浙教版八下二次根式题型归纳汇总

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浙教版八下二次根式题型归纳总结

最新浙教版八下二次根式题型归纳总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII最新浙教版八下二次根式题型归纳总结 - 百度文库1、知识框架1. 二次根式：式子（≥0 ）叫做二次根式。

2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴ 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵ 被开方数中不含分母；⑶ 分母中不含根式。

3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：（ 1 ）（） 2 = （≥0 ）；（ 2 ）5. 二次根式的运算：（ 1 ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， • 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（ 2 ）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（ 3 ）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．= ·（a≥0 ，b≥0 ）；（b≥0 ， a>0 ）．（ 4 ）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， • 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、例题讲解1 、概念与性质例 1 下列各式 1 ），其中是二次根式的是 _________ （填序号）．例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围（1）；（ 2 ）例 3 、在根式 1) ，最简二次根式是（）A ． 1) 2)B ． 3) 4)C ． 1) 3)D ． 1) 4)例 4 、已知：例 5 、已知数 a ， b ，若=b － a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2 、二次根式的化简与计算例 1 . 将根号外的 a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例 2 . 把（ a － b ）化成最简二次根式例 3 、计算：例 4 、先化简，再求值：，其中 a= ， b= ．例 5 、如图，实数、在数轴上的位置，化简：3 、在实数范围内分解因式例 . 在实数范围内分解因式。

(完整版)浙教版八下二次根式题型归纳总结

浙教版八下二次根式题型归纳总结一、知识框架1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑴被开方数中不含分母；⑴分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，⑴变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，⑴乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、例题讲解1、概念与性质例1下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(xab a bb ba a=22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a--+---+（＞0）（＜0）0 （=0）；例3、在根式1)，最简二次根式是（） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x yy x x x y例5、已知数a ，b =b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a=，b=．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -222;2);3);4)275xa b x xy abc +-2()a b -11()ba b b a a b ++++5125123、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。

二次根式的乘除重难点题型(10大题型)—2023-2024八年级数学下册(浙教版)(解析版)

二次根式的乘除重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一二次根式的乘法题型二二次根式的除法题型三二次根式的乘除混合运算题型四最简二次根式的判断题型五化为最简二次根式题型六已知最简二次根式求参数题型七分母有理化及其应用题型八二次根式的大小比较题型九用二次根式的乘除法解决实际问题题型十二次根式乘除法中的新定义问题【知识梳理】知识点一、二次根式的乘法（a≥0，b≥0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.知识点二、二次根式的除法a≥0，b>0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.【经典例题一二次根式的乘法】A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间=0³³³ (a 0,b 0....k )z 【答案】C【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．∵∴∴故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．【变式训练】【答案】B【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．【详解】解；，．故选：B．【答案】4【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则解决此题．【详解】解：∵∴∴．∴．3495464<<78<<10311<<a b ==22a b =a +a +====3=31a b ==ㄑ314a b +=+=z故答案为：4．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决本题的关键．【答案】(2)(3)(4)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式以及平方差公式，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键（1）先将二次根式化简，再计算二次根式加减运算即可；（2）先将二次根式化简，再计算括号内，最后计算乘法即可；（3）根据二次根式的混合运算法则以及完全平方公式计算即可；（4）根据二次根式的混合运算法则以及平方差公式计算即可．【详解】（1（2）解：；（3）解：（4）解：3-13-2=((=3=-()21121=-13=-)11+221=-2=【经典例题二二次根式的除法】A．在6和7之间B．在7和8之间C．在8和9之间D．在9和10之间【答案】A【分析】先根据二次根式的除法法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可．【详解】∵，且，∴，故选A．【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，熟练掌握除法运算，正确进行无理数的估算是解题的关键．【变式训练】【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式的运算和化简，还涉及到零指数幂有意义的条件，熟练掌握二次根式的运算法则，化简公式是解题关键．利用二次根式的除法运算法则对A选项进行判断；根据零指数幂有意义的条件对B选项进行判断；利用乘积的幂运算法则及二次根式的乘方法则对C选项进行判断；利用二次根式的开方运算法则对D选项进行判断．【详解】解：A，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；ㄍ=3=436ㄡ70)a==>()(1)11a a-=¹2222428=´=´=zD，故此选项不符合题意；故选：【答案】【分析】运用二次根式的性质化简，负整数指数幂的运算法则计算即可．．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【答案】(1)(2)【分析】（）根据二次根式的乘法和绝对值化简，然后再合并同类二次根式即可；（）根据二次根式的除法法则运算，然后再合并同类二次根式即可；此题考查了二次根式的乘除运算和化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式（2）解：原式23=A.9-23-19=1239=-+89=-89-212====3=31=-2=【经典例题三二次根式的乘除混合运算】【答案】D形由此可得出答案．【详解】解：由，故选：D．形【变式训练】【答案】D形由此可得出答案．【详解】解：由，故选：D．形【答案】．【分析】由二次根式的性质进行化简，然后计算除法运算即可；由绝对值的意义和二次根式的性质进行化简即可求出答案．10ab=10ab=2-25x-+【详解】解：－÷ == ==∵，∴，，∴∴；故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．【答案】【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．【详解】解：1582710231225a 158-158-22-14x <<40x -<10x ->44x x -=-44(1)25x x x x -=---=-+2-25x -+1326æ=´÷çè=z．【经典例题四最简二次根式的判断】A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．再化简，是最简二次根式；，不是最简二次根式，，不是最简二次根式，再化简，是最简二次根式；，不是最简二次根式，即最简二次根式有2个，故选：B ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键．【变式训练】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 4y =b a5==【详解】解：，∴共2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次要满足被开方数的因数（因式）是整数（整式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母是解题的关键．【答案】【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答．【详解】二次根式余都不是，共有2个最简二次根式.故答案为2.【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．【答案】（1）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（6）是最简二次根式．【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可．===22ㄍㄎ5ㄍㄎz 【详解】不是最简二次根式；不是最简二次根式；，不是最简二次根式；不是最简二次根式；【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【经典例题五化为最简二次根式】【例5】（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（）【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答．【详解】解：当时，当时，，故A 不一定成立；当都小于0时B 不一定成立；，故C 不成立；D 成立，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键．(1=(2(3(42(5a =+(6,a b 0a b -³a b -0a b -<a b -+,a b =2(a =【变式训练】【答案】【分析】把原故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．【答案】(2)(3)【分析】（1形然==2z（2形然（3形然【详解】（1（2（3．【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意．====2===)12=´=z【答案】(4)，．【分析】（1）由从而可得答案；（2）由从而可得答案；（3）由从而可得答案；（4）两边平方，从而可得答案；【详解】（1）解：∵，；（2）∵，；（3）∵又∵，；（4）∴， ∴，．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，完全平方公式的应用，理解题意，把被开方数化为某数的平方是解本题的关键．11a m n =+b mn =)2221211213=++=+=+)2221211314=++=+=+)2221211314=-+=-=-=)2221211213=++=+=+1>01)2221211314=++=+=+1>0144=-)2221211314=-+=-=-1>01=a m n ±=±a m n =+b mn =z【经典例题六已知最简二次根式求参数】A ．0B ．2 C ．4 D ．6【答案】D然后依整数可得到问题的答案．整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是．故选：D.【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．【变式训练】【答案】5【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．【详解】解：由题意得：，∴，∴，但当时不是最简二次根式，应舍去， ∴；故答案为：5．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．=6n n 6225a a a +=+225a =5a =±5a =-=5a =z【答案】4，±2．【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b ﹣5=1，进而求出答案．【详解】解：∴a=1，2b ﹣5=1，解得：a=1，b=3， ∴， ∴±2．【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键．【答案】x ＝8，y ＝6.【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a ，根据算术平方根的非负性计算即可．【详解】解：由题意，得 3a ﹣11＝19﹣2a ，解得a ＝6.所0. 因，所以24－3x ＝0，y －6＝0. 解得x ＝8，y ＝6.【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键.【经典例题七分母有理化及其应用】【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如!√#、!√#$%这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：!√#=!×√#√#×√#=!#√3； !√#$%=!'√#(%)'√#$%)'√#(%)=!'√#(%)'√#)!(%=√3−1．以上这种化简过程叫做分母有理化．!√#$%还可以用以下方法化简： !√#$%=#(%√#$%=(√#)!(%√#$%=(√#$%)(√#(%)√#$%=√3﹣1．请任用其中一种方法化简： ①!√%,(#；②,!√#$√-；【答案】①√%,+##；②2√3−√7.【分析】（1）根据题意分子分母同时乘以√15+3进行分母有理化即可；（2）根据题意分子分母同时乘以2√3−√7进行分母有理化即可. 【详解】解：①!√%,(#=!（√%,+#）（√%,(#)(√%,$#)=!（√%,+#）（√%,）!(#!=√%,+##； ②,!√#+√-=,（!√#(√-)(!√#$√-）（!√#(√-)=,（!√#(√-)(!√#)!((√-)!=2√3−√7 .【点睛】分母有理化是本题的考点，能够运用平方差公式把分母中的根号去掉是解题的关键.【变式训练】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，分母有理化，根据二次根式有意义的条件得出，从，根据非负数的性质得出，，最后代入式子中进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．【详解】解：由题意得：，，解得：，，，，，4c =()230b -=5a =3c =40c -³40c -³4c ³4c £4c \=()23b -=()230b -=5030a b \-=-=ㄑ，，【答案】(1)不唯一）(2)(3)见解析【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键．（1）根据题干求解作答即可；（2）计算求解即可；53a b\==ㄑ==3+235->-332=z（3）由题意知，由大小．【详解】（1）解：由题意知，因式是故答案为：（2；（3）解：由如下；由题意知，∵3-=5-35+<+3-5-3-3+3+33222=35--3-5-=35++>35->-z【答案】(3)10【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．（2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．（3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解．本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律．【详解】（1（2=65=-==z（3）．【经典例题八二次根式的大小比较】【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：√5−√3______√7−√5．【答案】＞【分析】先求出√5−√3与√7−√5的倒数，然后进行大小比较．【详解】∵%√,(√#=√,$√#!1√7−√5=√7+√52而√7+√5＞√5+√3， ∴√5−√3＞√7−√5．故答案为：＞．【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．【变式训练】【答案】【分析】通过比较分子的大小可判断①；利用二次根式的性质化简，进而可判断②．【详解】解：，， ∴， 1 111+ =10=><2>11>12>z故答案为：；②∵∴ 故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质以及实数的大小比较，灵活运用二次根式的性质进行化简是解题的关键．【答案】【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键．（1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可．（2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可．【详解】（1）∵，．（2）∵,,>=<1)111=1=1=1= 1 1=1=1===z【答案】(3)由见解析【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：（1）仿照题意进行分母有理化即可；（2）仿照题意进行分母有理化即可；（3），把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案；（41´--9>1=-==z【详解】（1，（2（3；（4由如下：与1´=-=1´-1=´=-=.......1 1=101=-9=--==z【经典例题九用二次根式的乘除法解决实际问题】【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度ℎm 的地方，看见的水平距离是dm ，它们近似地符合公式d =83/,.某一登山者登上海拔2000m 的山顶，那么他看到的水平距离是________m . 【答案】160【分析】把h=2000代入公式d =83/,进行即可. 【详解】解：把h=2000代入公式d =83/,得：d =83!000,=8√400=8×20=160所以答案是：160.【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键.【变式训练】1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h 米的地方看到可见的水平距离为d 米，它们近似地符号公式为d =83/,，某一登山者从海拔h 米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？【答案】√2【分析】由题意知d 和h 的关系式，则由海拔h 米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离之比可以得到．【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为d %=83/,，现在的水平线的距离为d !=83!/,，1!1"=23!#$23#$=√2，即他看到的水平线的距离是原来的√2倍．2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为ℎ，观测者视线能达到的最远距离为d ，则d ≈√2ℎR ，其中R 是地球半径，约等于6400km ．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度ℎ为0.02km ，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求d 的值为<>z_____km ．【答案】16【分析】根据d ≈√2ℎR ，R ≈6400km ，ℎ=0.02km ，由此即求解．【详解】解：根据题意得，d ≈√2ℎR ，R ≈6400km ，ℎ=0.02km ， ∴d ≈√2ℎR =√2×6400×0.02=80×0.2=16(km)，故答案是：16．【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是√a 、√b 、√c (a >b >c >0)，若木块对桌面的最大压强为p %，最小压强为p !，则4"4!的值等于______．【答案】√566【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可．【详解】解：如图，a >b >c ， ∴√a >√b >√c ∴√ab >√bc ，∵最大压强是前面向下放置， ∴p %=7√86，∵最小压强是面积最大的面向下， ∴p !=7√58，z∴4"4!=7√86×√587=√5√6=√566；故答案为：√566．【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键．【经典例题十二次根式乘除法中的新定义问题】A ．10B ．8C ．4D ．2【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键．．故选D ．【变式训练】【答案】【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可；【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握．()211312-=--=-=()35*-==z个二次根式【答案】(2)2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a 的值；（2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m 的值．【详解】（1）解：∵a 与6的共轭二次根式，∴，∴（2）∵是关于C 的共轭二次根式，∴，∴， ∵C 是有理数， ∴， ∴解得．【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算．6=a ==48()48C=323m C -+=0-+2m =【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；．【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；（）根据积的乘方和平方根的定义即可；根据二次根式乘法法则进行即可计算．5x =Ｒ3x =-0.2x =Ｓ 2.2x =-Ｒ36Ｓ1Ｒ1x -Ｓ()21 1.44x +=1x +2ＲＳxxk.【详解】（1），，或；，，或；（2）积的乘方；平方根的定义；原式．【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算．【拓展培优】A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】A【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：，，即，4和5之间．故选：A ．Ｒ2(1)16x -=14x -=±5x =3x =-Ｓ2(1) 1.44x +=1 1.2x +=±0.2x = 2.2x =-ＲＳ4936==´=((2=´==161825<< \45<<45<<\(z【答案】A【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．故选：A ．【答案】C【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x ，y 的值，进而代入求出答案．【详解】解：根据题意，得：，且，即，解得，，则，所．故选：C【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【答案】B【分析】根据无理数的估算可求出，再代入所求式子求值即可．【详解】解：，===30x -³30x -³30x -=3x =19y ==)0a ³2a =-23=<<=z部，即，．故选B．【点睛】本题考查无理数的估算，代数式求值，实数的混合运算．正确确定的值是解题关键．【答案】C【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确推导运算规律是解题的关键．先计算，，的值，找出规律，然后求解即可．【详解】解：，，∴，，，，故选：C22a =612a ö===÷+øa 1S 2S 3S a b =1ab \=111S ab ==()2222222S a b ab ===()3333333S a b ab ===……()nn nS nab ==12399S S S S \+++…+1299=++……+1100992=´´4950=z【答案】2【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得，，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．【详解】解：∵，，．故答案为：2．【答案】5【分析】先证明，，，，如图，作交于，交的延长线于，证明，可得，面积公式可得答案．【详解】解：∵，，，∴，， ∵，∴，，如图，作交于，交的延长线于，0a 0b =>0a 0b =2====45C ABC Ð=Ð=°22.5EDB Ð=°9022.567.5DBE Ð=°-°=°22.5EBF Ð=°DH AC ＹAB H BE G BGH DFH ＨBG DF =DF =AB AC =90BAC Ð=°12EDB CBFÐ=Ð45C ABC Ð=Ð=°22.5EDB Ð=°BE DE ^9022.567.5DBE Ð=°-°=°22.5EBF Ð=°DH AC ＹAB H BE Gz∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，，∵，，， ∴， ∴， ∴，而∴∴，故答案为：5．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线，构建全等三角形是解本题的关键．【答案】/【分析】根据，依次求出即可解答． 45BDH C Ð=Ð=°HBD アHB HD =22.5EDG EDB Ð=°=Ð67.5DBG DGB Ð=Ð=°DB DG =12BE EG BG ==22.5GBH FDH Ð=Ð=°90BHG DHF Ð=Ð=°HB HD =BGH DFH ＨBG DF =12BE DF =BE =DF =152BDF S =´= NB BM 458-845-+MN BN BM NB BMBE ===,,BM BN MN【详解】解：根据，可得，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则计算是解题的关键．【答案】【分析】根据互为有理化因式，利用平方差公式求得．【详解】解：∵，，∴，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法及有理化因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．MN BN BMNB BM BE===BM BE=BN BM=MN BN=4BE=2BM BE\==6BN BM\==-182MN BN\=×=8545=-54=()()222249954x x x x=+-+=+-=--4=-()54´-=-5454z数部分是b ，计算（a ﹣b）（b +9）的结果为．【答案】21【分析】先根据无理数的估算求出的值，再代入，利用平方差公式进行计算即可得．【详解】解：，整数部分，小数部分，，故答案为：21．【点睛】本题考查了无理数的估算、利用平方差公式计算二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算是解题关键．【答案】【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂、二次根式乘法、立方根、算术平方根化简后计算即可．【详解】原式【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，利用平方公式和平方差化简题目中的式子，然后将化简后的式子即可解答本题．【详解】解：．．∵∴原式,a b 34\3a =3b ()(9)33)39)a b b éù\-+=-+ëû(66)=3615=-21=3162=+-12=+-3=1a b -a b -22222222a b a ab b a b--+÷+()()()()222a b a b a b a b +-=×+-1a b =-a b -==【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简绝对值，算术平方根，乘方，零指数幂，然后进行加减运算即可；（2）先求二次根式的乘法，算术平方根，然后进行减法运算即可．【详解】（1）解：（2【点睛】本题考查了化简绝对值，算术平方根，乘方，零指数幂，二次根式的乘法．正确的运算是解题的关键．【答案】(2)(3)【分析】（1形然4+-(()2022024p--231=-4=+==-2z（2形然（3形然【详解】（1（2（3．【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意．====2===)12=´=z【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；．【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；（）根据积的乘方和平方根的定义即可；根据二次根式乘法法则进行即可计算．【详解】（1），，或；5x =Ｒ3x =-0.2x =Ｓ 2.2x =-Ｒ36Ｓ1Ｒ1x -Ｓ()21 1.44x +=1x +2ＲＳＲ2(1)16x -=14x -=±5x =3x =-z，，或；（2）积的乘方；平方根的定义；原式．【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算．Ｓ2(1) 1.44x +=1 1.2x +=±0.2x = 2.2x =-ＲＳ4936==´=。

浙教版八年级数学下册专题1.3二次根式的乘除(知识解读)(原卷版+解析)

专题1.3 二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】1.并能逆用法则进行化简2.逆用法则进行化简。

3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。

【知识点梳理】知识点1：二次根式的乘法法则1.（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广（1（2项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。

知识点2：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点3：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则2.二次根式的除法法则的推广注意：知识点4：最简二次根式1.最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.化简二次根式的一般方法母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a ＞0，b ＞0，c ＞0）被开方数时多项式的要先因式分解y x y x y +==+++)(x222xy 2（x ≥0，y ≥0）3.分母有理化（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。

【典例分析】【考点1：二次根式乘法法则】【典例1】计算：（1）×；（2）4×；（3）6×（﹣3）；（4）3×2．【变式1-1】（2022秋•嘉定区期中）化简：＝．【变式1-2】（2022秋•社旗县期中）计算的结果是（）A ．16B ．±16C ．4D ．±4 【变式1-3】（2022春•防城区期中）化简：＝．【变式1-3】计算：（1）×3（2）2×【考点2：二次根式乘法法则的逆用】【典例2】计算：（1）．（2）．（3）．【变式2】（秋•新郑市校级月考）．【考点3：二次根式除法运算】【典例3】计算：（1）；（2）4÷2．（3）（4）．【变式3-1】（2021秋•徐汇区校级月考）计算：÷＝．【变式3-2】（2021秋•宝山区校级月考）计算：÷＝．【变式3-3】计算：（1）÷（2）÷（3）（4）．【考点4：最简二次根式】【典例4】（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．1B．C．D．（2022秋•兰考县月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）【变式4-1】A．B．C．D．【变式4-2】（2021春•饶平县校级期末）将二次根式化为最简二次根式为．【变式4-3】下列二次根式化为最简二次根式：（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．【考点5：分母有理化】【典例5】（2021秋•永丰县期末）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）＝＝；（二）＝＝＝﹣1；（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．（1）请用不同的方法化简：①参照（二）式化简＝．②参照（三）式化简＝．（2）化简：+++…+．【变式5-1】（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．【变式5-2】（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：＝．【变式5-3】（2021春•饶平县校级期末）已知a＝，b＝，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．专题1.3 二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】3.并能逆用法则进行化简4.逆用法则进行化简。

1.1二次根式浙教版数学八年级下册同步讲义知识梳理+经典例题+巩固练习+中考链接

二、二次根式的非负性二次根式的实质是一个正数的算术平方根，它具有非负性，即当0≥a 时，a ≥0.【经典例题】例题1、下列各式中，是二次根式的是（）)5≤x )0>x ；A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】二次根式的定义.【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】②④⑤⑦能满足被开方数为非负数，故本选项正确；①⑥⑧不能满足被开方数为非负数，故本选项错误；③不是二次根式，故本选项错误.故选：B ．【点评0≥a )的式子叫做二次根式，a ≥0.例题2、当x【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可列出不等式，解出即可得出x 的范围．【解答】∵x 312-有意义，∴12-3x ≥0，解得：x ≤4．即当x ≤4时，二次根式x 312-在实数范围内有意义．故答案为：x ≤4．【点评】此题考查二次根式有意义的条件，解答本题关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，难度一般．【夯实基础】1、下列各式中一定是二次根式的是( ).A. aB. 100+aC. 1.02+aD. 12-a2、当x =6时，在实数范围无意义的是（）A ．6-xB ．x -6C ．26x -D ．62-x3、若6343++-x x 有意义，则x 的取值范围（） A ．x ≤0 B ．x ≥0 C ．x ≤0且x >-2 D ．x ≤0且x ≠-2513=--+b a ，则直线y =ax +b 不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5、当二次根式1422+x 的值为8时，则x6、当=x7、a 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）a 32019- （2）12++a a（3）2.02+a （4）62312-+-a a8x x ---65.【提优特训】9、要使式子x 39-有意义且取最小值的x 的取值，那么在平面直角坐标系中，点A ),(x x -的所在的象限是（）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10、如果代数式1)105(17---+-x x 有意义，则x 的取值范围是（）．A ．x ≤0B ．x ≤-2C ．x ≤0且x ≠-2D ．x <-211、若等式14520=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 成立，则x 的取值范围是（）． A. x ≥0 B. x ≥4 C. x ≥0且x ≠40 D. x ≠4012、已知a 、b 、c 15a =，b 15450=，c 6180=，则a 、b 、c13、已知x ，y 为实数，且xx x y 122+-+-=，则y x14、当012222=+-+++-z z y x x ，则3x -y +z15、若x ，y 均为实数，且满足等式y x y x a y x y x -+-++-=-++-+2019201953264，求a 的值.16．已知53+=-b a ，53-=-c b ，求ab +bc +ac -a 2-b 2-c 2的值17183子比较稳定，现有一梯子，稳定摆放时，顶端达到6米高的墙头，请问：梯子有多长？【中考链接】 19、2018江苏苏州4．（3.00分）若2+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．第18题图20、2018江苏扬州2．使3-x 有意义的x 的取值范围是（）A ．3>xB ．3<xC ．3≥xD ．3≠x21、2018四川绵阳6.等式1313+-=+-x x x x 成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（）22、2018山东济宁11．（3.00 分）则 x 的取值范围是．参考答案1、C2、C3、D4、B5、±56、3 9、D 10、D 11、C 12、a +b =c 13、12± 14、8 19、C 20、C 21、B 22、x ≥17、a 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）a 32019- （2）12++a a（3）2.02+a （4）62312-+-a a解：（1）要使a 32019-有意义，∴2019-3a ≥0，解得：a ≤673．即当a ≤673时，二次根式a 32019-在实数范围内有意义．（2）∵12++a a =43412+++a a =4343)21(2≥++a ∴不论a 取何值12++a a 都有意义.（3）∵a 2+0.2≥0.2，∴不论a 取何值2.02+a 都有意义.（4）要使62312-+-a a 有意义，∴⎩⎨⎧≥-≥-0620312a a ，不等式组的解集3≤a ≤4. 即当3≤a ≤4时，二次根式62312-+-a a 在实数范围内有意义．A. B. C. D.8x x ---65. 解：∵二次根式∴-2x +10≥0，解得x ≤5.∴x -5≥0，∴5-x ≥0，6-x ≥0. ∴x x ---65=5-x -(6-x )=5-x -6+x =-115、若x ，y 均为实数，且满足等式y x y x a y x y x -+-++-=-++-+2019201953264，求a 的值. 解：∵y x y x a y x y x -+-++-=-++-+2019201953264∴x -2019+y ≥0，-x +2019-y ≥0，∴x +y ≥2019 ，x +y ≤2019.∴x +y =2019. ∴053264=-++-+a y x y x ，∴4x +6y -5=0①，3x +5y -a=0②，①-②得，x +y =5-a ,a =5-2019=-2014.16．已知53+=-b a ，53-=-c b ，求ab +bc +ac -a 2-b 2-c 2的值解：∵53+=-b a ，53-=-c b ，∴6=-c a .∴ab +bc +ac -a 2-b 2-c 221-=(2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ca ) 21-=［(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)］ 21-=［(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2］ 21-=［(53+)2+(53-)2+(-6)2］ =-32.17解：不相同，理由如下：∴⎩⎨⎧>-≥0420a a ，不等式组的解集为a >2.的取值范围为a >2.∴⎩⎨⎧>-≥0420a a 或⎩⎨⎧<-≤0420a a ∴不等式组的解集为a >2或a ≤0.a >2或a ≤0.18子比较稳定，现有一梯子，稳定摆放时，顶端达到6米高的墙头，请问：梯子有多长？解：在Rt △ABC 中，x 2=(3x )2+36，解得x ≈6.4米. 答：梯子大约有6.4米高．第18题图。

(完整)浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结,推荐文档

x -3 - m mn x - 5 5 - x a x -1 1 - x 2a +1 5 5 17 - x + 2x -1 飞驰教育个性化辅导讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．1【例 2】若式子有意义，则 x 的取值范围是．举一反三：1、使代数式2有意义的 x 的取值范围是+12、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点 P （m ，n ）的位置在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例 3】若 y=+ +2009，则 x+y=⎧⎨x - 5 ≥ 0解题思路：式子（a≥0）， ⎩5 - x ≥ 0 , x = 5，y=2009，则 x+y=2014举一反三：1、若 - = (x + y )2 ，则 x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．33、当 a 取什么值时，代数式+1取值最小，并求出这个最小值。

a +已知 a 是整数部分，b 是的小数部分，求 1 b + 2 的值。

若的整数部分为 x ，小数部分为 y ，求x 2 + 1y 的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ( a )2= a(a ≥ 0)．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a 2 a 2 a 2b -3 y 2 - 5 y + 6 a + 2b + 4 a 2 5 a 2 x 2- 4x + 4 4x 2 - 4x +14 + (a - 1)2a ⎨-a(a < 0) ⎨ 则．= a = 0)) =|a|= ⎧a(a ≥ 0)3.⎩注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．a2 =|a|= ⎧a(a ≥ 0) -a(a < 0) ( a ) 2 = a(a ≥ 0) 4. 公式 ⎩ 与的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）(2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）和( 2 的运算结果都是非负的．【典型例题】a - 2 + 【例 4】若+ (c - 4)2 = 0a -b +c =举一反三：1、已知直角三角形两边 x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.a -b +12、若与(a - b )2005 =互为相反数，则。

(汇总)浙教版八年级下册数学第一章二次根式含答案

浙教版八年级下册数学第一章二次根式含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、有下列各式:① ；② ；③;④ .其中,计算正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列计算正确的是（）A. B. C. D.3、若式子有意义，则x的取值范围是（）A.x≥－2B.x＞－2且x≠1C.x≤－2D.x≥－2且x≠14、如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（）A.﹣5B.1C.13D.19﹣4k5、二次根式中，的取值范围是（）A. B. C. D.6、当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？（）A.x≥3B.x≥2C.x≥1D.x≥47、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.8、若，则=（）A.4B.2C.-2D.19、下列根式中，与是同类二次根式的是( )A. B. C. D.10、小华和小明计算a+时，得出两种不同的答案．小华正确审题，得到的答案是“2a﹣2”，小明忽略了算式后面括号中的条件，得到的结果是“2”，请你判断，括号中的条件是（）A.a＜2B.a≥2C.a≤2D.a≠211、下列计算正确的是（）.A. B. C. D.12、下列运算正确的是（）A. B. C. D.13、下列各式不成立的是（）A. B. C.D.14、已知y= ，则的值为（）A. B.﹣ C. D.﹣15、式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：（+ ）=________．17、若，则ab=________.18、化简：﹣3 的结果是________．19、若式子有意义，则x的取值范围是________．20、设，，，则, , 从小到大的顺序是________.21、在函数中，自变量x的取值范围是________．22、要使代数式有意义，则x 的取值范围是________．23、若有意义，则x的取值范围是________.24、已知最简二次根式与2可以合并，则a的值是________25、计算的结果是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知实数a，b满足，求.27、已知正三角形的边长为4 ，求它的一条边上的高．28、若b= + +2，求b a的值．29、实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣﹣|a+c|30、化简：x=﹣1，求代数式x2+3x﹣4的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、B10、B11、C12、B13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。

浙教版初二数学下册知识点及典型例题

浙教版八年级下册知识点及典型例题第一章：二次根式1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=.3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅. 5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba ba>≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (bab a >≥=；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a-与，ba+aa与，b am-+与，它们也叫互为有理化因式.nbnamb9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数围的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.第二章：一元二次方程 1. 认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为20ax bx c ++= (,,a b c 为常数，0a ≠)的整式方程叫一元二次方程。

1.3.3二次根式浙教版数学八年级下册同步讲义知识梳理+经典例题+巩固练习+中考链接

浙江版八年级数学下册第1章二次根式1.3.3 二次根式的运算【知识清单】应用二次根式及其运算解决简单实际问题要注意两个方面：一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简.【经典例题】【考点】分母有理化以及二次根式的运算法则. 【分析】通过添项把)32)(23(22-++分成两项，达到简化分母的目的，然后再进行分母有理化，问题即可得到解决．【解答】)32)(23()32()32()32)(23(22-+-++=-++)32)(23(32)32)(23(32-+-+-++=231321++-=2332-++=2322-+=.【点评】添项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径. 【夯实基础】1、下列计算，正确的是（） A.3327=- B.3146624=-=- C. 1)52)(52(=+- D.3315-=35A. 66B. 65C. 64D. 633、如图，长方体的长、宽、高分别为8cm 、4cm 、6cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短路径的长是（）A. 12cmB.C. D. 4、在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，BC ＝7，则△ABC 的面积为( ) A ．47 B ．37 C ．6 D.723 5、化简：672483618+-+＝ .6、已知最简二次根式23432+-a 与2722-a 是同类二次根式，则a 的值为 . 7、已知32+=x ，求332924+--x x x 的值.第2题图第3题图1122-+---x x x x ，已知26=x .【提优特训】926-=-y ，3=xy ，则x -y 的值为（） A. 4 B. 8 C.26- D. 26+10x 的值为（）A. 4±B. 4C.-4D. ±211、如果三角形的三边长分别为2，k ，3，那么化简=-++--153********k k k （）A.6B.5C.4D.212、一个长方形的面积为6283+，其中一边长为22，则另一边为（）A.725B. 73C. 5D.33+ 13、化简1532102356--+-= .14、已知在等腰三角形ABC 中，AB =AC =15、已知237-=x ，求x (x +1)(x +2)(x +3)的值.16、如图①，是5×5的网格图，任意上下左右相邻的两点间距离都是1，请以网格图，完成下列各题： (1)按要求画出△ABC ； (2)求△ABC 的面积； (3)求最长边上的高.第16题图①a b a b a 311)4(6112=+-+++-，求a +b 的值.18、如图①，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ，已知AB =6，DE =2，BD =10，设CD =x ， (1)用含x 的代数式表示AC +CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC +CE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式164)8(22+++-x x 的最小值.【中考链接】19、2018•江苏南京10. 计算863-⨯的结果是__________．20、2018•湖北襄阳17．（6分）先化简，再求值：(x +y )(x -y )+y (x +2y )-(x -y )2，其中x =2+3，y =2-3．21、2018•湖南常德17．（5分）计算：20)21(12321)2(--+---π.22、2018•四川内江17．（7分）计算：202)21()14.3()32(28-⨯--+--π．第18题图①参考答案1、A2、D3、B4、D 5 6、±1 9、A 10、C 11、D 12、D13 14、 197.解：∵32+=x ， ∴625)32(22+=+=x . ∴x 2-10=562-. ∴22)2()3(=-x .2332=+-x x .332924+--x x x =33210224+-+-x x x x=222)3()10(-+-x x x=1)2()562)(625(2=+-+. 8.解：原式=)1)(1()1()1)(1()1(22222222-+------+---+x x x x x x x x x x x x=2222)1()1(----+x x x x =142-x x当26=x 时，142-x x =1)26(2642-⨯⨯=2162⨯=32. 15. 解：∵237-=x ， ∴x +1=2171237-=+-， x +2=217+， x +3=237-. ∴x (x +1)(x +2)(x +3)= x (x +3) (x +1)(x +2)=)217)(217)(237)(237(+-+-=43-. 16. 解：(1)如图②所示是画出的△ABC ；第16题图②(2) △ABC 的面积=S 长方形BEFD -S △BDA - S △AFC -S △CDB =BE=12-3-1-4=4；(3)设最长边BC 上的高为h ，则△ABC 的面积为h BC ⋅21=4，即h ⋅⨯5221=4，. 17.解：∵a ≥4，∴原等式可化为a b a b a 311)4(61132=+-+++- 0)4(62=-++b a ∴b +6=0且（a -4）b 2=0， ∴a =4，b =-6， ∴a +b =-2．18.解：(1)4)10(3622++-+x x(2)当C 点在线段BD 与线段AE 的交点处的时候，AC +CE 的值最小.(3)如图②：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AE 与BD 相交于点C ，则AB =2，DE =4，BD =8，设CD =x ，过E 点作BD 的平行线交AB 延长线于F 点；由(2)可知代数式164)8(22+++-x x 的最小值就是线段AE 的长. 在Rt △AFE 中，∠AFE =90°， ∵AF =AB +DE =2+4=6，EF =BD =8 ， ∴AE =10862222=+=+EF AF ； ∴代数式164)8(22+++-x x 的最小值是10.20、2018•湖北襄阳17．（6分）先化简，再求值：(x +y )(x -y )+y (x +2y )-(x -y )2，其中x =2+3，y =2-3．【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】(x +y )(x -y )+y (x +2y )-(x -y )2 =x 2-y 2+xy +2y 2-x 2+2xy -y 2 =3xy ，第18题图①第18题图②当x =2+3，y =2-3时，原式=3×(2+3)(2-3)=3．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．21、2018•湖南常德17．（5分）计算：20)21(12321)2(--+---π.【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1- (23-1)+23-4， =1-23+1+23-4， =-2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．22、2018•四川内江17．（7分）计算：202)21()14.3()32(28-⨯--+--π．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=22﹣2+12﹣1×4=2+8．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．。

二次根式的50道混合运算(5大题型)—2023-2024学年八年级数学下册重难点(浙教版)(解析版)

二次根式的50道混合运算专训（5大题型）【题型目录】题型一利用二次根式的性质化简题型二二次根式的乘除法题型三二次根式的加减法题型四已知字母的值化简求值题型五分母有理化【经典计算题一利用二次根式的性质化简】 1．（2023下·湖北随州·八年级校联考期中）计算： (1)18422−+； (2)2(23)(2335)(2335)+−+−．【答案】(1)2(2)3826+【分析】（1）先化简根式，再合并同类二次根式即可得到答案；（2）先根据完全平方公式及平方差公式展开，再合并即可得到答案；【详解】（1）解：原式22222=−+；2=；（2）解：原式()22631245=++−−22631245=++−+3826=+；【点睛】本题考查化简二次根式及实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握222()2a b a b ab +=++， 22()()a b a b a b +−=−．2．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）计算：(1)201939327(1)+−+−−−(2)23(6)128−+−−【答案】(1)4 (2)32+【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【详解】（1）解：201939327(1)33314+−+−−−=+−+=；（2）解：23(6)128621232−+−−=+−−=+．【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 3．（2019上·福建宁德·九年级开学考试）先化简，再求值：211211m m m m ⎛⎫÷− ⎪+++⎝⎭，其中31m =−．【答案】11m +，33 【分析】原始第二项先化简括号里面的，再利用除法法则变形，约分后将m 的值代入即可【详解】211211m m m m ⎛⎫÷− ⎪+++⎝⎭ ()211m m m m =÷++ ()211m m m m +=⋅+11m =+，将31m =−代入得原式133311==−+．【点睛】此题考查分式的化简求值，二次根式的性质，关键在于正确化简计算．4．（2023下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）先化简后求值：222122111a a a a a a a a−+−+−−−−，其中2a =−．【答案】1a −，3−【分析】由2a =−得130a −=−<，再根据提公因式法和公式法因式分解及二次根式的性质化简原式即可得出答案．【详解】解：∵2a =−，∴130a −=−<，∴原式()()211111a a a a a a −−=−−−− ()()1111a a a a a −−=−−−−111a a a =−+−1a =−3=−【点睛】本题主要考查分式的化简求值，涉及到二次根式的性质，完全平方公式、提公因式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）填空： (1)9±= ________； (2)124= ________；(3)364=________ ；(4)48= ________；(5)43= ________； (6)63= ________； (7)()22−= ________；(8)()331−= ________；(9)23−= ________；【答案】(1)3±(2)32(3)4(4)43(5)23 3(6)2(7)2(8)1−(9)32−【分析】（1）直接化简即可；（2）将带分数化为假分数，即可化简；（3）根据立方根的定义，即可化简；（4）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（5）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（6）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（7）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（8）根据立方根的性质进行化简即可；（9）根据负数的绝对值是它的相反数，即可化简．【详解】（1）解：93±=±；故答案为：3±．（2）解：1932442==；故答案为：3 2．（3）解：3644=；故答案为：4．（4）解：4816316343=⨯=⨯=；故答案为：43．（5）解：442323 33333===⨯；故答案为：233．（6）解：66323=÷=；故答案为：2．（7）解：()()22222−==；故答案为：2．（8）解：()3311−=−；故答案为：1−．（9）解：()232332−=−−=−；故答案为：32−．【点睛】本题主要考查了二次根式和绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法和步骤． 6．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）根据所给数轴解决以下问题：(1)计算：2b =___________．(2)化简：()323c b a a b b c −−++−+【答案】(1)b −；(2)2a b −．【分析】（1）由数轴确定b 的符号，再根据二次根式的化简公式可得到答案；（2）由数轴可确定a 、b 、c 的大小，0a b c <<<，a b >，c b >，再根据二次根式的化简公式，去绝对值符合法则，立方根的定义计算即可．【详解】（1）由数轴可知0b <，∴2b b b ==−，故答案为：b −；（2）由数轴可得：0a b c <<<，c b >， ∴0b a −>，0b c +>，∴原式()()()c b a a b b c =−−++−+，c b a a b b c =−+++−−，2a b =−．【点睛】此题考查了数轴、二次根式的化简与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 7．（2023上·四川内江·八年级校考阶段练习）计算：23= ，20.5= ，()26−= ，234⎛⎫−= ⎪⎝⎭ ，213⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，20= ， (1)根据计算结果，回答：当0a >时，2a = ；当0a =时，2a = ；当a<0时，2a = ；(2)利用以上的规律，计算：①若2x <，则()22x −= ；②()23.14−π= ；(3)若a ，b ，c 为三角形的三边，化简：()()()222a b c b c a b c a +−+−−++−【答案】(1)3，0．5，6，34，13，0；,0,a a −(2)2x −， 3.14π−(3)a b c ++【分析】（1）根据算术平方根的定义，逐个进行计算即可；（2）根据（1）中得出的结论，进行计算即可；（3）根据三角形三边之间的关系，得出0a b c +−>，0b c a −−<，0b c a +−>，再根据算术平方根的性质，进行化简，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：2393==，20.50.250.5==，()26366−==，23934164⎛⎫−== ⎪⎝⎭，2111393⎛⎫== ⎪⎝⎭，2000== 故答案为：3，0.5，6，34，13，0；当0a >时，2a a =；当0a =时，20a =；当a<0时，2a a =−；故答案为：,0,a a −；（2）解：①∵2x <，∴20x −<， ∴()()2222x x x −=−−=− ；②∵3.14π<，∴3.140π−<， ∴()()23.14 3.14 3.14ππ−π=−−=−，故答案为：2x −， 3.14π−；（3）解：∵a ，b ，c 为三角形的三边∴0a b c +−>，0b c a −−<，0b c a +−>，()()()222a b c b c a b c a +−+−−++− a b c b c a b c a=+−+−−++− a b c a c b b c a =+−++−++−a b c =++．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握2a a =． 8．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）我们学习二次根式时，掌握了它的两条性质：()()20a a a =≥()()200a a a a a a ⎧≥⎪==⎨−<⎪⎩（a 为任意实数）．利用上述两条性质解决下列问题．(1)化简()21x −，当______时，()21x −=______；当______时，()21x −=______． (2)解方程()213x −=； (3)方程()()22214x x −+−=的解是______； (4)方程()()221231x x −−+=−的解是______．【答案】(1)1x ≥，1x −；1x <，1x −；(2)4x =或2x =−(3)72x =(4)8x =−或43x =−【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可；（2）结合（1）分类讨论求解即可；（3）由二次根式有意义的条件可求出2x ≥，从而得出11x −≤−，即可将原方程化简，再求解即可；（4）根据二次根式的性质分类讨论求解即可，注意舍去不合题意的解．【详解】（1）解：化简()21x −，当10x −≥，即1x ≥时，()211x x −=−；当10x −<，即1x <时，()211x x −=−．故答案为：1x ≥，1x −；1x <，1x −；（2）解：()213x −=，由（1）可知当1x ≥时，原方程可化为13x −=，解得：4x =；当1x <时，原方程可化为13x −=，解得：2x =−．∴原方程的解为4x =或2x =−；（3）解：∵方程()()22214x x −+−=成立，∴20x −≥，∴2x ≥，∴11x −≤−， ∴原方程可化为214x x −+−=，解得：72x =；（4）解：()()221231x x −−+=−分类讨论：当3x <−时，即10x −<，30x +<，∴原方程可化为()1231x x −−−−=−，解得：8x =−；当31x −≤<时，即10x −<，30x +≥，∴原方程可化为()1231x x −−+=−，解得：43x =−；当1x ≥时，即10x −>，30x +≥，∴原方程可化为()1231x x −−+=−，解得：6x =−（舍）．综上可知该方程的解为8x =−或43x =−．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质解方程．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 9．（2023上·福建漳州·八年级校考阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如()232212+=+，善于思考的小明进行了以下探索：若设()22222222a b m n m n mn +=+=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了一种把类似2a b +的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若()277a b m n +=+，当a 、b 、m 、n 均为整数时，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：=a _____，b =_____； (2)若()2633a m n +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值；(3)化简下列各式：①526+； ②4102541025−++++．【答案】(1)227m n +，2mn (2)a 的值为12或28(3)①32+；②51+【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用含m 、n 表示a 、b ；（2）利用（1）中的结论得到62mn =，利用a 、m 、n 均为正整数得到1m =，3n =或3m =，1n =，再代入进行计算即可得到答案；（3）①将原式变形为()232+即可得到答案；②设4102541025t −++++=，两边平方得到2625t =+，再把625+写成完全平方式，即可得到t 的值，从而得到答案．【详解】（1）解：()22277727a b m n m n mn +=+=++，227a m n ∴=+，2b mn =；故答案为：227m n +，2mn ；（2）解：∵62mn =，∴3mn =，∵a m n 、、均为正整数，∴1m =，3n =或3m =，1n =，当1m =，3n =时，2222313328a m n =+=+⨯=；当3m =，1n =时，2222333112a m n =+=+⨯=；即a 的值为12或28；（3）解：①()2526322323232+=++⨯=+=+，②设4102541025t −++++=，则()241025410252161025t =−+++++−+82625=+− ()28251=+− ()8251=+−625=+()251=+， ∴51t =+．【点睛】本题考查了根据二次根式的性质进行化简，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键． 10．（2023下·浙江金华·八年级校联考阶段练习）求代数式()21a a +−，1007a =，如图是小亮和小芳的解答过程：解：原式()21a a =+− 1a a =+− 1= 解：原式()21a a =+−=+−1a a2013=(1)________的解法是正确的；(2)化简代数式269a a a +−+，（其中a<0）；(3)若()()225813a a −++=，直接写出a 的取值范围．【答案】(1)小芳(2)3(3)85a −≤≤【分析】（1）根据题意，利用二次根式性质化简后求值即可验证；（2）由a<0得到30a −<，利用二次根式性质化简后求值即可得到答案；（3）利用二次根式性质化简后，利用绝对值的代数意义，分三类讨论求解即可得到答案．【详解】（1）解：1007a =，10a ∴−<，∴()2111a a a −=−=−，即()21a a +−=+−1a a 21a =−当1007a =时，原式2013=，∴小芳的解法是正确的，故答案为：小芳；（2）解：0a <，∴30a −<，∴269a a a +−+ ()23a a =+− 3a a =+− 3a a =−+3=；（3）解：()()225858a a a a −++=−+−，当8a ≤−时，58582313a a a a a −++=−−−=−−=，解得8a =−；当85a −<<时，585813a a a a −++=−++=；当5a ≥时，58582313a a a a a −++=−++=+=，解得5a =；综上，a 的取值范围是85a −≤≤．【点睛】本题考查代数式化简求值，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键．【经典计算题二二次根式的乘除法】 11．（2023上·江苏南通·八年级校考期中）计算： (1)20318*******−⎛⎫+−−−− ⎪⎝⎭ (2)()215432733÷−⨯ 【答案】(1)31−− (2)26−【分析】（1）本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；（2）本题考查二次根式的乘除混合运算，根据乘除运算法则，进行计算即可．【详解】（1）解：原式2231431=+−−−=−−；（2）原式213633326332633=−⨯÷⨯⨯=−÷⨯=−． 12．（2023上·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）化简：(1)364(2)()22640,09b a b a >≥ (3)()290,064x x y y ≥> (4)()250,0169x x y y ≥> (5)212121335÷⨯ (6)53232ab a b b ⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭【答案】(1)38(2)83ba(3)36xy (4)513xy(5)1(6)223a b −【分析】（1）根据二次根式的性质，进行化简即可；（2）根据二次根式的性质，进行化简即可；（3）根据二次根式的性质，进行化简即可；（4）根据二次根式的性质，进行化简即可；（5）利用二次根式的乘除法则，进行计算即可；（6）根据二次根式的乘法法则，进行计算即可．【详解】（1）解：33648=；（2）2264893b b a a =；（3）293646x x y y =；（4）25516913x x yy =；（5）2125371211335375÷⨯=⨯⨯=；（6）23535322233332a b ab a b ab a b a b b b b ⎛⎫⋅−=−⋅=−=− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次根式的性质，以及二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键． 13．（2023下·广东东莞·八年级校联考期中）计算：(1)()()122035++−；(2)()0423622(8)π−÷−+．【答案】(1)335+；(2)3312−．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算，然后合并即可．【详解】（1）原式()()232535=++−，232535=++−，335=+；（2）原式()14236122=−⨯−，33212=−−，3312=−．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键． 14．（2023下·山东德州·八年级统考期中）计算：(1)()()0212221201916π−+−−−−； (2)()1223285227⎛⎫÷⨯− ⎪ ⎪⎝⎭．【答案】(1)12−(2)51021−【分析】对于（1），由2124−=，0(2019)1π−=，11164=，再计算即可；对于（2），根据二次根式的乘除法法则计算即可．【详解】（1）原式1122144=+−−−12=−；（2）原式5116(5)27328=⨯⨯−5516132728=−⨯⨯510349=−⨯ 511037=−⨯⨯ 51021=−．【点睛】本题主要考查了实数的运算，掌握运算法则，理解零指数次幂和负整数指数次幂是解题的关键． 15．（2023下·山东济宁·八年级统考阶段练习）计算． (1)148312242÷+⨯− (2)()()()()22313223132−++−−+ 【答案】(1)46−(2)9【分析】（1）先根据二次根式的乘除法则计算乘除，再合并同类二次根式即可；（2）先根据完全平方公式和二次根式的乘法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：148312242÷+⨯−148312262⨯=÷+−16626=+−46=−；（2）()()()()22313223132−++−−+()31233443232332=+−+++−+−−1123223=+−− 9=．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算；熟练运用二次根式的运算法则和公式法是解题的关键． 16．（2022上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期中）计算：(1)()252(52)(52)+−++ (2)380151215−++− 【答案】(1)1045+(2)33+【分析】（1）先利用乘法公式进行二次根式的计算，然后合并即可；（2）先进行平方差公式的运算，然后合并．【详解】（1）解：()252(52)(52)+−++545454=−+++1045=+；（2）解：380151215−++−801523155=−+−43231=−+−33=+．【点睛】此题考查乘法公式、立方根以及二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则．17．（2023下·河南信阳·七年级统考期末）计算：(1)()()2236125−−+； (2)()33123⨯−+−．【答案】(1)10(2)33+【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘法法则，去绝对值，再合并即可；【详解】（1）解：()()2236125−−+615=−+10=（2）解：()33123⨯−+−3323=−+33=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质等知识点，主要考查学生的计算和化简能力． 18．（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）计算： (1)()18123−⨯； (2)()()()2311551+−−+．【答案】(1)366−(2)823+【分析】（1）先利用二次根式的乘除法的法则运算，再将各项化简为最简二次根式即可．（2）利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再计算加减即可．【详解】（1）解：原式5436=−366=−（2）解：原式323115=++−+823=+【点睛】本题考查二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．19．（2023下·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：()()()2252522−+−−（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：921224323⎛⎫−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭ 212243932⎛⎫−⨯+ =⎪ ⎪⎝⎭……第一步 322232623323=−⨯+⨯……第二步 32122622=−+……第三步 922=……第四步 ①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；③该运算正确结果应是______.【答案】（1）742−+；（2）①商的算术平方根，等于算术平方根的商或a a b b =（a b ≥，0b >）；②二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③3322−. 【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式化简计算即可．（2）①根据二次根式的性质：a a b b =（a b ≥，0b >），即可得到答案；②括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号．③根据二次根式的性质和运算法则，正确运算即可．【详解】（1）()()()()()22525224544221642742−+−−=−−−+=−−+=−+；（2）①化简步骤中第一化简的依据为a ab b =（a b ≥，0b >），故答案为：a a b b =（a b ≥，0b >）；②第二步开始出现错误，错误的原因为：括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③921224323⎛⎫−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭ 921224332⎛⎫=−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭322232623323=−⨯−⨯32122622=−−3322=−. 该运算正确结果应是3322−. 故答案为：3322−. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和性质，熟练掌握二次根式运算的法则是解题的关键． 20．（2023下·江苏·八年级期末）观察下列各式及其验算过程： 222233+=，验证：3223222223333⨯++===； 333388+=，验证：3338333338888⨯++===． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415+的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【答案】(1)481541515+=，验证见解析(2)2211n n n n n n +=−−，验证见解析【分析】（1）根据材料中的方法即可求解．44441515+=，将左右两边按照二次根式的性质计算即可验证；（2）由（1）中的式子可得规律：2211n nn n n n +=−−．【详解】（1）解：∵222233+=，333388+=，∴44281544415151515+==⋅=，验证：4648154151515+==，正确；（2）解：由（1）中的规律可知2223218311541=−=−=−，，， ∴2211n nn n n n +=−−，验证：3222111n n n n n n n n +==−−−，正确．【点睛】本题考查二次根式的乘除以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是解决问题的关键．【经典计算题三二次根式的加减法】 21．（2023上·四川成都·八年级校考期中）计算： (1)1823122++⨯； (2)()212327|13|2π−⎝−⎛⎫−++−− ⎪⎭．【答案】(1)326+ (2)623+【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，实数的混合运算；（1）先进行二次根式的乘法运算，化简，再算加减即可；（2）先算绝对值，零指数幂，负整指数幂，化简，再算加减即可．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．【详解】（1）解：原式2226=++326=+；（2）解：原式133431=++−+623=+．22．（2024上·湖南株洲·八年级统考期末）化简求值：224(1)244a a a a a −−÷+++，其中5a =．【答案】22a −，254+【分析】本题考查分式的化简求值，先化简分式，再代入计算即可．【详解】原式()()()222222a a a a a a +−+−=÷++()()()222222a a a a +=⋅++−22a =−，当5a =时，原式()()()252222542525252a +====+−−−+．23．（2024上·广东梅州·八年级统考期末）计算： (1)2(32)(32)(2)+−+−；(2)3231381642−⎛⎫−++−− ⎪⎝⎭．【答案】(1)3 (2)12【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的性质展开，然后计算即可；（2）根据有理数的乘方，算术平方根，立方根和负整数指数幂的性质化简，然后计算即可．【详解】（1）解：原式322=−+3=；（2）解：原式()9948=−++−−9948=−+++12=．【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，有理数的乘方，算术平方根，立方根和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 24．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）计算： (1)计算：()2221216+−⨯．(2)先化简，再求值：2221111x x x x x −+⎛⎫−÷⎪+−⎝⎭，其中31x =+．【答案】(1)9 (2)11x −；33【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分式的化简求值及分母有理化：（1）利用二次根式的混合运算法则即可求解；（2）先利用分式的混合运算法则进行化简，再将31x =+代入原式即可求解；熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式842142=++−94242=+−9=（2）原式()()()2111111x x x x x x x +−+⎛⎫=−⨯ ⎪++⎝⎭−()()()211111x x x x =+-´+-11x =−，当31x =+时，原式11333113===+−． 25．（2023上·甘肃兰州·八年级统考期中）阅读与思考阅读下列材料，并解决相应问题： ()()()()4624624624626262++===+−−+．应用：用上述类似的方法化简下列各式： (1)116576+++； (2)若k 是31−，求28k 的值．【答案】(1)75− (2)843+【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化．（1）先利用分母有理化化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先进行乘方运算，再进行分母有理化即可．掌握分母有理化的方法，是解题的关键．【详解】（1）解：原式()()()()657665657676−−=++−+−6576=−+−75=−；（2）由题意可得：()()()()22842388884342342342331k +====+−−+−．26．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）计算： (1)148312242÷+⨯−； (2)()()32233223+−．【答案】(1)46− (2)6【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．（1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．（2）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．【详解】（1）148312242÷+⨯−148312262⨯=÷+−4626=+− 46=−；（2）()()32233223+−()()223223=−1812=− 6=．27．（2024上·宁夏银川·八年级校考期末）计算：(1)635082⨯⨯−(2)()()()21232323−−−+ 【答案】(1)17 (2)1243−【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．（1）先运用二次根式乘除法则进行计算，再进行相减即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．【详解】（1）原式40033=−⨯203=−17= （2）原式()()1431243=−+−−31314=−−1243=−28．（2024上·河北保定·八年级统考期末）计算 (1)11233−+； (2)()()25353(31)+−−−；(3)36427122−−−+；(4)01227( 3.14)3π+−−．【答案】(1)433；(2)823−+； (3)6； (4)4．【分析】本题考查二次根式的运算和零指数幂的运算，解题关键掌握运算法则．（1）先进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可；（2）根据平方差和完全平方公式进行计算即可；（3）先进行算术平方根，立方根和化简绝对值运算，再进行加减即可；（2）先由二次根式的除法和零指数幂的运算法则计算，再进行加减即可；【详解】（1）原式32333=−+433=；（2）原式4423=−−+823=−+；（3）原式()83212=−−−+6=；（4）原式491=+−231=+−4=．29．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：()()()()2213113131231313131⨯−−−===++−−． 153253−=+，175275−=+．(1)用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为_______．(2)利用上面的结论，求下列式子的值：()11112023113355720212023⎛⎫+++⋯⋯++ ⎪++++⎝⎭．【答案】(1)1222n nn n +−=++(2)1011【分析】本题主要考查利用平方差公式分母有理化，二次根式的混合运算等知识点，（1）数字找规律，进行计算即可解答；（2）利用前边的规律，进行计算即可解答；注意根据平方差公式的结构找到另一因式是求解的关键．【详解】（1）总结规律可知：12n n++()()222n n n nn n +−=+++−22n n+−=，故答案为：1222n nn n +−=++；（2）()11112023113355720212023⎛⎫+++⋯⋯++ ⎪++++⎝⎭()31537520232021202312222⎛⎫−−−−=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪⎝⎭()()20231202312−=⨯+1011=．30．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：（ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：2的有理化因式是2；211a ++的有理化因式是211a −+．（ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．例如：11333333⋅==⋅；()()()221222212121⋅−==−++−．【知识运用】（1）填空：25的有理化因式是______（写出一个即可）；3a +的有理化因式是______．（2）把下列各式的分母有理化： ①6226+−； ②12x +．（3）化简：111213298++++++．【答案】（1）5；3a −；（2）①23−−；②222x x −−；（3）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化：（1）根据有理化因式定义求解；（2）①②利用分母有理化计算；（3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】（1）25的有理化因式是5（答案不唯一）；3a +的有理化因式是3a −. 故答案为：5（答案不唯一）；3a −；（2）①()()()()2622662(26)2326262626++++===−−−−−+.②()()21222222x x x x x x −−==−++−.（3）111213298++++++()()()()()()213298212132329898−−−=++++−+−+−213298=−+−++−19=−+ 13=−+ 2=.【经典计算题四已知字母的值化简求值】31．（2024上·湖南长沙·九年级明德华兴中学校联考期末）先化简，后求值：625222x x x x −⎛⎫÷−+ ⎪++⎝⎭，其中4x =−．【答案】23x +，2−【分析】题考查分式的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算的顺序和相关运算法则．先计算括号内的部分，化简后代入计算即可；【详解】解：原式()625222x x x x −⎡⎤=÷−−⎢⎥++⎣⎦26254222x x x x x ⎛⎫−−=÷− ⎪+++⎝⎭()2546222x x x x −−−=÷++262922x x x x −−=÷++()()()232233x x x x x −+=⋅+−+23x =+，当4x =−时，原式222431===−−+−．32．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）先化简，再求值：()()()()2222328x y x y x y x xy x ⎡⎤+−+−+−÷⎣⎦，其中121x =−，121y =+．【答案】x y −，2 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算化简求值以及分式的分母有理化，掌握整式的混合运算的运算法则是解此题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式的运算法则计算化简中括号中的内容，再进行除法运算，最后再代入求值即可．【详解】解：原式()2222242368x y x xy y x xy x=−+−++−÷()2888x xy x=−÷x y =−．当12121x ==+−，12121y ==−+时，原式()21212=+−−=33．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）若52,52a b =+=−． (1)求22a b −． (2)求33a b ab +．【答案】(1)85 (2)18【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键．（1）根据平方差公式把原式变形，代入计算即可；（2）先利用平方差公式计算出1ab =，根据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【详解】（1）解：52,52a b =+=−，原式()()a b a b =+−254=⨯85=；（2）解：52,52a b =+=−，(52)(52)25,(52)(52)1a b ab ∴+=++−==+−=，则33a b ab+()22ab a b =+2()2ab a b ab ⎡⎤=+−⎣⎦21(25)2⎡⎤=⨯−⎣⎦18=． 34．（2023上·湖北武汉·八年级期末）设-x =+2121，2121y +=−，求223x xy y −+值. 【答案】31【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把2121x −=+，2121y +=−化简，再把223x xy y −+变形为()2x y xy−−代入计算即可．【详解】解：∵()()()22121322212121x −−===−++−，()()()22121322212121y ++===+−−+，∴223x xy y −+222x xy y xy =−+− ()2=−−x y xy()()()()2322322322322⎡⎤=−−+−−+⎣⎦()()24298=−−−=321−31=．35．（2020下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）已知72a =+，72b =−，求下列各式的值． (1)222a ab b −+． (2)22a b −．【答案】(1)16 (2)87【分析】（1）直接利用已知得出a b +，a b −的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；（2）结合平方差公式计算得出答案．【详解】（1）解：∵72a =+，72b =−， ∴727227a b +=++−=，()()72724a b −=+−−=，∴222a ab b −+()2a b =−24=16=；（2）22a b −()()a b a b =+−274=⨯87=．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键．36．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）已知57x =+，57y =−，求下列代数式的值： (1)22x y +； (2)22x xy y −+．【答案】(1)24 (2)26【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值：（1）先求出25x y +=，2xy =−，再根据()2222x y x y xy +=+−进行求解即可；（2）根据（1）所求代值计算即可．【详解】（1）解：∵57x =+，57y =−，∴575725x y +=++−=，()()5757572xy =+−=−=−，∴()()()22222252220424x y x y xy +=+−=−⨯−=+=；（2）解：()2224224226x xy y −+=−−=+=．37．（2024上·湖南常德·八年级统考期末）阅读材料：在解决问题“已知123a =−，求23124a a −+的值”时，小红是这样分析与解答的： ()()12323232323a +===+−−+， 23a ∴−=()223a ∴−=，即2244341a a a a −+=∴−=−．()223124344341a a a a −+=−+=−+=．请你根据小红的分析过程，解决如下问题：(1)化简：2414+(2)若336a =−，求22121a a −+的值．【答案】(1)414− (2)5−【分析】本题考查了分母有理化以及利用整体思想求代数式的值，正确的化简是解题关键．（1）分子、分母同时乘以()414−，可实现分母有理化；（2）分母有理化可得36a =+，根据材料可得263a a −=−；结合()222121261a a a a −+=−+，利用整体思想即可求解．【详解】（1）解：()()()24142414414414−=++−()24142−=414=−；（2）解：()()()()3363363363363636a ++====+−−+，∴36a −=，∴()236a −=，即2696a a −+=，263a a ∴−=−，()222121261615a a a a −+=−+=−+=−38．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读理解：已知32x =−，求代数式245x x +−的值．佳佳的做法是：根据32x =−得2(2)3x +=，2443x x ∴++=，得241x x +=−．把24x x +作为整体代入，得245156x x +−=−−=−．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下列问题：(1)已知61x =+，求代数式223x x −+的值； (2)已知512x −=，求代数式321x x ++的值．【答案】(1)8 (2)512+【分析】本题考查代数式求值，二次根式的运算．理解并掌握题干中的解题方法，利用整体代入法求解，是解题的关键．（1）根据61x =+，得到()216x −=，进而得到225x x −=，整体代入求值即可；（2）根据512x −=，推出21x x +=，利用整体代入求值即可．【详解】（1）解：∵61x =+，∴()216x −=，∴2216x x −+=，∴225x x −=，∴223538x x −+=+=；（2）∵512x −=，∴251x =−， ∴215x +=，∴()2215x +=，∴24415x x ++=，∴2444x x +=，∴21x x +=，∴321x x ++()21x x x =++1x =+512+=．39．（2023上·江西南昌·八年级校考期末）请阅读下列材料：问题：已知53x =−，求代数式269x x +−的值．小敏的做法是：根据53x =−得()235x +=， ∴2695x x ++=，得：264x x +=−.把26x x +作为整体代入：得26913x x =−+−即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)己知x 53=+，求代数式2612x x −+的值； (2)已知 512x −=，求代数式3221x x x +++的值．【答案】(1)8(2)532+【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据完全平方公式求出264x x −=−，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；（2）根据完全平方公式计算可得21x x +=，然后利用()()3222211x x x x x x x x +++=++++整体代入计算即可．【详解】（1）解：∵x 53=+，∴()235x −=，∴2695x x −+=，∴264x x −=−，∴212612x x +=−4+−=8．（2）解：∵512x −=，∴2215115=2224x ⎛⎫−⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21544++=x x ， ∴21x x +=，∴3221x x x +++()()221x x x x x =++++11x =++5122−=+ 532+=．40．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期末）我们知道()()32321+−=，因此将132+分子、分母同时乘“32−”，分母就变成了1，原式可以化简为 32−，所以有13232=−+．请仿照上面的方法，解决下列各题．(1)化简：152=+ ，165=− ；(2)若1322x =+，1322y =−，求()2x y xy −−的值；(3)根据以上规律计算下列式子的值：111121324320222021++++++++．【答案】(1)52−，65+ (2)31 (3)20221−【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关键．（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；（2）先利用分母有理化化简x 、y ，再代值求解即可；（3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可．【详解】（1）解：()()15252525252−==−++−，()()16565656565+==+−−+，故答案为：52−，65+；（2）解：∵()()1322322322322322x −===−++−，()()1322322322322322y +===+−−+，∴()32232242x y −=−−+=−，()()3223221xy =+−=，∴()2x y xy −−()2421=−−=321−31=；（3）解：∵()()111111n n n nn nn nn n+−==+−+++++−∴111121324320222021++++++++21324320222021=−+−+−++−20221=−．【经典计算题五分母有理化】41．（2023上·上海松江·八年级统考期末）计算：1123233322−+++．【答案】62【分析】本题考查了二次根式加减运算，先分母有理化，化简二次根式，再加减计算即可．【详解】解：原式()423232=−−++423232=−+++62=．42．（2024上·上海闵行·八年级统考期末）计算：2041(23)9(32)332−++−−+．【答案】1453−．【分析】此题考查了二次根式的化简和分母有理化，根据二次根式的化简法则依次化简后再计算加减法，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：原式()()()()224321243339133232−=−+++⨯−+−，4433438331=−+−++−， 1453=−．43．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）计算：261822623⨯+−−．【答案】4−【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．【详解】解：261822623⨯+−− ()()()2231218262323+=+−+−()33223=+−+23423=−−4=−．44．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）已知121m =−，n 是m 的小数部分． (1)求1n n+的值； (2)求322213m m m n n −−++．【答案】(1)22 (2)7【分析】本题主要考查了二次根式的估算，二次根式的混合运算，求代数式的值，（1），先求出m ，n 的值，再代入计算；（2），先求出m ，整理22211()2n n n n +=+−，再代入计算即可．【详解】（1）121==−m ()()212121+−+21=+.∵122<<， ∴2213<+<，则21221=+−=−n ，112121212221+=−+=−++=−n n ；（2）322213m m m n n −−++221=(3)()2−−++−m m m n n221(21)[(21)(21)3](21)221=+⋅+−+−+−+−−2(21)(2122213)(2121)2=+⋅++−−−+−++−2(21)(21)(22)2=+⋅−+−2182=−+−7=．45．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）计算：(1)0111883⎛⎫−+− ⎪ ⎪⎝⎭； (2)12633221⨯+−−−； (3)a b a b b a a −⎛⎫−÷ ⎪⎝⎭；(4)2344111a a a a a −+⎛⎫−+÷ ⎪++⎝⎭．【答案】(1)11214+(2)5231−+(3)a b b +(4)22a a +−−【分析】（1）先根据二次根式的性质和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；（2）先根据二次根式的乘法法则，绝对值进行计算，同时进行分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；（3）先根据分式的减法法则进行计算，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可；（4）先根据分式的加减法法则进行计算，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．【详解】（1）解：（1）0111883⎛⎫−+− ⎪ ⎪⎝⎭ 132214=−+11214=+；（2）1263|32|21⨯+−−−216223(21)(21)+=+−−−⨯+622321=+−−− 5231=−+；（3）a b a bb a a −⎛⎫−÷⎪⎝⎭22a b aab a b −=⋅− ()()a b a b a ab a b +−=⋅− a b b +=；（4）2344111a a a a a −+⎛⎫−+÷⎪++⎝⎭ 23(1)(1)11(2)a a a a a −−++=⋅+− 22411(2)a a a a −++=⋅+−2(2)(2)11(2)a a a a a −+−+=⋅+−22a a +=−−．【点睛】本题考查了分式的混合运算，零指数幂，分母有理化和二次根式的混合运算等知识点，能正确根据分式的运算法则和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 46．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知23a b ab +==−，，求22a b +我们可以把a b +和ab 看成是一个整体，令x a b y ab =+=，，则()2222224610a b a b ab x y +=+−=−=+=这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果． (1)计算：32323232________32323232+−+−⋅=+=−+−+， (2)m 是正整数，11,,11m m m ma b m m m m+−++==+++−且222195522023a ab b ++=，求m ．(3)已知2215192x x +−−=，求221519x x ++−的值．【答案】(1)1；10 (2)1 (3)8【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；（2）先利用分母有理化化简,a b ，从而求出a b +=42,1m ab +=，然后根据已知可得()2219512023a b ab ++=，再利用完全平方公式进行计算即可解答；（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．【详解】（1）解：32323232+−⋅−+22(32)(32)(32)(32)(32)(32)+−=⋅+−+− ()()223232=+⋅−。

浙教版八年级数学下册专题1.2二次根式性质(知识解读)(原卷版+解析)

专题1.2 二次根式性质（知识解读）【学习目标】1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。

2.了解二次根式的上述两个性质。

3.会运用上述两个性质进行有关计算。

【知识点梳理】知识点：二次根式的性质1.)0a a ≥（的性质2.)0a a 2≥（）（的性质3.a2的性质符号语言 )0a a ≥（文字语言一个非负数的算数平方根是非负数提示)0a a ≥（有最小值，为0符号语言)0a a a 2≥=（）（应用（1）正用：（2）逆用：若a ≥0，则提示逆用可以再实数范围内分解因式：如符号语言a （a ＞0）==a a20（a=0)-a(a ＜0）文字语言任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值【典例分析】【考点1：二次根式性质】【典例1-1】（2022春•广陵区期末）化简二次根式﹣的结果为（） A ．2aB ．﹣2C ．2aD ．﹣2a【典例1-2】（2022春•兰山区期末）下列计算正确的是（） A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2022春•无棣县期末）下列等式正确的是（） A ．＝﹣2 B ．＝±9C ．＝﹣2D ．＝﹣5【变式1-2】（2022春•新市区校级期末）下列各式中，正确的是（） A ．B ．﹣C ．D ．【变式1-3】（2022秋•嘉定区校级月考）化简：＝．【典例2】（2022春•冠县期末）当x ＞2时，＝（） A ．2﹣xB ．x ﹣2C ．2+xD ．±（x ﹣2）【变式2-1】（2022春•杭州月考）已知＝﹣3﹣a ，则a 的取值范围是．【变式2-2】（2022春•德城区校级期中）若＝3﹣x 成立，则x 满足得条件（） A ．x ≥3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ＜3【考点2：根据二次根式性质化简】【典例3】（2021秋•石鼓区期末）若a ＜0，则化简|a ﹣3|﹣的结果为（） A ．3﹣2aB ．3C ．﹣3D ．2a ﹣3应用（1）正用：3332-=-=-ΠΠΠ）（（2）逆用：33131332=⨯=【变式3-1】（2022•南京模拟）若成立，则x满足的条件是（）A．x＞2B．x＜﹣2C．x≥﹣2D．x≤﹣2【变式3-2】（2022春•广阳区校级期末）当1＜a＜2时，代数式+的值是（）A．1B．﹣1C．2a﹣3D．3﹣2a【变式3-3】（2022春•秭归县期中）若1≤x≤4，化简|1﹣x|﹣的结果为（）A．3B．2x﹣5C．﹣3D．5﹣2x【典例4】（2022秋•安溪县校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣﹣．【变式4-1】（2022•山海关区一模）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（）A．2b﹣a B．a+2b C．﹣a D．a【变式4-2】（2022春•扶绥县期末）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|．化简：．专题1.2 二次根式性质（知识解读）【学习目标】1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。

浙教版八年级下第一章二次根式复习

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a二次根式一、本章知识容归纳 1.概念：①二次根式——形如的式子；当时有意义，当时无意义； ②最简二次根式——根号中不含和的二次根式； ③同类二次根式——的二次根式。

2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;③(分类讨论思想：字母从根号中开出来时要带绝对值再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式. ①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ; ②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a baba ③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式； ④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用； ⑤乘法公式的推广：)0,.....0,0(...............21321321≥⋅≥⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a二、本章常用方法归纳方法1.分母有理化：①常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；②分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。

方法2. 非0的二次根式的倒数 ①a 的倒数：a aa a==11（a>0）; ②b a 的倒数：ab （a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ，所以)1(n n ++的倒数为。

方法3. 利用“”外的因数化简“”①a aaa a ==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数围有意义？（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ；（3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x=3．根据下列条件，求字母x 的取值围：（1）3)3(2+=+x x ；（2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ；（4）※22)3()2(-+-x x ＝1 ；4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0．则a=, b=, c=. 5.已知()039322=+-+-x x y x ，则11++y x =______________6．在实数围因式分解：x 4－4＝______________．7．已知a,b,c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=8.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为※9．已知a<0，化简二次根式b a 3- =※10．把mm 1-根号外的因式移到根号，得11．若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 12．若式子32x --有意义，则x 的取值围是_______．13．实数a ，b ，c ，如图所示，化简2a －│a －b │+2()b c +=______．oc a14．将根号外的a 移到根号，得 ( )B A. ； B. －； C. －； D.15．已知0<x<12211()4()4x x x x -++-．16． ()(20081)213220082007+⋅⋅⋅++++=_____________ （二）同类与最简二次根式1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A 318313C 22.11a b ab a a +-和和2.已知最简二次根式322b a b b a --+和a=______，b=_______3.在根式222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)4.已知a>b>0，的值为（）AB ．2 C．12（三）二次根式的运算 1．乘除法口算：（1）61=（3）8517÷=（5）312=（2）81=（4）322=（6）yx 5=（7） 211311÷=（9）33=（11）326-= （8）yx xy 3212÷= （10）26=（12）bb 2142= （13）52245454÷= （15）)25(122)341(-÷⋅-（14）61132135÷⋅=错题改正、总结与抄写：2. 计算：（能简算的要简算）（1）0(π1)+（2）＋(－1)3－2×(3)2484554+-+(4)3)154276485(÷+- (5)x xx x 3)1246(÷- （6)2)32()122)(488(---+(7)((((22221111++(8)62332)(62332(+--+）(9)ab －b a ―a b ＋2++ab b a （a ＞0，b ＞0）（10）ab b a ab b 3)23(235÷-⋅※（11）673)32272(-⋅++※(12)21418122-+-3. 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 34的点的距离最近的整数点所表示的数是___________5．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为3cm . ※6．23231+-与的关系是7．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a aa ，其中51=a ”有不同的解答：甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a，乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a aa 。

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浙教版八下二次根式题型归纳汇总
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浙教版八下二次根式题型归纳总结
一、知识框架
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：
（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2） 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
三、例题讲解
1、概念与性质
ab a b b b a a
=（＞=
=a a 2 （a ＜
例1下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）
x x --
+315；（2）22)-(x
例3、在根式1) ，最简二次根式是（） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)
例4、已知：
的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y
例5、已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( )
A. a>b
B. a<b
C. a≥b
D. a≤b
2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )
22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+222;2);3);4)275
x a b x xy abc +-2()a b -
A. ；
B. －；
C. －；
D.
例2. 把（a －b ）
－1a －b 化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
，其中a=，b=．
例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：222
()a b a b ---
11()b a b b a a b ++++512+512-
3、在实数范围内分解因式
例. 在实数范围内分解因式。

（1）
；（2）
4、比较数值
（1）、根式变形法
当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。

例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法
当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22
a b <，则a b <。

例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较231-与121
-的大小。

（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较1514-与1413-的大小。

（5）、倒数法
例5、比较76-与65-的大小。

（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较73+与873-的大小。

（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<
例7、比较2131++与23
的大小。

（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①1a
a b b >⇔>； ②1a
a b b <⇔<
例8、比较53-与23+的大小。

5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例2. 已知，则a _________
举一反三：已知
，则
a ______。

例3、化简下列各式：
（1）423+ （2）526-
44
15
例4、已知a>b>0，a+b=6，则的值为（） A ． B ． 2 C ． D ．例5、甲、乙两个同学化简
时，分别作了如下变形：甲
：
==；乙：=。

其中，（）。

A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确
三、课堂练习
1．对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②（）2=a ；③若点P （a ，b ）在第三象限，则点Q （﹣a ，﹣b ）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）
A ．只有①错误，其他正确
B ．①②错误，③④正确
C ．①④错误，②③正确
D ．只有④错误，其他正确
ab a b a b
-+22212
2．使式子5
151--=--a a a a 成立的条件是（） A ．a≥5 B ．a ＞5 C ．1≤a≤5
D ．1≤a ＜5
3．若462m -与4
32-m 可以合并，则m 的值不可以是（） A ．
B ．
C ．
D ． 4．当x ＞3时，()23-x ﹣1化简的结果是（
） A ．2﹣x B ．x ﹣4 C ．x
D ．﹣x
5．当x ＜0时，二次根式化简的结果是（）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
6．在二次根式
，，，，，中，最简二次根式的个数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．若整数m 满足条件
=m+1且m ＜，则m 的值是（） A ．0或1
B ．﹣1、0或1
C ．0或﹣1
D ．﹣1
8．如果ab ＞0，a+b ＜0，那么下面各式：①
=，②•=1，③÷=﹣b ，其中正确的是（）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
四、课后练习
化简：+2x﹣x2
已知，则
已知ab=2，求的值
已知：a＜0，化简
已知1＜x＜2，，求的值若实数a满足|a﹣8|+=a，则a的值是多少.
若0＜a＜1，化简|1﹣a|+
有下列计算：
①（m2）3=m6，
②，
③m6÷m2=m3，
④，
⑤，其中正确的运算有．
化简
计算
对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么15※6的值是多少？
实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|﹣﹣|b﹣c|。