概率统计基本公式

概率统计公式

概率统计公式概率统计是一种数学方法，是通过研究和分析数据，推导出事件发生的概率，并使用统计模型和公式进行预测和推断。

概率统计公式是概率统计的基础，它们用于计算和描述概率的各种特性。

在这里，我们将介绍一些常见的概率统计公式。

1.概率公式概率公式用于计算事件发生的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间S中元素的个数。

2.条件概率公式条件概率公式用于计算在已知一些信息的情况下一些事件发生的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

3.乘法定理乘法定理用于计算多个事件同时发生的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

4.加法定理加法定理用于计算多个事件中至少有一个发生的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B分别发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

5.贝叶斯公式贝叶斯公式用于根据已知的信息，计算一些事件的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

6.期望值公式期望值公式用于计算随机变量的平均值。

其中最基本和常见的公式是：E(X) = ∑(xi × P(xi))其中，E(X) 表示随机变量的期望值，xi 表示随机变量 X 的可能取值，P(xi) 表示随机变量取各个值的概率。

概率统计公式大全(复习重点)

概率统计公式大全(复习重点)概率统计公式大全（复习重点）在学习概率统计的过程中，熟练掌握相关的公式是非常关键的。

本文将为大家详细介绍一些常用的概率统计公式，并对其进行简要的说明和应用举例，以便复习和巩固知识。

一、基本概率公式1. 事件的概率计算公式P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A中有利的结果数；n(S)表示样本空间S中的全部结果数。

例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。

解：样本空间S中共有52张牌，红心牌有13张，所以 P(红心牌) = 13 / 52 = 1 / 4。

2. 条件概率计算公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。

例如：某班级男女生分别有30人和40人，从中随机选择一名学生，求选到女生并且是优等生的概率。

解：女生优等生有20人，所以 P(女生且是优等生) = 20 / （30+ 40）= 1 / 7。

二、常用离散型随机变量的数学期望与方差1. 随机变量的数学期望计算公式E(X) = ∑[x * P(X=x)]其中，E(X)表示随机变量X的数学期望；x表示随机变量X的取值；P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。

例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的数学期望。

解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。

2. 随机变量的方差计算公式Var(X) = E((X - E(X))²)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E(X)表示随机变量X的数学期望。

例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的方差。

解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。

概率计算公式

概率计算公式概率计算是数理统计学中的重要内容，通过运用概率计算公式，我们可以对事件发生的可能性进行精确的预测和分析。

本文将介绍几种常用的概率计算公式，帮助读者更好地理解和应用概率计算。

一、频率法频率法是概率计算中最直观和常用的方法之一，它是通过实验数据的频率来估计事件发生的概率。

频率法概率计算公式如下：```P(A) = n(A) / n```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验总次数。

通过观察事件发生的实际频率，可以得出事件发生的概率近似值。

二、古典概型古典概型指的是指定试验中所有可能结果等可能的情况。

在古典概型中，可以使用以下概率计算公式：```P(A) = n(A) / n(S)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的有利次数，n(S)表示样本空间的大小。

三、总概率定理总概率定理用于计算在多个条件下的概率。

当有多个互斥事件B1、B2、…、Bn，且它们的并集等于样本空间S时，可以使用总概率定理进行计算。

总概率定理公式如下：```P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

总概率定理在实际问题中具有广泛的应用，通过将复杂问题分解为简单事件的条件下的概率计算，可以更好地解决实际问题。

四、条件条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率计算公式如下：```P(A|B) = P(A∩B) / P(B)```其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以帮助我们更好地理解事件之间的相关性，当我们已经了解到某个条件下的概率时，可以通过条件概率公式计算其他事件的概率。

概率论数理统计公式整理

概率论数理统计公式整理一、概率论公式1.定义公式:-事件概率的定义:若E为随机试验的一个事件，S为样本空间，则事件E发生的概率可以表示为P(E)=n(E)/n(S)，其中n(E)表示事件E中元素的个数，n(S)表示样本空间S中元素的总数。

2.概率计算公式:-加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A,B为两个事件。

-条件概率公式:P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中A,B为两个事件，且P(B)≠0。

-乘法公式:P(A∩B)=P(A)P(B，A)，其中A,B为两个事件。

3.全概率公式与贝叶斯公式:-全概率公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i=1,2,...,n。

-贝叶斯公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中i=1,2,...,n。

二、数理统计公式1.随机变量的概率分布:-离散型随机变量的概率分布:P(X=x)=p(x)，其中x为随机变量X的取值，p(x)为概率质量函数。

- 连续型随机变量的概率密度函数: f(x) ≥ 0，且∫f(x)dx = 12.随机变量的数学期望:- 离散型随机变量的数学期望: E(X) = Σxip(xi)，其中xi为随机变量X的取值，p(xi)为X取值为xi的概率。

- 连续型随机变量的数学期望: E(X) = ∫xf(x)dx。

3.方差和标准差:- 离散型随机变量的方差: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ(xi - E(X))^2p(xi)。

概率统计公式大全汇总

概率统计公式大全汇总概率统计是一门研究随机现象的理论和方法的学科，它包含了许多重要的公式和定理。

在这篇文章中，我将给出一些概率统计的重要公式的概览，以便复习和总结。

1.概率的基本公式概率是指事件发生的可能性，可以通过以下公式计算：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)是事件A发生的概率，n(A)是事件A的样本空间中有利结果的个数，n(S)是样本空间中所有可能结果的个数。

2.加法准则当事件A和事件B不相容时，其和事件的概率可以通过以下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)如果事件A和事件B是相容的，则有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)3.乘法准则当事件A和事件B是相互独立的时，其交事件的概率可以通过以下公式计算：P(A∩B)=P(A)*P(B)如果事件A和事件B不是相互独立的，则有：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)4.条件概率条件概率是指在已知一些事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以通过以下公式计算：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)5.全概率公式全概率公式用于计算在多个事件的情况下一些事件的概率。

根据全概率公式，可以将一些事件划分为几个互不相容的子事件，然后分别计算每个子事件的概率，并将其加权求和。

全概率公式如下：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)其中，B1、B2、..、Bn表示将样本空间划分的互不相容的子事件。

6.贝叶斯公式贝叶斯公式描述了在已知B发生的条件下，事件A发生的概率。

根据贝叶斯公式，可以通过条件概率、全概率和边际概率来计算后验概率。

贝叶斯公式如下：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)7.期望值期望值是随机变量的平均值，表示随机变量在每个可能取值上的发生概率乘以对应的取值，并将其加权求和。

期望值可以通过以下公式计算：E(X)=Σ(x*P(X=x))其中，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值x的概率。

1 1− x2
1 (arctanx)′ = 1+ x2
(arccot x)′ = − 1
1+ x2
2. 有限次四则运算的求导法则
(u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + uv′
3. 复合函数求导法则
(Cu)′ = Cu′ ( C为常数 ) u ′ u′v − uv′ (v ≠ 0) ( )= 2 v v
y = f (u) , u = ϕ(x)
dy dy d u ⋅ = = f ′(u) ⋅ϕ′(x) dx d u dx
二、基本积分表
(1)
∫ kdx = kx + C
xµ dx = ∫
( k 为常数)
(2)
1 xµ +1 + C µ +1
(µ ≠ −1)
dx (3) ∫ = x
ln x + C
dx (4) ∫ = arctan x + C 1+ x2
需要满足一定的条件
分部积分法
∫ uv′ dx = uv − ∫ u′v dx
或
∫ ud v = uv − ∫ v du
1) v 容易求得 ;
分部积分公式
容易计算 .
y y = y2 (x)
(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形 : • 若积分区域为
D
y = y1(x) a bx
则
∫∫D f (x, y) dσ = ∫a d x∫y (x)
Inan = nIna
(2) In( a / b) = Ina − Inb
Ine = x
x
In(1/ b) = −Inb
1

概率统计公式大全

概率统计公式大全概率统计是研究随机现象及其规律性的一门学科，其核心就是用数学方法来描述和分析随机现象。

在概率统计的理论体系中，有很多重要的公式和定理，下面对一些常用的公式进行介绍。

1.概率公式：(1)加法规则：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A和B为事件，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

(2)乘法规则：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

2.条件概率公式：(1)贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率。

(2)全概率公式：P(B)=ΣP(Ai)×P(B，Ai)，其中B是一个事件，Ai是样本空间的一个划分，即Ai是互不相容且并集为样本空间的一组事件。

3.期望公式：(1) 离散型随机变量的期望：E(X) = ΣxiP(X=xi)，其中X是一个离散型随机变量，xi是X的取值，P(X=xi)是X取值为xi的概率。

(2) 连续型随机变量的期望：E(X) = ∫xf(x)dx，其中X是一个连续型随机变量，f(x)是X的概率密度函数。

4.方差公式：(1) 离散型随机变量的方差：Var(X) = Σ(xi-E(X))^2P(X=xi)，其中Var(X)表示随机变量X的方差，xi是X的取值，E(X)是X的期望，P(X=xi)是X取值为xi的概率。

(2) 连续型随机变量的方差：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx，其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)是X的期望，f(x)是X的概率密度函数。

概率统计公式大全

概率统计公式大全概率统计是一门研究事件发生的可能性及其规律性的学科。

它以概率论为基础，通过概率模型和统计方法对随机现象进行建模、分析和预测。

在概率统计中，有很多重要的公式和定理，下面将简单介绍几个常用的公式。

1.加法原理加法原理是计算多个事件并集概率的基本方法，它表述为：如果A和B是两个事件，那么它们的并集事件的概率可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

2.乘法原理乘法原理是计算多个事件交集概率的基本方法，它表述为：如果A和B是两个事件，那么它们的交集事件的概率可以表示为P(A∩B)=P(A)*P(B，A)，其中P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

3.条件概率条件概率是指在其中一事件已经发生的条件下，另一事件发生的概率。

条件概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(B)不为0。

4.全概率公式全概率公式是计算事件的概率的重要方法，它表述为：如果B1、B2、..、Bn是一组互不相容的事件，且它们的并集构成了样本空间S，那么对于任意事件A，可以表示为P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)。

5.贝叶斯定理贝叶斯定理是利用条件概率和全概率公式来计算事件的概率的重要方法，它表述为：如果B1、B2、..、Bn是一组互不相容的事件，且它们的并集构成了样本空间S，那么对于任意事件A，可以表示为P(Bi，A)=P(A，Bi)*P(Bi)/(P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn))。

6.期望值期望值是度量随机变量平均取值的重要统计量，它可以表示为E(X)=∑x*P(X=x)，其中x为随机变量X的取值，P(X=x)为X取值为x的概率。

7.方差方差是衡量随机变量取值的波动性的统计量，它可以表示为Var(X)= E((X - E(X))^2)，其中E(X)为随机变量X的期望值。

概率与统计学的主要公式及解题技巧

一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB);P(A-B)=P(A)-P(AB);如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B);P(A )=1-P(A);B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率：P(A|B)=P(AB)P(B);或记：P(AB)=P(A|B)*P(B);2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...),事件X=x k 的概率为：P{X=x k }=P k ,k=1,2,3...;---既X 的分布律；X X1X2....xn PkP1P2...pnX 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。

分布函数：F(x)=P{X ≤x},-∞ t ∞;是概率的累积！P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1);P{X>a}=1-P{X<a}离散型rv X;F(x)=P{X ≤x}=x k tp k ;(把X<x 的概率累加）连续型rvX ；F(x)=−∞xf x dx ,f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(∞)=1;F(−∞)=0;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}=n k p k(1−p)n−k，k=0,1,2,...n;E(X)=np,D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X～Π(λ)P{X=k}=λk e−λk!,k=0,1,2,...;E(X)=λ,D(X)=λ;③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),则：密度函数：f(x)=1b−a,a t0,其它=0,x x−a b−a1,x≥b,a t分布函数F(x)=−∞x f x dx④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)=1θe−xθ,0 t0,其它F(x)=1−e−xθ0,x 0;⑤连续型：正态分布：X～N(μ,σ2),most importment!密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ,E(X)=µ,方差D(X)=σ2;当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。

概率统计公式大全

概率统计公式大全第1章随机事件及其概率行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：① 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；② 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用”来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间, 用°表示。

一个事件就是由"中的部分点（基本事件小组成的集合。

通常用大写字母儿 B,C,…表示事件，它们是©的子集。

为必然事件，0为不可能事件。

不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q ）的概率为1,而概率为1随机试验和随机事件（5）基本事件、样本空间和事件第二章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为 X(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件 (X=X<)的概率为P(X=x<)=p k , k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出： x | X —X 2, ,x k ,P(X x k ) p 1, p 2, , p k,。

显然分布律应满足下列条件:p k 1(1) p k 0,k 1,2,, (2)k1。

1) 离型机量分律散随变的布对于离散型随机变量，F(x) pxk Xx对于连续型随机变量 ,F (x) f (x) dx4)分布函数设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数F(x) P(X x)称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a X b) F(b) F(a)可以得到X 落入区间(a,b ］的概率。

分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-R, x ］的概率。

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。

Ω为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。

概率统计公式大全汇总

概率统计公式大全汇总1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本点数，n(S)表示样本空间的样本点数。

2.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。

3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

4.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

5.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A的概率。

6.期望值公式：E(X)=∑(x*P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示X的取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。

7.方差公式：Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E[X^2]表示X的平方的期望值，E[X]表示X的期望值。

8.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。

9.二项分布概率公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，p表示每个元素成功的概率，n表示试验次数。

10.正态分布概率公式：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率，Φ表示标准正态分布的累积分布函数，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。

概率统计公式

概率统计公式概率统计是一门研究随机现象规律的学科，它是数学的一个分支，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。

在概率统计的研究中，有许多重要的公式被广泛应用。

本文将介绍概率统计的一些重要公式，帮助读者了解概率统计的基本原理和公式。

1.基本概率公式(1)事件的概率公式对于一个随机事件A，其概率可以表示为P(A)。

假设样本空间Ω中可能出现的所有事件数为n，事件A中包含的基本事件数为m，则事件A 的概率可以用如下公式表示：P(A)=m/n(2)互斥事件的概率公式对于两个互斥事件A和B，其概率可以表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)(3)事件的补事件的概率公式对于事件A的补事件A'，其概率可以表示为：P(A')=1-P(A)2.条件概率公式(1)条件概率公式对于事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)(2)全概率公式对于一组事件B1,B2,...,Bn，它们互斥且构成了样本空间Ω的一个划分，事件A可以表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)(3) Bayes公式对于一组事件B1,B2,...,Bn，它们互斥且构成了样本空间Ω的一个划分，事件A可以表示为：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)]3.随机变量公式(1)离散型随机变量的概率质量函数对于离散型随机变量X，其取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，概率质量函数可以表示为：P(X = xi) = pi(2)随机变量的期望公式对于离散型随机变量X，其期望可以表示为：E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn(3)二维离散型随机变量的协方差公式对于二维离散型随机变量(X,Y)，其协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]4.连续型随机变量公式(1)连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) ≥ 0, ∫f(x)dx = 1(2)连续型随机变量的期望公式对于连续型随机变量X，其期望可以表示为：E(X) = ∫xf(x)dx(3)二维连续型随机变量的协方差公式对于二维连续型随机变量(X,Y)，其协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]5.大数定律和中心极限定理(1)大数定律对于一组独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，其均值为μ，方差为σ^2，当n趋向于无穷大时，样本均值的概率收敛于总体均值，即：lim(n→∞) P(，(X1 + X2 + ... + Xn) / n - μ，< ε) = 1(2)中心极限定理对于一组独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，其均值为μ，方差为σ^2，当n趋向于无穷大时，样本均值的分布趋向于正态分布，即：lim(n→∞) P[(X1 + X2 + ... + Xn - nμ) / (σ√n) < x] =Φ(x)以上是一些概率统计中常用的公式，它们对于理解概率统计的基本原理和进行实际计算非常重要。

概率和统计公式大全

概率和统计公式大全1.基本概率公式-事件发生的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)是事件A发生的可能结果数，n(S)是总的可能结果数。

-互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)，其中A和B是互斥事件。

-对立事件的概率：P(A')=1-P(A)，其中A'表示事件A的补集。

2.条件概率公式-两个事件A和B同时发生的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)，其中P(B，A)表示已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

-两个事件A和B互斥的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

-两个事件A和B互相独立的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B)。

3.随机变量和概率分布- 随机变量的期望：E(X) = ∑(xi * P(X=xi))，其中xi是随机变量X的可能取值，P(X=xi)是随机变量X取值为xi的概率。

- 随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) -(E(X))^2-二项分布的概率：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个的组合数，p是单次实验成功的概率。

-正态分布的概率：P(a≤X≤b)=Φ((b-μ)/σ)-Φ((a-μ)/σ)，其中Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数，μ是正态分布的均值，σ是标准差。

4.抽样与统计推断-样本均值的期望：E(x̄)=μ，其中μ是总体均值。

- 样本方差的无偏估计：s^2 = Σ(xi - x̄)^2 / (n-1)，其中xi是样本中的观察值，x̄是样本均值，n是样本容量。

-正态总体均值的置信区间：x̄±t*(s/√n)，其中x̄是样本均值，s是样本标准差，n是样本容量，t是自由度为n-1的t分布的临界值。

-正态总体比例的置信区间：p±z*√(p(1-p)/n)，其中p是样本比例，n是样本容量，z是标准正态分布的临界值。

概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--例：证明：成立。

得证。

成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-⋃-⋃-==-=-⋃--)).) 2、对偶率：.----⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ；3、概率性率：(1))()()(212121A P A P A A P A A +=⋃为不相容事件，则、有限可加：(2))()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：特别，（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ⋃-===--求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=⋃-=⋃==-+=⋃=-=-∴===+∴=+---B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB 又即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22nC n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率称为无条件概率。

的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(B P B A A P AB P A B P =B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：)|()()(i i A B P A P B P i∑=全概率公式：)|()()|()()()()|(j j ji i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==贝叶斯公式：例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。

概率统计公式

概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：A AB A AA A =∪=∅∪Ω=Ω∪)(AB A A A A A =∪∩∅=∅∩=Ω∩)()(AB A B A B A −==−反演律：B A B A =∪BA AB ∪=∩∪n i i n i iA A 11===∪∩n i in i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P −=若B A ⊂)()()(A P B P A B P −=−⇒对任意两个事件A ,B ,有)()()(AB P B P A B P −=−加法公式：对任意两个事件A ,B ,有)()()()(AB P B P A P B A P −+=∪)()()(B P A P B A P +≤∪)()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P ⋯⋯∪−≤<<≤≤<≤==−+++−=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=−−n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P ⋯⋯⋯⋯全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P −=≤−≤=≤<5．离散型随机变量(1)0–1分布1,0,)1()(1=−==−k p p k X P k k (2)二项分布),(p n B 若P (A )=pn k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()(⋯=−==−*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有⋯,2,1,0!)1(lim ==−−−∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ(3)Poisson 分布)(λP ⋯,2,1,0,!)(===−k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1)均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=1,,0)(ab a x x F (2)指数分布)(λE ⎪⎩⎪⎨⎧>=−其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥−<=−0,10,0)(x e x x F x λ(3)正态分布N (µ,σ2)+∞<<∞−=−−x e x f x 222)(21)(σµσπ∫∞−−−=xt te x F d 21)(222)(σµσπ*N (0,1)—标准正态分布+∞<<∞−=−x e x x 2221)(πϕ+∞<<∞−=Φ∫∞−−x t e x xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量(X ,Y )的分布函数∫∫∞−∞−=xy dvduv u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数∫∫∞−+∞∞−=xX dvduv u f x F ),()(∫∫∞−+∞∞−=yY dudv v u f y F ),()(∫+∞∞−=du y u f y f Y ),()(8.连续型二维随机变量(1)区域G 上的均匀分布，U (G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x A y x f (2)二维正态分布+∞<<−∞+∞<<∞−×−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+−−−−−−y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σµσσµµρσµρρσπσ9.二维随机变量的条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y ∫∫+∞∞−+∞∞−==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(∫∫+∞∞−+∞∞−==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k kk p x X E随机变量函数的数学期望X 的k 阶原点矩)(k X E X 的k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的k 阶中心矩)))(((k X E X E −X 的方差)()))(((2X D X E X E =−X ,Y 的k +l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的k +l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((−−X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E −−X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−)()())())(((X 的方差D (X )=E ((X -E (X ))2))()()(22X E X E X D −=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X −−=)()()(Y E X E XY E −=())()()(21Y D X D Y X D −−±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。

概率统计公式大全

（16）贝叶斯公式（用于求后验概率）
n
A Bi
2°
i1 ，且 P( A) 0 ，
则
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，…n。
P(Bj )P(A/ Bj )
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，（ i 1，2 ，…，n ），通常叫先验概率。P(Bi / A) ，（ i 1，2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
（6）事件的关系与运算
A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：

概率统计相关公式

())!(!!x n x n n x−=离散随机变量的分布离散随机变量的分布连续随机变量的分布，函数表示为：① p （x ）≥0 ② 随机变量的均值：表示分布中心位置随机变量的方差随机变量的方差：用来表示散布的大小，越小越集中标准差用σσ表示表示：：X是离散随机变量X是离散随机变量 X 是连续随机变量 X 是连续随机变量二项分布二项分布：x =0，1，……，n 其中表示从n个不同元素取出x 个的组合数记为b（n，p）二项分布的均值二项分布的均值：：E(x)=np 方差：Var(x)=np(1-p) 标准差：正态分布正态分布：：能描述很多质量特性X随机取值的统计规律性。

1.正态分布概率密度函数正态分布概率密度函数：：（-∞＜x ＜+∞）正态分布含两个参数μ和σ，常记：N(μ, σ2)。

其中μ为分布均值（即分布中心）；σ2为分布方差；σ﹥0为分布标准差。

2.标准正态分布标准正态分布：：μ=0且σ=1的正态分布，称为标准正态分布，记N（0，1），其变量记为U，概率密度函数记为φ(u)标准正态分布常用的几个公式标准正态分布常用的几个公式：：①P(U ≤a)=P(U ＜a)=Ф(a) ②P(U ＞a)=1-Ф(a) ③Ф(-a)=1-Ф(a) ④P(a ≤U ≤b)=Ф(b)- Ф(a) ⑤P(|U|≤a)=2Ф(a)-13.标准正态分布N (0(0，，1)1)的分位数的分位数 — α分位数分位数（（α为0~1间实数间实数））指它的左侧面积恰好为α，右侧面积恰好为1-α，即用概率表达当α=0.5时，称为中位数称为中位数，，N(0，1)分布中u0.5≡0 α＜0.5时，如α=0.25则u0.25=-u0.75 — 查附表 u0.75=0.675，故u0.25=-0.675 4.有关正态分布的计算性质1：设，则性质2：设，则对任意实数a ，b 有① ②② ③③ 不合格率不合格率：：——质量特性X 的分布的分布，，在过程受控情况下在过程受控情况下，，常为正态分布N(μ,σ2) P=PU+ PL——产品规范限产品规范限，，是对产品质量特性所作的要求是对产品质量特性所作的要求，，这些要求可能是顾客要求这些要求可能是顾客要求；；可能是标准；可能是企业规定的技术要求可能是企业规定的技术要求。

概率统计基本公式

概率统计公式

概率统计公式大全(复习重点)

概率计算公式

概率论数理统计公式整理

概率统计公式大全汇总