2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题获奖论文解读

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1. （隐去论文作者相关信息等）2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期： 2014年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储药柜的设计摘要面向消费者的药品零售药房，日常运行中需要执行大量的药品存储和分拣工作，目前自动化药房的研发及逐渐应用提高了药品存储和分拣效率，为医疗工作提供了极大地便利。

储药通道即为自动化药房的重要部分，合理的储药槽设计可以减少储药槽的设计成本、合理的利用储存处空间、提高药品的存储率和分拣效率。

本文根据问题中所给的数据，利用统计方面的知识联系实际问题，作出了相应的解答和处理。

问题1：首先假设在对储药柜没有任何限制的情况下，对药盒的宽度进行分类，设定储药槽的竖向隔板间距类型，结合实际情况对无限制情况下的模型进行优化处理，为模型（二）的建立奠定了基础。

问题2：为合理的利用储药槽且有效的减少宽度冗余，模型中将储药柜的列数设定为药品种类的因数，使得储药柜中的储药槽无剩余，在尽可能减少宽度冗余的同时，降低了储药柜的加工成本和提高了储药柜的适应能力。

问题3：结合问题2中的结论，对每种竖向隔板间隔类型中的药品高度进行分类，根据平面冗余的计算公式，合理的设定了横向隔板间距类型，使得储药柜的总平面冗余量尽可能小。

问题4：根据附件2中药品的最大日需求量及各药盒长度，首先计算了每一种药品所需要的储药槽个数，并结合问题3中所设计的储药柜的规格，合理的利用了储药柜中的空储药槽，计算了所需储药柜数量。

关键词：储药槽竖向隔板间隔横向隔板间隔平面冗余一、问题重述如题，储药柜的结构类似于书橱，由若干个横向隔板和竖向隔板将储药柜分割成若干个储药槽(如图1所示)。

为保证药品分拣的准确率，防止发药错误，一个储药槽内只能摆放同一种药品。

药品在储药槽中的排列方式如图2所示。

药品从后端放入，从前端取出。

一个实际储药柜中药品的摆放情况如图3所示。

图1 储药柜立体示意图图2 储药柜的侧剖面及药品摆放示意图图3 储药槽药品摆放情况为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。

在忽略横向和竖向隔板厚度的情况下，建立数学模型，我们通过下面几个问题的提出解决方案：问题1：药房内的盒装药品种类繁多，药盒尺寸规格差异较大，附件1中给出了一些药盒的规格。

我们需要利用附件1的数据，给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格。

问题2：药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为宽度冗余。

增加竖向隔板的间距类型数量可以有效地减少宽度冗余，但会增加储药柜的加工成本，同时降低了储药槽的适应能力。

我们设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少。

所以我们仍可利用附件1的数据，给出合理的竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号。

问题3：考虑补药的便利性，储药柜的宽度不超过2.5m、高度不超过2m，传送装置占用的高度为0.5m，即储药柜的最大允许有效高度为1.5m。

药盒与两层横向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为高度冗余，已知平面冗余＝高度冗余×宽度冗余。

在问题2计算结果的基础上，我们需要确定储药柜横向隔板间距的类型数量，使得储药柜的总平面冗余量尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。

问题4：附件2给出了每一种药品编号对应的最大日需求量。

在储药槽的长度为1.5m、每天仅集中补药一次的情况下，计算出每一种药品需要的储药槽个数。

为保证药房储药满足需求，我们还需要根据问题3中单个储药柜的规格，计算最少需要多少个的储药柜。

二、问题分析由于储药柜是由若干个横向隔板和竖向隔板分割成若干个储药槽而形成的，我们所设计的储药柜应充分考虑药品分拣的准确性，防止发药错误。

同时要保证药品在药槽内顺利出入，则必须使药盒与两层竖直隔板之间、与上下两层隔板之间留有2mm的空隙。

并保证药盒在药槽内被推送的过程中不会发生并排重叠、侧翻或水平旋转。

因此，根据药盒规格的不同，设计出符合各种药盒的储药槽是本题重点。

问题1：根据附件一中各种药品的长、宽、高，我们需设计符合各种所给规格药盒大小的储药槽，并充分分析药盒与两层竖直隔板、与上下两层隔板之间的距离。

问题2：宽度冗余（药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分）是我们考虑的重点，为此合理的设计竖向隔板的间距类型数量，以调节宽度冗余与加工成本及储药槽的适应能力是解决此问题的关键因素。

问题3：根据所给储药柜的限定条件及问题2的计算结果的基础上，重点是在设计中确定储药柜横向隔板的间距类型数量，使得储药柜的总平面冗余量（平面冗余＝高度冗余×宽度冗余）尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。

问题4：根据附件2中每一种药品编号对应的最大日需求量，在储药槽的长度为1.5m、每天仅集中补药一次的情况下，我们需要计算每一种药品需要的储药槽个数。

再依据问题3中单个储药柜的规格，计算最少储药柜个数。

三、符号说明四、模型假设问题1、2假设：1、假设对于储药柜的高度和宽度没有任何限制。

2、假设每种药品只可占用一个储药槽。

问题3假设：1、假设储药柜的宽为2500mm,有效高度为1500mm。

2、假设每种药品只可占用一个储药槽。

问题4假设：在问题3的条件下，假设每种药品可占用多个储药槽。

五、模型的建立与求解模型（一）竖向隔板间距设计通过对问题1的分析和假设1，我们利用已知附件1给出的数据，建立模型一竖向隔板间距类型最少的储药柜设计模型，对药品类型的数量和每种类型对应的药盒规格做出数据图表，如图4所示：图4 竖向隔板间距类型和药品数量统计图图4中横坐标表示竖向相邻隔板之间的距离范围为14mm —60mm ，纵坐标表示药品的数量种类，统计附件1中的数据我们可以得到药盒的宽度最小值为10mm,最大值为56mm,根据题目要求和假设1我们对所有带存储药品按照其宽度进行分类，结果如图1所示。

由图1可知竖向隔板间距为14mm —17mm 、55mm —60mm 时，药品种类较少，18mm 、32mm —54mm 等药品的数量超过了20种以上，19mm —23mm 、26mm —31mm 等药品的数量种类较多，其平均在50种以上，当竖向隔板间距为24mm 时，药品的数量品种最多，达到了227种。

对储物柜的宽度和高度没有任何要求时，通过此方法可以确定竖向隔板间距最少的设计方案，但是实际生活中储药柜是有一定宽度和高度的，因此此方案不符合实际要求，所以要对其进行优化改进。

考虑到实际生活中储药柜的高度和宽度有一定的规格要求，为此我们需要对储药柜的储药槽进行优化设计。

设：i a 为竖向隔板间距，i b 为药盒宽度，n 为药品总数，m 为竖向隔板间距类型总数，i n 为第i 种类型的药品个数，整理成表格为： 表 1 ：第i 种类型的药品个数对应于竖向隔板间距竖向隔板间距 1a 2a 3a ……i a 第i 种类型的药品个数 1n 2n 3n …… m n 设：σ为空余储药槽的冗余,i c 为i n 与e 比的余数，储药柜层数为e .则：i i c e n =% (5-1)若0=i c ，则该列冗余为0.若0≠i c ，则剩余的数据移动到下一列，于是下一列的数据总数为：)(1++i i n c .该列的冗余为：y=e n c i i /)(1++ (5-2) 同上，当m i =时，若0=m c ，说明没有余数，即该储药柜的储药槽设计最佳，没有空余储药槽。

当m i =时，若0≠m c ，说明余数不为0，即m c m <<0，则所剩空格为： )(m c m -.即该储药柜的空储药槽为)(m c m -.针对问题1和实际生活中储药柜高度和宽度受限制时，竖向隔板间距类型和药品数量的优化后的关系，如图5所示：图5 竖向隔板间距和药品类型的列数统计图图5中横坐标表示优化后竖向隔板间距的距离，分别为17mm—60mm，纵坐标表示不同类型的列数。

我们将1919种不同药品的种类进行了数据统计分析，为了使储药槽的竖向隔板间距类型尽可能小。

根据题目要求，每种药品只占用一个储药槽，为做出竖向隔板的间距及每种类型药品规格的最优化模型，我们将储药柜划分为19层、101列，此优化模型符合实际生活中储药的规则，因此解决了实际生活中储药柜的宽度和高度问题。

模型（二）竖向隔板间距类型优化通过对问题2的分析，药盒与两侧竖向隔板间距之间的间隙超出2mm的部分为宽度冗余，为了使储药柜的总宽度冗余尽可能小，同时减小储药柜的加工成本。

为减少剩余储药槽的数量，我们利用问题1中处理过的数据，对问题2进行统计，统计结果如下表所示：具体统计结果见附件3（注：附件3中我们给出储药柜合理的竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号）。

由问题2可知：储药槽的宽度冗余:4--=i i b a σ (5-3)由于我们把储药柜划分为：19行、101列，而刚好有1919种药品种类.所以剩余的宽度冗余0=σ，所以储药柜的总宽度冗余公式为：∑∑==+--=+--=n i mi i i i i i b a n b a y 11)4()4(σσ (5-4)将上表中整理出的：在每种竖向隔板间距下，不同类型药品所对应的宽度代入总高度冗余公式里，得出：储药槽的总宽度冗余： mm y 398=利用这种方法，有效的减少了因数据量大、计算困难而引起误差大的可能性，使所求的结果更精确，从而达到减少加工成本、降低储药槽适应能力、减少宽度冗余的目的。