晶体点群分类和晶面指数的计算
晶体结构 知识点总结
简 单 立 方
体 心 立 方
面 心 立 方
简 单 四 方
体 心 四 方
四方底心， 四方底心，四方面心
（2）晶胞的二个基本要素 ） ①晶胞参数 晶胞形状
a, b, c, α , β , γ
α=bΛc β =aΛc γ =aΛb
晶轴
②晶胞内各原子的位置
分数坐标
例1：某种金属，立方体心晶胞 ：某种金属， 含原子数为8*1/8 + 1 = 2 含原子数为 （顶点1，体心 ） 顶点 ，体心1） （0，0，0), (1/2，1/2，1/2） ， ， ， ， ）
第四章 晶体结构 Chapt 4 Crystal Structure
固态物质按其原子（或分子、离子） 固态物质按其原子（或分子、离子）在空 间排列是否长程有序分成晶态和无定形两类。 间排列是否长程有序分成晶态和无定形两类。 晶体 例：聚乙烯 微粒在空间按周期性排列 微粒在空间按周期性排列 在空间按周期性
晶轴的夹角 90°60°… ° ° Notes: (1)优先考虑对称性 优先考虑对称性; 优先考虑对称性
(2)对称性相同时，优先选择素晶胞 对称性相同时，优先选择素 对称性相同时
晶胞 (平行六面体 平行六面体) 平行六面体 (1)晶胞 晶胞
并置堆积
实际晶体
素晶胞：含结构基元(点阵点 个 素晶胞：含结构基元(点阵点)1个 复晶胞：含结构基元(点阵点) ≥2个 复晶胞：含结构基元(点阵点 个
六方最密堆积 (A3)
正当晶胞含原子数目 = 8*1/8+1 = 2 顶点 体心
a=b=2r, c=1.633a (最密堆积 最密堆积) 最密堆积
Notes: ① 晶胞参数 a=b=2r, c=1.663a 晶胞中含原子数=2 ② 晶胞中含原子数
晶面指数计算公式
晶面指数计算公式晶面指数是晶体学中用来描述晶面方向的重要概念，而晶面指数的计算公式则是我们理解和确定晶面的关键工具。
在晶体结构中，晶面是由一系列原子排列所构成的平面。
为了准确地描述这些晶面在空间中的取向，我们就需要用到晶面指数。
晶面指数的计算其实有一套相对固定的方法。
首先，我们要找出晶面在三个坐标轴上的截距。
这可不是随便找的哦，得是实实在在的数值。
比如说，一个晶面在 X、Y、Z 轴上的截距分别是 2a、3b、4c（这里的 a、b、c 是晶格常数）。
接下来，就要进行倒数计算啦。
把这些截距的数值取倒数，就得到1/2、1/3、1/4 。
但是还没完呢，我们还得把这些倒数化作互质的整数。
怎么化呢？就是将它们分别乘以它们分母的最小公倍数。
在这个例子里，最小公倍数是 12 ，所以经过计算后，得到 6、4、3 。
最后，把这组整数括在圆括号里，就得到了这个晶面的指数(643) 。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼一直搞不明白为啥要这么算。
我就给他打了个比方，我说这就好比咱们分蛋糕。
晶面就像是蛋糕的切面，坐标轴就是切蛋糕的刀，截距就是每一刀下去切到的位置。
而计算晶面指数呢，就是把这些切的位置给规范化，方便咱们统一描述和交流。
那孩子听了之后，眼睛一下子亮了起来，好像突然就开窍了。
从那以后，每次遇到晶面指数的计算，他都特别积极，还能给其他同学讲明白呢。
在实际的研究和应用中，晶面指数的准确计算对于理解晶体的物理和化学性质都有着至关重要的作用。
比如说，不同的晶面可能具有不同的表面能，这会影响晶体的生长过程和形态。
总之，晶面指数计算公式虽然看起来有点复杂，但只要我们掌握了方法，多做几道练习题，就一定能轻松拿下它。
相信大家在今后的学习和研究中，都能熟练运用这个工具，去探索晶体世界的奥秘！。
晶体学基础2
•下列的晶面：(234)、( 201 )、(111)、(241)、( 221)、 ( 432 )、(101)、(010)和(432)中有哪些面属于同一个晶带？ 求出晶带轴。
•四方点阵的初基单胞轴长a=2.5nm、c=7.5nm，画出(h0l) 的倒易阵点（h 和l≤±4）。
1
>1
-K)/2
α
无相 180° 120 ° 90 ° 60 ° 0°
无相
当值
360 ° 当值
不含平移变换的对称要素 （2）
倒反轴：复合对称要素
旋转轴+轴上的一个对称中心。
倒转轴的轴次n及基转角都与其所包含的旋转轴相同（即 n=360 °/ ， 360 °/ n）。国际符号：N（Nn）。
0,0,z 1 mm2
空间群国际表
查表 软件
1.9 典型金属结构
•晶体结构的最大空间利用率和配位数
晶体中原子排列的紧密程度是反映晶体结构特征的一个 重要因素。为了定量地表示原子排列的紧密程度，通常 应用配位数和空间密堆率这两个参数。配位数是指晶体 结构中，与任一原于最近邻并且等距离的原子数。
不含平移变换的对称要素 （1）
对称中心1 对称面m
1 C 2
对称轴n
(x, y, z)
1
(-x, -y, -z)
对称轴所构成的对称配置投影图：
晶体对称定律（law of crystal symmetry） 在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、 三次、四次和六次的对称轴，而不可能存 在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
1，立方系
晶向指数和晶面指数例题
晶向指数和晶面指数例题晶向指数和晶面指数是晶体学中非常基础的概念，它们用于描述晶体内部的结构和性质。
在本文中，我们将通过几个例题来介绍晶向指数和晶面指数的概念和应用。
一、晶向指数晶向指数是用来表示晶体中某个方向的指标，通常用方向余弦表示。
举个例子，假设有一个晶体，其晶格常数为a，b，c，那么其晶向指数(hkl)表示为：(hkl) = (h/a, k/b, l/c)其中h，k，l是整数，表示晶体中某个方向的坐标。
这个晶向指数(hkl)表示的是晶体中从原点出发，经过(h, k, l)个晶格常数所到达的点的位置。
下面是一个例题：例1：一个简单立方晶体，其晶格常数为a，求以下晶向的晶向指数：（1）[100]；（2）[110]；（3）[111]。
解：（1）[100]方向的晶向指数为(1, 0, 0)；（2）[110]方向的晶向指数为(1, 1, 0)；（3）[111]方向的晶向指数为(1, 1, 1)。
二、晶面指数晶面指数是用来表示晶体中某个晶面的指标，通常用晶面法向量的坐标表示。
举个例子，假设有一个晶体，其晶格常数为a，b，c，那么其晶面指数(hkl)表示为：(hkl) = [h, k, l]其中h，k，l是整数，表示晶面法向量的坐标。
这个晶面指数(hkl)表示的是晶体中法向量的坐标。
下面是一个例题：例2：一个简单立方晶体，其晶格常数为a，求以下晶面的晶面指数：（1）(100)；（2）(110)；（3）(111)。
解：（1）(100)晶面的晶面指数为[1, 0, 0]；（2）(110)晶面的晶面指数为[1, 1, 0]；（3）(111)晶面的晶面指数为[1, 1, 1]。
三、晶向指数和晶面指数的应用晶向指数和晶面指数在晶体学中有着重要的应用。
举个例子，它们可以用于描述晶体中的晶面间距、晶体的晶体学性质等。
下面是一个例题：例3：一个简单立方晶体，其晶格常数为a，试判断以下晶向是否相等：（1）[100]和[010]；（2）[110]和[1-10]；（3）[111]和[1-1-1]。
晶向与晶面
(2)晶面夹角
两晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]间夹角：
cos
u1u2 v1v2 w1w2
u12 v12 w12 u2 2 v2 2 w2 2
晶面（hkl）与晶向[uvw]间夹角：
<111>晶向族如右图。
(2)晶面指数-------（hkl）
例3：
（1）截距r、s、t分别为3，3，5
z
（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5
（3）最小公倍数15，
（4）于是，1/r，1/s，1/t分别
c
乘15得到5，5，3，
ab
y
因此，晶面指标为（553）。
三、晶体的对称性 crystalline symmetry symmetrization of crystals
对称性——晶体的基本性质
对称元素（symmetry elements）
回转对称轴（n）1，2，3，4，6
宏观对称性 元素 对称面（m）
对称中心（i） 回转 — 反演轴 1，2，3，4，6
负号记在上方 [uv w] 。
1、红线代表的晶向由两个结点的坐标之差确定
2、晶向指数同乘、除一个数，晶向不改变。 如[012]---[0 ½ 1]
▪ 如图为立方晶系： X轴、Y轴、
Z轴；长度单位a=b=c=1。
▪例： OD为[101]；
▪ Om为：坐标1/2、1、1/2；化
简后[121]；
▪EF为：[111]
例如：a1轴的指标可以是[1000]，也可以是 [2110].
解决方法：加限制条件：前三个指标之和为0 例如：晶向指标为[u v t w],则u+v+t=0,故a1轴的指
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
图 1 晶向指数的确定方法
图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1， y1， z1)和 Q(x2， y2， z2)， 然后将(x1-x2)， (y1-y2)，
(z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u， v， w， 并使之满足 u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图 3 中[0 1 0 ]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw>表示，数字 相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>表示。 <100>：[100] [010] [001] [ 1 00 ] [ 0 1 0 ] [ 00 1 ] <111>：[111] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 11 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 11 1 ]
图 11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个 轴分解成四个分量，晶向 OP 可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图 12 中 a1 轴为[ 2 1 1 0 ]，a2 轴[ 1 2 1 0 ]， a3 轴[ 1 1 20 ]均属〈 2 1 1 0 〉 ，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]， 再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a1、a2 轴在底面上，其夹角 o 为 120 ，如图 12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 [100] ， [010] ， [ 1 1 0 2 晶面指数的确定 国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l）。图 4 中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
02-2晶体结构参数
对称轴及其垂直该轴切面的示意图
3/16/2014 2:01 PM 27
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（4）旋转反伸轴Sn（倒转轴）
● 概念：过晶体中心一假想直线，晶体绕此直线旋转一定 角度，再对对称中心反伸，可使相等部分重复出现。 ● 对称操作是旋转＋反演的复合操作。 ● 轴次只有: 1, 2, 3, 4, 6
● 各类倒转轴中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称 操作，其他 4 种倒转轴都可以表示为对称中心、对称面、旋 转轴的组合。
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对称性举例说明 （1） 吊扇中的叶片以中心线为对称轴，三个叶片之间可以围 绕这个对称轴每旋转120重复一次。
对称操作：绕对称轴旋转120度 对称要素：旋转轴
（2） 左右手
对称操作：镜子的反映 (注意这是一个虚拟操作) 对称要素：镜子构成的对称面
3/16/2014 2:01 PM 8
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例 1： 如图晶面hkl，在X、Y、Z轴上的截距分别为2a、3b
、6c ，截距系数为2、3、6 ，其倒数比1/2：1/3：1/6 ，
化整得3：2：1 ，去掉比号并以小括号括起来，(321)即 为该晶面的所求米勒指数。
晶面符号图解
3/16/2014 2:01 PM 9
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例2：
• 晶面A：r、s、t =1、1、1，其倒数为1、1、1，则晶面指数 记为（111）； • 晶面B，r、s、t=1、2、，其倒数为1、1/2和0，化为互质 的整数比为2:1:0，则晶面指数记为（210）； • 晶面C：晶面过原点（0，0，0），沿y轴平移一个晶格参数 （平移后代表同一晶面）使其在y轴截距为-1，则r、s和t分 别为、-1和，其倒数为0、-1和0，则晶面指数记为 (0 1 0)， 其中的负号写在数字上面。
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
结构化学-晶棱和晶面指数的计算方法
§1-2 晶棱和晶面指数这一节主要是讨论表示利用晶格的概念来表示晶棱和晶面的方法。
晶棱与晶向：由于晶体结构的周期性，晶格中各格点的周围情况都是一样的，因此通过任意两个格点作一条直线，则在直线上所有格点的周期相同，这样的直线称为晶棱。
再通过其它格点还可以做许多与此晶棱平行的直线，这些平行直线组成一个晶棱族，如图1-8所示。
同一晶棱族的方向相同，而且能把所有点子包括无遗。
此外，通过同一格点还可沿不同方向作无限多晶棱，如图1-9中通过O的晶棱有1、2、3、4、5等等，其中每一个晶棱都有一组晶棱与之对应，就是说，可以做无限多个晶棱族，各族晶棱可以通过取向不同而加以区别。
晶棱的取向也简称晶向。
只要表出了晶向，该组晶棱的特点也就知道了。
图1-8 一族晶棱示意图图1-9 通过格点O的部分晶棱示意图晶向的表示方法：取格点O为原点，a、b、c为晶胞的三个基矢，则其它任一格点A 的位置矢量为式中l1、l2、l3为整数（或有理数）。
取l1、l2、l3的互质比，即l1：l2：l3来表示晶棱OA 的方向，通常不直接用比例记号，该用方括号[l1l2l3]表示。
例如在图1-9中，晶棱1上A点为l1=1，l2=1，l3=0；B点为l1=2，l2=2，l3=0；比值为：l1:l2:l3=1:1:0=2:2:0，由此可得晶棱1的方向为[110]。
同理可得晶棱2的方向为[320]，晶棱4的方向为[30]，其中记号“”代表“-1”。
三个晶轴a、b、c的方向分别为[100]、[010]、[001]（c轴与图平面垂直，未画出）。
晶面与晶面指数：晶格中，还可以从各个方向上划分成无限多平面，即晶面族，如图1-10所示。
同一族晶面中，彼此距离相等，方向相同，格点在晶面上的分布也相同。
晶体的表面也是晶面，通常应该是原子面密度比较大的面。
现在问题是如何表示这些晶面族的方向。
图1-10 部分晶面族示意图从立体几何中知道，要描述一个平面的方向，就是表示出这个平面在三个坐标轴上的截距。
晶体结构(结构 晶面指数)ppt课件
SchToeoclhonfoloPghyy,sSiNcsNUand Information Technology, SNNU
CsCl 结构式
2. CsCl 结构——由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2
的长度套构而成
Cs+（0,0,0），Cl-（0.5,0.5,0.5）， Cs+ 平移（0.5,0.5,0.5）即可变为Cl-， Cs+和Cl离子各自构成简单立方结构
晶 体：是指其内部的原子、分子、离子或其集团在三维空间呈周期 排列的固体，表现为长程有序（在微米量级范围是有序的）
非晶体：无规则的，无序的或短程有序的。
在X射线中出现明显衍射峰的称为晶体 （微米量级甚至纳米量级）
晶体分为： 单晶体 多晶体；有机晶体 无机晶体 完整晶体 非完整晶体
Pb(Zr,Ti)O 3
金刚石晶格碳1位置碳2位置其中informationtechnologysnnuwignerseitz原胞定义以任意一个格点为中心以此格点与一切相邻格点连线的中垂面为界面围成的最小多面体特点总是代表其点阵的点群对称性总是原胞最自然最漂亮的原胞能反映晶体对称性的最小重复单元平面六角bccfcc正十二面体schoolinformationtechnologysnnubravais格子的特点所有格点周围的环境都是一样的但沿不同方向上的物理性质不同的各向异性bravais格子的格点可以看成分布在一系列平行的直线上晶列晶列的指向晶向crystaldirection晶向指数的确定步骤晶向指数的确定步骤11以晶胞中的某一阵点为原点以三条棱边为以晶胞中的某一阵点为原点以三条棱边为轴并以晶胞棱边的长度为单位长度
14晶列晶面指数
1.4 晶列晶面指数晶列是晶体学的一个重要概念，是指晶体中由晶胞沿着特定方向排列而成的有序结构。
晶列的性质和晶体的晶胞参数有关，可以通过晶胞参数和晶面指数来描述。
晶面指数是描述晶体表面上的晶面位置和方向的一种方法。
在晶体学中，晶面指数用一组整数来表示，通常用hkl表示。
其中h、k、l是晶面与晶轴的交点与原点之间的距离与晶轴长度的比值的最简整数比。
晶面指数可以用来描述晶体的晶面，可以通过晶面指数确定晶体的晶面的位置和方向。
晶面指数的计算方法为：1. 确定晶体的晶胞参数，包括晶胞长度和晶胞角度。
2. 确定晶面与晶轴的交点与原点之间的距离，可以通过晶胞参数和晶面的坐标计算得到。
3. 将晶面与晶轴的交点与原点之间的距离与晶轴长度的比值化简为最简整数比，得到晶面指数。
晶面指数的计算方法可以通过以下例子来说明：假设晶体的晶胞参数为a=b=c=1，晶胞角度为α=β=γ=90°。
1. 假设晶面与x轴的交点与原点之间的距离为d，可以通过晶面的坐标计算得到：d = a/h2. 将d与a的比值化简为最简整数比，得到晶面指数h：h = a/d = a/(a/h) = h同样的方法可以计算出晶面指数k和l。
通过晶面指数可以确定晶面的位置和方向。
例如，当hkl为100时，表示晶面与x轴平行，与y轴和z轴垂直；当hkl 为110时，表示晶面与x轴和y轴平行，与z轴垂直。
晶面指数的计算方法可以推广到非正交晶胞和非90°晶胞角度的情况下，只需要根据晶胞参数和晶面的坐标计算晶面与晶轴的交点与原点之间的距离，然后化简为最简整数比即可得到晶面指数。
晶面指数是描述晶体表面上的晶面位置和方向的重要工具，对于研究晶体的结构和性质具有重要意义。
在实际应用中，晶面指数可以用来确定晶体的晶面的位置和方向，帮助研究者理解晶体的结构和性质，以及进行晶体的生长和制备。
因此，掌握晶面指数的计算方法对于晶体学的学习和应用具有重要意义。
第一章 晶体结构
面心立方密排方式
间隙(Interstice):
四、八面体间隙(tetrahedral and octahedral interstice) fcc，hcp 间隙为正多面体，且八面体和四面体间隙相互独立 bcc间隙不是正多面体，四面体间隙包含于八面体间隙之中
五.晶面与晶向
1.晶面：同处一个结点面内的所有阵点构成的阵点面。
简单晶胞(初级晶胞)：只在平行六面体每个顶角上有一阵点； 复杂晶胞：除在顶角外，在体心、面心或底心上也有阵点。
4.晶体结构的分类
（1）七个晶系：立方、正方、正交、三方、
六方、单斜、三斜
（2）14种布拉菲格子 （3）32种点群(point group)
点群—晶体中所有点对称元素的集合。根据晶体外 形对称性，共有32种点群。
B b
A a
等效晶面族{h k l}中的晶面数：
a)hkl三个数不等，且都≠0，则此晶面族中有3!×4=24组； 如{123} b)hkl有两个数字相等 且都≠0，则有：(3!/2!)×4=12组； 如{112} c)hkl三个数相等，则有：(3!/3!)×4=4组； 如{111} d)hkl有一个为0，应除以2，则有(3!/2)×4=12组； 如{120} 有二个为0，应除以22，则有(3!/2!22)×4=3组； 如{100}
立方晶系
d hkl
d hkl
a h k l
2 2 2
正交晶系
1 h k l a b c
2 2 2
六方晶系
d hkl
1 4 h hk k l 2 3 a c
2 2 2 2
立方晶系：
3.晶向（晶列）：阵点连线的指向。相互平行的阵点
晶面指数三指数四指数转换
晶面指数三指数四指数转换晶面指数是晶体学中用来描述晶体晶面位置和方向的重要概念。
晶面指数通过一组整数来表示晶面与晶体晶格参数的关系。
在晶体学中，晶面指数是非常重要的，它可以帮助我们理解晶体的结构和性质。
本文将从晶面指数的基本概念入手，介绍晶面指数的计算方法和转换规则，并探讨晶面指数的应用领域。
一、晶面指数的基本概念晶面指数是用来描述晶面位置和方向的一组整数，通常用(hkl)表示，其中h、k、l分别表示该晶面与晶体晶格参数a、b、c的关系。
晶面指数的大小与晶面的倾斜程度有关，指数越小，晶面越平行于晶格参数。
晶面指数的正负表示晶面相对于晶格参数的方向。
通过晶面指数，我们可以了解晶体中不同晶面的位置和方向，进一步研究晶体的结构和性质。
二、晶面指数的计算方法晶面指数的计算方法主要有两种：直接法和间接法。
直接法是通过测量晶面在晶体上的投影长度来计算晶面指数，通常使用X射线衍射或电子衍射技术进行测量。
间接法是通过已知晶面指数的晶体进行对比，推导出待测晶面的指数。
晶面指数的计算方法需要根据晶体的晶系和晶格参数来确定。
三、晶面指数的转换规则晶面指数的转换规则是将一种晶面指数表示法转换为另一种表示法的规则。
晶面指数的转换规则根据晶体的晶系和晶格参数的不同而有所差异。
常见的晶面指数转换规则有三指数和四指数之间的转换。
三指数转换为四指数的规则为：hkl转换为(hkl)i，其中i为整数，满足(ihkl)(ikhl)(ilkl)的乘积为正整数。
四指数转换为三指数的规则为：(hkl)i转换为hkl，其中i为整数，满足(ihkl)(ikhl)(ilkl)的乘积为正整数。
四、晶面指数的应用领域晶面指数在材料科学、化学和地质学等领域有广泛的应用。
在材料科学中，晶面指数可以帮助我们理解材料的晶体结构和晶体生长机制，从而改善材料的性能和功能。
在化学中，晶面指数可以用来描述晶体的化学成分和晶体的对称性，有助于研究化学反应和晶体的性质。
1.4晶体的定向及晶面符号
晶体定向
5. 六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先 选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个 二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、 b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º
晶体定向
6. 三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶
①由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶带符号 根据晶带定律建立方程组：
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 解出：
u:v:wk1l1:l1h1:h1k1 k2l2 l2h2 h2k2
解法：①将每一个晶面的面指数在一 列上连续写2次，其指数按次序一一对 应； ②将最右及最左的纵行删去，如 右式； ③用交叉相乘方法，并依次取 出乘积差数即可。
晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别 的重要依据。
1 晶体的定向和晶体的分类 2 晶面指数和晶棱指数 3 晶带定律 4 晶面间距
晶体定向
晶体的定向就是以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴 组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
c 大拇指
Z
β
α
O
食指
γ
a
=bc
β= a c
γ=ab
中指
b
U
Y
X
120º
坐标轴符合右手定则
晶带定律
②由晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]求晶面符号 建立方程组：
得：
hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:lv1w1:w1u1:u1v1 v2w2 w2u2 u2v2
晶带定律
32种晶体学点群
一．32种晶体学点群点群是至少保留一点不动的对称操作群。
点群=晶体+非晶体32种晶体学点群是满足“晶体制约”的点群。
点群的Schönflies符号Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。
Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。
Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。
Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。
Sn:具有一个n次反轴的点群。
T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。
O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群1.旋转轴(C=cyclic) ：C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,62. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m, ,4/m,6/m 3.旋转轴加通过该轴的镜面：C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm4.旋转反演轴S2= Ci, S4,S6=C3d5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴：D2,D3,D4,D6; 222,32,422,6226.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：D2h,D3h,D4h,D6h; mmm, ,4/mm,6/mmm7. D群附加对角竖直平面： D2d,D3d; ，8. 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral)T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432, ,m3m六方 6,`6, 6/m Z无， 2，m X无， 2，m 底对角线6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm立方 2,m,4, `4 X3,`3 体对角线无， 2，m 面对角线23,m3,432,`43m, m`3m七大晶系1、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。
其中两个水平轴（X 轴、Y轴）长度一样，Z轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。
晶向指数和晶面指数
4
例1：在立方晶系中，〈100〉代 表 100.,[010100} 代表(100),
03
有时为了表示一个具体的晶 面，也可以不化互质整数。
05
为a/2的晶面。
07
然数值是不同的。(参见FD 动画）
02
, (001)三个等效晶面族。
04
例3：(200)指平行于(100)， 但与a轴截距
晶向指数：
B格子的格点可看成是分列在一系列平行、等距的直线系上，这些直线 系称为晶列。 一个无穷大的B格子，可有无穷多种晶列。 晶向指数：从该晶列通过轴矢坐标系原点的直线上任取一格点，把该格 点指数化为互质整数，称为晶向指数，表示为[h,k,l]。
3.晶面指数（密勒指数）
B格子的格点还可看成是分 列在一系列平行、等距的平 面系上，这些平面系称为晶 面系（晶面族）。
本来是等价的晶面却不具有类似的指数，给研究带来不方便。
解决的办法是引入四指数，即引入四个坐标轴：a1,a2,a3,c,其中a1,a2,c,不 变，
a3＝－( a1+a2) 引入四指数后，晶体学上等价的晶面具有类似的指数。 例如：{1010}=(1010),(1100),(0110)
可能出现指标的不唯一性
在确定六角晶系的 晶向、晶面的四轴 指标时，某些情况 下会出现新的问题： 指标不唯一。
01
例如：a1轴的指标 可以是[1000]，也 可以是
02
解决方法：加限制
为0
条件：前三个指标
之和
04
05
03
例如：晶向指标为 [u v t w],则 u+v+t=0,故a1轴 的指标应选[2110].
06
晶向四指数的解析求法：
2.1.5 晶面与晶面指数解析
(１１１) =(－１－１－１) ≡( (２１２)=(－２－1－２) ≡(
2
) 1
2)
六个外表面 形成 三个晶面族 ：格点分布全同、面间距为 a
等效晶面族：类似的指数
称为
（１００），（０１０），（００１）
统一表示 为
{１００}
平行对角棱 ：六对 为
2a / 2
无Si原子
有Si原子
（2）基元由1个Si
(1 )
、一个 Si
( 2)
共2个Si原子组成，他们的坐标
为（0，0，0）和， 。当Si晶体中每个基元各用一个格点代替后，图1中的结构单胞将 变成图2中虚线所示的形式，而这正是cF Bravais格子的惯用元胞， 所以Si晶体的Bravais格子类型为cF,其初基元胞如图2中实线所示， 其W-S元胞如图3所示。
出[
]晶向上的一个晶列和（ 123
（4）写出与[
）晶面族中的一个晶面； 112 ]123 晶向等价的全部晶向的晶向指数和与
（ 112 ）晶面族等价的全部晶面族的晶面指数。
[解] （1）Si晶体的结构单胞如图1 所示：由此可知构成Si晶体的Si原
子可分为如下两类：
(1 ) 记 顶点和面心处的Si为一类 Si
Bravais格子之任意不共线的三格点：连成平面 称为 晶面：
无穷多个周期性分布之格点 彼此平行之所有晶列 称为 晶面族 ：包含了全部格点， 如图2.2.5－1中的A,B,C 可见：
同 族晶面格点分布周期 相 同且 不 异
面间距
相 不
等 可知 方位性：
相 不
相 不
与
（ 101 2） 等价的全部晶面族的具体指数如下：
第4章 晶面晶向指数
32
求截距系数：
顺序求待标晶面在三个轴上的 截距系数(p、q、r)，即由该晶 面在三个晶轴上的截距用相应 的轴单位去度量而求得。 因为截距的具体值不便应用， 且轴单位相同用具体值也不必 要，所以取截距系数。
截距系数相同的晶面，由于晶 系的不同，其在各晶轴上所截的真 正长短也并不一定相等。
33
5
轴单位：在晶轴上计量长度时，表示单位长度的线段。
(轴单位代表的实际长度应该是点阵中与晶轴相互平行的
点阵直线上相邻两个阵点的间距).
习惯上用a，b，c来分别表示x轴、y轴和z轴的轴单位。 将轴单位的连比a : b : c 称为轴率（轴单位比）。
a :b:c
和
, , 合称为晶体几何常数。它是表示
4
晶轴通常标记为x轴、y轴和z轴（或X轴，Y轴和Z轴）， 各晶轴的交点位于晶体的中心，它们的位置关系符合右手 规则。z轴上下直立，正端朝上；x轴前后方向，正端向前； y轴左右方向，正端朝右。三轴下相交，两晶轴正端之间 的夹角为轴角（interaxial angle）
y z, z x, x y
晶体坐标系特征的一组参数，也是区别不同矿物晶体的一 组重要数据。
6
4.2 各晶系晶体的定向方法
1、等轴晶系
选轴原则：相互垂直的L4或Li4或L2为x、y、z轴
Z
Y
X
晶体常数：a＝b＝c，α ＝β ＝γ ＝９０0
7
2、四方晶系
选轴原则：以L4或Li4为z轴，以垂直z轴并相 互垂直的L2或P的法线或晶棱方向为x、y轴。
43
立方晶系： {111}=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)+( TT1)+(1TT)+(T1T)＋(TTT)
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26.晶体学点群概念及种类？
晶体学点群的概念：
晶体的宏观对称操作的集合构成宏观对称操作群，即晶体学点群；晶体的宏观对称元素的集合构成宏观对称元素系（亦称对称型）。
宏观对称元素系并不是群，不过，二者具有一一对应的关系，所以，常用宏观对称元素系表示相应的晶体学点群。
晶体学点群有32种。
任何一种晶体必定属于32种晶体学点群之一。
32种晶体学点群代表互不相同的对称类型，但有些点群具有某种共同的对称元素，据此可以把32种晶体学点群归属于7种晶系。
方法是：规定出某些点群共有的、有代表性的对称元素作为一种晶系的特征对称元素，具备这种特征对称元素的几个点群就归属于这种晶系。
27.晶系的种类及名称？
举个例子：
28. 晶族的种类及名称？
6种晶族
六方晶系与三方晶系的正当晶胞的几何特征相同（a=b≠c，α=β= 90º，γ=120º），同属于六方晶族
详见27题中表
29. Bravais 格子的含义及种类？
7种晶系共有14种空间点阵型式，即14种Bravais格子。
平面点阵指标也称为晶面指标或米勒指数，是标志一族平面点阵在晶体中方向的一组3个互质整数(个别晶系有4个整数)，加圆括号记作(h*k*l*)。
晶面指标（h*k*l*）平面点阵指标需要经过三步才能写出：
（1）以a、b、c为度量单位，依次写出平面点阵在三条晶轴上的截数r、s、t；
（2）求倒易截数1/r、1/s、1/t；
（3）求出倒易截数的互质整数比h*：k*：l*，记作（h*k*l*），即为平面点阵指标。
（4）晶面与哪条坐标轴平行，相应的截数就是无穷大。
求倒易截数就是为了消除无穷大。
显然,相互平行的一族平面点阵，其（h*k*l* ）相同。