量子力学试卷

2 2 2 i 2
（1 分） 。
4、 （分）设角动量算符（
，
）的共同本征态为
，计算
的平均值。
解：本征态 lm 满足本征方程
r L2 lm l (l 1)h 2 lm
Lz lm mh lm
（1 分）
√
3、因为物质具有波粒二象性，所以电子既具有波的特点，又具有粒子性。√ 4、 杨氏双缝干涉实验过程中如果控制粒子入射,保证一次只有一个粒子入射,则屏上不会出现 明暗条纹. ( ) × 量子力学的干涉衍射是波内部的干涉衍射而非粒子间的干涉衍射，即使
每次只有一个粒子入射也会出现明暗条纹。 .5、量子力学中的算符运算适合于所有坐标系。( 商不协变. 6、算符运算顺序可以随便互换.( ) ×不是所有的算符都可以相互对易,所以不能随便调换运 算顺序. 7、 把原子放入磁场中,其光谱线发生分裂,光谱线的分裂反映原子的简并能级发生分裂， 即能 级简并被解除或部分解除。 √ 7、 把原子放入磁场中,其光谱线发生分裂,谱线分裂成三种成分的叫做反常塞曼效应.×正常塞 曼效应. 8、核外电子填充过程中, 5S 能级比 4d 低。( ) √ E=n+0.7l ) ×适用于直角坐标系,对于球坐标等微
和取各本征值的概率不随时间改变。 （分）
3、简述题:微扰理论的基本思想是: 哈密顿拆分为:
ˆ H ˆ H ˆ H 0
ˆ 然后逐级近似:以 H 0 的本征态和本征值为基础， 逐级近似考虑微扰项
ˆ 的影响， ˆ H 求出 H的
本征值和本征函数的逐级近似解，得到微扰修正的结果，直至达到需要的精度为止。
n 0.7 n 0.7
4 0. 7 2 5 0.7 0
5. 4
=5
9、 l 亚壳层最多能容纳电子数 : 2(2l 1)
ˆ 是厄米算符则： ( , A ˆ ) ( A ˆ , ) 。√ 10、如果 A
(A 卷) 二、填空题（每空题 2 分，共 18 分） 1、 普朗克量子论指出黑体辐射辐射能量取分立能量， 能量值取 案 h 2、玻尔氢原子理论三步曲是： 角动量量子化假设，量子跃迁选择定则。 ， ， 。轨道的定态假设， 的整数倍。 答
的同一能级的态，故能级简并。
（8 分）
3、假设微观粒子被关在一维无限深势阱中，4a 表示势阱的宽度，在阱内势能等于零，在 阱外势能为无穷大。求能量本征值 运动粒子的归一化波函数。
解：在阱内：
h 2 d 2 1 E 1 2m dx 2
( a x a)
在阱外：
''
h 2 d 2 2 2 E 2 2m dx 2
(ˆ l 2 , lˆz ) 有共同的本征函数. √其共同本征函数是球谐函数.
8、自旋是电子的一种内禀属性,与坐标动量无关. √ 9、一个轨道里最多只能容纳 2 个电子，它们的自旋方向相同。( ) ×自旋方向相同
10、能量最低原理认为，基态原子核外电子的排布力求使整个原子的能量处于最低状态。 ( )√
ˆ 也是 也是 H ˆ 的属于同一本征值 E的 的本征态。 即G
（8 分）
ˆ ] 0 ， 与 G ˆ ,G ˆ 也是 一般不是同一本征态，这是因为，对于 F ˆ 的本征态 ，即 但由于 [ F ˆ G ˆF ˆ F ' F ' G ˆG ˆ G ˆ F ˆ 是不同的量子态。但它们是 H ˆ 也是 不是 F ˆ 的本征态。但 是 F ˆ 的本征态，故 与 G ˆ 即G
2、写出一维情形下坐标算符与动量算符的不确定度关系，并由这一关系简述经 典轨道理论的适用范围。 答：这一不确定度关系是指
x p 2
即微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值。 （分） 这一关系否定了经典轨道的概念，
3、简述概率流守恒定律 在空间某体积 V 内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内通过 V 的 边界面 S 流入体积 V 的概率。概率守恒的涵义实际上是相当广泛的，不仅表示了粒子数守 恒，而且可以由此得出质量守恒和电荷守恒。其表达式为：
ˆ 的本征函数是 利用波函数的归一化条件，可得 S x

2 2 2 ， 2 ， 2 2 2 2
（1 分）
h 利用本征函数可得本征值 。 2
（1 分）
2 ˆ 的本征值是 h ，对应的本征函数是 2 ， 同理求得 S y 2 2 i 2
* 1 * 2
L12 L22 ...
... a1 ... a2 。 ...
(B 卷) 二、填空题（每空题 2 分，共 18 分） 1、爱因斯坦的光量子假说指出：能量 E= ，动量 P= 。 （每空 1 分）
E h ， p hk
2、两体问题质心系运动可以分解为 相对运动. 3、写与量子力学波函数的指数表式现式: 4、泡利矩阵 y 分量 。 y 。 Ae
3、写出定态薛定谔方程:
。 ih
h2 2 U t 2m
4\泡利矩阵 x 分量
。 x
0 1 1 0
* ˆ 。 A d
5、力学量的平均值的积分形式为： 6、

表示粒子在时刻 t 、位置 r 出现的概率密度。 (r, t )
2
L11 7、平均值公式的矩阵表式为: L ( a , a , ) L21 ...
2
( x a , x a )
阱内： 1 k 1 0 其中 k
2
2mE h2
方程的通解为： 1 ( x) A cos kx B sin kx 波函数连续性的边界条件为：
1 (2a) 2 (2a) 0, 1 (2a) 2 (2a ) 0
3、电子只有粒子性没有波动性。（
4、杨氏双缝干涉实验屏上出现条纹的原因是因为粒子入射过程中粒子间的干涉.(
× 量子力学的干涉衍射是波内部的干涉衍射而非粒子间的干涉衍射，即使每次只有一个粒 子入射也会出现明暗条纹。 5、粒子在全空间出现的机率是发散的. ( ) ×是归一化的 ) √
6、线性算符之和仍然是线性算符,满足加法的交换律和结合律. ( 7.
等证明：
。
2、如果体系有两个彼此不对易的守恒量，则体系的能级一般是简并的。 （16 分）
ˆ,H ˆ]0,F ˆ 和H ˆ 可有共同的本征态 。这样 证明：因为 [ F ˆ E H ˆ F ' . F
ˆ,H ˆ ] wk.baidu.com0 ，从而有 考虑到 [G ˆ G ˆH ˆ , ˆG ˆ EG H
代入求解得： En
n 2 2 h 2 8ma 2
(n 1, 2,3,......)
n
1 n sin ( x a) 2a a
( x a)
( x a)
n 0
3、假设微观粒子被关在一维无限深势阱中，a 表示势阱的宽度，在阱内势能等于零，在阱 外势能为无穷大。求能量本征值 运动粒子的归一化波函数。
（分）
J 0 t
B 卷三、简答题（每题 7 分，共 21 分） 1、简述态叠加原理及其物理意义. 答：若 Ψ1 与 Ψ2 为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线性叠加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2， 表示粒子既可能处于 Ψ1 态又可能处于 Ψ2 态，处于这两个态的概率分别为
2、简述量子力学中守恒量和定态的概念,说明他们的区别。 答：守恒量是物理系统一种特殊的物理量（力学量） ， （分） 守恒量在系统一切可能的状态下， 其平均值 （分） ( 分)
2、证明：厄米算符的平均值为实数。 （要求写出完整的证明过程）
ˆ 的平均值为 证明： （1）由厄米算符的定义，在任意状态 下，厄米算符 A
ˆ ) (A ˆ , ) ( , A ) * A * ， A ( , A
即厄米算符的平均值必为实数，得证。
2、 （10 分）已知
，利用基本对易式
(B 卷)一、判断题。判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（每题 2 分，共 20 分） 1、经典黑体辐射理论存在困难的原因是平均能量与频率相关。( 因是与温度相关。 2、波函数 (r , t ) 和 ) 答案 ×存在困难的原
C (r , t ) 描述的是同一粒子的相对概率密度相等。 （ ）
h 2 d 2 1 解：在阱内： E 1 2m dx 2
在阱外：
''
(a x 0)
h 2 d 2 2 2 E 2 2m dx 2
2
( x a, x 0)
阱内： 1 k 1 0 其中 k
2
2mE h2
方程的通解为： 1 ( x) A cos kx B sin kx 波函数连续性的边界条件为：
（A 卷）证明计算题（共每小题 6 分，共 12 分）
1、 （15 分）证明算符对易式 证： （分） （分） （分）
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1．证明： [ AB, C ] A[ B, C ] [ A, C ]B
。
（要求写出完整的证明过程）
ˆ ˆ ˆ CAB ˆˆ ˆ ˆ ˆ, C ˆ ] ABC （1） [ AB
4、 （分）求自旋算符 函数。
及
的本征值和所对应的本征
ˆ 的本征值是 s ，本征函数是 x ，则满足 解：设 S x x y
x h 0 1 x 1 0 y s x y （1 分） 2 求解上式，可得 x 2 y 2 ， （1 分）
rr i u ( pr Et ) h
，
。 质心的平动,原子中电子的
0 i i 0
5、 多电子角动量耦合的方式有: : 6、 ( , )* 。
耦合和
耦合。 L-S 耦合和 j-j 耦合
( , )
（A 卷）三、简答题（每题 7 分，共 21 分） 1. 简述量子力学波与经典平面波的区别. 答： 1.量子的干涉是波内部的干涉, 经典平面波是波与波之间的干涉, 2.传播方式不一样,经典 是粒子间的相互作用,而量子力学中波是概率波,与粒子间相互作用无关,没有确定的轨道.3. 波峰波谷:经典平面波的振同与能量有关,量子力学中表示概率大小.4.可否归一(束缚态),量子 力学平面波可以归一,经典平面波是发散的.5.量子力学：给出波函数可以得到物理量物理量 的周期性(粒子的分布)看成波的振幅,6.量子力学中机率波(去掉干涉，衍射，保留叠加性),7. 量子力学波是线叠加,满足态叠加原理.
ˆ][A ˆ,C ˆ ]B ˆ[ B ˆ ˆ,C A ˆ ˆ ) ( AC ˆ ˆ CA ˆ ˆ )B ˆ ˆ ( BC ˆ ˆ CB A ˆ ˆ ˆ CAB ˆˆ ˆ ABC
ˆ ˆ, C ˆ] A ˆ[ B ˆ,C ˆ ] [A ˆ ,C ˆ ]B ˆ 所以 [ AB
西南科技大学 2013-2014-2 学期
《原子物理与量子力学》本科期末考试 参考答案及评分细则
课程代码 2 4 3 9 9 0 8 2 0 命题单位 国防学院：核工程与技术教研室
(A 卷)一、判断题。判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（每题 2 分，共 20 分） 1、经典黑体辐射理论的困难是在短波波段理论与实验事实相悖。( 灾难” 。 2、 玻尔的氢原子理论指出， 原子结构不发生坍塌的原因是规定体系处在一些不连续的定态， 不向外辐射能量。（ ） √ ） ×物质具有波粒二象性。 ) ) 答案 ×应该是”紫外
1 ( a ) 2 ( a ) 0, 1 (0) 2 (0) 0
代入求解得： En
n 2 2 h 2 2ma 2
(n 1, 2,3,......)
n
n 0
1 n sin ( x a / 2) a a/2
( x a, x 0)
(a x 0)