(点集拓扑学拓扑)知识点

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第4章连通性重要知识点

本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．

§4．1 连通空间

本节重点: 掌握连通与不连通的定义.

掌握如何证明一个集合的连通与否?

掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。

我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．

定义4．1．1设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果

)

B

A

(

B

(A

=

⋂

⋃

∅

⋂)

则称子集A和B是隔离的．

明显地，定义中的条件等价于∅=

A和

⋂B

⋂A

B同时成立，也就是说，A与B无交并且=

∅

其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2) 不是隔离的．

又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．

定义4．1．2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．

显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．定理4．1．1设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：

（l）X是一个不连通空间；

立．

（4）蕴涵（l）．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B=A'．则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l）成立．例4. 1．1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合（-∞，r）∩Q＝（－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集．

定理4．1．2 实数空间R是一个连通空间．

证明我们用反证法来证明这个定理．

假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4．1．1，在R中有两个非空闭集A和B使得A ∩B=∅和A∪B＝R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性可设a＜b．令A~=A∩[a,b]，和B~=B∩[a,b]．于是A~和B~是R中的两个非空闭集分别包含a和b，并且使得A~∩B~=∅和A~∪B~=[a，b]成立．集合A~有上界b，故有上确界，设为b~．由于A~是一个闭集，所以b~∈A~，并且因此可见b~＜b，

因为b ~＝b 将导致b ∈A ~∩B ~，而这与A ~∩B ~=∅矛

盾．因此（b ~，b]⊂B ~．由于B ~是一个闭集，所以b

~∈B ~．这又导致b ~∈A ~∩B ~，也与A ~∩B ~=∅矛盾．

定义4．1．3设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．

拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间Y 的拓扑有关(即Y 的连通与否与X 的连通与否没有关系.)．因此，如果X Z Y ⊂⊂，则Y 是X 的连通子集当且仅当Y 是Z 的连通子集．这一点后面要经常用到．

定理4．1．3 设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A ，B ⊂Y ．则A 和B 是子空间Y 中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔离子集． 因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在Y 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y(定义)当且仅当存在X 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y ．

证明 因为

)

)(())(())()(())()(()

))((()))((())(())((A B C B A C A Y B C B Y A C A Y B C B Y A C A B C B A C X X X X X X Y Y ⋂⋃⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋃⋂

因此根据隔离子集的定义可见定理成立．

定理4．1．4 设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使得 Y ⊂A U B ，则或者 Y ⊂A ，或者 Y ⊂B ．

证明 如果A 和B 是X 中的隔离子集使得Y ⊂AUB ，则

∅=⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂⊂⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂)()(()

()()

)(())((A B B A Y A Y B B Y A Y A Y B Y B Y A

这说明A ∩Y 和B ∩Y 也是隔离子集．然而

（A ∩Y ）∪（B ∩Y ）＝（A ∪B ）∩Y ＝Y

因此根据定理4．1．3，集合A ∩Y 和B ∩Y 中必有一个是空集．如果 A ∩Y=∅，据上式立即可见 Y ⊂B ，如果 B ∩Y ＝ ∅，同理可见Y ⊂A ． 定理4．1．5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z ⊂X 满足条件Y Z Y ⊂⊂．则 Z 也是X 的一个连通子集．

证明 假设Z 是X 中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 X 中有非空隔离子集A 和B 使得Z=A ∪B ．因此 Y ⊂AUB ．由于Y 是连通的，根据定理4．1．4，

或者Y ⊂A ，∅=⋂=⇒∅=⋂⊂⋂⇒⊂⊂B Z B B A B Z A Y Z