高中数学选修2-1椭圆导学案加课后作业及参考答案

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人教版高中数学【选修 2-1】2.2.1椭圆及其标准方程课后习题

人教版高中数学精品资料2.2.1 椭圆及其标准方程课时演练·促提升A组1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.答案:A2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.答案:C3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4,∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:B4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()A.=1B.=1C.+y2=1D.+x2=1解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).则2a==4,故a=2.又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:B5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.答案:A6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.答案:-6<m<27.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.答案:11或298.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.解析:由已知,得2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=19.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得cos ∠F1PF2==.即∠F1PF2的余弦值等于.10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20>12,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.B组1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()A.24B.26C.22D.24解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=2=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.答案:A2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:∵=0,∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.答案:B3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,∴c2=4,c=2.设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),即b4=12,∴b2=2.答案:24.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=-1=,故动点M的轨迹方程为=1.5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.解:(1)由题意知,2c=4,c=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为=1.(2)设点P坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2||y0|=2,∴|y0|=,y0=±.代入椭圆方程=1,得x0=±2,∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0.又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<.所以点P横坐标的范围是。

数学北师大版选修2-1导学案3.1.2椭圆的简单性质

§3.1.2 椭圆的简单性质【学习目标】1.知道并记住椭圆的对称性、椭圆上点的范围、顶点、离心率的几何性质；2.知道标准方程中e c b a ,,,的几何意义及它们之间的互相关系；3.能初步利用椭圆的有关知识来解决有关椭圆的实际问题.一、知识记忆与理解【自主预习】1.自主预习课本6966P P -内容，结合课本的内容及三道例题，了解椭圆的对称性、范围、顶点、离心率的几何意义，并完成下表：2.离心率的几何意义是什么？椭圆的离心率如何刻画椭圆的扁平程度？【预习检测】1.椭圆116422=+y x 的离心率是________； 2.已知椭圆1522=+ky x 的离心率510=e ，则实数k 的值为________；3.已知椭圆的中心在原点，且对称轴是坐标轴，离心率23=e ，且过点)3,2(P ，求此椭圆的标准方程.二、思维探究与创新【问题探究】探究一：椭圆的顶点坐标、焦点坐标及离心率求椭圆369422=+y x 长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.变式训练1：求满足下列条件的的椭圆的离心率：（1）椭圆的长轴长是短轴长的2倍；（2）椭圆的两焦点之间的距离等于长轴的端点与短轴端点间的距离；整理反思焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程对称性范围顶点轴长焦点焦距离心率探究二：根据椭圆的性质求椭圆的方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长是短轴长的的2倍，且过点)6,2(-；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距是6.变式训练2：求与椭圆14922=+y x 有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程【归纳总结】求椭圆的离心率通常有两种方法：1.若给定椭圆的方程，则根据焦点的位置先求22,b a ，再求出c a ,的值，利用公式ac e =直接求解；2.若椭圆的方程未知，则根据条件建立c b a ,,之间的关系式，化成关于c a ,的齐次方程，再将方程两边同时除以a 的最高次幂，得到e 的方程，解方程求出e .【当堂检测】 1.椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值是（）41.A 21.B 2.C 4.D 2.设)2,0(πα∈，方程1cos sin 22=+ααyx 表示焦点在x 轴上的椭圆，则∈α （）]4,0.(πA )2,4.(ππB )4,0.(πC )2,4.[ππD3.已知)0,1(1-F ，)0,1(2F 是椭圆12222=+by a x 的两个焦点，若椭圆上一点P 满足1PF +2PF =4，则椭圆的离心率是____； 4.已知椭圆m y m x =++22)3(的离心率23=e ，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.【拓展延伸】设椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的两焦点为1F ，2F ，若在椭圆上存在一点P ，使→→⋅21PF PF 0=，求椭圆的离心率e 的取值范围.整理反思。

人教A版高中数学高二版选修2-1 《椭圆及其标准方程》导学案

2.1.1《椭圆及其标准方程》导学案一、【学习目标】1、知识与技能：理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程.2、过程与方法:通过亲身操作加深定义的认识.3、情感、态度与价值观:让学生在发现中学习，提高学生的积极性。

培养解析法的思想。

二、【重点难点】【重点难点】椭圆的定义和标准方程。

三、【教学过程】【回顾知识，提出问题】(一) 新课复习:(1)圆是如何定义的？(2)到两定点距离之和为定值的点的集合又是什么曲线呢？（二）问题导学:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作教具，画椭圆问题2：写出椭圆上的点满足的关系式________________________________________问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。

两个定点的距离用______表示。

常数用______表示【合作探究】:椭圆的定义为什么要满足2a >2c呢？(1)当2a >∣F1F2∣时，轨迹是_____(2)当2a =∣F1F2∣时，轨迹是_____(3)当2a <∣F1F2∣时轨迹是. _____【小试牛刀】动点P到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离和是8,则动点P 的轨迹为（）（A）椭圆（B）线段F1F2（C）直线F1F2（D）不能确定。

问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导椭圆方程的过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c三个量满足的关系式为：___________问题8：如何判断焦点在何轴?【小试牛刀】根据下列方程，分别求出a 、b 、c(1)椭圆标准方程为161022=+y x ，则a = ,b = , =c ； (2)椭圆标准方程为1522=+y x ，则a = ,b = , =c ； (3)椭圆标准方程为8222=+y x ，则a = ,b = , =c .四、【例题讲解】例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式题：1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.【规律方法总结】五、【课堂检测】1.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是_____.2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上； (2)15,4==c a ，焦点在x 轴上.六、【归纳总结】1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程.3.会根据条件求椭圆的标准方程，掌握其方法.附答案：1.14 2. 2222(1)116(2)116x y y x +=+=。

高中数学选修2-1北师大版椭圆及其标准方程学案(含答案)

1.1 椭圆及其标准方程．会求简单的椭圆方程.1．椭圆的定义我们把平面内到两个定点F 1，F 2的________等于____(__________)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F 1，F 2叫作椭圆的____，两个焦点F 1，F 2间的距离叫作椭圆的____．预习交流1思考交流：定义中的常数为什么要大于焦距|F 1F 2|？如果小于或等于|F 1F 2|会出现什么情况？2．椭圆的标准方程(1)椭圆上任意一点的坐标都是方程______________的解；以方程________________的解为坐标的点都在椭圆上．我们将方程________________叫作椭圆的标准方程，焦点坐标是________，________，其中c 2＝________.(2)如果椭圆的焦点在y 轴上，其焦点坐标为F 1(0，－c )，F 2(0，c )．它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其中b 2＝a 2－c 2. 预习交流2(1)如何用几何图形解释b 2＝a 2－c 2？a ，b ，c 在椭圆中分别表示哪些线段的长？(2)如何判断焦点的位置？答案：1．距离之和常数大于|F 1F 2→| 焦点焦距预习交流1：提示：当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．(1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0) F 2(c,0)a 2－b 2 预习交流2：(1)提示：椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离之和的一半，可借助右图帮助记忆．a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c2，其中c 是焦距的一半．(2)提示：看x 2a 2＋y 2b2＝1中a ，b 的大小，如果a ＞b＞0，则焦点在x 轴上，如果0＜a ＜b ，则焦点在y 轴上．1．椭圆定义的理解命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和为|P A |＋|PB |＝2a (a ＞0，且a 为常数)；命题乙：点P 的轨迹是椭圆，且A ，B 是椭圆的焦点．则命题甲是命题乙的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件已知圆B ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1,0)，C 为圆B 上任一点，则AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹是________．到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点间的距离的点的轨迹是椭圆，此时这个常数为2a ，两定点的距离为2c .2．椭圆的标准方程的求法求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y 轴上，且经过点(0,2)和(1,0)．思路分析：利用待定系数法，设出椭圆方程，确定a ，b 的值即可．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程．当且仅当椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式，当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a ＞b ＞0)，当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(其中a ＞b ＞0)．答案：活动与探究1：B 解析：若点P 的轨迹是椭圆，且A ，B 是椭圆的焦点，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a ＞0，且a 为常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a ＞0，且a 是常数)，不能推出点P 的轨迹一定是椭圆，仅当2a ＞|AB |时，点P 的轨迹才是椭圆，当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB .当2a ＜|AB |时，轨迹不存在．∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．迁移与应用1：椭圆提示：如图所示，连接AP .∵l 垂直平分AC ，∴|AP |＝|CP |，∴|PB |＋|P A |＝|BP |＋|PC |＝4＞|AB |＝2.∴P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．活动与探究2：解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，又∵椭圆过点(5,0)，∴a ＝5，又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. 迁移与应用2：解：∵椭圆9x 2＋5y 2＝45可化为x 25＋y 29＝1，焦点坐标为F 1(0，－2)，F 2(0,2)．可设所求椭圆的方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)． ∴2a ＝MF 1＋MF 2＝(2－0)2＋(6＋2)2＋22＋(6－2)2＝43，∴a ＝23，c ＝2，b ＝2 2.∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 212＝1. 1．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到其中一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )．A ．2B ．3C ．5D ．72．已知过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则点A ，B 与椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )．A ．2 2B ．2 C. 2 D ．1 3．椭圆x 2＋y 2k＝1的一个焦点是()0，5，则k ＝( )． A ．－6 B ．6 C.5＋1 D ．1－ 54．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________________． 5．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，求|ON |的长．答案：1．D 解析：∵x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，设椭圆的两焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝3，由椭圆的定义知|PF 2|＝2a －3＝10－3＝7.2．A 解析：由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，故△ABF 2的周长为4a ＝2 2. 3．B 解析：∵椭圆x 2＋y 2k＝1的一个焦点是()0，5， ∴k －1＝(5)2，∴k ＝6.4．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由焦点在y 轴上得0＜1k 2－1＜13，即k 2－1＞3， ∴k ＞2或k ＜－2.5．解：如图，设椭圆的右焦点为F 2，连接MF 2.∵O 是F 1F 2的中点，N 是MF 1的中点，∴|ON |＝12|MF 2|， ∵椭圆方程为x 225＋y 29＝1，∴a ＝5， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝10，又∵|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.。

2018年秋新课堂高中数学人教B版选修2-1学案：第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质(一) Word版含答案

2.2.2椭圆的几何性质(一)学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)[自主预习·探新知]椭圆的简单几何性质[提示]最大距离：a＋c；最小距离：a－c.(2)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？[提示]在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．[基础自测]1．思考辨析(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆．( )(2)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距相等．( ) (3)已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12，则k 的值为4或－54.( )[提示] (1)× 离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆． (2)√(3)√ 由e 2＝1－b2a 2；又因椭圆的焦点在x 轴或在y 轴上，所以有两个值．当a ＞1时，焦点在x 轴上，a 2＝k ＋8，c 2＝k －1，又e ＝12，所以14＝k －1k ＋8，解得：k＝4；当k ＜1时，焦点在y 轴上，a 2＝9，c 2＝1－k ，又e ＝12，所以14＝1－k9，解得k ＝－54.2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)D [x 2＋y 26＝1焦点在y 轴上，长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．]3．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A ．32 B ．34 C ．22D ．23A[x24＋y2＝1，a＝2，b＝1，c＝a2－b2＝3，e＝ca＝32.][合作探究·攻重难]坐标．[思路探究]化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．[解]把已知方程化成标准方程x252＋y242＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝ca＝35，两个焦点分别是F1(－3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4)．1．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]椭圆的标准方程为x29＋y281＝1，则a＝9，b＝3.c＝a2－b2＝62，长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)，离心率e＝ca＝223.(1)长轴长是10，离心率是4 5；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【导学号：33242125】[思路探究] 先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a ，b ，c .[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝10，a ＝5.e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1. (2)依题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8. (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.[解] (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1. (2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.[1．求椭圆离心率的关键是什么？[提示] 根据e ＝c a ，a 2－b 2＝c 2，可知要求e ，关键是找出a ，b ，c 的等量关系．2．a ，b ，c 对椭圆形状有何影响？[提示] (1)e ＝ca ＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率.【导学号：33242126】[思路探究] 由题设求得A 、B 点坐标，根据△ABC 是正三角形得出a ，b ，c 的关系，从而求出离心率．[解] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．依题意设A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ，即3b 2＝2ac ，又∵b 2＝a 2－c 2， ∴3a 2－3c 2－2ac ＝0，两边同除以a 2得3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －3＝0，解得e ＝c a ＝33.。

2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 1-1 椭圆

1.1 椭圆及其标准方程(二)学习目标加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.知识点椭圆标准方程的认识与推导思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？思考2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？思考3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.梳理 (1)椭圆的标准方程的形式(2)方程Ax 2＋By 2＝1表示椭圆的充要条件是____________. (3)椭圆方程中参数a ，b ，c 之间的关系为____________.类型一椭圆标准方程的确定例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程.反思与感悟求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置. 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0).类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹.引申探究若本例中“过点P 作x 轴的垂线段PD ”，改为“过点P 作y 轴的垂线段PD ”.那么线段PD 的中点M 的轨迹又是什么？反思与感悟如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1).(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可. 跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.1.若方程x2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(12，＋∞) C.[1，＋∞) D.(－∞，1) 2.设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 216＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 3.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为____________.4.在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________. 5.△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程.1.两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x2a2＋y2b2＝1与y2a2＋x2b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程x2m＋y2n＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式xa＋yb＝1类比，如x2a2＋y2b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小). 要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.提醒：完成作业第三章§1 1.1(二)答案精析问题导学知识点思考1 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上.标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与yb 的平方和，并且分母为不相等的正值.思考2 把方程化为标准形式，与x 2，y 2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上. 思考3 (1)如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .(2)设点：设点M (x ，y )是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0).(3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程，并将其坐标化为(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝2a .①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0). ②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x ，y )为坐标的点到椭圆的两个焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)的距离之和为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫作椭圆的标准方程. 梳理 (2)A >0，B >0且A ≠B (3)a 2＝b 2＋c 2 题型探究例1 解方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).由椭圆的定义知： 2a ＝ (－32)2＋(52＋2)2＋(－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. ∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.例2 解设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆. 引申探究解设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，(*)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0代入(*)式得y 24＋x 2＝1.故点M 的轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆.跟踪训练2 解由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2.∴BQ →＝2QP →.设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎨⎧x 0＝3x －22，y 0＝3y2.又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上. ∴(3x －22)2＋(32y )2＝1.∴点Q 的轨迹方程为(3x －2)24＋94y 2＝1.当堂训练1.A2.A3.x 218＋y 29＝1 4.4 35.解以直线AC 为x 轴，AC 的中点为原点，建立直角坐标系，设A (－3,0)，C (3,0)，B (x ，y )，则|BC |＋|AB |＝a ＋c ＝2b ＝2|AC |＝12， ∴B 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，且a ′＝6，c ′＝3，b ′2＝27. 故所求的轨迹方程为x 236＋y 227＝1(y ≠0).。

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-1学案：3.1.2+椭圆的简单性质+Word版含答案

1．2椭圆的简单性质知识点一椭圆的对称性及范围[填一填](1)椭圆x2a2＋y2b2＝1是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心为椭圆的中心．(2)椭圆上所有的点都位于直线x＝±a，y＝±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.[答一答]如果知道椭圆在第一象限的图像，能否画出其他象限的图像？提示：可以．因为椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，如把第一象限的图像关于x轴、y轴对称，就可得到第四、第二象限内的图像．又知椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，所以作出以原点为对称中心的中心对称图形就可得到第三象限内的图像，坐标轴上的点亦如此．知识点二椭圆的顶点、离心率[填一填](1)椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．椭圆x2a2＋y2b2＝1中的a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．(2)我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即e＝ca.显然0<e<1，e越接近1，椭圆就越扁．反之，e越接近0，椭圆就越接近圆，当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2.[答一答]你能运用三角知识解释为什么e＝ca越大，椭圆越扁，e＝ca越小，椭圆越接近于圆吗？提示：如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，ca越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；ca越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆，当a＝b时，图形变为圆．1．关于椭圆的简单性质的几个注意点：(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上．(2)a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．(3)求椭圆的离心率通常有两种方法：①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e＝ca直接求解．②若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c，e满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e.(4)凡涉及椭圆上的点与焦点的连线问题，通常可考虑利用定义来解决．(5)绘制反映椭圆基本形状和大小的草图的方法：在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．2．与椭圆有关的最值问题：(1)与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性，涉及数学知识的多种知识点，诸如几何、三角函数等，亦与椭圆的定义、方程联系紧密，思维能力要求比较高．(2)常用的方法有如下四种：①利用定义转化为几何问题来处理；②利用参数方程转化为三角函数的最值来处理；③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；④利用函数求最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值求解．题型一已知椭圆方程，研究其几何性质【例1】已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．【思路探究】将椭圆方程化为标准形式，用m 表示出a ，b ，c ，再由e ＝32，求出m 的值，然后再求2a,2b ，焦点坐标，顶点坐标．【解】椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1(m >0)，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0， ∴m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3. ∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12， B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.规律方法求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解：把已知方程化成标准方程得x281＋y29＝1，则a＝9，b＝3，c＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝ca＝223，焦点为F1(－62，0)，F2(62，0)，顶点为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．题型二利用椭圆的几何性质，求椭圆的方程【例2】写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)；(2)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；(3)一顶点为A(2,0)，离心率为2 2.【思路探究】根据题中所给条件，结合椭圆的简单性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)．若没有指明焦点位置，要分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论．【解】(1)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34.所以所求椭圆的标准方程为x234＋y225＝1.(2)由题意知a＝5，c＝3，所以b2＝25－9＝16，又焦点所在坐标轴可为x 轴，也可为y 轴，所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1.(3)当椭圆的焦点在x 轴上时，因为a ＝2，e ＝c a ＝22，所以c ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝2，所以所求椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝2，e ＝c a ＝22，所以a 2－b 2a ＝22，所以a 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1或y 28＋x 24＝1.规律方法由椭圆的简单性质求椭圆标准方程的步骤：(1)确定焦点所在的位置，进而确定椭圆标准方程的形式，若焦点位置不确定，则需分类讨论；(2)由条件直接确定a ，b 的值或建立关于a ，b ，c 的方程(组)，解出a ，b 的值；(3)写出椭圆的标准方程．(1)与椭圆9x 2＋5y 2＝45有共同的焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.(2)已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，则此椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.解析：(1)方法1：由9x 2＋5y 2＝45，得x 25＋y 29＝1，其焦点坐标分别为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为点M (2，6)在椭圆上，所以|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43，解得a ＝2 3.又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.方法2：由方法1，知F 1(0,2)，F 2(0，－2)，设所求椭圆的标准方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ>0)．将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ1＝8，λ2＝－2(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.(2)方法1：若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧ 2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.方法2：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由题意，得⎩⎨⎧25m ＋0n＝1，2m ＝5×2n 或⎩⎨⎧ 25m ＋0n＝1，2n ＝5×2m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝25，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝25，n ＝625. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. 题型三求椭圆的离心率【例3】已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．【思路探究】求离心率，即求c a ，只需求出a ，c 的值或将a ，c用同一个量表示．本题没有具体数值，因此只需得出a ，c 的关系，这由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得．【解】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c,0)，c 2＝a 2－b 2，则P (－c ，b 1－c 2a 2)，即P (－c ，b 2a )．∵AB ∥PO ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac .∴b ＝c .又a ＝b 2＋c 2＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 规律方法将垂直与平行的条件用坐标表示，得到a ，c 的关系式是关键．已知椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，与x 轴正半轴交于点A ，O 为坐标原点，如果椭圆上存在点M ，使∠OMA ＝90°，求离心离e 的取值范围．解：以OA 为直径的圆的方程为(x －a 2)2＋y 2＝a 24，问题转化为该圆与椭圆有交点，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ (x －a 2)2＋y 2＝a 24，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y ，并整理得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，解之得x 1＝ab 2a 2－b2，x 2＝a . 由于M 点不在x 轴上，故舍去x ＝a ，∴x ＝ab 2a 2－b2＝a (1－e 2)e 2. 由于0<x <a ，∴0<a (1－e 2)e 2<a .∴22<e <1.题型四椭圆中的最值问题【例4】如图，已知定点A (2,1)，椭圆x 2m ＋y 28＝1的一个焦点F 2(1,0)，P 是椭圆上的点．求：|P A |＋|PF 2|的最值．【思路探究】可利用椭圆的定义将问题转化求解．【解】 ∵焦点F 2(1,0)在x 轴上，∴m －8＝1，即m ＝9，椭圆方程为x 29＋y 28＝1.设椭圆的左焦点为F 1，|P A |＋|PF 2|＝|P A |＋2a －|PF 1|＝6＋(|P A |－|PF 1|)．如图，连接AF 1并延长交椭圆于P 1，反向延长AF 1交椭圆于P 2，P 1，P 2分别使|P A |＋|PF 2|取得最大值6＋10和最小值6－10.规律方法利用椭圆的定义将问题转化，借助“三角形两边之和大于第三边”与“三角形两边之差小于第三边”，而当三点共线时取得最小(大)值．F 1是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是椭圆上的动点，A (1,1)为定点，则|P A |＋|PF 1|的最小值是( B )A ．9－ 2B ．6－ 2C ．3＋ 2D ．6＋ 2解析：如图，连接F 2A 并延长交椭圆于点P ′，P 是椭圆上一动点，连接PF 1，PF 2，P A .∵|PF 1|＋|P A |＋|AF 2|≥|PF 1|＋|PF 2|，而|PF 1|＋|PF 2|＝|P ′F 1|＋|P ′F 2|＝|P ′F 1|＋|P ′A |＋|AF 2|，∴|PF 1|＋|P A |＋|AF 2|≥|P ′F 1|＋|P ′A |＋|AF 2|. ∴|PF 1|＋|P A |≥|P ′F 1|＋|P ′A | ＝|P ′F 1|＋|P ′F 2|－|AF 2|＝6－ 2.(当P 与P ′重合时取“＝”号)——易错警示—— 忽视离心率的范围致错【例5】如图，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使PF1→·PF2→＝0，则椭圆的离心率e的取值范围是________．【误解】由题意PF1→·PF2→＝0，得PF1→⊥PF2→.∴点P在以F1F2为直径的圆上，又P在椭圆上，∴圆x2＋y2＝c2与椭圆x2a2＋y2b2＝1有公共点，由图知，b≤c，即b2≤c2⇒a2－c2≤c2⇒ca≥22⇒e≥22，∴椭圆的离心率e的取值范围是[22，＋∞)．【正解】由题意PF1→·PF2→＝0，得PF1→⊥PF2→.∴点P在以F1F2为直径的圆上，又P在椭圆上，∴圆x2＋y2＝c2与椭圆x2a2＋y2b2＝1有公共点，由图知，b≤c<a，即b2≤c2<a2⇒a2－c2≤c2<a2⇒22≤ca<1，即22≤e<1，∴椭圆的离心率e的取值范围是[22，1)．【答案】[22，1)规律方法本题在求解过程中，因忽视离心率的范围导致错解，对于椭圆的离心率必须满足0<e<1.直线y＝－3x与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(C) A.32 B.3－12C.3－1 D．4－2 3解析：设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c，由y＝－3x，得∠AOF2＝2π3，∠AOF1＝π3.∴|AF2|＝3c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＋3c＝2a，∴e＝ca＝3－1.1．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2→|等于(C)A.32B．－ 3C.72D．4解析：易知|PF1→|＝12，∴|PF2→|＝2a－|PF1→|＝4－12＝72.2．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0<k<9)的关系为(B)A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点解析：对于x 225＋y 29＝1，有c 2＝25－9＝16，∴c ＝4，对于x 29－k ＋y225－k＝1，有c 2＝25－k －(9－k )＝16，∴c ＝4.故它们有相等的焦距．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a,0)，B (0，b )的直线的距离为b7，则椭圆的离心率为( A ) A.12 B.54 C.7－76D.7＋76解析：如图，过点F 作FP ⊥AB ，交AB 于点P ，连接BF ，|AB |＝a 2＋b 2，|AF |＝a －c ，|FP |＝b 7，由△AFB 的面积公式得a 2＋b 2·b 7＝(a －c )·b .又因为b 2＝a 2－c 2，整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，所以8(c a )2－14·c a ＋5＝0，即8e 2－14e ＋5＝0.所以e ＝12或e ＝54(舍去)，所以e ＝12.4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1.解析：由两个焦点三等分长轴知3×2c ＝2a ，即a ＝3c ，又a ＝9，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴所求椭圆的标准方程为：x 281＋y272＝1.5．已知1m ＋2n ＝1(m >0，n >0)，当m ·n 取得最小值时，求椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率．解：∵1m ＋2n ＝1(m >0，n >0)， ∴1m ＋2n ≥22mn ，即m ·n ≥8，当且仅当1m ＝2n ，即n ＝2m 时等号成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ，mn ＝8，∴m ＝2，n ＝4，∴c 2＝n 2－m 2＝16－4＝12， ∴c ＝23，∴e ＝c n ＝32.。

高中数学选修2-1北师大版椭圆的简单性质学案1(含答案)

1.2 椭圆的简单性质自主整理椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的简单性质1.对称性椭圆2222by a x +=1是以x 轴,y 轴为对称轴的_____________,且是以原点为对称中心的_____________,这个对称中心称为_____________. 2.范围椭圆上所有的点都位于直线_____________所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足_____________. 3.顶点(1)椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的_____________. (2)椭圆2222b y a x +=1的四个顶点的坐标分别为A 1_____________,A 2_____________,B 1_____________,B 2_____________. (3)线段A 1A 2,B 1B 2分别叫作椭圆的_____________和_____________,|A 1A 2|=_____________,|B 1B 2|=_____________. (4)a 和b 分别叫作椭圆的_____________和_____________. 4.离心率(1)我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的_____________,用e 表示,e=_____________.(2)e 的取值范围是.e 越接近1,椭圆就越_____________,反之,e 越接近0,椭圆接近于_____________.当且仅当a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为_____________,它的方程为_____________. 高手笔记我们根据椭圆的标准方程2222by a x +=1(a ＞b ＞0)来研究椭圆的几何性质.(1)椭圆的范围.由标准方程可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22ax ≤1,22b y ≤1,即x 2≤a 2,y 2≤b 2,所以|x|≤a,|y|≤b.这说明椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形区域里. (2)椭圆的对称性.①判断曲线关于x 轴,y 轴,原点对称的依据.a.若把方程中的x 换成-x,方程不变,则曲线关于y 轴对称;b.若把方程中的y 换成-y,方程不变,则曲线关于x 轴对称;c.若把方程中的x,y 同时换成-x,-y,方程不变,则曲线关于原点对称. ②椭圆关于x 轴,y 轴对称,也关于原点对称.对于椭圆标准方程,把x 换成-x,或把y 换成-y,或把x,y 同时换成-x,-y,方程都不变,所以图形关于y 轴,x 轴和原点都是对称的.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. (3)椭圆的顶点.①椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)与坐标轴的交点.令x=0,得y=±b;令y=0,得x=±a.这说明A 1(-a,0),A 2(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点,B 1(0,-b),B 2(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点.因为x 轴,y 轴是椭圆的对称轴,所以,椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫作椭圆的顶点.②椭圆的长轴,短轴.线段A 1A 2叫作椭圆的长轴,它的长为2a,a 叫作椭圆的长半轴长. 线段B 1B 2叫作椭圆的短轴,它的长为2b,b 叫作椭圆的短半轴长. (4)椭圆的离心率.椭圆的焦距与长轴长的比,称作椭圆的离心率,记作e=ac a c =22. 因为a ＞c ＞0, 所以0＜e ＜1.e 越接近1,则c 就越接近a,从而b=22c a -越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近0,从而b 越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形这时就变为圆,此时方程即为x 2+y 2=a 2. 名师解惑1.如何解决与特征△PF 1F 2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题?剖析:一般涉及与△PF 1F 2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理),面积公式相结合的方法进行计算与解题. 2.如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 剖析:离心率e=ac与a,b,c 之间的关系:c 2=a 2-b 2,长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化.椭圆的离心率e=a c ,用a,b 表示为e=2)(1ab -,当a b 越小时,椭圆越扁,e 越大;当a b 越大,椭圆趋近圆,e 越小,并且0＜e ＜1.讲练互动【例1】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6),求椭圆的标准方程. 解析:设出方程,将点的坐标代入,求a 2,b 2,用待定系数法求方程.答案:设椭圆的标准方程为2222b y a x +=1或2222by a x +=1(a ＞b ＞0).由已知a=2b,又过点(2,-6),所以1)6(22222=-+b a 或12)6(2222=+-ba . 所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==.13,5237,1482222b a b a 或所以所求方程为3714822y x +=1或135222x y +=1. 绿色通道当方程有两种形式时,应分类求解,即设出两种形式的方程,再由其他条件求出参数.椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,它们之间的关系确定题中椭圆的形状. 变式训练1.已知c=8,e=32,求椭圆的标准方程. 答案:因为e=32,所以a c =32.又因为c=8,所以a=12.所以b 2=a 2-c 2=122-82=80.所以所求椭圆的标准方程为118014411801442222=+=+x y y x 或. 【例2】已知椭圆x 2+(m+3)y 2=m(m ＞0)的离心率e=23,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长,焦点坐标,顶点坐标.解析:解决本题的关键是确定m 的值,应先将椭圆方程化为标准形式,用m 表示a,b,c,再由e=23,求出m 的值. 答案:椭圆方程可化为m y m x 22+=1, 因为m-3+m m =3)2(++m m m ＞0, 所以m ＞3+m m,即a 2=m,b 2=3)2(22++=-m m m b a .由e=23,得32++m m =23,所以m=1.所以椭圆的标准方程为x 2+412y =1.所以a=1,b=21,c=23. 所以椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为F 1(23-,0),F 2(23,0);四个顶点分别为A 1(-1,0),A 2(1,0),B 1(0,21-),B 2(0, 21).绿色通道解决有关椭圆的问题,一般首先应弄清椭圆的类型,而椭圆的类型又决定于焦点的坐标.要掌握好椭圆的几何性质:范围,对称性,顶点,离心率.熟练掌握椭圆的定义,标准方程,几何性质这些基本概念是解决计算问题,证明问题及其他有关问题的基础和关键. 变式训练2.椭圆9x 2+y 2=81的长轴长为___________,短轴长为___________,焦点坐标为___________,顶点坐标为___________,离心率为___________.解析:将9x 2+y 2=81化为标准方程1932222=+y x ,所以椭圆长轴在y 轴上,其中a=9,b=3,c=62.所以长轴长2a=18,短轴长2b=6,焦点坐标为F 1(0,-62)、F 2(0,62),顶点坐标为A 1(-3,0),A 2(3,0),B 1(0,-9),B 2(0,9). 离心率为e=322926==a c . 答案:18 6 (0,-62),(0,62) (-3,0),(3,0),(0,-9),(0,9)322 【例3】椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是两个顶点,如果F 1到直线AB 的距离为7b,则椭圆的离心率e=___________-. 解析:要求e 的值,就是要求出a,c 的值或a 与c 的关系,为此需利用F 1到直线AB 的距离为7b 建立方程,从而求解.答案:如图,过点F 1作F 1P ⊥AB,交AB 于P,|AB|=22b a +,|AF 1|=a-c,|F 1P|=7b,由△AF 1B 面积公式得a 2+b 2·7b=(a-c)·b.又因为b 2=a 2-c 2,所以整理得8c 2-14ac+5a 2=0.所以8(a c )2-14·a c+5=0,即8e 2-14e+5=0. 所以e=21或e=45(舍去).所以e=21绿色通道解决椭圆离心率的问题,要利用题目中条件及椭圆的几何性质,建立关于a,b 的方程进而求出离心率.同时要注意0＜e ＜1,同时题目中还利用了三角形面积的转换与点到直线的距离公式. 变式训练3.设M 为椭圆2222by a x +=1上一点,F 1,F 2为椭圆的焦点,如果∠MF 1F 2=75°,∠MF 2F 1=15°,求椭圆的离心率. 答案:由正弦定理得︒+︒=︒+︒+=︒=︒︒75sin 15sin 275sin 15sin ||||75sin ||15sin ||90sin 22121aMF MF MF MF c ,所以e=3660sin 2115cos 15sin 1=︒=︒+︒=a c .。

高中数学选修2-1北师大版椭圆的简单性质学案2(含答案)

1.2 椭圆的简单性质1．椭圆的对称性及范围(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1是以__________为对称轴的__________，且是以____为对称中心的____________，这个对称中心称为椭圆的____．(2)椭圆上所有的点都位于直线____________所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足____________．预习交流1想一想：如果知道椭圆在第一象限的图像，能否画出其他象限的图像？ 2．椭圆的顶点、离心率(1)椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的____．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中的a 和b 分别叫作椭圆的________和________．(2)我们规定椭圆的____与________的____叫作椭圆的离心率，用e 表示，即e ＝________.显然________，e 越接近1，椭圆就____．反之，e 越接近0，椭圆就越______，当______时，______，这时两个焦点重合，图形变为____，它的方程为____________．预习交流2想一想：你能运用三角知识解释为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁，e ＝ca越小，椭圆越接近于圆吗？答案：1．(1)x 轴、y 轴轴对称图形原点中心对称图形中心 (2)x ＝±a ，y ＝±b |x |≤a ，|y |≤b预习交流1：提示：可以．因为椭圆是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，如把第一象限的图像关于x 轴、y 轴对称，就可得到第四、第二象限内的图像，又知椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，所以作出以原点为对称中心的中心对称图形就可得到第三象限内的图像，坐标轴上的点亦如此．2．(1)顶点长半轴长短半轴长 (2)焦距长轴长度比 ca0＜e ＜1 越扁接近圆 a ＝b c ＝0 圆 x 2＋y 2＝a 2预习交流2：提示：如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，ca越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；ca越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆，当a ＝b 时，图形变为圆．1．椭圆的简单性质的理解如图所示，椭圆上哪两个点到椭圆的焦点F 1的距离分别最大和最小？其最值为多少？如图，把椭圆x 225＋y216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作y 轴的平行线交椭圆上半部分于P 1，P 2，P 3，…，P 7七个点，F 1是椭圆的一个焦点，则|P 1F 1|＋|P 2F 1|＋…＋|P 7F 1|＝________.凡涉及焦点问题，应先考虑椭圆的定义，有时借助椭圆的对称性，可使复杂问题简单化，收到意想不到的效果．2．椭圆的顶点和离心率如图所示，椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长为________，短轴长为________，焦点坐标为________________，顶点坐标为________________，离心率为________．求满足下列条件的椭圆的离心率． (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍；(2)椭圆两焦点间的距离等于长轴的端点与短轴端点间的距离．椭圆的离心率e ＝ca是椭圆的固有性质，与椭圆的位置无关．求椭圆的离心率e ，即求比值ca，而在椭圆方程中a 2＝b 2＋c 2，所以求离心率只需寻求a ，b ，c 三者或者其中两者之间的关系即可．3．根据性质求椭圆的方程求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程．思路分析：由x 29＋y 24＝1易得椭圆的焦点，又e ＝c a ＝55，可求a ，c 的值，再由b 2＝a 2－c 2解得b 值，从而求得椭圆方程．已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求椭圆的标准方程．求椭圆的标准方程时，要确定焦点的位置及a ，b 的值．若不能确定焦点的位置时，应分两种情况进行讨论．答案：活动与探究1：解：设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆与y 轴的两交点为B 1，B 2，则点B 2到F 1的距离最大，其最大值为a ＋c ，点B 1到焦点F 1的距离最小，其最小值为a －c .迁移与应用1：35 解析：根据椭圆的对称性，设椭圆的另一个焦点为F 2，利用椭圆的定义，则：|P 1F 1|＋|P 2F 1|＋…＋|P 7F 1|＝(P 1F 1＋P 7F 1)＋(P 2F 1＋P 6F 1)＋(P 3F 1＋P 5F 1)＋P 4F 1 ＝(P 1F 1＋P 1F 2)＋(P 2F 1＋P 2F 2)＋(P 3F 1＋P 3F 2)＋P 4F 1 ＝7a ＝35.活动与探究2：18 6 F 1()0，－62，F 2()0，62 A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－9)，B 2(0,9) e ＝223解析：椭圆方程9x 2＋y 2＝81可化为x 29＋y 281＝1，∴a 2＝81，∴a ＝9,2a ＝18，b 2＝9，b ＝3,2b ＝6，c 2＝a 2－b 2＝81－9＝72，∴c ＝62，∴e ＝c a ＝629＝223.∴长轴长为2a ＝18，短轴长为2b ＝6，焦点坐标为F 1()0，－62，F 2()0，62，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－9)，B 2(0,9)．迁移与应用2：解：(1)依题意可得2a ＝4b ，即a ＝2b ，∴a 2＝4b 2，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3a 2＝4c 2， ∴c a ＝32，∴离心率e ＝32. (2)由椭圆的性质知2c ＝a 2＋b 2， ∴4c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋(a 2－c 2)，∴5c 2＝2a 2，∴c a ＝105，即离心率e ＝105.活动与探究3：解：由题意知，所求椭圆的焦点为()－5，0，()5，0，∴c ＝ 5.又∵e ＝c a ＝55，∴a ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20，∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.迁移与应用3：解：当椭圆的焦点在x 轴上时，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2c ＝8，∴c ＝4，又b ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝52，∴椭圆的标准方程为y 252＋x 236＝1.1．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2→|等于( )．A.32 B ．－ 3 C.72D ．4 2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( )．A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a,0)，B (0，b )的直线的距离为b7，则椭圆的离心率为( )．A.12B.54C.7－76D.7＋764．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为__________．5．已知1m ＋2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，当m ·n 取得最小值时，求椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1的离心率．答案：1．C 解析：易知|PF 1→|＝12，∴|PF 2→|＝2a －|PF 1→|＝4－12＝72.2．B 解析：对于x 225＋y 29＝1，有c 2＝25－9＝16，∴c ＝4，对于x 29－k ＋y 225－k＝1，有c 2＝25－k －(9－k )＝16，∴c ＝4.故它们有相等的焦距．3．A 解析：如图，过点F 作FP ⊥AB ，交AB 于点P ，连接BF .|AB |＝a 2＋b 2，|AF |＝a －c ，|FP |＝b 7，由△AFB 的面积公式得a 2＋b 2·b7＝(a －c )·b .又因为b 2＝a 2－c 2，整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，所以8⎝⎛⎭⎫c a 2－14·c a＋5＝0，即8e 2－14e ＋5＝0.所以e ＝12或e ＝54(舍去)，所以e ＝12.4.x 281＋y272＝1 解析：由两个焦点三等分长轴知3×2c ＝2a ，即a ＝3c ，又a ＝9，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴所求椭圆的标准方程为：x 281＋y 272＝1.5．解：∵1m ＋2n＝1(m ＞0，n ＞0)，∴1m ＋2n ≥22mn ，即m ·n ≥8，当且仅当1m ＝2n ，即n ＝2m 时等号成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ，mn ＝8，∴m ＝2，n ＝4， ∴c 2＝n 2－m 2＝16－4＝12，∴c ＝23，∴e ＝c n ＝32.。

选修2-1 椭圆习题及答案

选修2-1 椭圆练习题及答案1. 已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数，则动点M 的轨迹是 .A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在2.若方程m x -252+my +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( ) A.(-16，25) B.( 29，25) C.(-16，29) D.( 29，+∞) 3、已知M 是椭圆14922=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ⋅的最大值是（）A 、4B 、6C 、9D 、124、椭圆22125x y m m +=-+的焦点坐标是（A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7)5、若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为（A ）221(0)10036x y y +=≠（B ）221(0)10084x y y +=≠ （C ）221(0)10036x y x +=≠（D ）221(0)10084x y x +=≠ 6、点P 为椭圆22154x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是（A ）(, 1) （B ）, ±1) （C ）（D ）(, ±1) 7．椭圆 221123x y += 的焦点为 1F 和 2F ，点P 在椭圆上，如果线段 1PF 的中点在 y 轴上，那么 1PF 是 2PF的（） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍8．P 为椭圆22110064x y +=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为 . 9．椭圆12222=+by a x (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为 .10．已知直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=，对任意的k 值总有公共点，则m 的取值范围是___________11、求椭圆的方程：（1）、焦距为，求方程；（2）、椭圆过点3(,4)5P -和4(,3)5Q -，求方程；（3）、已知椭圆两焦点为1(F -，2F ，过1F 且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆相交于,M N 两点，若2MF N ∆的周长为12，求方程；（4）、在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 边上；12、求离心率：（1）、椭圆的一个焦点将长轴分成3：2两部分线段，求离心率；（2）、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率？（3）、设F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，且有PF x ⊥轴，//OP AB ，求离心率；13、已知圆:(3)100A x y ++=，圆A 内一定点(3,0)B ，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程； 14、已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．1、C2、B3、C4、D5、B6、D7、A8、391 10. m 大于等于1且不等5 13.解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴14)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点，∴14)24(424221+-=+=k k k x x ，21-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ．方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ．又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --．∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①。

高中数学选修2-1课时作业(椭圆及其标准方程1)附解析

1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y235=1B.y236+x235=1C.x236+y21=1D.x236+y235=1或y236+x235=12.椭圆x 225+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为() A.5 B.6 C.7 D.83.如果方程x 2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24.已知椭圆x 225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.325.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为则这个椭圆的方程为()A.x 212+y29=1B.x29+y212=1C.x212+y29=1或x29+y212=1D.以上都不对6.椭圆x 29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.7.已知F1,F2是椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=.8.已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52,-32,求它的标准方程.9.已知椭圆x 24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,求|PF2|的长.1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y 235=1B.y 236+x 235=1C.x 236+y 21=1D.x 236+y 235=1或y 236+x 235=12.椭圆x 225+y 2=1上的一个点P 到一个焦点的距离为2,则点P 到另一个焦点的距离为( )A.5B.6C.7D.8a 2=25,∴a=5,2a=10.设P 到另一个焦点的距离为d ,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=83.如果方程x 2a +y 2a +6=1表示焦点在x 轴上的椭圆,那么实数a 的取值范围是( )A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是( )A.2B.4C.85.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为 3,则这个椭圆的方程为( )A.x 212+y 29=1B.x 29+y 212=1C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1D.6.椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1PF 2|=-12.故∠F 1PF 2=120°.120°7.已知F1,F2是椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=.,有|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|·|PF2|=18,|PF1|2+|PF2|2=4c2,解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故b=3.8.已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52,-32,求它的标准方程.椭圆的焦点在x轴上,∴可设标准方程为x 2a +y2b=1(a>b>0).∵2a=52+22+-322+52-22+-322=210,∴a=10,a2=10.∵c=2,∴c2=4,∴b2=a2-c2=6.故椭圆方程为x 210+y26=1.9.已知椭圆x 24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,求|PF2|的长.F1的坐标为(-3,0).设P(-3,y),把P(-3,y)代入椭圆的方程中,得|y|=12,即|PF1|=12.根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,故|PF2|=4-|PF1|=4-12=72.。

数学人教B版选修2-1课后导练：2.2.1椭圆及其标准方程

课后导练基础达标1.椭圆121322y x +=1上一点到两个焦点的距离和为…( ) A.26 B.24 C.413 D.213 答案：D2.下列说法中正确的是( )A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条线段答案：D3.已知椭圆的方程为22216m y x +=1,焦点在x 轴上,则m 的范围是( )A.-4≤m≤4且m≠0B.-4<m<4且m≠0C.m>4或m<-4D.0<m<4答案：B4.设P 是椭圆121622y x +=1上一点,P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2,则△PF 1F 2是() A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案：B5.椭圆422y m x +=1的焦距等于2,则m 的值为( )A.5或3B.8C.5D.16 答案：A6.椭圆4x 2+9y 2=1的焦点坐标是________________.答案：(±65,0)7.过点(-3,2)且与4922y x +=1有相同焦点的椭圆的方程是________________. 答案：101522y x +=18.若方程k y k x -+-3522=-1表示椭圆，则实数k 的取值范围是_________________.答案：3＜k ＜5且k≠49.过原点的直线与椭圆2222by a x +=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,若F(c,0)是椭圆右焦点,则△FAB 的最大面积是多少？解析：∵S △FAB =S △OAF +S △OBF =21c·|y A |+分21式c·|y B | =21c·(|y A |+|y B |), 而(|y A |+|y B |)max =2b,∴(S △FAB )max =bc.10.点P 是椭圆4522x y +=1上的一点,F 1、F 2是焦点,且∠F 1PF 2=30°,求△F 1PF 2的面积. 解析：在椭圆4522x y +=1中,a=5,b=2, ∴c=22b a -=1.∵点P 在椭圆上,∴|PF 1|+|PF 2|=2a=25,|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=20.①由余弦定理知|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos30°=|F 1F 2|2=4,②①-②得(2+3)|PF 1||PF 2|=16,∴|PF 1||PF 2|=16(2-3).∴S △F1PF2=21|PF 1||PF 2|·sin30°=8-43. 综合运用 11.F 1，F 2是椭圆C ：4822y x +=1的焦点，在C 上求满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数？解析：a=22，c=2，e=22，设P （x 0，y 0），则|PF 1|=22+22x 0，|PF 2|=22-22x 0. ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即（22+22x 0）2+（22-22x 0）2=16，解得x 0=0.故在椭圆上存在两点，即短轴的两顶点使PF 1⊥PF 2.12.已知圆C 1：（x+1）2+y 2=1和圆C 2：（x-1）2+y 2=9，求与圆C 1外切而内切于圆C 2的动圆圆心P 的轨迹方程.解析：圆C 1圆心C 1坐标为（-1，0），半径r 1=1，圆C 2圆心C 2坐标为（1，0）半径r 2=3，动点P 满足|PC 1|=r+1，|PC 2|=3-r∴|PC 1|+|PC 2|=4∴动点P 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为4的椭圆上，故点P 的轨迹方程为3422y x +=1. 13.已知P 为椭圆6410022y x +=1上的点，设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=3π，求△F 1PF 2的面积.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=20，又∠F 1PF 2=3π 由斜弦定理知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙-+=.400|)||(|,1443cos ||||2||||||221212221221PF PF PF PF PF PF F F π ∴|PF 1|·|PF 2|=3256. ∴S △F1PF2=21|PF 1|·|PF 2|sin 3π=3364. 拓展探究14.(2006河北石家庄二模，21)已知椭圆的焦点是F 1（-1，0）、F 2（1，0）.P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项.（1）求椭圆的方程;(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2=120°，求tan ∠F 1PF 2.解：（1）由题设2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|，∴2a=4.又2c=2.∴b=3. ∴椭圆的方程为3422y x +=1. (2)设∠F 1PF 2=θ，则∠PF 2F 1=60°-θ.由正弦定理得)60sin(||120sin ||sin ||1221θθ-︒=︒=PF PF F F . 由等比定理得.)60sin(120sin ||||sin ||2121θθ-︒+︒+=PF PF F F ∴θsin 2=)60sin(234θ-︒+ 整理得5sinθ=3(1+cosθ). ∴53cos 1sin =+θθ.故tan 532=θ. tan ∠F 1PF 2=tan θ=11352531532=-∙.。

选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析(含详细答案)

选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析知识点一定义和性质的应用设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．解由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝ 5. 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. (1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20.即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43. 所以|PF 1||PF 2|＝72.(2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2. 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去)．所以|PF 1||PF 2|＝2.二圆锥曲线的最值问题已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最值．解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA ′|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210.三轨迹问题抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形F ARB ，求顶点R 的轨迹方程．解设直线AB ：y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x ，y )，由题意F (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2＝4y ，可得x 2－4kx ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k .又AB 和RF 是平行四边形的对角线， ∴x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y ＋1.而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝4k 2－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k y ＝4k 2－3，消去k 得x 2＝4(y ＋3)．由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2－16>0， ∴k >1或k <－1，∴x >4或x <－4.∴顶点R 的轨迹方程为x 2＝4(y ＋3)，且|x |>4.四直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当k ＝0,0<b <1时，求△AOB 的面积S 的最大值；(2)⊥OB →，求证直线l 与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．解 (1)把y ＝b 代入x 22＋y 2＝1，得x ＝±2－2b 2.∴∴S △AOB=21× b22·22122b b +-= ，当且仅当b 2 =21，即b =2 时取等号．∴△AOB 的面积S 的最大值为2.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由得(1+2k 2)x 2+4kbx+2b 2-2=0，∴x 1+x 2=-241kbk+，x 1·x 2= 222212b k -+. 又∵OA ⊥OB ，∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)=0，即x 1x 2+y 1y 2=0.又x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2 +( k x 1+b)(k x 2+b) =(k 2+1)·x 1x 2+kb(x 1 + x 2) +b 2=(k 2+1) 222212b k -+-kb 241kbk ++b 2 =222322012b k k--=+， ∴3b 2 = 2k 2+2.又设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ===.∴l与以原点为圆心，以3为半径的定圆相切，该圆的方程为x 2 + y 2 =32 高考分析1．如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的一个焦点为F (1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ， (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．解方法一 (1)由题设a=2，c=1，从而b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程为22143x y += (2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．设A(m ，n)，则B(m ，-n)(n ≠0)，22143m n +=.① AF 与BN 的方程分别为：n (x －1)－(m －1)y ＝0，n (x －4)＋(m －4)y ＝0.设M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n (x 0－1)－(m －1)y 0＝0， ②n (x 0－4)＋(m －4)y 0＝0， ③由②③得x 0＝5m －82m －5，y 0＝3n2m －5.由于x 204＋y 203＝(5m －8)24(2m －5)2＋3n 2(2m －5)2＝(5m －8)2＋12n 24(2m －5)2＝(5m －8)2＋36－9m 24(2m －5)2＝1.所以点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)设AM 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0.设A (x 1，y 1)、M (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝43·3t 2＋33t 2＋4.令3t 2＋4＝λ (λ≥4)，则|y 1－y 2|＝43·λ－1λ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ2＋1λ ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ－122＋14，因为λ≥4,0<1λ≤14，所以当1λ＝14，即λ＝4，t ＝0时，|y 1－y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN ＝12|NF |·|y 1－y 2|有最大值92.方法二同方法一．(2)(ⅰ)由题意得F (1,0)、N (4,0)，设A (m ，n )，则B (m ，－n ) (n ≠0)，m 24＋n 23＝1.①AF 与BN 的方程分别为n (x －1)－(m －1)y ＝0，② n (x －4)＋(m －4)y ＝0.③由②③得：当x ≠52时，m ＝5x －82x －5，n ＝3y2x －5.④把④代入①，得x 24＋y 23＝1 (y ≠0)．当x ＝52时，由②③得⎩⎨⎧32n －(m －1)y ＝0，－32n ＋(m ＋4)y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，y ＝0，与n ≠0矛盾．所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (y ≠0)，即点M 恒在椭圆C上．随堂练习一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1C ．－1020 D.102答案 A解析化双曲线的方程为x 21m －y 23m＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 答案 B解析由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．则抛物线的准线方程为y ＝p2，由抛物线的定义知|PF |＝p 2－(－2)＝p2＋2＝4，所以p ＝4，抛物线方程为x 2＝－8y ，将y ＝－2代入，得x 2＝16，∴k ＝x ＝±4.3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B. 5 C.52D ．5 答案 B解析由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2， ∴c 2＝5a 2， ∴c 2a 2＝5.∴e ＝ca＝ 5. 4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0 答案 A解析设弦的端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.由x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝－12.∴弦所在的方程为y －1＝－12(x －1)即x ＋2y －3＝0.5．以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析方程可化为y 212－x 24＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．由题意知椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c 2＝a 2－b 2＝12，∴b 2＝a 2－12＝16－12＝4.∴所求方程为x 24＋y 216＝1.6．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 C解析由于没有x 或y 的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 答案 B解析由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4.又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案 B解析由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ， ∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π3，则P 点坐标为( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫455，±4155 C.⎝⎛⎭⎫12，±32 D ．(4，±83)答案 B解析由y ＝±3x 及x 216＋y 212＝1 (x >0)得解．10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( )A.65B.125C.32 D ．3 答案 D解析注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412.可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32.11．过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(0<b <a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是( )A ．abB ．acC ．bcD ．b 2 答案 C解析 S △ABF 2＝S △OAF 2＋S △OBF 2 ＝12c ·|y 1|＋12c ·|y 2|(y 1、y 2分别为A 、B 两点的纵坐标)，∴S △ABF 2＝12c |y 1－y 2|≤12c ·2b ＝bc . 12．抛物线x 2＝ay (a <0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析由已知得准线方程为y ＝－a4，∴P 点坐标为(0，－a4)．设抛物线的切线l 1的方程为y ＝kx －a 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －a 4x 2＝ay，得x 2－akx ＋a 24＝0，由题意得Δ＝a 2k 2－4×a 24＝0，解得k 2＝1，∴y ＝x －a4，∴∠MPN ＝π4，∴π4π12＝3，∴t ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则AB 的长为________．答案 8解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．则直线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1.得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1， |AB |＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(36－4)＝8.14．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋4y 2＝1解析设M (x ，y )，P (x 0，y 0)由题意知 x 0＝x ，y 0＝2y ，∵P (x 0，y 0)在圆上，有x 20＋y 20＝1，∴x 2＋4y 2＝1.即为所求的轨迹方程．15．F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，P 为抛物线上任意一点，以PF 为直径作圆，则该圆与y 轴的位置关系是__________．答案相切解析设P (x 0，y 0)，PF 中点为M ，则M 到y 轴距离d ＝x 0＋p 22＝12|PF |.16．椭圆x 225＋y29＝1上一点P 到两焦点的距离积为m ，则当m 最大时，点P 的坐标是________．答案 (0,3)或(0，－3)解析设椭圆的两焦点分别为F 1、F 2由椭圆定义知： |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 由基本不等式知：m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．即|PF 1|＝|PF 2|＝5，m 取最大值．所以P 点为椭圆短轴的端点．三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a (a>0)，|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．解以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立坐标系，设P(x ，y)是曲线上的任意一点，则A(-a,0)，B(a,0)，C(0，- b)，D(0，b)．由题意知：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，化简得：x 2-y 2= 222a b -即动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222a b - .18．(12分)k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．解当k <0时，曲线y 24－x 2－8k＝1为焦点在y 轴的双曲线；当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2；当0<k <2时，曲线x 28k＋y 24＝1为焦点在x 轴的椭圆；当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；当k >2时，曲线y 24＋x 28k＝1为焦点在y 轴的椭圆．19．(12分)已知椭圆x 29＋y 24＝1及点D (2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36. ② ①－②，得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，因为M (x ，y )为AB 中点，所以x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .所以4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0.当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2＝－4x9y .又y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，所以y －1x －2＝－4x9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.因为当x 1＝x 2时，中点M (2,0)满足上述方程，所以点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.20．(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB 的宽恰好为拱高CD 的4倍，若|AB |＝a 米，求能使卡车通过的a 的最小整数的值．解以拱顶为原点，拱高所在的直线为y 轴建立坐标系，如图，点B 的坐标为(,)24a a -，设抛物线方程为x 2=-2py (p>0)，将点B 的坐标代入得2()2a =-2p ·()4a-，解得p = 2a ，所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(-0.8，y)代入抛物线方程得y=-0.64a，依题意点E 到拱底AB 的距离为4a -|y| =4a -0.64a≥3，解得a ≥12.21. 所以能使卡车通过的a 的最小整数值为13.。

数学选修2-1椭圆练习题含答案

数学选修2-1椭圆练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下图是圆锥曲线的知识结构图，在空白处应填入（）A.圆B.直线C.共轭双曲线D.椭圆2. 过原点作直线AB 与椭圆C ：x 220+y 24=1交于不同两点A ，B ，点F 为椭圆左焦点，则|AF|+|BF|的值为( ) A.√5 B.2√5 C.3√5 D.4√53. 双曲线3x 2−4y 2=−12的焦点坐标为（） A.(±5, 0) B.(0, ±√5) C.(±√7, 0) D.(0, ±√7)4. 若椭圆mx 2+ny 2=1与y =1−x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点连线的斜率为√2，则mn 的值等于( ) A.√33 B.√22C.√3D.√25. 已知椭圆的方程为x 2a 2+y 225=1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过F 1，则△ABF 2的周长为( ) A.10 B.20 C.2√41 D.4√416. 设F 1，F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若MF 1→=3F 1N →，且cos ∠MNF 2=45，则椭圆C 的离心率为（） A.√22 B.√33C.√2−12D.√2−137. 如图，F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，O为坐标原点，P是椭圆上的一点，且满足|F1F2|=2|OP|，若∠PF2F1=5∠PF1F2，则椭圆的离心率为（）A.√32B.√63C.√22D.√238. 已知F1,F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点(1,√22)在椭圆上，且点(−1,0)到直线PF2的距离为4√55，其中点P(−1,−4)，则椭圆E的标准方程为( )A.x2+y24=1 B.x24+y2=1 C.x2+y22=1 D.x22+y2=19. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4, 2)平分，则这条弦所在的直线方程是()A.x−2y=0B.5x+2y−4=0C.x+2y−8=0D.2x+3y−12=010. 如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )A.(0, +∞)B.(0, 2)C.(1, +∞)D.(0, 1)11. 已知椭圆x29+y25=1的两个焦点分别是F1、F2，△MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，则点M的轨迹方程为________．12. 椭圆x23+y24=1的离心率是________．13. 在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α（α为锐角），l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行时，记β=0)，则：当π2>β>α时，平面π与圆锥面的交线为________．14. 已知椭圆C:x 216+y 212=1，F 1，F 2分别为椭圆的两焦点，点P 椭圆在椭圆上，且|PF 2|=3，则△PF 1F 2的面积为________．15. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若直线x =a 2c上存在点P ，使△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是________.16. 已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则C 的离心率为________.17. 已知椭圆x 2m +y 29=1的离心率是13，则实数m 的值是________.18. 已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F 恰为圆F:x 2+y 2−10√2y =0的圆心，直线l:y =3x −2截C 所得弦AB 的中点的横坐标为12，则C 的短轴长为_________.19. 过点(2, −3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点的椭圆的标准方程为________．20. 过点M(1, 1)且与椭圆x 216+y 24=1交于A ，B 两点，则被点M 平分的弦所在的直线方程为________．21. 已知椭圆M 的中心原点O ，点F(−1, 0)是它的一个焦点，直线L 过点F 与椭圆M 交于P 、Q 两点，当直线L 的斜率不存在时，OP →⋅OQ →=12．（1）求椭圆M 的方程；（2）设A 、B 、C 是椭圆M 上的不同三点，且OA →+OB →+OC →=0，证明直线AB 与OC 的斜率之积为定值．22. 已知离心率为√22的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)经过抛物线x 2=−4y 的焦点F ，斜率为1的直线l 经过(1,0)且与椭圆交于C ，D 两点． (1)求△COD 面积；(2)动直线m 与椭圆有且仅有一个交点，且与直线x =1，x =2分别交于A ，B 两点，F 2为椭圆的右焦点，证明|AF 2||BF 2|为定值．23. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为√22，一个焦点为 (−2,0)． (1)求椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距；(2)求椭圆C 的方程.24. 已知以椭圆短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为正三角形，并且焦点到椭圆的最短距离为3，求椭圆的标准方程．25. 设 F 1 ，F 2为椭圆 C:x 29+y 25=1 的两个焦点，M 为C 上一点，且M 在第一象限，若△MF 1F 2 为等腰三角形，则 M 的坐标为________．26. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√63，焦距是2√2． (1)求椭圆的方程；(2)若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，|CD|=6√25，求k 的值．27. 在①C 的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，②长轴长与短轴长之和为6，焦距为2√3；③离心率为√32，点M(2,√3)在C 上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，________，求C 的标准方程．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．28. 已知椭圆C:4x 2+y 2=16. (1)求椭圆C 的长轴长和短轴长 ;(2)求椭圆C 的焦点坐标和离心率;(3)直线l:y =−2x +4与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 29. 椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F 1，过右焦点F 2的直线与椭圆相交于点A ,B ,则△AF 1B 的周长是________．30. 椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1(−1, 0)，长轴为2√2．（1）求椭圆C 的标准方程（2）过左焦点F 1的直线交曲线C 于A ，B 两点，过右焦点F 2的直线交曲线C 于C ，D 两点，凸四边形ABCD 为菱形，求直线AB 的方程．31. 根据下列条件，求椭圆的标准方程．（1）两个焦点的坐标分别为(−4, 0)和(4, 0)，且椭圆经过点(5, 0)；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2, 0)和(0, 1)两点；（3）经过点(2, −3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点．32. 求下列椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率e =35，且经过点A(5√32,−2)；(2) 以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3, 0)．33. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，离心率e =12，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l垂直于x轴且垂足为(√2a2,0)时，△AOB的面积为4√3（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AOB的面积为定值4√3，求弦AB中点的轨迹方程．34. 如图，B，A是椭圆C：x24+y2=1的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．（1）求证：k BQ⋅k AQ=−14；（2）若直线PQ过定点(65,0)，求证：k AP=4k BQ．35. 中心在原点O、焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y−1=0交于A，B两点，C是AB的中点，若以AB为直径的圆过圆点，且OC的斜率为12，求椭圆的方程．36. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y2a +x2b=1(a>b>0)的离心率为√22，两个焦点分别为F1，F2，右顶点为M，且△MF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线l：x+ky=12(k≠0)对称，求实数k的取值范围．37. 如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a2+y2b2=1(x≤0)和y2b2+x281=1(x≥0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）．（1）求“挞圆”的方程；（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0.15)，求该网箱所占水面面积的最大值．38.如图，A，B是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆的右准线．(1)若椭圆C的离心率为12，直线l:x=4，求椭圆C的方程；(2)设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰好过原点，求椭圆C 的离心率．39. 已知椭圆的焦点为F1(−t, 0)，F2(t, 0)，(t>0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．(1)求椭圆方程；(2)如果点P在第二象限且∠PF1F2=120∘，求tan∠F1PF2的值．40. 过椭圆C:x225+y29=1右焦点F的直线l交C于两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，且A不在x轴上．(Ⅰ)求|y1y2|的最大值；(Ⅱ)若|AF||FB|=14，求直线l的方程．参考答案与试题解析数学选修2-1椭圆练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】圆锥曲线的实际背景及作用【解析】此题暂无解析【解答】解：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线.故选D.2.【答案】D【考点】椭圆的简单几何性质椭圆的定义【解析】设F1为椭圆的右焦点，由椭圆对称性可知|AF|+|BF|=12(|AF|+|BF|+|AF1|+|BF1|)，再结合椭圆定义，则|AF|+|AF1|=2a,|BF|+|BF1|=2a,即可求解.【解答】解：设F1为椭圆的右焦点，则由椭圆的对称性以及定义可得：|AF|+|BF|=12(|AF|+|BF|+|AF1|+|BF1|)=12(|AF|+|AF1|+|BF|+|BF1|)=12(2a+2a)=2a.由椭圆方程可知a2=20,所以a=2√5.即|AF|+|BF|=4√5.故选D.3.【答案】D【考点】圆锥曲线的实际背景及作用双曲线的特性【解析】把双曲线3x2−4y2=−12化为标准方程，然后利用双曲线的基本性质求解即可．【解答】解：把双曲线3x2−4y2=−12化为标准方程：y23−x24=1，∴a2=3，b2=4，c=√7，∴双曲线3x2−4y2=−12的焦点坐标是(0, ±√7)．故选：D．4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】设A(x,y1)B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0)由题意可得y1+y2x1+x2=y2x0=√2y2−y1x2−x1=−1（1）因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1mx22+ny22=1两式相减可得m(x1−x2)(x1+x2)+n(y1−y2)(y1+y2)=0（2）（1）（2）联立可得mn=√2.【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0)，由题意可得y1+y2x1+x2=y0x0=√2，y2−y1x2−x1=−1①，因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1，mx22+ny22=1，两式相减可得m(x1−x2)(x1+x2)+n(y1−y2)(y1+y2)=0②，①②联立可得mn=√2.故选D.5.【答案】D【考点】椭圆的定义【解析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意得：b=5，c=4，则a=√b2+c2=√41.由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a . 即有△ABF 2的周长为： |AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2| =4a =4√41．故选D ． 6.【答案】 A【考点】椭圆的离心率【解析】设|NF 1|＝m ，因为MF 1→=3F 1N →，及由椭圆的定义可得|MF 1|，|MF 2|，|NF 2|的值，在两个三角形中由余弦定理可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【解答】设|NF 1|＝m ，因为MF 1→=3F 1N →，所以|MF 1|＝3m ，由椭圆的定义可得|MF 2|＝2a −3m ，|NF 2|＝2a −m ，在△MNF 2中，由余弦定理可得|MF 2|2＝|MN|2+|NF 2|2−2|MN|⋅|NF 2|cos ∠MNF 2，即(2a −3m)2＝(4m)2+(2a −m)2−2⋅4m ⋅(2a −m)⋅45，整理可得m =a3①在△NF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|NF 1|2+|NF 2|2−2|NF 1|⋅|NF 2|⋅cos ∠MNF 2，即(2c)2＝m 2+(2a −m)2−2m ⋅(2a −m)⋅45，即4c 2=a 29+25a 29−2a 3⋅5a 3⋅45，整理可得：c 2a 2=12，所以椭圆的离心率e =ca =√22， 7.【答案】B【考点】椭圆的定义【解析】根据题意可知∠F 1PF 2=90∘，∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，进而求得∠PF 1F 2和∠PF 2F 1，在Rt △PF 1F 2分别表示出|PF 1|和|PF 2|，进而根据椭圆的定义表示出a ，进而求得a 和c 的关系，即椭圆的离心率．【解答】解：∵ |F 1F 2|=2|OP|，O 是F 1F 2的中点， ∴ ∠F 1PF 2=90∘∵ ∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，∴ ∠PF 1F 2=15∘，∠PF 2F 1=75∘∴ |PF 1|=|F 1F 2|sin ∠PF 2F 1=2c ⋅sin 75∘， ∴ |PF 2|=|F 1F 2|sin ∠PF 1F 2=2c ⋅sin 15∘， ∴ 2a =|PF 1|+|PF 2|=2c ⋅sin 75∘+2c ⋅sin 15∘=4c sin 45∘cos 30∘=√6c , ∴ a =√62c , ∴ e =c a=√63. 故选B ． 8.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程【解析】左侧图片未给出解析．【解答】解：设F 2的坐标为(c,0)(c >0)，则k PF 2=4c+1，故直线PF 2的方程为y =4c+1(x −c)，即4c+1x −y −4c c+1=0，点(−1,0)到直线PF 2的距离 d =|−4c+1−4c c+1|√(4c+1)2+1=√(4c+1)2+1=4√55，即(4c+1)2=4，解得c =1或c =−3（舍去），所以a 2−b 2=1，① 又点(1,√22)在椭圆E 上，所以1a 2+12b 2=1，②由①②可得{a 2=2,b 2=1,所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.故选D ． 9. 【答案】 C【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】设这条弦的两端点为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 1236+y 129=1x 2236+y 229=1，两式相减再变形得x 1+x236+ky 1+y 29=0，又由弦中点为(4, 2)，可得k =−12，由此可求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，斜率为k ，则{x 1236+y 129=1，x 2236+y 229=1，两式相减再变形得x 1+x 236+ky 1+y 29=0,又弦中点为(4, 2)，故k =−12，故这条弦所在的直线方程y −2=−12(x −4)，整理得x +2y −8=0；故选C ． 10.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵ x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，把x 2+ky 2=2转化为椭圆的标准方程，得x 22+y 22k=1，∴ 2k >2，解得0<k <1．∴ 实数k 的取值范围是(0, 1)．故选D ．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 11.【答案】x 281+y 245=1(x ≠±9) 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的实际背景及作用椭圆的应用【解析】设重心(x 1, y 1)，M(x 0, y 0) 而F 1(2, 0)，F 2(−2, 0)由重心坐标公式得x 1=2+(−2)+x 03=x 03，y 1=y 03，因为重心在椭圆上，所以(x 03)29+(y 03)25=1，由此可知M 的轨迹方程．【解答】解：设重心(x 1, y 1)，M(x 0, y 0) 而F 1(2, 0)，F 2(−2, 0)由重心坐标公式得 x 1=2+(−2)+x 03=x 03，y 1=y 03，∵ 重心在椭圆上． ∴x 129+y 125=1，所以(x 03)29+(y 03)25=1，即x 0281+y 0245=1，所以M 的轨迹方程为：x 281+y 245=1(x ≠±9)．答案：x 281+y 245=1(x ≠±9)． 12. 【答案】12【考点】椭圆的定义圆锥曲线的实际背景及作用【解析】先根据由椭圆的标准方程求的a 和b ，再根据c =√a 2−b 2求得c ，进而根据离心率的公式求得答案．【解答】解：由椭圆的标准方程x 23+y 24=1可知，a =2，b =√3，∴ c =√a 2−b 2=1 ∴ e =ca =12．故答案为：12．13.【答案】椭圆【考点】平面与圆锥面的截线圆锥曲线的实际背景及作用【解析】根据平面π与圆锥的轴成角的大小，利用从不同角度截圆锥体得到的截面的形状，判断出相应的不可能的截面即可．【解答】解：不同倾角的截面截割圆锥，无论是两个对顶的圆锥，还是一个单个的圆锥，都有下面的关系：(1)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(3)β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．由于题中条件：π2>β>α，故平面π与圆锥面的交线为椭圆．故答案为：椭圆．14.【答案】6【考点】椭圆的定义【解析】本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，利用椭圆的定义，结合|PF1|+|PF2|=8，|PF2|=3可得|PF1|，进而|PF2|⊥|F1F2|，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意椭圆C:x 216+y212=1，a=4，|PF1|+|PF2|=8，∵|PF2|=3，∴|PF1|=5，∵|F1F2|=4，∴PF2⊥F1F2，∴△PF1F2的面积为12×4×3=6，故答案为：6．15.【答案】(√33,1)【考点】椭圆的离心率【解析】由已知P(a 2c ,y)，可得F1P的中点Q的坐标，求出斜率，利用k F1P⋅k F2Q＝−1，可得y2＝2b2－b4c2，由此可得结论。

高二数学选修2-1椭圆练习含答案人教实验A版

2013高二数学（选修2-1）椭圆练习(含答案人教实验A版)2.2椭圆同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是（）A.B.C.D.2．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）A．B.C.D.3．若AB是过椭圆(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAMkBM=（）A．B.C．D．4．“-3m5”是“方程表示椭圆的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（每小题5分，共10分）5.如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为.6.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．三、解答题(共70分)7.（15分）已知点A(－2,0)、B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程8.（20分）如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D 是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C所截线段的长度9.（15分）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.(1）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（2）设过点的直线交椭圆于两点，若△PAB的面积为，求直线的方程10.（20分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点P的坐标为(2，)，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程（2）（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，，且+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标一、选择题1.D解析：由长轴长为12，离心率为，可得,所以.又焦点在轴上，所以椭圆的方程为.2.B解析：∵a=2b,故选B.3.B解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则kAMkBM=.∵A，M在椭圆上，∴，两式相减，可得kAMkBM=，故选B．4.B解析：由方程表示椭圆知即-3m5且m≠1.故选B.二、填空题5.4或-解析：①当焦点在x轴上时，，，∴=k-10.∴k1且e====.解得k=4.②当焦点在y轴上时，=9，=k+80，∴=9-k-8=1-k0.∴-8k1且e====.解得k=-.6.解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是椭圆，其中，,所以椭圆方程为.三、解答题7.解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．①又设椭圆方程为(a24)．②因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故＝1，解得k2＝13. 将①代入②整理，得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝13，即(a2－3)x2＋a2x－34a4＋4a2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，由题意有＝2×45(a23)，求得a2＝8.经检验，此时∆0.故所求的椭圆方程为.8.解：(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，由已知得∵点P在圆上，∴x2＋2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入椭圆C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412.∴线段AB的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.9.解：（1）由题意可知，，所以.所以.所以椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.(2）根据题意可设直线的方程为,,由可得.所以∆所以△PAB的面积.因为△PAB的面积为，所以.令，则.解得（舍去），.所以.所以直线的方程为或.10.解：（1）由椭圆C的离心率e=，得，其中c=.∵椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|=|PF2|，∴(2c)2=()2+(2-c)2，解得c=1，a2=2，b2=1.∴椭圆的方程为+y2=1．（2）由题意，知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m．由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，且，由已知α+β=π，得即化简，得∴整理得m=2k．（3）∴直线MN的方程为y=k（x2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）。

高中北师大版数学选修2-1学案：3.1.1 椭圆及其标准方程含答案

第三章圆锥曲线与方程本章知识要览本章的主要内容包括椭圆、抛物线、双曲线和曲线与方程四部分，重点是椭圆、抛物线、双曲线的定义、方程和几何性质，难点是坐标法的应用．圆锥曲线是解析几何研究的主要曲线，也是解析几何的核心内容，在生产实践和科学试验中有着广泛的应用．掌握椭圆、抛物线、双曲线的标准方程和几何性质是进一步研究其他曲线的基础，也是今后继续学习高等数学的重要阶梯．本章是在集合与对应、函数的图像与性质、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得的方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化．用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用．学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题．为此建议在学习中做到以下几个方面：1．搞清概念，对概念定义应“咬文嚼字”地学习.2．熟悉曲线，能“速写”出符合题目数量特征要求的曲线．3．熟练运用代数、三角、几何和向量等知识．4．处理问题时要在“大处着眼”，即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想；在“小处着手”，即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法．5．充分利用好“数形结合”的思想方法，结合定义与图形进行运算．§1椭圆1．1椭圆及其标准方程知识点一椭圆的定义[填一填]我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．[答一答]定义中的常数为什么要大于焦距|F1F2|？如果小于或等于|F1F2|会出现什么情况？提示：当常数等于|F1F2|时，轨迹是线段F1F2，当常数小于|F1F2|时，轨迹不存在．知识点二椭圆的标准方程[填一填](1)椭圆上任意一点的坐标都是方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的解；以方程x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)的解为坐标的点都在椭圆上．我们将方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)叫作椭圆的标准方程，焦点坐标是F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.(2)如果椭圆的焦点在y轴上，其焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)．它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.[答一答]1．如何用几何图形解释b2＝a2－c2？a，b，c在椭圆中分别表示哪些线段的长？提示：椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助右图帮助记忆．a，b，c恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2，其中c是焦距的一半．2．如何判断焦点的位置？提示：看x2a2＋y2b2＝1中a，b的大小，如果a>b>0，则焦点在x轴上，如果0<a<b，则焦点在y轴上．1．关于椭圆的定义需要注意以下两点：(1)定义中的“平面内”这一限制条件不可缺少，否则就成了空间图形，不是平面曲线了．(2)在椭圆定义的集合表示中，要注意“2a>|F1F2|”这个条件，若没有这个条件，动点的轨迹不一定为椭圆．2．椭圆的标准方程需要注意以下几点：(1)要熟记a，b，c三个量的关系．椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助右图帮助记忆，a，b，c分别为直角三角形的三条边，都是正数，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2，其中c是焦距的一半，叫半焦距．(2)椭圆的标准方程实际上有两种，取决于焦点所在的坐标轴．①x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，焦点在x轴上，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距|F1F2|＝2c.②y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，焦点在y轴上，焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距|F1F2|＝2c.在问题中没有明确说明焦点位置时，两种情况都应注意．3．关于求椭圆的标准方程的几个注意点：(1)求椭圆方程，一般先定型，再定量．“定型”即判定焦点位置，选择标准方程的形式；“定量”即根据题设条件，求出a2，b2的值．(2)若焦点能判定出在x轴(或y轴)上，则方程只有一解；若焦点不确定在哪个坐标轴上，则方程有两解．在解题时要认真区别，不要漏解．当焦点位置无法判断时，常设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝C (A ，B ，C 同号且不为0)，避免分焦点在x 轴、y 轴上讨论．4．关于椭圆的参数方程需要注意如下两点：(1)每个椭圆的参数方程不是唯一的，我们通常所用的只是其中之一，实质上椭圆参数方程就是一个三角代换． (2)椭圆上每个点都可用一个参数表示，参数变化，点变动．题型一椭圆定义的应用【例1】如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．【思路探究】解决椭圆上的点与焦点构成的三角形的面积问题，一般是利用椭圆的定义和余弦定理进行处理．【解】由已知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 1＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是335.规律方法凡涉及到椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a (M 为椭圆上的点，F 1、F 2是椭圆的焦点)，一般进行整体变换；其次，考虑该点的坐标(x 0，y 0)适合椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，然后再进行代数转换．下列说法中正确的是( C )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，到F 1，F 2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C ．到两点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离相等的点的轨迹是椭圆解析：椭圆是到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．A 选项中|F 1F 2|＝8，到F 1，F 2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F 1F 2.B选项中到F1，F2两点的距离之和6小于F1，F2的距离，这样的轨迹不存在．C选项中点(5,3)到F1，F2的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410>|F1F2|＝8，故C选项中的轨迹是椭圆．D选项中所求点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．椭圆x2100＋y236＝1的焦距是16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)；若AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，F2为另一焦点，则△ABF2的周长是40.解析：由椭圆方程x2100＋y236＝1可知a2＝100，b2＝36，∴c2＝a2－b2＝64，∴c＝8.∴焦距2c＝16.两焦点坐标为F1(－8,0)，F2(8,0)．由椭圆的定义可知，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝40. 题型二与椭圆有关的轨迹问题【例2】已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．【思路探究】P为AC垂直平分线上的点，则|P A|＝|PC|，而BC 为圆的半径，从而4＝|P A|＋|PB|，可得点P轨迹为以A，B为焦点的椭圆．【解】如图所示，连接AP.∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|.∴|PB|＋|P A|＝|BP|＋|CP|＝4，∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴点P的轨迹方程为x24＋y23＝1.规律方法求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程．一动圆与圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解：由题意得，两定圆的圆心与半径分别为O1(－3,0)，r1＝1，O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题意可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，∴|MO1|＋|MO2|＝10.由椭圆的定义知，点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c ＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.题型三椭圆标准方程的求法【例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，并且经过点(12，354)；(2)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和(0,1)；(3)经过两点P 1(13，13)，P 2(0，－12)．【思路探究】利用椭圆定义直接求a ，b 或利用待定系数法求a ，b .【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．方法1：由椭圆的定义及两点间的距离公式知2a ＝(12＋1)2＋(354－0)2＋(12－1)2＋(354－0)2＝4，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.方法2：因为椭圆过点(12，354)，所以代入椭圆方程可得14a 2＋4516b 2＝1.①又a 2－b 2＝c 2＝1，②联方①②可解得a 2＝4，b 2＝3.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(3)方法1：①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(13)2a 2＋(13)2b 2＝1，(－12)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝15，b 2＝14. 因为15<14，所以不符合题意，舍去．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (13)2a 2＋(13)2b 2＝1，(－12)2a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝14，b 2＝15.因为15<14，故所求椭圆的标准方程为y214＋x 215＝1.方法2：设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ×(13)2＋B ×(13)2＝1，B ×(－12)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4.即5x 2＋4y 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.规律方法求椭圆方程的常用方法——待定系数法采用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：(1)根据已知条件判断焦点所在的坐标轴，设出相应的标准方程； (2)将已知条件代入，求出a ，b (a 2＝b 2＋c 2，a >b >0)； (3)写出椭圆的标准方程．注意：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )．求符合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，点P 到离它较近的一个焦点的距离等于2；(3)求经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142的椭圆的标准方程．解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，所以a ＝5. 又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵点P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. ∵点P 到离它较近的一个焦点的距离为2， ∴－c －(－10)＝2，∴c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1.(3)方法1：①若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋4b 2＝1，144a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝8，a 2<b 2，这与焦点在y 轴上矛盾．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.方法2：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142的坐标分别代入，得⎩⎨⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.——数学思想—— (一)数学思想方法——整体思想【例4】如图所示，点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．【思路分析】运用整体思想直接求出|PF 1|·|PF 2|，无需单独求，以减少运算量，另外若条件中出现了椭圆上的点，则应考虑椭圆的定义．【解】在椭圆y 25＋x 24＝1中，a ＝5，b ＝2. ∴c ＝a 2－b 2＝1.又∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.①由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4.②①式两边平方得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，③ ③式－②式得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin30°＝8－4 3.规律方法一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题，或把距离之积当作整体来研究，减少运算量，使问题简单化．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据椭圆定义m ＋n ＝20， △F 1PF 2中，由余弦定理得 m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2＝122. ∴m 2＋n 2－mn ＝144. ∴202－3mn ＝144.∴mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(二)相关法求轨迹方程【例5】已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程．【思路分析】求中点M (x ，y )的轨迹方程，可以设出Q (x 0，y 0)，利用中点坐标公式，找出x ，y 与中间变量x 0，y 0之间的关系，再利用已知与x 0，y 0之间的关系，从而得到关于x ，y 之间关系的方程．【解】设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)，利用中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上， ∴x 204＋y 20＝1.将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 中点M 的轨迹方程为(x －12)2＋4y 2＝1.规律方法由已知条件先写出Q 点与M 点的坐标之间的关系，然后用M 点的坐标表示Q 点的坐标并代入Q 点的坐标所满足的方程，整理即得所求的轨迹方程，动点M 与曲线上的动点Q 称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是( A )A ．4x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 214＝1C.x 24＋y 2＝1 D ．x 2＋y24＝1解析：设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0，∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1. ∴点M 的轨迹是一个椭圆，其方程为4x 2＋y 2＝1.1．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到其中一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( D )A ．2B ．3C ．5D ．7解析：∵x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，设椭圆的两焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝3，由椭圆的定义知|PF 2|＝2a －3＝10－3＝7.2．已知过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则点A ，B 与椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( A )A ．2 2B ．2 C. 2D ．1解析：由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，故△ABF 2的周长为4a ＝2 2.3．椭圆x 2＋y2k ＝1的一个焦点是(0，5)，则k ＝( B )A ．－6B ．6 C.5＋1D ．1－ 5解析：∵椭圆x 2＋y2k ＝1的一个焦点是(0，5)，∴k －1＝(5)2，∴k ＝6.4．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y213＝1(k 2－1>0)．由焦点在y 轴上得0<1k 2－1<13，即k 2－1>3，∴k >2或k <－2.5．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，求|ON |的长．解：如图，设椭圆的右焦点为F 2，连接MF 2.∵O 是F 1F 2的中点，N 是MF 1的中点， ∴|ON |＝12|MF 2|.∵椭圆方程为x 225＋y 29＝1，∴a ＝5， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝10，又∵|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8， ∴|ON |＝12|MF 2|＝4.。

2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章圆锥曲线

1.1椭圆及其标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程思考121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.题型一用待定系数法求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.反思与感悟求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程. 解方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.题型二椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积. 解 (1)依题意知|F 1F 2|＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>2＝|F 1F 2|， ∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝|PF 1|，n ＝|PF 2|，则m ＋n ＝2a ＝4. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos120°)，解得mn ＝12. ∴12∆PF F S ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×12sin120°＝3 3.反思与感悟在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF 1|·|PF 2|看作一个整体来处理.跟踪训练2 如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点.求△AF 1B 的周长.解如题图所示，由题意知，点A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以a ＝5，故有|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10， |AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2| ＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝2a ＋2a ＝20.题型三与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程.解以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示.由|BC |＝8可知点B (－4,0)，C (4,0).由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18得|AB |＋|AC |＝10>8＝|BC |，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上. 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0).反思与感悟利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.跟踪训练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程.解如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ，∴|PB |＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|P A |＝10－r ，即|P A |＋|PB |＝10(大于|AB |＝6).∴圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆. ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6.∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1.设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A.椭圆B.直线C.圆D.线段答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段.2.已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B解析由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.3.设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析根据椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 而|F 1F 2|＝4，所以|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2，所以△PF 1F 2是直角三角形，故选B.4.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析方程可化为x 21m ＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆.若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 答案 48解析依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5， |F 1F 2|＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100，即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100. 解得|PF 1|·|PF 2|＝48.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法.3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.。