简单的超静定问题
第六章简单的超静定问题
知识要点
1．超静定问题的概念
（1）静定问题
结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。
（2）超静定问题
结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。
（3）超静定次数
未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。
（4）多余约束力
超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。
（5）多余未知力
与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。
（6）基本静定系
在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。
2．静不定问题的解题步骤
（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方
程。
（2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连
续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关
系列出变形间的关系方程。
（3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系
方程。
（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。
补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。 习题详解
6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。
解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。由静力学平衡条件
,
03,0=-+=∑F F F F B A Y
和变形协调条件
0=?+?+?DB CD AC 并将()EA
a F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=?-=?=?,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得
4
5,47F F F F B A == 轴力如图6-1图（c ）所示
6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆
由同一材料制成，其横截面面积分别为
232221200,150,100mm A mm A mm A ===。试求各杆的轴力。
解 这是一个超静定问题，铰链A 的受力图，如题6-2图（c ）所示。利用静力学平衡条件列平衡方程
03
01230cos 330cos ,0N N N x F F F F =+=∑ F F F F
N N y =+=∑030130sin 30sin ,0 变形的几何关系如题6-2图（b ）所示,变形协调条件为
03020130
sin 30tan 230sin l l l ?+?=? 应用胡克定律，三杆的变形为
1l ?=33332
222111,,EA l F l EA l F l EA l F N N N =?=? 代入③，得补充方程 033302222011130
sin 30tan 230sin EA l F EA l F l EA l F N N N +=?= 联立式①，②，④，解得各杆的轴力分别为
kN F kN F kN F N N N 55.11,68.2,45.8321===
6-3 一刚性板有四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相
同，如 题6-3图（a ）所示。如果荷载F 作用在A 点，
试求这四根支柱各受力多少。
解 这是一个超静定问题，对题6-3图（b ）所示刚性板的受力图列静力学平衡方程
F F F F F N N N N =+++4321
4
2342122322N N N N N N F F e a F e F F e a F =???
? ??-=++???? ??+ 由6-3图（b ）所示变形几何关系，并注意到42l l ?=?，得
1l ?+232l l ?=?
应用胡克定律，得四根柱的变形
1l ?=EA l F l EA l
F l EA l
F l EA l
F N N N N 4433221,,,=?=?=?
代入④，得补充方程
2312N N N F F F =+
联立式①，②，③，⑤，解得各柱的内力分别为
4,241,4,24
14321F F F a e F F F F a e F N N N N =??
? ??+==??? ??-= 6-4 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等，横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如题6-4图（a ）所示。如已知F=50kN,两根钢杆的横截面面积A=10002mm ，试求两杆的轴力和应力。
解 这是一个超静定问题，解除题6-4图（a ）所示结构 D ，F 处的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-4图（b ）。其静力学平衡方程为
aF a F a F M
N N A 32,021=+=∑ 变形协调条件为
1l ?=22l ?
应用胡克定律，可得两杆的变形
1l ?=EA l F l
EA l
F N N 221,=?
代入式②，得补充方程
21N N F F =
联立式①，③，解得两杆的内力分别为
kN F kN F N N 60,3021==
两杆的应力分别为
Pa A F Pa A F N N 63226
3
1110100010601010001030--??==??==σσ
6-5题6-5图（a ）所示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆B D 和CE 支承。已知钢杆
B D 和CE 的横截面面积2122400200mm A mm A ==和，钢的许用应力[]σ=170MPa ，试求该钢杆的强度。
解 这是一个超静定问题，解除梁AB 在C ，B 处的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-5图（b ）所示。其静力学平衡条件为
2213302
131,0??=
?+?=∑N N A F F M
变形协调条件为 3121=??
l l 应用胡克定律，得
,111EA l F l N =
? l EA F l N 8.1222?=? 代入式②，得补充方程
212.1N N F F =
联立式①，③，解得各杆的内力分别为
N F N 5.381=，N F N 322=
各杆的应力分别为
[][]MPa MPa Pa A F MPa MPa Pa A F N N 1701601020010321709610400105.3863226
3
11==??====??==--σσσσ
故钢杆安全
6-6 试求题6-6图（a ）所示结构的许可荷载[]F 。已知杆AD,CE,BF 的横截面面积均为A ，杆材料的许用应力为[]σ，梁AB 可视为刚体。
解 这是一个超静定问题，受力图如题6-6图（b ）所示。其静力学平衡条件为
,0=∑y F F F F F N N N =++321
变形协调条件为
1l ?=2l ?=3l ?
应用胡克定律，可得各杆的伸长 ,111EA l F l N =? EA
l F l EA l F l N N 333222,=?=? 代入式③，得补充方程
3212N N N F F F ==
联立式①，②，④，解得各杆的内力分别为 5
,52,52321F F F F F F N N N === 由杆1或杆2的强度条件 []σσσ≤=
=A
F N 121 得
[][]A F σ5.21≤
由杆3的强度条件 []σσ≤=
A F N 33 得
[][]A F σ5.23≤
比较[]1F 和[]3F ，所以结构的许可荷载为
[][]A F σ5.2≤
6-7 横截面为250mm ?250mm 的短木柱，用四根40 mm ?40
mm ?5mm 的等边角钢加固，并承受压力F ，如题6-7图（a ）所示。已知角钢的许用应力[]s σ=160MPa ，弹性模量GPa E W 10=。试求短木柱的许可荷载[]F 。
解 查文献1中型钢表，可得40 mm ?40 mm ?5mm 的等边
角钢的截面面积2791.3cm A S =。受力图如题6-7图（b ）所示。这是一次超静定问题。其静力学平衡条件为
,0=∑y F F F F Nw Ns =+
木柱与角钢的变形协调条件为
w s l l ?=?
由胡克定律确定角钢和木柱的变形 w
w w Nw w s s s Ns s A E l F l A E l F l =?=
?,1 代入式②，得 294925.010*******.31020041??=?????-Nw Ns F F
联立式①，③，解得角钢和木柱承受的轴力
F F F F Nw Ns 673.0,372.0==
由角钢的强度条件 MPa F A F s Ns s 16010
791.34327.044≤??==
-σ 得
[]kN F 742≤
由木柱的强度条件 MPa F A F w Nw w 1225.0673.02≤==σ 得 []kN F 1114≤
比较以上所得的两种许可荷载，选用
[]kN F 742=
6-8 水平刚性横梁AB 上部由杆1和杆2悬挂，下部由角支
座C 支撑，如题6-8图（a ）所示。由于制造误差，杆
1的长度少量了mm 5.1=δ。已知两杆的材料和横截面面
积均相等，且A A A GPa E E E =====2121,200。试求装配
后两杆的应力。
解 这是个装配应力问题。受力如题6-8图（b ）所示其
静力学平衡条件为
,0=∑c M 145sin 2021?=?N N F F
装配后的变形几何关系如题6-8图（c ）所示，其变形协条件为
2
45
cos0
2
1=
?
?
-
l
l
δ
应用胡克定律确定杆1和杆2的变形
,11
1EA
l
F
l N
=
?
EA
l
F
l N22
2
=
?
代入式②，得补充方程
2
1
1
4
N
N
F
F
l
EA
=
-
δ
联立式①，③，并注意到
1
2
2l
l=可得各杆的内力分别为
()()1
2
8
2
2
,
1
2
8
1
2
1+
=
+
=
l
EA
F
l
EA
F
N
N
δ
δ
所以各杆的应力分别为
()()
()()MPa
Pa
l
E
A
F
MPa
Pa
l
E
A
F
N
N
9.
45
1
2
8
5.1
10
5.1
10
200
2
2
1
2
8
2
2
2.
16
1
2
8
5.1
10
5.1
10
200
1
2
8
3
9
1
2
2
3
9
1
1
1
=
+
?
?
?
?
?
=
+
=
=
=
+
?
?
?
?
=
+
=
=
-
-
δ
σ
δ
σ
6-9 题6-9图（a）所示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离mm
1
=
δ。已知上，下两段杆的横截面面积分别为
600
2mm 和3002mm ，材料的弹性模量
GPa E 210=。试作题6-9图（a ）所示荷载作用下杆的轴
力图。
解 这是一个超静定问题，受力图如题6-9图（b ）所示。其静力学平衡条件为
,0=∑y F 4060+=+B A F F
变形协调条件为
δ=?+?+?CB DC AD l l l
应用胡克定律，确定各杆段的变形
(),,60,2
111EA l F l EA l F l EA l F l CB B CB DC A DC AD A AD -=?-=?=? 并代入式②，得补充方程
2704.26.3=-B A F F
解得联立式①，③，
kN F kN F B A 15,85==
作轴力图，如题6-9图（c ）所示
6-10 两端固定的阶梯状杆如题6-10图（a ）所示。已知
AC 段和BD 的横截面面积为A ，CD 段的横截面面积为2A ；
杆材料的弹性模量为GPa E 210=，线膨胀系数
106)(1012--?=C l α 。试求当温度升高30 C 0后，该杆各部
分产生的应力。
解 阶梯状杆的受力图，如题6-10图（b ）所示。静力学平衡条件为
,0=∑x F 0=-B A F F
变形协调方程为
1l l l l DB CD AC ?=?+?+?
应用胡克定律，确定杆各段的变形 ,,22,EA
a F l EA a F l EA a F l A DB A CD A AC -=?=?=
? 连同温度变形
a T l l t α?=?4
一并代入式②，得补充方程
EA a F A 3=A T l α?4 联立式①，③，解得
=A F EA T
l α?34
所以各段杆内的应力分别为
MPa A F MPa A F MPa MPa E T A F AC N DB AC N CD l A AC 8.1004.502128.10010210101230343436======
=?????=?==
-σσσσασ
6-11 题6-11图（a ）所示为一两端固定的阶梯状圆轴，
在截面突变处承受外力偶矩e M 。若212d d =，试求固定端
的支反力偶矩B A M M 和,，并作扭矩图。
解 阶梯轴的受力图，如题6-11图（b ）所示，
其静力学平衡条件为
,0=∑x M E B A M M M =+
因端面A 和B 均被固定，所以端面A 相对截面C 与端面B 相对截面C 的扭转角相同，即
第六章简单超静定问题习题选解
图 习题?-16 图 ? N l 图 习题?-56习 题 [6-1] 试作图示等直杆的轴力图。 解：把A 支座去掉，代之以约束反力A R （↑）。 A AC R N = F R N A CD 2-= F R N A BD 3-= 变形协调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)2(2=-+-+F R F R R A A A 4 7F R A = 故：4 7F R N A AC = = 42472F F F F R N A CD -=-=-= 4 53473F F F F R N A BD - =-=-= 轴力图如图所示。 [6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。 解：以AB 杆为研究对象，则： 0=∑A M
1 02 3 )330(3121=? ?-?+?N N 135321=+N N (1) 变形协调条件： 3 1 21=??l l 123l l ?=? 1 12238.1EA l N EA l N ?=? 400 32008.11 2N N =? 212.1N N = (2) (2)代入（1）得： 13532.122=+N N )(143.322 .4135 2kN N ≈= （拉力） )(571.38143.322.12.121kN N N ≈?== （压力） 按轴力正负号的规定，记作： kN N 571.381-=；kN N 143.322= 强度校核： MPa MPa mm N A N 170][4275.9640038571|| ||2 111=<===σσ，符合强度条件。
《材料力学》第6章-简单超静定问题-习题解
第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
材料力学 简单的超静定问题答案
6-1试作图示等直杆的轴力图。 解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。 因为固定端不能移动，故变形协调条件为： 故 故 返回 6-2图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分 别为，和。 试求各杆的轴力。 解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。 此时各杆的变形及如图所示。现求它们之 间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。
即： 亦即： 将，，代入， 得： 即： 亦即： （1） 此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有： ； 亦即：（2） ；， 亦 即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得：
（拉） （拉） （压） 返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件： 补充方程： 求解上述三个方程得： 返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF 使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面 积，试求两杆的轴力和应力。 解：， （1） 又由变形几何关系得知： ，（2） 联解式（1），（2），得， 故，
返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。 解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1） 由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2） 由物理关系： （3） 式（3）代入式（2），得
材料力学简单的超静定问题答案
6-1 试作图示等直杆的轴力图。 解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。 因为固定端不能移动，故变形协调条件为： 故 故 返回 6-2 图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截 面面积分别为，和。试求各杆的轴力。 解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点 A移至。此时各杆的变形及如图所 示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求 内力的补充方程。
即： 亦即： 将，，代入， 得： 即： 亦即： （1） 此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有： ； 亦 即： （2） ；，
亦即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得： （拉） （拉） （压） 返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件： 补充方程： 求解上述三个方程得： 返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。 解：，
（1） 又由变形几何关系得知： ， （2） 联解式（1），（2），得， 故， 返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm ×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。
解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1） 由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2） 由物理关系： （3）式（3）代入式（2），得 （4） 解得： 代入式（1），得： （2）许可载荷 由角钢强度条件
《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
轴力图01234-5-4-3-2-101234567 N(F/4)x(a)第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 47345F F F N AC =+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 311233EA l N EA l N EA l N ??=- 22331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
简单超静定问题
6-1.6-11.6-17 第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =-
《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
轴力图 1 234 -5 -4 -3 -2 -1 12 3 4 5 6 7 N(F/4) x(a) 第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
《材料力学》第章简单超静定问题习题解
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轴力图 1 234 -5-4-3-2 -1 123 4 5 6 7 N(F/4) x(a) 第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N