高中数学 选修2-1椭圆导学案加课后作业及参考答案

椭圆及其标准方程（一）导学案

【学习要求】

1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.

【学法指导】

1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.

2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度

【知识要点】

1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2.

探究点一 椭圆的定义

问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？

问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？

探究点二 椭圆的标准方程

问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.

问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？

问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？

例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－3

2，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.

跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 2

4＝1有公共的焦点，

求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.

例2 已知方程x 2k －4－y 2

k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.

跟踪训练2 若方程x 2m －y 2

m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )

A ．m >0

B ．0

C ．－2

D ．m >1且m ≠ 2

探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用

例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 2

3

＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.

跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 2

24

＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________

【当堂检测】

1．椭圆x 2

25＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

2．若方程x 225－m ＋y 2

m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )

A ．－9

B ．8

C ．16

D ．m >8

3．椭圆x 216＋y 2

32

＝1的焦距为________.

4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 2

9

＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________

【课堂小结】

1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；

当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.

2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.

【拓展提高】

1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，2

1

=，则21PF F ∆的面积为（ ） A ．

3

3

B ．3

C ．32

D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程

（2）若点P 在第二象限，210

12,120F PF PF F ∆=∠求的面积

3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹

是 ，它的方程是 4． 椭圆22

194

x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。

【课后作业】

一、基础过关

1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段

2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 2

9＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为

( )

A ．16

B ．18

C ．20

D ．不确定

3．“1

23－m ＝1表示椭圆”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 4．已知F 1，F 2是椭圆x 224＋y

249＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则三角形PF 1F 2的面

积等于

( )

A ．24

B ．26

C ．22 2

D ．24 2

5．焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为 ( )

A ．x 213＋y 212＝1

B ．x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1

C ．x 213＋y 2＝1

D ．x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1

6．方程x 22m －y

2m －1

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________.

7．已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝3

2

，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为______.

8．求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13，13，P 2⎝⎛⎭⎫0，－1

2的椭圆的标准方程. 二、能力提升

9．已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为 ( )

A ．9或917

B ．34或3

2

C ．9或34

D ．917或3

2

10．已知椭圆x 225＋y

29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线

段ON 的长是________.

11．已知椭圆y 2a 2＋x 2

b 2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值.

12．如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 2

3＝1，P 点是椭圆上的一点，且

∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积.

三、探究与拓展

13．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝2

2

，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程.

椭圆及其标准方程（二）导学案

【学习要求】

加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.

【学法指导】

通过例题的学习，进一步用运动、变化的观点认识椭圆，感知数学与实际生活的联系，通过生成椭圆的不同方法，体会椭圆的几何特征的不同表现形式.

【双基检测】

1．设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9

a (a >0)，则点P 的轨迹是 ( )

A ．椭圆

B ．线段

C ．不存在

D ．椭圆或线段

2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为 ( ) A ．－1 B ．1 C ． 5

D ．－ 5

3．“m >n >0”一定是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”吗？

4．椭圆x 212＋y 2

3＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，

那么|PF 1|是|PF 2|的_____倍.

5．已知椭圆的焦距是2，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项，求椭圆的标准方程

【问题探究】

探究点一 定义法求轨迹方程

例1 如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点