四川大学《大学数学-微积分》期末考试试卷B(末尾含答案解析)
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四 川 大 学 期 末 考 试 试 卷（B）
（20 —20 年第二学期） 科目：《大学数学》（微积分）
适用专业年级：数学一各专业 20 级本科生
题号 一 二
三
四
五
得分
总分
任课教师： 线
姓名： 订
学号 ：
考试须知
四川大学学生参加由学校组织或由学校承办的各类考试，必须严格执行《四川大学考 试工作管理办法》和《四川大学考场规则》。有考试违纪作蔽行为的，一律照《四川大学学 生考试违纪作蔽处罚条例》进行处理。
四川大学各级各类考试的监考人员，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》、四 川大学考场规则》和《四川大学监考人员职责》。有违反学校有关规定的，严格按照《四川 大学教学事故认定及处理办法》进行处理。
一．选择题（每小题3分，共15分）
1. 方程 y2 z 2 4x 8 0 ，表示（ ）.
A．单叶双曲面 C．锥面
学院：
线
四川大学期末考试试卷
y = C1 y1 + C2 y2 ___________________
A.是该方程的通解 C.是该方程的特解
B.是该方程的解 D.不一定是方程的解
二．填空题（每小题3分，共15分）
1.
已知有向线段
P1P2
的长度为6，方向余弦为
2 ，1 33
,
2 3
,
P1点的坐
标为(3, 2, 5)，则P2点的坐标为 ________.
3.在上半平面求一条向上凹的曲线 ，其上任一点 P(x, y) 处的曲率
(曲率K
y
1 )等于此曲线在该点的法线段 PQ
[1 ( y)2 ]3/ 2 1 ( y)2
长度的倒数 ( Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点 (1，1) 处的切线
与 x 轴平行 ．
线
订
装
五．证明题（每小题8分，共16分）
2z x 2
4
2 u
z
2
12
2z uv
9
2 v
z
2
2 z 2 2 z 2 z 3 2 z
xy
u 2 uv v 2
整理后可得： 2 z 0 uv
-2-
微积分 一 解答
2. 证：
（1）若
n1
a n收敛，则
由定义有
lim
n
S
n
S存在，。
且S
0，于是 lim 1 n Sn
1 S
0 ， 则
B．双叶双曲面 D．旋转抛物面
2. 设F (x y, y z, z x) 0，则 z ( ). x
A. F1 F3 F2 F3
B. F2 F1 F2 F3
C. F1 F3 F2 F3
D. F1 F3 F2 F3
3.函数z ln(x y)在抛物线y2 4x上点（1，2）处，沿着这抛物线 在该点处偏向X轴正向的切线方向的方向导数为（ ）
四．应用题（每小题10分，共30分） 1.在 xoy 平面上求一点 ，使它到三直线 x 0 ，y 0 及 x 2y 16 0 的距离的平方和为最小 ．
2.求由曲面 z x2 y 2 夹在两曲面x2 y 2 y，x2 y 2 2 y 之间的面积 。
第4页 共6页
装
四川大学期末考试试卷
1.证明，变换
u v
x 2y x 3y
可把方程
6
2 x
z
2
2z xy
2z y 2
0 简化为 2 z 0 ． uv
第5页 共6页
四川大学期末考试试卷
2.设Sn表示正项级数 an 的前n项之和，试证
n1
（1）若
n1
an收敛，则
n1
1 Sn
发散。
（2）若
n1
1 Sn
收敛，则
n1
Baidu Nhomakorabea
2.曲面 z ez 2xy 3在点(1,2,0)处的切平面方程为
________ 0.
3.点 M (-3，4，-5) 到 YOZ 平面的距离为________.
4. 设f
(x)
, x
3x
2
1,0
0 x
,
f
( x)以2为周期，函数x)的付立叶
级数在 x =0 处收敛于________..
5.级数
n1
(2
x
n
1)
n
的收敛区间是
______
.
三．计算题（每小题8分，共24分）
1.设函数 Q(x，y) 在 xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L 2xydx Q(x, y)dy 与路径无关，并且对任意 t ，恒有
(1, t)
(t , 1)
(0,0) 2xydx Q(x, y)dy (0,0) 2xydx Q(x, y)dy
求 Q(x, y) ．
订
装
第2页 共6页
线
订
四川大学期末考试试卷
2.求曲面积分：I yzdzdx (z 1)dxdy ，其中 是求面
x2 y 2 z 2 4 外侧在 z 0 的部分 ．
. 3.求微分方程 y 5y 6y 2e x 的通解 ．
第3页 共6页
装
线
订
四川大学期末考试试卷
an发散。
线
订
装
第6页 共6页
微积分 一 解答
《大学数学》（微积分） 数学一 试卷(B)解答：
一．选择题
1.答案:(D) 2.答案:(A) 3.答案:(A) 4.答案:(B) 5.答案:(B)
二．填空题
1. 答案:((-7，4，9)) 2. 答案:(2x-y+4) 3. 答案:(3)
4..答案: 1
A. 2 3
B. 3 3
C.1
D. 3
4.
1
dx
x
e
y
2
01
dy
（
）.
A. 1 (e1 1) 2
B. 1 (e 1) 2
C. 1 (e 1) 2
D. 1 (e1 1) 2
5.若 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程 y p(x)y q(x)y 0 的两个特解,则
第 1 页 共 6页
年级： 装
2
5. 答案:([-1,0])
三．计算题
1.解：
Q (2xy) 2x Q x2 C( y) (C( y) 待定） x y
由题设等式有t 2
1
C(y)dy t
t
C( y)dy
0
0
2t 1 C(t) C(t) 2t 1
Q x2 2y 1
2.解：
1：
x z
2y 0
2
4
下侧
I zdxdydz yzdzdx 2dxdy
1
2
d
2 sin d
2 r cos r 2dr 2
dxdy
0
0
0
x2 y2 4
8 12
3.解： 齐次方程的通解为 Y c1e 2 x c 2 e 3 x 设非齐次方程的一个特 解为 y Ae x 代入方程可得 A 1 故原方程的通解为 y c1e 2 x c 2 e 3 x e x
-1-
微积分 一 解答
四．应用题
1.解：
设所求的点为 (x, y) ,目标函数 f y2 x2 (x 2 y 16)2 5
令
fx
fy
0 , 可得所求点为 (8 ,16) 55
2.解：
所夹曲面在xoy面的投影区域D：y x2 y2 2 y.
1 (zx )2 (zy )2 2
S 2dxdy D
2[ 1 ] 3 2 ..
4
4
3.解：
y
1
即 yy 1 y2
(1 y2 )3/ 2 y(1 y2 )1/ 2
且 y x1 1；y x1 0
得 y 1 [e x1 ex1 ] 2
五．证明题
1. 证：
z z z ， z ＝ 2 z 3 z
x u v
y
u v
2z 2z 2 2z 2z x 2 u 2 uv v 2
n1
1 Sn
发散。
（2）若
1 收敛，则必有 lim
1
n1 Sn
n Sn
0，
lim
n
S
n
，
an发散。
n1
-3-
（20 —20 年第二学期） 科目：《大学数学》（微积分）
适用专业年级：数学一各专业 20 级本科生
题号 一 二
三
四
五
得分
总分
任课教师： 线
姓名： 订
学号 ：
考试须知
四川大学学生参加由学校组织或由学校承办的各类考试，必须严格执行《四川大学考 试工作管理办法》和《四川大学考场规则》。有考试违纪作蔽行为的，一律照《四川大学学 生考试违纪作蔽处罚条例》进行处理。
四川大学各级各类考试的监考人员，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》、四 川大学考场规则》和《四川大学监考人员职责》。有违反学校有关规定的，严格按照《四川 大学教学事故认定及处理办法》进行处理。
一．选择题（每小题3分，共15分）
1. 方程 y2 z 2 4x 8 0 ，表示（ ）.
A．单叶双曲面 C．锥面
学院：
线
四川大学期末考试试卷
y = C1 y1 + C2 y2 ___________________
A.是该方程的通解 C.是该方程的特解
B.是该方程的解 D.不一定是方程的解
二．填空题（每小题3分，共15分）
1.
已知有向线段
P1P2
的长度为6，方向余弦为
2 ，1 33
,
2 3
,
P1点的坐
标为(3, 2, 5)，则P2点的坐标为 ________.
3.在上半平面求一条向上凹的曲线 ，其上任一点 P(x, y) 处的曲率
(曲率K
y
1 )等于此曲线在该点的法线段 PQ
[1 ( y)2 ]3/ 2 1 ( y)2
长度的倒数 ( Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点 (1，1) 处的切线
与 x 轴平行 ．
线
订
装
五．证明题（每小题8分，共16分）
2z x 2
4
2 u
z
2
12
2z uv
9
2 v
z
2
2 z 2 2 z 2 z 3 2 z
xy
u 2 uv v 2
整理后可得： 2 z 0 uv
-2-
微积分 一 解答
2. 证：
（1）若
n1
a n收敛，则
由定义有
lim
n
S
n
S存在，。
且S
0，于是 lim 1 n Sn
1 S
0 ， 则
B．双叶双曲面 D．旋转抛物面
2. 设F (x y, y z, z x) 0，则 z ( ). x
A. F1 F3 F2 F3
B. F2 F1 F2 F3
C. F1 F3 F2 F3
D. F1 F3 F2 F3
3.函数z ln(x y)在抛物线y2 4x上点（1，2）处，沿着这抛物线 在该点处偏向X轴正向的切线方向的方向导数为（ ）
四．应用题（每小题10分，共30分） 1.在 xoy 平面上求一点 ，使它到三直线 x 0 ，y 0 及 x 2y 16 0 的距离的平方和为最小 ．
2.求由曲面 z x2 y 2 夹在两曲面x2 y 2 y，x2 y 2 2 y 之间的面积 。
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装
四川大学期末考试试卷
1.证明，变换
u v
x 2y x 3y
可把方程
6
2 x
z
2
2z xy
2z y 2
0 简化为 2 z 0 ． uv
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四川大学期末考试试卷
2.设Sn表示正项级数 an 的前n项之和，试证
n1
（1）若
n1
an收敛，则
n1
1 Sn
发散。
（2）若
n1
1 Sn
收敛，则
n1
Baidu Nhomakorabea
2.曲面 z ez 2xy 3在点(1,2,0)处的切平面方程为
________ 0.
3.点 M (-3，4，-5) 到 YOZ 平面的距离为________.
4. 设f
(x)
, x
3x
2
1,0
0 x
,
f
( x)以2为周期，函数x)的付立叶
级数在 x =0 处收敛于________..
5.级数
n1
(2
x
n
1)
n
的收敛区间是
______
.
三．计算题（每小题8分，共24分）
1.设函数 Q(x，y) 在 xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L 2xydx Q(x, y)dy 与路径无关，并且对任意 t ，恒有
(1, t)
(t , 1)
(0,0) 2xydx Q(x, y)dy (0,0) 2xydx Q(x, y)dy
求 Q(x, y) ．
订
装
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线
订
四川大学期末考试试卷
2.求曲面积分：I yzdzdx (z 1)dxdy ，其中 是求面
x2 y 2 z 2 4 外侧在 z 0 的部分 ．
. 3.求微分方程 y 5y 6y 2e x 的通解 ．
第3页 共6页
装
线
订
四川大学期末考试试卷
an发散。
线
订
装
第6页 共6页
微积分 一 解答
《大学数学》（微积分） 数学一 试卷(B)解答：
一．选择题
1.答案:(D) 2.答案:(A) 3.答案:(A) 4.答案:(B) 5.答案:(B)
二．填空题
1. 答案:((-7，4，9)) 2. 答案:(2x-y+4) 3. 答案:(3)
4..答案: 1
A. 2 3
B. 3 3
C.1
D. 3
4.
1
dx
x
e
y
2
01
dy
（
）.
A. 1 (e1 1) 2
B. 1 (e 1) 2
C. 1 (e 1) 2
D. 1 (e1 1) 2
5.若 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程 y p(x)y q(x)y 0 的两个特解,则
第 1 页 共 6页
年级： 装
2
5. 答案:([-1,0])
三．计算题
1.解：
Q (2xy) 2x Q x2 C( y) (C( y) 待定） x y
由题设等式有t 2
1
C(y)dy t
t
C( y)dy
0
0
2t 1 C(t) C(t) 2t 1
Q x2 2y 1
2.解：
1：
x z
2y 0
2
4
下侧
I zdxdydz yzdzdx 2dxdy
1
2
d
2 sin d
2 r cos r 2dr 2
dxdy
0
0
0
x2 y2 4
8 12
3.解： 齐次方程的通解为 Y c1e 2 x c 2 e 3 x 设非齐次方程的一个特 解为 y Ae x 代入方程可得 A 1 故原方程的通解为 y c1e 2 x c 2 e 3 x e x
-1-
微积分 一 解答
四．应用题
1.解：
设所求的点为 (x, y) ,目标函数 f y2 x2 (x 2 y 16)2 5
令
fx
fy
0 , 可得所求点为 (8 ,16) 55
2.解：
所夹曲面在xoy面的投影区域D：y x2 y2 2 y.
1 (zx )2 (zy )2 2
S 2dxdy D
2[ 1 ] 3 2 ..
4
4
3.解：
y
1
即 yy 1 y2
(1 y2 )3/ 2 y(1 y2 )1/ 2
且 y x1 1；y x1 0
得 y 1 [e x1 ex1 ] 2
五．证明题
1. 证：
z z z ， z ＝ 2 z 3 z
x u v
y
u v
2z 2z 2 2z 2z x 2 u 2 uv v 2
n1
1 Sn
发散。
（2）若
1 收敛，则必有 lim
1
n1 Sn
n Sn
0，
lim
n
S
n
，
an发散。
n1
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