速率分布函数

全“速度空间”捕捉粒子的概率为1
(
m0
2 kT
3 k
) 2 e kT dvxdvydvz
1
“速率区间 v ~ v + v ” 对应“速度空间”中半径 为 v 、厚度为 d v 的“球壳”，所以粒子在速率区间内 的概率为
（D）气体分子的速率等于最概然速率 v p 的概率最大。
6、 某气体分子的速率分布曲线如选7-7图所示，v p 表示最概然
速子率数，的百NN分p 表率示，速当率温分度布减在低时v，p 则（vp
A
v 之间的分子数占总分 ）
（A）
vp
减小，
N p N
也减小
（B） v p
增大， N p
N
也增大
（C） v p
vp
2kT m0
2RT 1.41 RT
M
M
vp
2kT m0
2RT M
vp
T
1 2
,vp
m
1 2
0
讨论两种情况：
（1）m0 一定, T vp
曲线高峰右移, 同时高度下降。
（2）T
一定，v p
m
1 2
0
f(v) T1 T2 T1
v
vp1 vp2
f(v)
m0大
m0小 v
2. 平均速率 v
（3）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 v0 的概率。
（4）分子速率倒数的平均值。 （5）分子平均平动动能。
2、设某种气体的分子速率分布函数为f(v),则速率在v1→v2区间 的分子的平均速率为：
( A) v2 v f (v)dv v1
(C) v2 vf (v)dv / v2 f (v)dv
0
的归一化条件。
思考：
1、若 f (v) 表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义
（1） f (v)dv
（3）
v2 v1
f (v)dv
（5） vf (v)dv 0
（2） Nf (v)dv
（4） v2 Nf (v)dv v1
2、麦克斯韦速率分布函数（1860年从理论上导出）
f (v) 4 (
(2) 绿：氧 白：氢
T2 v
v p1 v p2
例2、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中
自由电子( “电子气”模型 )。设导体中自由电子数为 N ,电
子速率最大值为费米速率 d v 区间的概率为：
vF ，且已知电子速率在
v
—
v
+
dN Av2dv
N
0
( 0 v vF ) A 为常数 ( v vF )
v1
v1
(B)v v2 f (v)dv v1
(D) v2 f (v)dv /
f (v)dv
v1
0
3、若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分
的面积相等，则图中 v0 表示（ D ）
f (v)
（A）最概然速率
（B）平均速率
AB
（C）方均根速率
（D）速率大于和小于 v0的分子各占一半 0
f (v)
f (v)
0
vp
(a)
v0
vp
v
v
(b)
§4.6 玻耳兹曼分布律 (了解)
1、麦克斯韦速度分布律（1859年导出）
更详细上的述描麦述克应斯指韦出速气率体分分布子律是，如未何考按虑速气度体分分布子的的，速如度以方v向表，
示分子的速度，vx ,vy ,vz 分别表示速度沿x,y,z的分量，则理
论表明，平衡态下，在速度分量区间vx - vx dvx ,vy - vy dvy , vz - vz dvz内的分子数dN与总分子数N的比率为
dN N
(
m0
2kT
)
3 2
e
k
kT
dvxdv
y dv z
k
1 2
m0 v 2
1 2
m0
(vx2
vy2
vz 2 )
分子动能
上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即
分立： 平均速率
v Ni vi Ni
v
v2 v1
vdN
v2 v1
dN
连续：vi v， Ni dNv=N f (v)dv，
v
0N v d Nv 0N d Nv
0N
v
d
Nv N
0 v f (v )dv
对麦氏速率分布经计算得： v 8kT 8RT
πm πM
任意函数(v)对全体分子按
速率分布的平均值：
2kT
f (v) 4 (
m0
)3
2
v2
m0 v2
e 2kT
2 kT
则 f (v) 4 ( b )3 2 v2 ebv2
df 4 ( b )3/ 2[2vebv2 v2 2bvebv2 ]
dv
8 ( b )3/ 2 vebv2 (1 bv2 ) 0
vp
2kT m0
v
vdN
v 4.0%
0 90 140 190 240 290 340 390
f (v)
f (v)
f (v)
v
v v v
v
从图中可以看出:
1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比N/N
2)所有小面积的和恒等于一。
3）当速率区间 v 0 ，小矩形面积的端点
连成一函数曲线----分子速率分布函数。
N
—— 分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总
Nv
分子数的比率。
下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子 数占总分子的百分比。
v(m / s)
90以下 90-----140 140----190 190----240 240----290 290----340 340----390 390以上
m0
)3
2
v2
e
m0 v2 2kT
2 kT
m0是分子的质量， k
R NA
1.381023
J K1
玻耳兹曼常数
由上式可得到一个分子在 v ~ v + dv 区间的概率为
dN 4 (
m0
)3
2
v2
m0 v2
e 2kT
dv
N
2 kT
速率分布曲线
以 v 为横坐标，f (v) dN 为纵坐标，画出的曲线称为
v
v
4、图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲 线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速 率分别为（ ）
（A）2000 m/s，1000 m/s
（B）1000 m/s，2000 m/s
（C）1000 m/s， 2 1000 m/s
（D） 2 1000 m/s，1000 m/s
vp
vdN
vp
dN
vp
速率在 vp 内的分子的
平均速率
例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试
问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对 应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的 是氧气，哪条对应的是氢气？
解：
vp
2kT M
f(v) T1
(1) T1 < T2
f (v)
v
0
1000
m/s
5、 下列说法中正确的是（ ）
（A）N个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的 速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用 理想气体的压强公式；当N很大时就可以使用它； （B）12 kT 表示温度为T的平衡态下，分子在一个自由度上运 动的平均动能；
（C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下 它们的速率满足 vH2 vO2 ；
A
3 vF3
v
v
0
f (v)dv
v
0
3 vF3
v2dv
0.75
vF
v2
v2
0
3 vF3
v2dv
0.6
vF2
v2 0.6 vF 0.77 vF
讨论：
1、 用分子数N，气体分子速率v和速率分布函数 f (v)
表示下列各量
（1）速率大于 v0 的分子数；
（2）速率大于 v0 的那些分子的平均速率；
减小，N p 增大
N
（D） v p
增大，
N p N
减小
f (v)
0
vp vp v
v
7、 f (v) 设为N个（N很大）分子组成的系统的速率分布函
数。
（1）分别写出题图（a）、(b)中阴影面积对应的数学表达式 并回答其物理意义；
（2）设分子质量为m，试用 f (v) 表示以下各量：
① 分子动量大小的平均值； ②分子平动动能的平均值。
2）分布函数 f (v) 的意义
要搞清函数的意义，先要
f (v)
弄清纵坐标的意义。
f (v)
在 v v v区间
作一小矩形，小矩
v v v
v
形的面积： s N
按函数的定义 s f (v)v
N
故 N f (v)v N
或：f (v) N Nv
当 v 0 f (v) dN
Ndv
f (v ) 称 速率分布函数 （function of distribution of speeds）
N
/
N
0 0
6.2
10.32
18.93 22.7
18.3 12.8
6.2
4.0
注意：以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次 重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看， 分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确 定的规律。
f (v)
1）实验数据的图示化
6.2% 12.8%
22.7%
6.2%
f (v)dv 1
归一化条件
0
3、三种统计速率
f(v)
1. 最可几速率 (最概然速
率)vp
分布曲线极大值对应的
速率叫最可几速率。
v
物理意义:
vp
把整个速率区间分成许多相等的小区间, 则速率大小与 v相p近
的气体分子数占总分子数的比率为最大。
v p 可由求极值条件 d f (v) 0 求得
dv
子数
速率在 v1 ~ v2的所有分子
速率的总和被总分子数除
并非 v1 ~ v2 之间的分子
的平均速率
⑥ v2 Nv f (v)dv v2 vdN
v1
v1
速率在 v1 ~ v2的所有分子
速率总和
⑦ 1 mv2 f (v)dv 02
分子平动动能的平均值
⑧
v f (v)dv
vp
f (v)dv
m0
M
讨论思考题：试说明下列各式的物理意义
①
f
(v)dv
dN N
② Nf (v)dv dN
③ v2 f (v)dv N
v1
N
速率在 v1 ~ v2区间内的分
子数占总分子数的比率
④ v2 Nf (v)dv v2 dN N
v1
v1
⑤
v2 v1
v
f
(
v)dv
v2 vdN
v1
N
速率在 v1 ~ v2区间内的分
Ndv 速率分布曲线。
分布曲线的物理意义
f(v)
① 小矩形的面积
f (v)dv dN N
表示速率处在 v ~ v + dv
区间内的分子数占总分子
数的百分率。
v1
②曲边梯形的面积 v2 f (v)dv N
v1
N
v
v2
表示速率处在 v1 — v2 区间内的分子数占总分子数的百分
率。
③曲线下的总面积
第七章
气体动理论
（Maxwells law of distribution of speeds）
§4.5 麦克斯韦速率分布律
（Maxwells law of distribution of speeds）
1、 速率分布函数 要深入研究气体的性质，
不能光是研究一些平均值，
麦克斯韦
如 t ，v 2 等；还应该进
0
vf(v)dv
N
0
Hale Waihona Puke Baidu
4 ( b )3/ 2 v3e-bv2 dv 2 1
0
b
v 8kT
m0
速率平方的平均值
f (v) 4 ( b )3 2 v2 ebv2
v2
v2dN
0
v2 f(v)dv
N
0
4 ( b )3/ 2 v4e-bv2 dv 3
0
2b
v2 3kT 3RT
大量分子速率的算术平均值叫平均速率v 。
v N1v1 N2v2 Nivi Nivi
N
N
若用dN表示速率在v－v+dv 区间内的分子数，v 连
续分布时，上式过渡到积分。
v
v dN
0
v Nf (v)dv
0
v f (v)dv
N
N
0
v 8kT 8RT 1.60 RT
m0 M
M
平均速率（average speed）
一步弄清分子按速率和按 能量等的分布情况。
整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。
设总分子数为 N
N —— 表示速率在 v ~ v + v 区间内的分子数。
N 与 v 、 v 有关 。
N —— 表示速率处在 v ~ v + v 区间内的分子数占总
N
分子数的百分率。
N 也与 v 、 v 有关。 N
由定义式 f (v ) d Nv 可看出 f (v)的意义是： N dv
“ 在速率v 附近， 单位速率区间内的分子数 占总分子数的比例。”
对于一个分子来说， f (v) 就是分子处于速
率v 附近单位速率区间的概率。
因为
d Nv N ，
即
v 0
v
0
d
N N
v
1
所以
f (v)dv 1
这称为速率分布函数
v (v ) f (v ) d v
0
3. 方均根速率
速率平方的平均值
方均根速率
v2
v2dN
0
v2 f (v)dv
N
0
v2 3kT 3RT 1.73 RT
m0
M
M
三种速率中， v2 最大，v 次之，v p 最小
f(v)
vp v v2
v
v pv v2
附录: 三种统计速率的计算 速率分布函数中令 m0 b
（1）画出电子气的速率分布曲线
（2）由 vF 定出常数 A
（3）求 v p , v , v2
解：（1） f (v) dN
Av2
Ndv 0
f ( v)
( 0 v vF ) ( v vF )
O
vF
v
（2） 由归一化条件确定常数A
f (v)dv
0
vF Av2dv
0
A 3
vF3
1
（3） v p vF