最新4.2平行线分线段成比例课件PPT完整版
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4.2平行线分线段成比例++课件+2024—2025学年北师大版数学九年级上册

探究新知
如果把直线 n 向左平移到 过A1的位置,并把图中的部分线擦去,
得到新的图形,那么基本事实中的对应线段是否仍然成比例?
A1 ( ) A2
B1
a
B2
b
A1(B1)
A2
B2
A3 m
B3 c n
A3
B3
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例。
用几何语言表述为:
A字型
∵DE∥BC, ∴ADDB=AECE,AADB=AACE,BADB=AECC.
基本事实
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
A1 B1
A2
B2
A3
Hale Waihona Puke 三平两斜型a bB3 c
∵ a∥b∥c
∴
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3 A1 A3 B1B3
例1
如图,AD∥BE ∥CF,直线m,n与这三条平行线分别交于A,B,C和 D,E,F, 已知AB=5,BC=10,DE=4,则EF的长为( ) A.12.5 B.12 C.8 D.4
课堂小结 平
行 线 分 线 段 成 比 例
三
一个基本事实
个
一个推论
一
一个口诀
两个模型: 三平两斜型 A字型
数形结合 三
个
分类讨论
思
想
由特殊到一般再到特殊
感谢聆听
复习回顾
1.什么叫线段的比? 2.什么叫成比例线段? 3.比例的基本性质是什么?
探究新知
平行线分线段成比例
如图所示,小方格的边长都是1,直线 a∥b∥c,分别交
直线 m,n于A1,A2,A3,B1,B2,B3.
初中数学北师大版九年级上册《42平行线分线段成比例》课件PPT

A.12.5
B.12
C.8
D.4
【分析】∵AD∥BE∥CF,∴ABCB=DEFE, 即150=E4F,解得 EF=8.故选 C.
练习1
C
练习2
B
如图,直线a∥b∥ c,由平行线分线段成比例的基本事实,我们可
以得出图中对应成比例的线段,
A1 A2
A3 m
B1
a
B2
b
B3 c n
直线 n 向左平移到 A1 的位置,说说图中有哪些线段成比例? 把图中的部分线擦去,得到新的图形,刚刚所说的线段是否仍然成比
A
E C
练习 1 如图,在△ABC 中,BD 是 AC 边上的中线,BE=AB,
EM∥BD,AE 与 BD 相交于点 F.求证:BACB=AEFF.
证明:∵EM∥BD, ∴BBCE=DCMD ,AEFF=DAMD , 而 BD 是 AC 边上的中线, ∴AD=CD,∴BBCE=AEFF. 又∵BE=AB,∴ABCB=AEFF.
平行线分线段成比例
北师大版初中数学九年级上册课件
新知导入
目
新知讲解
录
知识巩固
拓展练习
PART 01
新知导入
一、平行线分线段成比例
如图所示,小方格的边长都是1,直线 a∥b∥c,分别交直线 m,
n于A1,A2,A3,B1,B2,B3.
A1
B1
a
b
A2
B2
A3
B3 c
m
n
(1) 计算 A1 A2 ,B1B,2 与
B2
a b
B3 c
思考:
(1)如何理解“对应线段”? (2)平行线分线段成比例基本事实的符号语言如何表示? (3)“对应线段”成比例都有哪些表达形式?
平行线分线段成比例ppt课件

,
2 3 2 3
=
=
1 2 1 2
,
2 3 1 3
1 2 1 2
,
2 3 1 3
=
=
1 2 1 2
,
1 3 1 3
1 2 1 3
,
1 3 2 3
=
=
1 2 1 3
,
1 3 2 3
1 3
.
2 3
=
1 3
C,D,E,F.
(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长;
解:∵直线l1∥l2∥l3,
4
∴ =
= =
8
1
1
1
.
∴DE=
EF= ×12=6.
2
2
2
图4-2-4
探
究
与
应
用
2
(2)如果AB= AC,DF=9,求EF的长.
5
2
解:∵AB= AC,
5
∴
=
2
.∴
5
=
究
与
应
用
应用二 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求
线段的长
例2 (教材典题)如图4-2-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上
的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
解:∵EF=7,EB=5,FC=4,
·
∴AF=
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
计算
实例
探究
计算或证明
平行线分线段成 图形变换
2 3 2 3
=
=
1 2 1 2
,
2 3 1 3
1 2 1 2
,
2 3 1 3
=
=
1 2 1 2
,
1 3 1 3
1 2 1 3
,
1 3 2 3
=
=
1 2 1 3
,
1 3 2 3
1 3
.
2 3
=
1 3
C,D,E,F.
(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长;
解:∵直线l1∥l2∥l3,
4
∴ =
= =
8
1
1
1
.
∴DE=
EF= ×12=6.
2
2
2
图4-2-4
探
究
与
应
用
2
(2)如果AB= AC,DF=9,求EF的长.
5
2
解:∵AB= AC,
5
∴
=
2
.∴
5
=
究
与
应
用
应用二 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求
线段的长
例2 (教材典题)如图4-2-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上
的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
解:∵EF=7,EB=5,FC=4,
·
∴AF=
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
计算
实例
探究
计算或证明
平行线分线段成 图形变换
平行线分线段成比例ppt2ppt正式完整版

A我B们把以A上归C基本纳事实简基称为本平行事线分实线段:成比两例.条直线被一组平行线所截,所截得的
能够运用平行线分线段成比例定理及推论解决问题.
对应线段成比例; (其中k为无理数),则
由此得到以下基本事实:
如图3,直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n于 A1,A2,A3,B1,B2,B3 . 你在问题(1)中发现的结论还成立吗?如果将b平移到其他位置呢?
交于点 A2,C2,由于
a//b//c,l3//l2,因此由
A2 A
A1 a
“夹在两平行线间的
B
B1 b
平行线段相等”可知 A2B=A1B1,
C C2
l1 l3
C1 c
l2
BC2=B1C1.
在△BAA2 和△BCC2 中: ∠ABA2=∠CBC2,BA=BC, ∠BAA2=∠BCC2,
因此△BAA2≌△BCC2. 从而 BA2=BC2, 所以 A1B1=B1C1.
线b的交点分别为 A2, B2 .你在问题(1)中发现的结论还
成立吗?如果将b平移到其他位置呢? 由此,得到以下基本事实
(2) 将b向下平移到如下图2的位置,直线m,n与直线b的交点分别为
.
则把线段AB二等分,分点D.
如图,已知l1∥l2∥l3,下列比例式中错误的是( )
MN//DE.
(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?
平行线分线段成比例ppt课件
优选平行线分线段成比例ppt课 件
学习目标
情境引入
1.学习并掌握平行线分线段成比例定理并学会运用. 2.了解并掌握平行线分线段成比例定理的推论. (重点) 3.能够运用平行线分线段成比例定理及推论解决问题.(难点)
北师大版九年级数学上册4.2 平行线分线段成比例课件(23张PPT)

DQ QE EN NG GF
B l2 E
M
N
H
G
AP PB BM MH HC
C l3
F
AP PB
DQ QE 2
BM MH HC EN NG GF 3
即 AB DE BC EF
证明(一般)
如果
AB n BC m
DE
, 那么
AB 与
BC
EF
A
相等吗?
D
l1
解:相等.理由如下:我们分别 找出AB的n等分点和BC的m等分点,
A2
A3 m
B2
b
B3 c
基本事实:
两条直线被一组平行线所截,所截得的对应线段成比例.
若a ∥b∥ c 则
A1.A2 B1B2
A2 A3 B2 B3
A1
B1
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3
A2
A1 A3 B1B3
A3
B2 b B3 c
A1 A2 A2 A3 B1B2 B2 B3
∴ OC=6.
2.如图,DE∥BC,EF∥DC.求证: AD2=AF·AB.
分析:要证 AD2=AF·AB,只需证AF=AD,由于 AF、AD、AB 在同一条直线上, AD AB
因此上式不能直接用定理证,于是想到用过渡比.
证明:∵DE∥BC,∴AD=AE.∵EF∥DC,∴AF=AE,∴AD=AF ,即 AD2
解: ∵EF∥BC,
∴ AE AF .
EB FC
A
∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4.
E
F
AF AE FC 7 4 28. B
EB
55
C
B l2 E
M
N
H
G
AP PB BM MH HC
C l3
F
AP PB
DQ QE 2
BM MH HC EN NG GF 3
即 AB DE BC EF
证明(一般)
如果
AB n BC m
DE
, 那么
AB 与
BC
EF
A
相等吗?
D
l1
解:相等.理由如下:我们分别 找出AB的n等分点和BC的m等分点,
A2
A3 m
B2
b
B3 c
基本事实:
两条直线被一组平行线所截,所截得的对应线段成比例.
若a ∥b∥ c 则
A1.A2 B1B2
A2 A3 B2 B3
A1
B1
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3
A2
A1 A3 B1B3
A3
B2 b B3 c
A1 A2 A2 A3 B1B2 B2 B3
∴ OC=6.
2.如图,DE∥BC,EF∥DC.求证: AD2=AF·AB.
分析:要证 AD2=AF·AB,只需证AF=AD,由于 AF、AD、AB 在同一条直线上, AD AB
因此上式不能直接用定理证,于是想到用过渡比.
证明:∵DE∥BC,∴AD=AE.∵EF∥DC,∴AF=AE,∴AD=AF ,即 AD2
解: ∵EF∥BC,
∴ AE AF .
EB FC
A
∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4.
E
F
AF AE FC 7 4 28. B
EB
55
C
平行线分线段成比例(2)PPT课件

A
D
l1
B
E
l2
C
F
l3
l5l4 l1 l2 l3
l5 l4 l1 l2 l3
l5
l4
l1
l2
l3
l5
l4
l1
l2
l3
l5
l4
l1
l2
l3
l5
l4
E
D
l1
A
l2
B
C
l3
数学符号语言
DE // BC E D
A
AD AE
AB =AC B
C
L5 L4
L5 L4
A
L1
ED
L1
DE
L2
A
L2
B
(过E作EG∥AC,交BC于点G)
(3)你能证明
CG BC
AE AB
吗?
(由平行线分线段成比例的基本事实易得)
(4)EF与CG存在什么关系?
(5)你能写出
AE AF EF 的证明过程吗?
AB AC BC
(6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何 语言表示你的结论.
证明:∵EF∥BC,
∴
AE AF . AB AC
九年级数学上 新课标 [冀教]
第二十五章 图形的相似
学习新知
检测反馈
复习准备
学习新知
1.平行线分线段成比例的基本事实如何叙述?
(两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段 成比例)
2.平行线分线段成比例的基本事实能解决哪些 问题?
(证明线段成比例、求线段的长度等)
平行线分线段成比例转化到三角形中
l4 l5
,AD 1
AB 3
平行线分线段成比例定理课件

证明方法二:利用向量运算
总结词
通过向量运算,证明平行线分线段成 比例。
详细描述
首先,根据向量的加法性质,将线段 分解为与平行线平行的向量分量。然 后,利用向量的模长关系和向量平行 的性质,证明这些向量分量之间存在 比例关系。
证明方法三:利用坐标几何
总结词
通过坐标几何的方法,证明平行线分线段成比例。
2023
PART 04
平行线分线段成比例定理 的应用实例
REPORTING
实例一:解析几何中的应用
总结词
解析几何中的线段比例关系
详细描述
在解析几何中,平行线常常用于确定线段的比例关系。例如 ,在直线的平行移动过程中,线段的比例保持不变,这为解 决几何问题提供了重要的理论依据。
实例二:三角形中的比例关系
总结词
平行线间的面积比值关系是指,如果两条平行线被一条横截线所截,那么它们之间的面 积比值是相等的。
详细描述
假设有两条平行线$l_1$和$l_2$,它们被一条横截线$m$所截,形成了两个三角形 $triangle ABC$和$triangle CDE$。根据平行线分线段成比例定理,我们有
$frac{triangle ABC}{triangle CDE} = frac{AB}{CD}$。这意味着,如果$triangle ABC > triangle CDE$,则$AB > CD$,反之亦然。
总结词
三角形中的边长比例关系
VS
详细描述
在三角形中,通过平行线可以推导出边长 的比例关系。例如,在等腰三角形中,通 过底边上的平行线可以证明两腰之间的比 例关系,这对于证明某些三角形的性质和 定理非常有用。
实例三:建筑设计中的应用
平行线分线段成比例定理 ppt课件

,AB= a, BC= b,
A B
C
D E
F
l1 l2
l3
PPT课件
14
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分
别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
EB 2
(2)如果 AE 2 , 求证:5EF 2BC 3AD
EB 3
(3)请你探究一般结论,
即如果
AE
m,
那么
EB n
可以得到什么结论。
PPT课件
20
一、平行线分线段成比例定理:
小结
三条平行线截两条直线,所得的线段对应
成比例. (关键要能熟练地找出对应线段)
二、要熟悉该定理的几种基本图形
PPT课件
A
D
L1
BM E
L2
C
N
F
L3
3
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢?
A
D
L1
“对应”是数学的基本概念,】
图1-1中,
在l1∥l2∥l3的条件下,可分别推 出如下结论之一:
(1)简称“上比下”等于“上 比下”
(2)简称“上比全”等于“上 比全”
(3 简称“下比下”等于“下比 下”
6
ba
A
BE
L1
C
F
L2
D
G
L3
AB BE
BC EF
PPT课件
7
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.
九年级数学4.2平行线分线段成比例课件

AD AE BF . AB AC BC
D
E
B
FC
又BF=DE易得..... 知识提炼:
BF AE 2 . BC AC 3
平行于三角形的一边,并且和其他两边 〔或两边的延长线〕相交的直线,所截得 三角形的三边与原三角形的三边对应成比
CF 1 . BF 2
例. ----------------相似三角形预备定理
知识提炼:三角形XX图 -------①知二求二
②方法:作平行线 要求:不破坏原有比例
拓展提升 如图:在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、
AC、BC上,且DE//BC、EF//AB.假设AD=2BD.
(1)求证:AD DE (2)求 CF 的值.
AB BC
BF
A
解:∵DE//BC,EF//AB
a b
B3 c n
(2(3))将根b据向前下两平问移,到你如认图为②在的平位面置上,任直意线作m三,条n平与行直线线,
b用的它交们点截分两别条为直A线2,,B截2.得你的在对问应题线(1段) 中成发比现例的吗结? 论还成立吗?如果将 b 平移到其他位置呢?
A1
B1
a
A2
A3 m
图②
B2
b
B3 c n
∴ 7 AF , 74
解得 AF = 4.
A
E
F
B
C
(2) 如果AB = 10,AE=6,AF = 5,那么 FC 的长是多
少?
解:∵ AE AF ,∴ 6 5 , AB AC 10 AC
解得 AC = 25 .
A
3
E
∴
FC
=
AC-AF
=
25 5 10
《平行线分线段成比例》PPT 北师版课件

知1-讲
感悟新知
2. 要点精析:
知1-讲
(1)一组平行线两两平行,被截直线不一定平行;
(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段,与
这组平行线上的线段无关;
(3)当上比下的值为1时,说明这组平行线间的距离
相等.
感悟新知
知1-练
例例11: 如图,已知AB∥CD∥EF,AF交BE于点H,下
列结论中错误的是( C )
这三种图形,从每种图形中找出比例线段即可判断
出错误的选 项.∵AB∥CD∥EF,
∴
BH HC
AH HD
,
AD DF
BC CE
,
AF DF
BE CE
故选项A,B,D
正确;∵CD∥EF,∴ HC HD , 故选项C错误. HE HF
感悟新知
知2-导
知识点 2 平行于三角形一边的直线的性质
做一做 如左图,直线a∥b ∥ c,分别交直线m,n于点A1,A2,A3, B1,B2,B3,过点A1作直线n的平行线,分别交直线b,c于 点C2,C3(如右图).右图中有哪些成比例线段?
感悟新知
1.推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 截得的对应线段成比例. 数学表达式:如图,∵DE∥BC, ∴ AD AE ,AD AE ,BD CE .
DB EC AB AC AB AC
2.要点精析: (1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一
组平行线中的一条过三角形一顶点,一条过三角形 一边的一种特殊情况. (2)成比例线段不涉及平行线所过的边上的线段.
课时导入
(1)计算 A1 A2 与 B1B2 , A1 A2 与 B1B2 , A2 A3 与 B2B3 的值,你有什么发现?
平行线分线段成比例PPT课件

夯实基础·逐点练
2 2021年1月,“霸王级”寒潮来袭,在大风作用下, 湖水拍击到岸边的树木上,水在低温下___凝__固___(填物 态变化的名称)形成冰凌.
夯实基础·逐点练
A.铁在1 800℃时处于固液共存状态 B.白炽灯的灯丝用金属钨,是由于钨的熔点高 C.能用酒精温度计测量1标准大气压下沸水的温度 D.冬天我国北方地区最低气温可达-52.3℃,这时可
截得的线段分别为 AB,BC 和 A1B1,B1C1,且AB = BC.
过点 B 作直线 l3∥l2,分别与
直线a, c 相交于点 A2 ,C2 . 由于
a∥b∥c,l3∥l2 , 因此由“ 夹在
两平行线间的平行线段相等”可知,
A2B = A1B1 ,BC2 = B1C1.
感悟新知
知1-导
在 △BAA2 和 △BCC2 中, ∠ABA2 = ∠CBC2, BA=BC,∠BAA2=∠BCC2,
因此 △BAA2 ≌ △BCC2. 从而 BA2=BC2 , 所以 A1B1=B1C1.
感悟新知
归纳
知1-讲
由此可以得到:两条直线被一组平行线所截, 如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另 一条直线上截得的线段也相等.
感悟新知
例1
知1-练
如图,A,B,C,D 把 OE 五等分,AA′∥ BB′∥
HC HD DF CE DF CE
故选项A,B,D 正确.
∵ CD∥EF, ∴
HC HE
HD HF
,故选项C
错误.
感悟新知
归纳
知2-讲
在题目中遇到与直线平行相关的问题时,可 从两 个方面获取信息:
一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、 同旁内角互 补);
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创设情境 温故探新
你能不通过测量快速将一根绳子分成 两部分,使得这两部分的比是2:3?
合作交流探究新知
如图(1)小方格的边长都是1,直线a∥b∥c, 分别交直线m,n于 A1,A2,A3,B1,B2,B3 。
(1) 计算 A1 A2 , B1B2 你有什么发现?
A2 A3 B2 B3
合作交流探究新知
ADAE42 AB AC 6 3
D
E
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2CF,即CF16 BF8-168
38
3
33
拓展延伸 反馈练习巩固新知
2. 如图,ΔABC中,BC=a.
1
1
(1)若AD1= 3 AB,AE1= 3 AC,则D1E1= ;
(2)若D1D2=
1 3
1 D1B,E1E2= 3 E1C,则D2E2=Leabharlann FCF AB
E
DB
C
FE
C
F
C
DA
B
C
E
合作交流探究新知
例题解析
例1、如图,在△ABC中,E、F分
别是AB和AC上的点,且 EF∥BC,
(1).如果AE = 7, EB=5,
FC = 4 ,那么AF的长是多少?
(2).如果AB = 10, AE=6,
AF = 5 ,那么FC的长是多少? B
C
反馈练习巩固新知
1、如图,已知l1//l2//l3, (1).在图(1)中AB = 5, BC = 7 ,EF=4,求DE的长。 (2).在图(2)中DE = 6, EF = 7 ,AB=5,求AC的长。
AD
l1
D
A
l1
B
E
l
EB
l
C
F
2
l3
(1)
CF
2
l3
(2)
反馈练习巩固新知
1. 如图,在△ABC中,DE∥BC,AC=4 , AB=3,EC=1.求AD和BD.
(2)将b向下平移到如下图2的位置,直线m,n 与直线b的交点分别为A2,B2。你在问题(1)中 发现的结论还成立吗?如果将b平移到其他位置呢?
(图2)
合作交流探究新知
(3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条 直线,截得的线段成比例吗?
归纳
平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线 所截,所得的对应线段成比例;
解∵AC=4,EC=1,∴AE=3.
∵ DE∥BC,
∴
AD AE . AB AC
∴AD=2.25,
∴BD=0.75.
拓展延伸
1.如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,
BC=8.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分
别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
E
D
A
B
C
C
F
l5
图1
图2(2)
合作交流探究新知
推论:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两 边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
l l
A
l1
l
l
E
D l1
D
E l2
A
l2
B
C
l3
B
C l3
合作交流探究新知
熟悉该定理及推论的几种基本图形
A
D
DA
A
D
B
E
BE
B
E
C DA
符号语言: 若a∥b∥c ,则
。
合作交流探究新知
思考
l1
A B
如果把图1中l1 , l2两条直线相交,交点A 刚落到l3上,如图2所得的对应线段的比 会相等吗?依据是什么?
l2
D
l3
A(D) BE
E
l4
C
F
C
F
图1
l5
图2
思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交,交点A刚 落到l4上,如图2(2)所得的对应线段的 比会相等吗?依据是什么?
2、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
3、注意该定理在三角形中的应用
布置作业
课后习题 第1,2题
第四章 图形的相似
创设情境 温故探新
1.比例线段的概念:
四条线段 a、b、c、d 中,如果 a:b=c:d,那么这四条线段a 、b、c、d 叫做成比例的线段,简称比例线段.
2.比例的基本性质
如果 a:b =c:d ,那么ad =bc.
如果 ad =bc,那么 a:b =c:d . 如果 a:b =c:d,那么(a-b):b =(c-d):d; (a+b):b =(c+d):d.
;
(3)若D2D3=
1 3
D2B,E2E3=
1 3
E2C,则D3E3=
;……
(4)若Dn-1Dn=
1 3
Dn-1B,En-1En=
1 3
En-1C,则DnEn=
.
课堂 小 结
1、平行线分线段成比例定理: (1)两直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 (关键要能熟练地找出对应线段) (2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延 长线)相交,截得的对应线段成比例.