第4章 斯特瓦尔特定理及应用(含答案)

第四章 特瓦尔特定理及应用

【基础知识】

斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅

①

或 2222PC BP BP PC

AP AB AC BC BC BC BC BC

=⋅

+⋅-⋅⋅

． ② 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设90APC <︒∠，则由余弦定理，有 图4-1

P

C

B A

2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅⋅∠， 2222cos(180)AB AP BP AP BP APC =+-⋅⋅︒-∠ 222cos AP BP AP BP APC =++⋅⋅∠．

对上述两式分别乘以BP ，PC 后相加整理，得①式或②式．

斯特瓦尔特定理的逆定理 设B ，P ，C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ，AP ，AC 上的点，若

22AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，

或 2222PC BP BP PC

AP AB AC BC BC BC BC BC

=⋅

+⋅-⋅⋅

， 则B ，P ，C 三点共线． 证明 令1BPA θ=∠，2APC θ=∠，对△ABP 和△APC 分别应用余弦定理，有 22212cos AB AP PB AP PB θ=+-⋅⋅，22222cos AC AP PC AP PC θ=+-⋅⋅．

将上述两式分别乘以PC ，BP 后相加，再与已知条件式相比较得 ()122cos cos 0AP BP PC θθ-⋅⋅⋅+=，由此推出12180θθ=︒-，即证．

斯特瓦尔特定理的推广 （1）设P 为ABC △的BC 边延长线上任一点，则

2222PC BP PC BP

AP AB AC BC BC BC BC BC

=-⋅+⋅+⋅⋅

． ③ （2）设P 为ABC △的BC 边反向延长线上任一点，则 2222PC BP PC BP

AP AB AC BC BC BC BC BC

=⋅

-⋅+⋅⋅

．

④

注 若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．

推论1 设P 为等腰ABC △的底边BC 上任一点，则22AP AB BP PC =-⋅． 注 此推论也可视为以A 为圆心，AB 为半径的圆中的圆幂定理． 推论2 设AP 为ABC △的BC 边上的中线，则2222111

224

AP AB AC BC =

+-． 推论3 设AP 为ABC △的A 的内角平分线，则2AP AB AC BP PC =⋅-⋅． 推论4 设AP 为ABC △的A 的外角平分线，则2AP AB AC BP PC =-⋅+⋅． 推论5 在ABC △中，若P 分线段BC 满足BP

BC

λ=，则 2222(1)(1)AP BC AB AC λλλλ=-+-+⋅．

注 若

BP

k PC =，则()

22222

1111k k AP AB AC BC k k k =⋅+-⋅+++． 【典型例题与基本方法】

1．选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键．

例1 如图4-2，凸四边形ABCD 中，60ABC =︒∠，90BAD BCD ==︒∠∠，2AB =，1CD =，对角线AC ，BD 交于点O ．求sin AOB ∠． （1996年北京中学生竞赛题）

D

C B

A

P

O

图4-2

解 延长BA ，CD 相交于P ，设BC x =，则2PB x =

，PC =，对△PBC 及PB 边上的点A ，应用斯特瓦尔特定理，有

222AB PA

CA PC BC AB PA PB PB

=⋅+⋅-⋅

)

()2

222222222x x x x x

-=

⋅

+⋅-- 224x x =-+．

由Rt Rt ADP CBP △∽△，有PD PC PA PB ⋅=⋅，

即

)

()1222x x -=-⋅，

求得

4BC x == 于是

，215CA =-．又在Rt BCD △中

，22120BD x =+=-，从而BD AC ⋅=

12=．

而(

)(

1242ABCD ABD BCD S S S =+=+△△ 故

(

)

112sin 2AOB ⋅∠

，即sin AOB =∠为所求． 例2 如图4-3，在ABC △中，60A =︒∠，AB AC >，点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，

N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM CN =，求

MH NH

OH

+的值．

（2002年全国高中联赛题）

L S

T

图4-3

解 延长BE 交O 于L ，由三角形垂心性质，知L 为H 关于AC 的对称点，则LC CH =．

设O 的半径为R ，OH d =，CH x =，BH y =，由60CLB A =︒∠=∠，知LH LC CH x ===．延长

OH 两端交O 于T ，S ，如图4-3，由相交弦寇理有TH HS BH HL ⋅=⋅，即()()R d R d x y +-=⋅，即

22R d xy

=+．

在△BCL 及边BL 上的点H ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到2sin BC R A =⋅=∠ ，可得 222BC LH LC BH LH BH BL CH BL ⋅+

⋅=⋅⋅+⋅，

即

)

()()2

22x x y x y x y x x y ⋅+⋅=⋅⋅++⋅+，

亦即 ()22

213

R x xy y =++． 于是，有

()2

2213

x xy y d xy ++=+． 亦即

()

2

2

3x y d -=，即

x y d

-=

而当AB AC >时，MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y +=-+-=-=-

=-，

故

x y MH NH OH d

-+=

2．注意斯特瓦尔特定理的推论的应用 例3 如图4-4，自O 外一点引圆的两条切线PE ，PF ，E ，F 为切点，过P 点任意引圆的割线交O

于A ，B ，交EF 于C ．证明：

211

PC PA PB

=+

． （2001年湖南中学生夏令营试题）