综合与实践一次函数模型的应用
沪科版数学八年级上册12.4综合与实践——一次函数模型的应用课件(共21张PPT)
(2)设获得的利润为y元,由题意,得y=50[4x+2(150-x)] +80[2x+6(150-x)]，即 y= -220x+87 000.因为-220<0，所以y随x的增大而减小，所以 x=50时,y取得最大值，最大值为 -220×50+87000 = 76 000.答:该工艺厂购买A,B两类原木分别为50根和100根时获得利润最大，最大利润是76000元.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
（2）当0<x≤1时,令22x>16x+3,解得 ;令22x=16x+3,解得 ; 令22x<16x+3,解得 .当x>1时,令15x+7>16x+3,解得x<4;令15x+7=16x+3,解得x=4; 令15x+7<16x+3,解得x>4.综上所述,当快递物品的重量少于 千克或者多于4千克时,选择甲公司更省钱;当快递物品的重量等于 千克或者4千克时,选择甲,乙两家公司费用一样;当快递物品的重量多于 千克且少于4千克时,选择乙公司更省钱.
2.50
（1）在图2中描出表中的数据，观察判断x,y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩上所挂物的质量是多少？（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少？
解：（1）描点如图所示,这些点在一条直线上,故y与x满足一次函数关系.
一次函数(综合与实践)
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x/ 年
0（1980） 1（1984） 2（1988） 3（1992） 4（1996） 5（2000） 6（2004）7（2008） 8（2012）
·
（2观察描出的点的整体分布，他们基本在一条直线附 近波动，y不x之间的函数 关系可以用一次函数去模拟。 即：y=kx+b
确定一次函数关系式，关键是选出两个点的坐标，选 哪两个点呢？ y/s
思考
请找出一个能建立数学模型解决实际问题的例子， 然后仿照前面例题去解出来
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0（1980） 1（1984） 2（1988） 3（1992） 4（1996） 5（2000） 6（2004）7（2008） 8（2012）
这里我们选取从原点向右的第三个点（3， 225）及第6个点（6，223.1）的坐标代入 y=kx+b中,得
12.4
综合与实践：一次函数的模型的应用
（提出问题） 奥运会每4年举办一次，奥运会的 游泳成绩在丌断的刷新，如男子400m自由泳项目， 1996年奥运冠军的成绩比1990年的约提高了30s，下 面是该项目冠军的一些数据：
年份 冠军成绩/s 年份 2000 2004 2008 2012 冠军成绩/s 220.59 223.10 221.86 ？
3k+b=225 6k+b=223.1 解方程组可得：k=-0.7, b=227 所以，一次函数的解析式为：y=-0.7x+227
3. 当把1980年的x值作为0，以后每增加4年得x的 一个值，这样2012年时的x值为8，把x=8代入上式， 得y=-8+227=219(s)
12.4综合与实践一次函数模型的应用-沪科版八年级数学上册教案
12.4 综合与实践一次函数模型的应用-沪科版八年级数学上册教案一、教学目标1.理解一次函数模型的概念和基本特征；2.掌握利用一次函数模型解决实际问题的方法；3.培养学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点1.理解一次函数模型的概念和基本特征；2.掌握利用一次函数模型解决实际问题的方法。
三、教学难点1.培养解决实际问题的能力；2.能够运用数学知识解决跨学科问题。
四、教学内容及安排1. 一次函数模型的概念和基本特征1.通过教学PPT介绍一次函数的概念和定义；2.讲解一次函数的基本特征，如自变量、因变量、斜率、截距等。
2. 一次函数模型解决实际问题的方法Step1: 明确问题解题思路1.分析问题条件；2.明确问题所求。
Step2: 求解过程1.确定自变量和因变量；2.列出函数模型；3.解方程，求出变量值；4.求解问题。
3. 练习与拓展1.在课堂上进行部分例题的讲解；2.布置习题课后练习；3.扩展问题的解决。
五、教学方法1.教师讲授与学生练习相结合；2.合作学习、讨论、呈现等多种方式；3.引导学生思考，培养学生解决问题的能力。
六、教学过程与时间安排1. 教师引入（5分钟）介绍本节课的教学目标和安排，并激发学生学习的兴趣和热情。
2. 阐述一次函数的概念和基本特征（15分钟）1.通过PPT进行讲解；2.询问学生，让学生拓展思路，增加理解。
3. 讲解一次函数模型解决实际问题的方法（25分钟）1.通过教学PPT，讲解解决问题的方法，引导学生理解方法；2.对选择的实际问题进行解题演示；3.鼓励学生自己动手解题。
4. 练习及拓展（20分钟）1.转化思路，增加难度，进行课堂练习；2.接着进行拓展，探究更多实际问题。
5. 课堂总结（5分钟）回顾本节课教学目标，并询问学生遇到的问题和思路拓展。
七、课堂设计说明本节课的教学重点在于提高学生的综合运用数学知识解决实际问题的能力。
在教学过程中，既要让学生掌握一次函数模型的基本概念和特征，又要引导学生把数学知识应用到实际问题中去，帮助学生培养跨学科问题解决的能力。
沪科版数学八年级上册《12.4 综合与实践 一次函数模型的应用》教学设计
沪科版数学八年级上册《12.4 综合与实践一次函数模型的应用》教学设计一. 教材分析《12.4 综合与实践一次函数模型的应用》是沪科版数学八年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是一次函数在实际问题中的应用，通过解决实际问题，让学生理解一次函数的意义，提高解决实际问题的能力。
教材中给出了两个实际问题，分别是“工资问题”和“商品打折问题”，旨在让学生通过解决这两个问题，掌握一次函数模型的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一次函数的定义、性质和图像。
他们对于一次函数的概念和性质有一定的了解，能够画出一次函数的图像，但对于一次函数在实际问题中的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学的一次函数知识与实际问题相结合，提高他们的应用能力。
三. 教学目标1.理解一次函数在实际问题中的意义和作用。
2.学会用一次函数模型解决实际问题。
3.提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.一次函数模型在实际问题中的应用。
2.如何将实际问题转化为一次函数模型。
五. 教学方法1.案例教学法：通过分析教材中的实际问题，让学生理解一次函数模型的应用。
2.问题驱动法：引导学生主动思考，将实际问题转化为一次函数模型。
3.小组合作法：让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题，提高他们的合作能力。
六. 教学准备1.教材《沪科版数学八年级上册》。
2.课件或黑板。
3.实际问题素材。
4.计时器。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入“工资问题”和“商品打折问题”，激发学生的兴趣，引导学生思考一次函数在实际问题中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的两个实际问题，让学生明确本节课的学习目标。
3.操练（10分钟）教师引导学生用一次函数模型解决“工资问题”，学生独立思考，小组内交流讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，帮助学生克服困难。
4.巩固（10分钟）教师引导学生用一次函数模型解决“商品打折问题”，学生独立思考，小组内交流讨论，共同解决问题。
初中数学八年级上册 综合与实践 一次函数模型的应用-“百校联赛”一等奖
中考专题复习——方案设计型问题教学目标：通过建立方程（组）、不等式（组）、一次函数等数学模型来解决有关的实际问题。
教学重点：选择适当的数学模型来解决有关的实际问题。
教学难点：用分类讨论的思想方法解决有关实际问题。
教学过程：一、创设情景：方案设计型问题，通常是指根据题目提供的信息，综合运用已有的知识，构造解决问题的可行方案，或者针对给出的若干种解决方法，通过计算、证明或动手操作，比较其优劣得失，确定最佳方案的一类问题。
由于它具有联系实际，取材广泛，表述冗杂，解法法灵活等显著特点，因而被作为考查学生分析问题、解决问题能力重要题型。
频繁出现在全国各地的中考数学试卷中。
问题1：淮北市春华家具厂厂长小张去木材厂购买板材，现有A、B、C三种规格板材，价格分别是15元/张、21元/张、25元/张，若将9000元全部用于购买其中两种板材共500张，则有几种购买方案可供选择引入课题：方案设计问题的解法探究二、自主探究：问题2：厂里现有A板材292张、B板材198张，要加工成课桌、餐桌共80张，已知制作一张课桌用A板材2张、B板材3张，已知制作一张餐桌用A板材5张、B板材2张。
1、有哪几种制作方案？2、售出后，课桌、餐桌每张可以分别获利45元、50元，问哪种加工方案获利最大？三、迁移拓展：问题2：经过市场调查发现，该厂决定每套课桌上调a（a≥0）元（不影响其销售量，为回报社会，该厂决定将次销售获利全部捐款给希望工程，试问：选择哪种加工方案将捐款最多？四、课堂小结：这节课你有什么收获请你用自己的话谈谈你的体会。
五、作业：1、必做题：小王的家具长生意兴隆，决定扩大规模，与某木材加工厂联营，联营后共有职工100人，分别从事木材加工、家具制作、销售等三项业务（每人只能从事一项工作）。
已知每人每天可加工板材600张或制造家具15套，每套用板材4张，且木材加工员，家具制造人员、销售人员日工资分别为40元、50元、30元，若企业每天支付工人工资总额4600元，且销售员不少于14人，请你帮忙设计人事分工方案。
新泸教版数学八年级上册课件：12.4 综合与实践 一次函数模型的应用
( 1 )以海拔高度为x轴,根据上表提供的数据在如图的平面直角坐标系中描点并连线. ( 2 )观察( 1 )中所画出的图象,猜想y与x之间的函数关系,求出所猜想的函数表达式,并根据表 中提供的数据验证你的猜想.
8.某水果批发市场香蕉的价格如下表:
购买香蕉数 ( 千克 )
不超过 20 千克
20 千克以上 但不超过 40
千克
40
千克以上
每千克价格 6 元 5 元
4元
若小丽购买香蕉x千克( x大于40 )付了y元,则y关于x的函数关系式为 y=4x+60 .
9.一次越野跑中,当小明跑了1600米时,小刚跑了1400米,小明、小刚在此后所跑的路程y( 米 ) 与时间t( 秒 )之间的函数关系如图,则这次越野跑的全程为 2200 米.
12.4 综合与实践 一次函数模型的应用
知识点1 构建一次函数模型求表达式
1.某超市进了一些食品,出售时要在进价的基础上加一定的利润,其数量x( 千克 )与售价y( 元 ) 的关系如下表:
数量 x( 千克 ) 1 2
3
4
5
…
售价 y( 元 ) 6+0.5 12+1.0 18+1.5 24+2.0 30+2.5 …
所以需要携带外套上山.
12.在北方冬季,对某校一间坐满学生、门窗关闭的教室中二氧化碳的总量进行检测,部分数据 如下:
教室连续使用时间 x( 分 )5 10 15 20 二氧化碳总量 y( m3 ) 0.6 1.1 1.6 2.1
经研究发现,该教室空气中二氧化碳总量y( m3 )是教室连续使用时间x( 分 )的一次函数. ( 1 )求y与x的函数表达式.( 不要求写出自变量x的取值范围 ) ( 2 )根据有关资料推算,当该教室空气中二氧化碳总量达到6.7 m3时,学生将会稍感不适,请通 过计算说明,该教室连续使用多长时间学生将会开始稍感不适? ( 3 )如果该教室在连续使用45分钟时开门通风,在学生全部离开教室的情况下,5分钟可将教室 空气中二氧化碳的总量减少到0.1 m3,求开门通风时教室空气中二氧化碳平均每分钟减少多少 m3?
一次函数模型的应用
2、观察点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知的数据求出函数表达式
3、进行检验
4、应用这个函数模型解决问题
九、作业设计
课内；教材P65第3题
课外：完成教材P59的问题3
十、教学反思
另附文
（3）观察描出的点的分布情况，猜测两个变量x、y之间是何种函数关系？
（4）用待定系数法求出函数的解析式。思考：选择哪两点来写这个函数的解析式？
（5）根据所得的函数预测2012年伦敦奥运会时该项目的冠军成绩。思考：能否用此数学模型预测2016年奥运会的该项目冠军的成绩呢？
3、通过学习，你能总结出建立两个变量之间的函数模型，需要哪几个步骤？
情感态度
与价值
让学生感受现实生活中的数学，通过建数学模型来解决问题的实践活动，体验学习的乐趣和成就感
四、教学重点难点
教学重点
对变量关系的分析，建立一次函数模型并对做出预测
教学难点
一次函数模型关系式的确定
五、教学方法
（学法）
先学后教法
自研、合作探究
六、教具准备
多媒体ppt
七、教学过程设计
教学环节1
情境
引入
教学过程
【多媒体展示】情境：大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距，某次研究表明，一般情况下人的身高h（cm）与指距d（cm）存在一定的函数关系，下表是测得的指距和身高的一组数据：
指距d/cm
20
21
22
23
身高h/cm
160
169
178
187
问：如果d为自变量，h为因变量，那么这两个变量的变化有什么规律？能用什么函数来表达？请变量？自变量和因变量是什么？它们之间是什么函数关系？
安徽省八年级数学上册第12章一次函数：综合与实践一次函数模型的应用pptx课件新版沪科版
匀速驶向索道口.两辆大巴车行驶的路程 s (km)随行驶的
时间 t (h)变化的图象如图所示.
(2)求甲大巴车比乙大巴车提前多少
小时到达索道口.
1
2
3
4
5
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7
解：(2)令70 t －40＝100，解得 t ＝2.设乙大巴车 s 与 t 的
函数表达式为 s ＝ mt ，把(1.5，65)代入，得1.5 m ＝
得0＜ x ＜
> ，
15.因为 x ， y 都是整数，所以 x 为3的倍数，所以 y ＝
－ x ＋10(0＜ x ＜15，且 x 为3的倍数).
1
2
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5
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7
6. [2023·合肥月考]某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果
和橘子共60 t(两种水果都装)去外地销售，要求每辆货车
只能装一种水果，且必须装满.设装运苹果的货车有 x
65，解得 m ＝
，所以 s ＝
t ，令
t ＝100，解
Hale Waihona Puke
得 t ＝ . －2＝ (h)，所以甲大巴车比乙大巴车提前 h
到达索道口.
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2
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4
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7
最值及择优方案问题
5. [2024·南京月考]某电脑公司经营 A ， B 两种台式电脑，分
析过去的销售记录可以知道：每台 A 型电脑可盈利200
辆，装运橘子的货车有 y 辆，销售获得的总利润为 W 元.
根据表格中提供的信息，解答问题.
沪科8年级数学上册第12章4 综合与实践 一次函数模型的应用
12.4 综合与实践 一次函数模型的应用
1 课时讲解 一次函数模型的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一次函数模型的应用
1. 利用函数解决实际问题的基本模式
知1－讲
2. 建立函数模型的一般步骤 (1)获取数据；(2)列表、描点； (3)观察、猜想；(4)求出函数表达式； (5)检验并给出答案.
t/h
0
1
2
3
…
Q/ (kW·h) 80 65 50 35 …
(1)根据表中的数据，请写出Q与t的关系式.
知1－练
解：由表格中两个变量对应值变化的规律可知，Q 与 t
之间的函数关系是一次函数关系，设 Q 与 t 的关系式为
Q＝kt＋b.
将(0，80)，(1，65)代入，得8605＝＝bk，＋b，解得kb＝＝－801，5， 所以 Q＝－15t＋80.
知1－练
(3)能用所求出的函数表达式预测小明训练3 年的100 m短 跑成绩吗？为什么？ 解：不能 . 理由：因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但 在较长的时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远 如此快地提高 .(理由合理即可)
知1－练
2-1.[月考·蚌埠蚌山区]小亮因为迷恋上了游戏，本学期成 绩有所下降，下表是小亮在本学期学校组织的几次反馈 性测试中所取得的数学成绩：
得ቊ1b0＝k＋10b，＝30，解得ቊkb＝＝21，0，所以y＝2t＋10 .
知1－练
(3)当加热110 s时，油沸腾了，请推算沸点的温度. 解：当t＝110时，y＝2×110＋10＝230， 所以经过推算，该食用油的沸点温度是230℃ .
知1－练
初中八年级下册数学综合与实践 生活中的“一次模型”
材料4 关于教育开销的调查
1、计算一下自己从现在起到参加工作，总共需要 多少教育资金。 2、考虑你如何支付这些费用，帮家长写一个储蓄 计划。 3、用不等式来表示你从各种渠道所能储蓄的钱的 最低数量。 4、将你的调查与同学交流一下，让大家看看你的 调查是否可行？如果可能请他们提供改进的建议。
四.展示倾听，思维碰撞 关于“选取最适合自己的话费方案” 的研究与调查.
初中数学八年级(下) 综合与实践 生活中的“一次模型”
学习目标
1.经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题， 并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能 力，了解数学的价值。
2.综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识 解决问题，体会三者之间的内在联系。
内在联系
三者都是描述现实世界中的量与量之间的关系的模型。例 如：已知某种商品单价，数量与总价之间的关系在特定条 件下就可以转化为可以用以上三种模型解决的实际问题。
二.实例分析
例 市政府为绿化计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲树每株50元，乙树
每株80元，统计表明，甲树的成活率为90%，乙树的成活率为95%，
思考：你们准备研究的主题是什么？研究的具体问题是什么？研究 的方案是什么？
三.讨论交流，提出问题
1.背景 （1）热点问题：环保，教育，民生，城市建设，新农村改造等 （2）生产生活：生产设计，经费预算，生产调度，市场经济等 2.解题思路 实际背景提炼构建（1）函数模型（2）方程模型（3）不等式模型 关键是分清题型 3.信息呈现的方式 （1）文字信息（对话）：粗读——细读——研读——提取信息——建立模型 （2）表格信息：审题识表——提取信息——建立模型 （3）图像信息：审题识图——读图找点——确定解析式（注意坐标的实际意义） （4）综合信息
“一次函数模型的应用”的难点剖析及教法改进.doc
“一次函数模型的应用”的难点剖析及教法改进安徽省肥西县梁岗学校赵立春231201在沪科版八年级下学期的数学教材12.4节小，编排了以“一次函数模型的应用”为内容的“综合与实践”课题，该课题研究的是一类与生活经验密切联系、貝有一定实践性和综合性、以学生自主探究、合作交流为主的学习活动。
《数学课程标准》指出：“'综合与实践'内容设置的目的在丁•培养学生综合运用一次函数的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决实际问题的能力。
⑴”“一次函数模型的应用”使得同学们对一次函数的学习升华到了高潮，具有一定的难度。
1、难点剖析：1. 1难以适应从理论向实践的过渡。
“一次函数模型应用”的综合与实践课题解决的是一类可以抽象为一次函数模型的实际牛活问题。
対于这些实际问题，要求学生会主动地把实际问题抽象为一次函数模型，利用一次函数的知识、方法等理论来综合分析、自主探究。
在沪科版八年级数学第12章的一次函数前三节中，通过教学完成了一次函数的知识冃标，如让同学们知道了什么叫变量、常量、函数、一次函数、正比例函数等，知道了函数的三种表示方法，会求函数值，会用描点法画函数的近似图像，会从函数图象中获収有价值的信息，会用待定系数法求一次函数的衣达式，会用两点法画一次函数的图象，会用一次函数的图彖求二元一次方程的解，掌握了一次函数的性质，这些理论知识的习得为学习12. 4节“一次函数模型的应用”提供了重要的理论支撑。
人家知道，学习数学的最终冃的是为了应用数学知识、方法解决实际问题，培养创新能力。
而应用数学知识方法解决实际问题是学生学习小普遍感到困难的环节，成为数学教学小的一个难点。
将实际问题抽象为一次函数问题对于八年级中学生來说则是难以适应的，这主要是由八年级中学生思维的特点决定的，他们年龄小、阅历少且知识匮乏，心理发育还不完善，由此决定了他们思维的不成熟性，遇到实际问题不知道怎么处理，碰到难度大，综合性强的题口时，学生便无从下手，学生的思维层次不高。
综合与实践《生活中的“一次模型”》
综合与实践生活中的“一次模型”一、学生起点分析到目前为止，学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数，积累了一定的知识基础和活动经验，也发现了它们彼此之间的联系，初步感受到这三个基本数学模型的广泛应用。
但是，由于学生习惯于解决已给定的具体问题，见到这样一个较为宽泛的课题，可能无法确定所要研究的对象，或者虽然确定了问题情境，但各个量之间的关系较为复杂，因此不能按照课题的要求理出解题方案。
二、教学任务分析本课题是以探索一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的综合应用为主题的实践活动，一方面可以使学生体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系，初步形成对数学知识系统性的认识，发展学生的概括能力、数学研究能力；另一方面通过调查活动使学生充分认识数学知识在现实生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，发展学生的数学抽象能力，综合应用数学的能力，做到在学数学的同时自觉的用数学。
相比前面的课题学习而言，本课是自主活动类型的课题学习,以一种新的形式呈现，任务的给出比较宽泛，没有给定的背景，没有具体的安排，只是给出了一个原始的问题，规定了一个大的方向：要求将一元一次方程、一元一次不等式和一次函数集中融入一个问题情境，至于说具体研究哪些问题、如何研究等完全由学生自主选择，因而，保证了学生学习的自主性、选择性和学习结论的开放性，给学生提供了发现问题，提出问题的机会，进一步发展学生的应用意识和创新意识。
因此，本节课的教学目标定为：⒈经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值。
⒉综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系。
⒊会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，并能进行交流，进一步积累数学活动经验。
三、教学过程分析在教学过程中安排两课时。
新北师大版八年级数学下册《合与实践 ⊙ 生活中的“一次模型”》教案_2
教学设计一.教学目标：知识与技能：经历用数学眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值.过程与方法：综合运用一元一次不等式与方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系.情感态度与价值观：会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成结论并能进行交流，进一步积累数学活动经验.教学重点：根据情境提出问题并会运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数解决实际问题.教学难点：体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系，形成对数学知识系统性的认识.二.教学设计思路和过程设计：（一）设计思路：到目前为止，学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数，积累了一定的知识基础和活动经验，也初步发现了它们彼此之间的内在联系，但本综合与实践是以一种新的形式呈现，且教科书给出的任务比较宽泛，没有给定的背景，没有具体的安排，只是规定了一个大的方向：要求将一元一次方程、一元一次不等式和一次函数集体融入到一个问题情境.由于对多数同学来说，从事这样开放性比较强的综合与实践活动的经验可能还一些不足，因此，教师选取了生活中常见的相遇问题进行研究，给定学生一个情境，让学生自己提出问题并解答，同过三个问题的解决，让学生体会一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系.最后学生自己总结，可以用“一次模型”解决的行程问题，必须是匀速的行程问题.（二）教学过程：【第一环节】创设情境，引出课题数学源于生活，我们学习数学是为了更好地服务于生活。
通过一个生活中常见的情境：A、B两地相距180千米，甲、乙两人分别从A、B 两地相向而行.假设他们始终保持匀速行驶.教师询问学生：接下来，甲乙两人会怎样？通过提问，让学生自己想象接下来会发生的情境.从而引出我们要研究的行程问题是相遇问题.然后教师继续提问，两人相遇的地点确定吗？一定是A、B两地的中点吗？让学生意识到相遇地点与他们各自的速度有关.然后，让学生根据情境自己提出问题.【第二环节】实践探究（一）——建立一元一次方程与一元一次不等式模型解决问题教师选取了几个有代表性的问题让学生解决：①经过多长时间两人相遇？②何时两人相距20千米？③何时两人相距小于20千米？学生在解决问题的过程中发现，情境中缺少甲、乙两人速度这个条件，通过添加条件，让学生自己画线段图解决问题.对于问题一，学生通过画线段图用算术法或列一元一次方程都可以解决，相遇的时间为x=3.6小时.对于问题二，学生借助线段图分析两人相距20千米会有两种情况，一种是相遇前两人相距20千米，一种是相遇后两人相距20千米，学生列一元一次方程可以求出相距20千米有两个答案x=3.2或x=4.第三个问题，何时两人相距小于20千米？学生通过线段图可以分析得到，从第一次相距20千米之后，两人距离越来越小，直到相遇时两人之间距离最小为0，随后两人之间距离逐渐拉大，直到再次相距20千米.所以，对于第三问，很多同学会直接写出答案3.24<<，然后由老师分析，这其实是一个不等式问x题，只要将两人之间的距离表示出来，然后让其小于20千米即可，通过列出的两个不等式并解答，发现最终答案确实是3.24<<.x【第三环节】实践探究（二）——建立一次函数模型解决问题教师总结，对于刚才的问题，我们借助线段图分析，运用一元一次方程和一元一次不等式可以解决，那么有没有更加直观的方法描述刚才的情境从而更直观的解决问题？让学生意识到，可以画函数图像.让学生小组活动，自己讨论如何画函数图像.学生能想到画出甲、乙两人到某地距离的函数图像：通过分析图像，分别求出两条函数图像的解析式，明确两个解析式中的k分别是甲、乙的速度.从而借助解析式，最终也是转化成一元一次方程或一元一次不等式解决刚才提出的三个问题，并且让学生明确两条图像的交点的含义，明确图像与坐标轴交点的含义.可以让学生再提出几个问题借助图像解决.个别小组想到，可以画出两人之间距离的函数图像：然后通过分析这个图像，求出这个图像各段的表达式，仍然可以解决刚才的问题.需要注意的是，这个图像的解析式在求解过程中，学生会遇到困难，例如图像的第一段，只知道一个点并不能求出函数解析式，需要引领学生分析，相遇问题两人之间距离的减少是两人共同运动造成的，类比第一个图像的斜率k分别是甲、乙两人的速度，可以得出此线段的斜率k是甲、乙两人的速度和，又因为y随x的增大而减小，所以k=-180,从而可以直接写出第一段的解析式为y=-50x+180.以此类推，可以得到后面两段的函数解析式.从而借助此图像，仍然可以解决刚才的问题.最后引导学生找到这两个图像之间的关系，让学生分别在两个图像中可以找到，表示两人相遇的点是哪个点，表示乙到达终点的点是哪个，表示甲到达终点的点是哪个.【第四环节】课堂小结，指导概括教师总结，通过图像，也就是“型”的角度，解决了数的问题，这就是“数形结合”的思想，鼓励学生在今后的学习中灵活运用这种思想.教师继续提问，为什么列出的方程和不等式一定是一元一次的？为什么画出的函数图像一定是一条直线？或者说，为什么函数关系一定是一次函数？学生通过讨论探究，发现只有是匀速运动才是一次的，是因为在整个过程中，速度不变，路程只和时间这一个变量有关，且路程随着时间的变化而均匀变化，所以，路程与时间的变化率不变，所以路程与时间的关系才一定是一次函数.回顾整个探究过程，可以得到，对于匀速的行程问题，我们可以用一元一次方程、一元一次不等式或者是一次函数去解决，那么这个过程就是在建立“一次模型”.然后鼓励学生，能否在匀速的追及问题中建立“一次模型”解决问题.【第五环节】随堂练习，跟踪检测例题：A、B两地相距50km，甲于某日下午13：00骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地。
高中数学必修一 12.4_综合与实践_一次函数模型的应用教案
综合与实践 一次函数模型的应用教案教学目标:1.学会建立一次函数模型的方法；2.能用一次函数解决简单的实际问题；3.能结合对函数的关系式的分析，尝试对变量的变化规律进行预测。
教学重点：建立一次函数的模型。
教学难点：建立一次函数的模型，解决实际问题。
教学过程：一. 引入：求一次函数解析式是我们本学期函数学习的主要内容，掌握建立一次函数模型以及在实际问题中利用一次函数解决问题，才是我们学习的目的。
现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，并求出结果和讨论结果的意义。
下面，我们一起看看昨天大家写的学案。
二、学案初步学习讲解2、小明根据某个一次函数关系式填写了下表:解：设这个一次函数的解析式为y=k x +b.∵当x=0时，y=1，当x=1时，y=0. 222202+-=∴⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=+=x y b k b k b所以当x=-1时，y=4。
3、为了提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，王强同学做了水龙头漏水实验，他用于接水的量筒最大容量为100毫升。
他在做实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表：（漏出的水量精确（2）按此漏水速度，一小时会漏水多少千克？（精确到0.1千克）解：按下面步骤解决上述问题。
①在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？解：有两个变量，自变量是时间t ，因变量是漏出的水量V 。
它们之间是函数关系。
②根据实验得到的数据，把时间和漏水量的每一组对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标系中描出这些点。
解：③观察这些点的分布有什么特点？从而猜测出时间t 和漏水量V 之间是什么函数关系？解：这些点的分布近似一条直线，我们可以推测漏水量V 和时间t 之间是一次函数关系。
④ 根据已知数据用待定系数法求函数的表达式。
解：“设V 与t 的函数关系式为V=kt+b ，根据表中数据知：当t=10时，V=2；当t=20时，V=5，所以⎩⎨⎧+=+=bk b k 205102， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==1103b k ，所以V 与t 的函数关系式为1103-=t v⑤用所求的函数解决实际问题。
综合与实践——一次函数模型的应用教案
12.4综合与实践——一次函数模型的应用◇教学目标◇【知识与技能】熟练运用一次函数知识建立实际问题的数学模型,提高解决实际问题的能力.【过程与方法】经历活动过程,让学生认识数学在现实生活中的用途,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.【情感、态度与价值观】1.体会数学与生活的联系,了解数学的价值,加深对数学的理解和认识;2.认识数学是解决实际问题的重要工具,了解数与形的联系以及事物之间的关系.◇教学重难点◇【教学重点】根据题意写出函数关系式,建立实际问题的数学模型.【教学难点】运用一次函数解决实际问题.◇教学过程◇一、情境导入甲、乙两人(甲骑自行车,乙骑摩托车)从A地出发到B地旅行,下图表示甲、乙两人离开A地的路程与时间之间的函数图象,根据图象,你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息? 二、合作探究典例奥运会每4年举办一次,奥运会的游泳纪录在不断地被突破,如男子400 m自由泳项目,2019年奥运会冠军的成绩比1960年的提高了约30 s.下面是该项目冠军的一些数据:年份冠军成绩/s1980231.311984231.231988226.951992225.002019227.972019220.592019223.102019221.86根据上面资料,能否估计2020年东京奥运会时该项目的冠军成绩?[解析](1)以1980年为零点,举办奥运会的年份的x值为横坐标、相应的y值为纵坐标,在坐标系中描出这些数据对应的点;(2)观察图中描出的点的整体分布,它们基本上在一条直线附近波动,因此y与x之间的关系可以近似地以一次函数去模拟,即设y=kx+b,这里,我们选择点(0,231.31)和点(6,223.10)的坐标代入y=kx+b,解方程组得k=-1.37,b=231.31,所以一次函数表达式为y=-1.37x+231.31;(3)把x=10代入上式得y=-1.37×10+231.31=217.61(s),所以估计2020年东京奥运会时该项目冠军成绩约为217.61 s.三、板书设计综合与实践——一次函数模型的应用建立两个变量之间的函数模型的具体步骤:(1)将实验得到的数据在直角坐标系中描出;(2)观察这些点的特征,确定选用的函数形式,并根据已知数据求出具体的函数表达式;(3)进行检验;(4)应用这个函数模型解决问题.◇教学反思◇本节课我们给出了生活中的例子,让学生来解决,锻炼学生的主观性和积极性.本节课涉及用函数表达式表达函数之间的关系和由函数图象比较两个函数值的大小等知识,这是对学生函数应用能力和观察能力的考查和锻炼.。
沪科版八年级数学HK版上册优秀教案 第12章 一次函数 10课题：综合实践 一次函数模型的应用
课题：综合实践一次函数模型的应用【学习目标】1．学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识；2．能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测．【学习重点】建立一次函数模型，结合对函数关系的分析，对变量的变化规律作初步预测．【学习难点】建立函数模型．一、情景导入生成问题问题导入：1．下列数据是弹簧挂重物后的长度记录，测出弹簧长度y与重物质量x之间的函数关系式为y＝0.5．2.如何从表格中观察出两个变量间是否为一次函数？答：每两个相邻的函数值的差与对应两个自变量值的差比值总相等，即可判定为一次函数．二、自学互研生成能力知识模块一次函数模型的应用阅读教材P57～P59的内容，回答下列问题：建立两个变量之间的函数模型，需要哪几个步骤？答：1.将实验得到的数据在直角坐标系中描出；2.观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式；3.进行检验；4.应用这个函数模型解决问题．范例：已知部分鞋子的型号“码”数与鞋子长度“cm”之间存在一种换算关系如下：(1)通过画图、观察，猜想这种换算规律可能用哪种函数关系去模拟；(2)设鞋子的长度为xcm，“码”数为y，试写出y与x之间的函数表达式；(3)小刚平时穿39码的鞋子，那么他鞋长多少厘米？(4)据说篮球巨人姚明的鞋长31cm，那么他穿多大码的鞋？解：(1)一次函数，∵30－2020－15＝2，40－3025－20＝2，可知其为一次函数关系；(2)设y＝kx＋b(k≠0)，代入x＝15，y＝20；x＝20，y＝30，可求得函数解析式为y＝2；(4)52码．仿例1：问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第个图形共有多少枚棋子？解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标，描点：(1，4)、(2，7)、(3，10)、(4，13)，依次连接以上各点，所有的点在一条直线上．设直线解析式为y ＝kx ＋b ，把(1，4)、(2，7)两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，2k ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝1，所以y ＝3x ＋1.验证：当x ＝3时，y ＝10.所以，另外一点也在这条直线上．当x ＝时，y ＝3×＋1＝6046.即第个图形有6046枚棋子．仿例3：某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：(1)在直角坐标系中描出相应的点；(2)猜测y(件)与x(元)之间的函数关系；(3)当销售价定为28元时，求每日的销售利润．解：(1)描点画图，如图所示；(2)由图象猜测y 与x 之间的函数关系为一次函数关系．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15k ＋b ＝25，20k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40，∴一次函数解析式为y ＝－x ＋40，将其余各点代入验证均适合．所以，所求一次函数的解析式为y ＝－x ＋40；(3)当x ＝28时，y ＝－28＋40＝12.∴所获销售利润为(28－10)×12＝216(元)．销售价定为28元时，每日的销售利润是216元．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 一次函数模型的应用四、检测反馈 达成目标见学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：__________________________________________________________ 2．存在困惑：______________________________________________________。
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（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0，k，b为常数）
12.4综合与实践 一次函数模型的应用
数学组：张家硕
2018年10月12日
学习目标
知识目标： 1、进一步理解一次函数与二元一次方程的
关系； 2、掌握运用二元一次方程和一次函数解决
实际问题的方法。 能力目标：
1、培养同学们分析问题、运用所学的知识 解决实际问题的能力；
2、体会对应关系和数形结合思想。 情感目标：
60
s甲 20t
40
可以分别作出两人 20 s 与t 之间的关系图象， 找出交点的横坐标就行了！ (A0)
11 22 33 4 t
小明的方法求出的 结果准确吗？
用方程 解 行程问题
A、B 两地相距150千米，
1小时后乙距A
甲、乙两人骑自行车分别从A、
地120千米, 即乙的
B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时,
11 2 3 4 x
2、在弹性限度内，弹随簧堂练的习 y
长度y（厘米）是所挂物体质量
17 16
x（千克）的一次函数。当所挂 15
14
物体的质量为1千克时，弹簧长 13
15厘米；当所挂物体的质量为3 12
l1
11
千克时，弹簧长16厘米。写出 10
y 与 x 之间的关系式，并求出
9 8
所挂物体的质量为4千克时弹簧 7
s 20t s 150 30t
消去 s
t3
在以上的解题过程中你受到什么启发？
用一元一次方程的 方法可以解决问题
用图象法可以 解决问题
小彬
小明
用作图象的方法可以
直观地获得问题的结果， 但有时却难以准确，为了 获得准确的结果，我们一 般用代数方法。
小颖
用方程组的方法可 以解决问题
例2、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携
答下列问题：
s
（1）途中乙发生了什么事，
（2）他们是相遇还是追击；
P
（3）他们几时相遇。
D
12
E
10
AB
8
0
0.5 1 1.2
t
y/元
6000
5000
l11 l22
4000
3000
2000
1000
O 1 23 4 5 6
x/ 吨
例：
海B
A
公
下图中 l1 ，l2 分别表示A,B离岸 岸
起两船相对于海岸的距离ｓ与追赶时
海
间ｔ之间的关系。
根据图象回答下列问题：
当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A。
s /海里
8 6 4 2
议一议：
A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑
自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他 们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距
离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函
数. 1小时后乙距A地120千米, 2小时后甲距A地 40千米.
问：经过多长时间两人相遇 ?
议一议： A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从
A、B 两 两地 140
图象表示
相向而行。假设他们都保持匀速行 驶，则他们各自到A地的距离s(千米)
120
s乙 150 30t
都是骑车时间t(时)的一次函数.
100
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
80
l2
l1
问 经过多长时间两人相遇 ?
是骑车时间 t (时) 的一次函数.
当t=1时，s=120。将它们分
1 时后乙距A地120千米,
别代入s=kt+b中，可以求出k
2 时后甲距A地 40千米.
、b的值，也即可以求出乙 s
问 经过多长时间两人相遇 ?
与t 之间的函数表达式。
同样可求出甲s与t之间的函
数表达式。
再联立这两个表达式，求解
方程组就行了。
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
2 时后甲距A 地 40千米, 故甲的速度是 20千米/时,
由此可求出甲、乙两人的 速度。
问 经过多长时间两人相遇 ?
你明白他的想法吗？
设同时出发后t 时相遇, 则 20 t 30 t 150
l22Ａ l11 Ｂ
O
2 4 6 8 10
t /分
思考题：
ax 3y 5
2、已知方程组 2x by 1
，
所对应的一次函数的图象表示如
图，试求出a-b的值。
Y
0 1/2
-1
X
1、右图中的两直线l1 、l2 的交点坐标可以看作
y 2x 1
方程组
y
x
4
的解
y 44
l1
33
2
l2 1
-1 0 -1
A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们
各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次
函数. 1小时后乙距A地120千米, 2小时后甲距A地 40千米.
问：经过多长时间两人相遇 ?
直线型图表示
2时,40千米
甲 A
120千米
B 1时 乙
s甲 20t
s乙 150 30t
用图象法 解 行程问题
根据题意，可得方程组：
5 60k b 10 90k b
k 1/ 6 解得： b 5
（2）当x=30时，y=0。
∴y=1/6x—5
所以旅客最多可免费携带30千克的行李。
引例. 如图，l11反映了某公司产品的销售收入与销售量的 关系，l22反映了该公司产品的销售成本与销售量的关 系，根据图意填空： 当销售量为4000元时，销售收入等于销售成本。
用他的方法做一做，看 看和你的结果一致吗？
t=3
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
A、B 两地相距150千米，甲、
对于乙，s 是t
乙两人骑自行车分别从A、B 两地相
的一次函数，
向而行。假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到A 地的距离s (千米) 都
小颖
可设 s=kt+b。 当t=0时，s=150；
的长度。
6 5
4
3
y = 0.5x + 14.5
2
1
当 x = 4 时, y = 16.5。
00
11 2 33 44 5 x
课外思考
1、用作图象法解方程组
23x 17y 63 17x 23y 57
课外思考
2、如图，L1和L2分别表示甲走路和乙骑自
行车（在同一条路上）行走的路程s（千米）
与时间t（小时）之间的关系，观察图象，回
体会数学知识间的联系与转化，培养探究 创新精神。
复习提问：
一：二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点 对应。
以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形
就是 一次函数 y=3_－x 的图象.
三、用图象法解二元一次方程组的一般步骤: 1.把两个方程都化成函数表达式的形式。 2.画出两个函数的图象。 3.找出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。