加法原理与乘法原理练习题
小学六年级奥数加法乘法原理问题专项强化训练(高难度)
小学六年级奥数加法乘法原理问题专项强化训练（高难度）例题1：小明家有4个蓝色的球和5个红色的球，他要从中选择2个球放入袋子里，问他有多少种不同的选择方法？解析：根据加法乘法原理，我们可以分别计算出选择第一个球和选择第二个球的方法数，然后将两个结果相乘即可。
选择第一个球的方法数为：4个蓝色球 + 5个红色球 = 9种选择方法。
选择第二个球的方法数为：在已选第一个球的基础上，只有8个球可供选择，所以有8种选择方法。
总的选择方法数为：9 * 8 = 72种选择方法。
专项：1. 甲乙丙三个人排成一列，有多少种不同的排法？2. 一幢楼的一层有5个房间，另一层有6个房间，如果要在这两层中选择2个房间，有多少种不同的选择方法？3. 有5个人排成一排，要从中选择3个人参加比赛，有多少种不同的选择方法？4. 一家超市有6种口味的冰淇淋和7种口味的蛋糕，小明要选择一种冰淇淋和一种蛋糕，有多少种不同的选择方法？5. 一幢楼有3个门和4个窗户，如果要选择2个门和1个窗户，有多少种不同的选择方法？6. 甲、乙、丙、丁四个人依次参加一场比赛，如果比赛不能重复，则有多少种不同的比赛结果？7. 一幢楼有3个电梯和4个楼梯，如果要选择2个电梯和1个楼梯，有多少种不同的选择方法？8. 有5个小朋友要坐在一张长凳上，如果要选择3个小朋友坐在凳子上，有多少种不同的选择方法？9. 一张桌子上有4个苹果和5个橘子，小明要选择一个苹果和一个橘子，有多少种不同的选择方法？10. 一家超市有5种口味的饮料和6种口味的薯片，小红要选择一种饮料和一种薯片，有多少种不同的选择方法？11. 甲、乙、丙、丁四个人要排成一列，如果甲和乙不能相邻，有多少种不同的排法？12. 有7个人要参加一次比赛，如果要选择4个人参加比赛，有多少种不同的选择方法？13. 一张桌子上有5个苹果和6个橘子，小华要选择2个水果放入篮子里，有多少种不同的选择方法？14. 一幢楼有4个电梯和5个楼梯，如果要选择3个电梯和1个楼梯，有多少种不同的选择方法？15.有6本书要摆放在书架上，其中3本是小说，3本是科普书，如果要选择2本小说和1本科普书放在书架上，有多少种不同的选择方法？例题2：小明有3种颜色的糖果，分别有2个红色的、3个黄色的、4个蓝色的。
小学奥数 加法原理 乘法原理 知识点+例题+练习 (分类全面)
例4、在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问：共有多少种不同的放法？
例5、要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？
巩固、在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？
巩固、左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B 点的最短路线有多少条？
例6、有10根火柴，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？。
加法原理与乘法原理练习题(详解)
加法原理与乘法原理1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法( ) A．8种B．12种 C．16种 D．24种答案 C2．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c.则可构成不同的二次函数的个数是( )A．48 B．59 C．60 D．100 答案 A3．某电话局的电话号码为168～×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有( )A．20个 B．25个 C．32个 D．60个答案 C4．在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )A．20 B．10 C．5 D．24 答案 B5．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( )A．8种 B．15种 C．125种 D．243种答案 D6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有( ) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种答案 B7．已知异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．13 C．10 D．16 答案 B8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有( )A．336种 B．120种 C．24种 D．18种答案 A9．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A．10种 B．20种 C．25种 D．32种答案 D10．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( ) A．14 B．23 C．48 D．120 答案 C11．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A．6种 B．12种 C．24种 D．30种答案 C12．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．答案 413．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案1214．动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？15．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？解析(1)由于1至4知，不同的涂色方法有54＝625种．(2)第一类，1号区域与3号区域同色时，有5×4×4＝80种涂法，第二类，1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260(种)．16．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个．(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？(4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？(5)小于100的无重复数字的自然数？解析由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．(4)百位数字只有4种选择，个位数字只有2种选择，十位数字可有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×2×8＝64(个)．(5)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类．一位自然数：10个．两位自然数：十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的两位数共有9×9＝81(个)．由分类加法计数原理知，符合题意的自然数共有10＋81＝91(个)．17．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有( )A．18个 B．16个 C．14个 D．10个答案 C18．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落可能性共有( )A ．6种B ．36种C ．63种D ．64种 答案 C19．已知互不相同的集合A 、B 满足A ∪B ＝{a ，b }，则符合条件的A ，B 的组数共有________种． 答案 920．已知a ，b ∈{0,1,2，…，9}，若满足|a －b |≤1，则称a ，b “心有灵犀”．则a ，b “心有灵犀”的情形共有( )A ．9种B ．16种C ．20种D ．28种 答案 D21．(2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19答案 D 22．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，最多5个，则不同的分法共有( )A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种 答案 A23．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 D24．若5名学生争夺3项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有________种不同情况(没有并列冠军)? 答案 5325．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值． 答案 6326．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有________个．答案 3627．设椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________． 答案 2028.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．答案40欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
(完整word版)小学四年级加法原理乘法原理20题.docx
小学四年级加法原理乘法原理20 题加法原理和乘法原理加法原理：完成一件工作共有 N 方法。
在第一方法中有 m1种不同的方法，在第二方法中有 m2种不同的方法，⋯⋯，在第 N 方法中有 m n种不同的方法，那么完成件工作共有 N＝ m1＋m2＋m3＋⋯＋ m n种不同方法。
运用加法原理数，关在于合理分，不重不漏。
要求每一中的每一种方法都可以独立地完成此任；两不同法中的具体方法，互不相同 (即分不重 )；完成此任的任何一种方法，都属于某一 (即分不漏 )。
合理分也是运用加法原理解决的点，不同的，分的准往往不同，需要累一定的解。
乘法原理：完成一件工作共需 N 个步：完成第一个步有 m1种方法，完成第二个步有 m2种方法，⋯，完成第 N 个步有 m n种方法，那么，完成件工作共有m1×m2×⋯×m n种方法。
1、从甲地到乙地，可以乘火，也可以乘汽，可以乘船。
一天中火有 4 班，汽有 3 班，船有 2 班。
：一天中乘坐些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？2、小明到借，有 150 本不同的外， 200 本不同的科技，100 本不同的小，只借 1 本，有多少种不同的法？3、第一个口袋里装了 3 个小球，第二个口袋里装了 8 个不同的小球，所有的小球颜色都各不相同。
从两个口袋中任取一个小球，有多少种不同的取法？4、旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？5、四把钥匙开四把锁，但是不知道哪把钥匙开哪把锁，最多试多少次就能把锁和钥匙配起来？6、从甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？7、两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和是偶数的有多少种情况？8、从 1 到 400 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个？9、用 1角、 2角和 5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？10、各数位的数字之和是 24的三位数共有多少个？11、北京奥运会开幕的日子为 2008年8月8日，拼成一个八位数为 20080808. 它的数字和为26，请问在2008年还有哪些日子拼成的八位数，其数字之和为26？12、一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和 10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？13、某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜， 3种蔬菜， 2种汤。
加法原理与乘法原理练习题(2)
加法原理与乘法原理1. 一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法（）A . 8 种B. 12 种 C. 16 种D. 24 种2. 从集合A=（0,1,2,3,4｝中任取三个数作为二次函数y= ax2 + bx+ c的系数a, b, c.则可构成不同的二次函数的个数是（）A . 48 B. 59 C. 60 D . 1003. 某电话局的电话号码为168〜xx xxx，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有（）A . 20 个B. 25 个C. 32 个D. 60 个4. 在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为（）A . 20 B. 10 C. 5 D . 245. 将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有（）A . 8 种B. 15 种 C. 125 种D. 243 种6. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A . 24 种B. 18 种 C. 12 种D . 6 种7. 已知异面直线a, b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定不同的平面个数为（）A . 40B . 13 C. 10 D. 168. 书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有（）A . 336 种B. 120 种 C. 24 种D . 18 种9. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A . 10 种B. 20 种 C. 25 种D. 32 种10. 有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是()A . 14B . 23 C. 48 D. 12011. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有()A . 6 种B. 12 种C. 24 种D. 30种12. 从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得偶数.13. 从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有中不同的取法.精品文档其中共6个焊接点A 、B 、C 、D 、E 、F,如果某个焊接点脱落，整个电路就会 不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落可能性共有 （）A . 6 种 B. 36 种 C. 63 种 D. 64 种19. 已知互不相同的集合 A 、B 满足AU B= {a, b},则符合条件的 A, B 的组数共有 中.20. 已知a, be {0,1,2，…，9}，若满足|a — b|< 1,则称a, b “心有灵犀”.则 a, b “心有灵犀”的情形共有（）A . 9 种 B. 16 种 C. 20 种 D. 28 种21. （2012 F 东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个 位数为0的概率是（）22. 把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有 1个，最多5个，则不同的分法共有（）A . 4种 B. 5种C. 6种 D . 7种23. 从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比 数列，这样的等比数列的个数为（）A . 3 B. 4 C. 6 D. 824. 若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得 者有 中不同情况（没有并列冠军）?25. 有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这 6张 人民币可组成 中不同的币值. 26. 三边长均为整数，且最大边长为 11的三角形共有__ _ x 2 y 22 若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？4 A.9 12B .3 C-91D.927. 设椭圆m + %= 1的焦点在y轴上，me {1,2,3,4,5},n€ {1,2,3,4,5,6,7},贝U这样的椭圆个数为 .28. 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有 _______ 个.14. 动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？15. 用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色.(1) 共有多少种不同的涂色方法？(3) 小于500的无重复数字的三位整数？(4) 小于500,且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？(5) 小于100的无重复数字的白然数？17. 已知集合M = {1 , -2,3} , N = ( - 4,5,6, —7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有()F , . EA . 18 个B. 16 个C. 14 个D. 10 个IT ------ ―18. 如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，[I 〒16. 用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个.(1)三位整数?(2)无重复数字的三位整数？* 1 2 3 4 5—1—1。
加乘原理练习题
加乘原理练习题一、填空题1.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配的“IMO”.2.H市的电话号码有七个数字,其中第一个数字不为0,也不为1.这个城市、数字不重复的电话号码共有个.3.这是一个棋盘,将一个白子和一个黑子放在棋盘线的交叉点上,但不能在同一条棋盘线上,共种不同的放法.4.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同的进出路线.5.将3封信投到4个邮筒中,一个邮筒最多投一封信,有种不同的投法.6.两人见面要握一次手,照这样的规定,五人见面共握次手.7.有四张卡片,上面分别写有0,1,2,4四个数字,从中任意抽出三张卡片组成三位数.这些卡片共可组成个不同的三位数.8.圆周上有A、B、C、D、E、F、G、H8个点,每任意三点为顶点作三角形.这样共可作出个不同的三角形?9.用1,2,3这三个数字可以组成多少个不同的三位数.如果按从小到大的顺序排列,213是第个数.10.一排房有四个房间,在四个房间中住着甲、乙、丙三人,规定每个房间只许住一人,并且只允许两个人住的房间挨在一起.第三个人的房间必须和前两个人隔开,有种住法.二、解答题11.在一次晚会上男宾与每一个人握手,女宾不与女宾握手,如果有8对夫妻参加晚会,那么这16人共握手多少次?12.20名运动员进行乒乓球球比赛,每两名运动员都要比赛一场,每场比赛3局2胜,全部比赛结束后,所有各局比赛最高得分为25:23,那么,至少有多少局的比分是相同的?13.下面五张卡片上分别写有数字:可以用它们组成许多不同的五位数,求所有这些五位数的平均数.14.有一种用六位数表示日期的方法,如:890817表示的是1989年8月17日,也就是从左到右第一、二位数表示年,第三、四位数表示月,第五、六位数表示日.如果用这种方法表示1991年的日期,那么全年中六个数字都不相同的日期共有多少天?———————————————答案——————————————————————1.60.先写I,有5种方法;再写M,有4种方法;最后写O,有3种方法.一共有5×4×3=60方法.2.483840.先排首位,有8种方法.再依次排后面六位,依次有9,8,7,6,5,4种方法.故一共有8×9×8×7×6×5×4=483840数字不同的电话号码.3.72.先排黑子,它可以放在任一格,有12种放法.再排白子,它与黑子不能在同一行,也不能在同一列,只有6种方法.一共有12×6=72放法.4.12.先选入口,有2种方法,再选出口,有6种方法,一共有12种方法.5.24.第一封信有4种投法,第二封信有3种投法,第三封信有2种投法,共有4×3×2=24投法.6.10.每一人要握4次手,五人共握4×5=20,但在上述计算中,每次握手都被计算了2次,故实际上握手次数为20÷2=10.7.18.先排百位,有3种方法;再排十位,也有3种方法;最后排个位,有2种方法,一共有3×3×2=18方法.即可以组成18个不同的三位数.8.56.选第一个顶点,有8种方法;选第二个顶点,有7种方法;选第三个顶点,有6种方法.共有8×7×6选法.但在上述计算中,每个三角形都被计算了6次,故实际上有÷6=56三角形.9.6,3.排百位、十位、个位依次有3种、2种、1种方法,故一共有3×2×1=6方法,即可以组成6个不同三位数.它们依次为123,132,213,231,312,321.故213是第3个数.10.12.三个人住四个房间,一共有4×3×2=24种不同住法.其中三人挨着的有×2=12,故符合题意的住法有24-12=12.11.如果16人都互相握手应握.其中应减去女宾间的握手次数,还应减去夫妻间的握手次数8次,即共握手120-28-8=84.12.20名运动员共要赛,每场最少打2局,故比赛局数不少于190×2=380.而最高分为25:23,这样就会有25:23,24:22,23:21,22:20以及21:0至21:19这24种情况,故至少有局比分相同.13.当首数为1时,2有4个位置可放,3有3个位置可放,其余为0,共有4×3=12个不同的数.在12个数中0,0,2,3在各个数位上都出现了3次,故12个数之和为:×10000+×1111=136665.当首位为2或3时,用以上方法可求得和为253332和369999,平均数为÷36=21111.14.显然第一、二位为9和1.这样一来第三位不能是1,只能是0.第五位不能是0,1,只能是2.第4位有6种排法,第6位有5种排,故一共有6×5=30排法,即全年中六个数字都不同的日期共有30天.加法、乘法原理练习题1、李苹从A城到B城，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机。
六年级上册奥数试题-第7讲 加法原理与乘法原理 全国通用(含答案)
第7讲加法原理与乘法原理知识网络排列与组合问题是围绕计数问题展开的一类问题。
解决此类问题，一般要用到两个常用的原理，即加法原理和乘法原理。
要完成一个任务，如果能分成r类彼此独立的不同方式，第一类方式有种不同的方法可以完成任务，第二类方式有种不同的方法可以完成任务，……，第r方式有种不同的方法完成任务。
那么完成这个任务就有种不同的方法，这种分类计数的方法就称为加法原理。
如果完成某项任务要分r个不同的步骤，第一步有种不同的方法完成任务，第二步有种不同的方法完成任务，……，第r步有种不同的方法完成任务。
那么完成这个任务就有种不同的方法，这种步骤完成任务的计数方法称为乘法原理。
重点·难点加法原理、乘法原理以及上一讲的容斥原理是解决计数问题的三个基本原理。
应用加法原理和乘法原理，关键是弄清两者之间的本质区别：如果属于分类考虑，则应用加法原理解题，如果属于分步考虑，则应用乘法原理解题。
如何根据题意分清究竟是分类还是分步，是本讲的难点。
学法指导在应用这两个原理解计数问题时必须紧紧抓住“分类还是分步”来区分两种原理。
除此以外，解决问题常用的方法还有枚举法、对应法、归纳法等，应根据具体问题灵活采用适当的方法。
经典例题[例1]如图1所示，在10×10个边长为1的小正方形拼成的棋盘中，求由若干个小方块能拼成的所有正方形的数目。
思路剖析由小方块所拼成的正方形边长可以取1，2，…，10。
这样有十类不同的方式拼出正方形。
下面再计算出每类方式有多少种方法拼出正方形。
边长为1的正方形显然有10×10个；边长为2的正方形，横边有9种选择：AC，BD，CE，DF，…，IK。
类似的，纵边也有9种选择，横边和纵边都选定后正方形就确定了。
因此经过两个独立步骤就可以完成拼正方形的任务，由乘法原理可知拼出边长为2的小正方形有9×9个。
边长为其他数时可以类似推出。
解答由乘法原理可得：边长为1的小正方形有10×10个；边长为2的小正方形有9×9个；边长为3的小正方形有8×8个；……边长为9的小正方形有2×2个；边长为10的小正方形有1×1个。
四年级加乘原理题库
四年级加乘原理题库一、知识要点1. 加法原理如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有公式种不同方法，在第二类方法中有公式种不同方法……在第n类方法中有公式种不同方法，那么完成这件任务共有公式种不同的方法。
2. 乘法原理如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有公式种方法，做第2步有公式种方法……做第n步有公式种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有公式种不同的方法。
二、典型例题1. 加法原理例题题目：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。
问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？解析：从甲地到乙地有3类方法，乘火车、乘汽车、乘轮船。
乘火车有4种方法，乘汽车有3种方法，乘轮船有2种方法。
根据加法原理，不同走法共有公式（种）。
2. 乘法原理例题题目：用1、2、3、4这四个数字组成三位数，数字不能重复，共能组成多少个不同的三位数？解析：组成三位数分三步。
第一步确定百位数字，有4种选法（1、2、3、4都可以）；第二步确定十位数字，因为百位已经选了一个数字，所以十位有3种选法；第三步确定个位数字，百位和十位都选了数字，个位就有2种选法。
根据乘法原理，共能组成公式（个）不同的三位数。
3. 加乘原理综合例题题目：从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有多少种选法？解析：选取两幅不同类型的画有3种情况：国画和油画、国画和水彩画、油画和水彩画。
国画和油画：选国画有5种选法，选油画有3种选法，根据乘法原理，这种情况有公式种选法。
国画和水彩画：选国画有5种选法，选水彩画有2种选法，这种情况有公式种选法。
油画和水彩画：选油画有3种选法，选水彩画有2种选法，这种情况有公式种选法。
根据加法原理，总共有公式种选法。
三、练习题1. 加法原理练习题题目：学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。
小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。
加法原理和乘法原理(奥数)
答：能组成24个不同的三位数。
变式2：有8个人参加一次乒乓球比赛，每两个人之间都要比
赛一场，一共要赛多少场？
B
C
A
D E
7场
F
G
H
C
D B E 6场
F G H
7+6+5+4+3+2+1=28（场） 答：一共要赛28场。
知识要点
1.加法原理：分类枚举，结果相加。 2.乘法原理：做一件事情如果需要分步， 总的方法数=每一步中的方法数相乘。
5+4+3=12（种）
答：共有12种不同的走法。
Байду номын сангаас
练习2：如下图所示，甲到乙有3条不同的道路，乙到 丙有4条不同的道路，那么从甲到丙有几种不同的走法？
甲
乙
丙
3×4=12（种） 答：有12种不同的走法。
变式1：用2、3、4、5四张数字卡片能组成几个不同的三位数？ 3种填法 4×3×2=24（个）
2种填法 4种填法
加法原理和乘法原理
“＋”
“×”
例1：服装小店有2件上 衣，3条裤子。任意买 一款，有几种买法？
2+3=5（种）
答：有5种买法。
例2：服装小店有2件上
衣，3条裤子。上衣和
裤子有几种搭配方法？
上衣1 上衣2
裤子1 2×3=6（种） 裤子2 答：有6种方法。 裤子3
练习1：从甲地到乙地，可以乘汽车，可以乘火车，还 可以乘轮船。一天中，火车有5班，汽车有4班，轮船有 3班，那么一天中从甲地到乙地共有几种不同的走法？
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乘法原理和加法原理练习题
乘法原理和加法原理练习题乘法原理和加法原理是数学中常用的解决组合问题的方法。
它们可以帮助我们计算不同情况下的总数，从而更好地理解和解决实际生活中的问题。
下面是一些乘法原理和加法原理的练习题，帮助大家更好地掌握这两个原理的应用。
练习题1：某班级有5个男生和6个女生，要选出一名男生和一名女生代表该班参加学校的演讲比赛。
问有多少种不同的选择？解答：根据乘法原理，我们可以将选择男生和选择女生分为两个步骤。
第一步，选择一名男生，有5种选择。
第二步，选择一名女生，有6种选择。
根据乘法原理，两个步骤的选择数相乘，所以总的不同选择数为5 × 6 = 30。
练习题2：某餐馆供应早餐的菜单有3种主食和2种饮料可供选择。
现在小明想选择一种主食和一种饮料作为早餐。
问有多少种不同的选择？解答：同样地，我们可以将选择主食和选择饮料分为两个步骤。
第一步，选择一种主食，有3种选择。
第二步，选择一种饮料，有2种选择。
根据乘法原理，两个步骤的选择数相乘，所以总的不同选择数为3× 2 = 6。
练习题3：小明有红、黄、蓝三种颜色的T恤，他还有黑、白两种颜色的裤子。
如果他想搭配一套T恤和一条裤子，问有多少种不同的搭配方式？解答：同样地，我们可以将选择T恤和选择裤子分为两个步骤。
第一步，选择一种T恤，有3种选择。
第二步，选择一种裤子，有2种选择。
根据乘法原理，两个步骤的选择数相乘，所以总的不同搭配方式数为3 × 2 = 6。
练习题4：小明需要从A、B、C、D、E五个城市中选择两个作为他的旅行目的地。
问有多少种不同的选择方式？解答：根据加法原理，我们可以将选择旅行目的地分为两种情况。
情况一，选择两个不同的城市作为旅行目的地。
这种情况下，我们可以根据排列组合的知识，使用C(5, 2)的方式计算。
C(5, 2)表示从5个城市中选择2个不同的城市的组合数，计算公式为5! / (2! × (5-2)!) = 10。
加法原理和乘法原理训练题
加法、乘法原理训练题例题1：小红、小丽和小敏三个人到世纪公园游玩拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？练习1：1、4个好朋友在旅游景点拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？2、用0，2，3三个数字组成不同的三位数，一共可以组成多少种不同的三位数？3、有1克、2克和5克的砝码各一个，那么在天平上可以称出多少种不同质量的物体？（砝码都放在右盘）例题2：从北京到天津的列车中途要经过4个站点，这列列车从北京到天津要准备多少种不同的车票？练习2：1、一列列车从甲地到乙地要经过5个站点，这列列车从甲地到乙地要准备多少种不同的车票？2、5个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场？3、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？例题3：在4×4的方格图中（如右图），共有多少个正方形？练习3：1、在3×3的方格图中，共有多少个正方形？2、在5×5的方格图中，共有多少个正方形？3、在6×6的方格图中，共有多少个正方形？例题4：从3，5，7，11，13这五个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？练习4：1、从1，3，5，7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？2、从5，7，11，13这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？3、从2，3，7，11，13，17这六个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？例题5：用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个不同的三位数？练习5：1、用1，2，3，4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？2、如右图所示：A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染色。
小学数学《乘法原理与加法原理》练习题(含答案)
小学数学《乘法原理与加法原理》练习题（含答案）乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有叫种不同的方法，做第二步有im种不同的方法，…，做第n步有叫种不同的方法，则完成这件事一共有NnmXimX…Xmn种不同的方法.乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为：“乘法分步，步步相关」【例1】①有5个人排成一排照相，有多少种排法？②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法?③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法?④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法【例2】（1）有三本不同的书放到5张同样的书桌上，一共有多少种放法？（2）一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数。
例如，532吃掉311, 123吃掉123。
但726与267相互都不被吃掉。
问：能吃掉678的三位数共有多少个？（3）由数字2、3、4、5、6、7、8共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？【例3】（小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图.现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色.共有多少种不同的染色方法？⑴⑵【例4】（1）（迎春杯决赛）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵”,使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”.有多少种不同的放法？【例5】有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
问：共有多少种不同的吃法？【例6】（第十五届《迎春杯》决赛）如果一个四位数与一个三位数的和是1999,并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的。
小学数学《乘法原理与加法原理》练习题(含答案)
小学数学《乘法原理与加法原理》练习题（含答案）乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。
”【例1】①有5个人排成一排照相，有多少种排法？②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法【例2】（1）有三本不同的书放到5张同样的书桌上，一共有多少种放法？（2）一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数。
例如，532吃掉311，123吃掉123。
但726与267相互都不被吃掉。
问：能吃掉678的三位数共有多少个？（3）由数字2、3、4、5、6、7、8共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？【例3】（小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色．共有多少种不同的染色方法？【例4】（1）（迎春杯决赛）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？【例5】有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
问：共有多少种不同的吃法？【例6】（第十五届《迎春杯》决赛）如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的。
4年级加法原理和乘法原理-排列组合练习
四年级排列组合问题练习求连续自然数列中项数与数字个数类型的计数问题．运用加法原理和乘法原理解各种计数问题，即在计算时进行恰当的分类或分步。
挑战指数：★1．如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对．问这样的数对共有多少个?[分析与解]被减数最小可为1000，最大可为9999－8921=1078，且从1000到1078中任何一个数都可以作为被减数．共有79个被减数，从而这样的数对共有79个．挑战指数：★★2．一本书从第l页开始编排页码，共用数字2355个．那么这本书共有多少页? [分析与解]从1～9页，每页使用1个数字，共需9个数字；从10～99页，每页使用2个数字，共需90×2＝180个数字；从100～999页，每页使用3个数字，共需900×3＝2700个数字；显然这本书的页数在100～999之间，有2355－9－180＝2166，而2166÷3＝722，所以这本书有100+722－1＝821页．挑战指数：★★3．上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页．问上册书有多少页?[分析与解]两本书页码所用的数字大致相当，从1～9页，每页使用1个数字，共需9个数字；从10～99页，每页使用2个数字，共需90×2＝180个数字；从100～999页，每页使用3个数字，共需900×3＝2700个数字．显然，两本书的页码均在100～999之间，而前99页两本书共用去(9+180)×2＝378个数字，还剩下687－378＝309个数字．上册书比下册书多5页，每页均需3个数字作为页码，所以上册比下册多用5×3＝15个数字．于是在剩下的309个数字种，上册用了(309+15)÷2＝162个数字，即3位数的页码有162÷3＝54页，所以上册有100+54－1＝153页．挑战指数：★★★4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积?[分析与解]题中的5个数相加最小为1+2+3+4+5＝15，最大为6+7+8+9+10＝40，即题中5个数相加的和有40－15+1＝26种可能．而10个数的和为1+2+3+4+…+10＝55．如果我们假定被乘数不超过乘数，那么被乘数有26÷2＝13种可能，而当被乘数确定，乘数也就是确定为“55－被乘数”，并且这些的乘积没有重复．(如果被乘数大于乘数，都可将上面的被乘数、乘数互换而得)．所以共有13种不同的乘积．挑战指数：★★5．将所有自然数，自1开始依次写下去得到：123456789101112……试确定在第206788个位置上出现的数字．[分析与解]有1～9为1位数，所以占有9×1＝9个数字；10～99为2位数，所有占有90×2＝180个数字；100～999为3位数，所以占有900×3＝2700个数字；1000～9999为4位数，所有占有9000×4＝36000个数字；10000～99999为5位数，所有占有90000×5＝450000个数字．现在第206788个位置对应的5位数在10000～99999之间，有206788－9－180－2700－36000＝167899，167899÷5＝33579……4，所以对应的数字为10000+33579＝43579的从左至右的第4个数字，即7．挑战指数：★★★6．用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有多少种不同的凑法?[分析与解]5分的硬币最多可以有100÷5＝20枚；当5分的硬币有20枚，那么只有这1种凑法；当5分的硬币有19枚，则剩下的5分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+1＝2+1+1+1＝1+1+1+1+1＝5，所以共有3种凑法；当5分的硬币有18枚，则剩下的10分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2，2分的可以替换为1分的，于是有5+1＝6种凑法；当5分的硬币有17枚时，则剩下的15分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+1，2分的可以替换为1分的，于是有7+1＝8种凑法；当5分的硬币有16枚时，则剩下的20分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+2+2+2，2分的可以替换为1分的，于是有10+1＝11种凑法；于是，我们把两种情况作为一组，有(1，3)，(6，8)，(11，13)，…即每组数内两个数字相差2，从第2组开始，每组数的第一个数字比前一组的第一个数字大5，5分的硬币可以取20～0枚，即有21种情况，分成10组还剩下一种情况，有(1，大5，有21种情况(16，18)，(21，23)，(26，28)，(31，33)，(36，38)，(41，43)，(46，48)，51所以共有(1+6+11+16+21+26+31+36+41+46+51)+(3+8+13+18+23+28+33+38+43+48)＝(1+51)×11÷2+(3+48)×10÷2＝286+255＝541种．即用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有541种不同的凑法．挑战指数：★7．在图8-1中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校”．那么共有多少种不同的读法?[分析与解]从“华”到“罗”有2种读法；而从“罗”读到“庚”，每个“罗”有2种读法；而从“庚”读到“学”，每个“庚”有2种读法；从“学”到“校”，每个“学”有2种读法．显然是分步进行的，适用乘法原理，于是满足题意的读法有2×2×2×2＝16种．挑战指数：★★8．在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个?[分析与解]我们将符合条件的两位数列出因此，符合要求的两位数有1+2+3+4+…+9＝(1+9)×9÷2＝45个．挑战指数：★★9．按图8-2中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?[分析与解]如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母，按箭头所示，走有一条路，到有2种办法；再往下到有从走和走两种方法，这样到有3条路线；到可从、走，有5种方法到．过可从、走，共有8条路线；到可走、这样共有13种走法；经过可从、两条路走，有21种方法都到；到达可以走和，因而有34种路线到达．这样由A到B，可经过和两个交叉点，共有34+21=55条路线，如下图所示．因此，从A点到B点的不同路线共有55条．挑战指数：★10．用红蓝两色来涂图8-3中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称．问共有多少种不同的涂法?[分析与解]注意到图中的竖线位置上的5个小圆圈，每个圆圈有2种涂法，而左、右两边，当一边确定后，另一边必须与这边对称，也就确定了，所以只用考虑某一侧，这样有2个圆圈，每个圆圈有2种涂法，所以共有2×2×2×2×2×2×2＝128种不同的涂法．挑战指数：★★11．如图8-4，把A，B，C，D，E这5部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图共有多少种不同的着色方法?[分析与解]A有4种着色方法；A着色后，B有3种着色方法；A、B着色后，C有2种着色方法；A、B、C着色后，D有2种着色方法；然后E有2种着色方式．所以，共有4×3×2×2×2＝96种不同的着色方法．挑战指数：★★12．图8-5是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法?[分析与解]设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有10×9＝90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有9×8＝72种不同的放置方法．所以，共有72×90＝6480种不同的放置方法．挑战指数：★★13．在如图8-6所示的阶梯形方格表的格子中放入5枚棋子，使得每行、每列都只有一枚棋子，那么这样的放法共有多少种?[分析与解]第一列有2种方法，第一列放定后，第二列又有2种方法，…，如此下去，共有2×2×2×2×1＝16种不同的放法．挑战指数：★★14．有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日，例如890817表示1989年8月17日．如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中6个数都不相同的日期共有多少天?[分析与解]第1、2位分别为9、1，故第3位不能为1，而只能为0．由于第6位不能再为0、1，故第5位不能为3，当然，第5位也不能为0，1．于是，这样的日期是 910□2□的形式．第4位可取3～8中的任一个，有6种方法．第3位取定后，第6位有5种取法．从而，共有6×5＝30种，即全年中六个数字都不相同的日期有30天．挑战指数：★★★15．如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的，那么这样的四位数最多能有多少个?[分析与解]四位数的千位数字是1，百位数字a可在0、2、3、4、5、6、7中选择，这时三位数的百位数字是9－a；四位数的十位数字b可在剩下的6个数字中选择，三位数的十位数字是9－b．四位数的个位数字c可以在剩下的4个数字中选择，三位数的个位数字是9－c．因此，所说的四位数有7×6×4＝168个。
小学数学《加、乘原理综合运用》练习题(含答案)
小学数学《加、乘原理综合运用》练习题（含答案）Ⅰ、简单加乘原理综合运用【例1】（★）从学而思学校到王明家有4条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老师有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？分析：根据乘法原理，经过王明家到张老师家的走法一共有4×2=8种方法，从学而思学校直接去张老师家一共有3条路可走，根据加法原理，一共有8+3=11种走法.[拓展一]如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？分析：根据乘法原理，经过乙地到丙地的走法一共有4×2=8种方法，经过丁地到丙地一共有3×3=9种方法，根据加法原理，一共有8+9=17种走法.[拓展二]如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只要用加法原理求和即可．从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．【例2】（★★走进美妙数学花园少年数学邀请赛）如图，将1，2，3，4，5分别填入图中1×5的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．分析：填在黑格里的数是5和4时，不同的填法有2!×3!=12(种)；填在黑格里的数是5和3时，不同的填法有2×2=4(种)．所以，共有不同填法12＋4=16(种)．[前铺]一个篮球队有五名队员A,B,C,D,E,由于某种原因，E不能做中锋，而其余四个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？分析：先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任何一个都可以，其余四人对应四个位置，有4！=24（种）排列，由乘法原理，4×24=96，所以一共有96种不同的站位方法.Ⅱ、加乘原理与数论【例3】（★★）从19，20，21，…，93，94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少?分析：76个数当中有38个奇数和38个偶数，选取两个数只要是奇偶性质相同就能保证其和为偶数，选取两个奇数的方法有38×37÷2=703种，选取两个偶数的方法有38×37÷2=703种，一共有1406种选取方法.[拓展]在3000与8000之间，有多少个数字不重复的偶数？分析：千位必须是3，4，5，6，7中的一个，个位必须是0，2，4，6，8中的一个，分类考虑：个位上是0，2，8时，个位有3种选择，千位可以是3，4，5，6，7，有5种选择，百位、十位可以从剩下的8个数字中选择，由乘法原理，有3×5×8×7=840个；个位是4或6时，千位可以从3，4，5，6，7中除4或6以外的4个数中选择，百位、十位可以从剩下的8个数字中选择，由乘法原理，有2×4×8×7=448个，根据加法原理，一共有：840+448=1288个符合条件的偶数.【例4】（★★）在1～10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有种不同的取法．分析：两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1，另一个除以3余2．1～10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余2的有3个数，各取1个有3×4=12种取法．所以共有取法：3＋12=15(种)．[前铺]用1，2，3，4，5五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少3的倍数？分析：按照位数分类考虑：一位数只有1个3；两位数，由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成2×1=2个数字，共可以组成2×4=8个不同的两位数；三位数，由1、2与3，1、3与5，2、3与4，3、4与5四组数字组成，每一组可以组成3×2×1=6个数字，共可以组成6×4=24个不同的三位数；四位数，由1、2、4与5四个数字组成，有 4×3×2×1=24个不同的四位数；五位数，由1、2、3、4与5五个数字组成，有 5×4×3×2×1=120个不同的五位数，由加法原理，一共有1+8+24+24+120=177个满足条件的数.[拓展]在1～10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有 种不同的取法．分析：三个不同的数和为3的倍数有四种情况：三个数同余1，三个数同余2，三个数都被3整除，余1余2余0各有1个，三类情况分别有4种、1种、1种、36种，所以一共有42种.【例5】 （★★★）有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析：要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3=9种不同的情形．第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有3×3=9种不同情形．最后再由加法原理即可求解．两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有3×3＋3×3=18种不同的情形．[巩固]有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？分析：要使两个数字之和为奇数，只要这两个数字的奇偶性不同，即这两个数字一个为奇数，另一个为偶数，由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现偶数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3=9种不同的情形．Ⅲ、加乘原理与图论（染色、图形组合）【例6】 （★★★）地图上有A ，B ，C ，D 四个国家（如下图），现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？分析：A 有3种颜色可选；当B ，C 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选，不同的涂法有3×2×2=12（种）；当B ，C 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，C 仅剩1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选（与A 相同），不同的涂法有3×2×1×1=6（种）.C BD A所以共有12＋6=18种不同的涂法.[前铺]为“学习改变命运”六个字涂色，现在有红、黄、蓝三种颜色，使相邻的字颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少涂色方法？分析：第一个字有3种颜色可选，第二个字有2种颜色可选，第三个字有2种颜色可选，……以此类推，第六个字也有两种颜色可选，所以不同的涂色方法有：3×2×2×2×2×2=96（种）[拓展一]如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？分析：第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C 取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有3×2=6种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有4×（3×3+3×2×2）=84种方法.[拓展二]用四种颜色对下图的A ，B ，C ，D ，E 五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用.问：共有多少种不同的染色方法?分析：第一步给C 上色，有4种选择； 然后对A 染色，A 有3种颜色可选； 当B ，E 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选，不同的涂法有3×2×2=12（种）；当B ，E 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，E 仅1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选（与A 相同），不同的涂法有3×2×1×1=6（种）.所以共有4×3×（2×2＋2）=72种不同的涂法.思考本题与例题5的关系.【例7】 （★★）在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点再加上圆心一共11个点为端点，可以画出多少长度小于直径的线段.分析：由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段一共有45种方法，其中包括5条直径，应当舍去，其余线段的长都小于直径，一共有40种方法 .以圆心为端点的线段一共有10条，所以一共可以画出40+10=50条线段.[拓展]一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？E D C B A分析：（方法一）所有的三角形一共可以分为3类，第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有7×6×5÷（3×2×1）=35种；第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7×6÷（2×1）×5=105种；第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7×5×4÷（2×1）=70种；一共可以画出35+105+70=210种.（方法二）不共线的3点可以确定一个三角形，这样任取3点构成的组合数与三角形的个数之间便有了一定的联系，但是要注意去掉其中3点共线的情况.12×11×10÷（3×2×1）-5×4×3÷（3×2×1）=210种.【例8】直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？分析：画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：（1）在a线上找一个点，有5种选取法，在b线上找两个点，有4×3÷2=6（种），根据乘法原理，一共有：5×6=30（个）三角形（2）在b线上找一个点，有4种选取法，在a线上找两个点，有5×4÷2=10（种），根据乘法原理，一共有：4×10=40（个）三角形根据加法原理，一共可以画出：30+40=70（个）三角形[巩固]直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？分析：画四边形需要在每条线上取2个点，在a线上取2个点共有5×4÷2=10（种），在b线上取2个点共有4×3÷2=6（种），根据乘法原理，一共可以画出6×10=60（个）三角形.Ⅳ、排列组合【例9】（★★）用数字0，1，2，3，4，（可重复使用）可以组成多少个：小于1000的自然数？分析：小于1000的自然数有三类．第一类是0和一位数，有5个；第二类是两位数，有4×5=20个；第三类是三位数，有4×5×5=100个．共有5+20+100=125个．[拓展]用1、2、3、4、5这五个数字，可以组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？分析：分两类（1）把3排在最高位上，其余四个数字可以任意放到其余四个数位上，有4×3×2×1=24种做法，对应24个不同的五位数（2）把2、4、5放在最高位上，有3种选择，百位数上有除最高位和3以外的三种选择，其余的三个数字可以任意放到其余3个数位上，由乘法原理，可以组成3×3×3×2×1=54个不同的五位数由加法原理，可以组成24+54=78个不同的五位数.【例10】（★★★）从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?分析：从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4．三位数只有100.所以一共有8＋8×9+1=81个不含4的自然数．[拓展] 从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?分析：从1到300的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含2的有8个，它们是1、3、4、5、6、7、8、9；两位数中，不含2的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、3、4、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含2．三位数中，除去300外，百位数只有1一种取法，十位与个位均有0，1，3，4，5，6，7，8，9九种取法，根据乘法原理，不含数字2的三位数有：1×9×9=81个，还要加上300.所以根据加法原理，从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数一共有8＋72+82=162个.【例11】（★★★）在100～1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？分析：先考虑100～1995这1896个数中，百位与个位相同的数有多少个，在三位数中，百位与个位可以是1～9，十位可以是0～9，由乘法原理，有9×10=90个，四位数中，千位是1，百位和个位可以是0～9，十位可以是0～9，由乘法原理，10×10=100个，但是要从中去掉1999，在100～1995中，百位与个位相同的数共有90+99=189个，所以，百位数与个位数不相同的自然数有：1896-189=1707个[拓展]在1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个?分析：（方法一）解决计数问题常用分类讨论的方法．设在1000至1999这些自然数中满足条件的数为1abc(其中c＞a)；(1)当a=0时，c可取1～9中的任一个数字，b可取0～9中的任一个数字，于是一共有9×10=90个．(2)当a=1时，c可取2～9中的任一个数字，b仍可取0～9中的任一个数字，于是一共有8×10=80个．(3)类似地，当a依次取2，3，4，5，6，7，8时分别有70，60，50，40，30，20，10个符合条件的自然数．所以，符合条件的自然数有90＋80＋70＋…＋20＋10=450个．（方法二）1000至1999这1000个自然数中，每10个中有一个个位数等于百位数，共有100个；剩余的数中，根据对称性，个位数大于百位数的和百位数大于个位数的一样多，所以总数为-÷=个.(1000100)2450【例12】（★★）红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？分析：（方法一）取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类（1）一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能；（2）两种颜色：（4×3）×3=36（3）三种颜色：4×3×2=24所以，一共可以表示2＋36＋24=62种不同的信号（方法二）每一个位置都有4种颜色可选，共有4×4×4=64种，但是不能有三红或者三黄，所以减去2种，共有64-2=62种.[前铺]一共有赤橙黄绿青蓝紫七种颜色的等各一盏，把七盏灯都串起来，紫灯不排在第一位也不排在第七位的串法有多少种？分析：先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有5种选择，然后把剩下的6盏灯随意排，有6×5×4×3×2×1=720种排法，由乘法原理，一共有5×720=3600种1.（★例1）从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉或者上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车.问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？分析：从北京转道上海到广州一共有3×3=9种方法，从北京转道武汉到广州一共也有3×3=9种方法供选择，从北京直接去广州有2种方法，所以一共有9+9+2=20种方法.2.（★★例3）在所有的三位数中，各位数字之和是19的数共有多少个？分析：三个数字之和是19的共有10种，9，9，1；9，8，2；9，7，3；9，6，4；9，5，5；8，8，3；8，7，4；8，6，5；7，7，5；7，6，6.其中三个数字各不相同的有5种，每种能组成6个不同的三位数；三个数字中有两个相同的有5种，每种能组成3个不同的三位数，所求数共有：6×5+5×3=45（个）3.（★★例11）从54到199的整数中，各位数字互不相同的数有多少个？分析：从54至99的整数中，各位数字互不相同的数有46-5=41个.从100至199的整数中，各位数字互不相同的数有9×8=72个，总共有41+72=113个.4.（★★★例8）直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？分析：画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：（3）在a线上找一个点，有4种选取法，在b线上找两个点，有1种，根据乘法原理，一共有：5×1=5（个）三角形（4）在b线上找一个点，有2种选取法，在a线上找两个点，有4×3÷2=6（种），根据乘法原理，一共有：2×6=12（个）三角形根据加法原理，一共可以画出：5+12=17（个）三角形5.（★★★例12）五种颜色的小旗，任意取出三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？分析：分3种情况（1）三面小旗一种颜色，可以表示5种信号（2）三面小旗两种颜色：可以表示5×4×3=60种信号（3）三面小旗三种颜色：可以表示：5×4×3=60种信号由加法原理，一共可以表示：5+60+60=125种信号.。
小学数学四年级《加法原理和乘法原理》练习题(含答案)
小学数学四年级《加法原理和乘法原理》练习题（含答案）【例1】学校食堂为老师预备了三种主食：馒头、米饭和烙饼；五种炒菜：红烧肉、炒豆腐、土豆丝、香菇油菜和辣子鸡丁；两种汤：紫菜汤和鸡蛋西红柿汤。
张老师要买一种主食一个炒菜和一碗汤。
张老师一共可以有多少种不同的买法？分析：张老师买饭时要分三步：第一步买主食，第二步买炒菜，第三步买汤。
第一步 第二步 第三步馒头 红烧肉 紫菜汤家常豆腐米饭 土豆烧牛肉 鸡蛋西红柿汤香菇油菜烙饼 辣子鸡丁选择一种主食后买菜时可以有5种不同的选择，再买汤时有2种不同的选择，也就是说一种主食可以有5×2=10种不同的菜和汤搭配，由于有三种主食，所以就可以有3×10=30种不同的搭配。
第一步 第二步 第三步3种选择 5种选择 2种选择答案：3×5×2=30（种）【例2】小刚家到学校必须要通过一座桥，他从家到桥有3条路，过了桥之后有条路可以到学校。
小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？分析：家 桥 学校小刚从家到学校要分为两步走：第一步到桥，第二步到学校。
从家到桥时可以有3种不同的选择，从桥到学校时有2种不同的选择。
答案：3×2 = 6（种）拓展训练，小明想用这4张卡片摆成四位数。
他可以摆成多少个不同的四位数？答案：摆四位数时要分为四步：第一步摆千位，第二步摆百位，第三步摆十位，第四步摆个位。
第一步摆千位时可以有4种选择，第二步摆百位时，由于千位已经用了一张卡片，还剩下3张，所以只能有3种选择，第三步摆十位时，由于前边两位已经用了两张卡片，还剩下2张，所以只能有2种选择，第四步摆个位时，只剩下一张卡片了，所以只能有1种选择。
千位 百位 十位 个位a b c d ead 、ae 、bd 、be 、cd 、ce4种选择 3种选择 2种选择 1种选择 4×3×2×1=24（个）【例3】有四张数字卡片：，小明想用这4张卡片摆成四位数。
四年级加法与乘法原理练习题
加法与乘法原理本讲知识要点：1、加法原理：如果做完一件事情有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数。
2、乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有方法数。
3、分类与分步的区别：分类是指完成事情的不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事。
这些时候一般用加法原理；分布是指完成事情的不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事。
这种情况一般要用乘法原理。
4、用乘法原理解题，分步应注意的事项：1）每步必须全部完成才能满足结论；2）必须先确定以什么来分步；3）定好第一步后，再确定第二步，第三步，……。
一般是特殊优先原则，即谁的条件要求苛刻，先确定谁。
4）每一步前后相互独立，前面的步骤不能影响后面的步骤，否则就不能用乘法原理解决。
本讲例题练习：例题1：阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。
经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班。
他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择？例题2：“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”？例题3：老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数，冬冬共有多少种不同的写法？例题4：书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相同。
请问：1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？2）如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？例题5：如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路。
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加法原理与乘法原理
1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法() A．8种B．12种C．16种D．24种
2．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c.则可构成不同的二次函数的个数是()
A．48 B．59 C．60 D．100
3．某电话局的电话号码为168～×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有()
A．20个B．25个C．32个D．60个
4．在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为()
A．20 B．10 C．5 D．24
5．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有()
A．8种B．15种C．125种D．243种
6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有() A．24种B．18种C．12种D．6种
7．已知异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定不同的平面个数为()
A．40 B．13 C．10 D．16
8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有()
A．336种B．120种C．24种D．18种
9．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则不同的报名方法共有( )
A ．10种
B ．20种
C ．25种
D ．32种
10．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( )
A ．14
B ．23
C ．48
D ．120
11．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A ．6种
B ．12种
C ．24种
D ．30种
12．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．
13．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．
14．动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？
15．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．
(1)共有多少种不同的涂色方法？
(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？
16．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个．
(1)三位整数？
(2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
(4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？
(5)小于100的无重复数字的自然数？
17．已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有( )
A ．18个
B ．16个
C ．14个
D ．10个
18．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路， 1 4 2 3
其中共6个焊接点A 、B 、C 、D 、E 、F ，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落可能性共有( )
A ．6种
B ．36种
C ．63种
D ．64种
19．已知互不相同的集合A 、B 满足A ∪B ＝{a ，b }，则符合条件的A ，B 的组数共有________种．
20．已知a ，b ∈{0,1,2，…，9}，若满足|a －b |≤1，则称a ，b “心有灵犀”．则a ，b “心有灵犀”的情形共有( )
A ．9种
B ．16种
C ．20种
D ．28种
21．(2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A.49
B.13
C.29
D.19
22．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，最多5个，则不同的分法共有( )
A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种
23．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
24．若5名学生争夺3项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有________种不同情况(没有并列冠军)?
25．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值．
26．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有________个．
27．设椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的焦点在y 轴上，m ∈{1,2,3,4,5}，
n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________．
28.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形
中与正八边形有公共边的三角形有________个．。