数学实验第三章

设待求解的函数 y(x) , x I 。满足微分方程
dy dx
f
x, y, y x0
y0 ,
法则 f, 定义域均是已 知的, 初始条件是给定 的。 y(x) 、 y’(x) 均是 未知的
例如: y’(x)=y(x)+x^2+1,y(0)=1.其中x的取值范围为[0,5].求函数y(x)
小球在圆周切线方向上的受力为mgsnn
t时刻小球的角速度为θ’(t) t时刻小球的角加速度为θ’’(t) t时刻小球的线加速度为l*θ’’(t) t时刻小球在圆周切线方向上的受力为ml*θ’’(t)
m mg
因此,利用牛顿第二定律,可得到如下的微分方程
mlθ’’ (t) =mgsnnθ(t) θ(0)=θ0 θ’(0)=0
2）如果不存在解析解，如何求解或求近似解？通过数值解可以
得到近似程度较高的V(x).
3.3 微分方程模型
一般形式为
f (x,y(x),y’(x),...,y (n) (x))=0
或 y(n)(x))= f (x,y(x),y’(x),...,y (n-1) (x))
例如: y’(x)=y(x)+snnx+x^2+1
这是一个通过力学分析,建立微分方程的实例
想
注意:
1）该微分方程是线性的还是非线性的？是否存在解析解？ 2）如果不存在解析解，能否求出其近似解？
我们的方程是 lθ’’ (t) =gsnnθ(t) 不是 lθ’’ (t) =gsnn(t)
另一个实例:倒葫芦形状容器壁上的刻度问题
对于圆柱形状容器壁上的容积刻度,可以利用圆柱体体积公式：
V=πD2h/4
其中直径D为常数。由于体积V与(相对容器底部的)任意高度h
的函数关系明确，因此在容器壁 上可以方便地标出容积刻度。
h
而对于几何形状不是规则的容器，比如倒葫芦形状的容器壁上
如何标出容积刻度呢？下面是某特殊容器经测量得到的几个部
分容器高度h与直径D’’的关系
表3.1
h
0
0.2
0.4
0.6
微分方程是求解未知函数的一类方程.解微分方程是认识函数关 系的重要方法.微分方程是研究变化规律的有利工具，在科技、工程、 经济管理、生态、环境、人口等各个领域中有着广泛的应用。
认
识
要建立一个微分方程就是寻找函数、函数对变量的导数和变量之间
动
态 的一种平衡关系。而建立这种平衡关系,是需要根据物理Βιβλιοθήκη 、非物理的原第三章 微分方程
1. 微分方程概述 2. 用数值法解微分方程-MATLAB解微分方程的原理 3. 图形法解微分方程 4. MATLAB解微分方程 5. 微分方程建模及求解实例
3.1 导 言
微分方程是由未知函数y(x),导数y(n)(x),自变量x构成的方程
例如:
y’(x)=y(x) y(x)=exp(x)
ΔV=1/4πD(x)2Δx , V(0)=0 两边同除以Δx ，得
ΔV/Δx =1/4πD(x)2 , V(0)=0 两边对Δx 取极限，得微分方程
dV/dx =1/4πD(x)2 , V(0)=0
(3.1)
其中x表示高度，D(x)是高度为x时的容器直径，表格 3.1给出了6组测量数据
想 1）此微分方程中含有表格表示的离散函数，是否存在解析解？
地 位
数的、非线性函数形式的微分方程等，这就需要借助于数值解法。数值
解法是求解微分方程的一个十分重要的手段。
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本章主要介绍几个有关微分方程的实例，微分方程（组）的数值解法和 图解法，用MATLAB软件求解微分方程的解析解和数值解以及用图形的形 式表示解曲线，对解的性态进行分析和检验，最后通过范例展现解决微分 方程实际问题的全过程。
法则 f , 自变量 x 的取值范围是已知 , y(x) 待求 微分方程在解决工程技术、社会和经济问题中有着十分广泛的 应用。在解决实际问题时，必须经过两个重要的阶段，一是微分方 程的建立，它取决于对实际问题的深入认识，适当合理地简化并将 之提炼成一个数学问题(上一节的两个例题)。另一个是方程的求解 及结果分析。前一个阶段，我们将在“数学建模”课程中学习一些 原则、方法和范例；第二个阶段即当前，我们主要简述关于微分方 程求解的系列方法。
0.8
1.0
D 0.04 0.11 0.26 0.56
1.04
1.17
根据表3.1中的数据，可以拟合出倒葫芦形状容器图3.2
如图3.2所示，建立坐标系，根据测量数据，得
5
i0
4
D(
xi
)2
xi
用微元思想分析:在高度 x 处,给出高度微量Δx,使这一段
o
容器近似于圆柱体,因此有
Δx x
o
图3.2 倒葫 芦形状容器
过
程 理或规律、作出适当的假设。
的
一 般
建立微分方程只是解决问题的第一步,通常还需要求出微分方程的解,
规 律
进一步,要把解放在实际现象中进行解释和加以检验.
如果能得到微分方程的解析解固然便于对问题的分析和应用,但得到
数
值 解析解往往只局限于一些特殊类型的微分方程,如常系数的或特殊函数形
解
法 的
式的微分方程等,而绝大多数的微分方程等都是求不出解析解的,如变系
back
3.4 微分方程求解方法
在微积分的教程中，有一章专门介绍微分方程基本知识及求解方法。
但它们主要介绍解析解法，这些方法能够求解一些比较特殊类型 的微分方
程，而对大量较为复杂的微分方程，却难以求出解析解，这就需要使用数值
解法，在实际问题中数值解法是求解微分方程（组）的一种常用方法。本节
我们重点介绍数值解法。 3.4.1 数值解法
y’(x)*x=1 y(x)=lnx
y(2)(x)+y’(x)+y(x)+x+1=0
y’(x)=snnx+x^2+1
在许多实际问题中，量x与量y之间的函数关系，常常以y(x)的导 数y’(x)形式表现出来.生物种群以及人口数量y(x)中用到是“速率 y’(x)”、“增长率”，在放射性问题中用到的是“衰变”,在经济学 中用到的是“边际”等，因此在求解y(x)的方程中通常包含了y’(x) 方面的信息.
3.2 引例：单摆运动
这是一个我们熟悉的物理模型，图3.1中一根（无弹性）细线，一端固 定，另一端悬挂一个质量为m的小球，在重力作用下小球处于竖直的平衡 位置。若使小球偏离平衡位置一个角度 ，它会沿圆弧摆动。在不考虑 空气阻力的情况下，小球作一定周期的简谐运动。研究函数θ(t)
小球所受的重力为mg