以
和
为两端点的边
□
要在一般图中找一条可增广路，我们可以修改一下二部图中的算法，使之可以发现花。发现 了，就对其进行收缩，然后在新的图上重新开始。在新图上找到的任意增广路都可以很容易 的对应到原图中的增广路，而且，由上面的引理可知，如果在新图中匹配是最大的，那么原 图中对应的匹配也是最大的。
下面是算法的正式描述。令 为图 的一个匹配， 为未被匹配顶点的一个子集（如果 每个顶点都是被匹配的，那么这个匹配就是最大匹配），我们要构造一个森林 ，使 中 的每一个顶点在一个连通分支上。像以前那样交替的增加未匹配边和匹配边来扩展 。那 么被添加到 中的 的边与 的距离为奇数。而且，与 距离为奇数的顶点度数为 2（一 条未匹配边，一条匹配边），我们把这样的顶点称为内顶点，而其余的称外顶点。 中所有 的顶点都是外顶点。
是 M 和 P 的对称差，记为
容易证 也是一个匹配，而且所含边数比 M 多一条。
这样的交错路 P 称为一条可增广路。上述分析就产生了下面的“算法”。
匹配算法：
{ 1、 从任意匹配开始。 2、 找当前匹配的一条可增广路。 3、 增广当前匹配。 4、 尽可能地重复上面两步。
} 算法终止的时候，得到一个没有可增广路的匹配 们此时 一定是最大匹配。
完美匹配。如果 A 等于 0 或 1，显然结论成立。下面分两种情况考虑：
数学建模组合优化模型
装箱问题可以分为完全装箱问题和近似装箱问题等类型。常见的求解方法包括贪婪算法、动态规划和 分支定界法等。
调度问题
总结词
调度问题是指在一系列限制条件下，为 一系列任务或作业安排执行顺序或时间 表，以最大化某些目标函数（如利润、 生产率等）的问题。
VS
详细描述
调度问题需要考虑的因素包括任务的优先 级、交货期、资源需求和工艺要求等。常 见的求解方法包括优先级规则、遗传算法 和模拟退火算法等。
解决方案集
多目标优化问题通常需要提 供一组解决方案，而不是单 一的最优解，这要求研究者 们开发新的方法来生成和评 估这些解决方案。
数据驱动的组合优化模型研究
01
数据驱动决策
02
数据预处理
随着大数据技术的不断发展，数据驱 动的组合优化模型成为研究热点。这 些模型能够从大量数据中学习规律， 并用于指导优化问题的求解。
问题概述
生产计划与调度优化是指在满足生产需求的前提下，合理 安排生产计划和调度，以提高生产效率、降低生产成本。
实际应用
生产计划与调度优化广泛应用于制造业、化工等领域。通过数 学建模和优化算法，可以提高生产线的运行效率、降低能耗、
减少生产成本。
解决方案
生产计划与调度优化的解决方案通常包括线性规划、整数规划 等。这些方法通过建立数学模型，对生产计划和调度进行优化
并行计算
利用高性能计算资源，将问题分解为多个子问题并行求解，以提高大规模问题的求解效 率。
多目标优化问题研究
多目标决策
多目标优化问题需要考虑多 个相互冲突的目标，如何权 衡这些目标并找到最优解是
一个挑战。
偏好信息
为了解决多目标优化问题， 需要了解决策者的偏好信息 ，如何准确获取和表达这些
组合优化
组合优化组合（最）优化问题是最优化问题的一类。
最优化问题似乎自然地分成两类：一类是连续变量的问题，另一类是离散变量的问题。
具有离散变量的问题，我们称它为组合的。
在连续变量的问题里，一般地是求一组实数，或者一个函数；在组合问题里，是从一个无限集或者可数无限集里寻找一个对象——典型地是一个整数，一个集合，一个排列，或者一个图。
一般地，这两类问题有相当不同的特色，并且求解它们的方法也是很不同的。
概念定义编辑组合优化（Combinatorial Optimization）问题的目标是从组合问题的可行解集中求出最优解，通常可描述为：令Ω={s1，s2，…，sn}为所有状态构成的解空间，C(si)为状态si对应的目标函数值，要求寻找最优解s*，使得对于所有的si∈Ω，有C(s*)=minC(si)。
组合优化往往涉及排序、分类、筛选等问题，它是运筹学的一个重要分支。
问题分类编辑典型的组合优化问题有：旅行商问题（Traveling Salesman Problem－TSP）；加工调度问题（Scheduling Problem，如Flow-Shop，Job-Shop）；0-1背包问题（Knapsack Problem）；装箱问题（Bin Packing Problem）；图着色问题（Graph Coloring Problem）；聚类问题（Clustering Problem）等。
这些问题描述非常简单，并且有很强的工程代表性，但最优化求解很困难，其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运行时间与极大的存储空间，以致根本不可能在现有计算机上实现，即所谓的“组合爆炸”。
正是这些问题的代表性和复杂性激起了人们对组合优化理论与算法的研究兴趣。
组合优化
组合优化问题一个通俗的定义：所谓组合优化，是指在离散的、有限的数学结构上，寻找一个（或一组）满足给定约束条件并使其目标函数值达到最大或最小的解。
—般来说，组合优化问题通常带有大量的局部极值点，往往是不可微的、不连续的、多维的、有约束条件的、高度非线性的NP完全（难）问题，因此，精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一般是不存在的。
组合优化问题集覆盖问题（set-covering problem）装箱问题（bin-packing problem）背包问题（knapsack problem）指派问题（assignment problem）旅行商问题（traveling salesman problem）影片递送问题（film delivery problem）最小生成树问题（minimum span tree problem） 图划分问题（graph partitioning problem）作业调度问题（job-shop scheduling problem）组合优化问题组合优化问题——装箱问题货运装箱问题截铜棒问题布匹套裁问题。
装箱问题属于NP－难问题组合优化问题——背包问题0/1背包问题：给出几个体积为S 1，S 2，…，S n 的物体和容量为C 的背包；要求找出n 个物件的一个子集使其尽可能多地填满容量为C 的背包。
数学形式：最大化满足∑=n i i i X S 1,1C X S ni i i≤∑=组合优化问题——背包问题广义背包问题：输入由背包容积C和两个向量：物品体积S＝(S1，S2，…，Sn)和物品价值P＝(P1，P2，…，Pn)组成。
设X为一整数集合（物品的标识），X＝1，2，3，…，n，T为X的子集，则问题就是找出满足约束条件，并使总价值最大的子集T。
数学形式：最大化满足∑=niiiXP1,1CXSniii≤∑=niXi≤≤∈1},1,0{组合优化问题——背包问题在应用问题中，设S的元素是n项经营活动各自所需的资源消耗，C是所能提供的资源总量，P的元素是人们从每项经营活动中得到的利润或收益，则背包问题就是在资源有限的条件下，追求总的最大收益的资源有效分配问题。
组合最优化问题资料
1.5 局部搜索算法
假设算法用以解决如下组合优化问题：
min f ( x) s.t. g( x) 0
xD
其中，f (x)为目标函数，g(x)为约束函数，D定义 域．
k k 1 ；当k n 1 时，停止；否则重复step2． (x1, x2, , xn)为贪婪算法所得解．单位体积价 值比越大越先装包是贪婪算法的原则．
这样的算法非常直观，非常容易操作．
启发式算法的性能分析
大规模计算分析
就是通过大量的实例计算,评价算法的计算效 果.算法的计算效果分成两个方面:一方面是算法 的计算复杂性,它的效果通过计算机的中央处理 器(CPU)的计算时间表现;另一个方面是计算解 的性能,它通过计算停止时输出的解表现.
衡量一个算法的好坏通常是用算法中的加，减， 乘，除和比较等基本运算的总次数同实例在计算 机计算时的二进制输入数据的大小关系来度量．
我们对实例的二进制输入长度和算法的基本计
算总次数是粗略估计的，一般是给予一个上 限．一个求解实例 I 的算法的基本计算总次数 C( I )同实例I 的计算机二进制输入长度d( I ) 的关 系常用符号C( I ) f (d( I )) O(g(d( I )))表示，它 的含义是：求解实例 I 的算法的基本计算总次数 C( I ) 是实例输入长度d( I ) 的一个函数，这个函 数被另一个函数g(x) 控制，即存在一个函数g(x) 和一个正常数，使得C( I ) g(d( I )) ．其 中g(x)的函数特性决定了基本计算总次数 的性 能．
择走这条路．i j 的约束可以减少变量的个数，使 得共有n(n1)个决策变量. (1.5)要求商人从城市i
组合优化问题求解算法研究
组合优化问题求解算法研究一、组合优化问题简介组合优化问题是指在给定约束条件下，从若干可能的选择中选择一组元素，使得某个目标函数的值最大或最小。
它在日常生活中具有广泛的应用，如路线设计、工作安排等。
二、暴力枚举算法暴力枚举算法是指将所有可能的情况枚举出来，再从中找出最优解的算法。
它的时间复杂度为O(2^n)，因此在元素数量较小的情况下可以使用。
但随着元素数量的增加，暴力枚举算法无法满足实际需求。
三、贪心算法贪心算法是一种基于贪心思想的算法，它在每个阶段选择最优解，以期望最终结果最优。
由于贪心算法不考虑未来的后果，因此不一定能得到最优解。
但在一些特定的问题中，贪心算法可以得到最优解，如硬币找零问题。
四、动态规划算法动态规划算法是一种通过分解问题为子问题来求解复杂问题的算法。
它可以避免不必要的重复计算，并将问题转化为容易求解的子问题。
典型的应用包括背包问题和最长公共子序列问题。
动态规划算法的时间复杂度为O(n^2)或O(n^3)，因此可以在元素数量较大的情况下使用。
五、分支限界算法分支限界算法是一种基于搜索树的算法，它通过遍历搜索树，依次扩展所有可能的路径，最终找到最优解。
由于搜索树会随着元素数量的增加指数级增长，因此分支限界算法只适用于元素数量较小的情况。
六、遗传算法遗传算法是一种基于遗传学和进化论的算法。
它将问题转化为个体的基因编码，通过选择、交叉和变异等操作来逐步优化个体，最终找到最优解。
遗传算法在处理组合优化问题中具有较强的灵活性和鲁棒性，可以应用于大规模的问题求解。
七、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于统计物理学的随机搜索算法。
它通过随机选择解，并根据一定的概率接受较差的解，从而避免陷入局部最优解。
模拟退火算法通常可以得到接近最优解的结果，并可以应用于处理复杂的非线性组合优化问题。
八、粒子群算法粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法。
它通过模拟群体中粒子的运动来搜索最优解，具有全局收敛能力和高效性，可应用于大规模、高维的组合优化问题中。
组合优化及其在运筹学中的应用
组合优化及其在运筹学中的应用组合优化是一门研究在给定条件下寻找最优组合的学科，它是运筹学中的一个重要分支。
运筹学是一个广泛的领域，它将数学、计算机科学和工程学等多个学科融合在一起，以解决实际问题为主要目标。
其中，组合优化在多个领域中都有着广泛的应用，特别是在排班、航空、交通、能源等行业中。
一、组合优化的基本概念组合优化所研究的对象是组合数学中的“组合集合”。
对于一个元素集合，我们可以从中选择若干个元素组成新的集合。
这样的集合称为组合集合。
组合优化所关心的是，如何在给定的元素和条件下，选择最优的组合集合。
组合优化中所使用的基本工具是排列和组合。
排列是指从元素集合中选出一定数量的元素，且顺序不同视为不同的情况；组合是指从元素集合中选出一定数量的元素，顺序不同被视为同一情况。
对于元素集合 {1，2，3}，它的所有可能的排列和组合如下：排列：组合：在组合优化中，常常要寻找最优解。
最优解是指在满足一定条件下，组合集合中的某一个组合在统计意义下是最可取的。
例如，在排班问题中，一个医院需要根据医生的工作能力和规定的时间表，对医生进行排班。
此时，最优解就是在符合规定时间的情况下，医生的工作效率最高且没有时间冲突的排班方案。
二、组合优化在排班问题中的应用排班问题是指在限定某些条件的前提下，如何安排多个人的时间表，最大化整个系统的效率。
组合优化可以应用于排班问题中，帮助人们寻找出最优的排班方案。
例如，在一所医院中，有若干名医生需要进行排班，给出的条件是每名医生每周只能工作一定的时间，每次工作的时间也是固定的。
同时，每个时间段有不同的患者需求量，需要考虑医生的工作能力和患者的需求。
通过组合优化算法，可以选择最优的排班方案，使医院在满足患者需求的同时，医生的工作效率也能得到最大化。
三、组合优化在物流问题中的应用物流问题是指在不同的地点之间运送货物，并达到最小化成本或最大化利润的问题。
组合优化可以在物流问题中寻找最优的路线安排，从而使运输成本得到最小化。
组合优化及算法
背包问题
• 给定n个容积分别为ai，价值分别为ci的物 品.设有一个容积为b的背包，如何以最大 的价值装包？
平行机排序问题
• M个完全相同的机器，n个相互独立的工件， 加工时间互不相同，每个工件只需在任一 台机器上不中断建工一次，如果安排加工 方案，才能使预定的加工时间最短？
定义 若存在一个多项式函数g(x)和一个验证算法H，对一类判 定问题A的任何一个“是” 实例I，都存在一个字符串S是I的 可行解，满足其输入长度d(S)不超过g(d(I))，其中d(I)为I的输 入长度，且算法H验证S为实例I的可行解的计算时间f(H)不超 过g(d(I))，则称判定问题A是非确定多项式的。
计算复杂性的概念
多项式时间算法 例 构造算法将n个自然数从小到大排列起来
算法 输入自然数a(1),a(2),…,a(n). for (i=1;i<n;i++) for (j=i+1;j<=n;j++) if (a(i)>a(j)){ k=a(i);a(i)=a(j);a(j)=k; }
基本运算的总次数(最坏情形）：2n(n-1)=O(n2)
例 线性规划问题(LP)的判定形式——LP判定问题：
给定一个实数值z，(LP)是否有可行解使其目标值不超过z？ 即：给定z，是否有 {x|cT x z, Ax b, x 0}?
对任何一个优化问题， 可以考虑其三种形式：
最优化形式（原形：最优解） 计值形式（最优值）
难度降低
判定形式（上界）
就有效算法的存在性而言，通常认为三种形式等价！
算法 – 定义
定义：算法是指一步步求解问题的通用程序，它是 解决问题的程序步骤的一个清晰描述.
投资组合优化
投资组合优化投资组合优化是指通过选择最优的资产组合，以最大化资金回报或最小化风险来实现投资目标。
在投资组合优化中，投资者需要根据不同的目标、风险承受能力和时间限制，选择相应的资产，以达到最佳的投资效果。
一、投资组合理论投资组合理论是投资组合优化的理论基础。
它的核心思想是通过资产之间的相互关系，构建一个有效前沿，从中选择一个最佳投资组合。
投资组合理论主要包括以下几个要点：1. 风险和回报的权衡：投资组合中的不同资产具有不同的风险和回报水平。
投资者需要根据自身风险承受能力和回报要求，对不同资产进行选择和配置。
2. 投资组合的多样化：通过将不同种类的资产组合在一起，可以降低整体的风险，并提高预期的回报。
3. 资产的相关性：资产之间的相关性会影响投资组合的波动性。
选择具有低相关性的资产可以有效降低投资组合的风险。
二、投资组合优化方法为了实现投资组合的最优化，投资者可以采用不同的优化方法。
以下介绍一些常用的投资组合优化方法：1. 方差-协方差方法：这是最为常见的投资组合优化方法之一。
通过计算资产的方差和协方差，找到一个最小化方差的投资组合。
这种方法更适用于以风险控制为主要目标的投资者。
2. 马科维茨模型：马科维茨模型是一种基于均值-方差分析的投资组合优化方法。
它通过确定资产的预期回报和方差，构建一个有效前沿，并选择其中的一个最优投资组合。
3. 杠杆效应调整：为了实现更高的回报，投资者可以借入资金进行投资。
然而，这样也会增加投资组合的风险。
因此，在进行投资组合优化时，需要考虑杠杆效应的调整。
三、投资组合优化的注意事项在进行投资组合优化时，投资者需要注意以下几个方面：1. 数据准备：投资者需要获取准确可靠的资产数据，包括历史收益率、波动性等指标。
这些数据是进行优化的基础。
2. 假设的合理性：投资组合优化方法基于一系列假设，如市场是有效的、投资者行为是理性的等。
投资者需要对这些假设进行审视，并根据自身情况做出相应调整。
组合优化的概念
组合优化的概念组合优化是运筹学中的一个分支，研究如何在给定的资源限制下，找到最优的组合方案。
它涵盖了多个领域，如数学、计算机科学、经济学等，并在实际生活中具有广泛应用。
组合优化问题通常包括了以下几个要素：决策变量、目标函数和约束条件。
决策变量指的是需要选择的一组决策变量，可以是物品、活动、战略等等。
目标函数则是需要优化的目标，可以是最大化利润、最小化成本、最大化效益等等。
约束条件则是对决策变量的限制，可以是资源约束、技术限制、经济条件等等。
组合优化的基本目标是找到一个可行解，使得目标函数的值达到最优。
这涉及到如何对决策变量进行组合，使得目标函数最大或最小。
例如，在物流领域，需要确定一组路径来最小化总运输成本；在投资领域，需要确定一组投资组合来最大化预期收益。
组合优化问题可以分为离散型和连续型两种。
离散型问题中，决策变量的取值是从一个有限集合中选择的；而连续型问题中，决策变量的取值是从一个连续范围中选择的。
两者在建模和求解方法上会有所不同。
求解组合优化问题的方法有很多，常见的方法有暴力搜索、线性规划、整数规划、动态规划、贪婪算法、遗传算法等。
选择恰当的求解方法取决于问题的性质、规模和求解的时间要求。
对于小规模的问题，可以使用暴力搜索等方法进行求解；对于大规模的问题，通常需要使用启发式算法或近似算法。
组合优化问题在实际生活中有很多应用。
例如，在物流管理中，需要确定最佳的路径和分配方案来最小化运输成本；在生产调度中，需要确定最佳的生产序列来最大化工作效率；在任务分配中，需要确定最佳的人员分配方案来最大化资源利用率。
组合优化的研究和应用可以减少成本，提高效率，优化资源分配，提高决策质量。
总之，组合优化是运筹学的一个重要分支，研究如何在资源约束下，找到最优的组合方案。
它涉及到决策变量、目标函数和约束条件等要素，并采用不同的求解方法来求解问题。
组合优化在实际生活中有着广泛的应用，可以优化决策，提高效率，降低成本。
组合最优化简介
组合最优化简介在当今复杂多变的世界中，组合最优化作为一门重要的学科，正发挥着越来越关键的作用。
它不仅在数学领域有着深厚的根基，还广泛应用于计算机科学、经济学、管理学等众多领域，帮助我们解决各种各样的实际问题。
组合最优化，简单来说，就是在给定的有限个可行解集合中，找出最优的解。
这个最优解可以是使某个目标函数达到最大值，也可以是达到最小值。
想象一下，你要安排一场会议，有多个会议室可供选择，每个会议室的容纳人数、设备条件不同，租金也不一样，而你需要根据参会人数、预算、对设备的需求等因素，选出最适合的会议室。
这就是一个简单的组合最优化问题。
组合最优化问题有很多特点。
首先，它的可行解数量通常是有限的，但可能非常庞大。
比如在物流配送中，要从众多的配送路线中选择最优的那一条，可能的路线组合数量会让人眼花缭乱。
其次，这些问题往往具有离散性，也就是说，解不是连续变化的，而是一个个离散的点。
再者，很多组合最优化问题都具有很强的实际背景，它们不是凭空想象出来的，而是来自于我们日常生活和工作中的各种需求。
让我们来看看一些常见的组合最优化问题。
旅行商问题（Travelling Salesman Problem，TSP）就是其中的经典之一。
假设一个旅行商要访问若干个城市，每个城市只能访问一次，最后回到出发地，如何规划路线才能使总行程最短？这看似简单，实则极富挑战性。
背包问题（Knapsack Problem）也很有趣。
给定一个背包的容量和一些物品，每个物品都有一定的重量和价值，如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大？还有设施选址问题，比如要在一个地区建设一些仓库，以满足周边客户的需求，同时要考虑建设成本、运输成本等因素，如何确定仓库的位置才能使总成本最小？为了解决这些组合最优化问题，人们提出了各种各样的方法。
精确算法是其中的一类，它们能够保证找到问题的最优解，但往往计算复杂度很高，只适用于规模较小的问题。
比如分支定界法，它通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行评估和筛选，逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。
组合优化问题及算法
一些例子
3. 有 约 束 的 机 器 调 度 问 题 ( capacitated machine scheduling) 个加工量为{ |i=1 ,n}的产品在一台机器上加工 n 个加工量为 { di|i=1,2,…,n} 的产品在一台机器上加工 ， ,n} 的产品在一台机器上加工， 机器在第t个时段的工作能力为c 机器在第 t 个时段的工作能力为ct,求使完成所有产品加工所需 时段数最少的调度方案 min T
max ∑ c i x i
i =1 n n
s.t.
∑a x
i =1 i
i
≤b i = 1, L , n
-3-
x i ∈ {0,1},
一些例子
旅行商问题(TSP， 2. 旅行商问题(TSP，traveling salesman problem) 一个商人欲到n个城市推销商品，每两个城市i 一个商人欲到 n个城市推销商品，每两个城市i 和j之 间的距离为d 间的距离为 dij， 如何选择一条道路使得商人每个城市正 好走一遍后回到起点且所走路径最短。 好走一遍后回到起点且所走路径最短。
-7-
启发式算法
邻域概念
对于组合优化问题( D,F,f),D上的一个映射 上的一个映射： 对于组合优化问题 ( D,F,f),D 上的一个映射 ： N:S∈D → N(S)∈2D N(S)∈ 称为一个邻域映射， 其中2 表示D 称为一个邻域映射 ， 其中 2D 表示 D 的所有子集构 成的集合，N(S)称为 的邻域。 称为S 成的集合，N(S)称为S的邻域。 邻域的构造依赖于问题决策变量的表示， 邻域的构造依赖于问题决策变量的表示，邻 域的结构在现代化优化算法中起重要作用。 域的结构在现代化优化算法中起重要作用。
-12-
组合优化的局部寻优法
f(x)
采用如下邻域定义：
N(x) y Z y x 1
则，N(6)={(5,7)}
*
*
**
**
*
**
*
++++++++++
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
图中，x=9为f的全局最优点（最小点），x=5是局部最小点。
局
1、局部寻优算法
局部寻优法也许是以最古老的最优化方法(试
部 错法)为基础的，是解决组合最优化问题最有效
寻 的方法之一，是“爬山法”的离散模拟。
优
算
法
一般局部寻优算法
Procedure 局部寻优 Begin
t:=F中的某个初始起点； while improve(t)≠“no”,do
t:= improve(t); return t end
从某个初始可行解t∈F开始，利用子程序 Improve在它的邻域里搜寻一个更好的解。只要 一个改进的解存在，我们就采用它，并从这新的 解出发重复邻域搜索过程；当我们得到一个局部 最优解时，就停止。
以证明附加的运算时间是合算的。
Lin论文的发表促进了局部寻优法对其他各种问
题的应用
构海 底 天 然 气 管 道 系 统 拓 扑 结
点1代表岸上的工厂，2至15的每个点各代表气 田上的一个钻井平台，每个平台有估计的日产量。 我们可以假设每个气田的位置是已知的，问题是 选择一棵树，它的边代表管道，通过这些管道收 集天然气，并输送到岸上的工厂去。
郎
问 1958年，发表了两篇文章用货郎问题k交换局部 寻优法，并且两篇文章都把这个想法与类似于分
题 枝定界的枚举法结合起来，以便得到最优解。 Croes用了N2,Bock用了N3 1965年,Sherman和Reiter检验了许多不同的领 域,但是是lin首先令人信服地说明了3交换邻域N3 的威力
数学的组合优化
数学的组合优化数学的组合优化是运用组合数学和优化方法来解决一类特定问题的数学分支。
它的目标是找到最佳的组合方式，以满足特定的目标函数和约束条件。
这种技术广泛应用于各种领域，如工程、运输、制造、电信、金融等，以提高效率和优化资源利用。
一、组合优化的概念和基础知识组合优化问题主要涉及从一个给定的集合中选择一组对象，以满足一些特定的条件。
其中组合指的是从集合中选择若干个对象进行排列组合。
优化指的是通过调整选择的组合，使得目标函数最优。
组合优化问题通常包括以下几个要素：1. 集合：给定一个元素的集合，通常用符号S表示。
2. 目标函数：用于衡量选择的组合的好坏，通常用符号f(S)表示。
3. 约束条件：限制组合的选择，通常用一组条件或不等式表示。
组合优化问题可以通过数学模型表示，并采用各种优化算法来求解。
常用的优化算法包括线性规划、整数规划、动态规划、贪心算法、遗传算法等。
二、组合优化的应用领域1. 交通运输领域：组合优化可以应用于交通路线规划、配送路径优化、公交车调度等问题。
通过优化交通路线，可以减少交通拥堵、提高交通效率，降低能源消耗和环境污染。
2. 生产制造领域：组合优化可以应用于生产排程、资源分配、机器调度等问题。
通过对生产过程进行优化，可以提高生产效率、降低成本，增强企业竞争力。
3. 电信网络领域：组合优化可以应用于无线网络规划、信号传输路由优化、频谱分配等问题。
通过优化电信网络的布局和配置，可以提高网络覆盖率和通信质量，满足用户需求。
4. 金融投资领域：组合优化可以应用于资产配置、投资组合优化等问题。
通过优化资产配置，可以实现风险和收益的平衡，提高投资回报率。
三、组合优化的挑战和解决方法组合优化问题由于其复杂性和多样性，常常面临一些挑战。
其中主要包括：1. 组合爆炸：由于组合优化问题的规模庞大，穷举搜索往往是不可行的。
解决这个问题的方法通常是采用启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法等，通过随机搜索和逐步优化来寻找最优解。
浅谈组合最优化教学中的一些体会 文档
浅谈“组合最优化”教学中的一些体会基金项目：本文系国家自然科学基金项目NSFC（10901142）的研究成果。
什么是组合最优化？这一概念很多人可能都会感到比较陌生。
也有一些人会立即想到很多报纸上经常报道说某某单位对很多人员的工作岗位进行了重新调整，经过重新组合调整后人们的工作效率有了较大幅度的提高。
那这是不是组合最优化？这其实也是一种组合最优化。
所谓组合最优化，一个比较通俗的定义是：从离散的、有限的可行解集合中，寻找一个最优的可行解，使得它满足给定的约束条件并使某个目标函数达到最大或者最小。
在上述例子中，由于人员和工作岗位都是有限的，因此所有的分配方案就构成了一个有限的可行解集合。
进一步，因为人员之间的工作能力是不相同的，每个工作岗位也必须分配给适合这个岗位的人，这就构成了相应的约束条件。
而我们的目标是使人员的工作效率达到最高或者用最短的时间完成给定的任务。
“组合最优化”是运筹学与管理学专业研究生的一门专业课程。
为了让学生认真学习这门课程，我们必须尽可能使用一些简单的、有趣的例子来吸引学生的兴趣。
在这方面，组合最优化问题有着得天独厚的优势，因为组合最优化问题一个最显著的特点就是它的趣味性非常强。
绝大多数的组合最优化问题都是非常通俗易懂的，而且需要不像其他的一些数学学科，在实际中有着广泛的应用背景。
．很深的数学功底。
解决这类问题又体现了相当强的方法巧妙性，因此吸引了很多专业和非专业的爱好者去研究。
以下简单介绍一些常见的组合优化问题。
一、问题介绍称次品问题：有一批物品和一架天平（有左右两个托盘以及足够多的砝码），已知物品中包含若干件次品，且次品的重量和正品不一样。
怎么才能用最少的次数准确找出所有的次品。
最短路问题：某人要开车从A地到B地，中间需要途经若干个城市。
假设相邻的两个城市之间都有至少一条道路，每条道路的距离是给定的，我们的问题是选择走哪条路线从A地到B地路程最短？最大流问题：物流公司每天都要从A地到B地运送很多货物，中间需要途经若干个城市。
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weili@
主要内容
•组合最优化问题概论
•现代最优化计算方法
–禁忌搜索（tabu search）
–模拟退火（simulated annealing）
–遗传算法（genetic algorithms）
–人工神经网络（neural networks）
–拉格朗日松弛算法（Lagrange slack arithmetic）
•组合最优化（combinatorial optimization ）
–是通过对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等
–组合最优化问题的数学模型
其中，f(x)为目标函数，g(x)为约束函数，x 为决策变量，D 表示有限个点组成的集合
D
x 0
g(x) .t .s )
x (f min ∈≥
•组合最优化（combinatorial optimization ）
–一个组合最优化问题可用三参数（D,F,f ）表示，其中D 表示决策变量的定义域，F 表示可行解区域F 中的任何一个元素称为该问题的可行解，f 表示目标函数。
满足的可行解称为该问题的最优解
–组合最优化的特点是：可行解集合为有限点集
–有可行解一定有最优解
}0)x (g ,D x |x {F ≥∈=}F x |x)(f {min )x (f *∈=*x
•组合最优化问题
例1.（最优投资问题）设一个人的财富为b ，现有n 只价格为、预期收益分别为的股票，如何选择投资策略使得该人投资收益最大？解：用数学模型表示为：
)n ,2,1i (a i L =)n ,2,1i (c i L =(3)
n ,2,1i },1,0{ x
(2) ,b x a .t .s (1)
x c max i n 1
i i i n
1
i i i L =∈≤∑∑==
•组合最优化问题
例2.（旅行商问题）一个商人欲到n 个城市推销商品，每两个城市i 和j 之间的距离为，如何选择一条道路使得商人每个城市走一遍后回到起点且所走路经最短。
注：旅行商问题还可以细分为对称和非对称距离两大类问题。
当时，称为对称距离旅行商问题，否则称为非对称距离旅行商问题。
ij d j ,i ,d d ji ij ∀=
•组合最优化问题
例2.（旅行商问题）解：用数学模型表示为：
(8)
n ,2,1i },1,0{ x (7)
}n 1,2,{i s 2,-n s 2 ,1-s x
(6)
n 1,2,j ,1x
(5) n 1,2,i ,1x .t .s (4) x d max i s j i,ij n
1
i ij n
1
j ij j
i ij
ij L L L L =∈=⊂≤≤≤====∑∑∑∑∈==≠
•局部领域搜索算法的推广，是人工智能在组合优化算法中的一个成功应用
•Glover在1986年首次提出这一概念，进而形成一套完整算法，该算法的特点是采用了禁忌技术
•禁忌就是禁止重复前面的工作
•为了回避局部领域搜索陷入局部最优的主要不足，禁忌搜索算法用一个禁忌表记录下已经到达过的局部最优点，在下一次搜索中，利用禁忌表中的信息不再或有选择地搜索这些点，以此来跳出局部最优点。
•应用实例：
–图节点着色问题
–车间作业调度问题
•参考文献：
–Glover F. Tabu search: part I. ORSA Journal on Computing,
1989, 1, 190~206
–Glover F. Tabu search: part II. ORSA Journal on Computing, 1990, 2, 4~32
模拟退火算法（simulated annealing）
•是一个全局最优算法
•最早由Metropolis在1953年提出，Kirkpatrick在1983年成功地应用在组合最优化问题中
•退火是一种物理过程，一种金属物体在加热至一定的温度后，它的所有分子在状态空间D中自由运动，随着温度的下降，这些分子逐渐停留在不同的状态，在温度最低时，分子重新以一定的结构排列
•组合优化问题同金属物体退火类比：
组合优化问题金属物体
解状态
最优解能量最低的状态
费用函数能量
模拟退火算法（simulated annealing）
•应用实例：
–下料问题
•参考文献：
–Kirkpatrick S, Gelatt Jr C D, Vecchi M P. Optimization by simulated annealing. Science, 1983, 220: 671~680
–Aarts E H L, van Laarhoven P J M. Simulated Annealing:
Theory and Application. Dordrecht: D Reidel Publishing
Company, 1987
•在70年代初期由美国密歇根大学（Michigan Uni.）的Holland教授发展起来的，1975年，Holland发表了第一本比较系统论述遗传算法的专著《Adaptation in Natural and Artificial Systems》
•遗传算法主要借用生物进化中“适者生存”的规律，“适者生存”揭示了大自然生物进化过程中的一个规律：最适合自然环境的群体往往产生了更大的后代群体
•遗传算法在求解很多组合优化问题时，不需要有很强的技巧和对问题有非常深入的了解
•应用实例：
–排序、布局问题
–生产批量问题
•参考文献：
–Holland J H. Adaptation in Natural and Artificial Systems. MIT Press, 1975
–Goldberg D E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley Publishing Company, 1999
•神经网络的研究可以追溯到19世纪，James在1890年的《Psychology(Briefer Course)》一书中描述了神经网络的基本原理：大脑皮层每一点的活力是由其他点势能释放的综合效能产生，这一势能同下面的因素有关：1）相关其他点的兴奋次数；2）兴奋得强度；3）与其不相连的其他点所接受的能量•神经网络的基本原理是构造人工神经网络模型的一个基本依据•人工神经网络的早期工作可以追溯到1943年McCulloch和Pitts 建立的第一个模型
•20世纪80年代，Hopfield将人工神经网络成功地应用在组合优化问题
•应用实例：
–识别问题
–旅行商问题
•参考文献：
–McCulloch W, Pitts W. A logical calculus of the ideas imminent in nervous activity. Bulletin of Mathematical Biophysics, 1943, 5: 115~133
–Hopfield J, Tank D. ‘Neural’computation of decisions in
optimization problems. Biological Cybernetics, 1985, 52:
141~152
•禁忌搜索、模拟退火、遗传算法和人工神经网络以极小优化目标函数为例，给出的都是最优值的上界，拉格朗日松弛算法是求解下界的一种方法
•评价一个算法好坏的一个标准是考察它所计算的目标值同最优目标值的差别，由于组合优化问题的难度，求解最优值时非常困难的，解决这个难点的一个有效方法是通过计算上下界，用上界和下界的差来评价算法，拉格朗日松弛算法的实现比较简单，不仅可以用来评价算法的效果，同时可以用在其他算法中以提高算法的效率
•拉格朗日松弛算法的基本原理是：将造成问题难的约束吸收到目标函数中，并使得目标函数仍保持线性性，由此使得问题容易求解
•应用实例：
–集合覆盖问题
–单机排序问题
•参考文献：
–Fisher M L. The Lagrangian relaxation method for solving
integer programming problems, Management Science, 1981, 27(1): 1~18
–Xing W, Zhang J, Jiang Q et al. Capacitated single flexible
manufacturing cell with setups: model, complexity and
Lagrangean relaxation. In: Ding-Zhu Du et al ed. Operations Research and Its Applications. 1995, 162~170。