立体几何证明方法汇总 (1)

G

P

A B

C

D

F

E A

B

C

D

E

F

① 中位线定理

例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形

ADEF

所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是

DF ，BE 的中点．

（１）求证：GH ∥平面CDE ；

（２）若2,CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．

练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1；

2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面；

（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。

例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点,

EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；

（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的

中点。求证：AF ∥平面PCE ；

②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N

分别是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面

③ 如图，已知AB ?平面ACD ，DE 求证：AF 1

1

1

1

D C B A O ABCD 证：//1

O C 面

11

AB D ．

A 1

C _ H _ G

_ D

_ A

_ B

_ C

E

F

A B

C

D

E

F

1

A 1

C 1

B E F

G

A

C

B

E

B

A C

N D

F

M

③比例关系

例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB 、BC 上的点，且NC BN PM BM =,

求

证

：

MN ABCD ⊥EA ABCD //EF AB =4,=2,=1AB AE EF Ⅱ

）若点M 在线段AC 上，且满足1

4

CM CA =, 求

证：//EM 平面FBC ；

④面面平行-线面平行

例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面

互

相

垂

直

，

BE ∠∠︒903P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD 2PD AB ==E F G PC PD BC

EFG PA 面//P EFG

-111ABC A B C -090ACB ∠=,,E F G 11,,AA AC BB 1CG C G

⊥

(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面；

3、如图所示,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,

,//,22AD CD AB CD CD AB AD ⊥==. 在EC 上找一点M ,使得//BM 平面ADEF ,

请确定M 点的位置,并给出证明．

4、（2012山东文）如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；

A

B

E

F M

(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .

例题： 如图，已知四棱锥ABCD P -。 若底面ABCD 为平行四 边形，E 为PC

的中点，在DE 上取点F ，过AP 和点F 的平面与 平面BDE 的交线为FG ，求证：

FG AP //。

证明：连AC 与BD ，设交点为O ，连OE 。

练习：1、如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M ．求证：//AD MN ； 2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，

AB=2。AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，

F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。（1）证明：EF ∥

A 1D 1；

3.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平

面

BCE ，BE ⊥EC.

（1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(面面垂直性质) （2） 点F 在BE 上，若DE BE BF 2

1

1111ABCD A B C D -E F G AB AD 11C D 求证：平面1D EF ∥平面BDG .

练习：如图所示，在正方体ABCD-1111D C B A 中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：

（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H .

例题：已知在正方体ABCD-1111D C B A 中，E,F 分别是1

111A D D C 和D

A

B

C

P

M

N