简单的超静定问题

第六章简单的超静定问题

知识要点

1．超静定问题的概念

（1）静定问题

结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。

（2）超静定问题

结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。

（3）超静定次数

未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。

（4）多余约束力

超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。

（5）多余未知力

与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。

（6）基本静定系

在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。

2．静不定问题的解题步骤

（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方

程。

（2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连

续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关

系列出变形间的关系方程。

（3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系

方程。

（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。

补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。 习题详解

6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。

解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。由静力学平衡条件

,

03,0=-+=∑F F F F B A Y

和变形协调条件

0=∆+∆+∆DB CD AC 并将()EA

a F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=∆-=∆=∆,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得

4

5,47F F F F B A == 轴力如图6-1图（c ）所示

6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆

由同一材料制成，其横截面面积分别为232221200,150,100mm A mm A mm A ===。试求各杆的轴力。

解 这是一个超静定问题，铰链A 的受力图，如题6-2图（c ）所示。利用静力学平衡条件列平衡方程

03

01230cos 330cos ,0N N N x F F F F =+=∑ F F F F

N N y =+=∑030130sin 30sin ,0 变形的几何关系如题6-2图（b ）所示,变形协调条件为

03020130

sin 30tan 230sin l l l ∆+∆=∆ 应用胡克定律，三杆的变形为

1l ∆=33332

222111,,EA l F l EA l F l EA l F N N N =∆=∆ 代入③，得补充方程 033302222011130

sin 30tan 230sin EA l F EA l F l EA l F N N N +=∆= 联立式①，②，④，解得各杆的轴力分别为

kN F kN F kN F N N N 55.11,68.2,45.8321===

6-3 一刚性板有四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相

同，如 题6-3图（a ）所示。如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受力多少。

解 这是一个超静定问题，对题6-3图（b ）所示刚性板的受力图列静力学平衡方程

F F F F F N N N N =+++4321

4

2342122322N N N N N N F F e a F e F F e a F =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 由6-3图（b ）所示变形几何关系，并注意到42l l ∆=∆，得

1l ∆+232l l ∆=∆

应用胡克定律，得四根柱的变形

1l ∆=EA l F l EA l

F l EA l

F l EA l

F N N N N 4433221,,,=∆=∆=∆

代入④，得补充方程

2312N N N F F F =+

联立式①，②，③，⑤，解得各柱的内力分别为

4,241,4,24

14321F F F a e F F F F a e F N N N N =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 6-4 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等，横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如题6-4图（a ）所示。如已知F=50kN,两根钢杆的横截面面积A=10002mm ，试求两杆的轴力和应力。

解 这是一个超静定问题，解除题6-4图（a ）所示结构 D ，F 处的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-4图（b ）。其静力学平衡方程为

aF a F a F M

N N A 32,021=+=∑ 变形协调条件为

1l ∆=22l ∆

应用胡克定律，可得两杆的变形

1l ∆=EA l F l

EA l

F N N 221,=∆

代入式②，得补充方程

21N N F F =

联立式①，③，解得两杆的内力分别为

kN F kN F N N 60,3021==

两杆的应力分别为

Pa A F Pa A F N N 63226

3

1110100010601010001030--⨯⨯==⨯⨯==σσ

6-5题6-5图（a ）所示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆B D 和CE 支承。已知钢杆

B D 和CE 的横截面面积2122400200mm A mm A ==和，钢的许用应力[]σ=170MPa ，试求该钢杆的强度。

解 这是一个超静定问题，解除梁AB 在C ，B 处的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-5图（b ）所示。其静力学平衡条件为

2213302

131,0⨯⨯=

⨯+⨯=∑N N A F F M