高中物理竞赛辅导讲义-第8篇-稳恒电流
高中物理竞赛讲义稳恒电流
第九部分 稳恒电流第一讲 基本知识介绍第八部分《稳恒电流》包括两大块：一是“恒定电流”，二是“物质的导电性”。
前者是对于电路的外部计算，后者则是深入微观空间，去解释电流的成因和比较不同种类的物质导电的情形有什么区别。
应该说，第一块的知识和高考考纲对应得比较好，深化的部分是对复杂电路的计算（引入了一些新的处理手段）。
第二块虽是全新的内容，但近几年的考试已经很少涉及，以至于很多奥赛培训资料都把它删掉了。
鉴于在奥赛考纲中这部分内容还保留着，我们还是想粗略地介绍一下。
一、欧姆定律1、电阻定律a 、电阻定律 R = ρSlb 、金属的电阻率 ρ = ρ0（1 + αt ）2、欧姆定律a 、外电路欧姆定律 U = IR ，顺着电流方向电势降落b 、含源电路欧姆定律在如图8-1所示的含源电路中，从A 点到B 点，遵照原则：①遇电阻，顺电流方向电势降落（逆电流方向电势升高）②遇电源，正极到负极电势降落，负极到正极电势升高（与电流方向无关），可以得到以下关系U A − IR − ε − Ir = U B这就是含源电路欧姆定律。
c 、闭合电路欧姆定律在图8-1中，若将A 、B 两点短接，则电流方向只可能向左，含源电路欧姆定律成为 U A + IR − ε + Ir = U B = U A即 ε = IR + Ir ，或 I = r R +ε 这就是闭合电路欧姆定律。
值得注意的的是：①对于复杂电路，“干路电流I ”不能做绝对的理解（任何要考察的一条路均可视为干路）；②电源的概念也是相对的，它可以是多个电源的串、并联，也可以是电源和电阻组成的系统；③外电阻R 可以是多个电阻的串、并联或混联，但不能包含电源。
二、复杂电路的计算1、戴维南定理：一个由独立源、线性电阻、线性受控源组成的二端网络，可以用一个电压源和电阻串联的二端网络来等效。
（事实上，也可等效为“电流源和电阻并联的的二端网络”——这就成了诺顿定理。
）应用方法：其等效电路的电压源的电动势等于网络的开路电压，其串联电阻等于从端钮看进去该网络中所有独立源为零值．．．时的等效电阻。
高二物理竞赛恒定电流课件
存在下述主要性质及相互关系 导体的电势差是靠什么力产生和维持的？
i lim q dq(t)
t0 t
dt
2. 电流密度矢量 方向：正载流子运动方向
大小：通过垂直于载流子运动方向的单位
面积的电流强度
I
dI
j
dS
dI
jdS
8-1 恒定电流
恒定电流：通过任一导体截面的电流强度
不随时间变化的电流 一、电流的形成
电流：大量带电粒 I
子的定向运动
E
形成电流的带电粒子统称为载流子
传导电流形成的条件： (1)导体内必须有可以移动的电荷 (2)导体两端有电势差，即电压
电流方向：正电荷定向运动的方向 电流是标量，其方向只是指流向而已
二、电流强度 电流密度
1. 电流强度
电流强度：单位时间内通 ：导体的电导率，单位为
的电流，称为恒定电流（又称稳恒电流）
方向：正载流子运动方向
过某截面的电量 通过 的电流
若导体不均匀，怎样描述其中的电流分布情况？ 电流是标量，其方向只是指流向而已
在电流恒定的导体中，存在什么样的电场？
——欧姆定律的微分形式 电流密度与电荷的运动 方向：正载流子运动方向 导体内部的恒定电场 与电流密度 每秒从 内向外流出的电荷量 方向：正载流子运动方向
处材料的导电性质有关，与导体的形状、 大小无关 (2)欧姆定律是电场在一段导体内引起的总效 果的表示 欧姆定律微分形式反映了导体中电流的分 布情况
j E
定律浅释
j
enu
恒定电流
场
恒定电场与静电场的异同 导体的电势差是靠什么力产生和维持的？ 电流密度与电荷的运动 导体的电势差是靠什么力产生和维持的？ (2)欧姆定律是电场在一段导体内引起的总效果的表示 (1)某点处的电流密度只与该点的场强及该点处材料的导电性质有关，与导体的形状、大小无关 电流密度与电荷的运动 恒定电场是存在于恒定电流通过的导体内部和导体外部的电场。 导体内部的恒定电场 与电流密度 分布 恒定电场是存在于恒定电流通过的导体内部和导体外部的电场。 方向：正载流子运动方向 通过 的电流 (1)导体内必须有可以移动的电荷 (2)欧姆定律是电场在一段导体内引起的总效果的表示 电流密度与电荷的运动 电流强度：单位时间内通过某截面的电量
高中物理竞赛辅导讲义-第篇-稳恒电流（精品）
高中物理竞赛辅导讲义第8篇 稳恒电流【知识梳理】一、基尔霍夫定律（适用于任何复杂电路） 1． 基尔霍夫第一定律（节点电流定律）流入电路任一节点（三条以上支路汇合点）的电流强度之和等于流出该节点的电流强度之和。
即∑I =0。
若某复杂电路有n 个节点，但只有（n −1）个独立的方程式。
2． 基尔霍夫第二定律（回路电压定律）对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。
即∑U =0。
若某复杂电路有m 个独立回路，就可写出m 个独立方程式。
二、等效电源定理1． 等效电压源定理（戴维宁定理）两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。
2． 等效电流源定理（诺尔顿定理）两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I 0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻。
三、叠加原理若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和（代数和）。
四、Y−△电路的等效代换如图所示的（a ）（b ）分别为Y 网络和△网络，两个网络中的6个电阻满足一定关系时完全等效。
1． Y 网络变换为△网络122331123R R R R R R R R ++=， 122331231R R R R R R R R ++=122331312R R R R R R R R ++=2． △网络变换为Y 网络12311122331R R R R R R =++，23122122331R R R R R R =++，31233122331R R R R R R =++五、电流强度与电流密度 1．电流强度 （1）定义式：q I t∆=∆。
（2）宏观决定式：U I R=。
（3）微观决定式：I neSv =。
2．电流密度在通常的电路问题中，流过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块导体中电流的流动情况时，用电流强度描述就过于粗糙了。
高二物理竞赛课件：稳恒电流
圆周运动向心力
电子作圆周运动的角速度
当施加外磁场后，电子除受fe 作用外，还受到磁 场力fm 的作用，就引起电子运动角速度的变化。
9
电子受磁场力fm 的方向与库仑 力fe 的方向相同，即指向原子核
0
B
fm
v
磁场力大小 fm=evB=erB
Δpm
0 增加到 = 0 + ，且 满足
Ze2
4π0r 2
7
也称逆磁性，抗磁质逆磁质
磁化率m<0,相对磁导率r<1 抗磁质 与 反向
只考虑一个电量-e的电子以角速度0半径r
绕原子核作圆周运动，相当于一个圆电流。
T与0有
2 T
0
等效圆对应轨道磁矩
m总与0反向
8
电子受到的库仑力fe 的大小为
Ze 2
f e 4 0r 2
库仑力等于电子
抗磁性的产生：加外磁场后的 m 抗磁质 与 反向
单个电子的轨道磁矩 m 方向总与0反向
考虑一个电量 –e 的电子以角速度0 半径 r 绕原
子核作圆周运动，相当于一个圆电流。
0
周期 T 2
0
等效圆电流 I
e
e0
r
v
T 2
对应轨道磁矩
4
电子受到的库仑力 fe 的大小为
库仑力等于电子圆 周运动向心力 电子作圆周运动的角速度
erB
2r
2 02 20Δ
10
受磁场力与库仑力反向，
角速度将从0 减小到=0 -
0
Δpm
v
fm
B
表明磁场所引起的附加角速度总与磁场方向相同。 电子运动角速度变化必将引起轨道磁矩的变化。
轨道磁矩 变化量为
高中物理竞赛辅导 恒定电流
稳恒电流§2、1 电 流2．1 ．1．电流、电流强度、电流密度导体处于静电平衡时，导体内部场强处处为零。
如果导体内部场强不为零，带电粒子在电场力作用下发生定向移动，形成了电流。
形成电流条件是：存在自由电荷和导体两端有电势差（即导体中存在电场）。
自由电荷在不同种类导体内部是不同的，金属导体中自由电荷是电子；酸、碱、盐在水溶液中是正离子和负离子；在导电气体中是正离子、负离子和电子。
电流强度是描述电流强弱的物理量，单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。
用定义式表示为t q I /=电流强度是标量。
但电流具有方向性，规定正电荷定向移动方向为电流方向。
在金属导体中电流强度的表达式是nevS I =n 是金属导体中自由电子密度，e 是电子电量，v 是电子定向移动平均速度，S 是导体的横截面积。
在垂直于电流方向上，单位面积内电流强度叫做电流密度，表示为S I j /=金属导体中，电流密度为nev j =电流密度j 是矢量，其方向与电流方向一致。
2．1 ．2、电阻定律导体的电阻为S LS L R σρ==/式中ρ、σ称为导体电阻率、电导率⎪⎭⎫ ⎝⎛=σρ1，由实验表明，多数材料的电阻率都随温度的升高而增大，在温度变化范围不大时，纯金属的电阻率与温度之间近似地有如下线性关系()t αρρ+=100ρ为0℃时电子率，ρ为t 时电阻率，α为电阻率的温度系数，多数纯金属α值接近于3104-⨯℃1-，而对半导体和绝缘体电阻率随温度 的升高而减小。
某些导体材料在温度接近某一临界温度时，其电阻率突减为零，这种现象叫超导现象。
超导材料除了具有零电阻特性外，还具有完全抗磁性，即超导体进入超导状态时，体内磁通量被排除在体外，可以用这样一个实验来形象地说明：在一N S个浅平的锡盘中，放入一个体积很小但磁性很强的永磁铁，整个装置放入低温容器里，然后把温度降低到锡出现超导电性的温度。
这时可以看到，小磁铁竟然离开锡盘表面，飘然升起与锡盘保持一定距离后，悬在空中不动了，如图2-2-1所示。
物理竞赛辅导教案稳恒电流
物理竞赛辅导教案稳恒电流辅导教案：稳恒电流一、教学目标：1.了解稳恒电流的概念；2.理解电流的定义和单位；3.掌握计算电流的方法；4.掌握串联电路和并联电路中计算电流的方法。
二、教学内容：1.稳恒电流的概念；2.电流的定义和单位；3.串联电路中的电流计算；4.并联电路中的电流计算。
三、教学过程：步骤一：导入新知识（10分钟）教师可以提问：你们能说出什么是电流吗？电流的单位是什么？请举例说明。
步骤二：学习稳恒电流的概念（15分钟）1.定义稳恒电流：稳恒电流是指在电路中，电荷在单位时间内通过特定点的数量，也就是电流表示了电荷的流动程度。
2.提示学生思考：电流的大小与电荷的量有关吗？与电流的时间有关吗？3.引导学生发现：电流与电荷的量和时间有关，电流的计算公式为I=Q/t，其中I代表电流，Q代表电荷量，t代表时间。
步骤三：学习电流的定义和单位（15分钟）1.电流的定义：电流是单位时间内通过导线横截面的电荷量，用公式I=ΔQ/Δt表示。
2.电流的单位：国际单位制中，电流的单位是安培（A），即1A等于每秒通过1库伦电荷。
步骤四：学习串联电路中的电流计算（20分钟）1.串联电路的特点：串联电路中的电流在各电器之间是相同的。
2.串联电路中的电流计算公式：根据串联电路的特点，可以利用欧姆定律计算串联电路中的电流，即I=U/R，其中I代表电流，U代表电压，R 代表电阻。
3.通过示例演练，让学生掌握串联电路中电流的计算方法。
步骤五：学习并联电路中的电流计算（20分钟）1.并联电路的特点：并联电路中的电流在各支路之间分担。
2.并联电路中的电流计算公式：根据并联电路的特点，可以利用欧姆定律和基尔霍夫定律计算并联电路中的电流。
欧姆定律：I1=U/R1，I2=U/R2，I3=U/R3基尔霍夫定律：I=I1+I2+I33.通过示例演练，让学生掌握并联电路中电流的计算方法。
步骤六：小结与拓展（10分钟）小结：通过本节课的学习，我们了解了稳恒电流的概念，掌握了电流的定义和单位，并学会了计算串联电路和并联电路中的电流。
高中物理奥赛讲义(恒定电流)doc - 第一讲 基本知识介绍
第恒定电流第一讲基本知识介绍第九部分《稳恒电流》包括两大块：一是“恒定电流”，二是“物质的导电性”。
前者是对于电路的外部计算，后者则是深入微观空间，去解释电流的成因和比较不同种类的物质导电的情形有什么区别。
应该说，第一块的知识和高考考纲对应得比较好，深化的部分是对复杂电路的计算（引入了一些新的处理手段）。
第二块虽是全新的内容，但近几年的考试已经很少涉及，以至于很多奥赛培训资料都把它删掉了。
鉴于在奥赛考纲中这部分内容还保留着，我们还是想粗略地介绍一下。
一、欧姆定律1、电阻定律la、电阻定律R = ρSb、金属的电阻率ρ = ρ0（1 + αt）2、欧姆定律a、外电路欧姆定律U = IR ，顺着电流方向电势降落b、含源电路欧姆定律在如图8-1所示的含源电路中，从A点到B点，遵照原则：①遇电阻，顺电流方向电势降落（逆电流方向电势升高）②遇电源，正极到负极电势降落，负极到正极电势升高（与电流方向无关），可以得到以下关系U A− IR −ε− Ir = U B这就是含源电路欧姆定律。
c、闭合电路欧姆定律在图8-1中，若将A、B两点短接，则电流方向只可能向左，含源电路欧姆定律成为U A + IR −ε + Ir = U B = U Aε即ε = IR + Ir ，或I =rR+这就是闭合电路欧姆定律。
值得注意的的是：①对于复杂电路，“干路电流I”不能做绝对的理解（任何要考察的一条路均可视为干路）；②电源的概念也是相对的，它可以是多个电源的串、并联，也可以是电源和电阻组成的系统；③外电阻R可以是多个电阻的串、并联或混联，但不能包含电源。
二、复杂电路的计算1、戴维南定理：一个由独立源、线性电阻、线性受控源组成的二端网络，可以用一个电压源和电阻串联的二端网络来等效。
（事实上，也可等效为“电流源和电阻并联的的二端网络”——这就成了诺顿定理。
）应用方法：其等效电路的电压源的电动势等于网络的开路电压，其串联电阻等于从端钮看进去该网络中所有独立源为零值．．．时的等效电阻。
高二物理竞赛稳恒电流的磁场毕奥萨伐尔定律课件
o
x
Φ 0 Il ln d2
2 π d1
例4
稳恒电流的磁场 毕奥-萨伐尔定律
稳恒电流的磁场 毕奥-萨伐尔定律
◆半无限长载流长直导线:
◆无限长载流长直导线:
四 毕奥---萨伐尔定律应用举例
此时长直导线不能看成是
了,
◆直导线延长线上的点:
真空中,半径为R的载流导线,通有电流I,称圆电流.
通电导线之间有力的作用;
(2)运动电荷在磁场中受磁力的作用定义.
则:圆电流磁感强度也可写成 ◆无限长载流长直导线: ◆无限长载流长直导线:
1 0
π 天然磁石能吸引铁、钴、镍等物质；
通电导线之间有力的作用; 二 磁通量 磁场的高斯定理
2
B 0I
2 π r0
(2)运动电荷在磁场中受磁力的作用定义.
四 毕奥---萨伐尔定律应用举例
磁场中某点处垂直 矢量的单位面积上通过的磁感线数目等于该点 的数值.
dB
0 4
Idl sin
r2
B0
dB 0 Idl
4π r2
B
Idl
r
dB
o
pB
R
*
x
I
B Bx dB sin
Idl
R
r
dB
B
dBx
0 I
4π
cosdl
l r2
B 0IR
2πR
dl
4πr3 0
o
x
*p x
dB 0 Idl
B
0 IR 2
（2 x 2 R2）32
4π r2
0 Il 0 IR 4R2 4R2
（3） I
R
o
B0
高二物理竞赛稳恒电流 课件
恒定电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线。 8
四 电阻率，欧姆定律
欧姆（Georg Simom Ohm，1787-1854） 德国物理学家，在1827年发现了以他名字命名 的欧姆定律。
电流和电阻这两个术语也是由欧姆提出的。
1、电阻率，欧姆定律
+
R
I
_I GU
IU R
U
G ——电导（S西门子）
则导体内任意两点之间将维持恒
定的电势差，在导体内维持一个
v
电场，导体内的电荷在电场力的
作用下作宏观的定向运动，形成
电流。
U 2
1800年春，意大利人伏打制成了伏打电池，从而获得 持续的电流。有了稳定的电源，就为人类从研究静电 现象过渡到研究动电现象提供了坚实的技术基础。
㈠ 电流 电流密度
一、电流
电荷的定向运动形成电流。电流分为传导电流和运流电流。
单位： 1A 103 mA 106 A
4
电流强度与电子漂移速度的关系
•n——导体中自由电子的数密度
•e——电子的电量
•vd——假定每个电子的漂移速度 在时间间隔dt内，长为dl=vddt、横截面积为S 的圆柱体内
的自由电子都要通过横截面积S，所以此圆柱体内的自由电
子数为nSvddt，电量为dq=neSvddt
电阻。
解：
dR dl dr S rt
R r2 dr
r1 rt
S2 S1
t
r1
r2
R ln r2 t r1
dr 平行于电流方向，dS 垂直于电流方向。
13
6、两种导体分界面上的边界条件
1、J法向分量的连续性
对恒定电流
J dS 0
稳恒电流
dq I dt
单位：安培（A）
§3-3-1 稳恒电流
1. 电流
例：电阻法探矿
I I
用电流强度不能刻画电流的空间分布！
§3-3-1 稳恒电流
2. 电流密度矢量
dS
0 uj n
★由电流密度求电流：
对任意小面元 d S ：
对任意曲面S： dS Nhomakorabea d I j d S j d S
§3-3-1 稳恒电流
1. 电流连续性方程
q
d qS内 j d S dt S
dq 若 0 流入多于流出量 dt dq 若 0 流出多于流入量 dt
§3-3-1 稳恒电流
2. 稳恒电流
——电流密度矢量不随时间变化的电流。
1）条件：导体内部的电荷分布不随时间变化。
2）性质：
l
a b
L
r
分析：高压线触地后，电流以触地点为球心， 呈半球状沿径向流入地面。
3-3-2
§3-3-2 电源 电动势
电源 ——将其它形式的能量转换为电能的装置。 电源内：靠某种非静电力克服电场力做功！
+
I
负载 电源外：在电场力作用下，电荷运动；
dAne 1、定义：ε Ek dl （方向：正电荷运动的方向） dq 内
§3-3-1 稳恒电流
拓展：(1) 电阻温度系数
ρ ρ0 (1 αt )
温度为零度时的电阻率 例如： Ag： =410–3 1/C0 应用举例：电阻温度计
摄氏温度
电阻温度系数
(2) 超导电现象
在温度下降到某一值时，某些金属或合金的电阻 会突然消失，即“零电阻”——超导现象。
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高中物理竞赛辅导讲义第8篇 稳恒电流【知识梳理】一、基尔霍夫定律（适用于任何复杂电路） 1． 基尔霍夫第一定律（节点电流定律）流入电路任一节点（三条以上支路汇合点）的电流强度之和等于流出该节点的电流强度之和。
即∑I =0。
若某复杂电路有n 个节点，但只有（n −1）个独立的方程式。
2． 基尔霍夫第二定律（回路电压定律）对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。
即∑U =0。
若某复杂电路有m 个独立回路，就可写出m 个独立方程式。
二、等效电源定理1． 等效电压源定理（戴维宁定理）两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。
2． 等效电流源定理（诺尔顿定理）两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I 0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻。
三、叠加原理若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和（代数和）。
四、Y−△电路的等效代换如图所示的（a ）（b ）分别为Y 网络和△网络，两个网络中的6个电阻满足一定关系时完全等效。
1． Y 网络变换为△网络122331123R R R R R R R R ++=， 122331231R R R R R R R R ++=122331312R R R R R R R R ++=2． △网络变换为Y 网络12311122331R R R R R R =++，23122122331R R R R R R =++，31233122331R R R R R R =++五、电流强度与电流密度 1．电流强度 （1）定义式：q I t∆=∆。
（2）宏观决定式：U I R=。
（3）微观决定式：I neSv =。
2．电流密度在通常的电路问题中，流过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块导体中电流的流动情况时，用电流强度描述就过于粗糙了。
这是因为电流在截面上将会有一个强弱不同的分布，而且各点的电流方向可能并不一致。
为了“精细”地描述导体中各点电流的大小和方向，引入电流密度，记为j 。
电流密度是一个矢量。
（1）电流密度大小：Ij S∆=∆。
ΔS 是垂直电流方向的面积。
（2）电流密度方向：在导体中各点，电流密度方向与该点电流的方向相同。
六、电阻定律与欧姆定律 1．电阻定律：L R Sρ=。
电阻率ρ与导体材料和温度有关，与导体的形状尺寸无关。
在温度变化范围不大时，电阻率与温度间存在线性关系 0(1)t ρρα=+。
其中ρ0是0℃时的电阻率，ρ是t ℃时的电阻率，α是电阻率温度系数。
α在一段不大的温度间隔内可视为常量。
实验得，金属导体α>0，碳α<0。
2．欧姆定律：U I R=。
欧姆定律描述一段长度和截面积均为有限大小的导体的导电规律，它被广泛应用于直流电路和交流电路的分析之中。
然而，在某些情况下，这种描述显得过于粗糙，需要逐点分析电流密度j 和电场强度E 的关系。
对于各向同性导体，这个关系可以从上式导出。
设想在载有稳恒电流的各向同性导体内取一长度为Δl ，垂直截面积为ΔS 的小电流管。
只要Δl 和ΔS 足够小，就可以忽略垂直截面积ΔS 沿电流管的微小变化。
与此同时，只要电流管足够小，管内的电流场和导体元均可近似视为均匀的。
U I R ∆∆=，I j S ∆=∆，U E l ∆=∆，l lR S Sρσ∆∆==∆∆。
式中1σρ=，称为电导率。
由以上各式得到 j E σ=。
上式称为欧姆定律的微分形式。
七、物质的导电性 1、金属的导电性 2、液体的导电性法拉第电解第一定律：电解质导电时，在极板处析出物质的质量m 与通电时间t 和电流强度I 成正比，或者说与通过电解液的电量q 成正比，即 m = KIt = Kq 。
式中K 是比例恒量，称为电化当量，单位是kg/C ，即通过1库仑电量时极板处析出的物质的质量。
K 值大小与被析出物质种类有关，可根据mK It=由实验测定。
法拉第电解第二定律：物质的电化当量K 跟它的化学当量M n 成正比，即M K Fn=。
式中F 称为法拉第恒量，对任何物质都相同，实验测得 F = 9.65×104 C/mol 。
M 为该物质的摩尔质量，n 为化合价。
联立两条定律的表达式，得到 Mm q Fn=。
当Mm n=时，F = q 。
所以，法拉第恒量可以理解为：析出物质的数值等于化学当时，需要通过电解质的电量。
3、气体的导电性 4、真空中的电流 5、半导体导电 6、超导现象简介【例题选讲】1．如图所示的电路中，已知电源电动势E 1=3.0V ，E 2=1.0V ，内阻r 1=0.50Ω，r 2=1.0Ω，电阻R 1=4.5Ω，R 2=10.0Ω，R 3=19.0Ω，R 4=5.0Ω，求电路中三条支路上的电流强度。
2．如图所示的电路中，已知电源电动势E =1.5V ，电源内阻r =0.1Ω，电阻R 1=1Ω，R 2=1.6Ω，R 3=R 5=2Ω，R 4=1.2Ω。
试求总电流及各分支电流。
E 1 E 2 R 4 R 2 R 1R 3r 2r 1E rR 1 R 2R 4 R 3 R 53．如图所示电器中，E 1=4.0V ，E 2=1.0V ，R 1=10Ω，R 2=20Ω，R 3=30Ω，电源内阻不计。
电容C =500μF 。
求电容C 电荷量。
4．正四面体ABCD ，每条边的电阻均为R ，取一条边的两个顶点，如图中A 、B ，问整个四面体的等效电阻R AB 为多少？5．如图所示的电路中，12个相同的电阻阻值均为R 。
试求a 、b 两端的等效电阻R ab 为多少？6．有7根电阻均为R 的电阻丝，连成如图所示的电阻网络，试求A 、B 两点之间的等效电阻。
R R R R R R R A B A D C a b c d e fj h i E 1 E 2R 2 R 1 R 3 C7．如图所示的有限网络电路中，除最后一只电阻为R x 外，其余电阻阻值都是R ，那么要使A 、B 两点间的等效电阻与网络级数n 无关，R x 为多大？8．如图所示的无限网络，R 0=3R ，其他每根电阻丝均为R ，求A 、B 间的电阻R AB 。
9．用均匀电阻线作成的正方形回路，由九个相同的小正方形组成，小正方形每边的电阻均为R 。
（1）在A 、B 两点间接入电池，其电动势E ，内阻可忽略，求流过电池的电流强度。
（2）若用导线（不计导线电阻）连接C 、D 两点，求通过此导线的电流。
10．一无限平面导体网络，它由相同的正方形网眼组成，如图所示。
所有正方形的每边均为阻值等于R 的电阻丝。
（1）求结点A 、B 间的电阻；（2）若仅将A 、B 间的一根电阻丝换成阻值为3R 的电阻，则A 、B 间的电阻为多大？A B R 0A BCD11．有一无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。
所有六边形每边的电阻均为r 。
求结点a 、b 间的电阻R ab 。
12．一根均匀导线的电阻为1000Ω，允许通过的最大电流为1A 。
在电网电压为220V 时，如何利用这根导线做成一个功率尽可能大的电热器？并求出最大功率。
13．由6个未必相同的电阻和电压U =10V 的直流恒压电源构成的电路如图（a ）所示，其中电源输出电流I 0=3A 。
若如图（b ）所示，在电源右侧并联一个电阻（电阻记为R x ），则电源输出电流I =5A 。
今将此电源与电阻R x 串联后，改接在C 、D 两点右侧，如图（c ）所示，试求电源输出电流I'。
（a ） （b ）（c ）14．如图所示电路，电源内阻不计。
（1）求流过电阻R 的电流I ，I 的方向如何由R 1和R 2的相对大小而定？ （2）设R 1=R ，R 2−R 1=ΔR <<R ，写出I 的近似式。
（精确到小量ΔR /R 的一次方）15．电阻丝无穷网络如图所示，每两个结点之间的电阻丝的电阻都是r ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
16．设在桌面上的固定孤立接线柱数为： （1）4个；（2）5个；（3）n 个。
任意两个接线柱间均接入电阻值同为r 的电阻。
求接线柱1和2间的等效电阻为多大？R 1 R 2 R 2 R 1 RU r r r r r r A rr r r rr r r r17．三只相同的金属圆圈，两两正交地连成如图所示的形状。
若每一只金属圈原长的电阻为R ，试求图中A 、B 两点间的等效电阻R AB 。
18．如图所示，12个阻值都是R 的电阻，组成一立方体框架，试求AC 间的电阻R AC 、AB 间的电阻R AB 与AG 间的电阻R AG 。
A B ABCDE F GH19．田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为R 。
试求网络中A 、B 两点间的等效电阻R AB 。
20．如图所示，一个原来用12根相同的电阻丝构成的立方体框架，每根电阻丝的电阻均为r ，现将其中一根拆去，求A 、B 两点间的电阻R AB 。
AB a b B A d cC D21．如图所示是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻的A、B两点接入电路中时，AB间的电阻R AB。
22．由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的正方形网络系列。
n=1时，正方形网络边长为L，n=2时，小正方形网络的边长为L/3；n=3时，最小正方形网络的边长为L/9。
当n=1、2、3时，各网络上A、B两点间的电阻分别为多少？A BLABA AB B n=1n=2n=323．如图所示的无限旋转内接正三角形金属丝网络是由一种粗细一致、材料均匀的金属丝构成，其中每一个内接正三角形的顶点都在外侧正三角形三边中点上。
已知最外侧三角形边长为l ，单位长度金属丝的电阻为r 0，求网络中AB 间的电阻R AB 。
24．如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r 。
试求A 、B 两点间的等效电阻。
B A A B25．半径为R 的薄壁球形导体，球心在O 点，球面上有三点A 、B 和C ，三条球半径OA 、OB 和OC 相互垂直。
球面上A 、B 两点连有细导线，并由这两根细导线接至电源。
已知通过电源的电流I 0进入球面A 点，再由球面B 点流出，如图所示。
求C 点处的电流密度（在球面上垂直于电流方向单位长度线段上流过的电流）。
26．如图所示，一长为L 的圆台形均匀导体，两底面半径分别为a 和b ，电阻率为ρ。
试求它的两个底面之间的电阻。
27．一铜圆柱体半径为a 、长为l ，外面套一个与它共轴且等长的铜筒，筒的内半径为b ，在柱与筒之间充满电阻率为ρ的均匀物质，如图所示，求柱与筒之间的电阻。