2020年高中物理竞赛辅导课件★★静电场的高斯定理

（1）E为均匀场
1º设场中有一平面S，SE 或面法线方向n // E
该面的电通量： E = S E
2º若 n与E成 角
E= SEcos S E
n
SS
90o E 0
90o E 0
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（2）E 为非均匀场
任意曲面S上的电通量
取面积元dS 其上的电通量
dE EdS cos E dS
第3节 静电场的高斯定理 Gauss Law of Electrostatic Fields
一、静电场的高斯定理
1.电场线（E线） ——静电场的形象描述
一系列曲线 +q
q
电场线上每点切线的方向表示该点场强的方向
22
定义
电直场于中的E任 单意位一面点积处上，电通场过线该根处数垂 = E
即
E
dN dS
（也称电场线密度）
dS
E
电场线的特征
（1）起于正电荷止于负电荷，有头有尾，不 会在无电荷处中断。
（2）在没有电荷的空间里，任何两条电场线 不会相交。
（3）静电荷的电场线不会形成闭合曲线。
23
2.电通量 E
定义：通过电场中任一给定面的电场线总根数， 就是该面的电通量E。
E的单位 N m2 / C
S 面上的总通量
n
r E dS
S
E dE S E dS
当S为闭合曲面时
E S E dS
闭合面的法线方向规定：
E 0
自内向外为法线的正方向
E 0
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注：
E 0
1º E S E dS
E 0
表示净穿出(入)闭合面的电场线的总根数
E 0 有净电场线从曲面内向外穿出 E 0 有净电场线从曲面外向内穿入
若 qi 0 E 0 有净电场线到闭合面内终止
说明静电场是有源场
正电荷是电场的源头 负电荷是电场的尾闾
高斯定律的用途
1º可用该定律求对称分布的电场。
2º已知场强分布时，可用该定律求任一区域的电 荷、电势分布。
3º卡文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平 方反比关系，这说明它们不是相互独立的定律。
r
2º封闭面S 上的场强 E 是由S内的电荷产生，而
与S外r 的电荷无关吗？ E —— 是由全部电荷共同产生的合场强
qi 移动，E、E 变否？ 曲面S内
3º若S内的电荷是连续分布 带电体的体积
E
S E
dS
1
0
V
dV
32
（2）高斯定理的意义 反映电场的基本性质
E
S E
dS
1
0
qi
S内
若 qi 0 E 0 有净电场线从闭合面内发出
33
2º引入电场线, 只是为了形象理解电场 E ， 实际上 E 是连续分布于空间。
26
3.真空中静电场的高斯定理
——静电场的基本规律之一
（1）高斯定理的表述 静电场中任何一闭合曲面的电通量，等于
该曲面所包围的电荷的代数和的0分之一倍。
数学表达式
E
S E
dS
1
0
qi
S内
27
证明：
E
S E
dS
1
0
qi
(2) 设想任意闭合面S，且S与S包围同
一个点电荷q， 由电场线的连续性可知：
SE dS S E dS
1
0
q
S内
er || n
S SS
v EE rr
qq
看出
电通量与球面半径、 闭合曲面形状无关。
29
证明：
E
S E
dS
1
0
qi
S内
设真空中有一点电荷q，在q 的电场中，
(3) 若球面S 或任意曲面S不包围电荷q
穿入的 电场线
穿出的 电场线
S S
q
E SE dS S E dS = 0
即:曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献
30
证明：
E
S E
dS
1
0
qi
S内
(4) 若在同一空间有q1 、q2…… qn电荷系
任意点的电场强度为
E E1 E2 En
S q2
取任意闭合面S，其电通量为
q1
qn
E S E dS
S内
设真空中有一点电荷q，在q 的电场中，
(1) 取以q为中心r为半径的球面S
该S上的电通量为：
E
q
4 0r 2
er
E S E dS
er || n
E
S
q
4 0r 2
er
dS
4S4q0qr02r24SdSr
2
Sr
q
E
S E dS
q
0
1
0
q
S内
28
证明：
E
S E
dS
来自百度文库
1
0
qi
S内
设真空中有一点电荷q，在q 的电场中，
S(E1 E2 ... En) dS
S E1 dS S E2 dS ... S En dS
1 2 n 由单个点电荷的结论
1
0
qi
S内
qi`在S内
qj不在S内
定理得证！
i
qi
0
j 0
31
注意
E
S E
dS
1
0
qi
S内
1ºE只决定于S面包围的电荷， S面外的电荷对
E无贡献。