2015学而思杯数学解析(5年级)_30
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4 12 24 40 120 120 120 120 120 5
6 3 6 5 28 28 6 6
28
（2）提取公因数， 2 5 3 (2 3) 5 28
7 5 7 28 5 5 7 7
5
18. 解下列方程或方程组，写出简要的解方程过程与方程的解：
x 1 x 5
若喜=9，羊=2，上下总数字和为 45 5 2 3 58 ，而上下数字和差 9 的倍数，结合题目，百 位向千位进 2 位，和又是偶数，所以上下方数字和的差可以为 18 或 36，此时下方数字和为 20 或 11，气=7，经验证无法向千位进两位；
若喜=8，则羊=2，上下总数字和为 45 5 2 3 58 ，而上下数字和差 9 的倍数，结合题目， 百位向千位进 1 位，和又是偶数，所以上下方数字和的差可以为 18 或 36，此时下方数字和为 20 或 11，气均没有合适的取值；
2. 甲、乙两人玩井字棋游戏，轮流在一个 3 3 的方格棋盘内画符号，甲画“ ”先走，乙画“ ” 后走．谁能将棋盘的一整行、一整列或一整条对角线的 3 个格都画上自己的符号，谁就赢．如果 前 4 步甲乙所下位置如下左图所示，那么，甲下一步应该下在__________号位置（位置编号如下 右图所示），才能保证必胜．
4. 如图，已知圆的半径是 10 厘米，六条直径将圆十二等分．那么，阴影面积之和是__________平方 厘米．（ π 取 3.14）
【考点】圆与扇形 【难度】☆
【答案】157 【分析】 π 102 2 157
二．填空题Ⅱ（每题 6 分，共 24 分） 5. 佳佳是一位国旗爱好者，他从全世界 193 个国家的国旗中，挑出了 43 面带星星图案或带月亮图案
的国旗，发现其中带星星图案的国旗有 34 面．带月亮图案的国旗有 18 面，那么，既带星星图案 又带月亮图案的国旗有__________面． 【考点】容斥原理 【难度】☆ 【答案】9 【分析】 34 18 43 9
6. 东东喝一瓶浓度是 40%的饮料，喝到剩 60 克饮料时，觉得饮料太浓了，就加了一些水，将饮料的 浓度兑成了 30%．那么，东东加了__________克水．
【难度】☆☆☆
【答案】98
【分析】连接 BD，有 SBHD S AHC S AHG SAGF ，所以 S SBHD SBED 1 a2 1 b2 1 c2 98 222
（其中 a、b、c 代指直角三角形三边）
15. 我们知道分母是 7 的真分数化成小数时，循环节由 1、4、2、8、5、7 这六个数字组成，这六个数 字还能组成一个恰好有 28 个因数的六位完全立方数．那么，这个六位数的后五位是__________．
355 113
△π
288
2015
41 288
的计算结果的整．数．部．分．是__________．
【考点】比较与估算
【难度】☆☆☆☆
【答案】21
1 【分析】左括号由于取小，结果必然不大于 π ，即不超过 3.142，右括号由于取大，结果大于
7
288 288 1
种.
14. 如图，直角三角形 ABC 中，ABC 90 ，AC 14 ．四边形 BCDE 和四边形 ABFG 都是正方形．连 结 AD，与 BC 相交于点 H．如果 GH 与 AC 平行，那么，阴影四边形 BEDH 的面积是__________．
G
A
H
F
B
C
E
D
【考点】等积变形、勾股定理
【考点】比例法解行程
【难度】☆☆☆☆
【答案】720
【分析】此类行程题，速度比最重要，注意到甲往返路程相同，而最后乙丙正好相遇，则在甲丙相遇
时，乙丙应合走了全程的一半，则在此时刻三人路程比为 7:2:3，即 v甲 : v乙 : v丙 7 : 2 : 3 ，所以甲乙
3 71 3 7
7
相遇时，丙走了全程的 ( ) ， 336 720
1
（ ），所以原式结果接近 3.142 ，但不会超过它， 3.142 7 22 ，所以不会超
2015 2016 7
7
过 22.
12. 下面的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，四位数 喜气羊羊 的最大值是__________． 3 羊开泰 羊羊得意 羊年大吉 喜气羊羊
2015 年第九届北京学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷解析（五年级）
一．填空题Ⅰ（每题 5 分，共 20 分） 1. 4 月 5 日清明节是中国二十四节气之一．已知一年有 24 个节气，那么，平均每个月有__________
个节气． 【考点】平均数问题 【难度】☆ 【答案】2 【分析】 24 12 2
工程．但是在开工之前，甲因故退出，乙和丙只得代替甲完成工作．方案有两种：乙额外做 3 天， 或者乙、丙额外各做 1 天，都能完成甲的工作．那么，这项工程如果由乙单独完成，需要__________ 天． 【考点】工程问题 【难度】☆☆☆ 【答案】11 【分析】从题目描述中可以得知，乙做 3 天顶甲做 1 天，丙做 1 天顶乙做 2 天，所以丙做 3 天的活乙 要做 6 天， 3 2 6 11
【考点】数论综合 【难度】☆☆☆☆ 【答案】21875 【分析】这个数的数字和为 27，必然为 9 的倍数；
完全立方数由于是三个一样的数乘出，指数是 3 的倍数，在此基础上逆用因数个数定理， 28 27 1 (3 1) (6 1) ，显然原数为 p3 q6 形式，即 ( p q2 )3 ，且两质数中有一个是 3， 且由于 403 64000 ， 453 2025 45 100000 ，所以底数只能是在 45~100 之间，有可能的只有 (32 7)3 250047 、 (32 11)3 970299 、 (3 52 )3 421875
2
x 4 （2）①+②，得到 x y 9 ，从而得到
y 5
六．解答题（每题 15 分，共 30 分）
19. 如图，正方形 ABCD 与两个直角三角形 ADE、BCF 拼成了等腰梯形 ABFE，已知 AB 12 ，
ED CF 4 ．
（1）请求出三角形 ADE 的面积．（4 分）
【考点】数字谜 【难度】☆☆☆☆ 【答案】7922
【分析】一共出现了 10 个不同汉字，所以 10 个不同数字均出现了，接下来极端分析： 若喜=9，则羊可以是 2 或 3，若羊=3，上下总数字和为 45 5 3 3 63 ，而上下数字和差 9
的倍数，结合题目，百位不能向千位进位，和又是奇数，所以上下方数字和的差是 3 9 27 或 9， 此时下方数字和为 18 或 27，气=3 或 12，均不成立；
（2）请求出三角形 ABE 的面积．（4 分）
（3）请求出 EG : GB ．（4 分）
（4）请求出阴影部分的总面积．（3 分）
A
B
【考点】基本公式、比例模型 【难度】☆☆☆ 【答案】24、72、1:3、63
知他们四人先后入座，座位可自选，但要求同一对夫妇两人必须坐在桌子的同一侧．那么，这四 人的入座方法有__________种．（坐的位置不同，或者入座顺序不同，都算不同的入座方法）
椅椅
桌
椅椅
【考点】排列组合
【难度】☆☆☆
【答案】192
【分析】若按先后顺序考虑，第四人不用考虑，第一人 4 种情况，其座位 4 种情况，第二人若是第一 人伴侣，1 种情况，其座位 1 种情况，第三人 2 种情况，其座位 2 种情况；若不是第一人伴侣，2
10. 下图“七角星”中共有__________个三角形．
【考点】几何计数 【难度】☆☆☆ 【答案】35 【分析】七条边两两相交且三线不共点， C37 35
11. 定义新运算符号“ △ ”和“ ”：如果 a b ，那么“ a△b ”表示 a 与 b 中较小的数，“ ab ”表
示
a
与
b
中较大的数．那么，
又溢出30cm3
【考点】水中浸物 【难度】☆☆ 【答案】90 【分析】第二个正方体体积是 30cm3，所以第一个也是，那么只溢出 20cm3 说明原来有 10cm3 的空，所
以原有水 90cm3.
三．填空题Ⅲ（每题 7 分，共 28 分） 9. 一项工程，甲、乙、丙三人合作完成．原定甲做 1 天，乙做 2 天，丙做 3 天，刚好可以完成这项
8. 一个容积是 100 立方厘米的水杯（即这个水杯装满水时，水的体积是 100 立方厘米），内有一部分
水，盛盛向杯中放入了一个小正方体，水溢出了 20 立方厘米；盛盛又向杯中放入了一个相同的小
正方体，水又溢出了 30 立方厘米（如图）．那么，原来水杯中装有__________立方厘米的水．
溢出20cm3
若喜=7，则羊可以是 1 或 2，若羊=2，类似喜=8 时的分析，得出可能合理的四位数“7922”， 经验证成立，如图，则其在喜取得最大值的前提下后三位均为合理的最大值，必然为最大值
3281 2205 2436 7922
四．填空题Ⅳ（每题 8 分，共 32 分） 13. 两对夫妇约好下班后一起吃饭．他们预定了一家饭店的某张饭桌，饭桌的桌椅分布如下图所示．已
10 10 5 7 2 15
15
五．计算题（每题 8 分，共 16 分）
17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：
11 1 1 （1）
4 12 24 40
6 3 6 5 28 （2） 2 5 3
7 5 7 28 5
【考点】分数计算、裂项
【难度】☆☆
2 【答案】 、28
1 16. 甲、乙两人从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行．当甲、丙相遇时，乙刚好走了全程的 ；此
5
时甲立即掉头向 A 地行走，乙、丙仍按原方向行走．当甲、乙相遇时，丙距离 B 地 336 米；三人
继续行走，当乙、丙相遇时，甲恰好回到 A 地．那么，A、B 两地之间的距离是__________米．
1
2
3
45
【考点】必胜策略 【难度】☆ 【答案】1 【分析】甲不得不走 1，此时 3、4 双杀，乙挡不住了
3. 俗话说：卢沟桥的狮子，数不清．俊俊去卢沟桥数狮子，发现一共有 300 只狮子．其中大狮子与 小狮子的数量之比是 2 :1 ，那么，小狮子有__________只．
【考点】比例应用题 【难度】☆ 【答案】100 【分析】 300 (2 1) 1 100
【考点】浓度问题 【难度】☆☆ 【答案】20 【分析】 40% 60 30% 60 20 ，或用十字交叉算出饮料和水的质量比为 3:1 也可以
7. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 的计算结果末尾有__________个连续的 0． 【考点】质数与合数 【难度】☆☆ 【答案】2 【分析】末尾的 0 由质因数 2 和 5 的个数共同决定，质因数 5 只有 2 个，质因数 2 有不止 2 个
（1） 4
3
2
3x 4 y 32 （2）
4x 3y 31
【考点】解分数方程、解二元方程组
பைடு நூலகம்
【难度】☆☆
x 4 【答案】 x 7 、
y 5
x 1 x 5
【分析】（1） 4 2(x 1) 24 3(x 5) x 7
3
种情况，其座位 2 种情况，第三人 2 种情况，其座位 1 种情况，所以是
4 4 (11 2 2 2 2 2 1) 192 种；
但考虑到先把座位定好，入座先后顺序只需乘以
A
4 4
，而座位只有
2
2
2
（两对夫妇互换、
夫妇间互换）种情况，所以是
A
4 4
2
2
2
192
5
1 1 1 1 2 2 2 2 1111111 1 2
【分析】（1）裂项，
4 12 24 40 2 4 4 6 6 8 8 10 2 4 4 6 6 8 8 10 5
1 1 1 1 30 10 5 3 48 2 或通分，
6 3 6 5 28 28 6 6
28
（2）提取公因数， 2 5 3 (2 3) 5 28
7 5 7 28 5 5 7 7
5
18. 解下列方程或方程组，写出简要的解方程过程与方程的解：
x 1 x 5
若喜=9，羊=2，上下总数字和为 45 5 2 3 58 ，而上下数字和差 9 的倍数，结合题目，百 位向千位进 2 位，和又是偶数，所以上下方数字和的差可以为 18 或 36，此时下方数字和为 20 或 11，气=7，经验证无法向千位进两位；
若喜=8，则羊=2，上下总数字和为 45 5 2 3 58 ，而上下数字和差 9 的倍数，结合题目， 百位向千位进 1 位，和又是偶数，所以上下方数字和的差可以为 18 或 36，此时下方数字和为 20 或 11，气均没有合适的取值；
2. 甲、乙两人玩井字棋游戏，轮流在一个 3 3 的方格棋盘内画符号，甲画“ ”先走，乙画“ ” 后走．谁能将棋盘的一整行、一整列或一整条对角线的 3 个格都画上自己的符号，谁就赢．如果 前 4 步甲乙所下位置如下左图所示，那么，甲下一步应该下在__________号位置（位置编号如下 右图所示），才能保证必胜．
4. 如图，已知圆的半径是 10 厘米，六条直径将圆十二等分．那么，阴影面积之和是__________平方 厘米．（ π 取 3.14）
【考点】圆与扇形 【难度】☆
【答案】157 【分析】 π 102 2 157
二．填空题Ⅱ（每题 6 分，共 24 分） 5. 佳佳是一位国旗爱好者，他从全世界 193 个国家的国旗中，挑出了 43 面带星星图案或带月亮图案
的国旗，发现其中带星星图案的国旗有 34 面．带月亮图案的国旗有 18 面，那么，既带星星图案 又带月亮图案的国旗有__________面． 【考点】容斥原理 【难度】☆ 【答案】9 【分析】 34 18 43 9
6. 东东喝一瓶浓度是 40%的饮料，喝到剩 60 克饮料时，觉得饮料太浓了，就加了一些水，将饮料的 浓度兑成了 30%．那么，东东加了__________克水．
【难度】☆☆☆
【答案】98
【分析】连接 BD，有 SBHD S AHC S AHG SAGF ，所以 S SBHD SBED 1 a2 1 b2 1 c2 98 222
（其中 a、b、c 代指直角三角形三边）
15. 我们知道分母是 7 的真分数化成小数时，循环节由 1、4、2、8、5、7 这六个数字组成，这六个数 字还能组成一个恰好有 28 个因数的六位完全立方数．那么，这个六位数的后五位是__________．
355 113
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的计算结果的整．数．部．分．是__________．
【考点】比较与估算
【难度】☆☆☆☆
【答案】21
1 【分析】左括号由于取小，结果必然不大于 π ，即不超过 3.142，右括号由于取大，结果大于
7
288 288 1
种.
14. 如图，直角三角形 ABC 中，ABC 90 ，AC 14 ．四边形 BCDE 和四边形 ABFG 都是正方形．连 结 AD，与 BC 相交于点 H．如果 GH 与 AC 平行，那么，阴影四边形 BEDH 的面积是__________．
G
A
H
F
B
C
E
D
【考点】等积变形、勾股定理
【考点】比例法解行程
【难度】☆☆☆☆
【答案】720
【分析】此类行程题，速度比最重要，注意到甲往返路程相同，而最后乙丙正好相遇，则在甲丙相遇
时，乙丙应合走了全程的一半，则在此时刻三人路程比为 7:2:3，即 v甲 : v乙 : v丙 7 : 2 : 3 ，所以甲乙
3 71 3 7
7
相遇时，丙走了全程的 ( ) ， 336 720
1
（ ），所以原式结果接近 3.142 ，但不会超过它， 3.142 7 22 ，所以不会超
2015 2016 7
7
过 22.
12. 下面的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，四位数 喜气羊羊 的最大值是__________． 3 羊开泰 羊羊得意 羊年大吉 喜气羊羊
2015 年第九届北京学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷解析（五年级）
一．填空题Ⅰ（每题 5 分，共 20 分） 1. 4 月 5 日清明节是中国二十四节气之一．已知一年有 24 个节气，那么，平均每个月有__________
个节气． 【考点】平均数问题 【难度】☆ 【答案】2 【分析】 24 12 2
工程．但是在开工之前，甲因故退出，乙和丙只得代替甲完成工作．方案有两种：乙额外做 3 天， 或者乙、丙额外各做 1 天，都能完成甲的工作．那么，这项工程如果由乙单独完成，需要__________ 天． 【考点】工程问题 【难度】☆☆☆ 【答案】11 【分析】从题目描述中可以得知，乙做 3 天顶甲做 1 天，丙做 1 天顶乙做 2 天，所以丙做 3 天的活乙 要做 6 天， 3 2 6 11
【考点】数论综合 【难度】☆☆☆☆ 【答案】21875 【分析】这个数的数字和为 27，必然为 9 的倍数；
完全立方数由于是三个一样的数乘出，指数是 3 的倍数，在此基础上逆用因数个数定理， 28 27 1 (3 1) (6 1) ，显然原数为 p3 q6 形式，即 ( p q2 )3 ，且两质数中有一个是 3， 且由于 403 64000 ， 453 2025 45 100000 ，所以底数只能是在 45~100 之间，有可能的只有 (32 7)3 250047 、 (32 11)3 970299 、 (3 52 )3 421875
2
x 4 （2）①+②，得到 x y 9 ，从而得到
y 5
六．解答题（每题 15 分，共 30 分）
19. 如图，正方形 ABCD 与两个直角三角形 ADE、BCF 拼成了等腰梯形 ABFE，已知 AB 12 ，
ED CF 4 ．
（1）请求出三角形 ADE 的面积．（4 分）
【考点】数字谜 【难度】☆☆☆☆ 【答案】7922
【分析】一共出现了 10 个不同汉字，所以 10 个不同数字均出现了，接下来极端分析： 若喜=9，则羊可以是 2 或 3，若羊=3，上下总数字和为 45 5 3 3 63 ，而上下数字和差 9
的倍数，结合题目，百位不能向千位进位，和又是奇数，所以上下方数字和的差是 3 9 27 或 9， 此时下方数字和为 18 或 27，气=3 或 12，均不成立；
（2）请求出三角形 ABE 的面积．（4 分）
（3）请求出 EG : GB ．（4 分）
（4）请求出阴影部分的总面积．（3 分）
A
B
【考点】基本公式、比例模型 【难度】☆☆☆ 【答案】24、72、1:3、63
知他们四人先后入座，座位可自选，但要求同一对夫妇两人必须坐在桌子的同一侧．那么，这四 人的入座方法有__________种．（坐的位置不同，或者入座顺序不同，都算不同的入座方法）
椅椅
桌
椅椅
【考点】排列组合
【难度】☆☆☆
【答案】192
【分析】若按先后顺序考虑，第四人不用考虑，第一人 4 种情况，其座位 4 种情况，第二人若是第一 人伴侣，1 种情况，其座位 1 种情况，第三人 2 种情况，其座位 2 种情况；若不是第一人伴侣，2
10. 下图“七角星”中共有__________个三角形．
【考点】几何计数 【难度】☆☆☆ 【答案】35 【分析】七条边两两相交且三线不共点， C37 35
11. 定义新运算符号“ △ ”和“ ”：如果 a b ，那么“ a△b ”表示 a 与 b 中较小的数，“ ab ”表
示
a
与
b
中较大的数．那么，
又溢出30cm3
【考点】水中浸物 【难度】☆☆ 【答案】90 【分析】第二个正方体体积是 30cm3，所以第一个也是，那么只溢出 20cm3 说明原来有 10cm3 的空，所
以原有水 90cm3.
三．填空题Ⅲ（每题 7 分，共 28 分） 9. 一项工程，甲、乙、丙三人合作完成．原定甲做 1 天，乙做 2 天，丙做 3 天，刚好可以完成这项
8. 一个容积是 100 立方厘米的水杯（即这个水杯装满水时，水的体积是 100 立方厘米），内有一部分
水，盛盛向杯中放入了一个小正方体，水溢出了 20 立方厘米；盛盛又向杯中放入了一个相同的小
正方体，水又溢出了 30 立方厘米（如图）．那么，原来水杯中装有__________立方厘米的水．
溢出20cm3
若喜=7，则羊可以是 1 或 2，若羊=2，类似喜=8 时的分析，得出可能合理的四位数“7922”， 经验证成立，如图，则其在喜取得最大值的前提下后三位均为合理的最大值，必然为最大值
3281 2205 2436 7922
四．填空题Ⅳ（每题 8 分，共 32 分） 13. 两对夫妇约好下班后一起吃饭．他们预定了一家饭店的某张饭桌，饭桌的桌椅分布如下图所示．已
10 10 5 7 2 15
15
五．计算题（每题 8 分，共 16 分）
17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：
11 1 1 （1）
4 12 24 40
6 3 6 5 28 （2） 2 5 3
7 5 7 28 5
【考点】分数计算、裂项
【难度】☆☆
2 【答案】 、28
1 16. 甲、乙两人从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行．当甲、丙相遇时，乙刚好走了全程的 ；此
5
时甲立即掉头向 A 地行走，乙、丙仍按原方向行走．当甲、乙相遇时，丙距离 B 地 336 米；三人
继续行走，当乙、丙相遇时，甲恰好回到 A 地．那么，A、B 两地之间的距离是__________米．
1
2
3
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【考点】必胜策略 【难度】☆ 【答案】1 【分析】甲不得不走 1，此时 3、4 双杀，乙挡不住了
3. 俗话说：卢沟桥的狮子，数不清．俊俊去卢沟桥数狮子，发现一共有 300 只狮子．其中大狮子与 小狮子的数量之比是 2 :1 ，那么，小狮子有__________只．
【考点】比例应用题 【难度】☆ 【答案】100 【分析】 300 (2 1) 1 100
【考点】浓度问题 【难度】☆☆ 【答案】20 【分析】 40% 60 30% 60 20 ，或用十字交叉算出饮料和水的质量比为 3:1 也可以
7. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 的计算结果末尾有__________个连续的 0． 【考点】质数与合数 【难度】☆☆ 【答案】2 【分析】末尾的 0 由质因数 2 和 5 的个数共同决定，质因数 5 只有 2 个，质因数 2 有不止 2 个
（1） 4
3
2
3x 4 y 32 （2）
4x 3y 31
【考点】解分数方程、解二元方程组
பைடு நூலகம்
【难度】☆☆
x 4 【答案】 x 7 、
y 5
x 1 x 5
【分析】（1） 4 2(x 1) 24 3(x 5) x 7
3
种情况，其座位 2 种情况，第三人 2 种情况，其座位 1 种情况，所以是
4 4 (11 2 2 2 2 2 1) 192 种；
但考虑到先把座位定好，入座先后顺序只需乘以
A
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，而座位只有
2
2
2
（两对夫妇互换、
夫妇间互换）种情况，所以是
A
4 4
2
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2
192
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1 1 1 1 2 2 2 2 1111111 1 2
【分析】（1）裂项，
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1 1 1 1 30 10 5 3 48 2 或通分，