组合数学基础-问题与练习

组合数学基础-问题与练习
（陶平生）
基本内容与方法：组合计数；组合构造；组合结构；映射与对应；分类与染色；归纳与递推；容斥原理；极端原理；调整法；补集法；数形结合法，等等．
1、设M 为n 元集，若M 有k 个不同的子集12,,,k A A A ，满足：对于每个{},1,2,
,i j k ∈，i j A A ≠∅，求正整数k 的最大值．
2、将前九个正整数1,2,,9分成三组，每组三个数，使得每组中的三数之和皆为质数；
求出所有不同分法的种数．
3、设正整数a 的各位数字全由1和2组成，由其中任意() 2k k ≥个连续数位上的数字所组成的k 位数，称为数a 的一个“k 段”；若数a 的任两个“k 段”都不相同． 证明：对于具有这种性质的最大正整数a ，其开初的一个“1k -段”和最后的一个“1k -段”必定相同.
4、将数集},...,,{21n a a a A =中所有元素的算术平均值记为)(A P ， （n
a a a A P n +++=...)(21）. 若B 是A 的非空子集，且)()(A P B P =，则称B 是A 的一个“均衡子集”．
试求数集}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=M 的所有“均衡子集”的个数．
5、某校有2010名新生，每人至少认识其中n 人，试求n 的最小值，使得其中必存在彼此认识的16个人.
6、有()2n n ≥名运动员，其编号分别是1,2,,n ，在一次活动中，他们以任意方式站成了一排. 如果每次允许将其中一些人两两对换位置，但在同一轮操作过程中,任一人至多只能参与一次这种对换.
证明：至多只需两轮这样的操作，可使队列变成1,2,,n 的顺序排列.
7、称自然数a 开初若干位数字组成的数为a 的“前缀”.例如，2,20,201,2011 都是数2011的“前缀”.
证明：对于任一给定的正整数M ，存在正整数n ，使M 为2n
的“前缀”.
8、对于2n 元集合{}1,2,,2M n =，若n 元集{}12,,
,n A a a a =，
{}12,,,n B b b b =满足：,A B M A B ==∅，
且11
n n k k k k a b ===∑∑，则称A B 是集M 的一个“等和划分”（A B 与B A 算是同一个划分）． 试确定集{}1,2,
,12M =共有多少个“等和划分”
． 9、对于由前2n 个正整数构成的集合{1,2,
,2}M n =，若能将其元素适当划分，排成两个n 项的数列：1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b ==，使得,1,2,,k k a b k k n -==，则称M 为一个友谊集，而数列,A B 称为M 的一种友谊排列，例如(3,10,7,9,6)A =和 (2,8,4,5,1)B =便是集合{1,2,,10}M =的一种友谊排列，或记为3,10,7,9,62,8,4,5,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； 0(1)、证明：若{1,2,
,2}M n =为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列； 0(2)、确定集合1{1,2,
,8}M =及2{1,2,,10}M =的全体友谊排列．
10、一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）.
试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数．
11、一副三色牌，共有纸牌32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1,2,,10；另有大小王牌各一张，编号均为0，从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规
则计算分值：每张编号为k 的牌计为k 2分，若它们的分值之和为2004，就称这些牌为一个
“好”牌组．
试求 “好”牌组的个数．
12、奥运会排球预选赛有n 支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负，如果其中有k （3k n ≤≤）支球队12,,,k A A A ，满足：1A 胜2A ，2A 胜3A ，…，1k A -
胜k A ，k A 胜1A ，则称这k 支球队组成一个k 阶连环套；
证明：若全部n 支球队组成一个n 阶连环套，则对于每个k （3k n ≤≤）及每支球队i A ()1i n ≤≤，i A 必另外某些球队组成一个k 阶连环套.
13、任意给定() 2n n ≥个互不相等的n 位正整数，证明：存在{}1,2,,k n ∈，使得将它们的第k 位数字都删去后，所得到的n 个1n -位数仍互不相等.
14、桌面上放有2011枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下，今有2011人依次按如下方法翻转硬币：第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的两枚，…，第k 人翻转其中的k 枚，…，第2011人则将2011枚硬币全部翻转．
证明：()1、
不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当的步骤，使得2009人都操作之后，恰使所有的硬币朝同一个方向；
()2、硬币最后的统一朝向，只依赖于初始分布，而与具体的翻币方案无关．
15、平面上任给16个点，每两点间的距离不超过1；
16、某选区有1000个选民，分别持有编号为000,001,002,,999的选票，选区共设有100个投票站，编号分别是00,01,02,,99．选区制定了一条法律：规定选民z 如果要将选票投到票站A ，只有当该选民所持有的选票号码中，若去掉其中某一数码后，剩下的两位数恰好就是该票站的号码时方可进行，（例如，持135号票的选民，只能到13,15,35号票站之一去投票）；
问，在这一法规下，该选区最多可以关闭多少个投票站，使得剩下的投票站还能确保选举照常进行？
17、在平面直角坐标系中给定100边形P ，满足：()01、P 的顶点坐标都是整数； ()02、P 的边都与坐标轴平行；()0
3、P 的边长都是奇数． 证明：P 的面积为奇数．
18、m n ⨯矩形ABCD 的一组邻边之长为：,AB m AD n ==，其中,m n 是互质的正奇数，该矩形被分割成mn 个单位正方形，设矩形的对角线AC 与这些单位正方形的边相交，顺次得到交点12,,
,k A A A （其中1,k A A A C ==）．
试求
1111(1)k j j j j A A -++=-∑的值．
19、边长为n 的菱形ABCD , 其顶角A 为o 60,今用分别与,AB AD 及BD 平行的三组等距平行线，将菱形划分成22n 个边长为1的正三角形
(如图所示).试求以图中的线段为边的梯形个数()s n .
20、某学校有2011名学生，学号分别是1,2,,2011，该校的会场恰有2011个座位，分别编号为1,2,,2011，学生的每次集会都是不用对号入座的；如果在一次集会中，任一个学号为k 的学生都不坐在k 号位，且任意n 个学号为12,,
,n k k k a a a 的学生，其座位号集合{}12,,,n k k k 异于学号集合{}
12,,,n k k k a a a ，（其中12011n ≤<，m a 为坐在m 号位置上的学生的学号），就称这种坐法是“奇特”的．对于每种“奇特”坐法ξ：122011,,,a a a ，令()()2011
2
1k k M a k ξ==-∑，求()M ξ的最小值，并确定达到最小值时的所有入座情况．
8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。

10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。