【公开课课件】高中数学人教A版选修：变化率(成都七中)

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高中数学人教A版选修22.变化率问题及导数的概念精品PPT课件

高中数学人教A版选修22 .变化率问题及导数的概念课件- 精品课件ppt( 实用版)
B
y'|x=x0 = 2x0 k=3.31
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1.函数的平均变化率 f ( x) f (x2 ) f ( x1)
合作探究
问题3：函数的平均变化率
B A
称为函数y=f(x)从x1到x2 的平均变化率.
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平均变化率
？
思考：平均变化率的几何意义是什么?
A 、B两点变化率问题及导数的概念课件- 精品课件ppt( 实用版)
合作探究
导数的概念
1.瞬时速度与平均变化率
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度趋近于确定值–13.1”.
？
思考：
运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
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同理可得
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总结归纳
导数的概念
求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法: 1.求函数的增量
2.求平均变化率 3.求极限
一差、二比、三极限
练一练
1.求函数f (x) = -x2 + x在x=-1的导数． f'(-1)=3

变化率问题说课课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

缩短时间段长度
（2）你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？
LOGO
瞬时速度v(t0)
• 我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0
当∆t >0时， 1十∆t在1之后，用运动员在时间段[1, 1十∆t]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度；
7
创设情境导入新课
设计意图：（1）学生观看两个视频，体会列车和火箭的运动快慢程度，同时感叹中国科技的腾飞，在飞速发展的科技中，数学起着至关重要的作用。（2）作为引饵，引出新课，新概念.
探究新知，引出概念
LOGO
问题1 高台跳水运动员的速度
探究在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系
教法学法 LOGO
教法：培养学生自主学习的能力，以及动手操作能力，使得不同层次的学生都能获得相应的满足探究式教学；提问式教学；分层次教学学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力。
教学过程
应用新知巩固提高讨论研究深化理解探究新知引出概念创设情境导入新课
分层作业板书设计归纳反思回顾总结
【设计意图】通过对具体问题的思考和分析，引起学生的认知冲突，启发学生归纳总结出瞬时速度的概念，发展学生的数学抽象，数学运算和数学建模能力。
2.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity).
讨论研究，深化理解
思考：（1）瞬时速度与平均速度有什么关系？平均速度
【设计意图】
（1）使学生加深对瞬时速度概念的理解，能够独立并且熟练的求瞬时速度；（2）体现了以学生动手为主体，提高学生计算的能力；（3）提高学生归纳总结和分析问题的能力.

高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数课件新人

,
1 x
1 x x
x
1 x
所以 lim y = lim (3+ 2 )=5,
x x 0
x 0
1 x
所以 f′(1)=5.
方法技巧根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 y = f (x0 x) f (x0) ;
第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义
课标要求
1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率. 2.理解函数在x0处的导数的定义和导数的几何意义. 3.会求函数在x0处的导数与切线方程.
素养达成
通过对导数概念与几何意义的学习,提高学生观察、归纳、抽象概括的能力,培养学生的应用意识.
新知探求课堂探究
新知探求素养养成
知识点一平均变化率
问题1:我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
答案:可以从气球的平均膨胀率去考虑,当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) ≈0.62(dm/L);当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增
均变化率的值.
解:当自变量从 x0 到 x0+Δx 时,函数值的改变量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[2(x0+Δx)2+1]-(2 x02 +1)=4x0Δx+2(Δx)2,

高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件

第一章导数及其应用
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．【核心扫描】
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
误区警示忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系【示例】设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式＝＝中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则＝0. Δx
活页规范训练
题型二物体运动的瞬时速度【例 2】一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取极限．
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
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人教A版高中数学选修1-1 3.1变化率与导数名师公开课市级获奖课件(27张)

Δ�� →0
4.导数的意义
几何函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,就是曲线 y=f(x)在 x=x0 处的切线 f (x +��x )-f (x 0 ) 意义的斜率,即 k=f'(x0)= �� 0
��x →0 ��x
物理如果物体的运动方程是 s=s(t),那么函数 s=s(t)在 t=t0 处的导意义数,就是物体在 t=t0 时的瞬时速度 v(t0),即 v(t0)=s'(t0)
【做一做1】 (1)下列说法错误的是( ) A.函数的平均变化率可以大于零 B.函数的平均变化率可以小于零 C.函数的平均变化率可以等于零 D.函数的平均变化率不能等于零 1 (2)函数 y=�� 在区间[2,4]上的平均变化率等于
Δ�� 解析: (2)平均变化率 Δ��
.
f (x 2 )-f (x 1 ) x 2 -x 1
位移 s 关于时间 t 的函数 s(t)在时间 s (t )-s (t ) 表达式:v = 2 1 t 2 -t 1 段[t1,t2]上的平均速度
名师点拨Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘,它表示自变量的改变量,可以为正,也可以为负,但不能等于零;Δy是相应函数值的改变量,它可以为正,可以为负,也可以等于零,若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)f(x2).
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)平均变化率等于0时,说明函数没有发生变化. ( ) (2)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率. ( ) (3)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关,只与x0有关. ( ) (4)曲线的切线与曲线只有一个公共点. ( ) (5)曲线y=f(x)的过点(x1,y1)的切线的斜率为f'(x1). ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×

高中数学人教A版选修2-2课件1-1-1变化率问题2

[解析] ∵fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2
＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx.
∴函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝
1 2
时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝
6×1＋3×0.5＝7.5；
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
[答案] A [解析] 平均速度 v ＝s33＋＋ΔΔtt－－s33
＝3＋Δt2＋Δt3－32－3＝6Δt＋ΔtΔt2＝6＋Δt.
故应选A.
• 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1， xB＝，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率．习惯上用 Δx 表示 x2－x1，用
__x_1_＋__Δ_x_代替 x2；类似地，__Δ_y_＝__f(_x_2_)－___f(_x_1)_，于是平均变化率
可以表示为ΔΔyx.
牛刀小试
1．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度
为( )
跟踪练习
求函数 y＝x3 从 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当 x0＝1， Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 本题可直接利用平均变化率的定义求解．先求出表达式，再直接代入数据可以求得相应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0＝x0＋ΔΔxx3－x30＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2
跟踪练习
• 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，设函数y＝f(x)从－1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小关系为( )

5.1.1 变化率问题课件2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第

t t 0
t 0
t
1 g (3 t)2 1 g 32
lim 2
2
=
lim 1 g(6 t) 3g 29.4
(米/秒).
t 0
t
2 t 0
答案：29.4
2. 已知曲线 y 2x2 上一点 A(2,8) ，则过点 A 处的切线斜率为( )
A．4
B．16
C．8
D．2
解：由已知，过点 A 处的切线斜率为 k lim 2(2 x)2 2 22 lim (8 2x) 8 ，故选 C.
h(t1) t1
4.9(t1
t2 )
4.8 (m/s)
v
h( 48) 49 48
h(0) 0
4.9(0
48) 49
4.8
0 (m/s)
49
【发现】运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 但是这段时间内，运动员仍在运动之中， 49
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态！
x
【几何意义】从几何图形上看，当横坐标间隔 | x | 无限变小时，点 P 无限趋近于点 P0 时，
割线 P0 P 无限趋近于点 P0 处的切线 P0T ，这时，割线 P0 P 的斜率 k 无限趋近于点 P0 处的
切线 P0T 的斜率 k0 ，因此切线 P0T 的斜率 k0 2 .
小组互动
完成课本 P64 练习 1、2
可以利用几何画板等信息技术工具，或者手绘动态分解图，
演示图中 P0 P 的动态变化趋势.
【类比】与研究瞬时速度类似，在点 P0 (1,1) 的附近任取一点 P(x, x2 ) ，考察抛物线 f (x) x2 的割线 P0 P 的变化情况.

高二数学人教A版选修1-1课件：3.1 变化率与导数

迁移应用
二、导数概念的理解与运用
(1)函数在某点处的导数即为函数在这点的瞬时变化率.函数在某点处的导数的概念包含两层含义:
①若 lim Δ �� →0
��yx存在,则称
f(x)在
x=x0
处可导并且导数即为极限值;
②若 �� x →0
则 f'(x0)=x0+2.
由已知 x0+2=4,∴x0=2,故选 D.
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
质点运动规律s=t2+3t(其中位移单位:m,时间单位:s),那么该物体在2 s时的瞬时速度是( ) A.5 m/s B.6 m/s C.7 m/s D.8 m/s 答案:C
Δ�� Δ��
=
3Δ��+Δ��1��2+ΔΔ��=3+1+2Δ��,
∴ lim Δ �� →0
��y ��x
=
��
��x →0
3
+
2 1+Δ��
=5,
∴f'(1)=5.
一二三
=
(3+Δ��)2-32 Δ��
=
6Δ��+Δ��(��Δ��)2=6+Δx.
∴k1<取k2<kΔ3.∴x函=数13y时 =x2,在k1x==3附2+近13的平=均73变,k化2率=最4大+.13 = 133,k3=6+13 = 139,

数学：111《变化率与导数讲义变化率问题》课件(新人教A版选修2-2)

• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m )
气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
10
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2 )r(1 )0 .1 6 (d m )
气球的平均膨胀率为 r(2)r(1)0.16(dm/L 显)然
21
0.62>0.16
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
1.1.1变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度 ,如何描述这种现象呢?
253t
总结：
• 1.函数的平均变化率
f
(x) x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f f(x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒
数学：111《变化率与导数变化率
教学目标
• 了解函数的平均变化率 • 教学重点： • 函数的平均变化率与导数
1.1.1变化率问题
导数研究的问题变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;

四川省成都市第七中学高中数学人教A版选修1-1课件：1

1.1.2 四种命题的相互关系
pq
“若 p , 则 q ” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的 p叫做命题的条件,q叫做结论.
记做:
2
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别
有什么关系1. ？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
p 2. 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
15
练习：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假. （3）奇函数的图象关于原点对称. 解：逆命题: 图象关于原点对称的函数是奇函数（. 真命题）否命题: 不奇函数的函数图象不关于原点对称（. 真命题）逆否命题: 图象不关于原点对称的函数不是奇函数.
（真命题）
16
一般地，一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下关系：
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
p 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
q
┐q
┐p
互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另
一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命
题叫做互为逆否命题。如果其中一个命题叫做原
否命题:当c>０时,若a≤b,则ac≤bc . 否命题为真.
逆否命题:当c>０时,若ac≤bc,则a≤b. 逆否命题为真.
练习：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假. （1）若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除；解：逆命题:（假命题）
若一个整数能被5整除,则一个整数的末位数字是0. 否命题:（假命题）若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除；逆否命题:（真命题）若一个整数不能被5整除,则一个整数的末位数字不是0.

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课后作业
2．某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间 t（单位：s）满足关系式y＝5t2＋6．求：（1）2≤t≤3这段时间的平均速度；（2）t＝2s时的瞬时速度．
变化率问题（1）
微物体的运动积分曲线的切线的函数的最大（小）值创立长度、面积、体积和重心
牛顿（Isaac Newton，1643年－ 1727年），英国物理学家、数学家.
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家.
有v h(1) h(1 t) 1 (1 t)
(4.9 4.8 11) [4.9(1 t)2 4.8(1 t) 11]
t 4.9(t)2 5t 4.9t 5.
t
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所以 v(2) lim(4.9t 14.8) 14.8 . t 0
问题3 你能推导出任意时刻t0时瞬时速度的表达式吗？
因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在时
间段[t0，t0＋Δt]（或[t0＋Δt ，t0]）的平均速度为
v h(t0 t) h(t0 ) t
4.9(t0 t)2 4.8(t0 t) 11 (4.9t02 4.8t0 11) t
4.9(t)2
9.8t0t t
4.8t
4.9t
9.8t0
4.8
.
所以v(t0 )
lim(4.9t
t 0
9.8t0
4.8)
9.8t0
4.8
.
通过不断缩小时间间隔，用平均速度逼近得到了瞬时速度. 瞬时速度是平均速度当时间间隔无限趋近于0时的极限. 无限逼近的极限思想，是微积分学的基础.

高中数学人教A版选修2-2 变化率问题课件(20张)

活动1：气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r 4 3 (单位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3
如果把半径r表示为体积V的函数, 3V 那么r V . 4
65 h( ) h(0) v 49 0( s / m) 65 0 49
O
65 65 t 98 49
t
练一练
一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t) 在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s) （1）[1, 3]; 4 思考：（2）[1, 2]; 3 2.1 （3）[1, 1.1]; 如何刻画t=1这一时刻（4）[1, 1.001]; 2.001 质点运动的快慢程度呢？（5）[1, 1.0001]; 2.0001 2 （6）[0.999, 1]; 1.999 （7）[0.99, 1]; 1.99 （8）[0.9, 1]. 1.9
y元/m2 y
某小区近十年来的房价变化如下图所示
(13,11000) (12,11000)
11000
情境2 8000
5500 2400
(11,8000) 12
11, (10,5500)
(1,2400)
(1997)
1 1995
(2007) (2008)(2009)
11 20062007 12 13 2005
3
0.62>0.16 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 （ 2）类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 2 1