平稳自回归模型的系数估计与应用

第31卷 第15期2009年8月

武 汉 理 工 大 学 学 报

JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Vo l.31 N o.15 A ug.2009

DOI:10.3963/j.issn.1671-4431.2009.15.036

平稳自回归模型的系数估计与应用

张子杰1,张 晖2,高淑荣

1

(1.河北工程技术高等专科学校,沧州061001;2.中国铁路物资总公司,北京100032)

摘 要: 在自然科学及经济学的很多领域,需对以往记录的数据进行时序分析,确定出随机模型,然后对未来可能出现的结果进行预报。A R (n ,0)是适应范围较广的一类模型,使用时必须由样本对参数作出估计。文中对A R (n ,0)模型的参数估计公式进行推导,并用一个实例给出A R (3,0)模型在预报问题中的应用。关键词: 时间序列; AR 模型; 自相关函数; 自回归方程中图分类号: T B 114

文献标识码: A

文章编号:1671-4431(2009)15-0135-03

Paper Makes Estimation and Application on Coefficient for

Stable Automatic Regression Model

ZH AN G Zi -j ie 1,ZHAN G H ui 2,GAO Shu -rong 1

(1.Hebei Engineering and T echnical College,Cang zhou 061001,China;2.China Railw ay M ater ials Co mmercial Co rp,Beijing 100032,China)

Abstract : In many fields of natur al science and economics,the previous recorded data are needed to have time -sequence analysis so as to determine the random model.T hen the predictio n is made on the would -be result.A R (n,0)is a w idely applied model,which makes estimation on coefficient by means of sample if applicable.T his is a deduction on the estimation formula for the coefficient o f A R (n,0)model and shows ho w A R (3,0)model is applied to prediction by means of ex ample..

Key words: t ime series; AR model; sel-f relative function; autor eg ressive equation

收稿日期:2009-03-26.作者简介:张子杰(1954-),男,副教授.E -mail:zhangzijie01@

1 问题的提出

在时序分析中,设X t 为平稳时间序列,称

X t -U 1X t-1-U 2X t-2-,-U n X t -n =a t

(1)

为n 阶平稳自回归模型[1],记为A R (n ,0),称U 1、U 2,U n 为自回归系数。

A R (n ,0)模型是用概率统计的方法分析随时间变化的随机数据序列,描述平稳时间序列X t 自身某一时刻和前n 个时刻的相互关系。由于它形式简单,用这种模型对数据进行拟合是比较方便的。同时它还便

于分析数据的结构和内在性质,也便于在最小方差意义下进行最佳预报。因此,它的应用范围是广泛的。但在使用模型解决实际问题时,应首先确定模型的系数。在相关文献中,易查阅到自相关函数满足yule -w alker 方程[2],但未提及由样本确定自回归系数问题。

2 AR (n,0)模型的系数估计

为方便起见,不妨设X c t 为中心化的平稳时间序列,则自回归模型A R (n ,0)可改写为

X c t =U 1X c t-1+U 2X c t-2+,+U n X c t-n +a c

t

(2)

其中误差a c t )N (0,R 2

a )。此时AR (n ,0)的系数满足yule

-Walker 方程。U 1+U 2Q (1)+,+U n Q (n -1)=Q (1)U 1Q (1)+U 2+,+U n Q (n -2)=Q (2),

U 1Q (n -1)+U 2Q (n -2)+,+U n =Q

(n)(3)

方程组(3)的解U 1,U 2,,,U n 即为A R (n ,0)模型的系数。

在实际应用中,用样本自相关函数r (k )代替总体值Q (k ),得到U i 的估计值U ^

i 满足的n 元方程组

U ^

1+U ^

2r (1)+,+U ^

n r (n -1)=r (1)U ^

1r (1)+U ^

2+,+U ^

n r (n -2)=r (2),

U ^

1r (n -1)+U ^

2(n -2)+,+U ^

n =r (n)

(4)

式中r (k ),k =1,2,,n 由下式确定

r (k )=1

S 2

(n -k)

E n-k t=1

X t X t+k

(5)

此处,X t 为中心化的样本值,S 2为样本方差

[

3]

。

用递推法求式(4)的解,设式(4)的解U ^

k =U ^

nk (k =1,2,,,n)当n =1时,有 U ^

11=r (1)当n =2时,有

U ^

21+U ^

22r (1)=r (1)U ^

21r (1)+U ^

22=r (2)

由克莱姆法则,并利用U ^

11=r (1)得

U ^

22=r (2)-U ^

11r (1)1-U ^

11r (1)

U ^21=

U ^11-U ^22U ^

11当n =3时,有

U ^

31+U ^

32r (1)+U ^

33r (

2)=r (1)U ^

31r (1)+U ^

32+U ^

33r (1)=r (2)U ^

31r (2)+U ^

32r (1)+U ^

33=r (3)

(6)

可求得

U ^

31=U ^

21-U ^

33U ^

22U ^

32=U ^

22-U ^

33U ^

21

(7)

将式(7)代入式(6)得

U ^

33=r (3)-U ^

21r (2)-U ^

22r (1)1-U 21r (1)-U 22r (2)

一般地,设U ^

ij 表示i 阶自回归模型的第j 个估计参数,由数学归纳法可得

U ^

n+1,

n+1

=

r (n +1)-E n

j =1

U ^

nj r (n +

1-j )

1-E

n

j =1

U ^

nj r (j )

U ^

n+1,j =U ^

nj -U ^

n+

1,n+1U ^

n,n+1-j j =1,2,,,n

(8)

将式(8)参数代入式(2),可得n 阶自回归预报方程

X ^

t =U ^

1X t-1+U ^

2X ^

t -2+,+U ^

n X t -n

式中,X ^

t 为中心化的估计(预报)值。

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