平稳自回归模型的系数估计与应用
运用Eviews软件进行ARIMA模型的识别、诊断、估计和预测
实验五 ARIMA 模型的概念和构造一、实验目的了解AR ，MA 以及ARIMA 模型的特点，了解三者之间的区别联系，以及AR 与MA 的转换，掌握如何利用自相关系数和偏自相关系数对ARIMA 模型进行识别，利用最小二乘法等方法对ARIMA 模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA 模型进行诊断，以及如何利用ARIMA 模型进行预测。
掌握在实证研究如何运用Eviews 软件进行ARIMA 模型的识别、诊断、估计和预测。
二、基本概念所谓ARIMA 模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。
ARIMA 模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA ）、自回归过程（AR ）、自回归移动平均过程（ARMA ）以及ARIMA 过程。
在ARIMA 模型的识别过程中，我们主要用到两个工具：自相关函数(简称ACF ），偏自相关函数(简称PACF)以及它们各自的相关图（即ACF 、PACF 相对于滞后长度描图）。
对于一个序列 来说，它的第j 阶自相关系数(记作 )定义为它的j 阶自协方差除以它的方差，即 j ρ＝ j 0γ ，它是关于j 的函数，因此我们也称之为自相关函数，通常记ACF(j)。
偏自相关函数PACF(j)度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。
三、实验内容及要求 1、实验内容：根据1991年1月～2005年1月我国货币供应量（广义货币M2）的月度时间数据来说明在Eviews3.1 软件中如何利用B-J 方法论建立合适的ARIMA （p,d,q ）模型，并利用此模型进行数据的预测。
2、实验要求：（1）深刻理解上述基本概念；（2）思考：如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则建立合适的ARIMA 模型；如何利用ARIMA 模型进行预测； （3）熟练掌握相关Eviews 操作。
自回归模型的参数估计
自回归模型的参数估计 1.局部调整模型的估计对于局部调整模型*1)1(t t t t u Y X Y +-++=-δδβδα，有t t u u δ=*，假定原模型中随机扰动项t u 满足古典假定，即0)(=t u E ，2)(σ=t u Var ，(,)0i j Cov u u i j =≠则有 ()()**21111(,)()()()0t t t t t tt t C o v u u E uE u uE u E u u δδδδδ----=--==*111(,)(,)(,)0t t t t t t Cov Y u Cov Y u Cov Y u δδ---===由此可见，随机解释变量1-t Y 与i u 不相关；随机扰动项i u 也不存在自相关，因此可以直接用最小二乘法对其进行估计。
具体操作过程如下 例1天津市城镇居民人均消费性支出Y 与人均可支配收入X 的关系 年份 人均消费性支出Y 人均可支配 收入X 年份 人均消费性支出Y 人均可支配收入X 1978 344.88 388.32 1990 731.203 831.9391 1979 381.386139 421.188119 1991 730.4053 849.8296 1980 447.00565 496.158192 1992 788.7386 925.7155 1981 451.981395 501.87907 1993 816.5225 973.7201 1982 459.352451 533.506013 1994 936.2933 1129.362 1983 479.594843 556.45488 1995 999.5327 1212.378 1984 542.169982 658.381555 1996 1055.869 1346.505 1985 616.512 700.416 1997 1139.044 1446.391 1986 710.389222 800.606287 1998 1203.478 1564.131 1987 751.079944 832.741935 1999 1301.497 1701.475 1988 767.168566 797.660468 2000 1366.9211817.89919896712.256276772.892259建立局部调整模型 t t t u X Y ++=βα*，将模型形式转化成下面的形式：*1*1*0*t t t t u Y X Y +++=-ββα然后直接用OLS 法估计模型参数。
实验二：ARMA模型建模与预测实验报告
实验二：A R M A模型建模与预测实验报告(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--课程论文（2016 / 2017学年第 1 学期）课程名称应用时间序列分析指导单位经济学院指导教师易莹莹学生姓名班级学号学院(系) 经济学院专业经济统计学实验二 ARMA模型建模与预测实验指导一、实验目的：学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA 模型的阶数p 和q ，学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。
掌握在实证研究中如何运用Eviews 软件进行ARMA 模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。
二、基本概念：宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。
AR 模型：AR 模型也称为自回归模型。
它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测， 自回归模型的数学公式为:1122t t t p t p t y y y y φφφε---=++++式中: p 为自回归模型的阶数i φ（i=1，2， ，p ）为模型的待定系数，t ε为误差， t y 为一个平稳时间序列。
MA 模型：MA 模型也称为滑动平均模型。
它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。
滑动平均模型的数学公式为:1122t t t t q t q y εθεθεθε---=----式中: q 为模型的阶数； j θ（j=1，2， ，q ）为模型的待定系数；t ε为误差；t y 为平稳时间序列。
ARMA 模型：自回归模型和滑动平均模型的组合， 便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA ， 数学公式为:11221122t t t p t p t t t q t q y y y y φφφεθεθεθε------=++++----三、实验任务：1、实验内容：（1）根据时序图判断序列的平稳性；（2）观察相关图，初步确定移动平均阶数q和自回归阶数p；（3）对某企业201个连续生产数据建立合适的(,)ARMA p q模型，并能够利用此模型进行短期预测。
AR（p）模型参数估计方法比较和实证分析
AR（p）模型参数估计方法比较和实证分析陈杨林;刘业【摘要】对时间序列AR（p）模型的参数估计YULE-WALKER法、最小二乘法、最大似然法三种估计方法进行分析和比较，从模型推导出最小二乘估计、最大似然估计实质上是同一种估计方法，应用MATLAB软件对我国CPI数据建立AR（2）模型并应用3种方法对其参数进行估计、模型检验、预测结果比较，得出的结论与理论推导相符，实证上说明 AR（p）模型参数估计使用最小二乘法和最大似然法估计的结果是一样的。
%By analyzing and comparing YULE-WALKER,least squares method and maximum likelihood es-timation method of time series AR (p)model,least squares method and maximum likelihood estimation method are found essentially the same kind of estimate method.Building China's CPI data AR (2)model by using MATLAB software and then applying three methods to estimate the parameters,check the models and compare the prediction results,the conclusion obtained are found consistent with the theoretical deriva-tion.The empirical analysis shows the estimated results of AR (p)model parameter are the same by using least squares method and maximum likelihood method.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】4页(P124-127)【关键词】AR(p)模型;最小二乘估计;最大似然估计【作者】陈杨林;刘业【作者单位】九江职业技术学院，江西九江 332007;九江职业技术学院，江西九江 332007【正文语种】中文【中图分类】O211.61时间序列分析是数理统计中的一个重要分支是用数理统计和随机过程研究随机数据的规律最早起源于1927年，它在经济、信息等领域的研究和应用越来越活跃，George E.P.Box和 Gwilym M.Jenkins（1979）合著的《Time Series Anaysis －Forecasting and Control》一书［1］引起广泛的重视，但在我国，时间序列分析从70年代末到80年代中后期才得以深入研究和应用。
随机过程的自回归模型
随机过程的自回归模型随机过程是描述随机事件随时间变化的数学模型。
自回归模型是一种常用的随机过程模型，它假设当前时刻的随机变量值与前一时刻以及过去的随机变量值有关。
一、引言随机过程在众多领域中都有广泛的应用，如金融领域的股票价格变动、通信领域的信号传输、天气预测等。
为了更好地描述随机过程中的随机性和变化规律，研究者提出了各种各样的统计模型。
其中，自回归模型是一种重要的方法。
二、自回归模型的基本概念自回归模型是指当前时刻的随机变量值与前一时刻以及过去的随机变量值之间存在一定的关系。
自回归模型可以用数学表达式表示为：X(t) = c + Σ(ai * X(t-i)) + ε(t)其中，X(t)表示当前时刻的随机变量值，c为常数项，ai为系数，X(t-i)表示过去时刻的随机变量值，ε(t)为噪声项。
三、自回归模型的特点1. 随机性：自回归模型中的噪声项ε(t)具有随机性，能够很好地描述随机过程中的不确定性。
2. 滞后效应：自回归模型中的系数ai表示随机变量值与过去时刻的关系，不同的系数对应不同的滞后效应。
3. 参数估计：自回归模型中的系数ai可以通过最小二乘法等统计方法进行估计，得到模型的参数。
四、自回归模型的应用1. 金融领域：自回归模型可以用于股票价格预测、汇率波动预测等金融领域的分析和建模。
2. 信号处理：自回归模型可以用于信号压缩、降噪等信号处理的应用中。
3. 时序数据分析：自回归模型可以用于时序数据的分析和预测，如天气预测、销售预测等。
五、自回归模型的改进和扩展1. 非线性自回归模型：在自回归模型的基础上引入非线性关系，提高模型的拟合能力。
2. 高阶自回归模型：考虑更多过去时刻的随机变量值，提高模型的时序预测能力。
3. 多变量自回归模型：考虑多个随机变量之间的关系，更好地描述多维随机过程。
六、总结自回归模型是一种常用的随机过程模型，能够很好地描述随机性和变化规律。
它在金融、信号处理、时序数据分析等领域有广泛的应用。
差分整合移动平均自回归模型
差分整合移动平均自回归模型差分整合移动平均自回归模型，简称ARIMA模型，是一种常用的时间序列分析方法。
它可以用来对非平稳时间序列进行建模和预测，常用于经济、金融、股票、气象等领域。
本文将介绍ARIMA模型的基本原理、建模方法和应用实例。
一、ARIMA模型的基本原理ARIMA模型是由自回归（AR）、移动平均（MA）和差分（I）三个部分组成的。
其中，自回归部分是指用过去的数据来预测未来的数据，移动平均部分是指用过去的误差来预测未来的数据，差分部分是指对非平稳序列进行差分处理，使其成为平稳序列。
ARIMA模型的一般形式可以表示为ARIMA(p,d,q)，其中p是自回归项数，d是差分次数，q是移动平均项数。
ARIMA模型的基本原理是建立在时间序列的平稳性基础上的。
平稳序列是指时间序列的均值、方差和自协方差函数都不随时间发生变化。
在实际应用中，很多时间序列都是非平稳的，例如股票价格、经济增长率等，这时需要对其进行差分处理，使其成为平稳序列。
二、ARIMA模型的建模方法ARIMA模型的建模方法包括模型识别、参数估计、模型检验和预测四个步骤。
1. 模型识别模型识别是指确定ARIMA模型的阶数。
一般采用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来进行识别。
ACF是指时间序列的自协方差函数，PACF是指在去除其他相关性的影响后，时间序列的自相关函数。
通过观察ACF和PACF的图形，可以确定ARIMA模型的阶数。
一般情况下，如果ACF呈现出指数衰减的趋势，而PACF在某个阶数后截尾，就可以确定AR模型的阶数。
如果ACF和PACF都呈现出指数衰减的趋势，就可以确定MA模型的阶数。
如果ACF呈现出周期性的趋势，就可以确定差分的阶数。
2. 参数估计在确定了ARIMA模型的阶数之后，需要对模型的参数进行估计。
估计方法包括最小二乘估计法、极大似然估计法和贝叶斯估计法等。
其中，最小二乘估计法是指通过最小化残差平方和来估计模型的参数；极大似然估计法是指通过最大化似然函数来估计模型的参数；贝叶斯估计法是指通过贝叶斯公式来估计模型的参数。
自回归模型法
自回归模型法什么是自回归模型法自回归模型法（Autoregressive Model）是一种用于时间序列预测和分析的统计方法。
它基于时间序列中的自相关性，通过使用过去若干时间点的数据来预测未来的观测值。
自回归模型法广泛应用于经济学、金融学、气象学等领域，有助于我们理解时间序列数据的变化规律，进行预测和决策。
自回归模型法的基本原理自回归模型法的基本原理是建立一个线性模型，其中包括时间序列观测值和之前的观测值之间的关系。
它假设当前观测值与之前若干个观测值之间存在一种确定的关系，可以用线性方程来表示，其中过去的观测值是预测当前观测值的重要因素。
自回归模型法具体的形式可以表示为：其中，是当前观测值，是常数项，是自回归系数，是过去的观测值，是误差项。
自回归模型法的关键是确定自回归系数和误差项的取值。
通常使用最小二乘法来估计自回归系数，使得观测值和预测值之间的误差最小化。
通过对时间序列的历史数据进行拟合，可以得到一个自回归模型，用于预测未来观测值。
自回归模型法的应用举例1.经济预测：自回归模型法可以应用于经济领域的预测和决策。
例如，可以使用过去几个季度的经济数据，预测未来几个季度的经济增长率，以指导政府制定宏观经济政策。
2.股票价格预测：自回归模型法可以应用于股票市场的预测和交易决策。
通过分析历史股票价格数据，可以建立一个自回归模型，用于预测未来股票价格的涨跌趋势，帮助投资者做出买入或卖出的决策。
3.气象预测：自回归模型法可以应用于气象学中的天气预测。
通过分析过去几天或几周的气象数据，可以建立一个自回归模型，预测未来几天的气温、降雨量等天气指标，为农作物种植、航空运输等提供参考。
自回归模型法的优缺点自回归模型法具有以下优点：•能够捕捉时间序列数据中的自相关性，提供对未来观测值的预测。
•模型结构简单，易于理解和实现。
•可用于分析和理解时间序列数据的变化规律，揭示隐藏在数据背后的规律和趋势。
然而，自回归模型法也存在一些缺点：•假设观测值之间存在线性关系，可能无法准确描述非线性的时间序列数据。
arima法
arima法Arima法（自回归移动平均模型）是一种广泛应用于时间序列分析和预测的统计方法。
它结合了自回归和移动平均两种模型，并利用历史数据来建立模型，以便对未来的值进行预测。
Arima法被广泛用于经济学、金融学、天气预报、股票市场等领域。
Arima法的原理和使用方法如下：1. AR (AutoRegressive) 模型：自回归模型基于序列自身的历史值来预测未来的值。
该模型假设未来的值与过去的值存在相关性，并且通过自回归系数来描述相关性的程度。
AR模型用于描述序列在时间上的相关性，即当前值与前几个值的关系。
2. MA (Moving Average) 模型：移动平均模型通过过去时间段的预测误差来预测未来的值。
该模型假设预测误差之间存在相关性，并且通过移动平均系数来描述相关性的程度。
MA模型用于描述序列随机波动的特征，即当前值与随机错误的关系。
3. 差分运算：差分运算是指对序列进行一阶或二阶等差分，以减小序列的非稳定性。
通过差分运算，可以将非平稳序列转变为平稳序列，然后应用AR或MA模型进行建模。
4. 模型选择：根据实际情况，选择合适的AR和MA的阶数以及差分阶数。
可以通过自相关图(ACF)和偏自相关图(PACF)来确定模型的阶数。
ACF图表示序列与滞后版本(延迟期数)的相关性，PACF图表示序列与滞后版本之间的直接相关程度。
5. 参数估计：根据历史数据，对ARIMA模型的参数进行估计。
常用的估计方法有最小二乘法、极大似然法和贝叶斯方法等。
6. 模型检验：利用残差序列对模型进行检验。
残差序列应该是一个纯随机序列，即没有任何包含信息的模式。
可以通过自相关图和Ljung-Box统计检验对残差序列进行检验。
7. 模型预测：利用已建立的ARIMA模型对未来值进行预测。
预测的置信区间可以通过残差的标准差来构建。
Arima法的优点在于它能很好地应对非平稳序列，并且能够捕捉到序列中的长期和短期相关性。
同时，Arima法具有较强的预测能力，并能提供预测的置信区间。
平稳时间序列模型
（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它
的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通 过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳 的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
（六） 中国GDPP的 ARMA(p,q)模型
ARMA(1,1) ARMA(2,2)
ARIMA(8,2,7)非对称
p阶自回归模型,简记为AR(p)：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t
0 且 1 1 2 p , Var( x ) t
（二）向量自回归模型定义 VAR（Vector AutoRegression，向量自回归）
•1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 •VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归 模型。
q 阶移动平均模型，
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t
特别当
0
时，称为中心化
MA(q) 模型
二、自回归模型
（一） AR模型的定义 1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st 若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-k)=k 由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1) 0 因此
自回归模型(ar)python求解系数
自回归模型(ar)python求解系数自回归模型（AR）是一种经典的时间序列预测模型，它基于时间序列的自相关性来进行预测。
在本文中，我们将介绍AR模型的基本原理，并使用Python编程语言来求解AR模型的系数。
一、AR模型的基本原理自回归模型是一种基于时间序列的预测模型，它假设未来的观测值与过去的观测值之间存在一定的关系。
AR模型的核心思想是利用过去观测值的线性组合来预测未来观测值。
具体而言，AR模型可以表示为：Y_t = c + φ_1 * Y_{t-1} + φ_2 * Y_{t-2} + ... + φ_p * Y_{t-p} + ε_t其中，Y_t表示时间点t的观测值，c表示常数项，φ_1, φ_2, ..., φ_p表示AR模型的系数，p表示AR模型的阶数，ε_t 表示误差项。
二、AR模型的求解AR模型的求解主要包括两个步骤：模型拟合和模型评估。
1. 模型拟合模型拟合的目标是通过最小化误差项来求解AR模型的系数。
常用的方法是最小二乘法（OLS），即通过最小化观测值与模型预测值之间的平方差来求解系数。
在Python中，我们可以使用statsmodels包中的AR函数来进行AR模型的拟合。
2. 模型评估模型评估的目标是判断AR模型的拟合效果是否良好。
常用的评估指标包括均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）、残差的白噪声检验等。
在Python中，我们可以使用statsmodels包中的相应函数来进行模型评估。
三、使用Python求解AR模型系数的示例下面我们通过一个简单的示例来演示如何使用Python求解AR模型的系数。
```pythonimport numpy as npimport pandas as pdimport statsmodels.api as sm# 生成AR模型的数据np.random.seed(0)n = 1000e = np.random.randn(n)Y = np.zeros(n)Y[0] = 0Y[1] = 1for t in range(2, n):Y[t] = 0.6 * Y[t-1] + 0.3 * Y[t-2] + e[t]# 拟合AR模型model = sm.tsa.AR(Y)result = model.fit(maxlag=2, method='mle')# 输出模型的系数print(result.params)```在上述代码中，我们首先生成了一个AR模型的数据，然后使用statsmodels包中的AR函数拟合了AR模型，并通过调用fit方法求解了AR模型的系数。
ARIMA模型在省级全社会固定资产投资预测中的应用
差序列是否为纯随机序列噪声来进行 。如果残差序
列不是白噪声 ,则意味着残差序列还存在有用信息
未被提取 ,需要进一步改进模型 。
图 5 AR IMA (1, 1, 1)模型的残差图及 Q 检验
对 AR IMA (1, 1, 1)模型的残差项进行白噪声检 验 (见图 5) ,可以得出残差序列相互独立即为白噪 声的概率很大 ,故不能拒绝序列相互独立的原假设 , 且残差通过扩充 ADF 单位根检验 ,所以残差通过白
- 4. 068 1 - 3. 122 2 - 2. 704 2
(二 )模型识别和定阶
1. 做出时间序列 {DLNX}的直到滞后 10 期的 ACF和 PACF图 (见图 3) 。
·106·
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(三 )模型的估计 运用 AR IMA ( 1, 1, 1 )模型来拟和 DLNX 数据 , 估计结果 (见图 4) 。
图 4 自回归估计结果
其拟合方程为 :
DLN Xt
= 0. 1991
+ 0. 4967DLN X t- 1
+
ε t
第八章 平稳时间序列建模(ARMA模型)
p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声
序列。
4
2. 移动平均模型MA(q)
q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程：
ut t 1 t 1 q t q
(5.2.5)
其中：参数 为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动
平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声 序列。
AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。
8
2．MA(q) 模型的可逆性
考察MA(q) 模型
ut (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
2 E ( t ) 0
2
(5.2.16)
t t
qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若
1 1 z 2 z q z 0
在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。
20
4. ARMA(p,q)模型的估计选择
EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点
L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：
(1 1 L 2 L 2 p Lp ) ut c t
自回归移动平均模型公式
自回归移动平均模型公式
自回归移动平均模型（ARMA）是一种经济时间序列分析方法，用于预测未来的观测值。
它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的特点，具有很好的预测性能。
ARMA模型的数学表达式为：
y_t = c + φ₁*y_(t-1) + φ₂*y_(t-2) + ... + φ_p*y_(t-p) + ε_t + θ₁*ε_(t-1) +
θ₂*ε_(t-2) + ... + θ_q*ε_(t-q)
其中，y_t 是时间 t 的观测值，c 是常数项，φ₁, φ₂, ..., φ_p 是自回归系数，表示 t-1, t-2, ..., t-p 时刻 y 值对 t 时刻 y 值的线性影响；ε_t 是时间 t 的误差项，θ₁, θ₂, ..., θ_q 是移动平均系数，表示 t-1, t-2, ..., t-q 时刻的误差对 t 时刻 y 值的影响。
ARMA模型的参数估计可以利用最大似然估计或最小二乘法等方法进行。
根据观测数据的特征，选择合适的 AR 和 MA 阶数是模型建立的关键。
ARMA模型的预测能力在实际应用中被广泛认可。
通过估计模型参数，可以利用过去的观测值来预测未来的观测值。
预测结果可以帮助决策者制定相应的策略和措施。
需要注意的是，ARMA模型在实际应用中可能面临一些限制。
例如，如果数据存在非平稳性或季节性等特征，需要对数据进行预处理或使用其他模型进行分析。
总之，自回归移动平均模型是一种常用的时间序列分析工具，通过结合自回归和移动平均的特点，提供了对未来观测值的预测能力。
在实际应用中，应根据数据特征选择合适的阶数，并结合其他方法进行验证和优化，以达到更好的预测效果。
一种基于自回归模型的间谐波谱估计的改进算法
一种基于自回归模型的间谐波谱估计的改进算法
马秉伟;刘会金;周莉;崔福鑫
【期刊名称】《中国电机工程学报》
【年(卷),期】2005(25)15
【摘要】间谐波的频率是基频的非整数倍,频谱随时间而变化,具有随机性,因此间谐波是随机信号。
该文首先介绍平稳随机信号的AR模型和Burg算法的基本原理,然后分析Burg算法在处理正弦信号时出现谱峰偏移的原因。
在此基础上该文提出了一种基于AR模型的间谐波谱估计改进算法。
该算法通过直接求解在预测误差功率最小意义下的较低阶AR模型系数,再递推计算高阶系数,减小了谱估计的谱峰偏移。
仿真结果表明,该算法明显改善了谱估计的性能,而且只要用比较短的数据即可得出较好的间谐波谱估计。
【总页数】5页(P79-83)
【关键词】电能质量;间谐波;自回归模型;Burg算法
【作者】马秉伟;刘会金;周莉;崔福鑫
【作者单位】武汉大学电气工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TM711;TM76
【相关文献】
1.基于求根多重信号分类和遗传算法的谐波间谐波频谱估计 [J], 高培生;谷湘文;吴为麟
2.基于Prony算法的谐波和间谐波频谱估计 [J], 丁屹峰;程浩忠;吕干云;占勇;孙毅斌;陆融
3.基于最小方差递推算法的电力系统间谐波谱估计仿真分析 [J], 李明
4.一种用于电力系统间谐波谱估计的高分辨率算法 [J], 李明
5.基于AR模型的牵引网谐波与间谐波谱估计 [J], 郭晓旭
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时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种用来处理时间变化数据的统计分析方法。
它将观测数据按照时间顺序进行排列，并利用过去的数据来预测未来的发展趋势。
在时间序列分析中，通常会使用一些常见的模型，如自回归（AR）、移动平均（MA）和自回归移动平均（ARMA）模型。
自回归模型（AR）是时间序列分析中最基本的模型之一。
它假设未来的观测值可以通过当前和过去的观测值来预测。
AR 模型的数学表达式为：Y_t = c + ∑(φ_i * Y_t-i) + ε_t其中，Y_t表示第t个观测值，c表示常数，φ_i表示第i个滞后的自回归系数，ε_t表示误差项。
通过对AR模型进行参数估计，可以得到最优的系数估计值，从而进行未来观测值的预测。
移动平均模型（MA）是另一种常见的时间序列分析模型。
它假设未来的观测值可以通过当前和过去的误差项来预测。
MA 模型的数学表达式为：Y_t = μ + ∑(θ_i * ε_t-i) + ε_t其中，Y_t表示第t个观测值，μ表示均值，θ_i表示第i个滞后的移动平均系数，ε_t表示误差项。
通过对MA模型进行参数估计，可以得到最优的系数估计值，从而进行未来观测值的预测。
自回归移动平均模型（ARMA）是将AR模型和MA模型结合起来的一种复合模型。
它假设未来的观测值可以通过当前观测值、滞后观测值和误差项来预测。
ARMA模型的数学表达式为：Y_t = c + ∑(φ_i * Y_t-i) + ∑(θ_i * ε_t-i) + ε_t其中，Y_t表示第t个观测值，c表示常数，φ_i表示第i个滞后的自回归系数，θ_i表示第i个滞后的移动平均系数，ε_t表示误差项。
通过对ARMA模型进行参数估计，可以得到最优的系数估计值，从而进行未来观测值的预测。
总之，时间序列分析模型是一种通过利用过去数据来预测未来数据的统计分析方法。
其中，自回归模型、移动平均模型和自回归移动平均模型是一些常见的时间序列分析模型。
通过对这些模型进行参数估计，可以得到最优的预测结果。
利用eviews实现时间序列的平稳性检验与协整检验以及GARCH模型
在对时间序列Y、X1进行回归分析时需要考虑Y与X1之间是否存在某种切实的关系，所以需要进行协整检验。
1.1利用eviews创建时间序列Y、X1 ：打开eviews软件点击file-new-workfile，见对话框又三块空白处workfile structure type处又三项选择，分别是非时间序列unstructured/undate，时间序列dated-regular frequency，和不明英语balance panel。
选择时间序列dated-regular frequency。
在date specification中选择年度，半年度或者季度等，和起始时间。
右下角为工作间取名字和页数。
点击ok。
在所创建的workfile中点击object-new object，选择series，以及填写名字如Y，点击OK。
将数据填写入内。
1.2对序列Y进行平稳性检验：此时应对序列数据取对数，取对数的好处在于可将间距很大的数据转换为间距较小的数据。
具体做法是在workfile y的窗口中点击Genr，输入logy=log(y),则生成y的对数序列logy。
再对logy序列进行平稳性检验。
点击view-United root test，test type选择ADF检验，滞后阶数中lag length选择SIC 检验，点击ok得结果如下：Null Hypothesis: LOGY has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=1)t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller teststatistic -2.75094601716637 0.0995139988900359Test critical values: 1% level -4.297072756022265% level -3.2126963902622510% level -2.74767611540013当检验值Augmented Dickey-Fuller test statistic的绝对值大于临界值绝对值时，序列为平稳序列。
基于Lasso及Adaptive Lasso的AR(p)模型定阶及参数估计
基于Lasso及Adaptive Lasso的AR(p)模型定阶及参数估计谢仪;高雪;景英川【摘要】Lasso类方法可以同时实现变量选择与参数估计,将之运用于AR(p)模型的定阶及参数估计,可以大大简化计算步骤和时间.本文在前人基础上利用Lasso类方法,改进了AR(p)模型的定阶与参数估计,通过计算机编程模拟,验证了此类方法的可行性,并比较了在不同样本量情况下,Lasso和Adaptive Lasso方法在定阶和参数估计两方面的优良性,最后将较优的Adaptive Lasso 方法用于实际时间序列数据中,并对结果进行分析,指出了该方法的实用性.【期刊名称】《浙江工业大学学报》【年(卷),期】2014(042)004【总页数】5页(P463-467)【关键词】AR(p)模型;Lasso;Adaptive Lasso;模型定阶;参数估计【作者】谢仪;高雪;景英川【作者单位】太原理工大学数学学院,山西太原030024;太原理工大学数学学院,山西太原030024;太原理工大学数学学院,山西太原030024【正文语种】中文【中图分类】O211.61AR(p)模型又称为自回归模型，是时间序列分析中最基本也是最常用的一种模型，只要时间序列服从平稳性、正态性，我们就可以选择AR(p)模型来对数据进行模拟.传统方法要建立一个完整的AR(p)模型，需要模型定阶和参数估计两个步骤.Tibshirani(1996)[1]提出了新的变量选择技术Lasso，其主要思想是利用L1惩罚项在原点的奇异性，将一些不重要的变量系数压缩到0，即剔除此变量，这样一方面可以实现自变量选择，另一方面也实现了参数估计。
由于Lasso方法计算快、难度小，且其参数估计具有连续性，为此学者们在Lasso方法上深入研究、不断改进，提出了很多基于Lasso的模型选择方法，例如Adaptive Lasso[2]和Relaxed Lasso[3]等.受此启发，若将Lasso类方法应用于AR(p)模型的定阶和参数估计，便可以将这两个步骤合二为一，大大简化计算过程，提高计算效率.陈阳等[4]已经在理论上证明了Adaptive Lasso在AR(p)模型定阶及参数估计中的优良性质,但其并未进行模拟研究.笔者从实证角度出发，将系统阐述Lasso，Adaptive Lasso这两种变量选择技术，并利用这两种技术改进AR(p)模型的参数估计及定阶.通过计算机编程，模拟时间序列，验证此方法的可行性，并比较Lasso和Adaptive Lasso，将其中较优的方法运用于实例当中.1 Lasso与Adaptive Lasso1.1 Lasso考虑通常的线性回归模型：Y=Xβ+εTibshirani(1996)[1]受Bireman(1995)[5]的非负套索(Nonnegative)启发，打破传统模型选择思维模型，提出了新的的变量选择技术Lasso，即Least Absolute Shrinkage and Selection Operator.其方法的参数估计如下：Efron(2004)[6]提出的最小角回归算法(Least angle regression,简称LARS)；Friedman(2007)[7]提出的循环坐标下降算法(Cyclic coordinate descent，简称CCD)等，都可以完成Lasso的求解问题.1.2 Adaptive Lasso由于Lasso估计对所有系数都给予相同程度的惩罚，因此Zou(2006)[2]提出了Adaptive Lasso，其形式为式中：为权重系数，为第j个参数的初始估计值，可以选用最小二乘估计值，岭估计值以及Lasso估计值.与Lasso方法不同的是，Adaptive Lasso使用了不同的权重系数，用较小的权重惩罚回归系数较大的变量，用较大的权重惩罚回归系数较小的变量.2 AR(p)模型简介如果{εt}是白噪声WN(0,σ2)，实数β1,β2,…,βp(βp≠0)使得多项式Β(z)的零点都在单位圆外，即就称p阶差分方程是一个p阶自回归模型，简称为AR(p)模型.若得到观测数据X1,X2,…,Xn，用其拟合一个正确的AR(p)模型一般要经过模型定阶和参数估计两个步骤.模型定阶即确定自回归阶数p的值，AIC准则与BIC准则是目前应用最广的方法.参数估计即确定自回归系数β1,β2,…,βp的值，一般最小二乘估计或者Durbin-Levinson递推算法[8]均可求得.3 AR(p)模型定阶与参数估计的Lasso类方法由于Lasso类方法能够同时实现变量筛选和参数估计，若将之运用于AR(p)模型的定阶与参数估计，便可将传统的AIC定阶后利用最小二乘法进行参数估计这两个步骤简化为一步，提高计算效率.我们定义步骤如下：在获得观测数据X1,X2,…,Xn后，先假设AR(p)的阶数为m，根据经验，m值可以取,,logN，令Y=(Xm+1,Xm+2,…,Xn)Tβ=(β1,β2,…,βm)T建立回归方程，即Y=Xβ+ε式中ε=(ε1,…,εn-m)为随机误差.由Lasso类方法得到的参数估计值为，其中第一个为0的系数的下标为t，那么t-1就是AR(p)模型的真实阶数.利用R软件的lars package可以得到Lasso方法的参数估计，其采用的是LARS[6]算法；msgps package可以得到Adaptive Lasso方法的参数估计，其采用的是广义路径搜索方法.4 模拟设计4.1 数据模拟本模拟主要考虑AR(3)模型的定阶及参数估计问题，假设所要研究的模型分别为模型Ⅰ：Xt=Xt-1-0.9Xt-2+0.8Xt-3+εt模型Ⅱ：Xt=0.7Xt-1-Xt-2+0.5Xt-3+εt式中：{εt,t=1,2,…,n}为独立同N(0,1)分布.取样本容量n=50,100,150，对每种样本量的选择，模拟重复100次.当n=50时，假设初始阶数为4阶；当n=100时，假设初始阶数为5阶；当n=150时，假设初始阶数为6阶.模拟过程如下：1) 取初值X1=X2=X3=1.对于给定的样本容量n，用计算机产生n+100个正态N(0,1)随机数.2) 由初值X1=X2=X3=1以及产生的n+100个正态随机数，根据递推关系Xt=Xt-1-0.9Xt-2+0.8Xt-3+εt以及Xt=0.7Xt-1-Xt-2+0.5Xt-3+εt，产生n+100个，但只取后n个作为模型的模拟数据.这样做是为了消除确定性初值X1=X2=X3=1的影响，保证的随机性.3) 对于得到的n个，分别计算出自回归系数的Lasso和Adaptive Lasso估计值.从而确定出模型的阶数以及参数.4) 将1)—3)步重复100次，计算出每种方法正确定阶的次数以及在正确定阶前提下系数估计值的平均值.5) 对于不同的样本量n，重复1)—4)步.4.2 模拟结果由模拟结果可得到结论：1) 样本量越大正确定阶的概率越大，当n=150时，Lasso方法定阶的正确率最高可以达到65%，Adaptive Lasso方法定阶的正确率最高可以达到77%；2) Adaptive Lasso方法在AR(p)模型定阶方面要优于Lasso 方法；3) Lasso，Adaptive Lasso方法都能较好的实现AR(p)模型的参数估计，两种方法并没有明显差别，如表1，2所示.表1 AR(p)模型的定阶结果Table 1 The result of order determination for AR(p) model模型样本量估计方法定阶正确率/%模型Ⅰn=50n=100n=150Lasso61Adaptive Lasso73Lasso64AdaptiveLasso77Lasso65Adaptive Lasso77模型Ⅱn=50n=100n=150Lasso58Adaptive Lasso74Lasso63AdaptiveLasso75Lasso63Adaptive Lasso75表2 AR(p)模型的参数估计结果Table 2 The result of parameter estimationfor AR(p) model模型样本量估计方法系数估计值的平均值β1β2β3模型Ⅰn=50n=100n=150LassoAdaptive LassoLassoAdaptive LassoLassoAdaptive Lasso0.910.920.950.980.940.95-0.80-0.86-0.83-0.88-0.82-0.870.700.700.730.750.750.75模型Ⅱn=50n=100n=150LassoAdaptive LassoLassoAdaptive LassoLassoAdaptive Lasso0.640.590.650.650.600.66-0.97-0.94-0.95-0.98-0.94-0.970.460.390.480.440.450.445 应用举例表3是某市2002—2011年各月的工业生产总值，其数据记为Xt.对2002—2010年的数据用Adaptive Lasso方法拟合一个AR(p)模型，2011年的数据用于预测，检验所拟合的模型是否合理.数据来自于统计预测和决策[9].由图1可见：随着时间的推移，数据Xt呈现周期变化，并且有明显的增加趋势.因此对Xt进行一次季节差分，记差分后的数据为Yt，Yt=Xt-Xt-12，差分后的结果如图2所示.再对Yt进行零均值化处理，.图1 Xt的折线图Fig.1 Line chart of Xt图2 Xt季节差分后的折线图Fig.2 Line chart of Xt after seasonal difference表3 某市2002—2011年各月工业生产总值Table 3 The gross industry production in 2002-2011 of every month年月工业总产值/万元2002.01—2002.0610.939.3411.0010.9811.2911.842002.07—2002.1210.6210.9012.7712.1512.2412.302003.01—2003.069.9110.2410.4110.4711.5112.452003.07—2003.1211.3211.7312.6113.0413.1414.152004.01—2004.0610.8510.3012.7412.7313.0814.272004.07—2004.1213.1813.7514.4214.5714.2515.862005.01—2005.0612.9411.4314.3614.5714.2515.862005.07—2005.1215.1815.9416.5416.9016.8818.102006.01—2006.0613.7010.8815.7916.3617.2217.752006.07—2006.1216.6216.9617.9616.4017.5119.732007.01—2007.0613.7312.8515.6816.7917.5918.512007.07—2007.1216.8017.2720.8319.1821.4023.762008.01—2008.0615.7313.1417.2417.9318.8219.122008.07—2008.1217.7019.8721.1721.4422.1422.452009.01—2009.0617.8816.0020.2921.0321.7822.512009.07—2009.1221.5522.0122.6823.0224.5524.672010.01—2010.0619.6117.1522.4623.1923.4026.262010.07—2010.1222.9124.0323.9424.1225.8728.252011.01—2011.0620.9917.0423.1624.9626.2027.892011.07—2011.1224.7726.3226.7526.5128.5731.14将平稳化和零均值化后的96个数据进行拟合，假设要拟合的模型阶数为5，令Y=(X6,X7,…,X96)Tβ=(β1,β2,β3,β4,β5)T运用Adaptive Lasso方法，得到结果如表4所示.表4 运行结果Table 4 The computational resultβ1β2β3β4β50.402 130000故修正阶数为1，对Zt拟合的模型为Zt=0.402Zt-1+εt再根据Zt与Yt，Xt之间的关系可以得到Xt=0.402Xt-1+Xt-12-0.402Xt-13+0.902+εt利用得到的模型对2011年的数据进行预测，得到结果如表5所示。
应用时间序列分析试卷一
应用时间序列分析（试卷一）一、 填空题1、拿到一个观察值序列之后，首先要对它的平稳性和纯随机性进行检验，这两个重要的检验称为序列的预处理。
2、白噪声序列具有性质纯随机性和方差齐性。
3、平稳AR （p ）模型的自相关系数有两个显著的性质：一是拖尾性；二是呈负指数衰减。
4、MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内，等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外。
5、AR （1）模型的平稳域是{}11<<-φφ。
AR （2）模型的平稳域是{}11,12221<±<φφφφφ且，二、单项选择题1、频域分析方法与时域分析方法相比（D ）A 前者要求较强的数学基础，分析结果比较抽象，不易于进行直观解释。
B 后者要求较强的数学基础，分析结果比较抽象，不易于进行直观解释。
C前者理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于解释。
D后者理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于解释。
2、下列对于严平稳与宽平稳描述正确的是（D）A宽平稳一定不是严平稳。
B严平稳一定是宽平稳。
C严平稳与宽平稳可能等价。
D对于正态随机序列，严平稳一定是宽平稳。
3、纯随机序列的说法，错误的是（B）A时间序列经过预处理被识别为纯随机序列。
B纯随机序列的均值为零，方差为定值。
C在统计量的Q检验中，只要Q 时，认为该序列为纯随机序列，其中m为延迟期数。
D不同的时间序列平稳性检验，其延迟期数要求也不同。
4、关于自相关系数的性质，下列不正确的是（D）A. 规范性；B. 对称性；C. 非负定性；D. 唯一性。
5、对矩估计的评价，不正确的是（A）A. 估计精度好；B. 估计思想简单直观；C. 不需要假设总体分布；D. 计算量小（低阶模型场合）。
6、关于ARMA模型，错误的是（C）A ARMA模型的自相关系数偏相关系数都具有截尾性。
B ARMA模型是一个可逆的模型C 一个自相关系数对应一个唯一可逆的MA模型。
最佳子集自动回归模型的系数
最佳子集自动回归模型的系数
最佳子集自动回归模型（BestSubsetAutoregressiveModel）是一种用于时间序列数据分析的建模方法，它通过选择最佳的子集来确定模型的自
变量。
具体而言，最佳子集自动回归模型会考虑所有可能的自
变量组合，然后根据某个评价指标选择最佳的自变量组合作为
最终的模型。
在最佳子集自动回归模型中，每一个自变量都可以被选择或
被排除，因此模型的系数会根据选择的自变量组合不同而不同。
系数反映了自变量对因变量的影响程度，它们表示了单位自变
量变化对因变量的影响大小。
1.构建所有可能的自变量组合：根据时间序列数据的特征，
确定需要考虑的自变量集合，并构建所有可能的自变量组合。
2.计算评价指标：对于每一个自变量组合，计算适当的评价
指标，以衡量模型的拟合程度和预测能力。
常用的评价指标包
括残差平方和、赤池信息准则（AIC）、贝叶斯信息准则（BIC）等。
3.选择最佳的自变量组合：根据评价指标的值，选择最佳的
自变量组合作为最终的模型。
4.估计模型系数：对于选择的最佳自变量组合，通过最小二
乘法或其他适当的方法，估计模型的系数。
需要注意的是，最佳子集自动回归模型的选择和估计过程可能会涉及到复杂的数值计算和搜索算法，具体的实现方式会根据具体的软件工具和计算环境而有所不同。
最后，通过最佳子集自动回归模型得到的系数可以用于解释自变量对因变量的影响，以及进行预测和预测误差分析等。
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第31卷 第15期2009年8月武 汉 理 工 大 学 学 报JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVo l.31 N o.15 A ug.2009DOI:10.3963/j.issn.1671-4431.2009.15.036平稳自回归模型的系数估计与应用张子杰1,张 晖2,高淑荣1(1.河北工程技术高等专科学校,沧州061001;2.中国铁路物资总公司,北京100032)摘 要: 在自然科学及经济学的很多领域,需对以往记录的数据进行时序分析,确定出随机模型,然后对未来可能出现的结果进行预报。
A R (n ,0)是适应范围较广的一类模型,使用时必须由样本对参数作出估计。
文中对A R (n ,0)模型的参数估计公式进行推导,并用一个实例给出A R (3,0)模型在预报问题中的应用。
关键词: 时间序列; AR 模型; 自相关函数; 自回归方程中图分类号: T B 114文献标识码: A文章编号:1671-4431(2009)15-0135-03Paper Makes Estimation and Application on Coefficient forStable Automatic Regression ModelZH AN G Zi -j ie 1,ZHAN G H ui 2,GAO Shu -rong 1(1.Hebei Engineering and T echnical College,Cang zhou 061001,China;2.China Railw ay M ater ials Co mmercial Co rp,Beijing 100032,China)Abstract : In many fields of natur al science and economics,the previous recorded data are needed to have time -sequence analysis so as to determine the random model.T hen the predictio n is made on the would -be result.A R (n,0)is a w idely applied model,which makes estimation on coefficient by means of sample if applicable.T his is a deduction on the estimation formula for the coefficient o f A R (n,0)model and shows ho w A R (3,0)model is applied to prediction by means of ex ample..Key words: t ime series; AR model; sel-f relative function; autor eg ressive equation收稿日期:2009-03-26.作者简介:张子杰(1954-),男,副教授.E -mail:zhangzijie01@1 问题的提出在时序分析中,设X t 为平稳时间序列,称X t -U 1X t-1-U 2X t-2-,-U n X t -n =a t(1)为n 阶平稳自回归模型[1],记为A R (n ,0),称U 1、U 2,U n 为自回归系数。
A R (n ,0)模型是用概率统计的方法分析随时间变化的随机数据序列,描述平稳时间序列X t 自身某一时刻和前n 个时刻的相互关系。
由于它形式简单,用这种模型对数据进行拟合是比较方便的。
同时它还便于分析数据的结构和内在性质,也便于在最小方差意义下进行最佳预报。
因此,它的应用范围是广泛的。
但在使用模型解决实际问题时,应首先确定模型的系数。
在相关文献中,易查阅到自相关函数满足yule -w alker 方程[2],但未提及由样本确定自回归系数问题。
2 AR (n,0)模型的系数估计为方便起见,不妨设X c t 为中心化的平稳时间序列,则自回归模型A R (n ,0)可改写为X c t =U 1X c t-1+U 2X c t-2+,+U n X c t-n +a ct(2)其中误差a c t )N (0,R 2a )。
此时AR (n ,0)的系数满足yule-Walker 方程。
U 1+U 2Q (1)+,+U n Q (n -1)=Q (1)U 1Q (1)+U 2+,+U n Q (n -2)=Q (2),U 1Q (n -1)+U 2Q (n -2)+,+U n =Q(n)(3)方程组(3)的解U 1,U 2,,,U n 即为A R (n ,0)模型的系数。
在实际应用中,用样本自相关函数r (k )代替总体值Q (k ),得到U i 的估计值U ^i 满足的n 元方程组U ^1+U ^2r (1)+,+U ^n r (n -1)=r (1)U ^1r (1)+U ^2+,+U ^n r (n -2)=r (2),U ^1r (n -1)+U ^2(n -2)+,+U ^n =r (n)(4)式中r (k ),k =1,2,,n 由下式确定r (k )=1S 2(n -k)E n-k t=1X t X t+k(5)此处,X t 为中心化的样本值,S 2为样本方差[3]。
用递推法求式(4)的解,设式(4)的解U ^k =U ^nk (k =1,2,,,n)当n =1时,有 U ^11=r (1)当n =2时,有U ^21+U ^22r (1)=r (1)U ^21r (1)+U ^22=r (2)由克莱姆法则,并利用U ^11=r (1)得U ^22=r (2)-U ^11r (1)1-U ^11r (1)U ^21=U ^11-U ^22U ^11当n =3时,有U ^31+U ^32r (1)+U ^33r (2)=r (1)U ^31r (1)+U ^32+U ^33r (1)=r (2)U ^31r (2)+U ^32r (1)+U ^33=r (3)(6)可求得U ^31=U ^21-U ^33U ^22U ^32=U ^22-U ^33U ^21(7)将式(7)代入式(6)得U ^33=r (3)-U ^21r (2)-U ^22r (1)1-U 21r (1)-U 22r (2)一般地,设U ^ij 表示i 阶自回归模型的第j 个估计参数,由数学归纳法可得U ^n+1,n+1=r (n +1)-E nj =1U ^nj r (n +1-j )1-Enj =1U ^nj r (j )U ^n+1,j =U ^nj -U ^n+1,n+1U ^n,n+1-j j =1,2,,,n(8)将式(8)参数代入式(2),可得n 阶自回归预报方程X ^t =U ^1X t-1+U ^2X ^t -2+,+U ^n X t -n式中,X ^t 为中心化的估计(预报)值。
136 武 汉 理 工 大 学 学 报 2009年8月3 应用实例应用AR (3,0)模型,由水文站(数据资料是学生实习时得到的)给出的资料(见表1),对2005年流量作出预报。
表1 样本自相关函数计算表年份年平均流量Q t /(m 3#s-1)流量距平均值Q c t =Q t - Q k =0k =1k =2k =3(Q c t )2Q c t +1Q c t Q ct +1Q c t +2Q c t Q ct +2Q c t +3Q c t Q c t +31990590-45.32052.09-95.34317.09-95.34317.09-15.3693.091991540-95.39082.09-95.39082.09-15.31458.0984.7-8071.911992540-95.39082.09-15.31458.0984.7-8071.9124.7-2353.911993620-15.3234.0984.7-1295.9124.7-377.9124.7-377.91199472084.77174.0924.72092.0924.72092.09-15.3-1295.91199566024.7610.0924.7610.09-15.3-377.91-165.3-4082.91199666024.7610.09-15.3-377.91-165.3-4082.91-135.3-3341.911997620-15.3234.09-165.32529.09-135.32070.09-85.31305.091998470-165.327324.09-135.322365.09-85.314100.09194.7-32583.911999500-135.318306.09-85.311541.09194.7-26342.91184.724989.912000550-85.37276.09194.7-16607.91184.7-15754.9124.7-2106.912001830194.737908.09184.735961.0924.74809.09114.722332.092002820184.734114.0924.74562.09114.721185.09200366024.7610.09114.72833.092004750114.713156.09合计9530167773.3579069.26-4976.83-54474.92平均635.311184.895647.8-382.83-4539.581)均值 Q =115E 15t=1Q t =635.32)方差 S 2=115E 15t=1(Q c t )2=11184.893)自相关函数 r (k )=1S 2(15-k )E 15-kt=1Q c t Q ct +k k =0,1,2,3r (0)=1,r (1)=5647.8/11184.89=0.5049,r (2)=-382.83/11184.89=-0.0342,r (3)=-4539.58/11184.89=-0.4059。
4)回归系数U ^11=r (1)=0.5049 U ^22=r (2)-U ^11r (1)1-U ^11r (1)=-0.388U ^21=U ^11-U ^22U ^11=0.7008 U ^33=r (3)-U ^21r (2)-U ^22r (1)1-U ^21r (1)-U ^22r (2)=-0.2939U ^31=U ^21-U ^33U ^22=0.5868 U ^32=U ^22-U ^33U ^21=-0.1825)自回归预报方程 Q ^t =0.5868Q c t -1-0.182Q c t-2-0.2939Q ct-36)2005年预报值Q 05=Q ^05+ Q =0.5868Q c 04-0.182Q c 03-0.2939Q c02+ Q=0.5868@114.7-0.182@24.7-0.2939@184.7+635.3=643.88经检验,此预报与实际情况相符合。