“将军饮马”模型详解与拓展

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将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。

本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。

1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。

此时，将军只需将马拉到目的地即可。

例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。

例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。

例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。

例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。

例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。

例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。

例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。

例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。

将军饮马问题16大模型

将军饮马问题16大模型将军饮马问题是一个经典的数学问题，被广泛应用于算法设计和逻辑推理。

在这个问题中，有一个有限数量的将军和马，将军们需要同时饮马，而且马的数量要足够多，以保证每个将军都能骑到马上。

然而，问题的难点在于，如果将军们不约定时间，他们同时骑上马的可能性很小。

为解决这个问题，已经提出了许多解决方案，下面我将介绍16种解决这个问题的模型。

1. 广播模型将军们可以通过广播的方式进行通信，每个将军都可以听到其他将军的广播信号。

在某个固定时间，将军们开始广播他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。

只有当每个将军都收到了其他将军的回应信号，他们才会同时骑上马。

2. 协商模型将军们可以通过协商的方式进行通信，每个将军都可以与其他将军直接交流。

在某个固定时间，将军们开始与其他将军交流他们已准备好骑马的消息，并等待其他将军的回应。

只有当每个将军都收到了其他将军的回应信息，他们才会同时骑上马。

3. 仲裁者模型将军们委任一个仲裁者作为中介来传递消息。

每个将军将自己已准备好骑马的消息告诉仲裁者，仲裁者负责将该消息传递给所有其他将军。

只有当每个将军都收到其他将军的消息，他们才会同时骑上马。

4. 时钟模型在固定的时间间隔内，每个将军都可以检查时钟的状态。

他们会设定一个目标时间，当时钟的时间达到目标时间时，将军们会同时骑上马。

这样，他们可以通过同步的方式来保证同时骑马。

5. 群体模型将军们通过形成一个群体来解决这个问题。

在一个固定时间，将军们同时进入群体，并在一起饮马。

这种方式需要所有将军都同意进入群体，并时刻保持一致，才能保证同时骑马。

将军们依次传递一个令牌表示自己已准备好骑马。

当每个将军都收到了令牌并且已经骑上马时，他们才会将令牌传递给下一个将军。

这种方式需要将军们按照一定的规则来传递令牌，以保证同时骑马。

7. 树模型将军们通过构建一棵树来解决这个问题。

树的根节点是一个仲裁者，每个将军是树的叶子节点。

当仲裁者收到所有将军的准备好骑马的消息时，他会通知所有将军同步骑马。

初中数学解题模型专题讲解10---“将军饮马”模型详解与拓展

初中数学解题模型专题讲解专题10 “将军饮马”模型详解与拓展平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。

问题提出：唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？模型提炼：模型模型【【1】一定直线、异侧两定点直线l 和l 的异侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB 交直线l 于点P，点P 即为所求点模型模型【【2】一定直线、同侧两定点直线l 和l 的同侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小解答：第一步：画点A 关于直线l 的对称点A'（根据“翻折运动”的相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等，如图所示，AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题）第二步：联结A'B 交直线l 于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短模型模型【【3】一定直线、一定点一动点已知直线l 和定点A，在直线k 上找一点B （点A、B 在直线l 同侧），在直线l 上找点P，使得AP+PB 最小解答：第一步：画点A 关于直线l 的对称点A'第二步：过点A'做A'B⊥k 于点B 且交直线l 于点P，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB 最小即AP+PB 最小模型模型【【4】一定点、两定直线点P 是∠MON 内的一点，分别在OM，ON 上作点A，B，使△PAB的周长最小解答：策略：两次翻折第一步：分别画点P 关于直线OM、ON 的对称点P1、P2第二步：联结P1P2，交OM、ON 于点A、点B（根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB 最短即△ABP 周长最短）拓展如果两定点、两定直线呢？“如图，点P，Q为∠MON 内的两点，分别在OM，ON 上作点A，B。

将军饮马五大模型七类题型(解析版)-初中数学

将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB 的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．【答案】824【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．(1)由折叠的性质可得BD=AB=12，再由CD=BC-BD进行计算即可得到答案；(2)设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，由此即可得到答案．解：(1)由折叠的性质可得：BD=AB=12，∴CD=BC-BD=20-12=8，故答案为：8；(2)如图，设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，由(1)得：CD=8，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=8+AE+CE，要是△CDE的周长最小，只需AE+CE最小，由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，∴△CDE的周长=8+AC=8+16=24，故答案为：24．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．【答案】7【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，此时EP +FP 的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠E =90°-∠B =30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE =2BF =10，进而求得CE =3即可求解．解：作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，如图，则E P =EP ，∴EP +FP =E P +FP =E F ，此时EP +FP 的值最小，则BF =5，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =BC ，在Rt △BFE 中，∠E =90°-∠B =30°，∴BE =2BF =10，∵BE =4，CE =CE ，∴2CE +4=10，∴CE =3，∴AB =BC =3+4=7，故答案为：7．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =AC ．在AB 、AC 上分别截取AP 、AQ ，使AP =AQ ．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．已知BC =5，AD =6．若点M 、N 分别是线段AD 和线段AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为．【答案】6013【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC ，然后根据S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，可得BH =6013．作点H 关于解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，由作图可知，AD 平分∠BAC ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD =CD =12BC =52，∵AD =6．∴AC =AD 2+DC 2=62+52 2=132，∵S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，∴5×6=132BH ，∴BH =6013．∵AB =AC ，AD ⊥BC ，作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，当M 与M 重合时，此时BM +MN 最小，∴M H =M N ，∴BH =BM +M H =BM +M N ，则BM +MN 的最小值为6013．故答案为：6013【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC 中，∠ABC =30°，AC =4，△ABC 的面积为5，P 为△ABC 内部一点，分别作点P 关于AB ，BC ，AC 的对称点P 1，P 2，P 3，连接P 1P 2，PP 3，则2P 1P 2+PP 3的最小值为．【答案】5【分析】首先由△ABC 的面积为5，12AC ⋅BM =5，求出BM =52，然后由∠ABC =30°和对称构造正三角形，将P 1P 2转化成BP ，将2P 1P 2+PP 3提取系数2，最终转化成垂线段最短．解：设PP3与AC 交于点Q ，则PQ =12PP 3，连接BP 、BQ 、BP 1、BP 2，作BM ⊥AC ，垂足为M ，AC =4，△ABC 的面积为5，∴12AC ⋅BM =5，即12×4BM =5∴BM =5，根据对称性得BP=BP1=BP2，∠ABP=∠ABP1，∠CBP=∠CBP2，∴∠P1BP2=2∠ABC=60°，∴△P1BP2是正三角形，∴P1P2=BP1=BP，∴2P1P2+PP3=2P1P2+12PP3=2(BP+PQ)≥2BQ≥2BM=5，故答案为：5．【点拨】本题考查了轴对称、正三角形、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是将P1P2转化成BP，将2P1P2+PP3提取系数2，最终转化成垂线段最短．形式上易与胡不归混淆．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．【答案】120a【分析】分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点；连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，证得△P OP 是等边三角形，即可得到结论．解：①分别作点P关于OM，ON的对称点P ，P ；连接P ，P ，分别交OM，ON于点A、点B，则此时△P AB的周长最小．连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，∵∠MON=30°，∴∠P OP =2∠MON=60°，∴△P OP 是等边三角形，∴P P =OP=a，∠AP O=∠APO，∠BP O=∠BPO，∴∠APB=∠AP O+∠BP O=120°，∴△P AB的周长=P P =a，故答案为：120，a．【点拨】此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+ EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=5可求出α的度数．解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF 的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=5，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5，∴OC=OD=CD=5，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点拨】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.5【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于AD的对称点Q ，连接PQ ，股定理求出AB 的长，再利用三角形面积求出CH 的长即可得到结果．解：如图，作点Q 关于AD 的对称点Q ，连接PQ ，CQ ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，Q 与Q 关于AD 对称，∴点Q 在AB 上，PC +PQ =PC +PQ ≥CH ，∵AC =3，BC =4，∴AB =AC 2+BC 2=5，12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CH 即12×3×4=12×5×CH ，∴CH =2.4，∴CP +PQ ≥2.4，∴PC +PQ 的最小值为2.4，故选：A ．8.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，点D 为垂足，E 、F 分别是AD 、AB 上的动点．若AB =6，△ABC 的面积为12，则BE +EF 的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，从而可确定BE +EF ≥BM ，即BM 最小时，BE +EF 最小．再根据垂线段最短可知BN 的长即为BM 最小时，最后根据三角形面积公式求出BN 的长即可．解：如图，作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，∴EF =EM ，∴BE +EF =BE +EM ≥BM ，∴BM 最小时，BE +EF 最小．当BM ⊥AC 时BM 最小，即为BN 的长，∵S △ABC =12AC ⋅BN =12，AB =AC =6，∴BN =2×12÷6=4，∴BE +EF 的最小值是4．故选B ．9.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC 中，AB =AC =10,BC =12,AD =8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是．【答案】9.6【分析】本题考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性质．连接PB ，PQ ，根据线段垂直平分线的性质可得BP =CP ，从而得到当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，再由S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，求出BQ 的长，即可．解：如图，连接PB ，PQ ，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP =CP ，∴PC +PQ =PB +PQ ≥PQ ，∴当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，∵S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，∴12×12×8=12×10BQ ，∴BQ =9.6．故答案为：9.6【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB =20°，M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠OPM =α，∠OQN =β，当MP +PQ +QN 最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【答案】D 【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP +PQ +QN 最小，易知∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，由此即可解决问题．PQ +QN 最小，解:由轴对称的性质得∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，∴α+β=180°-20°-∠ONQ +20°+20°+∠ONQ =200°．故选：D ．【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式】(20-21八年级上·天津·期末)如图，∠AOB =25°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠MPQ =α，∠PQN =β，当MP +PQ +QN 的值最小时，β-α的大小=_______(度)．【答案】50【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP +PQ +QN 最小，此时∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．解：作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP +PQ +QN 最小，即MP +PQ +QN =M N ，∴∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，∵∠MPQ =α，∠PQN =β，∴∠QPN =12180°-α ，∠OQP =12180°-β ，∵∠QPN =∠AOB +∠OQP ，∠AOB =25°,∴12180°-α =25°+12180°-β ，∴β-α=50°，故答案为：50．【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC 是等边三角形，AB =4．过点A 作AD ⊥BC 于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边△CPQ ，连接DQ ，则DQ 的最小值为．【答案】1【分析】连接BQ ，先证△ACP ≌△BCQ (SAS )，则可得∠CBQ =∠CAP =30°，由此可知Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．根据垂线段最短可知，当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，求出DQ 的值即可．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及垂线段最短．熟练掌握以上知识，找出Q 点的运动轨迹是解题的关键．解：连接BQ ，∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形，∴AC =BC ，PC =QC ，∠ACB =∠PCQ =60°，∴∠ACB -∠PCB =∠PCQ -∠PCB ，即∠ACP =∠BCQ ，∴△ACP ≌△BCQ (SAS )，∴∠CBQ =∠CAP ，∵△ABC 是等边三角形，AB =4，∴BC =AB =4，∠BAC =60°，∵AD ⊥BC ，∴BD =DC =12BC =2，∠CAP =12∠BAC =30°，∴∠CBQ =30°，∴Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，此时DQ =12BD =1，∴DQ 的最小值为1．故答案为：1．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =6，BC =10，D 、E 分别是AB 、BC 上的动点，且CE =BD ，连接AE 、CD ，则AE +CD 的最小值为．【答案】234【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，证明△CEN ≌△BDC SAS ，得EN =DC 进而可得AE +CD =AE +EN ，再由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键．解：过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，∵CN ∥AB ，∴∠ECN =∠ABC ，∠ACN =180°-∠BAC =90°，在△CEN 和△BDC 中，EC =BD∠ECN =∠DBC CN =BC，∴△CEN ≌△BDC SAS ，∴EN =DC ，∴AE +CD =AE +EN ，由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，∵AC =6，BC =CN =10，∴Rt △ACN 中，AN =AC 2+CN 2=62+102=234，∴AE +CD 最小值为：234，故答案为：234．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，AB =8，O 是AC 的中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，OE 的最小值为()A.42B.433C.32D.2【答案】D 【分析】设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH ⊥BC 于H ，证△AQD 和△AOE 全等得QD =OE ，因此当QD 为最小时，OE 为最小，根据“垂线段最短”得QD ≥QH ，故点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，然后在Rt △BQH 中求出QH 的长即可．解：设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH⊥BC 于H ，如下图所示：∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，∴AB =AC ，AD =AE ，∠QAD +∠DAC =∠DAC +∠OAE =120°，∴∠QAD =∠OAE ，∵点Q 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，AB =AC ，∴AQ =AO ，在△AQD 和△AOE 中，AQ =AO∠QAD =∠OAE AD =AE，∴△AQD ≌△AOE (SAS )，∴QD =OE ，∴当QD 为最小时，OE 为最小，∵点Q 为AB 的中点，AB =8，点D 在直线BC 上运动，∴根据“垂线段最短”得：QD ≥QH ，∴当点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，在△ABC 中，AB =AC =8，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =12(180°-∠BAC )=30°，在Rt △BQH 中，∠B =30°，BQ =12AB =4，∴QH =12BQ =2，∴QD 的最小值为2，即OE 的最小值为2.故选：D ．【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，按下列步骤作图：①在AC 和AB 上分别截取AD 、AE ，使AD =AE ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点M ．③作射线AM 交BC 于点F ．若点P 是线段AF 上的一个动点，连接CP ，则CP +12AP 的最小值是．【答案】23【分析】过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠BAF =30°，然后利用含30°的直角三角的性质得出PQ =12AP ，则CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，利用含30°的直角三角的性质和勾股定理求出AB ，BC ，最后利用等面积法求解即可．解：过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，由题意知：AF 平分∠BAC ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，∴∠BAC =60°，∴∠BAF =12∠BAC =30°，∴PQ =12AP ，∴CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，∴当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，∴AB =2AC =8，∴BC =AB 2-AC 2=43，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CH ，∴CH =AC ⋅BC AB =4×438=23，1故答案为：23．【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC 中，∠A =90°,∠B =60°,AB =4，若D 是BC 边上的动点，则2AD+DC 的最小值为．【答案】12【分析】过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，DF =12DC ，2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．解：过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，∠B =∠ADB =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD =BD =AB =4，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =4，∴BC =8，∴DC =4，∴DF =12DC =2，∴AF =AD +DF =4+2=6，∴2(AD +DF )=2AF =12，∴2AD +DC 的最小值为12，故答案为：12．【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC 中，∠ABC =60°，BC =4，AC =5，点D ，E 在AB ，AC 边上，且AD=CE ，则CD +BE 的最小值是．【答案】61【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK=CD，可得CD+BE =EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长．解：如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．∵CK∥AB，∴∠KCE=∠A，∵CK=CA，CE=AD，∴△CKE≌△CAD SAS，∴CD=KE，∵CD+BE=EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长，∵KG∥AB，∴∠GCB=∠ABC=60°，∴∠CBG=90°-∠GCB=30°，在Rt△BCG中，∵∠G=90°，BC=4，∴CG=12BC=2，BG=BC2-CG2=23，∴GK=KC+CG=AC+CG=5+2=7，在Rt△KBG中，BK=GK2+BG2=72+(23)2=61．故答案为：61．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．【答案】4【分析】由等腰△ABC中，∠BAC=100°，可得∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2=40°，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=12∠ABC=20°，如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，则∠ACE=∠ACB+E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，证明△ACE是等边三角形，则AC=AE=4，进而可求AB．解：∵等腰△ABC中，∠BAC=100°，=40°，∴∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2∵BD平分∠ABC，∠ABC=20°，∴∠ABD=12如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=60°，∵CE=AB，∠BCE=∠ABD，MC=BN，∴△CEM≌△BAN SAS，∴ME=AN，CE=AB，∴AM+AN=AM+ME，∴当A、M、E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，∵CE=AC，∠ACE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=4，∴AB=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．。

初中数学58种模型之12、“将军饮马”三种模型详解

当两淀点A 、R 在克罐/何侧时，在亞线』上携一点几便|阳一户创最大°将军饮马”三种模型"将军饮马"问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

晋两定点A.U 在点线F 异創时-在肖践f 上找一点Pt 使PA+PB 锻小*述接也交h 纱/于点P.点卩閒为所求作的点.肖两远点上B 在直雜I 同测时,在直刻上拥一点P,使PA+PB 最小'作庖U 芸于宜线F 的对称点V ■连楼AB'交直线于点P.点P 即为用求作的点"―二I \PA-P^\荊卩址大值洵丽。

连接班并延长交直戦』十点几点卩即为所求作的点。

当两定点仏k 在直找门司侧时，在直线』上找一点人使PA-PB\^扎作点B 关于直统』的对称点B'h 谨接恋’井延快交宜鏡于点巴点F 即为所求作的点。

皓论PAPI1的颯小°PA-PB 的盘小值为AB'□冋-卿的最大值为上的动点，则户创的圮大值是多少？A ■B ■\A\PA-PB\的 1当两定点限廿在宜线/同删时，在直线丿上找--点片使f4-砂|最小“ 叫连接馭作■-朋的垂直平分钱交直线f 于点P ，点卩即沟所求作的点-最小值为叽模型实例例1一如图"止厅形的面积是1氛是等边三博形，点E 在止方刑ABCI ）内“在对角纯蚯上有一点卩*则PD+FE 的艮小值为°^12.如圜已S11AABC 为辱展宜角匸角形…怔-氏=4”ZBCD 15".P 拘匚D热搜掃练I.如虱^AABC 中「ZACB-fJO 3，乃是就边的中点，II 是屈边b -动直+则LCIED 的最小悄是°])2・如图.点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时，求丿的值。

3.如图.正方形ABCD中,AB-7,M是DCI：的一点，且DM-3,N是AC上的一动点.求|DN-MN|的嚴小值与战大值.△PCD 周氏最小为点P 在ZAOB 的内部，在0B 上找点D,在0A 上找点C,使得△PCD 周长最小。

将军饮马(最完整讲义)

第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。

二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图第4题图第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图第8题图第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图第11题图第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。

专题14 将军饮马问题(解析版)

专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。

模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。

模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。

华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析

华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析一、背景知识：据传说，古罗马时代有一位名叫XXX的学者，他精通数学和物理。

有一天，一位罗马将军前来请教他一个难题：每天他从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题被称为“将军饮马”问题，据说XXX很快解决了它，从此这个问题流传至今。

二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两个定点到一个动点的距离和最小例1：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB最小。

作法：连接AB，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB最小，且最小值等于AB。

原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAB中，由三边关系可知：AP+PB≧AB（当且仅当PQ重合时取等）。

例2：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小。

关键：找对称点。

作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB和最小，且最小值等于AC。

原理：两点之间，线段最短。

证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAC中，由三边关系可知：AP+PC≧AC（当且仅当PQ重合时取等）。

2.两动一定型例3：在∠XXX的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短。

作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△XXX即为所求。

原理：两点之间，线段最短。

例4：在∠XXX的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短。

作法：首先，我们作点A关于OM的对称点A'，作点B关于ON的对称点B'，然后连接A'B'，交OM于点C，交ON于点D，最后连接AC和BD，四边形ABCD即为所求。

(完整版)“将军饮马”模型详解与拓展

“将军饮马”模型详解与拓展平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有:① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中,通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用①、② 的基本图形,并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马"问题.问题提出:唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？模型提炼：模型【1】一定直线、异侧两定点直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小解答：根据“两点之间,线段距离最短”，所以联结AB交直线l于点P，点P即为所求点模型【2】一定直线、同侧两定点直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小解答：第一步：画点A关于直线l的对称点A’(根据“翻折运动”的相关性质,点A、A’到对称轴上任意点距离相等,如图所示，AP=A'P,即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题)第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A’Q+QB”最短即“AQ+QB”最短模型【3】一定直线、一定点一动点已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧)，在直线l上找点P,使得AP+PB最小解答：第一步:画点A关于直线l的对称点A’第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短",可知A’P+PB最小即AP+PB最小模型【4】一定点、两定直线点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小解答:策略：两次翻折第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2第二步:联结P1P2，交OM、ON于点A、点B（根据“翻折运动”的相关性质,AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短）拓展如果两定点、两定直线呢？“如图,点P，Q为∠MON内的两点,分别在OM，ON上作点A,B。

将军饮马问题，掌握这十个数学模型就够了

将军饮马问题，掌握这⼗个数学模型就够了“将军饮马”问题是初中数学中⾮常重要的数学知识和⼏何模型，也是求线段最值问题的最常⽤数学模型。

将军饮马问题是⼀个有故事的数学问题，故事⼤意如下：唐朝诗⼈李颀的诗《古从军⾏》开头两句说：'⽩⽇登⼭望烽⽕，黄昏饮马傍交河。

'诗中隐含着⼀个有趣的数学问题。

传说亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦，⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样⾛才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题⼴泛流传。

将军饮马问题的最基础模型探究：这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它。

抽象为数学模型：直线l同侧有两个定点A、B,请在直线l上找⼀点C,使AC+BC最⼩。

假设点A、B在直线l的异侧就好了，这样我们就可以利⽤【点到点最值模型：两点之间线段最短】找到点C的位置了。

即连接AB交直线l于点C。

因此，我们可以找点A关于直线l的对称点，连接A’B交直线l于点C，点C即为所求！如果将军在河边的另外任⼀点C'饮马，所⾛的路程就是AC'+C'B，但是AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在点C处饮马，路程最短。

要点概述：1.初中数学线段最值问题可以总结为三类，点与点、点与线和线与线之间的最值，⼀般需要⽤到以下知识点：2.将军饮马问题的核⼼思想，它的核⼼思想是“化折为直”，“化折为直”是初中数学最重要的⼀个解题思想，将军饮马，费马点，胡不归，阿⽒圆等最值问题，都⽤到“折化直”的数学转换思想。

化折为直的⽅法有轴对称，平移，构造⼦母相似三⾓形，三⾓函数转换等等，将军饮马问题⼤都采⽤的是轴对称来实现“折化直”的⽬标。

最值模型之将军饮马模型(解析版)

最值模型之将军饮马模型模型一两定一动型(线段和差的最值问题)【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的和最小；题目在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；分类(1)点A、B在直线m两侧(2)点A、B在直线同侧原图辅助线作法连接AB交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为AB 作A关于直线m的对称点A'，连接A'B交直线m于点P，此点P即为所求，PA+PB最小值为A'B原理三角形两边之和大于第三边【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；题目在一条直线m上，求一点P，使|PA-PB|最大；分类(1)点A、B在直线m同侧：(2)点A、B在直线m异侧原图辅助线作法延长AB交直线m于点P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB 过点B作关于直线m的对称点B'，连接AB'交点直线m于P，此点P即为所求，|PA-PB|最大值为AB'原理三角形两边之差小于第三边。

例题解析1如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为．【答案】17【分析】连接AE交BD于一点F，连接CF，根据正方形的对称性得到此时CF+EF=AE最小，利用勾股定理求出AE即可．【详解】解：如图，连接AE交BD于一点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AF=CF，∴CF+EF=AF+EF=AE，此时CF+EF最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=4,∠ABC=90°，∵点E在AB上，且BE=1，∴AE=AB2+BE2=42+12=17，即CF+EF的最小值为17故答案为：17．2如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF-PE的最大值为．【答案】2【分析】作E的对称点E'，连接FE'并延长交AC于点P'，根据三角形三边关系可得到PF-PE=PF-PE≤E F，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作E的对称点E ，连接FE'并延长交AC于点P ，∴PE=PE ，∴PF-PE≤E F，=PF-PE当F、E 、P 在同一条直线上时，PF-PE有最大值E F，∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，，AD=AB=BD，∵BD=8，∴AB=8，∵AF=3BF，∴BF=2，∵点E为OD的中点，∴E 为OB的中点，∴BE =1BD=2，4∴BF=BE ，∴△BE F是等边三角形，∴E F=BF=2，故答案为2；变式训练1如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A-3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是()3A.3B.5C.22D.32【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A-3,0，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=3,AD=DC=CB=23∴△CDB是等边三角形∴BD=23∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=3,且BE⊥CD，∴BE=BD2-DE2=3故选：A．22如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是()A.42B.25+2C.213D.210【答案】D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A ，再连接A O，运用两点之间线段最短得到A O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A O的长度即可．【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A ，连接A O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A关于BC对称，∴AE=A E，AE+OE=A E+OE，当且仅当A ，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE=A E+OE=A O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，AB=2，∴OF=FB=12∵对称，∴AB=BA =4，∴FA =FB+BA =2+4=6，在Rt△OFA 中，OA =FO2+FA 2=210，故选：D．3如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+ MF的最小值为()A.1B.2C.3D.2【答案】C【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，又∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∵CF =BF ∴F 是BC 的中点，∴AF ⊥BC ．则AF =AB •sin60°=2×32=3．即MA +MF 的最小值是3．故选：C4如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∠BCD =15°，P 为直线CD 上的动点，则|PA -PB |的最大值为．【答案】6【分析】作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于P ，则点P 就是使|PA -PB |的值最大的点，|PA -PB |=A ′B ，连接A ′C ，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，根据角的和差关系得到∠ACD =75°，根据轴对称的性质得到A ′C =AC =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，推出△A ′BC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，作A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 并延长交CD 延长线于点P ，则点P 就是使PA -PB 的值最大的点，PA -PB =A ′B ，连接A ′C ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AC =BC =6，∴∠CAB =∠ABC =45°，∠ACB =90°，∵∠BCD =15°，∴∠ACD =75°，∵点A 与A ′关于CD 对称，∴CD ⊥AA ′，AC =A ′C ，∠CA ′A =∠CAA ′，∴∠CAA ′=15°，∵AC =BC ，∴A ′C =BC ，∠CA ′A =∠CAA ′=15°，∴∠ACA ′=150°，∵∠ACB =90°，∴∠A ′CB =60°，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B =BC =6．故答案为：65如图，MN 是⊙O 的直径，MN =6，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA +PB 的最小值是．【答案】32【分析】首先利用在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点P 的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【详解】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，连接OB ，则P 点就是所求作的点．此时PA +PB 最小，且等于AC 的长．连接OA ，OC ，∵∠AMN =30°，∴∠AON =60°，∵B 为AN的中点，∴AB =BN∴∠AOB =∠BON =30°，∵MN ⊥BC ，∴CN=BN，∴∠CON =∠NOB =30°，则∠AOC =90°，又OA =OC =3，则AC =32．故答案为：32．6如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．动点P 满足S △PBC =13S 矩形ABCD．则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为。

专题07 将军饮马模型(解析版)

专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。

将军饮马问题(讲)

将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aB3、已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMDCB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

将军饮马的六种模型

将军饮马的六种模型将军饮马，是中国古代战争策略中的经典战术之一。

通过观察马，了解将军的心思，进而进行军事决策。

将军饮马虽然源于古代战争，但其思想也可以应用于现代管理和决策中。

在现代社会中，可以将将军饮马的思想应用到各种管理模型中，以期提供全面、客观、有效的决策支持。

本文将介绍六种基于将军饮马思想的模型，并对其应用领域进行简要分析。

一、马的姿态模型在将军饮马中，将军观察马展示出的姿态，来判断敌情。

而在管理和决策中，我们也可以通过观察员工或团队展示的姿态，来了解他们的态度、能力和潜力。

例如，一个员工是否充满自信和积极的态度，是否展示出自主解决问题的能力，这些都可以为管理者提供重要的参考信息。

二、军心模型将军饮马中，将军观察马的冷静与否，来判断士兵们的情绪状态。

同样，在管理中，管理者可以通过观察员工的情绪和表现来判断团队的士气和动力。

如果员工们表现出疲惫、消极或情绪低落，可能需要及时采取措施调整团队心态，提高士气。

三、战术模型将军饮马中，将军观察马的行动方式，来判断敌情并制定战术。

在管理决策中，管理者可以观察员工或团队的行动方式和工作方法，来判断他们的能力和适应性。

通过了解员工的工作方式，可以更好地进行任务分配和资源管理，使团队的工作更加高效。

四、资源模型将军饮马中，将军观察马数量和状态，来判断可用资源。

在管理决策中，管理者需要了解团队的资源情况，包括人力、物资、资金等。

通过了解资源状况，管理者可以更好地进行资源分配，确保团队工作的顺利进行。

五、协调模型将军饮马中，将军观察马是否协调一致，来判断士兵团结力。

在管理中，管理者可以通过观察员工的协作和团队合作能力，来判断团队的团结力和协作效率。

如果员工们能够协同合作、相互支持，将会提升整个团队的工作效果。

六、判断模型将军饮马中，将军通过观察马的各种表现，来综合判断敌情和决策方向。

在管理决策中，管理者也需要通过综合观察员工的各种表现和信息，来做出决策。

通过收集和分析各种信息，管理者能够更准确地判断当前形势，做出合理决策。

将军饮马问题16大模型

将军饮马问题16大模型将军饮马问题源于中国古代的一个寓言故事，讲述的是三位将军跟随他们的军队来到一座河边准备渡河，但只有一条小船，这条小船一次只能搭载两人。

如果将军A和将军B在船上，将军C在岸边，将军C将会受到辱骂，如果将军A和将军C在船上，将军B在岸边，将军B也会受到辱骂，问题是如何让这三位将军都安全地渡河而不受辱骂。

这个问题启发了许多数学家和逻辑学家，有各种不同的解法。

下面将介绍将军饮马问题的16种不同模型。

模型1：最直接的解法最直接的解法是将将军A和将军B一同乘坐小船去对岸，然后将将军A带船返回，将将军C载到对岸。

模型2：穷举法穷举法是一种比较笨拙但可以解决问题的方法，即穷尽所有可能的情况。

这种方法虽然有效，但耗时较长。

模型3：递归法递归法是将问题分解成较小规模的子问题，并逐步解决。

这种方法可以节省时间和精力，但需要较高的逻辑思维能力。

模型4：数学推导法通过数学推导，可以将将军饮马问题转化为数学模型，从而得出解答。

这种方法需要较强的数学功底。

模型5：逻辑推理法逻辑推理法是通过逻辑推理和思维分析，得出解决将军饮马问题的方法。

这种方法强调思维的逻辑性和推理能力。

模型6：图论模型图论是数学的一个分支，可以用来描述将军饮马问题中的交叉关系和路径规划。

通过构建相应的图模型，可以更清晰地解决问题。

模型7：概率模型概率模型是通过概率计算和推测，找出解决将军饮马问题的可能性和概率分布。

这种方法适用于对问题进行全面分析和评估。

模型8：动态规划法动态规划法是针对多阶段决策问题的一种解决方法，可以在问题空间中寻找最优解。

这种方法适用于将军饮马问题的场景。

模型9：模拟法模拟法是通过模拟将军饮马问题的场景，以实验测算的方式找出最佳解决方案。

这种方法可以直观地展示问题的复杂性和解决路径。

模型10：启发式算法启发式算法是通过启发性的思考和优化方法，寻找将军饮马问题的最佳解决方案。

这种方法可以在复杂问题中找到较好的解决途径。

将军饮马的十二种模型

将军饮马的十二种模型将军饮马是一种著名的古代兵法策略，通常用来形容指挥员在战场上果断决策的能力。

这种策略被广泛应用于各种领域，包括管理学、商业决策以及日常生活中的问题解决。

在本文中，我们将介绍十二种基于将军饮马原理的模型，以帮助读者更好地理解和应用这一策略。

1. 分析对手在决策过程中，了解对手的行为和意图非常重要。

通过分析对手的可能行动和策略，我们可以更好地预测并应对对手的举动。

2. 制定计划将军饮马的核心在于制定行动计划。

这意味着我们需要考虑不同的情况和可能的结果，并为每种情况制定相应的对策，以保证决策的有效性。

3. 增加变数为了增加决策的灵活性和适应性，我们可以通过引入一些变数来改变局势。

这可以包括改变战术、伪装行动或者制造干扰。

4. 强化决策为了确保决策的正确性和有效性，我们可以通过增强决策的支撑力量来提高其执行力。

这可以包括增加资源投入、加强组织和协调能力等方面。

5. 战略调整在执行决策过程中，我们应该密切关注局势的变化，并随时调整战略。

这可以保证我们能够迅速应对新出现的问题和挑战。

6. 创新思维创新思维是解决问题和应对挑战的关键。

通过引入新的想法和方法，我们可以找到更加高效和创造性的解决方案。

7. 风险管理将军饮马过程中，我们应该始终关注风险，并制定相应的应对策略。

通过评估风险的概率和影响，并采取相应的措施来管理风险，我们可以最大程度地减少潜在的不确定性。

8. 团队合作团队合作是决策过程中至关重要的一环。

通过充分发挥团队成员的专长和优势，我们可以共同制定决策，并更好地协同合作来实现最终目标。

9. 反思总结在每一次决策之后，我们都应该进行反思和总结。

通过评估决策的结果、分析决策的成功与失败原因，并从中吸取教训，我们可以不断完善和提升我们的决策能力。

10. 监控执行决策之后，并不意味着任务结束。

我们应该密切关注决策的执行情况，并根据实际情况进行调整和管理，以确保决策的顺利实施。

11. 持续学习决策是一个不断学习和成长的过程。

将军饮马”模型详解与拓展 (1)

将军饮马”模型详解与拓展 (1)A，B，C，D，使得四边形ABCD的周长最小。

该问题可以通过两次翻折来解决。

第一步：分别画点P、Q关于直线OM、ON的对称点P1、Q1、P2、Q2.第二步：联结P1Q2、P2Q1，交OM、ON于点A、B、C、D。

根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2，CQ=CQ1，DQ=DQ2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+P1Q2+QC1+CD+DQ2+BP2最短即四边形ABCD周长最短。

将军饮马”问题源于唐朝诗人XXX的诗《古从军行》。

在这首诗中，将军从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营。

问题是，怎样走才能使总的路程最短？该问题可以通过“线段和最值”问题中的“一定直线、异侧两定点”模型来解决。

根据“两点之间，线段距离最短”的原理，联结AB交直线l于点P，点P即为所求点。

除了“一定直线、异侧两定点”模型外，还有“一定直线、同侧两定点”、“一定直线、一定点一动点”和“一定点、两定直线”等模型。

这些模型都可以通过“翻折运动”来转化为“一定直线、异侧两定点”问题，然后应用“两点之间，线段距离最短”的原理来求解。

对于“一定点、两定直线”问题，需要通过两次翻折来解决。

分别画点P、Q关于直线OM、ON的对称点P1、Q1、P2、Q2，然后联结P1Q2、P2Q1，交OM、ON于点A、B、C、D。

根据“翻折运动”的相关性质和“两点之间，线段距离最短”的原理，可以得到四边形ABCD周长最短。

总之，“将军饮马”问题是一个典型的“线段和最值”问题，可以通过不同的模型和翻折运动来解决。

掌握这些模型和原理，可以帮助我们更好地解决类似的几何问题。

如何使四边形PAQB的周长最小？在数学问题中，我们经常需要优化某些值。

这个问题的目标是最小化四边形PAQB的周长。

为了解决这个问题，我们需要先找到四边形的特征。

四边形PAQB是由四个点P、A、Q和B组成的。

我们可以使用坐标系来表示这些点。

专题08最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精讲)

08 最值模型之将军饮马（11个常考模型）模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。

模型精讲一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。

例11：如图11在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图12。

PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.图12lPABP'lAB图11反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。

【变式】例12 如图13，如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 值最小。

作法：图141.作A 关于直线CD 对称点A’。

2.连A’B 。

3.交点P 就是要求点。

连线长A’B 就是PA+PB 最小值。

【证明】：图15 在l 上任取异于点P 的一点P ´，连接AP ´、BP ´，在△ABP ’中，AP ´+BP ´>AB ，即AP ´+BP ´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小.二、造桥选址，移花接木。