全等三角形证明培优题

模块一：基本辅助线

1.如图，已知AC=BD,ADL AC,BC丄BD 求证：AD=BC.

2.

如图，

（1

）求

证：

（2 ）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）

①如图（1）,当OELAB时，四边形OMBN勺面积为

②如图（2）,当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN勺面积会发生变化吗？试证明你的结论.

5.如图所示，在^ ABC中，AB=AC ,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF ,

EF 交BC 于G.求证：EG=FG。

AB=AE,/ABC玄AED,BC=ED点F 是CD的中点,

AF丄CD.

F'

{11

£

重合，OE OG分别与正方形ABCD勺边交于M N两点.

3. 如图，/ B=/ E, / C=/ D,BC=DE,M为CD中点，求证：AML CD.

模块二：母子型

1已知：如图，点 C 为线段AB 上一点，△ ACM, △ CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点 B M 交CN 于点7 （1） 求证：AN=BM;

（2） 求证：△ CEF 为等边三角形

2.如图，已知，等腰 Rt △ OAB

中，

/ AOB=90 °,等腰 Rt △ EOF 中，/ EOF=90 °,连结 AE 、 BF 。求证：(1) AE=BF ;

( 2) AE 丄 BF 。

3.如图1，若四边形 ABCD 四边形GFEC 都是正方形，显然图中有 AG=CE AGL CE

6.如图，在△ ABC 中, 作 EG1 BC 于 G ( 1) =BF+CG

AB=AC E 在线段AC 上，D 在AB 的延长线，连 DE 交BC 于 F ,过点 若/

A=50°,/ D=30° 求/ GEF 的度数；（2 ）若 BD=CE 求证：

E FG

E ,

C

（2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180 ° ,其他条件不变，得到图② 所示的图形•请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长 ED 交线段BC 于点P.求证：△ PAMN

总

----------

国］

（1 ）当正方形GFED

绕D 旋转到如图2的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明; 若不成立，请说明理由；

（2）当正方形 GFED 绕D 旋转到如图3的位置时，延长 CE 交AG 于H,交AD 于 M ①求证：AG! CH

②当AD=4 DG=/2时，求CH 的长.

4.如图，已知△ ABD △ AEC 都是等边三角形， AF 丄CD 于点F , AH1 BE 于点H,问：（1） BE

与CD 有何数量关系？为什么？（

2） AF AH 有何数量关系？为什么?

5.已知：如图①所示，在△ ABC 和^ ADE 中，AB=AC AD=AE / BAC=Z DAE 且点 B, A , D 在一条直

线上，连接 BE, CD M, N 分别为BE, CD 的中点. （1 ）求证：①BE=CDAMN 是等腰三角形；

J

C

c

A

1，在△ ABC 中，/ ACB 为锐角，点 D 为射线BC 上一点，连接

AD 以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形 ADEF

(1)如果 AB=AC / BAC=90 ,

①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合)，如图2，线段CF BD 所在直线的位置关系为 线段CF BD 的数量关系为

②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图 3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由； (2)如果ABM AC, / BAC 是锐角，点D 在线段BC 上,当/ACB 满足什么条件时，CF 丄BC (点

C F 不重合)，并说明理由.

p. ( 2009?丰台区一模)如图 S3

A

图I

F

匚

模块三倍长中线

(1)倍长中线(2)倍长类中线

1.已知：如图，△ ABC中, AD平分/ BAC 且BD=CD求证: AB=AC

（2）在图①的基础上，将△ ADE绕点A按顺时针方向旋转180 ° ,其他条件不变，得到图②所示的图形•请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：△ PAMN

1

1 2.已知，如图△ ABC 中，AC>AB AM 是 BC 边上的中线，求证：—(AC-AB < AMk - (AB+AC).

2

2

3.如图所示，已知△ ABC 中，AD 平分/ BAC,E,F 分别在BD,AD 上，DE=CD,EF=AC 求证:EF// AB.

AD >^ ABC 的 中线，E 、F 分别在 AB AC 上，且 DEI DF 求证：BE+CF> EF .

4.如图，已知在△ ABC 中, AB=ACCE 是AB 边上的中线，延长AB 到D,使BD=AB 连接CD 求

6.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

4.如图, 证：CE J CD.

7.分别以△ ABC

的边

AB,AC 为边，向三角形的外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,M 为BC 的

中点，求证:AML EG.

8如图，△ ABC 中，AB=4, AC=7 M 是BC 的中点，AD 平分/ BAG 过M 作MF// AD ,交AC 于F

9.在^ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，（1）求证：AB+AC>2AM;（2若 AB=5, AC=9,求 AM 的

△ ABC 中，AC=8 BC 边上的中线 AD=6则边AB 的取值范围是 如图，在△ ABC 中，AD 平分/ BAC E 为BC 的中点，过点 E 作

EF// AD 交AB 于点G,交

10. 11.

CA 的延长线于点 F .求证：BG=CF

卜

求FC 的长.