全等三角形证明培优题
全等三角形培优材料1 - 副本
FE DCBA1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ． 求证∠A =∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。
５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.AD C B1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。
求证：△AFD ≌△CEB ．6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。
求证：△ABD ≌△ACE ．C EDBAE B CFD A BC D 2 AC B ED1H F ED CB A 7．已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ．8．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．9．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ． 求证：(1) AF ＝AH ；(2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC.10．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD.11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）AB E F12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．13.已知：如图，正方形ABCD ，BE =CF ，求证：(1)AE =BF ； （2）AE ⊥BF . 14．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD 与BE 有怎样的数量关系;（2）探索DC 与BE 的夹角的大小.（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系。
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习(五)
第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习（五）1．如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A （n，m），且（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．（1）求A点的坐标；（2）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE；（3）如图（2），若∠ECF＝45°，给出两个结论：OF+AE﹣EF的值不变；OF+AE+EF 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．2．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD ＝∠BAC＝∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．43．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB＝CD．（1）图①中有对全等三角形，并把它们写出来．（2）求证：G是BD的中点．（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立？如果成立，请予证明．4．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．5．如图，已知AB∥CD，点E在BC上且BE＝CD，AB＝CE，EF平分∠AED．（1）求证：△ABE≌△ECD；（2）猜测EF与AD的位置关系，并说明理由；（3）若DF＝AE，请判断△AED的形状，并说明理由．6．如图1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+20＝8b﹣b2．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图2，连接AB，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM＝AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN＝AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E在直线m上，∠ADB＝∠AEC＝∠BAC．（1）求证：DE＝DB+EC；（2）若∠BAC＝120°，AF平分∠BAC，且AF＝AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程．9．教学实验：画∠AOB的平分线OC．（1）将一块最够大的三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别于OA，OB交于E，F（如图①）．度量PE、PF的长度，PE PF（填＞，＜，＝）；（2）将三角尺绕点P旋转（如图②）：①PE与PF相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由；②若OP＝，请直接写出四边形OEPF的面积：．10．（1）如图（1）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC+CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图（2）当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图（3）当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．参考答案1．解：（1）（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，即（m﹣4）2+（n﹣4）2＝0，则m﹣4＝0，n﹣4＝0，解得：m＝4，n＝4．则A的坐标是（4，4）；（2）∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），∴AB＝AC＝OC＝OB，∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，又∵四边形的内角和是360°，∴∠A＝90°，∵OF+BE＝AB＝BE+AE，∴AE＝OF，∴在△COF和△CAE中，，∴△COF≌△CAE，得∴CF＝CE；（3）结论正确，值为0．证明：在x轴负半轴上取点H，使OH＝AE，∵在△ACE和△OCH中，，∴△ACE≌△OCH，∴∠1＝∠2，CH＝CE，又∵∠EOF＝45°，∴∠HCF＝45°，∴在△HCF和△ECF中，，∴△HCF≌△ECF，∴HF＝EF，∴OF+AE﹣EF＝0．2．解：（1）∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB＝∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠ADB＝∠BCA＝90°，在△ABE中，∵∠EAB＝∠EBA＝＝90°﹣∠AEB，∴∠ABD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣（90°﹣∠AEB）＝∠AEB，同理：∠BAC＝∠AEB，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，∠ADB+∠BCA＝180°，又∠ADB+ADG＝180°，∴∠BCA＝∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG＝BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD＝∠BAC，∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠EDB+∠ECA＝180°，∴∠AEB+∠DHC＝180°，∵∠DHC+∠BHC＝180°，∴∠AEB＝∠BHC．∵∠BHC＝∠BAC+∠ABD，∠ABD＝∠BAC，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．3．解：（1）图①中全等三角形有：△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BFG≌△DEG．故答案是：3；（2）∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴在直角△ABF和直角△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG，∴BG＝DG，即G是BD的中点；（3）结论仍成立．理由是：）∵AE＝CF，∴AF＝CE，在直角△ABF和直角△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG，∴BG＝DG，即G是BD的中点．4．（1）证明：在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，在△PDE与△PQF中，，∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范围是1＜x＜4；故答案为：1＜x＜4；（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BMD与△CAD中，，∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ与△MBA中，，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．5．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE与△ECD中，，∴△ABE≌△ECD；（2）EF⊥AD，理由：∵△ABE≌△ECD，∴AE＝DE，∵EF平分∠AED，∴EF⊥AD；（3）△AED是等边三角形，∵AE＝DE，∵EF平分∠AED，∴DF＝AD，∵DF＝AE，∴AD＝AE＝DE，∴△AED是等边三角形．6．解：（1）∵a2﹣4a+20＝8b﹣b2，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝2，b＝4，∴A（0，2），B（4，0）；（2）∵AD＝OA+OD＝8，BC＝2OB＝8，∴AD＝BC，在△CAB与△AMD中，，∴△CAB≌△AMD，∴AC＝AM，∠ACO＝∠MAD，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°，∴AC＝AM，AC⊥AM；（3）过P作PG⊥y轴于G，在△PGA与△DHN中，，∴△PGA≌△DHN，∴PG＝HN，AG＝HD，∴AD＝GH＝8，在△PQG与△NHQ中，，∴△PQG≌△NHQ，∴QG＝QH＝GH＝4，∴S△MQH＝×4×2＝4．7．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBA＝∠ABC＝30°，∴∠A＝∠DBA，∴AD＝BD，∵DE⊥AB，∴AE＝BE，∴CE＝AB＝BE，∴△BCE是等边三角形；（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，∴BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°，∴∠CBM＝∠EBN，在△CBM和△EBN中，，∴△CBM≌△EBN（SAS），∴∠BEN＝∠BCM＝60°，∴∠BEN＝∠EBC，∴EN∥BC；（3）解：DQ＝AD+DP；理由如下：延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，如图所示：∵∠PDF＝∠BDC＝∠A+∠DBA＝30°+30°＝60°，∴△PDF为等边三角形，∴PF＝PD＝DF，∠F＝60°，∵∠PDQ＝90°﹣∠A＝60°，∴∠F＝∠PDQ＝60°，∴∠BDQ＝180°﹣∠BDC﹣∠PDQ＝60°，∴∠BPQ＝∠BDQ＝60°，∴∠Q＝∠PBF，在△PFB和△PDQ中，，∴△PFB≌△PDQ，∴DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP，∵∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∴DQ＝AD+DP．8．（1）证明：∵∠ADB＝∠AEC＝∠BAC，∴∠ADB+∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△AEC，∴BD＝AE，∵DE＝AD+AE，∴DE＝DB+EC．（2）结论：△DEF为等边三角形理由：连接BF，CF．∵AF平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠FAB＝∠FAC＝60°，∵FA＝AB＝AC，∴△ABF和△ACF均为等边三角形∴BF＝AF＝AB＝AC＝CF，∠BAF＝∠CAF＝∠ABF＝60°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝120°，∴∠DBA+∠DAB＝∠CAE+∠DAB＝60°，∴∠DBA＝∠CAE．在△BAD和△ACE中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE．∵∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE．在△BDF和△AEF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．9．（1）解：PE＝PF；故答案为：＝；（2）解：①PE＝PF；理由如下：把三角尺绕点P顺时针旋转，使三角尺的两条直角边分别与OA，OB垂直于M、N，如图所示：则∠PME＝∠PNF＝90°，四边形OMPN是矩形∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN，∴四边形OMPN是正方形，∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE＝PF．②由①得：四边形OMPN是正方形，△PEM≌△PFN，∴OM＝ON＝OP＝1，四边形OEPF的面积＝正方形OMPN的面积＝OM2＝1；故答案为：1．10．解：（1）如图1所示，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED＝∠C＝90，CD＝ED，又∵∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，∴∠B＝45°．∴∠EDB＝∠B＝45°．∴DE＝BE，∴CD＝BE．∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+CD．（2）证明：在AB取一点E使AC＝AE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED，∴∠C＝∠AED，CD＝DE，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDB＝∠B，∴ED＝EB，∴CD＝EB，∴AB＝AC+CD；（3）AB＝CD﹣AC证明：在BA的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE，∴∠ACB＝∠FED，又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B，又∵∠FED＝∠B+∠EDB，∴∠EDB＝∠B，∴DE＝BE，∴BE＝CD，∴AB＝CD﹣AC．。
北师大版七年级 数学下 全等三角形的判定小题精炼培优版(包含答案)
北师大七下全等三角形的判定小题精炼培优版一、单选题1．如图，AD =BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是（ ）A ．AB //CD B ．△ABC =△CDA C ．△A =△CD ．AD //BC2．如图，PD △AB ，PE △AC ，垂足分别为D 、E ，且P A 平分△BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA3．如图1，D ､E ､F 分别为△ABC 边AC ､AB ､BC 上的点，△A=△1=△C ，DE=DF ，下面的结论一定成立的是（ ）A ．AE=FCB ．AE=DEC ．AE+FC=ACD ．AD+FC=AB 4．如图，AB CD ，//AB CD ，判定ABC △CDA 的依据是( )A．SSS B．SAS C．ASA D．HL5．如图，AD△CD，AE△BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE,则下列结论△△ABE△△ACD△AM=AN：△△ABN△△ACM；△BO=EO;其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是（）A．AB=DE B．AC=DF C．△A=△D D．BF=EC7．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F，则△BFD的度数为（）A．45°B．90°C．60°D．30°8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△1＝25°，△2＝30°，则△3＝()A．60°B．55°C．50°D．无法计算9．如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC△△DEF的是A．AB＝DE B．△B＝△E C．EF＝BC D．EF//BC10．如图所示，Rt△ABE△Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：△AE=ED；△AE△DE；△BC=AB+CD；△AB△DC中成立的是（）A．仅△B．仅△△C．仅△△△D．仅△△△△11．如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（）A．AB△CD B．OA=OB C．△ACD=△BDC D．△ABC=△CAB12．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE△△BCD B．△BGC△△AFC C．△DCG△△ECF D．△ADB△△CEA13．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙14．正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，△APE的度数为（）.A．45B．55C．60D．7515．如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则△1+△2的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°16．如图，在下列条件中，不能证明△ABD△△ACD的是（）.A ．BD =DC ，AB =ACB ．△ADB =△ADC ，BD =DC C ．△B =△C ，△BAD =△CAD D ．△B =△C ，BD =DC17．如图，已知12AC AD ∠=∠=，，从下列条件：△AB AE =；△BC ED =；△C D ∠=∠；△B E ∠=∠中添加一个条件，能使ABC △△AED 的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．如图，在Rt△AEB 和Rt△AFC 中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于N ，△E ＝△F ＝90°，△EAC ＝△FAB ，AE ＝AF,给出下列结论：△△B ＝△C ；△CD ＝DN ；△BE ＝CF ；△△ACN△△ABM;其中正确的结论是( )A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△19．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中△1+△2等于（ ）A．150°B．180°C．210°D．225°20．如图，已知△DCE=90°，△DAC=90°，BE△AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD的长为（）A．3B．5C．4D．不确定21．如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：△△APE△△CPF；△AE=CF；△△EAF是等腰直角三角形；△S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．如图，△ABC中，AB△BC，BE△AC，△1=△2，AD=AB，则下列结论不正确的是A．BF=DF B．△1=△EFD C．BF>EF D．FD△BC23．如图，已知AB ＝AC ，AF ＝AE ，△EAF ＝△BAC ，点C 、D 、E 、F 共线．则下列结论，其中正确的是（ ）△△AFB△△AEC ；△BF ＝CE ；△△BFC ＝△EAF ；△AB ＝BC ．A ．△△△B ．△△△C ．△△D ．△△△△二、填空题 24．如图，某同学把三角形玻璃打碎三块，现在他要去配一块完全一样的，你帮他想一想，带________片去，应用的原理是________（用字母表示）．25．如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF EC ⊥，EF EC =，2DE =，矩形的周长为16，则AE 的长是______ ．26．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B ，D 作BF△a 于点F ，DE△a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为____．27．如图，△ACB=90°，AC=BC，AD△CE于D，BE△CD于E，AD=2.5cm，DE=1.6cm，则BE的长度为________．28．如图,已知△ABC中,AB=AC=20 cm,BC=16 cm,△B=△C,点D是AB的中点,点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由A点向C点运动,当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度为______.29．如图所示，AB=AC，AD=AE，△BAC=△DAE，△1=25°，△2=30°，则△3=__________．30．在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=2cm，CD△AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF△AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．31．如图，CA=CB，CD=CE，△ACB=△DCE=40°，AD、BE交于点H，连接CH，则△CHE=__________．32．如图，△ACB＝90°，AC＝BC，BE△CE，AD△CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝______．33．如图，在△ABC中，AD△BC于D，BE△AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则△ABC ＝_____度．34．如图，AC△BC，AD△DB，要使△ABC△△BAD，还需添加条件_____．（只需写出符合条件一种情况）35．如图AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△BAD＝25°，△ACE＝30°，则△ADE＝_____．36．如图，等边△ABC 边长为10，P 在AB 上，Q 在BC 延长线，CQ ＝P A ，过点P 作PE △AC 点E ，过点P 作PF △BQ ，交AC 边于点F ，连接PQ 交AC 于点D ，则DE 的长为_____．37．如图，△ABC 是等边三角形，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ△DA 于Q ，PQ ＝3，EP ＝1，则DA 的长是________.38．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．39．如图，AB ＝BC 且AB △BC ，点P 为线段BC 上一点，P A △PD 且P A ＝PD ，若△A ＝22°，则△D 的度数为_________．40．如图，在△ABC中，△A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则△EDF=____________度。
全等三角形专题培优(带答案)
全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。
全等三角形培优专题训练
探索三角形全等1、一长方形纸片沿对角线剪开，得到两三角形纸片，再将这两纸片摆成如以下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上.⑴求证：AB ⊥ED ；⑵假设PB ＝BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，那么结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的选项是〔 〕3、如图，点C在线段AB上，DA ⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数.中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线M、N上，且OE＝OF.⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来；⑵求证：∠MAE＝∠NCF全等三角形的应用全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：①线段和角的等量关系②线段和角的和差倍分关系③直线与直线的平行或垂直等位置关系1、如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.试判断AP与AQ的关系，并证明.2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥ACB3、如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°.⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系"证明你猜测的结论.⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点〔不与B、C重合〕，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE ＝∠BAC，连接CE.⑴如图①，当点D在线段BC上时，假设∠BAC＝90°，那么∠BCE＝_______度.⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝βa、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.②B①①b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.辅助线作法之连接法在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.证明∶AC＝ABA2、AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AF ＝CD 求证：AC ∥DF3、如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA ＝OC ，EA ＝EC.∠A ＝∠C 吗？点O 在∠AEC 的平分线上吗？辅助线作法之倍长中线法在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对BE全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值围.2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC上的中线求证：AB＝ACBB3、在△ABC 中，D 是边BC 上的一点，且CD ＝AB ，∠BAD ＝∠BDA ，AE 是△ABD 的中线.求证∶AC ＝2AE4、△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥DF 交AB ，AC 于点E ，F.求证：BE ＋CF ＞EF辅助线作法之截长补短法截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余局部与另一条相等. 补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等.B1、AC ∥BD ，EA ，EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，点E在CD 上.求证：AB ＝AC ＋BD2、在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝½〔AB ＋AD 〕.求证∶∠B ＋∠D ＝180°ABD3、如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC 于F.求证：∠ADB＝∠CDF4、如图，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的角平分线.求证∶AC＋CD＝AB12、如图，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积.B辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形2、如图，在△ABC 中，AC ＝½AB ，AD 平分∠BAC ，且AD ＝BD求证：CD ⊥AC全等三角形在动态几何中的运用1、如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC.△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP.⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜测并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系; ⑵将△EFP 沿直线l 向左平移到图②的位置时,EP 交AC 于点Q,连接AP,BQ.猜测并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜测;⑶将△EFP 沿直线l 向左平移到图③的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜测的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗"假设成立,给出证明;假设不成立,请说明理由.B探究角平分线1、如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与角∠ABC 的平分线BP 相交于点P ，假设∠BPC ＝40°，那么∠CAP ＝_____________.2、如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC.求证:AM 平分∠DAB3、如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,BE 平分∠ABC,CE ⊥BE.求证:CE ＝12BD4、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ＝CD 求证：∠B ＝∠CBB5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，假设AB ＝10cm ，那么△DBE 的周长是多少？6、AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，那么△EDF 的面积为多少？7、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：BE ＝CFB8、在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°⑴求证：DE ＝DF⑵如果把最后一个条件改为AE ＞AF ，且∠AED ＋∠AFD ＝180°，那么结论还成立吗？9、如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 与CF 交于点D求证：点D 在∠BAC 的平分线上.10、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，以下结论正确的选项是( )A.AB－AD＞CB－CDB.AB－AD＝CB－CDC.AB－AD＜CB－CDD.AB－CD与CB－CD的大小关系不确定11、如图，△ABC中，∠B＝60°，∠BAC，∠BCA的平分线AD，CE相交于点O.求证：DC＋AE＝AC12、如图，△ABC，P为角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G点。
培优专题03 证明三角形全等的基本思路-解析版
∴ VACE ≌ VDCE
∴ AE = DE ，
∴S△ACE：S△ACD＝1：2，
同理可得，S△ABE：S△ABD＝1：2，
∵S△ABC＝12 cm2 ，
∴阴影部分的面积为
S△ACE＋S△ABE＝
1 2
S△ABC＝
1 2
×12＝6 cm2 ．
故答案为 6．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形面积的等积变换，解题关键是明确三角形的中
（
）
A．DF∥ AC
B．∠A=∠D
C．CF=BE
D．AC=DF
【答案】D
【分析】直接利用三角形全等判定条件逐一进行判断即可．
【详解】A. 由 DF∥AC 可得∠ACB＝∠DFE，由 AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因 AB=DE，利用 AAS
可得△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B. 由 AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因∠A＝∠D，AB＝DE，利用 ASA 可得△ABC≌△DEF，故本选项
B．0.8cm
C．4.2cm
D．1.5cm
【答案】B
【分析】根据 BE ^ CE ， AD ^ CE 得 ÐE = ÐADC ，则 ÐCAD + ÐACD = 90° ，再由 ÐACB = 90° ，得
ÐBCE + ÐACD = 90° ，则∠BCE = ∠CAD，从而证出 DBCE≌DCAD ，进而得出 BE 的长．
ìBD = CD ïíÐADB = ÐEDC ， ïî AD = DE
\DABD≌DECD(SAS) ， \CE = AB = 3 ， 在 DACE 中， CE - AC < AE < CE + AC ，
初二上数学培优专题(3)三角形全等
三角形全等例1：已知，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）如图1，求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．例2：已知△ABC中、∠ABC=∠ACB=40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使得DE=AD，求∠ECA的度数。
例3．已知∠GOH=90°，A、C分别是OG、OH上的点，且OA=OC=4，以OA为边长作正方形OABC．（1）E是边OC上一点，作∠AEF=90°使EF交正方形的外角平分线CF于点F（如图1），求证：EF=AE．（2）现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在∠GOH的角平分线OP上时停止旋转；旋转过程中，AB边交OP于点M，BC边交OH于点N（如图2），①旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；②设△MBN的周长为p，在正方形OABC的旋转过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．例4：如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由点B出发向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C出发向A点运动．设运动时间为t（s）.(1)若点P的运动速度为3cm/s,则t(s)时，BP= cm,CP= cm,(用含t的代数式表示).若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s,则点Q的速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以（2）中的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇，相遇点在△ABC的哪条边上？1.∆ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC=_____2.如图∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN ⑤EM=FN.其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2题3.下列条件中能作出唯一的三角形的是（）A.已知两边及一边的对角B.已知两边及第三边上的中线C.已知两角D.已知两边及第三边上的高线4.下列判断正确的是（）A.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.B.有两边对应相等，且有一个角为30°的两个等腰三角形全等.C.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等 .D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等. 5题5.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③AO=CO=AC④四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有 .6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①③④7.下列叙述：①任意一个三角形的三条高至少有一条在三角形内部；②以a，b，c为边（a，b，c都大于0，且a+b＞c)一定可以构成一个三角形；③一个三角形内角之比为3：2：1，此三角形为直角三角形；④两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；⑤两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；⑥三个角对应相等的两个三角形全等；⑦两边和其中一边上的高分别相等的两个三角形全等。
直角三角形全等的判定同步培优题典(原卷版)
专题2.4直角三角形全等的判定姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•诸城市期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF2．（2019秋•莫旗期末）如图，AC＝BC，AC⊥OA，CB⊥OB，则Rt△AOC≌Rt△BOC的理由是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．HL3．（2019秋•滦南县期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS4．（2019秋•沭阳县期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB ＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（）A．1B．2C．3D．45．（2019秋•兴化市期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′6．（2018秋•和平区期末）如图Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，再添两个条件不能够全等的是（）A．AB＝A′B′，BC＝B′C′B．AC＝AC′，BC＝BC′C．∠A＝∠A′，BC＝B′C′D．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′7．（2019春•岐山县期末）在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点8．（2018秋•端州区校级期中）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC ≌Rt△DEF的是（）A．AC＝DF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，∠B＝∠EC．AB＝DE，AC＝DF D．AB＝DE，∠A＝∠D9．（2018秋•句容市月考）下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个10．（2018春•南郑区期末）如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD ＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．12．（2020春•汉寿县期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）13．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P 为BC边上一动点，当BP＝时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．14．（2019秋•台州期中）如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是．15．（2018秋•慈溪市期中）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC＝4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ＝cm．16．（2017秋•汶上县期末）如图，AB＝12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．17．（2019春•罗湖区期中）下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有个．18．（2019春•来宾期末）如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A ＝50°，则∠DFE＝．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•北流市期末）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．20．（2019春•铜仁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．21．（2018秋•宜都市期末）已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．22．（2019秋•扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q 两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？23．（2017秋•沧州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．24．如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC的中点，BE⊥BC，CE⊥AD，垂足分别为B、G，那么AD＝CE，BD＝BE．这个结论对不对？为什么？。
全等三角形证明题培优(38题)(方法)
全等三角形证明题（经典38题）（方法）1.(方法：巧做辅助线）如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：CD=BD+AB.2.(方法：巧做辅助线）如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。
3.(方法：巧做辅助线）如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC.4.图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD.5.(方法：巧做辅助线）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。
求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。
6.(方法：巧做辅助线）如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连D E交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．7.(方法：火眼金睛找条件）如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：（1）CD=2AM,（2）AM⊥CD．8.(方法：火眼金睛找条件）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：△CEF为等边三角形9.(方法：火眼金睛找条件）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E 作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．FDE CBA(2)10.(方法：巧做辅助线）如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F 是CD 的中点， 求证：AF ⊥CD.11.(方法：巧做辅助线）如图，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 上的点，∠MAN=45°． 求证：MB+ND=MN ．12.(方法：巧做辅助线）已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE ．求证：BE+DF=AE ．13.(方法：火眼金睛找条件）如图E 为正方形ABCD 边BC 的中点，F 为DC 的中点，BF 与AE 有何关系？请解释你的结论。
全等三角形培优材料 (2)
FEDCBA平行带来的全等1．M 是△ABC 的BC 边上一点，BE ∥CF ，且BE=CF ，求证：AM 是△ABC 的中线2．D 是△ABC 边上一点，DE 交AC 于点F ，DF=FE ，EC ∥AB ，求证：AF=CF两次全等的理解1．如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 、CE 交于O ，且OA 平分∠BAC ，求证：OB=OC2．如图，AB =AC ，AD =AE ．求证：①∠B =∠C ；②FE=FD ；③AF 平分∠BAC ．ABC DE OABC E F MABCD EFGF EDCBAFE DCBA3．已知：如图∠BAC =∠EDF =900，BE 与AD 相交于G ，C 、F 是BE 上两点，AB=DE ，BF=EC ． 求证：AG=GD ．4．如图：AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，E ，F 为AB 上的两点，且AE=BF ，OC=OD ，求证：CE=DF5．已知：如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，AB 、DC 相交于点M ，AC 、BE 相交于点N ，∠DAB ＝∠EAC ，求证：AM ＝AN6．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.ABC DE FOAB CD E MN全等有关的线段和差问题：1．如图，∠DCE=90º，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，求证：AB+AD=BE2．△ABC中，∠A=90º，AB=AC，过顶点A作直线MN，分别过B、C作MN的垂线，垂足分别为D、E，DB=3，EC=7，求DE的长度．3．上题中，若MN与BC相交，其它条件不变，则DB、EC、DE 三条线段有何数量关系？4．已知，如图，AD∥BC，AE、BE分别平分∠A、∠B，点E在CD 上，求证：（1）E为CD的中点；（2）BC＋AD=AB5．已知，如图，在正方形ABCD中AB=AD，∠B＝∠D＝90°．（1）如果BE＋DF＝EF，求证：①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．ABCDEAB CDEMNAB CDEMNAB CDEAB CDEF（2）如果∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF．（3）如果点F在DC的延长线上，点E在CB的延长线上，且DF －BE＝EF，求证：①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．（画图并证明）6．正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE ＝2∠DAM，求证：AE＝BC＋CE．7．如图，P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC于F，PE⊥BC于E，求证：①AP＝EF；②AP⊥EF．８．如图，正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，AG⊥BE于点G，直线AG交直线BD于点F．（1）试问线段OE、OF存在什么关系？写出你的结论．（2）若E为OC延长线上一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．AB CDEMPF AB CDEFOGAB CD AB CDEM与中点有关的全等1．如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，求证：AD ＜21(AB ＋AC)2．已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．3．△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF ，E 在AB 边上，F 在AC 边上，判断并证明BE+CF 与EF 的大小？与角平分线有关的全等1．P 是△ABC 外角∠DAC 平分线上一点，比较AB+AC 与PB+PC 的大小2．已知AM ∥BN ，AC 平分∠MAB ，BC 平分∠NBA① 过C 作直线DE ，分别交AM 、BN 于点D 、E ，求证：AB=AD+BE ；ABC DEFABCD PABCDE M NABCDA BCDEFDCBA② 将直线绕C 转动，使DE 与AM 交于点D ，与NB 的延长线交于点E ，则AB 、AD 、BE 三条线段是否存在确定的数量关系？3．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝21（AB ＋AD ）．①求证：BC=DC ．②求∠ABC ＋∠ADC 的度数．4．如图：在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 平分∠ABC ，求证：BD +AD =BC ．AB CDEMNABCDEE DCBA旋转全等变换1．如图，已知：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE．2．如图，AB＝AD，BC＝DE，∠1＝∠2，求证：（1）AC＝AE；（2）∠CAE＝∠CDE3．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC为一边在形外所作的等边三角形，BF 与CE相交于O．①求证：BF=EC．②求∠EOB的度数．③求证：OA平分∠EOF．4．如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°.（1）判断CD 与BE有怎样的数量关系.（2）探索DC与BE的夹角的大小.(3) 求证：FA平分∠DFE．（4）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量关系和位置关系.AB CDE21OFECBA5．△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ， 求证：DM ＝DN ．⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N ．问DM 和DN 有何数量关系．6．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）M NDCBAM ND C BAD FHGFE D C BAEDCB A基本图形1．已知：如图C 为线段AB 上一点，分别以AC 和BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，连结AE 、BD ，交于F ，AE 交CD 于G ，BD 交CE 于H ，连FC 、GH ． ① 求证：AE =BD ；② 求证：CG =CH ；③ 求证：GH ∥AB ；④ 求∠AFB 的度数；⑤ 求证：FC 平分∠AFB ；⑥ 求证：FA 平分∠DFC ；FB 平分∠CFE ；2．已知：如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，过E 的直线分别交AB 、DC 于B 、C ． ①求证：AE ⊥DE ；②求证：EB =EC ；③求证：AB +CD =AD ．EDCBAEDCBAEDCBA3．已知：如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，AB +CD =AD ． ①求证：EB =EC ；②求证：AE ⊥DE ；③求证：DE 平分∠ADC ．4．已知：如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，AE ⊥DE ． ①求证：DE 平分∠ADC ；②求证：EB =EC ；③求证：AB +CD =AD ．5．已知：如图，AB ∥CD ，EB =EC ，AE ⊥DE ． ①求证：AB +CD =AD ；②求证：AE 平分∠BAD ；③求证：DE 平分∠ADC ．EDCBAEDCBA EDCBAEDCBAEDCBAE DCBA6．已知：如图，AB ∥CD ，EB =EC ，AB +CD =AD ． ①求证：AE ⊥DE ；②求证：DE 平分∠ADC ；③求证：AE 平分∠BAD ．7．已知：如图，DE 为过等腰Rt △ABC 直角顶点C 的任意直线，AD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E ．求证：AD +BE =DE ．8．已知：如图，DE 为过等腰Rt △ABC 直角顶点C 的任意直线，AD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E ．求证：AD －BE =DE ．9．已知：如图，DE 为过等腰Rt △ABC 锐角顶点A 的任意直线，CD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E ．求证：CD +BE =AD ．10．已知：如图，DE 为过等腰Rt △ABC 锐角顶点A 的任意直线，CD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E ．求证：│CD －BE │=AD ．FEDCBAHF ECBAGFEDCBAEDCBAN MDCBA11．如图，已知：AD 是△ABC 的中线，AE ⊥AC ，AF ⊥AB ，且AE=AC ，AF=AB ．求证：AD =21EF12．如图：AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，EF ∥BC ．求证：EC 平分∠DEF ．13．如图：在△ABC 中，BD 、CE 为两条高线，F 为BD 上一点，G 为CE 延长线上一点，BF=AC ，CG=AB ． ① 求证：△AFG 为等腰直角三角形；② 当F 为BD 反向延长线上一点，G 为CE 反向延长线上一点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请画出图形，并证明的结论．14．如图：△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，求证：△AMN 的周长等于2．。
全等三角形经典培优题型(含标准答案)
三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F点在AM 上，BE∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。
求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
全等三角形经典培优题型(含答案)
全等三角形经典培优题型(含答案)1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。
解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3.2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2.解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2.3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。
解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。
4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，证明∠B=2∠C。
解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。
5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。
解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而△ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即AE=AD·(BE/AB)，又由于CE⊥AB，所以△CEB为直角三角形，从而BE/AB=CE/AC，代入得AE=AD·(CE/AC)，又由于AC平分∠BAD，所以△ACD∼△ABC，从而CE/AC=CD/AB，代入得AE=AD·(CD/AB)，又由于CD=AB-BD，所以AE=AD·((AB-BD)/AB)，即AE=AD+BE·(AB/AD-1)，又由于AB>AD，所以AB/AD-1<AB/AD，从而AE<AD+BE·(AB/AD)，即AE<AD+BE。
全等三角形的性质及判定(培优)
全等三角形的性质及判定一： 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 全等三角形除了具有上述性质外，还具有以下性质：全等三角形的面积相等；全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应边上的角平分线相等．灵活运用这些性质，可以简捷地证明一些命题，下面以例说明．例1 已知：如图1，ABC A B C '''△≌△，AD A D ''，分别是ABC △和A B C '''△的高. 求证：AD A D ''=．例2 已知：如图3，AB AC AD AE ==，，AB DC ，相交于点M ，AC BE ，相交于点N ，AP DC ⊥于P ，AQ BE ⊥于Q ，且DAB EAC =∠∠．求证：AP AQ =．练一练第1题. 如图，ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=，25B D ∠=∠=，120EAB ∠=，求DFB ∠和DGB ∠的度数．图1 A D C B A 'D ' C ' B 'A E BQPD MN 图2第2题. 如图，已知点C 是线段AB 上的任一点（C 点与A ，B 点不重合）分别以AC ，BC 为边在线段AB 的同侧作等边ACD △和等边BCE △,AE 与CD 相交于M ，BD 与CE 相交于N ．求证：①ACE DCB △≌△，②//MN AB ．第3题. 已知：ABC A B C ''△≌△，ABC △的三边为3m n ，，，A B C ''△的三边为5p q ，，，若ABC △的各边都是整数，则m n p q +++的最大值为多少？第4题. 长为l 的两根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为（ ） Ａ．64l l x <≤ Ｂ．84ll x <≤ Ｃ．64l l x << Ｄ．84l lx <<二： 在说明线段相等以及角相等的一类问题时，所要说明的两条线段或两个角若不在同一个三角形中一般是考虑添加辅助线来构造全等三角形，如何添加辅助线？方法很多，下面介绍三种主要方法：(一)、平移法例1 如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，以AB 、AC 为边在△ABC 外作等边△ABD 、△ACE ，连接DE 交AB 于F ，试说明：DF ＝FE ．B E DA NM(二)、旋转法例2 如图2，在△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，∠BPC ＝120°，试说明：AP ＝BP ＋PC ．(三)、翻折法例3 如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 点作CE ⊥AB ，垂足为E ，并且1()2AE AB AD =+．试说明：∠ABC ＋∠ADC ＝180°练一练第1题.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE CF =．①求证：BCE DCF △≌△．②若60BEC ∠= ，求EFD ∠的度数．BFECDA第2题 如图1，已知在ABC △中，AD BC ⊥于D ，AD BD =，DC DE =， 求证：1C ∠=∠．第3题 如图2，ABC △中，45ABC ∠=，H 是高AD 和BE 的交点， 求证：BH AC =．三、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．由以上题可知，虽题目纷杂繁多，形式千差万别，但稍加留意，就会发现证明题是定有规律可循的，所以做题时不要陷进题海难以自拔，要多研究一下其中的奥妙．BCE图1D A 1BCH图2D AE。
全等三角形培优(含答案解析)
三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C AD BCB ACD F2 1 E5已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
7已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C8.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-ABCDBAB CDA9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
P D A C B FA E D CB P E DC BA D CB A求证：AM是△ABC的中线。
13已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F。
求证：BE=CD．14在△ABC中，︒=∠90ACB，BCAC=，直线MN经过点C，且MNAD⊥于D，MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC∆≌CEB∆；②BEADDE+=；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
全等三角形的性质及判定培优辅导
全等三角形的性质及判定（培优）1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的面积相等,全等三角形的周长相等．3、全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS”(4) “角角边”或“AAS”一：判断题1．两边和一角对应相等的两个三角形全等.（）2．两角和一边对应相等的两个三角形全等.（）3．两条直角边对应相等的两个三角形全等.（）4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等.（）5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等. （）6．两个等边三角形全等. （）7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （）8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.（）9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.（）10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．（）二、证明题1、已知：AB=DE，AC=DF，BF=EC，求证：∠B=∠E （长沙·中考题）2、已知：OA=OB，AC=BD，∠A=∠B，M为CD中点.求证：OM平分∠AOB （红河·中考题）3、已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE=CF吗？说明理由。
4.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.5. 如图在ABC∆则DEB∆6、已知∠BAC=∠7、已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC=AD吗？说明理由。
ABCDEFAB CDFEACDB12348、在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？9、已知AD =AE ，BD =CE ，∠1=∠2，问⊿ABD ≌⊿ACE 吗？10、已知∠1=∠2，AC =BD ，E ，F ，A ，B 在同一直线上，问∠3=∠4吗？11．已知如图(1)，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：(1)BD ＝DE ＋CE ；(2)若直线AE 绕A 点旋转到(2)位置时(BD ＜CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予证明．(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时，(BD ＞CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD 、DE 、CE 的关系．12、已知，AC ⊥CE ，AC =CE ， ∠ABC =∠DEC =900，问BD =AB +ED 吗？13.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
全等三角形-培优整理
全等三角形-培优整理H E B D A C 题图第3B'C B A D 题图第1题图第2全等三角形1．将直角三角形（∠ACB 为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B ’处，若∠ACB ’=60°，则∠ACD 度数为______．2．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠EFC 的度数为_________．3．△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高AD 和BE 的交点，则BH 的长度为______．4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上的点，A F DB C 21P F M D B A C E （1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结论．5．如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）6．△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由． F DCA7.已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =；DAE F C H GB 8. 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ．（1）求证：COD △是等边三角形； （2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？AB C DO110 α9．如图，△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点．①AD 平分∠BAC ；②DE ⊥AB ，DF⊥AC；③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①．试判断上述三个命题是否正确，并证明你认为正确的命题．AEGFDB C10 ．已知：如图，ABC△是等边三角形，过AB边上的点D作DG BC∥，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE DB，．，连接AE CD（1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．C G A ED B F1．如图在锐角三角形ABC 中，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，且CD ，BE 交于点P ，∠A=50°，求∠BPC 的度数。
全等三角形证明题专练(培优)
1.（★★★）已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA2.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA3.（★★★★）已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FE AB D C4.（★★）如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ． 求证：∠E =∠F5.（★★）如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．ABCDE F6.（★★★）如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B7.（★★★）如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA8.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA9.（★★★）已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM∆、CBN∆是等边三角形．（1）求证：AN BM=．（2）求证：CD=CE (3) 求证：CF平分∠MCN （4）求证：DE∥AB10.（★★★）等边ABD∆和等边CBD∆的边长均为1，E是BE AD⊥上异于A D、的任意一点，F是CD上一点，满足1AE CF+=，当E F、移动时，试判断BEF∆的形状．DFECBA11．（★★★★）如图，在ABC∆中，BE是∠ABC的平分线，AD BE⊥，垂足为D。
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模块一：基本辅助线1.如图，已知AC=BD,ADL AC,BC丄BD 求证：AD=BC.2.如图，（1）求证：（2 ）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）①如图（1）,当OELAB时，四边形OMBN勺面积为②如图（2）,当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN勺面积会发生变化吗？试证明你的结论.5.如图所示，在^ ABC中，AB=AC ,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF ,EF 交BC 于G.求证：EG=FG。
AB=AE,/ABC玄AED,BC=ED点F 是CD的中点,AF丄CD.F'{11£重合，OE OG分别与正方形ABCD勺边交于M N两点.3. 如图，/ B=/ E, / C=/ D,BC=DE,M为CD中点，求证：AML CD.模块二：母子型1已知：如图，点 C 为线段AB 上一点，△ ACM, △ CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点 B M 交CN 于点7 （1） 求证：AN=BM;（2） 求证：△ CEF 为等边三角形2.如图，已知，等腰 Rt △ OAB中，/ AOB=90 °,等腰 Rt △ EOF 中，/ EOF=90 °,连结 AE 、 BF 。
求证：(1) AE=BF ;( 2) AE 丄 BF 。
3.如图1，若四边形 ABCD 四边形GFEC 都是正方形，显然图中有 AG=CE AGL CE6.如图，在△ ABC 中, 作 EG1 BC 于 G ( 1) =BF+CGAB=AC E 在线段AC 上，D 在AB 的延长线，连 DE 交BC 于 F ,过点 若/A=50°,/ D=30° 求/ GEF 的度数；（2 ）若 BD=CE 求证：E FGE ,C（2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180 ° ,其他条件不变，得到图② 所示的图形•请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长 ED 交线段BC 于点P.求证：△ PAMN总----------国］（1 ）当正方形GFED绕D 旋转到如图2的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明; 若不成立，请说明理由；（2）当正方形 GFED 绕D 旋转到如图3的位置时，延长 CE 交AG 于H,交AD 于 M ①求证：AG! CH②当AD=4 DG=/2时，求CH 的长.4.如图，已知△ ABD △ AEC 都是等边三角形， AF 丄CD 于点F , AH1 BE 于点H,问：（1） BE与CD 有何数量关系？为什么？（2） AF AH 有何数量关系？为什么?5.已知：如图①所示，在△ ABC 和^ ADE 中，AB=AC AD=AE / BAC=Z DAE 且点 B, A , D 在一条直线上，连接 BE, CD M, N 分别为BE, CD 的中点. （1 ）求证：①BE=CDAMN 是等腰三角形；JCcA1，在△ ABC 中，/ ACB 为锐角，点 D 为射线BC 上一点，连接AD 以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形 ADEF(1)如果 AB=AC / BAC=90 ,①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合)，如图2，线段CF BD 所在直线的位置关系为 线段CF BD 的数量关系为②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图 3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由； (2)如果ABM AC, / BAC 是锐角，点D 在线段BC 上,当/ACB 满足什么条件时，CF 丄BC (点C F 不重合)，并说明理由.p. ( 2009?丰台区一模)如图 S3A图IF匚模块三倍长中线(1)倍长中线(2)倍长类中线1.已知：如图，△ ABC中, AD平分/ BAC 且BD=CD求证: AB=AC（2）在图①的基础上，将△ ADE绕点A按顺时针方向旋转180 ° ,其他条件不变，得到图②所示的图形•请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：△ PAMN11 2.已知，如图△ ABC 中，AC>AB AM 是 BC 边上的中线，求证：—(AC-AB < AMk - (AB+AC).223.如图所示，已知△ ABC 中，AD 平分/ BAC,E,F 分别在BD,AD 上，DE=CD,EF=AC 求证:EF// AB.AD >^ ABC 的 中线，E 、F 分别在 AB AC 上，且 DEI DF 求证：BE+CF> EF .4.如图，已知在△ ABC 中, AB=ACCE 是AB 边上的中线，延长AB 到D,使BD=AB 连接CD 求6.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
4.如图, 证：CE J CD.7.分别以△ ABC的边AB,AC 为边，向三角形的外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,M 为BC 的中点，求证:AML EG.8如图，△ ABC 中，AB=4, AC=7 M 是BC 的中点，AD 平分/ BAG 过M 作MF// AD ,交AC 于F9.在^ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，（1）求证：AB+AC>2AM;（2若 AB=5, AC=9,求 AM 的△ ABC 中，AC=8 BC 边上的中线 AD=6则边AB 的取值范围是 如图，在△ ABC 中，AD 平分/ BAC E 为BC 的中点，过点 E 作EF// AD 交AB 于点G,交10. 11.CA 的延长线于点 F .求证：BG=CF卜求FC 的长.BAC2 DAE=90 , M 是 BE 的中点，AB=AC AD=AE 求证：（1） CD=2AM,16.在^ ABC中， ACFG 点 M 为 BC 中点，(1)求证：AM 丄 EG; (2)求证:EG=2AM.模块四、截长补短一.截长：截取较长线段， 二•补短：延长较短线段， 适用范围：条件或题目中出现“ 目的：构造全等三角形1. 如图，在△ ABC 中,/ B=2/ C,AD 丄BC 于 D,求证：CD=BD+AB.分别以△ ABC 的边AB,AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形使其和较短线段长度相等。
使其和较长线段长度相等。
a+b=c ” 或“ a-b=c ”14.如图所示，/FM N 分别是BC CD上的点，/ MAN=45 .3、如图所示，已知△ ABC 中, AD 平分/ BAC,E 、F 分别在BD AD 上，DE=CD 已知ABCD 是正 方形，E 、F 分别在 CB CD 的延长线上，/ EAF=135，求证：BE+DF=EF.4. 如图，5. (1)△ ABC 绕着点A 按逆时针旋转“/ BAE 的度数”后的像;(2) 试判断AD 是否平分/ CDE 并说明理由.5.如图，在四边形 ABCD 中，/ B=/ D=180° ,AB=AD,EF 分别是线段 BC CD 上的一点，且1BE+FD=EF 求证：/ EAF J / BAD.2五边形 ABCD 冲，AB=AE BC+DE=CP / ABC+Z AED=180 .连接 AD. 同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法，请你在图中作7.已知：如图，在正方形 ABCD 中，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，/ MAN=45 , A H7.已知：如图，ABCD是正方形，/ FAD=/ FAE 求证：BE+DF=AE如图，已知△ ABC 的周长是22, OB 0C 分别平分/ ABC和/ AC B J O DLBC 于D,且0D=3ADX BC 于 D,且 AB+BD=DC 另E 么/ C=(4.已知，如图， ABCD 是正方形，/FAD=/ FAE.求证：BE+DF=AE.5.如图△ ABC 是正三角形，△ BDC 是顶角/ BDC=120的等腰三角形，以D 为顶点作一个608. 如图，△ ABC 是正三角形，/ ADC=120，求证: BD=AD+CD.模块五角平分线的性质与判定1. 2. 如图, 求证: BE=CF AD 是/ DEI AB 的延长线于点 E , DF 丄AC 于点F ,且DB=DC BAC 的平分线.3.4角，角的两边分别交AB AC边于M N两点，连接MN探究：（1）线段BM MN NC之间的数量关系.（2）若点M N分别是AB CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM MN NC之间的数量关系，在图中画出图形.并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以说明:角平分线+平分线，等腰三角形必呈现点垂线，垂两边，线等全等都出现角平分线+垂线，中点全等必可见角分线，分两边，对称全等要记全如图，在^ABC中，BD CD分别平分/ ABC和/ ACB.DE//AB,FD//AC,如果BC=6 求^ DEF1,若/ BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。
(2)如图2,若/ BAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E,过E 作EF丄AB,垂足为F,猜想2BF AB AC的关系并证明。
3.如图，△ ABC中，AB=2AG / 仁/2, DA=DB 你能说明DCI AC吗?4.在^ ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC,BE平分/ ABC,CEI BE,求证：(1)BD - BE=AB- BC;(2)CE= - BD.2模块六、角平分线的四大基本模型12341CBAC / C=20, AB+BD=AC 则/ B 的度数是6.已知，等腰△ ABC / A=100°,AD=EC.7.如图，AD>^ ABC的角平分线, H, G分别在AC AB上，且HD=BD(1 )求证：/ B与/ AHD互补;(2)若/ B+2/ DGA=180，请探究线段AG与线段AH HD之间满足的等量关系，并加以证8.(1)如图，在△ ABC中，AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.5.如图，已知△ ABC中，AD平分// ABC的平分线交AC于D,BD=BE,(1)求/ DEC;(2)求证:5（2）如图，AD 是△ ABC 中/ BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且 AB>AC ,求证：AB- AO PB-PC9.如图，△ ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC AD 丄 BC 垂足是 D, AE 平分/ BAD 交 BC 于点 E. 在^ ABC 外有一点 F 使FA丄AE, FC 丄BC.（ 1）求证：BE=CF （ 2）在AB 上取一点 M,使B M=2DE 连接 MC 交AD 于点N,连接 ME 求证：①MELBC ②DE=DN.10. （1）如图，在△ ABC 中，/ ABC / ACB 的平分线相交于 F ,过F 作DE// BC分别交AB AC 于点D E .判断DE=DB+E是否成立？为什么？（ 2）如图，若点 F 是/ ABC 的平分线和 外角/ ACG 的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE DB EC 之间有何数量关系？证明你的猜想.11.如图，在△ABC中，BE是/ ABC的角平分线，AD丄BE垂足为D,求证：/ 2=/ 1+/ C.13.如图，CD为Rt△ ABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交CD BC于点E、F.且FGIAB, 垂足为G,求证：CE=FG模块七垂直平分线1.如图，已知AB=AC DE垂直平分AB交AC AB于E、D两点，若AB=12cm BC=10cm / A=50° 求^ BCE2.电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求，发射塔P到两城镇A B的距离必须相等，到两条高速公路m 和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.（尺.规作图，不写作法，保留作图痕迹）14.的周长和/ EBC的度数。