常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
常数项级数敛散性的判定法
综上所述，我们有以下重要结论：
P
级数
n1
1 np
当 p 1时， 收敛．
当
p
1 时，
发散．
当 p 1时，
级数 1 1 1 1 1 称为调和级数，
n1 n
23
n
调和级数是发散的．
几何级数
aqn
当
|
q
|
1
时，收敛于 1
a
． q
n0 当 | q | 1时，发散．
二、正项级数敛散性的判定法
n1 n 1
级数
1 发散．
n1 n(n 1)
× 另解 (1) 1 1， 又级数 1 发散，
n(n 1) n
n1 n
级数
1 发散．
n1 n(n 1)
(2)
1 1 3n
(1)n，又级数 3
(1)n收敛， n1 3
级数
1 收敛． n1 1 3n
利用比较判定法判定正项级数的敛散性，需要 找一个已知敛散性的正项级数作为比较级数．
即 un 的部分和数列有上界， un 收敛．
n1
n1
由(1)用反证法可证(2)．
1. 比较判定法
定理 设有级数 un， vn，其中 0 un vn(n 1,2, )，
n1
n1
(1) 如果 vn 收敛，则 un 也收敛；
n1
n1
(2) 如果 un 发散，则vn 也发散．
n1
n1
根据级数的性质，定理中的条件 0 un vn(n 1,2, )， 可放宽为：存在正整数 N 及正数 k，
n1
从而我们有正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛 其部分和数列 sn有上界．
常数项级数的敛散性判别
定理1.1正项级数 收敛的充要条件是它的部分和数列有上界.
定理1.2（比较准则I）设 和 是两个正项级数,并且
(1)若 收敛,则 收敛; (2)若 发散,则 发散.
定理1.3 (比较准则II)设 和 是两个正项级数,并且
(1)若 ,则两个数列同时收敛或同时发散;
例7.判别级数 的敛散性.
解：
而 收敛;而对于 ,当 时收敛,当 时发散.综上可知,原级数当当 时收敛,当 时发散.
例8.判断级数 的敛散性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
解：
,得到一个交错级数
则易知级数收敛,但其绝对值级数发散.故原级数条件收敛.
6.Cauchy积分法
即定理1.4（积分准则）,利用的就是级数 与无穷积分 同时收敛或同时发散.就此举一例如下:
结束语
本文主要是通过归纳总结将常数项级数的审敛准则与方法及例题放在一起,希望会对同学们关于级数敛散性的入门学习起到辅助作用.其实方法还不止上述所列出的几种,文中未包含的还有高斯判别法、拉贝判别法等,如感兴趣,可在利用网络自行查找相关文献.
参考文献
[1]工科数学分析基础.上册/王绵森,马知恩主编,2版.—北京：高等教育出版社,2006.2
且 .
定理2.2(绝对收敛准则)若级数 收敛,则级数 收敛.
若绝对值级数 收敛,则称级数 绝对收敛;若级数 收敛,但其绝对值级数 发散,则称 条件收敛.
有了这些基础知识作为铺垫,现在我们进入对一些方法的探讨.
1.不等式的利用
在此我们常用到的不等式有以下几种：
（1） ;（2） ;（3） ;（4）
个人认为,前三个不等式大家都用得比较熟练,最后一个不等式不太能在做题时想到.对于些题目看似很复杂,但利用不等式后就会豁然开朗.此处是将原数放大,主要运用比较准则.
微积分10-2常数项级数的敛散性
l 对于ε = > 0, 2
l un l N , 当 n > N时 , l < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n ( n > N ) 2 2
由比较审敛法的推论, 得证. 由比较审敛法的推论 得证
(2) 当l = 0时
(3) 当l = +∞ 时
17
常数项级数敛散性的判别法
un
< ρ +ε
(n > N )
使r = ε + ρ < 1,
uN + 2 < ruN +1 ,
uN + 3 < ruN + 2 < r uN +1 ,
2
∞
,
∞
u N + m < r m 1 u N + 1 ,
而级数 ∑ r m 1uN +1收敛 , ∴ ∑ uN + m =
m =1 m =1
∑+uu收敛 , n= N 1
∞ ∞ n=1 n=1
（1）若 ∑vn 收敛,则 ∑un 收敛； 收敛, 收敛； （2）反之，若 ∑un 发散，则 ∑vn 发散. 反之， 发散， 发散.
n=1 n=1 ∞ ∞
3
常数项级数敛散性的判别法
证明： 证明： 设 ∑ un与 ∑ v n的部分和分别为 sn与t n ,
n =1 n =1
∞
∞
无上界， ∴ {t n }无上界， ∴
n =1
∑ v n发散.
4
常数项级数敛散性的判别法
推论1: 推论1:
n =1
∑ un , ∑ un均为正项级数
常数项级数的敛散性及判别(09)
2 n +1 ( n + 1)! 2 × 2 n ( n + 1)n! n+1 n n n ( n + 1) ( n + 1) ( n + 1) ) = lim 2( Q = lim 解： lim n n n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ n+1 2 n! 2 n! nn nn
∞
1 级数 ∑ 2 收敛 , n =1 n
∞
(ρ = 1)
1 例 ：判断 ∑ n =1 n !
∞
的敛散性
1 1 n! ( n + 1)! = lim =0 解： l m Qi = lim n →∞ ( n + 1) n →∞ ( n + 1)! n →∞ 1 n!
1 ∴ ∑ 收敛 n =1 n !
≥ 0， 称为正项级数. 称为正项级数.
2 敛散性的判别法 （1） 比较法 ）
∞
设
∑u ,∑v
n =1 n n =1
∞ n =1
∞
∞
∞
n
, 0 ≤ un ≤ vn
若 ∑ vn收敛，则∑ un收敛；
n =1
∞
若 ∑ un发散，则∑ vn发散
n =1 n =1
1 例 判别 ∑ 2 的敛散性 n =1 n
∞
=1
1 又 Q ∑ 发散 n =1 n
∴∑
n =1 ∞
1 n(1 + n)
发散
n5 + 2 例：判断 ∑ 3 的敛散性 n =1 2n + 1
∞
n5 + 2 解： lim Q =∞ 3 n →∞ 2n + 1
∞
n5 + 2 发散 ∴∑ 3 n =1 2n + 1
第二讲_常数项级数的敛散性判别法
第二讲 常数项级数的敛散性§8.2 数项级数的敛散性判别法一、正项级数收敛的充要条件若数项级数的各项n u 均非负，则称 ∑∞=1n nu为正项级数．由于0≥n u ， ,3,2,1=n ，因此，n n n n s u s s ≥+=++11，所以正项级数的部分和数列{}n s 是单调增加数列．即≤≤≤≤n s s s 21若{}n s 有上界，则由“单调有界数列必有极限”知，该正项级数必收敛．反之，若正项级数收敛于s ，即 s s n n =+∞→lim ，则数列{}n s 必有上界，从而得到如下重要结论：定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是其部分和数列{}n s 有上界．二、正项级数及其敛散性判别法1. 比较判别法定理2（比较判别法） 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，且),2,1( =≤n v u n n（1）若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛；（2）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv也发散．证 （1）若级数∑∞=1n nv收敛，其部分和数列有上界，于是有0>M ，使,01M vnn n≤≤∑=又n n v u ≤，故 M v unn n nn n≤≤≤∑∑==110．即∑∞=1n n u 的部分和数列有上界．根据定理1知，级数∑∞=1n nu收敛．（2）若∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv必发散，因为若级数∑∞=1n nv收敛，由（1）知，级数∑∞=1n nu也收敛，与假设矛盾，故级数∑∞=1n nv发散．由于级数每项乘以非零数，以及去掉级数的有限项，所得级数的敛散性与原级数相同，可得如下推论：推论 设∑∞=1n nu，∑∞=1n nv均为正项级数，且从级数的某项起恒有)0(>≤k kv u n n ，则（1）若∑∞=1n nv收敛；则∑∞=1n nu也收敛；（2）若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv也发散．例1 试证调和级数∑∞==+++++11131211n nn发散．证 显然x ln 在]1,[+n n 上满足拉格郎日中值定理条件，所以至少存在一个实数ξ)10(<<ξ；使得nn n n n n 11])1[(ln )1ln(<+-+=-+ξ， 于是，级数∑∞=-+1)ln )1(ln(n n n 与级数∑∞=11n n的所有对应项便有 nn n 1ln )1ln(0<-+<， 由于)1ln()ln )1(ln()3ln 4(ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-+-=n n n s n ，所以 ∞=+=∞→∞→)1(ln lim lim n s n n n ．因此，级数∑∞=-+1)ln )1(ln(n n n 发散；由正项级数比较判别法可知，调和级数是发散的．例2 讨论p —级数 ++++++p p p p n 14131211的敛散性．解 当1≤p 时，有n np 11≥．由于调和级数发散，所以由比较判别法可知，当1≤p 时，p —级数∑∞=11n pn也是发散的．当1>p 时，++++++++++=∑∞=)15181()71615141()3121(111pp p p p p p n p p n++++++++++≤)8181()41414141()2121(1p p p p p p p p++++=---31211)21()21(211p p p nn p )21(1∑∞=-=． 又级数∑∞=-01)21(n np 是等比级数，且其公比,1211<=-p q 故收敛，于是当1>p 时，根据比较判别法的推论可知，级数∑∞=11n pn也收敛． 综上所述，当1>p 时，p —级数收敛；当1≤p 时，p —级数发散．应用比较判别法的关键，是把新给的级数与一个敛散性已知的正项级数作比较，常用作比较的正项级数有调和级数、等比级数与p —级数．例3 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性． 解 因为 21)1(10nn n <+<，又2=p 时的p 一级数是收敛的，所以，原级数收敛．例4 证明级数 +++++!1!31!211n 收敛．证 n n u n ⨯⨯⨯⨯== 3211!1满足121!10-<<n n ，而11)21(-∞=∑n n 是等比级数)121(<=q ，由比较判别法可知，级数∑∞=1!1n n 收敛．例5 判定级数+++++=∑∞=n n n n n 1312111321的敛散性． 解 因 1211-≤n n n ，而级数∑∞=-1121n n 收敛，所以级数∑∞=11n n n收敛．为使用方便，下面给出比较判别法的极限形式： 定理3 设级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且),0(,lim +∞<<=a a v u nn则它们有相同的敛散性．证 取,0>ε使ε满足a <<ε0．依极限定义，存在正整数N ，当N n >时，有ε<-a v u nn， 即 εε+<<-a v u a nn，得 n n n v a u v a )()(εε+<<-． 由比较判别法可知级数∑∞=1n nu，∑∞=1n nv具有相同的敛散性．例6 判断级数∑∞=131tann n的收敛性． 解 一般项031tan>=nu n ，且13131tanlim=+∞→nn n ，而级数∑∑∞=∞==1113131n n n n 发散，故级数∑∞=131tan n n 也发散． 由比较判别法可推出另一个常用的判别法．2. 比值判别法定理4 （比值判别法） 设∑∞=1n n u 是正项级数，若l u u nn n =++∞→1lim，则（1）当1<l 时，级数收敛； （2）当1>l 时（或∞=++∞→nn n u u 1lim）时，级数发散；（3）当1=l 时，级数可能收敛也可能发散．例7 判断级数∑∞=+1)!12(1n n 的收敛性． 解 因为 0)22)(32(1lim )!12(1)!32(1lim lim1=++=++=+∞→+∞→++∞→n n n n u u n n nn n ，所以该级数收敛． 例8 判断正项级数∑∞=131sinn n n 的敛散性． 解 因为 )3311(lim 3sin 31sin)1(limlim 111nn n nn n nn n nn n n u u++∞→++∞→++∞→⋅+=+=1311lim31<=+=+∞→n n n ，所以该级数收敛． 例9 判别级数∑∞=110!n n n 的敛散性．解 因为 ∞=+=+=+∞→++∞→++∞→101lim 10!10)!1(lim lim11n n n u u n nn n nn n ，所以该级数发散．注 当1lim 1=++∞→nn n u u 时，无法判别级数的敛散性．例如，级数∑∞=11n n 有11lim lim1=+=+∞→++∞→n nu u n n n n ，它是发散的，但级数∑∞=121n n也有,1)1(lim lim 221=+=+∞→++∞→n n u u n nn n 却是收敛的．3. 根值判别法定理5 (根值判别法) 对于正项级数的一般项n u ，若l u nn n =+∞→lim ；则（1）当1<l 时，级数收敛； （2）当1>l 时，级数发散；（3）当1=l 时，级数可能收敛也可能发散． 例10 判断级数∑∞=+1121n n的敛散性． 解 因为n n211210<+< ，而12121<=n n ，所以∑∞=121n n 收敛．再根据比较判别法，原级数∑∞=+1121n n收敛． 例11 设0>n a ，且a a n n =+∞→lim ，试判断级数)0()(1>∑∞=x a x nn n的敛散性．解 因为n n nn n na xa x a x =<)(,)(0，而a x a x a x nn n n ==+∞→+∞→1lim lim ；所以，根据根值判别法有（1）当a x <时，级数收敛； （2）当a x >时，级数发散；（3）当a x =时，级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其敛散性判别法称级数n n n u u u u u ∑∞=--=+-+-114321)1( 为交错级数，其中n u ),,2,1( =n 皆为非负数．定理6 （莱布尼兹判别法） 若交错级数n n n u ∑∞=--11)1(满足：（1）),2,1(1=≥+n u u n n ；（2）0lim =+∞→n n u ．则交错级数收敛，且其和1u s ≤，其余项的绝对值1+≤n n u r ．交错级数是一类特殊的级数，定理6表明，若交错级数收敛，其和1u s ≤，即不超过首项；若用部分和n s 作为s 的近似值，所产生的误差1+≤n n u r ，即不超过第1+n 项．例12 交错级数 +-++-+--n n 1)1(41312111满足条件 （1）1111+=+>=n n u n n u ),2,1( =n ； （2）01lim lim ==+∞→+∞→nu n n n ．所以它是收敛的，且其和1<s ． 如果取前n 项的和ns n n 1)1(312111--+++-= 作为s 的近似值，即产生的误差111+=+≤n n u n r ．例13 判断级数 +-+-+--!1)1(!31!2111n n 的敛散性，并估计用6s 代替其和s 时所产生的误差．解 因为（1）1)!1(1!1+=+>=n n u n n u ),2,1( =n ； （2）0!1limlim ==+∞→+∞→n u n n n ．所以它是收敛的．又因为 1+≤n n u r ，所以0002.0!7176≈=≤u r ．也就是说，用6s 代替s 可使误差小于310-．四、绝对收敛与条件收敛对于一般项级数,21 ++++n u u u 其各项为任意实数，若级数∑∞=1n nu各项的绝对值所构成的正项级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu绝对收敛；若级数∑∞=1n nu收敛，而级数∑∞=1n nu发散，则称级数∑∞=1n nu条件收敛．易知2111)1(n n n ∑∞=--是绝对收敛级数，而n n n 1)1(11∑∞=--是条件收敛级数．定理7 若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu必收敛．例14 判断级数∑∞=12sin n n nx的敛散性． 解 因为 221s i n n n nx ≤． 而级数∑∞=121n n收敛．由比较判别法知，级数∑∞=12sin n n nx 收敛，所以级数∑∞=12sin n n nx绝对收敛． 例15 证明 级数+--++-+-=-----∞=-∑11111212)1(8745231212)1(n n n n n n n绝对收敛．证 因为 1212212lim lim11<=+=-+∞→++∞→n n n nn n n u u ，根据比值判别法，级数∑∑∞=-∞=-=111212n n n n n u 收敛，从而，此交错级数绝对收敛． 例16 为了治病需要，医生希望某药物在人体内的长期效用水平达200mg ，同时还知道每天人体排放25%的药物．试问医生确定每天的用药量是多少？解 因为是连续等量服药，留存体内的药物水平是前一天药物量的%75%)251(-=q 加上当日的服用量)(mg a ，可见第n 天人体内该药物含量qq aqq q a aqaq aq a nn n --=++++=++++--11)1(1212 ．由于是长期服药，也考虑到会产生抗药性等复杂情况，为简化计算，服药期间可算作趋于无穷大．因此体内该药物最终存留量200)(m g 不妨理解为等比级数∑∑∞=-∞=-=111175.0)75.0(n n n n a a 的和75.01-a，即20075.01=-a．由此，有)(5025.0200mg a =⨯=．所以，为使该药物在体内的长期效用水平达到200mg ，在已知条件下，医生确定的每天用药量应为50mg ．小结1．正项级数及其审敛法； 2．交错级数判别方法； 3. 绝对收敛与条件收敛.。
常数项级数判别方法
常数项级数的审敛法定义 形如：级数其中即： 正、负项相间的级数称为交错级数。
列如莱布尼茨判别法 莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件则级数收敛，其其和其余项的绝对值注意：只有当级数是交错级数时，才能用此判别法，否则将导致错误 注意：莱布尼兹判别法只是充分条件，非必要条件.使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与 大小111()n n n u ∞-=-∑n u >0111,2,3,);n n u u n +≥=L （）（lim 0,n x u →∞=（2）1,s u ≤nr 1.n n r u +≤0n u ≥（）n u 1n u +n n u u +≥>10.（）111111111(1)=1(1)234n n n n n∞--=--+-++-+∑L L（）.1112(1)1234(1)n n n n n ∞--=-=-+-++-+∑L L（）.这是一个交错级数又因为n n u u n n +=>=+1111，且显然收敛速度较慢.收敛。
使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与大小比较 与大小的方法有: 比值法差值法11111111(1)=1(1)234n n n n n∞--=--+-++-+∑1n u n =1lim lim 0n n n u n →∞→∞==n r n ≤+1||.10n u ≥（）n u 1n u +n n u u +≥>10.（）n u 1n u +11n nu u +<10n n u u +->11n n u u +≥（）lim 0n x u →∞=(2)则交错级数111() n n n u ∞-=-∑。
7.2正项级数敛散性的判别
∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级 数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级 数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例 判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性 、 当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数 、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念 二、比较判别法 三、比值判别法 四、*根值判别法 根值判别法
一、正项级数
称为正项级数 正项级数. 定义 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数 称为正项级数.
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判 断 ∑ u n的 敛 散 性 .
n=1
∞
对欲求级数进行 缩小应缩小为发 发 散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大， 放大，缩小的方向
常数项级数敛散性判定
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
重要基本级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例2 判定下列级数的敛散性
sin n (1) 2 n n 1
解
设 p 1,
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
1 1 p , 则P 级数发散. n n y
y 1 ( p 1) xp
l 对于 0, 2
l un l N , 当n N时, l l 2 vn 2
l 3l 即 vn un vn 2 2
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
例3.判别级数的敛散性: 1 1 sin n n 1 1 (3) n n 1 3 0 n u n n
由比较审敛法知 un 收敛.
2
2
反之不成立.
1 例如： 2 收敛, n 1 n
n 1
1 n 发散. n 1
练 习 题
一、填空题: 1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
等于 , 2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性: 3 32 33 3n 2 n n! ；2 、 1、 . 2 3 n n 1 2 2 2 3 2 n2 n n 1 四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性: 1 n 2 n 1 ) 1、 2 、 ( . n ； n 1 [ln( n 1)] n 1 3n 1 五、判别下列级数的收敛性: 3 n1 ； 1、 2 2 n ln( n 2) n 2、 2 sin n ； 3、 ( a 0) . 1 n 3 n 1 n 1 (a ) n
专题16 常数项级数的敛散性
∑ 错级数 ∞ (−1)n−1 2n + ( −1) n n =1
收敛，但 un
=
1 2 n + ( −1) n
并不递减.
∞
∑ 3. 任意项级数( un , un 为任意实数) n=1 1)绝对收敛与条件收敛概念
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ （1）若级数 un 收敛，则 un 必收敛，此时称级数 un 绝对收敛；
∞
> 1 ，则 un 发散;
n =1
若 lim un+1 u n→∞
n
∞
< 1，则 un 未必收敛.
n =1
∞
∞
∑ ∑ 【例 10】设 an > 0, n = 1,2,L ，若 an 发散， (−1)n−1an 收敛，则下列结论正确的是（ ）.
n =1
n =1
∞
∞
∑ ∑ （A） a2n−1 收敛， a2n 发散
1
而
lim
n →∞
n
n +1( n +1 + 1
n) = 1 2
3
n2
或
1 n n +1( n +1 +
< n)
1 nn
n
=
1
3
n2
∑∞
级数
1 收敛，则原级数绝对收敛，故选（A）.
3
n n=1 2
或
或1−
1
−1
−1
= n 2 − (n +1) 2n n+1= Nhomakorabea−1
n 2[1
−
(1 +
1
−1
)2
]
n
5_2数项级数敛散性判别法
的敛散性.
解
Q
n1
1 2n
,
3
n1
1 2n
和
(1)n 2n
n1
也收敛，
根据级数性质，两个收敛级数对应项相加（减）
得新级数也收敛。
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
( P228 定理5.8 )
*定理9. ( 绝对收敛级数的柯西乘法 )
设对一切
都有
令
因为
所以
(1) 若级数
收敛, 则有
因此根据数列的比较审敛法, 有 也收敛，
这说明级数
也收敛 .
(2) 若级数
发散, 则有
因此
这说明级数
也发散 .
例2. 讨论的
1
敛散性.
n1 n(n 1)
解: 此级数的通项满足
0
1 n(n 1)
1 n2
而级数
n1
1 n2
收敛 , 由比较审敛法可知 级数
n 1
n 1
所以发散。
例9. 判别正项级数 un 收敛，试判断级数 un2
n 1
n 1
的敛散性.
解: 因为正项级数
un
收敛，则必有
lim
n
un
0
n 1
lim un2 u n
n
lim
n
un
0,
根据比较审敛法的极限形式知 un2收敛。
n 1
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
常数项级数与幂级数的敛散性判定
常数项级数与幂级数的敛散性判定常数项级数和幂级数是数学分析中常见的两种级数形式。
在研究级数的性质和求解级数问题时，判定其敛散性是一个关键的问题。
本文将介绍常数项级数和幂级数的敛散性判定方法。
一、常数项级数的敛散性判定常数项级数的一般形式为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]其中，\( a_n \)表示级数的通项。
常数项级数的敛散性主要通过判别级数的通项\( a_n \)是否满足某些条件来进行。
1. 正项级数判别法若级数的通项\( a_n \)皆大于等于零，并且\( a_{n+1} \geq a_n \)（\( n \)为正整数），则称该级数为正项级数。
正项级数的敛散性可以直接通过判断级数的通项\( a_n \)是否收敛于零来决定。
即若\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \)，则正项级数收敛；若\( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \)，则正项级数发散。
2. 比较判别法若存在一个收敛的正项级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)，使得对于所有\( n \)，有\( a_n \leq b_n \)，则称级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)与级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)相比较。
根据比较判别法，如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)收敛，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)也收敛；如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty}b_n \)发散，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)也发散。
3. 极限判别法对于级数的通项\( a_n \)，若存在\( \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = L \)，其中\( L \)是常数，则称级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)满足极限判别法。
第2节 常数项级数的敛散性判别法
11.2.1 正项级数及其敛散性判别法
定义: 如果级数 un中各项均有 un 0 (un 0), n1 一般地，N N , n N un 0 ( un 0). 这种级数称为正项级数 （负项级数）.同号级数
正项级数 部分和数列 {sn } 为单调增加数列：
n1
n1
lim un l（0 l ）. n vn
则（1）当0 l 时，二级数有相同的敛散性；
（2）当l 0时，只能由 vn收敛 un收敛；
n1
n1
（3）当l
时
，
只能
由
v
发
n
散
un发散.
n1
n1
例 4 判定下列级数的敛散性:
n1
n
解
(1) lim n
n un
lim( n n
2 1)
0 1,
(n 2 1)n收敛;
n1
(2) lim n n
un
lim
(2nsin
1
)
1 2
n
n
lim n
2sin 1 n
1
n
n
(2n sin 1 ) 2发散.
n1
n
2 1.
1）若 vn收敛，则{Bn }有界， { An }有界， un收敛;
n1
n1
2）若 un发散，则{An }无界， {Bn }无界， vn发散.
n1
n1
例1 讨论 p 级数（广义调和级数）
1
常数项级数敛散性的判定法
应用广泛
常数项级数在数学物理方程、概 率论、统计学等领域有广泛的应 用，是解决实际问题的重要工具。
理论价值
常数项级数的敛散性判定法是数 学理论的重要组成部分，对于数 学的发展和深入研究具有重要意 义。
判定常数项级数敛散性的意义
解决问题
通过判定常数项级数的敛散性，可以解决一系列数学问题，如求和、 积分、无穷乘积等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，级数 中相邻两项的绝对值都小于$epsilon$，则级数收敛。
柯西收敛准则的适用范围
适用于所有常数项级数，是判定级数收敛性的最基本准则。
柯西收敛准则的证明
通过反证法，假设存在一个不收敛的级数，然后构造一个满足条件的$epsilon$和$N$，使得 对于所有的$n>N$，级数中相邻两项的绝对值都大于$epsilon$，这与假设矛盾，因此级数 必须收敛。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定 比例的级数。
详细描述
几何级数是一种特殊的等比级数，其一般形式 为$sum_{n=0}^{infty} a_n r^n$，其中$a_n$ 是首项，$r$是公比。当$|r| < 1$时，几何级数 收敛；当$|r| = 1$时，几何级数可能收敛或发 散；当$|r| > 1$时，几何级数发散。
常数项级数的性质
常数项级数的每一项都是非负的或非正的，即an ≥ 0或an ≤ 0。 常数项级数的和可以是有限的、无限的或无穷的。
常数项级数的分类
收敛级数
当常数项级数的和是有限的，则该级 数为收敛级数。
发散级数
当常数项级数的和是无限的或无穷的 ，则该级数为发散级数。
级数敛散性总结
摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。
级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。
级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。
基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。
本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。
本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。
最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。
关键词：级数敛散性方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.Key words: Series Convergence Mathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。
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常数项级数敛散性判别法总结
摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点
无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念
给定一个数列{un}，称
u1+u2+...+un+ (1)
为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。
当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。
比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。
例2：判别级数的敛散性。
解：因为
由比值判别法知级数收敛。
2.3 根植判别法
设为正项级数，若有，则当0≤r1，则发散。
当级数含有n次幂，型如an或（un）n选用根值判别法。
根值判别法不需要与已知的基本级数进行比较。
例3：讨论级数的敛散性，其中a>0。
解：由于，所以由根植判别法知，当a1时，级数发散；当a=1时，所给级数是P级数，故当P>1时级数收敛。
3 交错级数敛散性判别法
如果级数收敛，则称为绝对收敛；如果发散，而收敛，则称为条件收敛。
形如的任意项级数，成为交错级数，其中un>0，n=1，2，…。
（莱布尼茨判别法）设交错级数满足：（1）un≥un+1，n=1，2，…；（2），则交错级数收敛，且其和S≤u1。
例4：讨论级数的敛散性。
解：由于，
故由莱布尼茨判别法知，交错级数收敛。
另一方面，当时0<P≤1，p级数发散。
因此交错级数为条件收敛。
4 结语
级数的敛散性是级数理论的核心问题，本文结合级数判别法的使用条件及特点对判别任意项级数敛散性做如下总结：首先检查是否成立，若不成立，则该级数发散；若成立，利用正项级数判别法判别的敛散性。
若收敛，则绝对收敛；若发散，且此结论是由比值判别法或根植判别法做出的，则发散；若发散不是由比值判别法或根植判别法做出的，则需直接判别敛散性。
参考文献：
[1]龚德恩，范培华.微积分（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2]吴赣昌.微积分（经管类第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
[3]同济大学数学系.微积分（第三版下册）[M].北京：高等教育出版社，2010.。