第二章 力系的简化理论详解
理论力学 第2章力系的简化习题解答
第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，3F 沿BE ，4F 沿DH 。
试将此力系简化成最简形式。
解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。
将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ，FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=，F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为： ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。
用解析式表示为：()k j M +-=Fa A 2。
因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简化为一个力，即力系的合力。
合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2''，所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。
距离c b a ,,为已知。
问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？解：这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。
第二章力系的简化理论
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 F2
O r1 F1
y
x
z
MOn
MO2
F2
Fn O
F1
y
MO1
x
空间汇交力系： Fi Fi
FR
空间力偶系： MOi MO (Fi )
O MO
y
合力 FR Fi Fi
x
23
力偶 MO MOi MO(Fi )
(3)解析表达式
(4)平面力系中，
i j k 力对点之矩可以
MO F r F x y z
用代数量来描述。
Fx Fy Fz
5
2-2 力矩
2.力对轴之矩是代数量
(1)定义
M z (F ) Fxy d
6
d为Fxy到z轴的距离。
(2)性质 当力的作用线与轴平行或相交时， 力对该轴之矩等于零。
a) FR M O时, 进一步简化为一合力。
MO
O
FR
O1 h FR
O
FR FR
O1 h •
FR
O
30
FR FR FR ,
h | M 0 | FR
h表示O点到合力作用线的距离。
2-4-3 力系的简化结果
31
b)FR与MO平行时，即为力螺旋
FR
M0
O
FR
M0
O
h MO /F
M z (F ) [MO (F )]z 力对点之矩在通过该点的某轴上的投影等于力 对该轴之矩。
7
2-2 力矩
8
4. 合力矩定理
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
第二章 力系的简化
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
《工程力学》力系的简化
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
10/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
11/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
14/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
16/48
2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
第2 章 力系的简化
n
rC
R'
ri Ci C1
Fi
F1
平衡、合力 平衡、 或力偶
O x
y
MO
若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线， 若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线，还可确定合力作用 合力作用线 且当力系方位改变时该点不变） 平行力系的中心 平行力系的中心。 平 点（且当力系方位改变时该点不变）──平行力系的中心。──平 行力系的重要特征。 行力系的重要特征。
1 R '· M O = − F 2 a < 0 2 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。
⑤力螺旋中的力与力偶为： 力螺旋中的力与力偶为：
R = R' = −
∥ MO
2 F (i + j − 2 k ) 2
2 Fa = (i + j − 2 k ) 12
=
( R '· M O ) R ' R '2
B.合力作用线方程： M O = r × R 合力作用线方程： 合力作用线方程 其中 R = R '
8-19
M Ox = yRz − zR y M Oy = zRx − xRz M Oz = xR y − yRx
(二式独立)
(2) 第二不变量 R ' · M O ≠ 0
① R '∥ M O ， ( R ' , M O ) 为力螺旋 力螺旋，最简力系之一。 力螺旋
3-19
§2 - 2
力偶系
力偶矩矢为自 由矢量(等效性 等效性) 由矢量 等效性
第2章 力系的简化 《建筑力学》教学课件
空间力系同样也可分为空间汇交力系、空间平行力 系、空间任意力系。
2.1.1 力 系 的 分 类
（1）平面汇交力系：力系中各力的作用线在同平面内且相交于 同一点。其中，共点力是汇交力系的一种特殊情况。
（2）平面平行力系：力系中各力的作用线在同平面内且互相平 行。
图2-1
2.2.1 平 面 汇 交 力 系 的 简 化
力三角形法则：分力 F1 、 F2按力的方向
首尾相接，而合力R则沿相反方向，从起点
指向最后一个分力的末端。
F2 F1
F3 F4
F3
F4
F2
F1
F2
F3
F4
力多边形法则：分力按力的方向沿力多边 形的某一方向首尾相接，而合力R则沿相 反方向连接力多边形的封闭边。
d M A 25 0.282 m
R 88.69
因为主矩为逆时针，故需将主矢向A点的
2.2.2 平
右侧平移。力系的合成结果为一合力，其大
面
小和方向与所求的R相同.
任
意
力
系
的
简
化
一绞盘有三个等长的柄，长度为L，相互夹角为1200
如图所示。每个柄端作用一垂直于柄的力P。将该力系
向BC连线的中点简化，结果为（
效的。
2.2.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化
• 平面汇交力系的合成
合成为一作用于O点的一个力R，其大小等于原力 系中各力的矢量和.
R的大小： R
Rx2
R
2 y
X 2 Y 2
2.2.2
Fn
平
R
面
R的方向： tan Ry
华北电力大学理论力学第二章 力系简化理论
第二章力系简化理论◆力的平移定理◆力系的主矢和主矩◆力系向一点简化◆力系简化结果分析§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化∑∑⨯==ii i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩（principal moment ）称为该力系的主矢（principal vector ）式中， 分别表示各力对x ，y ，z 轴的矩。
(),(),()x y z M F M F M F空间任意力系的n 个力的矢量和1. 力系的主矢、主矩取任意点O ， n 个力对O 点之矩的矢量和kF M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(由F 1、F 2组成的空间力系，已知：F 1 = F 2 = F 。
试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。
1. 计算力系主矢令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成力系的主矢为：)43(51j i F +=F)43(52j i F -=FiF F F F F i i R 562121=+==∑= 例：求主矢、主矩解：解： 2. 计算主矩应用矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为：()2211M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )43(54j i j -⨯+F)12912(5k j i -+-=F)43(51j i F +=F)43(52j i F -=F∑=⨯+⨯=⨯=2121i EC EA i i E F r F r F r M )12912(5k j i ---=F)12912(k j i +--=F)43(5)34(j i k j -⨯-=F )43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=FF 2210F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点对A 三点对E 点其中，各 ，各i iF F '= ()i o i M M F =该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。
工程力学——第2章(力系的简化)
1. FR 0 , M O 0 （为一合力偶，主矩与简化中心无关） 2. FR 0 , M O 0 （为一合力，合力矢 通过简化中心，且等于
3. F 0 , M 0 （为一平衡力系） R O
主矢）
4.
FR 0 , M O 0
FR
（为一般情况，可继续简化为一合力 ）
y
(2) 求力系对点O的主矩MO
M O M O ( Fi )
3F1 1.5G1 3.9G2 2355kN m
9m
3m 1.5m
G1 F1
3.9m
G2
900 F2
3m
(3) 求合力作用线的位置
合力矢
FR FR
O
B
A
x
5.7m
FR
其作用线与基线OA的交点 到O点的距离x为
28
[例2-4] 均质平面薄板的尺寸如图所示，试求其重心坐标。
29
解：分割法：将截面分成三部分，坐标系如图所示。
因为该平面薄板关于y 轴对称，其重心必在y轴上,即
xC 0 ,因此只需求 y C 。
30
三部分面积和重心坐标分别为
A1 75 380 10 6 0.0285m 2 , A2 75 380 10 6 0.0285m 2 , A3 350 50 10 6 0.0175m 2 ,
结论：三角形分布力的合 力大小等于分布力三角形 的面积，其作用线通过三 角形的形心。 17
[例2-3] 求图中分布力系的合力。 解：⑴确定合力的大小及方向
FR1
q1=0.5 KN/m
合力的大小：
第2章 力系的简化(工程力学课件)
n
FR F1 F2 Fn Fi i1
2-3 平面力系的简化
机电系
❖对于平面汇交力系，在Oxy坐标系中，上式可以写成力的
② FR' =0, MO≠0，即简化结果为一合力偶, M=MO 此时
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR'≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR。' （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
2-3平面力学简化
机电系
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR。
FR FR FR
FR'
M0 FR d
FR'
FR
FR
FR
合力的大小等于原力系的主矢 FR FR' F
合力的作用线位置
d MO
FR
结论：平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 FR
2.1.3 简化的概念
❖所谓力系的简化，就是将由若干个力和力偶所组成 的力系，变为一个力或一个力偶，或者一个力与一 个力偶的简单而等效的情形。这一过程称为力系的 简化。力系简化的基础是力向一点平移定理。
2-2 力系简化的基础—力向一点平移 2.2 力系简化的基础—力向一点平移
❖作用于刚体上的力可以平移到任一点，而不改变它对 刚体的作用效应，但平移后必须附加一个力偶，附加 力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。此即为 力向一点平移定理(力的平移定理)。
第二章 力系的简化
【例3-2】 如图3-8(a)所示，在柱子的A点受有吊车梁传来的集中 】 力 F = 100kN。求将这力 F 平移到柱轴上O点时所应附加的力偶矩
M ，其中e=0.4m。
【解】 根据力的平移定理，力 F 由A点平移到O点，必须附加一力偶，
M = M B ( F ) = − F × e = −100kN × 0.4m = −40kN ⋅ m
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力 FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 F = F A B 由平衡条件 ∑ M i = 0 ，得： i =1
n
FB × d − M = 0
FB × (4m × sin 30o ) − 20kN ⋅ m = 0
平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外，还有如 平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外， 下两种形式 。 二力矩式： 二力矩式：∑FX=0 ∑MA=0 条件： 连线不能垂直于X 条件：A、B连线不能垂直于X轴 ∑MB=0 三力矩式： 三力矩式： ∑MA=0 ∑MB=0 条件：A、B、C不能在一条直线上 条件： ∑MC=0 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以，平 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以， 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。
）、平面任意力系平衡的情形 （3）、平面任意力系平衡的情形 ）、 R′=0 ，M0′=0 则原力系是平衡力系， 则原力系是平衡力系，这种情形将在下一节中讨论
情况 向O点简化的结果 主矢R 主矩M 分类 主矢R′ 主矩MO 1 2 3 4 R′=0 R'=0 R′≠0 ′ R′≠0 ≠ MO=0 MO≠0 MO=0 MO≠0
理论力学之力系的简化
右力螺旋
左力螺旋
9
∥ ② R' 与M O 成任意角度，此为最一般情况。分解 M O M O M O ， ⑤
R' 0，M O 0
了解即可
∥ （R' ·M O）R' M O＝ R' 2 ∥ ( R ' , M O ) R ，( R, M O ) 为力螺旋
第二章 力系的简化 (Reduction of a force system)
◇ 目的： 1. 由简化结果研究原力系作用效果 2. 简化结果为0 => 力系平衡条件 => 平衡方程 ◇ 力系分类 ◇ 本章内容： 平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系(含力偶系) 任意力系(一般力系)
1、 力系的等效 2 、力系的简化结果 3 、重心
B.合力作用线方程：
MO r R R R ', r xi yj zk
8
The Wrench R' 0，M O 0 ④ R '∥ M O ， ( R ' , M O ) 为力螺旋，最简力系之一。 ① R ' ·M O 0 ──右力螺旋， R ' ·M O 0 ──左力螺旋。 —— R' 的中心线──力螺旋的中心轴。 此时即 R ' 作用线
( F1 , F2 ,, Fn )
任意力系 力平移定理
(F1 ' , F2 ' ,, Fn ' )
汇交力系：
主矢(与O无关)：
R'
Fi ' Fi
i 1
n
理论力学 第二章 平面力系的等效简化
y
MO R'
Ox
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0
2 . R' 0 , MO 0
3 . R' 0 , MO 0
4 . R' 0 , MO 0 力系平衡。
1. R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
1. R ' = 0,MO≠0 简化结果
系，否则为空间平行力系。
6
五、 任意力系（一般力系） 若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互
平行，则该力系称为任意力系。 如各力作用线还位于同一平面内，则称为平面任意力系，
简称平面力系；否则称为空间任意力系，简称空间力系。
空 间 力 系
7
平面力系 P26.图2.6
8Байду номын сангаас
§2.２ 力的平移定理
这种合成方法叫力系向O点简化，O称为简化中心。
17
y
MO
AB
R'
主矢： R' F 'i
OI x
大小：R' R'x2 R'y2 ( Fx)2 ( Fy)2
主矢 R
方向：
arccosRx R
arccos Fx F
与简化中心位置无关.
主矩MO
大小：MO mO (Fi )
方向：方向规定
+,
为一合力偶,MO=M 与简化中心 O 无关。
20
2 R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
理论力学-第二章力系的简化PPT课件
2）三角形载荷 1
F 2 q0l
d 2l 3
-
44
§2–3 空间一般力系的简化
例2 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：
F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个 力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结
果。
y
F2
A 60°
B
F3
2m
的力系也应是一个空间力系。但可根据空间力系的简 化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，由于 力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三个坐 标轴上，用分量来表示。
-
39
§2–3 空间一般力系的简化
-
图
40
§2–3 空间一般力系的简化
-
图
41
§2–3 空间一般力系的简化
-
42
图
§2–3 空间一般力系的简化
F
F
F
2）M O 主矩M 的O 计x2 算M O y2M O z2M MO Oxy
[ [
MOz [
MO(Fi)]x MO(Fi)]y MO(Fi)]z
Mx(Fi ) My(Fi ) Mz (Fi )
cos'M O x,cos'M O y,cos'M O z
M O
- M O
M O
21
§2–3 空间一般力系的简化
简化结果和简化中心有关。
-
34
§2–3 空间一般力系的简化
4、若 F0,MO0，力系可合成为一合力。 合力不过简化中心，平移的距离为d=Mo / F , 合力的 大小和方向由主矢确定 。
合力作用线F 方程
F F
工程力学 第2章 力系的等效与简化
第2章 力系的等效与简化 作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。
这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。
同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。
在就是前一章中提到的力系等效的概念。
本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。
力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。
§2-1 力系等效定理 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 ２－１－２ 力系等效定理 §2-2 力偶与力偶系 ２－２－１ 力偶与力偶系 ２－２－２ 力偶的性质 ２－２－３ 力偶系的合成 §2-3 力系的简化 ２－３－１ 力向一点平移定理 ２－３－２ 空间一般力系的简化 ２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用 §2-4 结论和讨论 ２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质 ２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用 ２－４－３ 关于力系简化的最后结果 ２－４－４ 关于实际约束的简化模型 ２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制 习 题 本章正文 返回总目录第2章 力系的等效与简化 §２－１ 力系等效定理 物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。
物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。
这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。
因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。
２－１－１ 力系的主矢和主矩 主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。
第二章力系简化
例 在图示长方体的顶点B处作 用一力F，F=700N。分别求力F 对各坐标轴之矩，并写出力F对 点O之矩矢量Mo(F)。 解1：力F矢量作用点坐标为： B( x, y, z ) B(2,3,0) 力F矢量在三个坐标轴的投影为：
( Fx , Fy , Fz ) ( 100 14,150 14,50 14)
F2
z
M1 M3
45°
F2 F3 O F1
y
M2
F3 F1
O
45°
y
x
x
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M 1 y M 2 y M 3 y 11.2 N m
M z M 1z M 2 z M 3 z 41.2 N m
3. 平面力偶系的合成与平衡
作为空间力偶系的特例，平面力偶系合成的结果 是位于各分力偶作用平面内的一个合力偶， 该合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即
M M1 M 2 M n M i
代数和
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶 的代数和等于零。即
M Mi 0
[ M O ( F )]x M x ( F ) [ M O ( F )] y M y ( F ) [ M O ( F )]z M z ( F )
力矩关系定理： 力对点之矩矢量 在过该点之轴上 的投影等于该力 对该轴之矩.
M O ( F ) M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
M D
30 30
B R C
A
E
解: 1.研究AB杆
M i 0
M FD AD 3R FD
M D
第二章 力系的简化
第二章 力系的简化将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。
前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。
力系简化的前提是等效。
等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。
力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。
力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。
力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。
力系简化并不局限于静力学。
例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。
因此，力系简化也是动力学分析的基础本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。
然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。
最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。
§2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。
设刚体受到力系F i (i=1, 2,…,n )作用，诸作用点相对固定点O 的矢径依次为r i (i=1, 2,…,n )。
力系F i 的矢量和，称为力系的主矢。
记为F R ，即∑==ni i 1R F F （2.1.1）主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。
主矢通常不是力。
计算力系F i 对固定点O 的力矩的矢量和，称为力系对点O 的主矩。
记为M O ，即 ∑=⨯=ni iiO 1F r M （2.1.2）它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。
因此，主矩是定位矢量。
利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。
因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。
第二章力系的简化和平衡
为了校核以上的结果，可以再取右边的折杆为平衡对象，列出它 的平衡方程，将求得的结果代入，验算是否满足平衡条件
end
例2-7 桁架各杆自重不计，其尺寸和受力如图所示。求各杆的内力。
y C 4D8 E
a
1 3
5 79
11 12
26
10 13
x
A
FG H
B
YA a
P a
2P a
P a YB
(a)
(b)
由于结构和荷载对称，易知 YA YB 2P 由于桁架内各杆均为二力杆, 故可用节点法求解杆的内力
ZA 1 2a / h cos P
因缆绳只能受拉力，即必须T1 > 0 和T2 > 0。由此可求得起重臂的旋
转范围为 -45°< < 45°,如超出此范围，起重吊将向缆绳所在的一方
倾倒而发生严重的事故。
end
2-6 物体的重心
重心：物体重力这个平行力系的合力的作用点。
物体的重心相对于物体来说是个固定的点，不论物体如何放置，其 合力的作用线必过此点。
z
y
y
o
dA
C
zz
y
end
当物体总重W可分成有 限个重力, 且每个重力,的作 用点的坐标已知时，有
x
xiWi
Wi
y
yiWi Wi
z
ziWi
Wi
对均质物体，由于 W和体 积V 成正比，可写成：
目的：求出各种静定结构的约束反力 重点：(1) 利用力的平移法则导出物体(刚体)的平衡条件
(2) 利用各种形式的平衡条件求解物体的约束反力 (注意有些平衡条件的应用限制)
退出
2-1 汇交力系的简化 2-2 力矩和力偶 2-3 力的平移法则 2-4 空间力系的简化和平衡·静不定问题 2-5 例题
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2355 709.4
3.320m
d
x
M O FR
FR
三、力系简化结果分析
应用1 固定端受力
Fx
Fy
M
W
Fy
P
P
My
Fz
Mz
Fx
Mx
三、力系简化结果分析
应用2 合力矩定理
FR 0 M O 0
MO
FR M O 0
O
FR
O
d O
FR
MO(FR ) MO MO(Fi ) (i 1,2,,n)
此时主矩与简化中心无关，简化结果与简化中心无关。
4、FR 0 MO 0 FR M O 0 简化结果为合力。 FR FR
合力 作用线到简化中心O的距离
MO
d
MO FR
O
FR
FR
O
d
FR FR FR FR
O d O
FR
三、力系简化结果分析
5、FR 0
MO
0
FR // M O
0
简化结果为力螺旋
FRx Fix 50 44.7 76.8 82.1N
FRy Fiy 102.4N
FRz
Fiz
89.4 153.6
64.2N
M x M x (Fi ) 489.4 6102.4 256.8N m
M y M y (Fi ) 389.4 6 76.8 192.6N m
Fi yi ， FR
zC
Fi zi FR
四、平行力系的中心、重心
重心坐标
xC
Pi xi Pi
yC
Pi yi Pi
zC
Pi zi Pi
均质物体
Pi Vi g
P Vg
xdV
xC
V
V
ydV
yC
V
V
zdV
zC
V
V
重心与几何中心重合
四、平行力系的中心、重心
集中载荷与分布载荷
qx
合力矩定理：合力对一点之矩等于力系中各分力对同 一点之矩的矢量和。
四、平行力系的中心、重心
平行力系有合力时，合力作用线平行于力系各力的作用线。 若力系各力绕各自的固定作用点按相同方
位转过同一角度而成为另一新平行力系，则合 力作用线也经历相同的转动转到新的公共方位 平行，但合力作用线始终通过空间的一个确定 点，此点称为平行力系中心。 重力系的作用中心就是重心。
第二章 力系的简化理论
江文强 2012.2.28
引言
空间汇交力系
FB A
力的可传性
空间一般力系
CF B
A
力线能平移吗？
一、力线平移定理
F
B
F rBA
F
A
F F F
M
F
F
,
F
B A
加减平衡力系公理
M rBA F M B F
力线平移定理：作用在刚体上点A的力F平行移动到任一点B上， 必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩矢等于原来力F对新 作用点B的矩矢。
平行力系的简化结果……
四、平行力系的中心、重心 z
C
O
ri
rC
Fi
FR
y
MO FR MO Fi
rC FR ri Fi
rC FRe ri Fie
x
rC
Fi ri FR
FRrC e Firi e
平行力系中心坐标：xC
Fi FR
xi
，
yC
乒乓球为何会旋转？
一、力线平移定理
M
F
F
二、力系向一点简化结果
F2
z
O
x
F1
y
Fn
F2 M1
z
M2
F1
Mn
y
O
Fn
x
空间一般力系
FR
z
MO
力
+
力
O
偶
空间汇交力系+空间力偶系
y
主矢 FR'
Fi'
Fi
主矩 MO Mi MO(Fi )
x
二、力系向一点简化结果
空间任意力系向一点O进行简化，可得一个力和一个力偶。
例题2-3 有三个力组成的力系， F1 50 N F2 100 N F3 200 N
试将该力系向O点简化。
解：
F1
50 i
F2 （ 3
45 ）100 i （6
45 ）100 k 44.7i 89.4k
F3 （3
61） 200i （4
61） 200 j （6
61） 200k
76.8i 102.4 j 153.6k
Fi
j
M z
Fi
k
FR' 合力? -----力系的主矢：原力系各力的矢量和
M O 合力偶? -----力系对于O点的主矩：
原力系各力对O点之矩的矢量和
二、力系向一点简化结果
FR
MO
y
FRy
x
FRx
M Oy
M Ox
有效推进力
有效升力 侧向力
z
FRz M Oz
O
滚转力矩 偏航力矩 俯仰力矩
二、力系向一点简化结果
FR 0 M O 0
FR 0 MO 0 FR MO
FR 0
MO
0
FR, MO
不垂直。
三、力系简化结果分析
F1
F3
F2
合力偶
F1
F3
F2
F5
F4
合力
F1
F3
F2
合力
F5
F3
F1
F2
F4
左螺旋
三、力系简化结果分析
例题2-6 重力坝受力如图，F1 300 kN F2 70kN P1 450 kN P2 200 kN
MFRO
FR
O
O
力螺旋是一种简单力系，不能再简化
力螺旋三要素：力矢、力偶矩矢、中心轴 力矢与力偶矩矢的指向相同时为右螺旋； 反之为左螺旋。
三、力系简化结果分析
6、 FR 0 MO 0
MO
FR
,
M
O
成任意角。
M
O
简化结果为力螺旋。
O
FR
O
M
O
FR
O O
d
M
O
FR
合力偶 合力 力螺旋
FR 0 MO 0
求力系的合力。
解： FRx Fix F1 F2 cos 232.9kN
FRy Fiy P1 P2 F2 sin 670.1kN
yห้องสมุดไป่ตู้
FR Fix2 Fiy2 709 .4kN
MO MO Fi 3F1 1.5P1 3.9P2 k
2355 k
力线矩O点距离：
d
MO FR
这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过O点。这
个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。
FR' Fi
主矢与简化中心选择无关
Fxii Fyi j Fzik
MO
MO(Fi
)
ri Fi
主矩一般与简化中心有关
MOxi MOy j MOzk
M x
Fi
i
M y
M z M z (Fi ) 4 44.7 178.8N m
三、力系简化结果分析
1、 FR 0 MO 0 2、 FR 0 MO 0
此时力系平衡
简化结果为合力。 FR FR
合力的大小和方向与主矢相同，作用点在简化中心O。
3、FR 0 MO 0
简化结果为合力偶。M M O
合力偶的作用面、大小和方向与主矩相同。
FR
x xC l
载荷集度:单位长度上的力
l
FR
q( x)dx
0
l
q(x) xdx