高中数学 欧拉公式
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欧拉公式
新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
图形编号 1 2 3 4
2
顶点数V 4
3
面数F 4 棱数E 6
4
8 6 9
6 8 8
12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
观察下列几何体是否满足欧拉公式：
简单多面体： 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
问题2：如何证明欧拉公式 D1 A1 B1 C1 D E1 A1 A D1 B1 C1 D E C B A B D E1 E1
E1
C1
A1 B1
D1
D
E
A B
C
E
C
D1
A1 A B1 C1 D C B E E1
D1
E
A1 A
C1 B1 B
C
问题2：如何证明欧拉公式 D1 E1 A1 B1 C1 E
D E1 A1 A D1 C1 B1 B C
D
E A B
C
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平 面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E。 思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, · · · nF边形，各个面的 内角总和是多少？ (n1-2) · 1800+ (n2-2) · 1800+· · · + (nF-2) · 1800=(n1+n2+· · · +nF2F）·1800 思考3： n1+n2+· · · +nF和多面体的棱数E有什么关系 n1+n2+· · · +nF=2E
解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。
根据欧拉公式得
源自文库
V+F=E+2=9
因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种 情形： V=4，F=5或V=5，F=4。 但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
例3、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一 端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数。
问题2：如何证明欧拉公式 D1 E1 A1 B1 C1 E
D E1 A1 A D1 C1 B1 B C
D
E A B
C
多边形内角和=（E-F）· 3600 思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边 形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？ 2（m-2) · 1800+(V-m) · 3600=(V-2) · 3600 ∴（E-F）· 3600= (V-2) · 3600,即V+F-E=2
问题3:欧拉公式的应用
1、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位 科学家。C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多 面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条 棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种。计算C60分子 中形状为五边形和六边形的面各有多少？
例2、有没有棱数是7 的简单多面体？
例4、足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成 的多面体，问这个多面体有多少条棱？多少个顶点？
例5、求棱长为a的正八面体的全面积和体积．
新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
图形编号 1 2 3 4
2
顶点数V 4
3
面数F 4 棱数E 6
4
8 6 9
6 8 8
12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
观察下列几何体是否满足欧拉公式：
简单多面体： 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
问题2：如何证明欧拉公式 D1 A1 B1 C1 D E1 A1 A D1 B1 C1 D E C B A B D E1 E1
E1
C1
A1 B1
D1
D
E
A B
C
E
C
D1
A1 A B1 C1 D C B E E1
D1
E
A1 A
C1 B1 B
C
问题2：如何证明欧拉公式 D1 E1 A1 B1 C1 E
D E1 A1 A D1 C1 B1 B C
D
E A B
C
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平 面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E。 思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, · · · nF边形，各个面的 内角总和是多少？ (n1-2) · 1800+ (n2-2) · 1800+· · · + (nF-2) · 1800=(n1+n2+· · · +nF2F）·1800 思考3： n1+n2+· · · +nF和多面体的棱数E有什么关系 n1+n2+· · · +nF=2E
解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。
根据欧拉公式得
源自文库
V+F=E+2=9
因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种 情形： V=4，F=5或V=5，F=4。 但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
例3、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一 端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数。
问题2：如何证明欧拉公式 D1 E1 A1 B1 C1 E
D E1 A1 A D1 C1 B1 B C
D
E A B
C
多边形内角和=（E-F）· 3600 思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边 形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？ 2（m-2) · 1800+(V-m) · 3600=(V-2) · 3600 ∴（E-F）· 3600= (V-2) · 3600,即V+F-E=2
问题3:欧拉公式的应用
1、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位 科学家。C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多 面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条 棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种。计算C60分子 中形状为五边形和六边形的面各有多少？
例2、有没有棱数是7 的简单多面体？
例4、足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成 的多面体，问这个多面体有多少条棱？多少个顶点？
例5、求棱长为a的正八面体的全面积和体积．