第七章 量子散射理论
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2
容易证明
Ψ (r ) =
∫d
3
r ′G (r , r ′)V (r ′)Ψ (r ′)
是 Schrodinger 方程的一个解。但ψ (r ) 并不是唯一的解，下面的
Ψ (r ) = Ψ (0 ) (r ) +
l
其径向方程为
（ l l +1 ） 1 d 2 d r + k2 − −U （r） Rl = 0 2 2 r r dr dr
（3）散射振幅 f (θ )
U (r ) =
2µ
2
V (r )
115
f (θ ) = ∑ f l (θ )
l
fl (θ ) 来源于入射波中的 l 分波。
散射 4π (2l + 1)i l j l (k r )Yl 0 (θ ) → fl (θ )
e ik r r
（入射波的 l 分波） → （散射波的 l 分波） 2、处理过程 （1）解径向方程
a Rl (kr ) ~ 4π (2l + 1)i l jl (kr ) + l hl (kr ) 2
r →∞ eikz → ∑ (2l + 1)ii l ⋅ l =0
∞
1 1 sin k r − lπ Pl (cos θ ) 2 kr
（2）两个散射波表达式联立比较确定 f (θ )
116
∑ kr
l
Al
sin(kr − lπ 2 + δ l ) Pl (cos θ ) = ∑ (2l + 1)ii l ⋅
(∇
2
+ k 2 )Ψ (r ) =
2µ
2
V (r )Ψ (r )
并要求 Ψ (r ) 满足下列边条件
Ψ (r ) → e
r →∞
ik • r
e ikr + f (θ , ϕ ) r
定义 Green 函数 G (r , r ′) ，它满足
117
(∇
2
+ k 2 )G (r , r ′) = δ (r − r ′) 2µ
按照量子力学，粒子的位置几率分布由波函数决定，因而求粒子被散射后的位置几率， 就归结为通过薛定谔方程求散射后的波函数。 （1）系统的定态方程 设两个粒子将的相互作用势能为 V (r1 − r2 ) ，则求解系统的薛定谔方程可归结为求解定态 方程：
113
2 2 2 2 − ∇ − ∇2 Ψ + V (r1 − r2 )Ψ = Etotal Ψ 1 2m2 2m1
l =0
∞
1 e ik r sin ( k r −lπ / 2 ) Pl (cos θ ) + f (θ ) kr r
（3） 、结论 最后得出散射振幅、微分截面及总截面用各分波的相移 δ l 来表示的普遍表达式：
1 ∞ f ( ) θ = ∑ (2l + 1)(e iδ l − 1) Pl (cosθ ) 2ik l =0 2 4π ∞ iδ l σ (θ ) = 2 ∑ 2l + 1e sin δ l Yl 0 (θ ) k l =0 4π ∞ σ t = 2 ∑ (2l + 1) sin 2 δ l k l =0
第七章 量子弹性散射理论
§7.1 散射理论概述 量子力学的基本问题分为两类：束缚态与散射态 研究散射的意义： 碰撞的具体情况与粒子本身的结构及它们之间的相互作用性质密切相 关，通过对散射结果的分析，可以探知粒子的结构，推动基础理论的发展。人们之所以能从 原子到夸克这样一个层次一个层次地深入认识物质的结构，在很大程度上，是依赖于对散射 的研究。 散射(碰撞)过程可以区分为以下三大种类： 弹性散射过程 非弹性散射过程 碰撞反应过程
114
dn =
u A f (θ ,ϕ ) 2 r
2
d S = u A f (θ ,ϕ ) 2 d Ω
这也就是单位时间内散射到立体角 d Ω 中的粒子数。上式中 u 为粒子速度。 又由于入射粒子流密度 J
J = A 2u
可得散射微分截面为
σ (θ ,ϕ ) =
dn = f (θ ,ϕ ) 2 J dΩ
（入射波） （散射外行波Leabharlann Baidu 或
→∞ Rl (kr ) r → 4π (2l + 1)i l (1 + al )e i ( kr −lπ
[
2)
− e − i ( kr −lπ
2
] 2ikr
幅度 a l 待定。当 a l = 0 时，无散射；对于弹性散射，各分波的幅度不变（即只有相位改变， 反映了粒子数守恒） 。令：
所以，整个问题的关键是取散射振幅 f (θ , ϕ ) 。求解散射问题有很多方法：如分波法、格林函 数法、波恩近似法等，但每种方法都有其适用范围。 另外，在轴对称时，散射振幅与 ϕ 无关。 f (θ , ϕ ) → f (θ ) 。 轴对称 二、分波法 分波法是在中心力场作用下粒子散射截面一个普遍计算方法。 1、物理思想 （1）入射波为平面波，其按守恒量的本征态展开为
这是一个二体运动方程，它可化为两个运动方程，一个描述质心的运动，另一个描述粒子之 间的相对运动。若选用质心坐标系，则只需讨论粒子之间的相对运动方程：
−
2
2µ
∇ 2 Ψ + V (r )Ψ = E Ψ
上式中 µ 是折合质量， r 是散射粒子相对靶粒子的位置矢径， E 是相对运动的能量。在实验 上 E 是通过加速入射粒子而确定的，计算中作为已知条件应用。 （2） 、 r → ∞ 时波函数的渐进形式 在远离散射中心观察，粒子作自由运动。于是，当 r → ∞ 时，波函数应由两部分组成， 一部分是描述沿 z 方向运动的入射粒子的平面波 Ψ1 = A exp(ikz ) ；另一部分是描述粒子被散射 后从散射中心向外发散的球面出射波，即 Ψ 2 = B(θ ,ϕ ) exp(ik r ) / r 其中 k 为波矢。 对于弹性散射，粒子散射后能量不变，而且散射前后都假定了粒子在自由状态，因而散 射前后，波矢 k 的大小不变。 球面波的振幅 B 与 θ , ϕ 有关，是因为粒子被散射到不同方向的几率不一样。于是 当 r → ∞ 时，波函数的一般渐进形式为 Ψ → A ei k z + B (θ ,ϕ ) r →∞
ei k r r
令 B (θ ,ϕ ) = A f (θ ,ϕ ) ，上式可写成
ψ → A eikz + f (θ , ϕ ) r →∞
eikr r
这就是散射问题中求解定态方程的边界条件。 f (θ , ϕ ) 称为球面散射波的振幅。在这一条件 下解薛定谔方程，就可以求得在具体势能场 U (r ) 中的散射的 f (θ , ϕ ) 。 3、 f (θ , ϕ ) 的意义 在 ψ → A ( eikz + f (θ )eikr / r ) 中，第二项的绝对值平方决定了散射粒子在空间的分 r →∞ 布，在 r 很大时，在 (θ , ϕ ) 方向观测到的粒子数密度为 A f (θ ,ϕ ) 2 / r 2 ，由此进一步可知，单 位时间内，在 (θ , ϕ ) 方向附近，穿过面元 d S = r 2 d Ω 的粒子数为
A+ B → A+ B
A + B → A* + B
( A ——粒子 A 的某种内部激发态)
*
A + B → C + D （+ ┄）
▲“弹性散射”过程中，不存在粒子种类的改变，而且不发生机械能（ A 、 B 粒子总动 能和相互作用势能之和）和粒子内能之间的转化，因此弹性散射中机械能守恒； ▲“非弹性散射”。存在机械能与粒子内能之间的转化。比如，电子在原子上的散射造 成靶原子内部状态的激发（或退激发）； ▲“碰撞过程”。这是纯粹由于入射复合粒子 A 、 B 之间的组分粒子交换导致新复合粒 子 C 、 D 出射，即（重新）组合反应。它们属于一般的形式散射理论处理的范围。比如，电 子使靶原子电离放出束缚电子，或是各种原子核反应。这时没有新粒子产生和旧粒子湮灭， 只是复合粒子在碰撞下的分解或重新组合，所以参与反应的粒子守恒。
4、光学定理 由 Pl (1) = 1 ，有
Im f (0) =
与式
1 ∞ (2l + 1) sin 2 δ l ∑ k l =0
σt =
比较，得
4π k2
∑ (2l + 1) sin
l =0
∞
2
δl
σt =
4π Im f (0) k
上式就是著名的光学定理。它给出向前散射振幅 f (0) 与总截面的关系。 5、分波法适用范围 理论上是严格的，但不可能求无限项，故实际上是近似方法。低能散射结果更好。 三、Lippman-Schwinger 方程 1、物理思想 散射问题归结为求解 Schrodinger 方程
势散射理论:Born近似,分波法,Green方法 非相对论散射理论 散射理论 形式散射理论:定态求解框架与时间演化框架 相对论散射理论
非相对论散射理论的主要特征：参与碰撞的物质粒子（不包括光子），无论是种类还是 数量都是守恒的，仅是它们的束缚态的重新组合。 散射(碰撞)相互作用可以分为两大类： 可以用一个局域的空间变数的函数——势函数描述的情况，这时的散射称为势散射； 不可以用一个局域的空间变数的函数的情况。 这些属于形式散射理论和量子场散射理论。 §7.2 势散射理论
可见：微分散射截面由球面散射波的振幅 f (θ , ϕ ) 决定。通常称函数 f (θ , ϕ ) 为散射振幅。 4、小结：散射问题
是求 → 粒子被散射到 (θ , ϕ ) 方向单位立体角中的几率
→ 而这个几率用散射微分截面 σ (θ , ϕ ) 来表征 → σ (θ ,ϕ ) = f (θ ,ϕ ) 2 。
112
势散射理论主要讨论没有内部结构的弹性散射。 一、散射的量子力学基本描述 1、散射截面 设入射方向为 z 方向，入射粒子和靶粒子的相互作用由相互作用势能描述，并近似地认 为相互作用是有限的。 在入射粒子没有进入相互作用范围时，可以用平面波描述；进入相互作用范围后，因受 势场作用而被散射到各个可能的方向。 入射粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角 θ 称为散射角。 粒子探测器在远离散射中心的地方， 探测到的是被散射后， 又离开了相互作用范围的粒 子。探测器的窗口对散射中心张成一个立体角，凡通过这个立体角的粒子都能观测到，被散 射到某一个立体角中的粒子数是基本的实验观测量。在理论上计算粒子被散射（ θ , ϕ ）方向 上单位立体角中的几率，是研究散射问题的中心课题。 设入射粒子在单位时间通过单位面积的粒子数为 J ， J 称为入射粒子流密度。设单位时 间里被散射到（ θ , ϕ ）方向的立体角 d Ω 中的粒子数为 dn 。 显然， dn 正比于 J ， dn 也正比于 d Ω 。我们定义： dN 与 J d Ω 的比值
r →∞ ψ (r ,θ ) →∑ l
Al kr
sin(kr − lπ 2 + δ l ) Pl (cos θ )
渐近行为
ikz eikr ψ (r ,θ ) → A e + f (θ , ϕ ) r →∞ r
3、散射波研究
（1）入射或透射平面波按球面波展开 { Pl (cos θ )}
dn = σ (θ ,ϕ ) J d Ω
σ (θ ,ϕ ) =
dn Jd Ω
具有面积的量纲，故称 σ (θ , ϕ ) 为微分散射截面。将它对整个立体角 d Ω 积分，得到总散射截 面（积分散射截面）
σt = ∫
2π
0
∫
π
0
σ (θ ,ϕ )sin θ dθ dϕ
从而量子力学研究散射问题的中心课题是计算微分截面。 2、散射问题的边界条件 散射振幅
a l = 1 − exp(2iδ l ) = 2i exp(iδ l )sin δ l
则有
k r →∞ Rl (kr ) → 4π (2l + 1)i l eiδl sin(kr − lπ 2 + δ l ) =
Al sin(kr − lπ 2 + δ l ) kr
这也就是求解 l 分波的径向方程时 Rl 所应满足的边界条件。 （2）散射波波函数表达式
r →∞ ψ i = eikz → ∑ 4π (2l + 1)i l ⋅ l =0 ∞
1 ei ( kr −lπ 2ikr
2)
− e− i ( kr −lπ 2) Yl 0 (θ )
（2）散射波 通过对中心力场中守恒量的分析，由分离变量法可得散射波的表达式为
ψ = ∑ R l (k r )Yl m (θ ,ϕ )
容易证明
Ψ (r ) =
∫d
3
r ′G (r , r ′)V (r ′)Ψ (r ′)
是 Schrodinger 方程的一个解。但ψ (r ) 并不是唯一的解，下面的
Ψ (r ) = Ψ (0 ) (r ) +
l
其径向方程为
（ l l +1 ） 1 d 2 d r + k2 − −U （r） Rl = 0 2 2 r r dr dr
（3）散射振幅 f (θ )
U (r ) =
2µ
2
V (r )
115
f (θ ) = ∑ f l (θ )
l
fl (θ ) 来源于入射波中的 l 分波。
散射 4π (2l + 1)i l j l (k r )Yl 0 (θ ) → fl (θ )
e ik r r
（入射波的 l 分波） → （散射波的 l 分波） 2、处理过程 （1）解径向方程
a Rl (kr ) ~ 4π (2l + 1)i l jl (kr ) + l hl (kr ) 2
r →∞ eikz → ∑ (2l + 1)ii l ⋅ l =0
∞
1 1 sin k r − lπ Pl (cos θ ) 2 kr
（2）两个散射波表达式联立比较确定 f (θ )
116
∑ kr
l
Al
sin(kr − lπ 2 + δ l ) Pl (cos θ ) = ∑ (2l + 1)ii l ⋅
(∇
2
+ k 2 )Ψ (r ) =
2µ
2
V (r )Ψ (r )
并要求 Ψ (r ) 满足下列边条件
Ψ (r ) → e
r →∞
ik • r
e ikr + f (θ , ϕ ) r
定义 Green 函数 G (r , r ′) ，它满足
117
(∇
2
+ k 2 )G (r , r ′) = δ (r − r ′) 2µ
按照量子力学，粒子的位置几率分布由波函数决定，因而求粒子被散射后的位置几率， 就归结为通过薛定谔方程求散射后的波函数。 （1）系统的定态方程 设两个粒子将的相互作用势能为 V (r1 − r2 ) ，则求解系统的薛定谔方程可归结为求解定态 方程：
113
2 2 2 2 − ∇ − ∇2 Ψ + V (r1 − r2 )Ψ = Etotal Ψ 1 2m2 2m1
l =0
∞
1 e ik r sin ( k r −lπ / 2 ) Pl (cos θ ) + f (θ ) kr r
（3） 、结论 最后得出散射振幅、微分截面及总截面用各分波的相移 δ l 来表示的普遍表达式：
1 ∞ f ( ) θ = ∑ (2l + 1)(e iδ l − 1) Pl (cosθ ) 2ik l =0 2 4π ∞ iδ l σ (θ ) = 2 ∑ 2l + 1e sin δ l Yl 0 (θ ) k l =0 4π ∞ σ t = 2 ∑ (2l + 1) sin 2 δ l k l =0
第七章 量子弹性散射理论
§7.1 散射理论概述 量子力学的基本问题分为两类：束缚态与散射态 研究散射的意义： 碰撞的具体情况与粒子本身的结构及它们之间的相互作用性质密切相 关，通过对散射结果的分析，可以探知粒子的结构，推动基础理论的发展。人们之所以能从 原子到夸克这样一个层次一个层次地深入认识物质的结构，在很大程度上，是依赖于对散射 的研究。 散射(碰撞)过程可以区分为以下三大种类： 弹性散射过程 非弹性散射过程 碰撞反应过程
114
dn =
u A f (θ ,ϕ ) 2 r
2
d S = u A f (θ ,ϕ ) 2 d Ω
这也就是单位时间内散射到立体角 d Ω 中的粒子数。上式中 u 为粒子速度。 又由于入射粒子流密度 J
J = A 2u
可得散射微分截面为
σ (θ ,ϕ ) =
dn = f (θ ,ϕ ) 2 J dΩ
（入射波） （散射外行波Leabharlann Baidu 或
→∞ Rl (kr ) r → 4π (2l + 1)i l (1 + al )e i ( kr −lπ
[
2)
− e − i ( kr −lπ
2
] 2ikr
幅度 a l 待定。当 a l = 0 时，无散射；对于弹性散射，各分波的幅度不变（即只有相位改变， 反映了粒子数守恒） 。令：
所以，整个问题的关键是取散射振幅 f (θ , ϕ ) 。求解散射问题有很多方法：如分波法、格林函 数法、波恩近似法等，但每种方法都有其适用范围。 另外，在轴对称时，散射振幅与 ϕ 无关。 f (θ , ϕ ) → f (θ ) 。 轴对称 二、分波法 分波法是在中心力场作用下粒子散射截面一个普遍计算方法。 1、物理思想 （1）入射波为平面波，其按守恒量的本征态展开为
这是一个二体运动方程，它可化为两个运动方程，一个描述质心的运动，另一个描述粒子之 间的相对运动。若选用质心坐标系，则只需讨论粒子之间的相对运动方程：
−
2
2µ
∇ 2 Ψ + V (r )Ψ = E Ψ
上式中 µ 是折合质量， r 是散射粒子相对靶粒子的位置矢径， E 是相对运动的能量。在实验 上 E 是通过加速入射粒子而确定的，计算中作为已知条件应用。 （2） 、 r → ∞ 时波函数的渐进形式 在远离散射中心观察，粒子作自由运动。于是，当 r → ∞ 时，波函数应由两部分组成， 一部分是描述沿 z 方向运动的入射粒子的平面波 Ψ1 = A exp(ikz ) ；另一部分是描述粒子被散射 后从散射中心向外发散的球面出射波，即 Ψ 2 = B(θ ,ϕ ) exp(ik r ) / r 其中 k 为波矢。 对于弹性散射，粒子散射后能量不变，而且散射前后都假定了粒子在自由状态，因而散 射前后，波矢 k 的大小不变。 球面波的振幅 B 与 θ , ϕ 有关，是因为粒子被散射到不同方向的几率不一样。于是 当 r → ∞ 时，波函数的一般渐进形式为 Ψ → A ei k z + B (θ ,ϕ ) r →∞
ei k r r
令 B (θ ,ϕ ) = A f (θ ,ϕ ) ，上式可写成
ψ → A eikz + f (θ , ϕ ) r →∞
eikr r
这就是散射问题中求解定态方程的边界条件。 f (θ , ϕ ) 称为球面散射波的振幅。在这一条件 下解薛定谔方程，就可以求得在具体势能场 U (r ) 中的散射的 f (θ , ϕ ) 。 3、 f (θ , ϕ ) 的意义 在 ψ → A ( eikz + f (θ )eikr / r ) 中，第二项的绝对值平方决定了散射粒子在空间的分 r →∞ 布，在 r 很大时，在 (θ , ϕ ) 方向观测到的粒子数密度为 A f (θ ,ϕ ) 2 / r 2 ，由此进一步可知，单 位时间内，在 (θ , ϕ ) 方向附近，穿过面元 d S = r 2 d Ω 的粒子数为
A+ B → A+ B
A + B → A* + B
( A ——粒子 A 的某种内部激发态)
*
A + B → C + D （+ ┄）
▲“弹性散射”过程中，不存在粒子种类的改变，而且不发生机械能（ A 、 B 粒子总动 能和相互作用势能之和）和粒子内能之间的转化，因此弹性散射中机械能守恒； ▲“非弹性散射”。存在机械能与粒子内能之间的转化。比如，电子在原子上的散射造 成靶原子内部状态的激发（或退激发）； ▲“碰撞过程”。这是纯粹由于入射复合粒子 A 、 B 之间的组分粒子交换导致新复合粒 子 C 、 D 出射，即（重新）组合反应。它们属于一般的形式散射理论处理的范围。比如，电 子使靶原子电离放出束缚电子，或是各种原子核反应。这时没有新粒子产生和旧粒子湮灭， 只是复合粒子在碰撞下的分解或重新组合，所以参与反应的粒子守恒。
4、光学定理 由 Pl (1) = 1 ，有
Im f (0) =
与式
1 ∞ (2l + 1) sin 2 δ l ∑ k l =0
σt =
比较，得
4π k2
∑ (2l + 1) sin
l =0
∞
2
δl
σt =
4π Im f (0) k
上式就是著名的光学定理。它给出向前散射振幅 f (0) 与总截面的关系。 5、分波法适用范围 理论上是严格的，但不可能求无限项，故实际上是近似方法。低能散射结果更好。 三、Lippman-Schwinger 方程 1、物理思想 散射问题归结为求解 Schrodinger 方程
势散射理论:Born近似,分波法,Green方法 非相对论散射理论 散射理论 形式散射理论:定态求解框架与时间演化框架 相对论散射理论
非相对论散射理论的主要特征：参与碰撞的物质粒子（不包括光子），无论是种类还是 数量都是守恒的，仅是它们的束缚态的重新组合。 散射(碰撞)相互作用可以分为两大类： 可以用一个局域的空间变数的函数——势函数描述的情况，这时的散射称为势散射； 不可以用一个局域的空间变数的函数的情况。 这些属于形式散射理论和量子场散射理论。 §7.2 势散射理论
可见：微分散射截面由球面散射波的振幅 f (θ , ϕ ) 决定。通常称函数 f (θ , ϕ ) 为散射振幅。 4、小结：散射问题
是求 → 粒子被散射到 (θ , ϕ ) 方向单位立体角中的几率
→ 而这个几率用散射微分截面 σ (θ , ϕ ) 来表征 → σ (θ ,ϕ ) = f (θ ,ϕ ) 2 。
112
势散射理论主要讨论没有内部结构的弹性散射。 一、散射的量子力学基本描述 1、散射截面 设入射方向为 z 方向，入射粒子和靶粒子的相互作用由相互作用势能描述，并近似地认 为相互作用是有限的。 在入射粒子没有进入相互作用范围时，可以用平面波描述；进入相互作用范围后，因受 势场作用而被散射到各个可能的方向。 入射粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角 θ 称为散射角。 粒子探测器在远离散射中心的地方， 探测到的是被散射后， 又离开了相互作用范围的粒 子。探测器的窗口对散射中心张成一个立体角，凡通过这个立体角的粒子都能观测到，被散 射到某一个立体角中的粒子数是基本的实验观测量。在理论上计算粒子被散射（ θ , ϕ ）方向 上单位立体角中的几率，是研究散射问题的中心课题。 设入射粒子在单位时间通过单位面积的粒子数为 J ， J 称为入射粒子流密度。设单位时 间里被散射到（ θ , ϕ ）方向的立体角 d Ω 中的粒子数为 dn 。 显然， dn 正比于 J ， dn 也正比于 d Ω 。我们定义： dN 与 J d Ω 的比值
r →∞ ψ (r ,θ ) →∑ l
Al kr
sin(kr − lπ 2 + δ l ) Pl (cos θ )
渐近行为
ikz eikr ψ (r ,θ ) → A e + f (θ , ϕ ) r →∞ r
3、散射波研究
（1）入射或透射平面波按球面波展开 { Pl (cos θ )}
dn = σ (θ ,ϕ ) J d Ω
σ (θ ,ϕ ) =
dn Jd Ω
具有面积的量纲，故称 σ (θ , ϕ ) 为微分散射截面。将它对整个立体角 d Ω 积分，得到总散射截 面（积分散射截面）
σt = ∫
2π
0
∫
π
0
σ (θ ,ϕ )sin θ dθ dϕ
从而量子力学研究散射问题的中心课题是计算微分截面。 2、散射问题的边界条件 散射振幅
a l = 1 − exp(2iδ l ) = 2i exp(iδ l )sin δ l
则有
k r →∞ Rl (kr ) → 4π (2l + 1)i l eiδl sin(kr − lπ 2 + δ l ) =
Al sin(kr − lπ 2 + δ l ) kr
这也就是求解 l 分波的径向方程时 Rl 所应满足的边界条件。 （2）散射波波函数表达式
r →∞ ψ i = eikz → ∑ 4π (2l + 1)i l ⋅ l =0 ∞
1 ei ( kr −lπ 2ikr
2)
− e− i ( kr −lπ 2) Yl 0 (θ )
（2）散射波 通过对中心力场中守恒量的分析，由分离变量法可得散射波的表达式为
ψ = ∑ R l (k r )Yl m (θ ,ϕ )