系统辨识MATLAB仿真

设一非线性系统如下所示:

()()()

()()111y k y k e u k k βαε--=-+-+

0.75α= 0.35β=0.25γ=,()k ε是零均值，方差为0.01的噪声序列（均匀白噪声）。 （1）试设计一种激励信号能持续激励系统的各工作点（平衡点）

（2）用适当的方法辨识出系统的等价模型（用另一组数据来检验模型的泛化性） 说明：下面讨论的都是离散系统，所以时间坐标均采用离散时间节点k 。 解：

(1) 线性化处理寻找系统的合理输入信号 可以求得系统的平衡点为：

()0.75y k α== (1.1)

按题意要求最后系统必须收敛于平衡点附近，即：

()lim 0.75k y k →∞

= (1.2)

为了找出系统的合理输入信号，使得系统最终工作在平衡点附近，这里可以将系统线性化处理，将上述非线性系统进行泰勒展开得：

()()()()()()()2323111111112!3!!

n n y k y k y k y k y k u k k n αβαβαβαβγε--+---++-=-+

因为 ，后面()1y k -的高阶项都可以扔掉（只作为寻找输入信号使用）， 所以系统可以化为下式：

此时不妨设系统输出()y k 的最后的极限为A , 从式1.2得0.75A =。 那么应该满足

()()lim lim 1k k y k y k A →∞

→∞

=-= (1.5)

从而有 ()()()11A u k k αβγε-=-+ (1.6)

同时为了抵消系统的部分噪声，这里采用MA TLAB 软件编程产生另一服从同一分布的均匀噪声()1k ε，将式1.6变形得：

()()()0111

1u k u k k αβ

εγ

γ

--=

-

(1.7)

式1.7中()0u k 是一个最后收敛于系统平衡点0.75的基本信号，这里可以采用一阶线性系统的阶跃响应曲线作为基本信号()0u k ，同时考虑系统的平衡点，即设计为：

()/00.75k T

u k e

-=- (1.8)

T 是一阶线性系统对应的时间常数，

反应到输入基本信号()0u k 上就是过零点作()0u k 对应()()()()11y k y k u k k αβγε--=-+01αβ<（1.3）

(1.4)

曲线的切线的斜率

1

K

T =。

图1 基本信号产生框图

很显然有()

lim0.75

t

u k

→∞

=(1.9)

从而最后的输入信号设计为：

()()()

01

11

11

u k u k k

αβ

ε

γγ

-

=+-+(1.10)

式1.10中,,

αβγ题中已知，()

1

k

ε满足：()

1

E k

ε=

⎡⎤

⎣⎦，()

1

0.01

D k

ε=

⎡⎤

⎣⎦，

()

u k 的产生参照图1。

代入式1.8得：

()()

(1)/

1

11

(0.75)1

k T

u k e k

αβ

ε

γγ

-+

-

=--+(1.11)

产生()

u k过程中的时间常数T由仿真效果决定，如果从系统的性能指标而言，T尽可能小，仿真如下：

图2 噪声随机抵消情况下的原系统响应曲线

系统输入基本信号()

u k

阶跃信号1

1

Ts+

图3噪声完全抵消情况下的原系统响应曲线

仿真分析：

图2与图3中都是原非线性系统的响应曲线图，两者的输入信号有差别，分别为

()()12,u k u k ，如下式表示：

()()()10111

11u k u k k αβ

εγγ-=

+-

+ (1.12)

()()()201111u k u k k αβεγγ

-=+-+ (1.13)

()0u k 参照式1.8。

式1.12中()11k ε+是MA TLAB 中产生的符合同一均匀分布的给定随机噪声，从而式1.12中输入信号()1u k 实现噪声随机抵消，结果系统的响应()y k 呈现出很大的噪声干扰，这是符合对未知系统认识的逻辑过程的，如果要得出理想的响应曲线，也就是要求系统最终在平

衡点附近趋于稳定，那么需要设计相应的滤波器，这里不再讨论，后续会尝试设计滤波器滤波。

式1.13中()1k ε

+是系统给定的噪声，那么设计的输入信号()u k 实现了对噪声的完全抵消，得到的理想响应曲线如图3所示，从图3中可以看出，()y k 很快的收敛于0.75附近，且上升时间以及超调量等性能指标均符合理想响应要求，这里就没有具体计算，显然符合控

制系统的快稳准的三要素。

(2) 最小二乘法辨识模型

通过MATLAB 编程从原非线性系统中采集一些输入输出数据，利用最小二乘法辨识出

系统近似的线性模型，实现框图如图4。

时不变SISO 系统动态过程的数学模型为

()()()()()11A z y k B z u k k ε--=+ （2.1）

其中()u k 是系统的输入，()y k 是系统的输出，()()

11,B A z z --的展开式分别如下：

()

112

121a a n n A z a z a z a z ----=+++ （2.2） ()112

12b b n n B z b z b z b z ----=++ （2.3）

参数1212,,

,,,,,a b n n a a a b b b 待辨识。

式2.1写成最小二乘格式

()()()T

y k h

k k θε=+ （2.4）

式2.4中：

()()()()()[y 1,,y ,u 1,

,u ]T a b h k k k n k k n =------ （2.5）

1212,,

,,,,

,a b T

n n a a a b b b θ⎡⎤=⎣⎦ （2.6）

对于1,2,

,,k L =方程2.4构成一个线性方程组，可以把它写成式2.7，

L L L Y H E θ=+ （2.7）

其中

()()()1,y 2,,y T

L Y y L =⎡⎤⎣⎦ （2.8） ()()()1,2,

,T

L E L εεε=⎡⎤⎣⎦ （2.9）

()()()()()()()()()()()()()()()101011212211T a b T a b L T a b h y y n u u n y y n u u n h H y L y L n u L u L n h L ⎡⎤----⎡⎤⎢⎥⎢⎥

----⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

------⎣⎦⎣⎦ （2.10）