相交线与平行线知识点总复习附答案

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人教版七年级数学下册第五章_相交线与平行线_全章知识点归纳及典型题目练习(含答案)

人教版七年级数学下册第五章_相交线与平行线_全章知识点归纳及典型题目练习(含答案)

第五章相交线与平行线1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________.2.两直线相交所成的四个角中,有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为__________.对顶角的性质:______ _________.3.两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,_______________.4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做________________________.5.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.6.在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.7.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.8.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________.9.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .10.平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:_________________.⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:____________________________________ .11.判断一件事情的语句,叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项,结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是_____,“那么”后接的部分是_________.如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.12. 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______.⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.熟悉以下各题:13. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____,点B 到AC 的距离是_______,点A 、B 两点的距离是_____,点C 到AB 的距离是________.14. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,a) 若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________;b) 若,a b b c ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________;c) 若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.15. 如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG的度数.16. 如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由.17. 如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( )又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( )∴∠E =∠____( )∴∠B +∠E =∠1+∠2即∠B +∠E =∠BCE .18. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,求证:12∠=∠.19. 阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ .证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( )又∵∠1=∠2,∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2,即 ∠MEP =∠______∴EP ∥_____.( )20. 已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC 的大小;⑵∠PAG 的大小.21. 如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.22. 已知:如图∠1=∠2,∠C =∠D ,问∠A 与∠F 相等吗?试说明理由.如图⑦,正方形ABCD 中,M 在DC 上,且BM = 10,N 是AC 上一动点,求DN + MN 的最小值。

七年级下数学相交线与平行线专题总结(含答案)[1]

七年级下数学相交线与平行线专题总结(含答案)[1]

相交线与平行线专题总结一、知识点填空1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________.2.对顶角的性质可概括为:3.两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______.4.垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做6.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中:⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.7.在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.8.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________. 9.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________.10.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .11.平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:________________________________ .12.判断一件事情的语句,叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项,结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是,“那么”后接的部分是_________. 如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.13.把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.14.平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全___ ___.⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________. 二:典型题型训练15.如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm⊥===那么点A到BC的距离是_____,点B到AC的距离是_______,点A、B两点的距离是_____,点C到AB的距离是________.16.设a、b、c为平面上三条不同直线,若//,//a b b c,则a与c的位置关系是_________;若,a b b c⊥⊥,则a与c的位置关系是_________;若//a b,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.17. 如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数.18. 如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由.19. 如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE 过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( ) 又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( ) ∴∠E =∠____( ) ∴∠B +∠E =∠1+∠2即∠B +∠E =∠BCE .20. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,求证:12∠=∠.21. 阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ . 证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( ) 又∵∠1=∠2,∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2, 即 ∠MEP =∠______∴EP ∥_____.( )22. 已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC 的大小;⑵∠PAG 的大小.23. 如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠24.已知:如图∠1=∠2,∠C=∠D,问∠A与∠F相等吗?试说明理由.三:兴趣拓展平行线问题:平行线是我们日常生活中非常常见的图形.练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段.正因为平行线在生活中的广泛应用,因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识.正因为平行线在几何理论中的基础性,平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象.历史上关于平行公理的三种假设,产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何),它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用.现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何,它是建立在这样一个公理基础之上的:“在平面中,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”.在此基础上,我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理.下面我们举例说明这些知识的应用.例1 如图 1-18,直线a∥b,直线 AB交 a与 b于 A,B,CA平分∠1,CB平分∠ 2,求证:∠C=90°例2 如图1-21所示,AA1∥BA2求∠A1=∠B1+∠A2.例3如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.例4求证:三角形内角之和等于180°.例5求证:四边形内角和等于360°.例6如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC∥l.求证: A,B,C三点在同一条直线上.例7如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°,EF⊥CD.求证:∠3=∠B.四,课后思考题1.如图1-31所示.已知AB∥CD,∠B=100°,EF平分∠BEC,EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.2.如图1-32所示.CD是∠ACB的平分线,∠ACB=40°,∠B=70°,DE∥BC.求∠EDC和∠BDC的度数.3.如图1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30°,∠DCE=60°,EF,EG三等分∠AEC.问:EF与EG中有没有与AB平行的直线,为什么?4.证明:五边形内角和等于540°.5.如图1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥ACCD∥EF.求证:EF 平分∠DEB.参考答案一:1.邻补角2.对顶角,对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行.9.平行10.两直线平行同位角相等;两直线平行内错角相等;两直线平行同旁内角互补.11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15.28°118°59°16. OD⊥OE理由略17. 1(两直线平行,内错角相等)DE∥CF(平行于同一直线的两条直线平行)2(两直线平行,内错角相等).18.⑴∵∠1=∠2,又∵∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠3∴a∥b(同位角相等两直线平行)⑵∵a∥b∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠2=∠3(对顶角相等)∴∠1=∠2.19. 两直线平行,同位角相等MFQ FQ同位角相等两直线平行20. 96°,12°.21.,AD BC FE BC⊥⊥Q90EFB ADB∴∠=∠=o//EF AD∴23∴∠=∠//,31DG BA∴∠=∠Q1 2.∴∠=∠22. ∠A=∠F .∵∠1=∠DGF (对顶角相等)又∠1=∠2 ∴∠DGF =∠2 ∴DB ∥EC (同位角相等,两直线平行) ∴∠DBA =∠C (两直线平行,同位角相等) 又∵∠C =∠D ∴∠DBA =∠D ∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)∴∠A =∠F (两直线平行,内错角相等).三 例1 如图 1-18,直线a ∥b ,直线 AB交 a 与 b 于 A ,B ,CA 平分∠1,CB 平分∠ 2,求证:∠C=90°分析 由于a ∥b ,∠1,∠2是两个同侧内角,因此∠1+∠2=过C 点作直线 l ,使 l ∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移.证 过C 点作直线l ,使l ∥a(图1-19).因为a ∥b ,所以b ∥l,所以∠1+∠2=180°(同侧内角互补). 因为AC 平分∠1,BC平分∠2,所以 又∠3=∠CAE ,∠4=∠CBF(内错角相等),所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立, 即“两条直线a ,b 被直线AB 所截(如图1-20所示),CA ,CB 分别是∠BAE 与∠ABF 的平分线,若∠C=90°,问直线a 与直线b 是否一定平行?”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置),因此,不妨模仿原问题的解决方法来试解.例2 如图1-21所示,AA 1∥BA 2求∠A 1-∠B 1+∠A 2.分析 本题对∠A 1,∠A 2,∠B 1的大小并没有给出特定的数值,因此,答案显然与所给的三个角的大小无关.也就是说,不管∠A 1,∠A 2,∠B 1的大小如何,答案应是确定的.我们从图形直观,有理由猜想答案大概是零,即∠A1+∠A2=∠B1.①猜想,常常受到直观的启发,但猜想必须经过严格的证明.①式给我们一种启发,能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2.这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线,它将∠B1一分为二.证过B1引B1E∥AA1,它将∠A1B1A2分成两个角:∠1,∠2(如图1-22所示)因为AA1∥BA2,所以B1E∥BA2.从而∠1=∠A1,∠2=∠A2(内错角相等),所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2,即∠A1-∠B1+∠A2=0.说明(1)从证题的过程可以发现,问题的实质在于AA1∥BA2,它与连接A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图1-23所示.连接A1,A2之间的折线段增加到4条:A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠B n-1+∠A n=0.这时,连结A1,A n之间的折线段共有n段A1B1,B1A2,…,B n-1A n(当然,仍要保持 AA1∥BA n).推广是一种发展自己思考能力的方法,有些简单的问题,如果抓住了问题的本质,那么,在本质不变的情况下,可以将问题推广到复杂的情况.(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题.问题1 如图1-24所示.∠A1+∠A2=∠B1,问AA1与BA2是否平行?问题2 如图1-25所示.若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1,问AA1与BA n是否平行?这两个问题请同学加以思考.例3如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.分析利用平行线的性质,可以将角“转移”到新的位置,如∠1=∠DFC 或∠AFB.若能将∠1,∠2,∠C“集中”到一个顶点处,这是最理想不过的了,过F点作BC的平行线恰能实现这个目标.解过F到 FG∥CB,交 AB于G,则∠C=∠AFG(同位角相等),∠2=∠BFG(内错角相等).因为 AE∥BD,所以∠1=∠BFA(内错角相等),所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°.说明(1)运用平行线的性质,将角集中到适当位置,是添加辅助线(平行线)的常用技巧.(2)在学过“三角形内角和”知识后,可有以下较为简便的解法:∠1=∠DFC=∠C+∠2,即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°.例4求证:三角形内角之和等于180°.分析平角为180°.若能运用平行线的性质,将三角形三个内角集中到同一顶点,并得到一个平角,问题即可解决,下面方法是最简单的一种.证如图1-27所示,在△ABC中,过A引l∥BC,则∠B=∠1,∠C=∠2(内错角相等).显然∠1+∠BAC+∠2=平角,所以∠A+∠B+∠C=180°.说明事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边平行的直线,将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论.如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处,不过,解法将较为麻烦.同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法.例5求证:四边形内角和等于360°.分析应用例3类似的方法,添加适当的平行线,将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角.在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程.证 如图1-28所示,四边形ABCD 中,过顶点B 引BE ∥AD ,BF ∥CD ,并延长 AB ,CB 到 H ,G .则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等).∠C=∠4(同位角相等),又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等).由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°.说明(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:三角形内角和=180°=(3-2)×180°, 四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°. 人们不禁会猜想:五边形内角和=(5-2)×180°=540°,…………………………n 边形内角和=(n -2)×180°.这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.例6 如图1-29所示.直线l 的同侧有三点A ,B ,C ,且AB ∥l ,BC ∥l .求证: A ,B ,C 三点在同一条直线上.分析A ,B ,C 三点在同一条直线上可以理解为∠ABC 为平角,即只要证明射线BA 与BC 所夹的角为180°即可,考虑到以直线l 上任意一点为顶点,该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角,结合所给平行条件,过B 作与l 相交的直线,就可将l 上的平角转换到顶点B 处. 证 过B 作直线 BD ,交l 于D .因为AB ∥l ,CB ∥l ,所以∠1=∠ABD ,∠2=∠CBD(内错角相等).又∠1+∠2=180°,所以∠ABD+∠CBD=180°,即∠ABC=180°=平角.A ,B ,C 三点共线.思考 若将问题加以推广:在l 的同侧有n 个点A1,A2,…,An -1,An ,且有AiAi+1∥l(i=1,2,…,n -1).是否还有同样的结论?例7 如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°,EF ⊥CD .求证:∠3=∠B .分析如果∠3=∠B,则应需EF∥BC.又知∠1=∠2,则有BC ∥AD.从而,应有EF∥AD.这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得.证因为∠1=∠2,所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行).因为∠D=90°及EF⊥CD,所以AD∥EF(同位角相等,两直线平行).所以 BC∥EF(平行公理),所以∠3=∠B(两直线平行,同位角相等).。

初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初一相交线与平行线知识点1.两条直线相交所成的四个角中,相邻的两个角叫做邻补角,特点是两个角共用一条边,另一条边互为反向延长线,性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线,性质是对顶角相等。

2.三线八角:对顶角(相等);邻补角(互补);同位角,内错角,同旁内角。

3.两条直线被第三条直线所截:同位角F(在两条直线的同一旁,第三条直线的同一侧);内错角Z(在两条直线内部,位于第三条直线两侧);同旁内角U(在两条直线内部,位于第三条直线同侧)。

4.两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角为90度,则称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另外一条直线的垂线,他们的交点称为垂足。

5.垂直三要素:垂直关系、垂直记号、垂足。

6.垂直公理:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

7.垂线段最短。

8.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

9.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

如果b//a,c//a,那么b//c。

10.平行线的判定:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行。

11.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。

12.平行线的性质:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补。

13.平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为相交或平行。

14.平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移变换,简称平移。

对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。

平移后前:①两个图形形状大小不变,位置改变;②对应点的连线相等且平行(或在一条直线上)。

15.命题:判断一件事情的语句叫命题。

命题分为题设和结论两部分;题设是“如果”后面的,结论是“那么”后面的。

中考数学二轮复习第五章 相交线与平行线知识点总结及答案

中考数学二轮复习第五章 相交线与平行线知识点总结及答案

中考数学二轮复习第五章 相交线与平行线知识点总结及答案一、选择题1.如图,下列能判断AB ∥CD 的条件有 ( )①∠B +∠BCD =180° ②∠1 = ∠2 ③∠3 =∠4 ④∠B = ∠5A .1B .2C .3D .42.如图,给出下列条件:①∠3=∠4;②∠1=∠2;③∠5=∠B ;④AD ∥BE ,且∠D =∠B .其中能说明AB ∥DC 的条件有( )A .4个B .3个C .2个D .1个3.如图,直线a ∥b ,直线l 与a ,b 分别交于A ,B 两点,过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ,若∠1=65°,则∠2的度数为( )A .115°B .65°C .35°D .25°4.如图所示,直线c 截直线a ,b ,给出下列以下条件:①48∠=∠;②17∠=∠;③26∠=∠;④47180∠+∠=︒.其中能够说明a ∥b 的条件有A .1个B .2个C .3个D .4个 5.如图,直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,其中AB ⊥CD ,∠1:∠2=3:6,则∠EOD =( )A .120°B .130°C .60°D .150°6.下列定理中,没有逆定题的是( )①内错角相等,两直线平行②等腰三角形两底角相等③对顶角相等④直角三角形的两个锐角互余.A .1个B .2个C .3个D .4个7.如图,直线,a b 被直线c 所截,下列条件中不能判定a//b 的是( )A .25∠=∠B .45∠=∠C .35180∠+∠=︒D .12180∠+∠=︒8.下列所示的四个图形中,∠1和∠2是同位角的是( )A .②③B .①②③C .①②④D .①④9.现有以下命题:①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等;②一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;③在圆中,平分弦的直径垂直于弦;④平行于同一条直线的两直线互相平行.其中真命题的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个10.如图所示,下列条件能判断a ∥b 的有( )A .∠1+∠2=180°B .∠2=∠4C .∠2+∠3=180°D .∠1=∠3二、填空题11.如图,已知∠1=(3x+24)°,∠2=(5x+20)°,要使m∥n,那么∠1=_____(度).12.如果∠α与∠β的两边分别平行,∠α比∠β的3倍少40°,则∠α的度数为_______.13.如图,有两个正方形夹在AB与CD中,且AB//CD,若∠FEC=10°,两个正方形临边夹角为150°,则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)14.如图,Rt△AOB和Rt△COD中,∠AOB=∠COD=90°,∠B=40°,∠C=60°,点D在边OA上,将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,在第________秒时,边CD恰好与边AB平行.15.若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角________对.16.如图,直线MN∥PQ,点A在直线MN与PQ之间,点B在直线MN上,连结AB.∠ABM 的平分线BC交PQ于点C,连结AC,过点A作AD⊥PQ交PQ于点D,作AF⊥AB交PQ于点F,AE平分∠DAF交PQ于点E,若∠CAE=45°,∠ACB=∠DAE,则∠ACD的度数是_____.∠+∠+∠+∠+∠=__________.17.如图,两直线AB、CD平行,则1234518.如图,已知EF ∥GH ,A 、D 为GH 上的两点,M 、B 为EF 上的两点,延长AM 于点C ,AB 平分∠DAC ,直线DB 平分∠FBC ,若∠ACB=100°,则∠DBA 的度数为________.19.已知∠A 与∠B 的两边分别平行,其中∠A 为x °,∠B 的为(210﹣2x )°,则∠A =____度.20.如图,CB ∥OA ,∠B =∠A =100°,E 、F 在CB 上,且满足∠FOC =∠AOC ,OE 平分∠BOF ,若平行移动AC ,当∠OCA 的度数为_____时,可以使∠OEB =∠OCA .三、解答题21.如图,已知//AB CD ,50A C ∠=∠=︒,线段AD 上从左到右依次有两点E 、F (不与A 、D 重合)(1)求证://AD BC ;(2)比较1∠、2∠、3∠的大小,并说明理由;(3)若:1:4FBD CBD ∠∠=,BE 平分ABF ∠,且1BDC ∠=∠,判断BE 与AD 的位置关系,并说明理由.22.问题情境:如图1,AB ∥CD ,∠PAB=130°,∠PCD=120°.求∠APC 度数.小明的思路是:如图2,过P 作PE ∥AB ,通过平行线性质,可得∠APC=50°+60°=110°. 问题迁移:(1)如图3,AD ∥BC ,点P 在射线OM 上运动,当点P 在A 、B 两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD 、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;(2)在(1)的条件下,如果点P 在A 、B 两点外侧运动时(点P 与点A 、B 、O 三点不重合),请你直接写出∠CPD 、∠α、∠β间的数量关系.23.如图,A 、B 分别是直线a 和b 上的点,∠1=∠2,C 、D 在两条直线之间,且∠C =∠D .(1) 证明:a ∥b ;(2) 如图,∠EFG=60°,EF 交a 于H ,FG 交b 于I ,HK ∥FG ,若∠4=2∠3,判断∠5、∠6的数量关系,并说明理由;(3) 如图∠EFG 是平角的n 分之1(n 为大于1的整数),FE 交a 于H ,FG 交b 于I .点J 在FG 上,连HJ .若∠8=n ∠7,则∠9:∠10=______ .24.已知直线AB CD ∥,直线EF 与直线AB 、CD 分别相交于点E 、F .(1)如图1,若160∠=︒,求2∠,3∠的度数;(2)若点P 是平面内的一个动点,连接PE 、PF ,探索EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系;①当点P 在图2的位置时,请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明;②当点P 在图3的位置时,请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明; ③当点P 在图4的位置时,请直接写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系.25.如图1,直线AB 与直线OC 交于点O ,()090BOC αα∠=︒<<.小明将一个含30的直角三角板PQD 如图1所示放置,使顶点P 落在直线AB 上,过点Q 作直线MN AB 交直线OC 于点H (点H 在Q 左侧).(1)若PD OC ∥,45NQD ∠=︒,则α=__________︒.(2)若PQH ∠的角平分线交直线AB 于点E ,如图2.①当QE OC ∥,60α=︒时,求证:OC PD . ②小明将三角板保持PD OC ∥并向左平移,运动过程中,PEQ ∠=__________.(用α表示). 26.AB ∥CD ,点P 为直线AB ,CD 所确定的平面内的一点.(1)如图1,写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系,并证明;(2)如图2,写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系,并证明;(3)如图3,点E 在射线BA 上,过点E 作EF ∥PC ,作∠PEG =∠PEF ,点G 在直线CD 上,作∠BEG 的平分线EH 交PC 于点H ,若∠APC =30°,∠PAB =140°,求∠PEH 的度数.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】判断平行的条件有:同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,依次判断各选项是否符合.【详解】①∠B +∠BCD =180°,则同旁内角互补,可判断AB ∥CD ;②∠1 = ∠2,内错角相等,可判断AD ∥BC ,不可判断AB ∥CD ;③∠3 =∠4,内错角相等,可判断AB ∥CD ;④∠B = ∠5,同位角相等,可判断AB ∥CD故选:C【点睛】本题考查平行的证明,注意②中,∠1和∠2虽然是内错角关系,但对应的不是AB 与CD 这两条直线,故是错误的.2.B解析:B【详解】解:34∠∠=//AB CD ∴,①正确;12∠=∠//AD BC ∴,②不正确;5B ∠=∠//AB CD ∴,③正确;//AD BE5D ∴∠=∠B D ∠=∠5B ∴∠=∠//AB CD ∴,④正确;综上所述,①、③、④正确,故选B .3.D解析:D【解析】解:∵直线a ∥b ,∴∠1+∠ABC +∠2=180°.又∵BC ⊥AB ,∠1=65°,∴∠2=180°﹣90°﹣65°=25°.故选D .4.D解析:D【解析】根据平行线的判定,由题意知:①∵68∠=∠,48∠=∠,∴46∠=∠,∴a b ∥,故①对.②∵13∠=∠,17∠=∠,∴37∠=∠,∴a b ∥,故②对.③∵26∠=∠,∴a b ∥,故③对.④∵47180∠+∠=︒,34180∠+∠=︒,∴37∠=∠,∴a b ∥,故④对.故选D.点睛:此题主要考查了平行线的判定,关键是利用图形中的条件和已知的条件,构造两直线平行的条件.平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.5.D解析:D【解析】试题分析:根据对顶角的性质可知∠1=∠DOF,然后由平面直角坐标系可知∠DOB=90°=∠DOF+∠2,可知∠1+∠2=90°,再由∠1:∠2=3:6,可求得∠2=60°,因此可知∠AOE=60°,从而求得∠EOD 的度数为150°.故选:D6.A解析:A【解析】试题分析:根据题意可知:①的逆命题是两直线平行,内错角相等,是真命题,是逆定理;②的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形,是真命题,是逆定理;③的逆命题是相等的两个角是对顶角,是假命题,不是逆定理;④的逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形,是真命题,是逆定理.只有一个不是逆定理.故选:A7.D解析:D【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可.【详解】解:A. 由2∠和5∠是同位角,则25∠=∠ ,可得a//b ,故该选项不符合题意;B. 由4∠和5∠是内错角,则45∠=∠,可得a//b ,故该选项不符合题意;C. 由∠3和∠1相等,35180∠+∠=︒,可得a//b ,故该选项不符合题意;D. 由∠1和∠2是邻补角,则12180∠+∠=︒不能判定a//b ,故该选项满足题意. 故答案为D .【点睛】本题主要考查了平行线的判定,掌握同位角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行是解答本题的关键.8.C解析:C【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案.【详解】图①中的∠1与∠2是同位角,图②中的∠1与∠2是同位角,图③中的∠1与∠2不是同位角,图④中的∠1与∠2是同位角,所以在如图所示的四个图形中,图①②④中的∠1和∠2是同位角.故选:C .【点睛】本题考查了同位角的定义,属于基础概念题型,熟知概念是关键.9.B解析:B【分析】根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可.【详解】①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等,是真命题;②一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,是假命题,比如等腰梯形; ③在圆中,平分弦的直径垂直于弦,是假命题(此弦非直径);④平行于同一条直线的两直线互相平行,是真命题;故选B .【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念.10.B解析:B【分析】通过平行线的判定的相关知识点,并结合题中所示条件进行相应的分析,即可得出答案.【详解】A.∠1 ,∠2是互补角,相加为180°不能证明平行,故A错误.B.∠2=∠4,内错角相等,两直线平行,所以B正确.C. ∠2+∠3=180°,不能证明a∥b,故C错误.D.虽然∠1=∠3,但是不能证明a∥b;故D错误.故答案选:B.【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定,解题的关键是熟练的掌握平行线的判定.二、填空题11.75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案.【详解】如图所示:∠1+∠3=180°,∵m∥n,∴∠2=∠3,∴∠1+∠2=180°,∴3x+24+5x+20=180解析:75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案.【详解】如图所示:∠1+∠3=180°,∵m∥n,∴∠2=∠3,∴∠1+∠2=180°,∴3x+24+5x+20=180,解得:x=17,则∠1=(3x+24)°=75°.故答案为75.【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质,正确得出∠1+∠2=180°是解题关键.12.或【分析】由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补,再由题意,其中一个角比另一个角的3倍少,可得出答案.【详解】解:设为x ,则为,若两角互补,则,解得,;若两角相等,则,解得,.故答案解析:125︒或20︒【分析】由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补,再由题意,其中一个角比另一个角的3倍少40︒,可得出答案.【详解】解:设β∠为x ,则α∠为340x -︒,若两角互补,则340180x x +-︒=︒,解得55x =︒,125α∠=︒;若两角相等,则340x x =-︒,解得20x =︒,20α∠=︒.故答案为:125︒或20︒.【点睛】本题考查了平行线的性质,解题的关键是注意若∠α与∠β的两边分别平行,即可得∠α与∠β相等或互补,注意方程思想与分类讨论思想的应用.13.【解析】【详解】作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB因为AB∥CD所以,AB∥CD∥ IF∥GK∥JH所以,∠IFG=∠FEC=10°所以,∠GFI=90°-∠IFG=80°所以,∠解析:【解析】【详解】作IF ∥AB,GK ∥AB,JH ∥AB因为AB ∥CD所以,AB ∥CD ∥ IF ∥GK ∥JH所以,∠IFG=∠FEC=10°所以,∠GFI=90°-∠IFG=80°所以,∠KGF=∠GFI=80°所以,∠HGK=150°-∠KGF=70°所以,∠JHG=∠HGK=70°同理,∠2=90°-∠JHG=20°所以,∠1=90°-∠2=70°故答案为70【点睛】本题考查了平行线的性质,正确作出辅助线是关键,注意掌握平行线的性质:两直线平行,内错角相等.14.10或28【解析】【分析】作出图形,分①两三角形在点O的同侧时,设CD与OB相交于点E,根据两直线平行,同位角相等可得∠CEO=∠B,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠解析:10或28【解析】【分析】作出图形,分①两三角形在点O的同侧时,设CD与OB相交于点E,根据两直线平行,同位角相等可得∠CEO=∠B,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE,然后求出旋转角∠AOD,再根据每秒旋转10°列式计算即可得解;②两三角形在点O的异侧时,延长BO与CD相交于点E,根据两直线平行,内错角相等可得∠CEO=∠B,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE,然后求出旋转角度数,再根据每秒旋转10°列式计算即可得解.【详解】解:①两三角形在点O的同侧时,如图1,设CD与OB相交于点E,∵AB∥CD,∴∠CEO=∠B=40°,∵∠C=60°,∠COD=90°,∴∠D=90°-60°=30°,∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°,∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°,∵每秒旋转10°,∴时间为100°÷10°=10秒;②两三角形在点O的异侧时,如图2,延长BO与CD相交于点E,∵AB∥CD,∴∠CEO=∠B=40°,∵∠C=60°,∠COD=90°,∴∠D=90°-60°=30°,∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°,∴旋转角为270°+10°=280°,∵每秒旋转10°,∴时间为280°÷10°=28秒;综上所述,在第10或28秒时,边CD恰好与边AB平行.故答案为10或28.【点睛】本题考查了平行线的判定,平行线的性质,旋转变换的性质,难点在于分情况讨论,作出图形更形象直观.15.24【解析】【分析】根据三线八角的特点,对四条直线产生的6个交点,两两一组进行分类求解即可.【详解】解:如图所示观测点A和点B,同旁内角有2对;A和C有2对;A和D,没有同旁内角;A和解析:24【解析】【分析】根据三线八角的特点,对四条直线产生的6个交点,两两一组进行分类求解即可.【详解】解:如图所示观测点A和点B,同旁内角有2对;A和C有2对;A和D,没有同旁内角;A和E有2对;A和F有2对.B和C有2对;B和D有2对;B和E有2对;B和F没有同旁内角.C和D有2对,C和E没有同旁内角,C和F有2对.D和E有2对;D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.故答案是:24.【点睛】本题主要考察三线八角中的同旁内角,正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键. 16.27°.【解析】【分析】延长FA与直线MN交于点K,通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.【详解】解:延长FA与直线MN交于点K,由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°解析:27°.【解析】【分析】延长FA与直线MN交于点K,通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.【详解】解:延长FA与直线MN交于点K,由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD , 因为MN ∥PQ ,所以∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°,所以∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°,即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°,所以∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°.故∠ACD 的度数是:27°.【点睛】本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查了角度的求解.17.【分析】根据题意,通过添加平行线,利用内错角和同旁内角,把这五个角转化成4个的角.【详解】分别过F 点,G 点,H 点作,,平行于AB利用内错角和同旁内角,把这五个角转化一下,可得,有4个的角,解析:720【分析】根据题意,通过添加平行线,利用内错角和同旁内角,把这五个角转化成4个180的角.【详解】分别过F 点,G 点,H 点作2L ,3L ,4L 平行于AB利用内错角和同旁内角,把这五个角转化一下,可得,有4个180的角,1804720∴⨯=.故答案为720.【点睛】本题考查了平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补,添加辅助线是解题关键. 18.50°【解析】解:如图,设∠DAB=∠BAC=x,即∠1=∠2=x.∵EF∥GH,∴∠2=∠3.在△ABC 内,∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x .∵直线 解析:50°【解析】解:如图,设∠DAB =∠BAC =x ,即∠1=∠2=x .∵EF ∥GH ,∴∠2=∠3.在△ABC 内,∠4=180°﹣∠ACB ﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB ﹣2x=80°﹣2x .∵直线BD 平分∠FBC,∴∠5=12(180°﹣∠4)=12(180°﹣80°+2x)=50°+x,∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5=180°﹣x﹣(80°﹣2x)﹣(50°+x)=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x=50°.故答案为50°.点睛:本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键.19.70或30.【分析】分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解.【详解】解:根据题意,有两种情况:(1)当∠A=∠B,可得:x=210﹣2x,解得:x=70;(2)当解析:70或30.【分析】分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解.【详解】解:根据题意,有两种情况:(1)当∠A=∠B,可得:x=210﹣2x,解得:x=70;(2)当∠A+∠B=180°时,可得:x+210﹣2x=180,解得:x=30.故答案为:70或30.【点睛】本题考查的是平行线的性质,在解答此题时要注意分类讨论.20.60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角,内角和定理,平行线定理即可解答. 【详解】解:设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA,∠B=∠A=100°,即a+x=80解析:60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角,内角和定理,平行线定理即可解答.【详解】解:设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA,∠B=∠A=100°,即a+x=80°,又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.当∠OEB=∠OC A,a=80°-x,40°+x=a,解得∠OCA=60°.【点睛】本题考查角度变换和平行线定理的综合运用,熟悉掌握是解题关键.三、解答题21.(1)见解析;(2)∠1>∠2>∠3,理由见解析;(3)BE⊥AD,理由见解析【分析】(1)证明∠C+∠ADC=180°,再根据平行线的判定证明即可;(2)通过比较∠EBC、∠FBC、∠DBC的大小,再进行等量代换即可;(3)设∠FBD=x°,则∠DBC=4x°,根据∠ABC=130°列出方程,求解即可.【详解】解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,∵∠A=50°,∴∠ADC=130°,∵∠C=50°,∴∠C+∠ADC=180°,∴AD∥BC;(2)∠1>∠2>∠3,∵AD∥BC,∴∠1=∠EBC,∠2=∠FBC,∠3=∠DBC,∵∠EBC>∠FBC>∠DBC,∴∠1>∠2>∠3;(3)∵AD∥BC,∴∠1=∠EBC,∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD,∵∠1=∠BDC,∴∠ABE=∠DBC,∵BE平分∠ABF,设∠FBD=x°,则∠DBC=4x°,∴∠ABE=∠EBF=4x°,∴4x+4x+x+4x=130°,∴x=10°,∴∠1=4x+x+4x=90°,∴BE⊥AD.【点睛】此题考查平行线的性质,关键是根据平行线的判定和性质解答.∠=∠+∠,理由见解析;22.(1)CPDαβ∠=∠-∠;(2)当点P在B、O两点之间时,CPDαβ∠=∠-∠.当点P在射线AM上时,CPDβα【分析】(1)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案;(2)分两种情况:①点P在A、M两点之间,②点P在B、O两点之间,分别画出图形,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出结论.【详解】解:(1)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:如图,过P作PE∥AD交CD于E.∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.(2)当点P在A、M两点之间时,∠CPD=∠β-∠α.理由:如图,过P作PE∥AD交CD于E.∵AD ∥BC ,∴AD ∥PE ∥BC ,∴∠α=∠DPE ,∠β=∠CPE ,∴∠CPD =∠CPE -∠DPE =∠β-∠α;当点P 在B 、O 两点之间时,∠CPD =∠α-∠β.理由:如图,过P 作PE ∥AD 交CD 于E .∵AD ∥BC ,∴AD ∥PE ∥BC ,∴∠α=∠DPE ,∠β=∠CPE ,∴∠CPD =∠DPE -∠CPE =∠α-∠β.【点睛】本题考查了平行线的性质的运用,主要考核了学生的推理能力,解决问题的关键是作平行线构造内错角,利用平行线的性质进行推导.解题时注意:问题(2)也可以运用三角形外角性质来解决.23.(1)见解析;(2)526∠=∠,见解析;(3)n-1 【分析】(1)延长AD 交直线b 于点E ,根据平行线的性质与判定即可得证;(2)由//HK FG 得到3EFG α∠+∠=∠,4FJH ∠=∠,再根据三角形的内角和与对顶角的性质即可求解;(3)延长EF 交直线b 于点P ,过点J 作//JQ a ,根据平行线的性质及三角形外角的性质等,得到180107n ︒∠=-∠,()1918017n n n-∠=⋅︒--∠,即可得到9:10∠∠的值. 【详解】(1)如图,延长AD 交直线b 于点E ,ADC C ∠=∠,//AD BC ∴,2AEB ∴∠=∠,12∠=∠,1AEB ∴∠=∠,//a b ∴.(2)∵//HK FG ,60EFG ∠=︒,∴360α∠+∠=︒,4FJH ∠=∠,5120FJH ∠+∠=︒, ∵423∠=∠,∴523120∠+∠=︒,即()5260120α∠+-∠=︒, ∴52α∠=∠,∵6α∠=∠,∴526∠=∠.(3)如图,延长EF 交直线b 于点P ,过点J 作//JQ a ,则10FPI ∠=∠,8180HJQ ∠+∠=︒,7QJI FIP ∠=∠=∠, ∵EFG FPI FIP ∠=∠+∠,9HJI EFG ∠=∠+∠, ∴1801077EFG n︒∠=∠-∠=-∠, ()1918017n HJI EFG n n -∠=∠-∠=⋅︒--∠, ∴9:101n ∠∠=-,故答案为:1n -.【点睛】本题考查平行线的性质与判定,三角形内角和定理,三角形外角的性质等内容,解题的关键是根据题意作出辅助线.24.(1)360∠=︒;(2)①EPF PEB PFD ∠=∠+∠,证明见解析;②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=,证明见解析;③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠.【分析】(1)根据对顶角相等求∠2,根据两直线平行,同位角相等求∠3;(2)①过点P 作MN ∥AB ,根据平行线的性质得∠EPM =∠PEB ,且有MN ∥CD ,所以∠MPF =∠PFD ,然后利用等式性质易得∠EPF =∠PEB +∠PFD .②③的解题方法与①一样,分别过点P 作MN ∥AB ,然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系.【详解】(1)解:∵12∠=∠,160∠=︒,∴260∠=︒;∵AB CD ∥,∴3160∠=∠=︒ .(2)①EPF PEB PFD ∠=∠+∠.过点P 作MN AB ,则EPM PEB ∠=∠.∵AB CD ∥,MN AB , ∴MN CD ∥,∴MPF PFD ∠=∠,∴EPM MPF PEB PFD ∠+∠=∠+∠,即EPF PEB PFD ∠=∠+∠.②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=,过点P 作MN AB ,则180PEB EPN ∠+∠=︒,∵AB CD ∥,MN AB , ∴MN CD ∥,∴180NPF PFD ∠+∠=︒,∴360PEB EPN NPF PFD ∠+∠+∠+∠=︒.即360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=.③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠.写对一种即可.理由:如图4,过点P 作PM ∥AB ,∵AB ∥CD ,MP ∥AB ,∴MP ∥CD ,∴∠PEB =∠MPE ,∠PFD =∠MPF ,∵∠EPF +∠FPM =∠MPE ,∴∠EPF +∠PFD =∠PEB .【点睛】本题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质,结合图形作出辅助线构造出三线八角是解决此题的关键.25.(1)45;(2)①详见解析;②302α︒+或602α︒-; 【分析】(1)根据平行线性质可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒,再根据平行线性质得BOC BPD ∠=∠;(2)①根据平行线性质得160BOC ∠=∠=︒,2160∠=∠=︒,结合角平分线定义可证180DQE PDQ ∠+∠=︒,得PD QE ∥,根据平行线传递性可再证PD OC ∥; ②分两种情况分析:当Q 在H 的右侧时,根据平行线性质可得∠BPD=∠BOC=α,∠MQP=∠QPB=60°+α,根据角平分线性质∠MQE=12(60°+α),故∠PEQ=∠MQE ;当Q 在H 的右侧时,与上面同理,∠NQE=12(180°-60°-α),∠PEQ=∠NQE . 【详解】(1)由45NQD ∠=︒,MN AB ,可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒, 而PD OC ∥,则有BOC BPD ∠=∠.故45BPD α=∠=︒(2)∵QE OC ∥,60BOC α∠==︒,∴160BOC ∠=∠=︒,又∵MN AB ,∴2160∠=∠=︒,又∵QE 平分PQH ∠,∴3260∠=∠=︒,又∵430∠=︒,∴4390DQE ∠=∠+∠=︒,且90PDQ ∠=︒,∴180DQE PDQ ∠+∠=︒,∴PD QE ∥,∵QE OC ∥,∴PD OC ∥.②当Q 在H 的右侧时,∵PD ∥OC∴∠BPD=∠BOC=α∵MN ∥AB∴∠MQP=∠QPB=60°+α又∵QE 平分∠MQP∴∠MQE=12(60°+α)=30°+12α ∴∠PEQ=∠MQE=30°+12α 当Q 在H 的左侧时∵PD ∥OC∴∠BPD=∠BOC=α∵MN ∥AB∴∠NQP=180°-60°-α又∵QE 平分∠NQP∠NQE=12(180°-60°-α)=60°-12α ∴∠PEQ=∠NQE=60°-12α∴302PEQ α∠=︒+或602α︒-.【点睛】 考核知识点:平移、平行线判定和性质综合运用.熟练运用平行线性质和判定,分类讨论问题是关键.26.(1)∠A +∠C +∠APC =360°,证明详见解析;(2)∠APC =∠A −∠C ,证明详见解析;(3)55°.【分析】(1)首先过点P 作PQ ∥AB ,结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ,然后由“两直线平行,同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC =360°;(2)作PQ ∥AB ,结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ,根据“两直线平行,内错角相等”进一步分析即可证得∠APC =∠A −∠C ;(3)由(2)知,∠APC =∠PAB −∠PCD ,先利用平行线性质得出∠BEF =∠PQB =110°,然后进一步得出∠PEG =12∠FEG ,∠GEH =12∠BEG ,最后根据∠PEH =∠PEG −∠GEH 即可得出答案.【详解】(1)∠A+∠C+∠APC =360°,证明如下:如图1所示,过点P 作PQ ∥AB ,∴∠A+∠APQ =180°,又∵AB ∥CD ,∴PQ ∥CD ,∴∠C+∠CPQ =180°,∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ =360°,即∠A+∠C+∠APC =360°;(2)∠APC=∠A−∠C,证明如下:如图2所示,过点P作PQ∥AB,∴∠A=∠APQ,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠C=∠CPQ,∵∠APC=∠APQ−∠CPQ,∴∠APC=∠A−∠C;(3)由(2)知,∠APC=∠PAB−∠PCD,∵∠APC=30°,∠PAB=140°,∴∠PCD=110°,∵AB∥CD,∴∠PQB=∠PCD=110°,∵EF∥PC,∴∠BEF=∠PQB=110°,∵∠PEG=∠PEF,∴∠PEG=12∠FEG,∵EH平分∠BEG,∴∠GEH=12∠BEG,∴∠PEH=∠PEG−∠GEH=12∠FEG−12∠BEG=12∠BEF=55°.【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.。

专题01 平行线与相交线

专题01  平行线与相交线

专题01 平行线与相交线【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一:对顶角与邻补角对顶角:如图,∠1与∠3是对顶角。

对顶角的性质:对顶角相等。

即∠1=∠3邻补角:如图,∠1与∠2或∠3与∠2是邻补角。

邻补角的性质:邻补角互补注意:对邻角与邻补角不仅存在位置关系,还存在数量关系。

【考试题型1】判断对顶角与邻补角【解题方法】根据这两种角的位置关系进行判断。

例题讲解:1.(2022春•尧都区期中)下列示意图中,∠1与∠2是对顶角的是( )A.B.C.D.【分析】根据对顶角的概念判断即可.【解答】解:A、∠1的两边分别是∠2的两边的反向延长线,∠1与∠2是对顶角,故此选项符合题意;B、∠1与∠2没有公共顶点,∠1与∠2不是对顶角,故此选项不符合题意;C、∠1与∠2没有公共顶点,∠1与∠2不是对顶角,故此选项不符合题意;D、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线,∠1与∠2不是对顶角,故此选项不符合题意.故选:A.2.(2022春•横县期中)下列各图中,∠1与∠2是邻补角的是( )A.B.C.D.【分析】根据邻补角的定义(具有共同顶点,两边互为反向延长线的两个角互为邻补角)解决此题.【解答】解:A.根据邻补角的定义,A中∠1与∠2不是邻补角,那么A不符合题意.B.根据邻补角的定义,B中∠1与∠2是对顶角,那么B不符合题意.C.根据邻补角的定义,C中∠1与∠2是邻补角,那么C符合题意.D.根据邻补角的定义,D中∠1与∠2不是邻补角,那么D不符合题意.故选:C.【考试题型2】计算【解题方法】利用对顶角与邻补角的性质进行角度计算。

例题讲解:3.(2022春•虞城县期中)如图,直线AB、CD相交于点O,∠AOE=2∠AOC,若∠1=35°,则∠DOE等于( )A.65°B.70°C.75°D.80°【分析】根据对顶角求得∠AOC=∠1=35°,根据∠AOE=2∠AOC=70°,根据平角的定义即可求解.【解答】解:∵∠1=35°,∴∠AOC=∠1=35°,∵∠AOE=2∠AOC,∴∠AOE=70°,∴∠DOE=180°﹣∠AOE﹣∠1=180°﹣70°﹣35°=75°.故选:C.考点二:垂直垂直的定义:两条直线相交形成的四个角中,若有一个角是直角时,则说着两条直线相互垂直,其中一条是另一条的垂直,交点为垂足。

相交线与平行线专题总结(含答案)-2

相交线与平行线专题总结(含答案)-2

相交线与平行线专题总结一、知识点填空1. 两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________.2. 对顶角的性质可概括为:3. 两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______.4. 垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,5. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做6. 两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中:⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.7. 在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.8. 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________. 9. 平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________.10. 在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .11. 平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:________________________________ .12. 判断一件事情的语句,叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项,结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是 ,“那么”后接的部分是_________. 如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.13. 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.14. 平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全___ ___.⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.二:典型题型训练15. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____,点B 到AC 的距离是_______,点A 、B 两点的距离是_____,点C 到AB 的距离是________.16. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________;若,a b b c ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________;若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.17. 如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数.18. 如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由.19. 如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE 过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( ) 又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( ) ∴∠E =∠____( ) ∴∠B +∠E =∠1+∠2即∠B +∠E =∠BCE .20. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,求证:12∠=∠.21. 阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ . 证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( ) 又∵∠1=∠2,∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2, 即 ∠MEP =∠______∴EP ∥_____.( )22. 已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC 的大小;⑵∠PAG 的大小.23. 如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA 交CA 于G.求证12∠=∠24.已知:如图∠1=∠2,∠C=∠D,问∠A与∠F相等吗?试说明理由.三:兴趣拓展平行线问题:平行线是我们日常生活中非常常见的图形.练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段.正因为平行线在生活中的广泛应用,因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识.正因为平行线在几何理论中的基础性,平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象.历史上关于平行公理的三种假设,产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何),它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用.现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何,它是建立在这样一个公理基础之上的:“在平面中,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”.在此基础上,我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理.下面我们举例说明这些知识的应用.例1 如图 1-18,直线a∥b,直线 AB交 a与 b于 A,B,CA平分∠1,CB平分∠ 2,求证:∠C=90°例2 如图1-21所示,AA1∥BA2求∠A1=∠B1+∠A2.例3如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.例4求证:三角形内角之和等于180°.例5求证:四边形内角和等于360°.例6如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC∥l.求证: A,B,C三点在同一条直线上.例7如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°,EF⊥CD.求证:∠3=∠B.四,课后思考题1.如图1-31所示.已知AB∥CD,∠B=100°,EF平分∠BEC,EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.2.如图1-32所示.CD是∠ACB的平分线,∠ACB=40°,∠B=70°,DE∥BC.求∠EDC和∠BDC的度数.3.如图1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30°,∠DCE=60°,EF,EG三等分∠AEC.问:EF与EG中有没有与AB平行的直线,为什么?4.证明:五边形内角和等于540°.5.如图1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥ACCD∥EF.求证:EF 平分∠DEB.参考答案一:1.邻补角2.对顶角,对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行.9.平行10.两直线平行同位角相等;两直线平行内错角相等;两直线平行同旁内角互补.11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15.28°118°59°16. OD⊥OE理由略17. 1(两直线平行,内错角相等)DE∥CF(平行于同一直线的两条直线平行)2(两直线平行,内错角相等).18.⑴∵∠1=∠2,又∵∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠3∴a∥b(同位角相等两直线平行)⑵∵a∥b∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠2=∠3(对顶角相等)∴∠1=∠2.19. 两直线平行,同位角相等MFQ FQ同位角相等两直线平行20. 96°,12°.21.,AD BC FE BC⊥⊥90EFB ADB∴∠=∠=//EF AD ∴23∴∠=∠ //,31DG BA ∴∠=∠ 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A =∠F .∵∠1=∠DGF (对顶角相等)又∠1=∠2 ∴∠DGF =∠2 ∴DB ∥EC (同位角相等,两直线平行) ∴∠DBA =∠C (两直线平行,同位角相等) 又∵∠C =∠D ∴∠DBA =∠D ∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)∴∠A =∠F (两直线平行,内错角相等).三 例1 如图 1-18,直线a ∥b ,直线 AB交 a 与 b 于 A ,B ,CA 平分∠1,CB 平分∠ 2,求证:∠C=90°分析 由于a ∥b ,∠1,∠2是两个同侧内角,因此∠1+∠2=过C 点作直线 l ,使 l ∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移.证 过C 点作直线l ,使l ∥a(图1-19).因为a ∥b ,所以b ∥l ,所以∠1+∠2=180°(同侧内角互补). 因为AC 平分∠1,BC 平分∠2,所以又∠3=∠CAE ,∠4=∠CBF(内错角相等),所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立, 即“两条直线a ,b 被直线AB 所截(如图1-20所示),CA ,CB 分别是∠BAE 与∠ABF 的平分线,若∠C=90°,问直线a 与直线b 是否一定平行?”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置),因此,不妨模仿原问题的解决方法来试解.例2 如图1-21所示,AA 1∥BA 2求∠A 1-∠B 1+∠A 2.分析本题对∠A1,∠A2,∠B1的大小并没有给出特定的数值,因此,答案显然与所给的三个角的大小无关.也就是说,不管∠A1,∠A2,∠B1的大小如何,答案应是确定的.我们从图形直观,有理由猜想答案大概是零,即∠A1+∠A2=∠B1.①猜想,常常受到直观的启发,但猜想必须经过严格的证明.①式给我们一种启发,能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2.这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线,它将∠B1一分为二.证过B1引B1E∥AA1,它将∠A1B1A2分成两个角:∠1,∠2(如图1-22所示)因为AA1∥BA2,所以B1E∥BA2.从而∠1=∠A1,∠2=∠A2(内错角相等),所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2,即∠A1-∠B1+∠A2=0.说明(1)从证题的过程可以发现,问题的实质在于AA1∥BA2,它与连接A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图1-23所示.连接A1,A2之间的折线段增加到4条:A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠B n-1+∠A n=0.这时,连结A1,A n之间的折线段共有n段A1B1,B1A2,…,B n-1A n(当然,仍要保持 AA1∥BA n).推广是一种发展自己思考能力的方法,有些简单的问题,如果抓住了问题的本质,那么,在本质不变的情况下,可以将问题推广到复杂的情况.(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题.问题1 如图1-24所示.∠A1+∠A2=∠B1,问AA1与BA2是否平行?问题2 如图1-25所示.若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1,问AA1与BA n是否平行?这两个问题请同学加以思考.例3如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.分析利用平行线的性质,可以将角“转移”到新的位置,如∠1=∠DFC 或∠AFB.若能将∠1,∠2,∠C“集中”到一个顶点处,这是最理想不过的了,过F点作BC的平行线恰能实现这个目标.解过F到 FG∥CB,交 AB于G,则∠C=∠AFG(同位角相等),∠2=∠BFG(内错角相等).因为 AE∥BD,所以∠1=∠BFA(内错角相等),所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°.说明(1)运用平行线的性质,将角集中到适当位置,是添加辅助线(平行线)的常用技巧.(2)在学过“三角形内角和”知识后,可有以下较为简便的解法:∠1=∠DFC=∠C+∠2,即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°.例4求证:三角形内角之和等于180°.分析平角为180°.若能运用平行线的性质,将三角形三个内角集中到同一顶点,并得到一个平角,问题即可解决,下面方法是最简单的一种.证如图1-27所示,在△ABC中,过A引l∥BC,则∠B=∠1,∠C=∠2(内错角相等).显然∠1+∠BAC+∠2=平角,所以∠A+∠B+∠C=180°.说明事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边平行的直线,将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论.如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处,不过,解法将较为麻烦.同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法.例5求证:四边形内角和等于360°.分析应用例3类似的方法,添加适当的平行线,将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角.在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程.证如图1-28所示,四边形ABCD中,过顶点B引BE∥AD,BF∥CD,并延长 AB,CB到 H,G.则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等).∠C=∠4(同位角相等),又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等).由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°.说明(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:三角形内角和=180°=(3-2)×180°,四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°.人们不禁会猜想:五边形内角和=(5-2)×180°=540°,…………………………n边形内角和=(n-2)×180°.这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.例6如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC∥l.求证: A,B,C三点在同一条直线上.分析A,B,C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角,即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可,考虑到以直线l上任意一点为顶点,该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角,结合所给平行条件,过B作与l相交的直线,就可将l上的平角转换到顶点B处.证过B作直线 BD,交l于D.因为AB∥l,CB∥l,所以∠1=∠ABD,∠2=∠CBD(内错角相等).又∠1+∠2=180°,所以∠ABD+∠CBD=180°,即∠ABC=180°=平角.A,B,C三点共线.思考若将问题加以推广:在l的同侧有n个点A1,A2,…,An-1,An,且有AiAi+1∥l(i=1,2,…,n-1).是否还有同样的结论?例7如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°,EF⊥CD.求证:∠3=∠B.分析如果∠3=∠B,则应需EF∥BC.又知∠1=∠2,则有BC ∥AD.从而,应有EF∥AD.这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得.证因为∠1=∠2,所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行).因为∠D=90°及EF⊥CD,所以AD∥EF(同位角相等,两直线平行).所以 BC∥EF(平行公理),所以∠3=∠B(两直线平行,同位角相等).。

相交线与平行线知识点总结及例题解析

相交线与平行线知识点总结及例题解析

相交线与平行线知识点总结、例题解析知识点1【相交线】在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有两种:平行和相交1、相交线相交线的定义:两条直线交于一点,我们称这两条直线相交.相对的,我们称这两条直线为相交线.知识点2【对顶角和邻补角】两条相交线在形成的角中有对顶角和邻补角两类,它们具有特殊的数量关系和位置关系。

1、邻补角(1)邻补角的概念:两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.如图,∠1与∠2有一条公共边OD,它们的另一条边OA、OB互为反向延长线,则∠1与∠2互为邻补角(2)邻补角的性质:邻补角互补,即和为180°。

例如:若∠1与∠2互为邻补角,则∠1+∠2=180°注意:①互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定互为邻补角;②相交的两条直线会产生4对邻补角。

2、对顶角(1)对顶角的概念:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.如图,∠3与∠4有一个公共顶点O,并且∠3的两边OB、OC分别是∠4的两边OA、OD的反向延长线,则∠1与∠2互为对顶角.(2)对顶角的性质:对顶角相等.注意:两条相交的直线,会产生2对对顶角。

3、邻补角、对顶角成对出现,在相交直线中,一个角对顶角只有一个,但邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对与两个角而言,是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的.注意:如果多条直线相交于同一点,那么产生的邻补角的数量是对顶角的2倍。

【例题1】如图所示,∠1的邻补角是( )A、∠BOCB、∠BOE和∠AOFC、∠AOFD、∠BOC和∠AOF【解析】】据相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断,∠1是直线AB、EF相交于点O形成的角,所以它的邻补角与直线CD无关,即它的邻补角是∠BOE和∠AOF,故选B【答案】B【例题2】下面四个图形中,∠1与∠2是邻补角的是( )【答案】D【例题3】如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】考察对顶角的概念【答案】A【例题4】下列说法中:①因为∠1与∠2是对顶角,所以∠1=∠2;②因为∠1与∠2是邻补角,所以∠1=∠2;③因为∠1与∠2不是对顶角,所以∠1≠∠2;④因为∠1与∠2不是邻补角,所以∠1+∠2≠180,其中正确的有________ (填序号)【解析】对顶角、邻补角【答案】①【例题5】如图1,直线AB、CD、EF都经过点O,图中有几对对顶角?几对邻补角?【解析】考察对顶角的概念。

相交线与平行线考点及题型总结

相交线与平行线考点及题型总结

相交线与平行线考点及题型总结第一节 相交线一、知识要点:(一)当同一平面内的三条直线相交时,有三种情况:一种是只有一个交点;一种是有两个交点,即两条直线平行被第三条直线所截;还有一种是三个交点,即三条直线两两相交。

(二)余角、补角、对顶角1、余角:如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角.2、补角:如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角.3、对顶角:如果两个角有公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.4、互为余角的有关性质:①∠1+∠2=90°,则∠1、∠2互余;反过来,若∠1,∠2互余,则∠1+∠2=90°;②同角或等角的余角相等,如果∠l 十∠2=90°,∠1+∠ 3=90°,则∠2=∠3.5、互为补角的有关性质:①若∠A +∠B =180°,则∠A 、∠B 互补;反过来,若∠A 、∠B 互补,则∠A +∠B =180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A +∠C =180°,∠A +∠B =180°,则∠B =∠C .6、对顶角的性质:对顶角相等.(三)垂直:相交的一种特殊情况是垂直,两条直线交角成90 。

1、经过直线外一点,作直线垂线,有且只有一条; 2、点到直线上各点的距离中,垂线段最短。

(四)两条直线被第三条直线所截,产生两个交点,形成了八个角(不可分的):1、同位角:没有公共顶点的两个角,它们在直线AB,CD 的同侧,在第三条直线EF 的同旁(即位置相同),这样的一对角叫做同位角;2、内错角:没有公共顶点的两个角,它们在直线AB,CD 之间,在第三条直线EF 的两旁(即位置交错),这样的一对角叫做内错角;3、同旁内角:没有公共顶点的两个角,它们在直线AB,CD 之间,在第三条直线EF 的同旁,这样的一对角叫做同旁内角;二、题型分析: 题型一:列方程求角例1:一个角的余角比它的补角的21少20°.则这个角为 ( ) A 、30° B 、40° C 、60° D 、75° 答案:B分析:若设这个角为x ,则这个角的余角是90°-x ,补角是180°-x ,于是构造出方程即可求解 求解:设这个角为x ,则这个角的余角是90°-x ,补角是180°-x .则根据题意,得21(180°-x )-(90°-x )=20° ; 解得:x =40°. 故应选B . 说明:处理有关互为余角与互为补角的问题,除了要弄清楚它们的概念,通常情况下还要引进未知数,构造方程求解.习题演练:1、如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30 ,那么这两个角是( )A 、42138、 B 、都是10 C 、42138、或4210、 D 、以上都不对 答案:A分析:两个条件可以确定两个角互补,列方程即可解得A 。

初一下学期数学第二章平行线与相交线复习资料加答案

初一下学期数学第二章平行线与相交线复习资料加答案

第二章:平行线与相交线考点1:余角、补角、对顶角一、考点讲解:1.余角:如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角.2.补角:如果两个角的和是平角,那.么称这两个角互为补角.3.对顶角:如果两个角有公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.4.互为余角的有关性质:①∠1+∠2=90°,则∠1、∠2互余.反过来,若∠1,∠2互余.则∠1+∠2=90○.②同角或等角的余角相等,如果∠l十∠2=90○,∠1+∠3= 90○,则∠2= ∠3.5.互为补角的有关性质:①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补,反过来,若∠A、∠B互补,则∠A+∠B=180○.②同角或等角的补角相等.如果∠A +∠C=18 0○,∠A+∠B=18 0°,则∠B=∠C.二、经典考题剖析:【考题1-1】(2004、厦门,2分)已知:∠A= 30○,则∠A的补角是________度.解:150○点拨:此题考查了互为补角的性质.【考题1-2】(2004、青海,3分)如图l-2-1,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠AOE,∠1=15○30’,则下列结论中不正确的是()A.∠2 =45○B.∠1=∠3C.∠AOD与∠1互为补角D.∠1的余角等于75○30′解:D 点拨:此题考查了互为余角,互为补角和对顶角之间的综合运用知识.三、针对性训练:(30 分钟)1._______的余角相等,_______的补角相等.2.∠1和∠2互余,∠2和∠3互补,∠1=63○,∠3=__3.下列说法中正确的是()A.两个互补的角中必有一个是钝角B.一个角的补角一定比这个角大C.互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D.相等的角一定互余4.轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○,那么从A处观测到C处的方向为()A.南偏西32○B.东偏南32○C.南偏西58○D.东偏南58○5.若∠l=2∠2,且∠1+∠2=90○则∠1=___,∠2=___.考点2:同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质一、考点讲解:1.同一平面内两条直线的位置关系是:相交或平行.2.“三线八角”的识另:三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同,即“同旁”和“同规”;内错角要抓住“内部,两旁”;同旁内角要抓住“内部、同旁”.3.平行线的性质:(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.(2)过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(3)两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.二、经典考题剖析:【考题2-1】(2007贵阳)如图1―2―4,直线a ∥b,则∠A CB=________解:78○点拨:过点C作CD平行于a,因为a∥b,所以CD∥b.则∠A CD=2 8○,∠DCB=5 0○.所以∠ACB=78○.【考题2-2】(2009、开福)如图1―2―5,AB∥CD,直线EF分别交A B、CD于点E、F,EG平分∠B EF,交CD于点G,∠1=5 0○求∠2的度数.解:65○点拨:由AB∥CD,得∠BEF=180○-∠1=130○,∠BEG=∠2.又因为EG平分∠BEF,所以∠2=∠BEG=12∠BEF=65°(根据平行线的性质)三、针对性训练:( 40分钟)1.如图1-2-6,AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有()A.l个B.2个C.3个D.4个2.下列说法中正确的个数是()(1)在同一平面内不相交的两条直线必平行;(2)在同一平面内不平行的两条直线必相交;(3)两条直线被第三条直线所截,所得的同位角相等;(4)两条平行线被第三条直线所截,一对内错角的平分线互相平行。

相交线与平行线知识点总复习附答案解析

相交线与平行线知识点总复习附答案解析

相交线与平行线知识点总复习附答案解析一、选择题1.给出下列说法,其中正确的是( )A.两条直线被第三条直线所截,同位角相等;B.平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交;C.相等的两个角是对顶角;D.从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离.【答案】B【解析】【分析】正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念,逐一判断.【详解】A选项:同位角只是一种位置关系,只有两条直线平行时,同位角相等,错误;B选项:强调了在平面内,正确;C选项:不符合对顶角的定义,错误;D选项:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,不是指点到直线的垂线段的本身,而是指垂线段的长度.故选:B.【点睛】对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义,要善于区分不同概念之间的联系和区别.2.已知△ABC中,BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为P,则CP的长可能是()A.2 B.4 C.5 D.7【答案】A【解析】试题分析:如图,根据垂线段最短可知:PC<3,∴CP的长可能是2,故选A.考点:垂线段最短.3.如图,直线a∥b,直线c与直线a,b相交,若∠1=56°,则∠2等于()A.24°B.34°C.56°D.124°【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析:根据对顶角相等可得∠3=∠1=56°,根据平行线的性质得出∠2=∠3=56°.故答案选C.考点:平行线的性质.4.如图,直线a∥b,直角三角开的直角顶点在直线b上,一条直角边与直线a所形成的∠1=55°,则另外一条直角边与直线b所形成的∠2的度数为()A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】C【解析】如图所示:∵直线a∥b,∴∠3=∠1=55°,∵∠4=90°,∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2=180°-55°-90°=35°.故选C.5.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐弯处的∠A是72°,第二次拐弯处的角是∠B,第三次拐弯处的∠C是153°,这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠B 等于( )A .81°B .99°C .108°D .120°【答案】B【解析】 试题解析:过B 作BD ∥AE ,∵AE ∥CF ,∴BD ∥CF ,∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o,∵153C ∠=o ,∴27DBC ∠=o ,则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.6.如图,下列推理错误的是( )A .因为∠1=∠2,所以c ∥dB .因为∠3=∠4,所以c ∥dC .因为∠1=∠3,所以a ∥bD .因为∠1=∠4,所以a ∥b【答案】C【解析】分析:由平行线的判定方法得出A 、B 、C 正确,D 错误;即可得出结论.详解:根据内错角相等,两直线平行,可知因为∠1=∠2,所以c ∥d ,故正确; 根据同位角相等,两直线平行,可知因为∠3=∠4,所以c ∥d ,故正确;因为∠1和∠3的位置不符合平行线的判定,故不正确;根据内错角相等,两直线平行,可知因为∠1=∠4,所以a ∥b ,故正确.故选:C.点睛:本题考查了平行线的判定方法;熟练掌握平行线的判定方法,并能进行推理论证是解决问题的关键.7.如图,一副三角板按如图所示的位置摆放,其中//AB CD ,45A ∠=︒,60C ∠=°,90AEB CED ∠=∠=︒,则AEC ∠的度数为( )A .75°B .90°C .105°D .120°【答案】C【解析】【分析】 延长CE 交AB 于点F ,根据两直线平行,内错角相等可得∠AFE =∠C ,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【详解】解:如图,延长CE 交AB 于点F ,∵AB ∥CD ,∴∠AFE =∠C =60°,在△AEF 中,由三角形的外角性质得,∠AEC =∠A +∠AFE =45°+60°=105°.故选:C .【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键.8.如图所示,b ∥c ,a ⊥b ,∠1=130°,则∠2=( ).A .30°B .40°C .50°D .60°【答案】B【解析】【分析】证明∠3=90°,利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题.【详解】如图,反向延长射线a 交c 于点M ,∵b ∥c ,a ⊥b ,∴a ⊥c ,∴∠3=90°,∵∠1=90°+∠4,∴130°=90°+∠4,∴∠4=40°,∴∠2=∠4=40°,故选B .【点睛】本题考查平行线的性质,垂线的性质,三角形的外角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识9.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】【分析】 根据对顶角的定义,可得答案.【详解】解:由对顶角的定义,得D 选项是对顶角,故选:D .【点睛】考核知识点:对顶角.理解定义是关键.10.如图,直线AD BC ∥,30C ∠=︒,:1:3ADB BDC ∠∠=,则DBC ∠的度数是( )A .35°B .37.5°C .45°D .40° 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行,同旁内角互补,可得出18030015ADC ∠=︒-︒=︒,再结合:1:3ADB BDC ∠∠=即可得出ADB ∠的度数,最后,根据两直线平行,内错角相等即可得出答案.【详解】解:∵//AD BC ,30C ∠=︒∴18030015ADC ∠=︒-︒=︒∵:1:3ADB BDC ∠∠= ∴115037.513ADB ∠=︒⨯=︒+ ∴37.5DBC ADB ∠=∠=︒故选:B .【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质,难度不大,熟记平行线性质的内容是解此题的关键.11.如图,DE ∥BC ,BE 平分∠ABC ,若∠1=70°,则∠CBE 的度数为( )A .20°B .35°C .55°D .70°【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°,再根据角平分线的定义可得答案.【详解】∵DE ∥BC ,∴∠1=∠ABC=70°,∵BE 平分∠ABC ,∴1352CBE ABC ∠=∠=︒, 故选:B .【点睛】此题主要考查了平行线的性质,以及角平分线的定义,解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等.12.把一副三角板放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则∠1的度数是()A.45°B.60°C.75°D.82.5°【答案】C【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案.【详解】如图,作直线l平行于直角三角板的斜边,可得:∠3=∠2=45°,∠4=∠5=30°,故∠1的度数是:45°+30°=75°,故选C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,正确作出辅助线是解题关键.13.如图,△ABC中,∠C=90°,则点B到直线AC的距离是 ( )A.线段AB B.线段AC C.线段BC D.无法确定【答案】C【解析】【分析】直接利用点到直线的距离定义得出答案.【详解】解:如图,三角形ABC中,∠C=90°,则点B到直线AC的距离是:线段BC.故选:C.【点睛】本题考查点到之间的距离,正确把握相关定义是解题关键.14.如图所示,下列条件中,能判定直线a∥b的是()A .∠1=∠4B .∠4=∠5C .∠3+∠5=180°D .∠2=∠4【答案】B【解析】【分析】 在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线.【详解】A 、∠1=∠4,错误,因为∠1、∠4不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同旁内角或内错角;B 、∵∠4=∠5,∴a ∥b (同位角相等,两直线平行).C 、∠3+∠5=180°,错误,因为∠3与∠5不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同旁内角;D 、∠2=∠4,错误,因为∠2、∠4不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同位角. 故选:B .【点睛】本题考查平行线的性质,解题关键是区分同位角、内错角和同旁内角15.如图,等边ABC V 边长为a ,点O 是ABC V 的内心,120FOG ∠=︒,绕点O 旋转FOG ∠,分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点,连接DE ,给出下列四个结论:①ODE V 形状不变;②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一;③四边形ODBE 的面积始终不变;④BDE V 周长的最小值为1.5a .上述结论中正确的个数是( )A .4B .3C .2D .1【答案】A【解析】【分析】 连接OB 、OC ,利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ,从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形,即可判断①;过点O 作OH ⊥DE ,则DH=EH ,利用锐角三角函数可得OH=12OE 和OE ,然后三角形的面积公式可得S △ODE2,从而得出OE 最小时,S △ODE 最小,根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值,然后证出S 四边形ODBE =S △OBC2即可判断②和③;求出BDE V 的周长=a +DE ,求出DE 的最小值即可判断④.【详解】解:连接OB 、OC∵ABC V 是等边三角形,点O 是ABC V 的内心,∴∠ABC=∠ACB=60°,BO=CO ,BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°,∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ,∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=120° ∵120FOG ∠=︒∴∠=FOG ∠BOC∴∠FOG -∠BOE=∠BOC -∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC∴OD=OE∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形,∴ODE V 形状不变,故①正确;过点O 作OH ⊥DE ,则DH=EH∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=12(180°-120°)=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ,EH= OE·cos ∠∴∴S △ODE =12DE·2 ∴OE 最小时,S △ODE 最小,过点O 作OE ′⊥BC 于E′,根据垂线段最短,OE′即为OE 的最小值∴BE ′=12BC=12a 在Rt △OBE ′中 OE′=BE′·tan ∠OBE ′=12a 33 ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC∴S 四边形ODBE =S △ODB +S △OBE = S △OEC +S △OBE =S △OBC =1223 23=1423 ∴S △ODE ≤14S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一,故②正确; ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变,故③正确; ∵△ODB ≌△OEC∴DB=EC∴BDE V 的周长=DB +BE +DE= EC +BE +DE=BC +DE=a +DE ∴DE 最小时BDE V 的周长最小∵3OE∴OE 最小时,DE 最小而OE 的最小值为OE′=36a ∴DE 336a =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a +12a =1.5a ,故④正确; 综上:4个结论都正确,故选A .【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用,掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键.16.如图,下列判断:①若12A C ∠=∠∠=∠,,则B D ∠=∠;②若12B D ∠=∠∠=∠,,则A C ∠=∠:③若,A C B D ∠=∠∠=∠,则12∠=∠.其中,正确的个数是( ).A .0B .1C .2D .3【答案】D【解析】【分析】 ①根据12A C ∠=∠∠=∠,证明四边形DEBF 是平行四边形即可判断;②根据12B D ∠=∠∠=∠,证明DC ∥AB 即可判断;③根据,A C B D ∠=∠∠=∠证明DC ∥AB 即可判断.【详解】解:如图,标出∠3,①∵A C ∠=∠,∴DC ∥AB (内错角相等,两直线平行),∵2,3∠∠是对顶角,∴23∠∠=,∴13∠=∠(等量替换),∴DE ∥FB (同位角相等,两直线平行),∴四边形DEBF 是平行四边形(两组对边分别平行),∴B D ∠=∠,②∵2,3∠∠是对顶角,∴23∠∠=,∴13∠=∠(等量替换),∴DE ∥FB (同位角相等,两直线平行),∴∠B+∠DEB=180°,又∵B D ∠=∠,∴∠D+∠DEB=180°,∴DC ∥AB (同旁内角互补,两直线平行),∴A C ∠=∠(两直线平行,内错角相等);故②正确;③∵A C ∠=∠,∴DC ∥AB (内错角相等,两直线平行),∴B CFB ∠=∠(两直线平行,内错角相等),又∵B D ∠=∠,∴D CFB ∠=∠,∴DE ∥FB (同位角相等,两直线平行),∴13∠=∠(两直线平行,同位角相等),∵2,3∠∠是对顶角,∴23∠∠=,∴12∠=∠(等量替换),故③正确.故D 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的判定(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,两直线平行)、直线平行的性质、等量替换的相关知识点,掌握直线平行的判定和性质是解题的关键.17.如图,直线,AB CD 相交于点,50,O AOC OE AB ︒∠=⊥,则DOE ∠的大小是( )A .40︒B .50︒C .70︒D .90︒【答案】A【解析】根据对顶角的性质,把BOD ∠的度数计算出来,再结合OE AB ⊥,即可得到答案.【详解】解:∵50AOC ∠=︒,∴50BOD ∠=︒(对顶角相等),又∵OE AB ⊥,∴90EOB ∠=︒,∴905040DOE BOE DOB ∠=∠-∠=︒-︒=︒,故A 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质(对顶角相等),判断,BOD AOC ∠∠是对顶角是解题的关键.18.如图,1B ∠=∠,2C ∠=∠,则下列结论正确的个数有( )①//AD BC ;②B D ∠=∠;③//AB CD ;④2180B ∠+∠=︒A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】A【解析】【分析】根据∠1=∠B 可判断AD ∥BC ,再结合∠2=∠C 可判断AB ∥CD ,其余选项也可判断.【详解】∵∠1=∠B∴AD ∥BC ,①正确;∴∠2+∠B=180°,④正确;∵∠2=∠C∴∠C+∠B=180°∴AB ∥CD ,③正确∴∠1=∠D ,∴∠D=∠B ,②正确故选:A【点睛】本题考查平行的证明和性质,解题关键是利用AD ∥BC 推导出∠B+∠2=180°,为证AB ∥DC 作准备.19.如图,已知AB ∥CD ,直线AB ,CD 被BC 所截,E 点在BC 上,若∠1=45°,∠2=35°,则∠3=( )A.65°B.70°C.75°D.80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C,在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3.【详解】解:∵AB∥CD,∴∠C=∠1=45°,∵∠3是△CDE的一个外角,∴∠3=∠C+∠2=45°+35°=80°,故选:D.【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质和判定是解题的关键,即①两直线平行⇔同位角相等,②两直线平行⇔内错角相等,③两直线平行⇔同旁内角互补,④a∥b,b ∥c⇒a∥c.20.如图,BE平分∠DBC,点A是BD上一点,过点A作AE∥BC交BE于点E,∠DAE=56°,则∠E的度数为()A.56°B.36°C.26°D.28°【答案】D【解析】分析:根据平行线的性质,可得∠DBC=56°,∠E=∠EBC,根据角平分线的定义,可得∠EBC=12∠DBC=28°,进而得到∠E=28°.详解:∵AE∥BC,∠DAE=56°,∴∠DBC=56°,∠E=∠EBC,∵BE平分∠DBC,∴∠EBC=12∠DBC=28°,∴∠E=28°,故选D.点睛:本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质,熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题的关键.。

【精编】人教版七年级数学下册第五章_相交线与平行线_全章知识点归纳及典型题目练习(含答案).doc

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第五章相交线与平行线1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为_____________.2.两直线相交所成的四个角中,有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为__________.对顶角的性质:______ _________.3.两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,_______________.4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做________________________.5.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.6.在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.7.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.8.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:________________________________________.9.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______ .10. 平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成: _________________.⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:____________________________________ .11. 判断一件事情的语句,叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项,结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是_____,“那么”后接的部分是_________.如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.12. 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质:⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______.⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.熟悉以下各题:13. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____,点B 到AC 的距离是_______,点A 、B 两点的距离是_____,点C 到AB 的距离是________.14. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,a)若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________; b)若,a b b c ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________; c) 若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.15. 如图,已知AB 、CD 、EF 相交于点O ,AB ⊥CD ,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数.16. 如图,AOC ∠与BOC ∠是邻补角,OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线,试判断OD 与OE 的位置关系,并说明理由.17. 如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系.解:∠B +∠E =∠BCE过点C 作CF ∥AB ,则B ∠=∠____( )又∵AB ∥DE ,AB ∥CF ,∴____________( )∴∠E =∠____( )∴∠B +∠E =∠1+∠2即∠B +∠E =∠BCE .18. ⑴如图,已知∠1=∠2 求证:a ∥b .⑵直线//a b ,求证:12∠=∠.19. 阅读理解并在括号内填注理由:如图,已知AB ∥CD ,∠1=∠2,试说明EP ∥FQ .证明:∵AB ∥CD ,∴∠MEB =∠MFD ( )又∵∠1=∠2,∴∠MEB -∠1=∠MFD -∠2,即 ∠MEP =∠______∴EP ∥_____.( )20. 已知DB ∥FG ∥EC ,A 是FG 上一点,∠ABD =60°,∠ACE =36°,AP 平分∠BAC ,求:⑴∠BAC 的大小;⑵∠P AG 的大小.21. 如图,已知ABC ∆,AD BC ⊥于D ,E 为AB 上一点,EF BC ⊥于F ,//DG BA交CA 于G .求证12∠=∠.22. 已知:如图∠1=∠2,∠C =∠D ,问∠A 与∠F 相等吗?试说明理由.参考答案1.邻补角2.对顶角,对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行.9.平行10.两直线平行同位角相等;两直线平行内错角相等;两直线平行同旁内角互补.11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15.28°118°59°16. OD⊥OE理由略17. 1(两直线平行,内错角相等)DE∥CF(平行于同一直线的两条直线平行)2(两直线平行,内错角相等).18.⑴∵∠1=∠2,又∵∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠3∴a∥b(同位角相等两直线平行)⑵∵a∥b∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠2=∠3(对顶角相等)∴∠1=∠2.19. 两直线平行,同位角相等MFQ FQ同位角相等两直线平行20. 96°,12°. 21.,AD BC FE BC ⊥⊥90EFB ADB ∴∠=∠=//EF AD ∴23∴∠=∠//,31DG BA ∴∠=∠ 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A =∠F .∵∠1=∠DGF (对顶角相等)又∠1=∠2 ∴∠DGF =∠2 ∴DB ∥EC (同位角相等,两直线平行) ∴∠DBA =∠C (两直线平行,同位角相等) 又∵∠C =∠D ∴∠DBA =∠D ∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)∴∠A =∠F (两直线平行,内错角相等).。

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∴∠BOD=∠COE
在△ODB和△OEC中
∴△ODB≌△OEC
∴OD=OE
∴△ODE是顶角为120°的等腰三角形,
∴ 形状不变,故①正确;
过点O作OH⊥DE,则DH=EH
∵△ODE是顶角为120°的等腰三角形
∴∠ODE=∠OED= (180°-120°)=30°
∴OH=OE·sin∠OED= OE,EH= OE·cos∠OED= OE
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2,再根据平角的定义列方程即可得解.
【详解】
∵AB∥CD,
∴∠3=∠2,
∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴2∠3+60°=180°,
∴∠3=60°,
∴∠1=60°,
故选:B.
【点睛】
此题考查平行线的性质,三角板的知识,熟记性质是解题的关键.
∵DB平分∠ADE,
∴∠ADB=∠ADE,
∵∠B=30°,
∴∠ADB=∠BDE=30°,
则∠DEC=∠B+∠BDE=60°.
故选B.
【点睛】此题主要考查了平行线的性质,正确得出∠ADB的度数是解题关键.
6.如图,ABCD为一长方形纸带,AB∥CD,将ABCD沿EF折叠,A、D两点分别与A′、D′对应,若∠1=2∠2,则∠AEF的度数为( )
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项符合题意;
C、在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行,故本选项不符合题意;
D、如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故本选项不符合题意;
故选:B.
【点睛】
此题考查平行线的性质和判定,平行线公理及推论,能熟记知识点的内容是解题的关键.
∴DE=2EH= OE
∴S△ODE= DE·OH= OE2
∴OE最小时,S△ODE最小,
过点O作OE′⊥BC于E′,根据垂线段最短,OE′即为OE的最小值
∴BE′= BC=
在Rt△OBE′中
OE′=BE′·tan∠OBE′= × =
∴S△ODE的最小值为 OE′2=
∵△ODB≌△OEC
∴S四边形ODBE=S△ODB+S△OBE= S△OEC+S△OBE=S△OBC= BC·OE′=
∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形,共5个,
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质,由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是解题的关键.
15.如图 分别平分 则图中与 相等的角(不含它本身)的个数是()
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
解:连接OB、OC
∵ 是等边三角形,点 是 的内心,
∴∠ABC=∠ACB=60°,BO=CO,BO、CO平分∠ABC和∠ACB
∴∠OBA=∠OBC= ∠ABC=30°,∠OCA=∠OCB= ∠ACB=30°
∴∠OBA=∠OCB,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=120°

∴ ∠BOC
∴∠FOG-∠BOE=∠BOC-∠BOE
11.在下图中,∠1,∠2是对顶角的图形是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】

12.如图,△ABC中,∠C=90°,则点B到直线AC的距离是( )
A.线段ABB.线段ACC.线段BCD.无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用点到直线的距离定义得出答案.
【详解】
解:如图,三角形ABC中,∠C=90°,则点B到直线AC的距离是:线段BC.
∵ = ×
∴S△ODE≤ S四边形ODBE
即 的面积最小不会小于四边形 的面积的四分之一,故②正确;
∵S四边形ODBE=
∴四边形 的面积始终不变,故③正确;
∵△ODB≌△OEC
∴DB=EC
∴ 的周长=DB+BE+DE= EC+BE+DE=BC+DE=a+DE
∴DE最小时 的周长最小
∵DE= OE
∴OE最小时,DE最小
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,D、E两点分别在边AC、BC上,BD平分∠ABC,DE∥AB.图中的等腰三角形共有( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
【答案】C
【解析】
【分析】
已知条件,根据三角形内角和等于180,角的平分线的性质求得各个角的度数,然后利用等腰三角形的判定进行判断即可.
【详解】
解:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=36°,
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°,
∵DE∥AB,
∴∠EDB=∠ABD=36°,
∴∠EDC=72°﹣36°=36°,
∴∠DEC=180°﹣72°﹣36°=72°,
∴∠A=∠ABD,∠DBE=∠BDE,∠DEC=∠C,∠BDC=∠C,∠ABC=∠C,
10.A、B、C是直线L上三点,P为直线外一点,若PA=2cm,PB=3cm,PC=5cm,则P到直线L的距离是( )
A.等于2cmB.大于2cmC.不小于2cmD.不大于2cm
【答案】D
【解析】
【分析】
从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.
【详解】
∵PA=2cm,PB=3cm,PC=5cm,
8.如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O(AD>AB).下列说法:①AB=CD;② ;③∠ABD=∠CBD;④对边AB,CD之间的距离相等且等于BC的长。其中正确的结论有()个
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、三角形的面积公式、平行线的性质、等腰三角形的性质、直线之间的距离逐个判断即可得.
故选:A.
【点睛】
此题考查平行线的性质,几何图形中角的和差关系,掌握平行线的性质是解题的关键.
4.如图,已知AB∥DC,BF平分∠ABE,且BF∥DE,则∠ABE与∠CDE的关系是( )
A.∠ABE=2∠CDEB.∠ABE=3∠CDE
C.∠ABE=∠CDE+90°D.∠ABE+∠CDE=180°
【答案】A
9.下列说法中,正确的是()
A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.垂于同一条直线的两条直线平行
D.如果两个角的两边分别平行,那么这两个角一定相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和判定,平行线公理及推论逐个判断即可.
【详解】
A、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故本选项不符合题意;
∵AB∥CD,
∴∠3=∠1,
∵∠1=2∠2,∠3+∠4+∠2=180°,
∴5∠2=180°,即∠2=36°,
∴∠AEF=∠3=∠1=72°
故选B.
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质,熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键.
7.如图,现将一块含有 角的三角板的顶点放在直尺的一边上,若 ,那么 的度数为()
【详解】
四边形ABCD是平行四边形
,则①正确
边OB上的高与 边OD上的高是同一条高,且
,则②正确
若 ,则
,这与已知条件 矛盾,则③错误
如图,过点A作 于点E
对边 之间的距离相等,且等于AE的长
不一定垂直于CD
不一定等于AE,则④错误
综上,结论正确的个数为2个
故选:B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点,熟练掌握并灵活运用各性质是解题关键.
∴PA<PB<PC.
∴①当PA⊥L时,点P到直线L的距离等于2cm;
②当PA与直线L不垂直时,点P到直线L的距离小于2cm;
综上所述,则P到直线L的距离是不大于2cm.
故选:D.
【点睛】
本题考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念.垂线的两条性质:①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.
A.75°B.72°C.70°D.65°
【答案】B
【解析】
【分析】
如图,由折叠的性质可知∠3=∠4,已知AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1,再由∠1=2∠2,∠3+∠4+∠2=180°,可得5∠2=180°,即可求得∠2=36°,所以∠AEF=∠3=∠1=72°
【详解】
如图,由折叠的性质可知∠3=∠4,
A.4B.3C.2D.1
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OB、OC,利用SAS证出△ODB≌△OEC,从而得出△ODE是顶角为120°的等腰三角形,即可判断①;过点O作OH⊥DE,则DH=EH,利用锐角三角函数可得OH= OE和DE= OE,然后三角形的面积公式可得S△ODE= OE2,从而得出OE最小时,S△ODE最小,根据垂线段最短即可求出S△ODE的最小值,然后证出S四边形ODBE=S△OBC= 即可判断②和③;求出 的周长=a+DE,求出DE的最小值即可判断④.
【解析】
【分析】
延长BF与CD相交于M,根据两直线平行,同位角相等可得∠M=∠CDE,再根据两直线平行,内错角相等可得∠M=∠ABF,从而求出∠CDE=∠ABF,再根据角平分线的定义解答.
【详解】
解:延长BF与CD相交于M,
∵BF∥DE,
∴∠M=∠CDE,
∵AB∥CD,
∴∠M=∠ABF,
∴∠CDE=∠ABF,
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