高二三角每日一练

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高二集训专题：解三角形小题专项训练

高二集训专题：解三角形小题专项训练1.【A 】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 1.【B 】在△ABC 中，已知045,1,2===B c b ，则a 的值为（）Ａ．226- Ｂ．226+ Ｃ．12+ Ｄ．23- 解析：B2.【A 】△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6【解析】在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， △b ＝c ，△a 2＝2b 2(1－cos A )，又△a 2＝2b 2(1－sin A )， △cos A ＝sin A ，△tan A ＝1，△A △(0，π)，△A ＝π4，故选C.2.【B 】在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，△sinB ＝cos B ，△B ＝45°.3．【AB 】在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C ， △sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.△角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4.【A 】在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解：由正弦定理2sin sin sin a b c R ABC===得：sin 2a A R=，sin 2b B R=，sin 2c C R=。

通用版2023高中数学三角恒等变换经典知识题库

(每日一练)通用版2023高中数学三角恒等变换经典知识题库单选题1、若θ为锐角，cos(θ+π4)=−√210，则tanθ+1tanθ=（） A ．512B ．2512C ．247D ．724答案：B 解析：由cos(θ+π4)=−√210，得cosθ−sinθ=−15，两边同时平方得：sinθcosθ=1225，故有sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=1225，再化弦为切即可得出答案.解：由cos(θ+π4)=−√210，得√22cosθ−√22sinθ=−√210，所以cosθ−sinθ=−15，两边同时平方得：1−2sinθcosθ=125，则sinθcosθ=1225，故有sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=1225，所以tanθtan 2θ+1=1225，则1tanθ+1tanθ=1225，所以tanθ+1tanθ= 2512. 故选：B.2、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a 2+c 2+ac −b 2=0，则cos 2A2−√3sin C2cos C2的取值范围为（）A ．（√34，3√34）B ．(14,34)C ．(34,1]D ．(34,32)答案：B 解析：利用余弦定理求出B 的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围．由a 2+c 2+ac −b 2=0，可得a 2+c 2−b 2=−ac ，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=−12，因为B ∈(0,π)，可得B ∈2π3，又由cos 2A 2−√3sin C 2cos C 2=12(cos2+1)−√32sinC =12cosA −√32sin(π3−A)+12=−14cosA +√34sinA +12=12sin(A −π6)+12，因为0<A <π3，所以−π6<A −π6<π6，所以−12<sin(A −π6)<12，所以14<12sin(A −π6)+12<34，即cos 2A2−√3sin C2cos C2的取值范围为(14,34).故选：B.3、sin141°cos21°+cos39°sin21°=（）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32答案：D 解析：直接利用诱导公式及两角和的正弦公式求解.因为sin141°cos21°+cos39°sin21° =sin(180°−39°)cos21°+cos39°sin21° =sin39°cos21°+cos39°sin21°=sin60°=√32,故选：D解答题4、求下列方程的解集：（1）2sin2x+cosx−1=0；（2）4cos2x−2sinxcosx−1=0；（3）sinx+cosx=cos2x,x∈[−π,π]；（4）2sin2x+√3cosx+1=0；（5）3sin2x−7sinxcosx+6cos2x=1；（6）1+sinx1+cosx =12．答案：（1）{x|x=kπ或x=2π3+2kπ或x=4π3+2kπ,k∈Z}；（2）{x|x=π4+kπ或x=kπ−arctan3,k∈Z}；（3）{−π2,−π4,0,34π}；（4）{x∣x=2kπ±56π,k∈Z}；（5）{x∣x=kπ+arctan52或x=kπ+π4,k∈Z}；（6）{x∣x=2kπ或x=π+arctan43+2kπ,k∈Z}.解析：（1）化简方程为2cos2x−cosx−1=0，解得cosx=1或cosx=−12，即可求解；（2）化简得到(2cosx)2=(sinx+cosx)2，得到sinx=cosx或sinx=−3cosx，即可求解；（3）化简得到(cosx+sinx)(cosx−sinx−1)=0，解得cosx=−sinx或cosx−sinx=1，即可求解；（4）化简方程得到2cos2x−√3cosx−3=0，求得cosx=−√32，即可求解；（5）根据三角函数的基本滚形式，化简得到2tan2x−7tanx+5=0，求得tanx=1或tanx=52，即可求解；（6）由倍角公式，化简得到4sin x2cos x2=−2sin2x2，求得sin x2=0或2cos x2+sin x2=0，进而求得方程的解集.（1）由方程2sin2x+cosx−1=0，可得2(1−cos2x)+cosx−1=0，即2cos2x−cosx−1=0，解得cosx=1或cosx=−12，可得x=kπ或x=2π3+2kπ或x=4π3+2kπ,k∈Z，即方程的解集为{x|x=kπ或x=2π3+2kπ或x=4π3+2kπ,k∈Z}.（2）由方程4cos2x−2sinxcosx−1=0，可得4cos2x=1+2sinxcosx=(sinx+cosx)2，即(2cosx)2=(sinx+cosx)2，解得sinx+cosx=2cosx或sinx+cosx=−2cosx，即sinx=cosx或sinx=−3cosx，当sinx=cosx时，即tanx=1，解得x=π4+kπ,k∈Z；当sinx=−3cosx时，即tanx=−3，解得x=kπ−arctan3,k∈Z.即不等式的解集为{x|x=π4+kπ或x=kπ−arctan3,k∈Z}（3）由cos2x=cos2x−sin2x=(cosx+sinx)(cosx−sinx)，则方程sinx+cosx=cos2x，可化为sinx+cosx=(cosx+sinx)(cosx−sinx)，即(cosx+sinx)(cosx−sinx−1)=0，解得cosx+sinx=0或cosx−sinx−1=0，当cosx+sinx=0时，即tanx=−1且x∈[−π,π]，解得x=−π4或x=3π4；当cosx−sinx−1=0时，即√2cos(x+π4)=1，即cos(x+π4)=√22，因为x∈[−π,π]，可得x=−π2或x=0，所以方程的解集为{−π2,−π4,0,34π}.（4）由方程2sin2x+√3cosx+1=0，可得2(1−cos2x)+√3cosx+1=0，即2cos2x−√3cosx−3=0，可得(cosx−√3)(2cosx+√3)=0，因为cosx∈[−1,1]，可得cosx−√3≠0，所以cosx=−√32，解得x=2kπ±56π,k∈Z，所以方程的解集为{x∣x=2kπ±56π,k∈Z}.（5）由方程3sin2x−7sinxcosx+6cos2x=1，可得2sin2x−7sinxcosx+5cos2x=0，方程两边同除以cos2x，可得2tan2x−7tanx+5=0，解得tanx=1或tanx=52，当tanx=1时，可得x=kπ+π4,k∈Z；当tanx=52时，可得x=kπ+arctan52,k∈Z，综上可得，方程的解集为{x∣x=kπ+arctan52或x=kπ+π4,k∈Z}；（6）由1+sinx1+cosx =12，可得2sinx=cosx−1，即4sin x2cos x2=−2sin2x2，可得sin x2(2cos x2+sin x2)=0，解得sin x2=0或2cos x2+sin x2=0，当sin x2=0时，可得x2=kπ,k∈Z，即x=2kπ,k∈Z；当2cos x2+sin x2=0，即tan x2=−12，可得tanx=−43，解得x=π+arctan43+2kπ,k∈Z，所以方程的解集为：{x∣x=2kπ或x=π+arctan43+2kπ,k∈Z}.5、设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).（1）求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；（2）求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值.答案：（1）π；（2）1+√22.解析：（1）由题意结合三角恒等变换可得y=1−sin2x，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得y=sin(2x−π4)+√22，再由三角函数的图象与性质即可得解.（1）由辅助角公式得f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则y=[f(x+π2)]2=[√2sin(x+3π4)]2=2sin2(x+3π4)=1−cos(2x+3π2)=1−sin2x，所以该函数的最小正周期T=2π2=π;（2）由题意，y=f(x)f(x−π4)=√2sin(x+π4)⋅√2sinx=2sin(x+π4)sinx=2sinx⋅(√22sinx+√22cosx)=√2sin2x+√2sinxcosx=√2⋅1−cos2x2+√22sin2x=√22sin2x−√22cos2x+√22=sin(2x−π4)+√22，由x∈[0,π2]可得2x−π4∈[−π4,3π4]，所以当2x−π4=π2即x=3π8时，函数取最大值1+√22.。

人教版2023高中数学三角恒等变换知识点归纳超级精简版

(每日一练)人教版2023高中数学三角恒等变换知识点归纳超级精简版单选题1、已知sin2α=cos(π2+α)，α∈(π2,π)，则tanα的值为（） A ．−√3B ．−1C ．−√33D ．−2 答案：A解析：对于sin2α=cos(π2+α)化简可得cosα=−12，再由α∈(π2,π)可得α的值，从而可求出tanα的值解：∵ sin2α=cos(π2+α)，α∈(π2,π)， ∴2sinαcosα=−sinα，∴cosα=−12.∵ α∈(π2,π)，∴α=2π3.∴tanα=tan2π3=−tan π3=−√3. 故选：A. 2、若角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y =2x 上，则sin2θ=（）A ．−45B ．35C ．45D ．−35答案：C根据题意可知tanθ，利用同角三角函数关系，将目标式转化为tanθ的代数式，代值计算即可.因为角θ终边在直线y =2x 上，故可得tanθ=2；又sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=44+1=45.故选：C.小提示：本题考查正弦的倍角公式，由角度终边所在位置求解三角函数值，属综合基础题.3、角α的终边与单位圆的交点坐标为(√32,12)，将α的终边绕原点顺时针旋转3π4，得到角β，则cos(α+β)=（）A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√3−14D ．0答案：A解析：先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 由角α的终边经过点(√32,12)，得sinα=12,cosα=√32，因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转3π4得到的，所以sinβ=sin(α−3π4)=sinαcos 3π4−cosαsin 3π4=12×(−√22)−√32×√22=−√2−√64cosβ=cos(α−3π4)=cosαcos 3π4+sinαsin 3π4=√32×(−√22)+12×√22=√2−√64cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=√32×√2−√64−12×−√2−√64=√6−√24，故选：A.小提示：本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.4、在△ABC 中，若a =2，∠C =45°，cos B 2=2√55，则△ABC 的面积是______．答案：87解析：利用倍角公式可得cosB ，利用同角三角函数基本关系式可得sinB ，利用三角形的内角和定理与两角和差的正弦公式可得sinA ，由正弦定理可得b ，利用三角形面积公式即可得出.∵cos B 2=2√55，∴cosB =2cos 2B 2−1=35，∴sinB =45， ∴sinA =sin (B +C )=sinBcos π4+cosBsin π4=45×√23+35×√22=7√210，由正弦定理可得：a sinA =b sinB ，∴b =asinB sinA =8√27， ∴S △ABC =12ab sin C =12×2×8√27×√22=87，所以答案是：87. 5、已知tanα=12，则cos 2αcos(2α−π2)=______.答案：1解析：根据题中条件，由诱导公式，二倍角公式，以及弦化切，即可得出结果.因为tanα=12，所以cos 2αcos(2α−π2)=cos 2αsin2α=cos 2α2sinαcosα=12tanα=1.所以答案是：1.。

高二解三角形练习题及答案

高二解三角形练习题及答案一、选择题1. 已知∠ABC=60°，边AB=5，边AC=8，求∠ACB的大小。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 已知∠ABC=90°，边AB=15，边BC=20，求∠ACB的大小。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，底边AC=10，求∠C的大小。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 在△ABC中，∠A=45°，边AB=7，边AC=7，求∠C的大小。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题1. 在等腰三角形ABC中，∠C的度数是_____。

2. 在直角三角形ABC中，边AB的边长是12，边BC的边长是___，边AC的边长是___。

3. 在△ABC中，边AB的边长是6，∠A的度数是60°，∠B的度数是____，边AC的边长是___。

三、解答题1. 已知△ABC中，∠C=90°，边AB=5，边BC=12，求边AC的边长和∠ACB的大小。

解：根据勾股定理，我们可以得到AC的边长为13。

由于∠ACB是直角三角形的一个内角，所以必然等于90°。

所以，边AC的边长为13，∠ACB的大小为90°。

2. 已知△ABC中，边AB=8，边BC=10，边AC=12，求∠ACB的大小。

解：根据余弦定理，我们可以得到：cos∠ACB = (AB² + BC² - AC²) / (2 × AB × BC)cos∠ACB = (8² + 10² - 12²) / (2 × 8 × 10)cos∠ACB = 156 / 160cos∠ACB = 0.975∠ACB = arccos(0.975)使用计算器计算，得到∠ACB约为 12.68°。

解三角形练习题目高二

解三角形练习题目高二在高二数学学习中，解三角形是一个重要的知识点。

通过解三角形的练习题目，可以帮助学生巩固和运用这一知识，提高解题能力。

下面我将给出一些高二解三角形的练习题目，希望对同学们的学习有所帮助。

1. 已知三角形ABC中，∠B=40°，∠C=100°，则∠A的度数为多少？解析：根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°。

因此，∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 100° = 40°。

2. 已知三角形ABC中，AB=AC，∠A = 30°，则∠B和∠C的度数分别为多少？解析：由于AB=AC，所以三角形ABC是一个等腰三角形。

在等腰三角形中，底角（底边两边所对的角）的度数相等。

因此，∠B = ∠C = (180° - ∠A) / 2 = (180° - 30°) / 2 = 75°。

3. 在三角形ABC中，边长AB=5，BC=7，AC=8，求∠A、∠B和∠C的度数。

解析：可以使用余弦定理来解这个题目。

余弦定理表示，对于任意一个三角形ABC，边长a、b、c和对应的内角A、B、C之间有如下关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)根据题目条件，可得：AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC*BC*cos(A)25 = 64 + 49 - 2*8*7*cos(A)25 = 113 - 112*cos(A)cos(A) = (113 - 25) / 112cos(A) = 88 / 112A = arccos(88 / 112)使用计算器计算得A的近似值为36.87°。

由于已经知道∠A的度数，可以使用三角形内角和定理计算∠B和∠C的度数：∠B = (180° - ∠A - ∠C)∠B = (180° - 36.87° - 57.13°)∠B = 86°∠C = (180° - ∠A - ∠B)∠C = (180° - 36.87° - 86°)∠C = 57.13°因此，在三角形ABC中，∠A≈36.87°，∠B≈86°，∠C≈57.13°。

高二数学三角函数应用练习题及答案

高二数学三角函数应用练习题及答案一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = 2sin(x + π)B. y = 3cos(2x)C. y = 4tan(x)D. y = 5cot(3x)答案：C2. 函数y = 2sin(3x)的最小正周期是：A. 2πB. π/3C. π/2D. 2π/3答案：B3. 函数y = 4cos(2x + π/4)的最大值和最小值之差是：A. 4B. 2C. 8D. 6答案：C4. 若点P(x, y)在单位圆上，则函数y = 3sinθ的图象中，点P的坐标满足：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 ≦ 1C. x^2 + y^2 ＞ 1D. x^2 + y^2 ＜ 1答案：A5. 已知三角函数f(x) = a sin(bx + c)，其中a > 0，且|a| ≠ 1，下列说法正确的是：A. 当a > 1时，函数f(x)的图象在x轴上有两个非重合的零点；B. 当a < 0时，函数f(x)的图象在x轴上有两个非重合的零点；C. 当|a| < 1时，函数f(x)的图象在x轴上没有零点；D. 当|a| > 1时，函数f(x)的图象在x轴上有两个非重合的零点。

答案：D二、填空题1. 函数y = 2sin(3x)的一个零点是________。

答案：π/62. 完全图f(x) = a sin(bx + c)的一个最大值点是(π/4, 3)，则a的值为________。

答案：33. 函数f(x) = 5cos(x)中，最小正周期的长度为________。

答案：2π4. 函数f(x) = 2tan(2x - π/4)的最值之差为________。

答案：45. 若图像y = sin^2(x + a)与y = cos^2(x + b)重合，则a + b =________。

答案：π/2三、计算题1. 将函数y = 2sin(3x)的图象向左平移3个单位得到图象y = 2sin(3x + k)，求k。

2023高中数学三角恒等变换基础知识题库

(每日一练)2023高中数学三角恒等变换基础知识题库单选题1、sin20°cos10°−cos160°sin10°=（）A ．−√32B ．√32C ．−12D ．12 答案：D解析：利用诱导公式以及两角和的正弦公式进行化简求值.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin (20°+10°)=sin30°=12，故选：D.2、以正方形的边长为底，向外作4个等腰三角形，腰长为2，则该图的面积最大为（）A ．4√3+4B ．8+4√3C ．8+8√2D ．8+8√3答案：C解析：设题设中的等腰三角形底角为θ(0<θ<π2)，利用θ的正、余弦表示出图形的面积，再借助三角变换即可计算得解.如图，ABCD 是正方形，△ABE,△BCF,△CDG,△DAH 是等腰三角形，它们的底边为正方形相应的边，腰长均为2，设等腰△ABE的底角∠ABE=θ，0<θ<π2，则有等腰△ABE底边上的高为2sinθ，底边AB=4cosθ，于是得图形面积S=AB2+4S△ABE=16cos2θ+4⋅12⋅4cosθ⋅2sinθ=8+8sin2θ+8cos2θ=8+8√2sin(2θ+π4)，因0<θ<π2，即π4<2θ+π4<5π4，则当2θ+π4=π2，即θ=π8时，sin(2θ+π4)取最大值1，S max=8+8√2，所以该图的面积最大为8+8√2.故选：C3、函数f(x)=√3cosx−sinx在区间[0,2π3]上的值域为（）A．[−√32,√32]B．[−√3,√3]C．[−√32,1]D．[−1,2]答案：B 解析：先将函数转化为f(x)=2cos(x+π6)，再根据x∈[0,2π3]，利用余弦函数的性质求解.函数f(x)=√3cosx−sinx=2cos(x+π6)因为x∈[0,2π3]，所以x+π6∈[π6,5π6]，cos(x+π3)∈[−√32,√32]，所以函数f(x)的值域为[−√3,√3]，故选：B4、已知cosα=2√55，sin (α−β)=−√1010，α、β ∈(0,π2)，则cosβ的值为（） A ．√22B ．√6−√24 C ．√32D ．12 答案：A解析：由α、β的范围求出α−β的范围，由题意，利用平方关系求出sinα和cos (α−β)，由两角和与差的余弦公式求出cosβ的值即可.解：∵ α、β ∈(0,π2)，−β∈(−π2,0)，∴ sinα=√1−(2√55)2=√55，α−β∈(−π2,π2) ∵ sin (α−β)=−√1010<0， ∴ α−β∈(−π2,0).∴ cos (α−β)=√1−(√1010)2=3√1010. ∴ cosβ=cos [α−(α−β)]=cosα⋅cos (α−β)+sinα⋅sin (α−β)=2√55×3√1010+√55×(−√1010)=√22. 故选：A.小提示：本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.5、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（） A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57. 又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去；当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.。

高二数学解三角形练习题

高二数学解三角形练习题解三角形是高中数学中的重要内容，通过解题练习可以帮助我们巩固和拓展解三角形的知识。

下面将为大家提供一些高二数学解三角形的练习题，希望大家能够认真思考和解答。

练习题一：已知三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5cm，BC = 12cm。

求∠A和∠C的大小。

解答：由于∠B = 90°，所以三角形ABC是直角三角形。

根据勾股定理，AC² = AB² + BC²。

代入已知数据，可得AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169，即AC = 13cm。

应用正弦定理，sinA = BC / AC = 12 / 13，sinC = AB / AC = 5 / 13。

通过计算可以得到sinA ≈ 0.923，sinC ≈ 0.385。

由反三角函数可得∠A ≈ 69.3°，∠C ≈ 23.6°。

练习题二：已知三角形ABC，其中∠A = 60°，BC = 6cm，AC = 8cm。

求∠B和∠C的大小。

解答：应用余弦定理，BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosA。

代入已知数据，可得36 = AB² + 64 - 16 * AB * AC * 0.5。

化简后得到AB² - 2 * AB * AC + 28 = 0。

通过解一元二次方程，可以得到AB ≈ 5.135cm 或AB ≈ 1.865cm。

由于AB和BC的长度之和必须大于AC，所以排除AB ≈ 1.865cm 的情况。

因此，AB ≈ 5.135cm。

应用正弦定理，sinB = AB / AC = 5.135 / 8，sinC = BC / AC = 6 / 8。

通过计算可以得到sinB ≈ 0.642，sinC ≈ 0.75。

由反三角函数可得∠B ≈ 40.9°，∠C ≈ 48.6°。

2023高中数学三角函数专项训练题

(每日一练)2023高中数学三角函数专项训练题单选题1、−690°的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：根据象限角与终边相同角的概念判断即可；解：−690°=−2×360°+30°，所以−690°的终边与30°角的终边相同，因为30°的终边在第一象限，所以−690°的终边在第一象限；故选：A2、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图像上一点P(s,t)(−2<t<2)向右平移2π个单位，得到的点Q也在f(x)图像上，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，且满足f(π4−x)=f(x)，f(−π2)>f(0)，若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为（）A．(−2,−√2]B．[−2,−√2]C．[√2,2)D．[√2,2]答案：A解析：首先根据已知条件分析出|PQ|=2π=2T，可得ω=2，再由f(π4−x)=f(x)可得y=f(x)对称轴为x=π8，利用f(−π2)>f(0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f(x)的解析式，再由数形结合的方法求a的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(x)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t =−3π4即x =0时y =−√3，当t =−π2即x =π8时，y =−2，由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]，故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.3、若3sinθ=cosθ−1，则tan θ2的值为（）A ．−3B ．13C ．−3或0D ．−13答案：C解析：观察角度之间的联系，利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值.由3sinθ=cosθ−1，得6sin θ2cos θ2=1−2sin 2θ2−1，得2sin θ2(3cos θ2+sin θ2)=0，得sin θ2=0或3cos θ2+sin θ2=0，得tan θ2=0或tan θ2=−3.故选：C小提示：本题利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，属于容易题.4、把函数y =sin3x 的图象向左平移π6，可以得到的函数为（）A ．y =sin(3x +π6)B ．y =sin(3x −π6)C ．y =cos3xD ．y =cos(3x +π6)答案：C解析：根据三角函数平移变化可求得平移后的解析式,结合诱导公式化简即可得解. 把函数y =sin3x 的图象向左平移π6可得y =sin [3(x +π6)]=sin (3x +π2)由诱导公式化简可得y =sin (3x +π2)= cos 3x故选:C小提示：本题考查了三角函数图象平移变换,诱导公式的简单应用,属于基础题.5、若sin (α+β)sin (α−β)=−1114，则cos 2α−cos 2β=（）．A ．314B ．−314C ．1114D ．−1114 答案：C解析：直接对已知的式子利用三角恒等变换公式化简可得答案解：因为sin (α+β)sin (α−β)=−1114，所以(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ−cosαsinβ)=−1114，sin 2αcos 2β−cos 2αsin 2β=−1114，所以(1−cos 2α)cos 2β−cos 2α(1−cos 2β)=−1114，所以cos 2β−cos 2αcos 2β−cos 2α+cos 2αcos 2β=−1114，所以cos 2β−cos 2α=−1114，所以cos2α−cos2β=11，14故选：C。

高二解三角形练习题

高二解三角形练习题三角形是数学中一个重要的概念，解三角形题目是高二数学学习中的一项基础训练。

通过解题，可以加深对三角形性质和定理的理解，并提高解决实际问题的能力。

下面将为大家介绍几个高二解三角形的练习题。

一、已知三角形ABC，∠A=40°，∠B=60°，求∠C的度数。

解：根据三角形内角和为180°的性质，可以得到∠C=180°-40°-60°=80°。

因此，∠C的度数为80°。

二、已知∠A=30°，∠B=50°，边长a=5cm，边长b=8cm，求边长c的长度。

解：根据正弦定理，可以得到c/sinC=b/sinB。

将已知数据代入计算，可得c/sinC=8/sin50°。

进一步计算可得c≈8.98cm，所以边长c的长度约为8.98cm。

三、已知∠A=45°，∠B=60°，边长a=5cm，求边长b和边长c的长度。

解：根据正弦定理，可以得到b/sinB=c/sinC。

将已知数据代入计算，可得b/sin60°=5/sinC。

进一步计算可得b≈6.88cm，所以边长b的长度约为6.88cm。

而边长c可以通过补角的方式计算得到，即C=180°-45°-60°=75°，然后利用正弦定理可得c≈7.30cm，所以边长c的长度约为7.30cm。

四、已知边长a=3cm，边长b=4cm，边长c=5cm，判断该三角形是什么类型的三角形。

解：根据边长关系可以判断三角形的类型。

由于3²+4²=5²，所以该三角形是一个直角三角形。

五、已知∠A=50°，∠B=70°，边长a=6cm，边长b=8cm，求边长c的长度。

解：根据余弦定理，可以得到c²=a²+b²-2ab*cosC。

2023高中数学三角恒等变换题型总结及解题方法

(每日一练)2023高中数学三角恒等变换题型总结及解题方法单选题1、若3sinθ=cosθ−1，则tan θ2的值为（） A ．−3B ．13C ．−3或0D ．−13 答案：C 解析：观察角度之间的联系，利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值. 由3sinθ=cosθ−1，得6sin θ2cos θ2=1−2sin 2θ2−1，得2sin θ2(3cos θ2+sin θ2)=0，得sin θ2=0或3cos θ2+sin θ2=0，得tan θ2=0或tan θ2=−3. 故选：C 小提示：本题利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，属于容易题. 2、若tan α=2tan 10∘，则cos (α−80∘)sin (α−10∘)=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C 解析：利用诱导公式、两角和公式可得cos (α−80∘)sin (α−10∘)=sin αcos10∘+cosαsin10∘sin αcos10∘−cosαsin10∘，再利用弦化切即得.∵tan α=2tan 10∘， ∴cos (α−80∘)sin (α−10∘)=cos (α+10∘−90∘)sin (α−10∘)=sin (α+10∘)sin (α−10∘) =sin αcos10∘+cosαsin10∘sin αcos10∘−cosαsin10∘=tan α+tan10∘tan α−tan10∘ =3tan 10∘tan 10∘=3. 故选：C.3、关于函数y =sinx(sinx +cosx)描述正确的是（） A ．最小正周期是2πB ．最大值是√2C ．一条对称轴是x =π4D ．一个对称中心是(π8,12) 答案：D 解析：利用三角恒等变换化简y 得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论. 解：由题意得：∵y =sinx(sinx +cosx) =sin 2x +12sin2x=1−cos2x 2+12sin2x =√22sin(2x −π4)+12选项A：函数的最小正周期为T min=2πω=2π2=π，故A错误；选项B：由于−1≤sin(2x−π4)≤1，函数的最大值为√22+12，故B错误；选项C：函数的对称轴满足2x−π4=kπ+π2，x=k2π+3π8，当x=π4时，k=−14∉Z，故C错误；选项D：令x=π8，代入函数的f(π8)=√22sin(2×π8−π4)+12=12，故(π8,12)为函数的一个对称中心，故D正确；故选：D4、函数f(x)=√3cosx−sinx在区间[0,2π3]上的值域为（）A．[−√32,√32]B．[−√3,√3]C．[−√32,1]D．[−1,2]答案：B 解析：先将函数转化为f(x)=2cos(x+π6)，再根据x∈[0,2π3]，利用余弦函数的性质求解.函数f(x)=√3cosx−sinx=2cos(x+π6)因为x∈[0,2π3]，所以x+π6∈[π6,5π6]，cos(x+π3)∈[−√32,√32]，所以函数f(x)的值域为[−√3,√3]，故选：B5、设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A=π3,a=√3，则b2+c2+bc的取值范围为（）A．(1，9]B．(3，9]C．(5，9]D．(7，9]答案：D 解析：由正弦定理求出b=2sin B,c=2sin(2π3−B)，再由余弦定理可得b2+c2+bc=8sin B sin(2π3−B)+3，化为5+4sin(2B−π6)，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.因为A=π3,a=√3，由正弦定理可得asin A =√3√32=2=bsin B=csin(2π3−B)，则有b=2sin B,c=2sin(2π3−B)，由△ABC的内角A,B,C为锐角，可得{0<B<π2,0<2π3−B<π2,，∴π6<B<π2⇒π6<2B−π6<5π6⇒12<sin(2B−π6)≤1⇒2<4sin(2B−π6)≤4，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bc cos A⇒3=b2+c2−bc,因此有b2+c2+bc=2bc+3=8sin B sin(2π3−B)+3=4√3sinBcosB+4sin2B+3=2√3sin2B−2cos2B+5=5+4sin(2B−π6)∈(7,9]故选：D.小提示：方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.。

高二解三角形综合练习题

解三角形一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝()A．1 B. 3C．2 D．32．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线l1：sin A·x＋ay＋c ＝0与l2：bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直3．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4．在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分，则cos A等于()A.13 B.12C.34D．05．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋3946．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值围为() A．1<a<5 B．1<a<7C.7<a<5D.7<a<77．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若A ＝60°，b ＝1，且△ABC 的面积为3，则a ＝( )A ．43－1 B.37 C.13D ．18．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值围是( ) A ．(0，π6] B ．[π6，π) C ．(0，π3]D ．[π3，π)9．如图，△ADC 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 与AC 交于E 点．若AB ＝2，则AE 的长为( )A.6－ 2B.12(6－2) C.6＋ 2D.12(6＋2)10．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.51511．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D. 312．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° D ．b ＝c ＝1，B ＝45°13．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0D ．不确定14．若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.2315．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程(a 2＋bc )x 2＋2b 2＋c 2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°16．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对应边，C ＝60°，则b a ＋c ＋a b ＋c 的值为( )A.12B.22C．1 D. 217．海上有两个小岛A、B相距10海里，从A岛望B岛和C岛成60°视角，从B 岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是()A．5海里B．56海里C．10海里D．106海里18．在锐角三角形ABC中，已知A＝2C，则ac的围是()A．(0,2) B．(2，2)C．(2，3) D．(3，2)19．在△ABC中，若(a－a cos B)sin B＝(b－c cos C)sin A，则这个三角形是() A．底角不等于45°的等腰三角形B．锐角不等于45°的直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形20．某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d1与第二辆车和第三辆车之间的距离d2之间的关系为()A．d1>d2B．d1＝d2C．d1<d2D．不能确定大小二、填空题21.在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________. 22．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.23.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两货轮的距离为________海里．24．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝8∶9∶10，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.25．设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若a >b ，则函数f (x )＝(sin A －sin B )x 在R 上是增函数；②若sin2A ＝sin2B ，则A ＝B ；③若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ；④若ab >c 2，则0<C <π3.26．在相距2 km 的A 、B 两点处测量目标点C .若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离是________km.27．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，a ＝2(3＋1)，则S △ABC ＝________. 28．已知在△ABC 中，7sin A ＝8sin B ＝13sin C ，则C 的度数为________．29．在△ABC 中，已知b ＝a sin C 且c ＝a sin(90°－B )，则△ABC 的形状为________．30．如图，要在山坡上A、B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A、B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________m.三、解答题31．解答下列各题：(1)在△ABC中，已知C＝45°，A＝60°，b＝2，求此三角形最小边的长及a与B 的值；(2)在△ABC中，已知A＝30°，B＝120°，b＝5，求C及a与c的值．32．在△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．33．已知圆接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．34．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C.(1)求证：b2＝ac；(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．36．已知a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．37．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．38．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．39．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C ＝b sin B.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.40.如图，在南沙某海岛有一观察哨A，上午11时测得一船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分船到达位于海岛正西方向且距海岛5海里的E港口．如果船始终匀速直线航行，求船的速度(单位：海里/小时)．41．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?。

2023高中数学三角恒等变换知识点归纳超级精简版

(每日一练)2023高中数学三角恒等变换知识点归纳超级精简版单选题1、若sinα+cosα=13，0<α<π，则sin2α+cos2α=（）．A ．−8−√179B ．−8±√179C ．−8+√179D ．8+√179答案：A解析：已知等式平方后应用二倍角公式得sin2α，同时判断出sinα>0,cosα<0，可再利用平方关系求得cosα−sinα，从而可得cos2α=(cosα−sinα)(cosα+sinα)，代入即得结论．∵sinα+cosα=13，①∴1+2sinαcosα=19，即2sinαcosα=sin2α=−89， ∴1−2sinαcosα=(sinα−cosα)2=179．∵sinαcosα<0，且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα−cosα=√173． ①×②变形得cos 2α−sin 2α=cos2α=−√179， ∴sin2α+cos2α=−89−√179=−8−√179．故选：A ．小提示：本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，解题中应用平方关系时要注意确定函数值的符号，确定解的情况．2、已知sin2α=cos(π2+α)，α∈(π2,π)，则tanα的值为（）A．−√3B．−1C．−√33D．−2答案：A解析：对于sin2α=cos(π2+α)化简可得cosα=−12，再由α∈(π2,π)可得α的值，从而可求出tanα的值解：∵sin2α=cos(π2+α)，α∈(π2,π)，∴2sinαcosα=−sinα，∴cosα=−12.∵α∈(π2,π)，∴α=2π3.∴tanα=tan2π3=−tanπ3=−√3.故选：A.3、函数f(x)=2sin(x+π4)+cos2x的最大值为（）A．1+√2B．3√32C．2√2D．3答案：B解析：利用诱导公式及二倍角公式可得f(x)=2sin(x+π4)+sin2(x+π4)，令θ=x+π4，将函数转化为f(θ)=2sinθ+sin2θ，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解；解：因为f(x)=2sin(x+π4)+cos2x所以f(x)=2sin(x+π4)+sin2(x+π4)=2sin(x+π4)+2sin(x+π4)cos(x+π4)令θ=x+π4则f(θ)=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ则f′(θ)=2cosθ+2cos2θ=2(2cos2θ−1)+2cosθ=4cos2θ+2cosθ−2令f′(θ)=0，得cosθ=−1或cosθ=12当−1<cosθ<12时，f′(θ)<0；12<cosθ<1时f′(θ)>0所以当cosθ=12时，f(θ)取得最大值，此时sinθ=√32所以f(x)max=2×√32+2×√32×12=3√32故选：B小提示：本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值．4、已知直线x=x1，x=x2分别是曲线f(x)=sinx+√3cosx与g(x)=6sin2x2+cosx的对称轴，则f(x1−x2)=A．2B．±2C．0D．±1答案：B解析：将f(x),g(x)化简为正弦型和余弦函数，求出对称轴方程，即可求解.∵直线x=x1，x=x2分别是曲线f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)与g(x)=6sin2x2+cosx=6·1−cosx2+cosx=3−2cosx的对称轴，∴则x1+π3=kπ+π2，x2=nπ，n、k∈Z.即x1=kπ+π6，x2=nπ，∴x1−x2=kπ−nπ+π6，则f(x1−x2)=2sin[(x1−x2)+π3]=2sin(kπ−nπ+π6+π3)=2cos(kπ−nπ)=±2，故选:B.小提示：本题考查三角函数恒等变换化简、函数的性质和特殊角的函数值，考查逻辑推理和计算求解能力，属于基础题.5、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且ac =2+bcosAccos(A+C)，则B的大小为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6答案：B解析：利用正弦定理将边化为角，再逆用两角和的正弦公式化简即可.因为ac =2+bcosAccos(A+C)，所以sinAsinC=2+sinBcosAsinCcos(π−B)，即sinAsinC=2−sinBcosAsinCcosB，所以sinAcosB=2sinCcosB−sinBcosA，所以sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin(A+B)=2sinCcosB，所以sinC=2sinCcosB，又C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以cosB=12，又B∈(0,π)，所以B=π3.故选：B小提示：方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．。

2023高中数学三角恒等变换经典大题例题

(每日一练)2023高中数学三角恒等变换经典大题例题单选题1、已知A (3,0),B (0,3),C (cosα,sinα)，若AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1，则sin (α+π4)等于 A ．√23B ．1C ．2D ．√63答案：A解析：首先根据AC →⋅BC →=−1⇒（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，并化简得出sinα+cosα=23，再化为Asin(ωx +φ)形式即可得结果.由AC →⋅BC →=−1得：（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，化简得sinα+cosα=23，即√2sin(α+π4)=23,则sin(α+π4)=√23故选A.小提示：本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．2、设α､β为锐角，则下列各式，正确的是（）A ．cos(α+β)>cosα+cosβB ．cos(α+β)>sinα+sinβC ．cos(α+β)<cosα+cosβD ．cos(α+β)<sinα+sinβ答案：C解析：利用特殊值排除错误选项，然后利用三角恒等变换证明正确的结论即可得解.对于A ，当α=β=π3时，cos(α+β)=−12<cosα+cosβ=1，故A 不一定成立；对于B ，当α=β=π3时，cos(α+β)=−12<sinα+sinβ=√3，故B 不一定成立；对于C ，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，因为α､β为锐角，所以cosαcosβ<cosα,−sinαsinβ<cosβ，所以cos(α+β)<cosα+cosβ，故C 正确；对于D ，当α=β=π12时，cos(α+β)=√32>sinα+sinβ=√6−√22，故D 不一定成立.故选：C.3、若角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y =2x 上，则sin2θ=（）A ．−45B ．35C ．45D ．−35 答案：C解析：根据题意可知tanθ，利用同角三角函数关系，将目标式转化为tanθ的代数式，代值计算即可.因为角θ终边在直线y =2x 上，故可得tanθ=2；又sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=44+1=45.小提示：本题考查正弦的倍角公式，由角度终边所在位置求解三角函数值，属综合基础题.4、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a c =2+bcosA ccos(A+C)，则B 的大小为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：B解析：利用正弦定理将边化为角，再逆用两角和的正弦公式化简即可.因为a c =2+bcosA ccos(A+C)，所以sinA sinC =2+sinBcosA sinCcos(π−B)，即sinA sinC =2−sinBcosA sinCcosB ，所以sinAcosB =2sinCcosB −sinBcosA ，所以sinAcosB +sinBcosA =2sinCcosB ，即sin(A +B)=2sinCcosB ，所以sinC =2sinCcosB ，又C ∈(0,π)，所以sinC ≠0，所以cosB =12，又B ∈(0,π)，所以B =π3.故选：B小提示：方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．5、√3tan87°tan33°−tan87°−tan33°=（）A ．√3B ．−√3C ．√33D ．−√33 答案：A根据两角和的正切公式变形得tan87°+tan33°=tan(87°+33°)(1−tan87°tan33°)，即可求解.√3tan87°tan33°−tan87°−tan33°=√3tan87°tan33°−tan(87°+33°)(1−tan87°tan33°)=√3tan87°tan33°+√3(1−tan87°tan33°)=√3.故选：A小提示：本题考查三角恒等变换求值，注意公式变形应用，考查计算求解能力，属于基础题.。

每日一练-全等三角形之构造类全等含中点类型(二)

全等三角形之构造类全等含中点类处理方法1、倍长中线2、中位线3、直线三角形斜边中线一、倍长中线：就是将含中点得线段延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．周一1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且求证：BD=CE3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D、E 在BC 上，且DE=EC，过D 作BA DF //交AE 于点F，DF=AC.求证：AE 平分BAC∠DB第 1 题图ABFDEC周二1：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EFCF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE周三1、在△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD于M，若AB＝AD，求证：2AM＝AC＋AB。

2、△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°，求证：AB=2BC.3、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM周四中位线\直角三角形斜边中线1、ΔABC 中，∠A=90°，D 是BC 的中点，DE ⊥DF 。

人教版2023高中数学三角恒等变换知识集锦

(每日一练)人教版2023高中数学三角恒等变换知识集锦单选题1、若函数f(x)=5cosx +12sinx 在x =θ时取得最小值，则cosθ等于（）A ．513B ．−513C ．1213D ．−1213 答案：B解析：结合辅助角公式、诱导公式求得cosθ的值.f(x)=5cosx +12sinx =13sin (x +φ)，其中cosφ=1213,sinφ=513，依题意，当x =θ时f (x )取得最小值，即sin (θ+φ)=−1,θ+φ=2kπ−π2,θ=2kπ−π2−φ，所以cosθ=cos (2kπ−π2−φ)=−sinφ=−513.故选：B2、某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距30米，∠BAC ＝60°，其中B 到C 的距离为70米.在A 地测得C 处的俯角为∠OAC ＝15°，最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该烟花的垂直弹射高度CH 约为（参考数据：√6≈2.446）（）A ．40米B ．56米C ．65米D ．113米答案：C解析：通过余弦定理求出AC ，进而求出CH ,OH ，然后得到CH ，最后通过辅助角公式化简求出答案.在△ABC 中，由余弦定理：cosA =900+AC 2−49002×30×AC =12⇒AC =80.因为AO ⊥CO ，所以OC =80sin15°,AO =80cos15°，又因为AO ⊥HO ，所以OH =√3，于是，CH =√3+80sin15°=√3+√3sin15°)=√3 =√6=1602.446≈65.故选：C.3、直线l :√3x −3y +2=0与x 轴交于点A ，把l 绕点A 顺时针旋转45°得直线m ，m 的倾斜角为α，则cosα=（） A ．√6+√24B ．√2−√64C ．−√6+√24D ．√6−√24答案：C解析：由题知直线l 的倾斜角为30°，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦公式求得结果. 解：设l 的倾斜角为θ，则tanθ=√33，∴θ=30°，由题意知α=(θ−45°)+180°=165°，∴cosα=cos165°=−cos15°=−cos(60°−45°)=−cos60°cos45°−sin60°sin45°=−12×√22−√32×√22=−√2+√64．故选：C 填空题4、在△ABC中，若A=π3，cosB=13，则cosC=_________．答案：2√6−16解析：由C=π−(A+B)，可得cosC=−cos(A+B)，结合两角和的余弦公式，即可求解.在△ABC中，由cosB=13，可得sinB=2√23，又由C=π−(A+B)，可得cosC=−cos(A+B)，因为cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB=12×13−√32×2√23=1−2√66,所以cosC=2√6−16.所以答案是：2√6−16.5、已知α是第二象限角，且cosα=−13，则tan2α的值为______．答案：4√27解析：根据同角三角函数的基本关系求出tanα，再由二倍角的正切公式求解.∵cosα=−13，α是第二象限角，∴sinα=√1−cos2α=2√23，∴tanα=sinαcosα=−2√2，∴tan2α=2tanα1−tan2α=4√27所以答案是：4√27。

2023高中数学三角恒等变换知识总结例题

(每日一练)2023高中数学三角恒等变换知识总结例题单选题1、德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36∘的等腰三角形（另一种是顶角为108∘的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC =√5−12.根据这些信息，可得sin126∘=（）A ．1−2√54B ．3+√58C ．1+√54D ．4+√58答案：C解析：计算出cos72∘=√5−14，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126∘=cos36∘的值，即可得出合适的选项. 因为△ABC 是顶角为36∘的等腰三角形，所以，∠ACB =72∘，则cos72∘=cos∠ACB =12BC AC =√5−14，sin126∘=sin (90∘+36∘)=cos36∘，而cos72∘=2cos 236∘−1，所以，cos36∘=√1+cos72∘2=√3+√58=√6+2√516=√5+14. 故选：C.小提示：本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题. 2、若α∈(5π4,3π2)，则√1+cos2α2−√1−cos2α2=（）A ．cosα−sinαB ．−cosα−sinαC ．cosα+sinαD ．−cosα+sinα答案：D 解析：利用二倍角公式化简√1+cos2α2−√1−cos2α2，再结合α的范围确定cosα和sinα的符号即可求解.由二倍角公式可知，1+cos2α=2cos 2α，1−cos2α=2sin 2α，从而√1+cos2α2−√1−cos2α2=|cosα|−|sinα|，又因为α∈(5π4,3π2)，所以cosα<0，sinα<0，从而√1+cos2α2−√1−cos2α2=−cosα+sinα.故选：D.3、已知sinα−cosα=54，则sin2α=（）A ．−916B ．−716C ．716D ．916答案：A解析：在等式sinα−cosα=54两边平方，化简后可求得sin2α的值. ∵(sinα−cosα)2=sin 2α+cos 2α−2sinαcosα=1−sin2α=2516，因此，sin2α=−916. 故选：A. 4、函数y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期及最大值为（）．A ．π2和1B ．3π2和−1C ．π和2D ．2π和−2答案：C解析：结合辅助角公式化简即可.y =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6)，故T =2π2=π，函数最大值为2.故选：C5、在△ABC 中，若√3asinB =c −bcosA ，则B =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3 答案：B解析：根据正弦定理，边角互化后得√3sinAsinB =sinC −sinBcosA ，再利用三角恒等变形计算角B . 根据正弦定理，可知a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ，代入原式可得√3sinAsinB =sinC −sinBcosA ,又∵A +B +C =π，∴sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB ，则√3sinAsinB =sinAcosB ，∵sinA ≠0，∴sinB cosB =tanB =√33，得B =π6.故选：B。

三角形的外角性质强化训练题(每日一练)

三角形的外角性质强化训练题（每日一练）一．选择题1．如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A 的度数是（）A．20B．30C．40D．502．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°3．如图，已知∠1＝58°，∠B＝60°，则∠2＝（）A．108°B．62°C．118°D．128°4．下列说法中错误的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．有一个内角是直角的三角形是直角三角形C．任意三角形的外角和都是360°D．三角形的中线、角平分线，高线都是线段5．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．60°C．65°D．55°6．如图，点B、G、C在直线FE上，点D在线段AC上，则下列是△ADB的外角的是（）A．∠FBA B．∠DBC C．∠CDB D．∠BDG7．一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80°B．95°C．100°D．110°二．填空题（共6小题）8．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为．9．如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝60°，∠ABD＝110°，则∠C等于．10．如图，∠1的度数为°．11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC＝度．12．如图，将一副三角板和一支直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为°．13．如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝．14．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（填“增加”或“减少”）度．三．解答题15．如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．16．如图：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E是AD上一点，求证：∠BED＞∠C．17．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．18．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，求∠1﹣∠2的度数．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．（3）若BE∥DF，探究∠A、∠F有怎样的数量关系．（直接写答案，不用证明）20．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠E＝35°，CD是AB边上的高，若△ABC 的外角∠BAG的平分线交射线CD于点F，延长F A和BC相交于点E．求∠F的度数．（2）如图2，AN是△ABC的外角∠BAG的平分线，延长BC和NA相交于点M，点D 在边AB上，且∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F．试猜想∠M与∠CFE 的数量关系，并给予证明．21．如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC、AB分别交于D、E两点，直线b与边BC、AC分别交于F、G两点，且a∥b．（1）若∠AED＝44°，求∠BFG的度数；（2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG 与∠AED的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若∠DEB＝m，延长AB交直线b于点Q，在射线DC上有一动点P，连结PE、PQ，请直接写出∠PEQ、∠EPQ、PQF的数量关系（用含m的式子表示）．。

2023高中数学三角恒等变换知识点总结(超全)

(每日一练)2023高中数学三角恒等变换知识点总结(超全)单选题1、在△ABC 中，已知sinAsinBsin (C −θ)=λsin 2C ，其中tanθ=13（其中0<θ<π2），若1tanA +1tanB +2tanC 为定值，则实数λ的值是（）A ．√1020B ．√55C ．√10D ．√510答案：A 解析：sinAsinBsin (C −θ)=λsin 2C ，化简得1λ(√10−√10=sin 2CsinAsinB ，再由1tanA +1tanB +2tanC 为定值，化简得到3sinC −cosC =2√10λ(k2sinC −cosC)恒成立，列出方程组，即可求解. 由tanθ=13,(0<θ<π2)，可得sinθ=√10，cosθ=√10，因为sinAsinBsin (C −θ)=λsin 2C ，得sinAsinB ⋅(√10√10=λsin 2C ，即1λ(√10√10=sin 2CsinAsinB ，又由1tanA +1tanB +2tanC =cosAsinA+cosB sinB +2cosC sinC=sinCsinAsinB +2cosCsinC=sin 2CsinAsinBsinC +2cosC sinC=1sinC ×1λ(√10√10+2cosC sinC=1λ√101λ⋅√10cosC sinC+2cosC sinC=k （定值），即3sinC −cosC +2√10λcosC =√10kλsinC ，即3sinC −cosC =2√10λ(k2sinC −cosC)恒成立，可得{3=2√10⋅λ×k21=2√10⋅λ ，解得k =6，λ=√1020. 故选：A ．小提示：方法点拨：解答中把1tanA+1tanB+2tanC为定值，利用三角函数的基本关系式和题设条件，转化为3sinC −cosC =2√10λ(k2sinC −cosC)恒成立，结合多项式相等的条件，列出方程组是解答的关键. 2、已知函数f(x)=sinx +cosx ，且f ′(x )=3f (x )，则tan2x 的值是 A ．-43B ．43C ．-34D ．34答案：A 解析：先求f ′(x )＝cos x ﹣sin x ，根据f ′(x )=3f (x )得tan x ，然后利用正切的二倍角公式即可得到答案. 根据题意，f ′(x )＝cos x ﹣sin x ，由f ′(x )=3f (x )得， cos x ﹣sin x ＝3（sin x +cos x ）， 4sin x ＝﹣2cos x ，解得tan x ＝-12，再根据二倍角公式得，tan2x ＝2tanx1−tan 2x ＝﹣43，故选A ．小提示：本题主要考查了导数的运算，涉及正弦函数和余弦函数的导数，以及正切的二倍角公式，属于基础题． 3、已知函数f (x )=asinx +bcosx ，其中a,b ∈R ，且ab ≠0，若f (x )≤|f (π4)|对一切x ∈R 恒成立，则（）. A ．f (π5)>f (π6)B ．f (x )=f (5π2−x)C ．f (x −π4)是偶函数D ．f (x +π4)是奇函数答案：B 解析：利用辅助角公式可得f (x )=√a 2+b 2sin (x +φ)，又f (x )≤|f (π4)|对一切x ∈R 恒成立知|f (π4)|=√22a +√22b =√a 2+b 2，可得a =b ，整理得f (x )=√2asin (x +π4)，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 由ab ≠0知a ≠0且b ≠0，利用辅助角公式可得f (x )=asinx +bcosx =√a 2+b 2sin (x +φ)，其中tanφ=ba ，又f (x )≤|f (π4)|对一切x ∈R 恒成立，知|f (π4)|是f (x )的最值，所以|f (π4)|=asin π4+bcos π4=√22a +√22b =√a 2+b 2，即12a 2+12b 2+ab =a 2+b 2，所以12a 2+12b 2−ab =0，即12(a −b )2=0，所以a =b ，tanφ=ba =1，可得φ=π4，所以f (x )=√2asin (x +π4)，对于选项A ：f (π5)=√2asin (π5+π4)=√2asin 9π20，f (π6)=√2asin (π6+π4)=√2asin 5π12，又因为5π12<9π20<π2，则sin 5π12<sin 9π20，当a >0时，f (π5)>f (π6)，当a <0时，f (π5)<f (π6)，故选项A 不正确；对于选项B ：f (5π2−x)=√2asin (5π2−x +π4)=√2asin (11π4−x)=√2asin (3π4−x)=√2asin (π−π4−x)=√2asin (π4+x)=f (x )，故选项B 正确；对于选项C ：f (x −π4)=√2asin (x −π4+π4)=√2asinx 是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：f (x +π4)=√2asin (x +π4+π4)=√2asin (x +π2)=√2acosx 是偶函数，故选项D 不正确，故选：B 小提示：关键点点睛：本题的关键点是从已知条件f (x )≤|f (π4)|对一切x ∈R 恒成立，知|f (π4)|是f (x )的最值，|f (π4)|=√22a +√22b =√a 2+b 2，从而得f (x )=√2asin (x +π4)，属于中档题.4、已知sin(α−π3)+√3cosα=13，则sin(2α+π6)=（） A ．23B ．29C ．−19D ．−79 答案：D 解析：利用两角差的正弦、余弦公式化简sin(α−π3)+√3cosα=13，再利用诱导公式、二倍角公式求解sin(2α+π6)即可.∵sin(α−π3)+√3cosα=13 ∴sinαcos π3−cosαsin π3+√3cosα=13 ∴12sinα−√32cosα+√3cosα=13 ∴12sinα+√32cosα=13 ∴cos(α−π6)=13∴sin(2α+π6)=sin [2(α−π6)+π2]=cos2(α−π6)=2cos 2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79故选：D.5、已知A (3,0),B (0,3),C (cosα,sinα)，若AC⃑⃑⃑⃑⃑ ·BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1，则sin (α+π4)等于 A ．√23B ．1C ．2D ．√63 答案：A 解析：首先根据AC →⋅BC →=−1⇒（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，并化简得出sinα+cosα=23，再化为Asin(ωx +φ)形式即可得结果.由AC →⋅BC →=−1得：（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，化简得sinα+cosα=23，即√2sin(α+π4)=23,则sin(α+π4)=√23 故选A. 小提示：本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．。

通用版2023高中数学三角恒等变换经典大题例题

(每日一练)通用版2023高中数学三角恒等变换经典大题例题单选题1、函数f(x)=cos(3π−x)+√3cos(x −π2)的单调增区间为（）A ．[−5π6+2kπ,π6+2kπ],k ∈Z B ．[−2π3+2kπ,π3+2kπ],k ∈ZC ．[−π3+2kπ,2π3+2kπ],k ∈Z ，D ．[−π6+2kπ,5π6+2kπ],k ∈Z答案：C 解析：利用三角恒等变换得到f(x)=2sin (x −π6)，再计算单调区间得到答案. f(x)=cos (3π−x )+√3cos (x −π2)=−cos π+√3sinx =2sin (x −π6)，取−π2+2k π≤x −π6≤π2+2k π，k ∈Z ，解得−π3+2k π≤x ≤2π3+2k π，k ∈Z .故选：C.2、若2sin (α−π3)=3sinα−√7，则tan2α=（） A ．−4√3B ．4√3C ．2√33D ．−2√33答案：A 解析：利用两角和与差的三角的正弦，将2sin (α−π3)=3sinα−√7，转化为sin (α+φ)=1，其中sinφ=√3√7，cosφ=√7，则有α=2kπ+π2−φ(k ∈Z )，然后求解sinα、cosα，求出tanα的值，利用二倍角的正切公式可求得tan2α的值.因为2sin (α−π3)=3sinα−√7，所以2(12sinα−√32cosα)=3sinα−√7，即2sinα+√3cosα=√7，∴√7(√7+√3√7=√7，即sin (α+φ)=1，其中sinφ=√3√7，cosφ=√7，∴α+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，∴α=2kπ+π2−φ，k ∈Z ， ∴sinα=sin (2kπ+π2−φ)=sin (π2−φ)=cosφ=√7，cosα=cos (2kπ+π2−φ)=cos (π2−φ)=sinφ=√3√7， ∴tanα=sinαcosα=2√33，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×2√331−(2√33)2=−4√3．故选：A ．小提示：本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题．3、若3sinθ=cosθ−1，则tan θ2的值为（） A ．−3B ．13C ．−3或0D ．−13 答案：C 解析：观察角度之间的联系，利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值. 由3sinθ=cosθ−1，得6sin θ2cos θ2=1−2sin 2θ2−1，得2sin θ2(3cos θ2+sin θ2)=0，得sin θ2=0或3cos θ2+sin θ2=0，得tan θ2=0或tan θ2=−3. 故选：C 小提示：本题利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，属于容易题. 解答题4、已知π2<β<α<3π4，cos(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，求：sin2α、sin2β.答案：−5665；−1665解析：根据角的变换sin2α=sin[(α+β)+(α−β)]，sin2β=sin[(α+β)−(α−β)]，利用两角和，差公式计算求值.∵π2<β<α<3π4，∴0<α−β<π4，π<α+β<3π2又∵cos(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，∴sin(α−β)=513，cos(α+β)=−45sin2α=sin[(α+β)+(α−β)]=sin(α+β)cos(α−β)+cos(α+β)sin(α−β)=−5665sin2β=sin[(α+β)−(α−β)]=sin(α+β)cos(α−β)−cos(α+β)sin(α−β)=−1665 5、在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA−√3a=0．（I）求角B的大小；（II）求cos A+cos B+cos C的取值范围．答案：（I）B=π3；（II）(√3+12,32]解析：（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosA+cosB+cosC的取值范围.（I）[方法一]：余弦定理由2bsinA=√3a，得sin2A=(√3a2b )2=3a24b2，即1−cos2A=3a24b2．结合余弦定cosA=b 2+c2−a22bc，∴1−(b2+c2−a22bc )2=3a24b2，即4b2c2−b4−c4−a4−2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2, 即a4+b4+c4+a2c2−2a2b2−2b2c2=0,即a4+b4+c4+2a2c2−2a2b2−2b2c2=a2c2,即(a2+c2−b2)2=(ac)2,∵△ABC为锐角三角形，∴a2+c2−b2>0，∴a2+c2−b2=ac，所以cosB=a 2+c2−b22ac=12，又B为△ABC的一个内角，故B=π3．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2bsinA=√3a，结合正弦定理可得：2sinBsinA=√3sinA,∴sinB=√32△ABC为锐角三角形，故B=π3.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因为B=π3，并利用余弦定理整理得b2=a2+c2−ac，即3ac=(a+c)2−b2．结合ac ≤(a+c 2)2，得a+c b≤2．由临界状态（不妨取A =π2）可知a+c b=√3．而△ABC 为锐角三角形，所以a+c b>√3．由余弦定理得cosA +cosB +cosC =b 2+c 2−a 22bc+12+a 2+b 2−c 22ab，b 2=a 2+c 2−ac ，代入化简得cosA +cosB +cosC =12(a+cb+1)故cosA +cosB +cosC 的取值范围是(√3+12,32]． [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：cosA +cosB +cosC =cosA +12+cos (2π3−A)=cosA −12cosA +√32sinA +12 =√32sinA +12cosA +12=sin (A +π6)+12.由{0<23π−A <π20<A <π2 可得：π6<A <π2，π3<A +π6<2π3，则sin (A +π6)∈(√32,1]，sin (A +π6)+12∈(√3+12,32]. 即cosA +cosB +cosC 的取值范围是(√3+12,32]. 【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得a 2+c 2−b 2=ac ，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.。